Die Ziffern der Fibonacci-Zahlen

Transkript

1 Elem. Math /3/26-8 c Birhäuser Verlag, Basel, 23 Elemente der Mathemati Die Ziffern der Fibonacci-Zahlen Jürgen Spiler Einleitung und Sätze Die reursiv definierte Folge Jürgen Spiler wurde 935 in Berlin geboren. Er studierte Mathemati und Physi für das Lehramt in Göttingen und promovierte dort 962 bei H. Grauert über automorphe Funtionen. Heute interessieren ihn zahlentheoretische Probleme, insbesondere Beweismethoden aus der reellen Analysis. f =f2 =, fn + 2 =fn + +fn n ist nach Fibonacci alias Leonardo Pisano, um 2 benannt. Sie beschreibt das Wachstum einer Kaninchen-Population, wenn man folgende Regeln zugrunde legt: a. Am Anfang des. Monats lebt genau ein Paar von Kaninchen; b. edes Kaninchen-Paar wirft am Anfang eden Monats genau ein zweites Paar, beginnend mit dem 3. Monat seines Lebens; auch das Urpaar wirft erst ab dem 3. Monat; c. Kaninchen sind unsterblich. Dann ist fn die Anzahl der Paare, die im n-ten Monat leben. In der vorliegenden Arbeit werden die Dezimal-Ziffern betrachtet, die in der Fibonacci-Folge,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44,... auftreten. Kommt die 2 darin häufiger vor als die 3? Vermutlich weiß man die Antwort nicht. Gibt man edoch eine feste Stelle für die Ziffer vor, dann ann man diese Häufigeiten berechnen. So ist die 2 als Endziffer seltener als die 3. Alle Ziffern treten in periodischer Weise als Endziffern auf Satz. Als Leitziffer ommt dagegen die 2 häufiger vor als die 3. Jede Ziffer ausser der Null tritt in fast-periodischer Weise als Leitziffer auf Satz 2. Schließlich wird untersucht, wieviele Fibonacci-Zahlen genau Stellen haben. Ist 2, dann sind es 4 oder 5; der erste Fall ist häufiger und tritt in fast-periodischer Weise auf Satz 3. Dieser Zugang liefert neue Beweise für beannte Aussagen..

2 Elem. Math Die wichtigsten Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen findet man in dem Buch von Hoggatt [2]. Dort ist auch auf S. die für alle n gültige Binet-Formel fn = αn β n α β angegeben. + 5 mit α := 2 =, 68..., β := 5 2 =, Wenn man eine natürliche Zahl n onret benennen will, dann benutzt man meistens ihre Dezimal-Darstellung n = e n mit e n,,...,9}. K Ist e K n, dann schreibt man diese Zahl üblicherweise in der Form e K ne K n...e ne n und nennt e K n die Leitziffer von n; e n ist die Endziffer. Die ersten Fibonacci-Zahlen in Dezimal-Form sind in der folgenden Tabelle enthalten: f f f f2 f f f3 2 f f f4 3 f f f5 5 f f f6 8 f f f7 3 f f f8 2 f f f9 34 f f f 55 f f f 89 f f f2 44 f f f3 233 f f f4 377 f f f5 6 f f f6 987 f f f7 597 f f f f f f9 48 f f f f f f2 946 f f f22 77 f f f f f f f f Wir behandeln in diesem Artiel 3 Probleme über die Ziffern der Fibonacci-Zahlen.

3 28 Elem. Math Problem handelt von den Endziffern der fn. Satz Sei e,,...,9} eine feste Ziffer und rn := die Endziffer von fn ist e, sonst. Dann ist die Folge rn n periodisch mit der Periode 6, und sie hat den Mittelwert Dabei ist Mr := lim N N Mr = n N rn. 5 falls e gerade, 2 5 falls e ungerade. Bemerung Man ann auch einen rechtsbündigen Bloc von einer festen Länge, also die Ziffern e fn, e 2 fn,...,e fn vorgeben. Wieder ist die zugehörige charateristische Folge rn n periodisch; ihre Periode ist 3, falls = 2 und 5, falls 3 ist [6]. Die Mittelwerte ennt man nicht. Nun zu Problem 2 über die Leitziffern der fn. Daß auch die Leitziffern eine periodische Folge bilden, ann man nicht erwarten, denn fn entsteht durch Addition von fn und fn 2, und die Überträge bei der Addition zerstören die Periodizität. Aber immerhin ist die Folge noch fast-periodisch. Um das zu präzisieren, definieren wir für eine omplexe Folge ln n die Halb-Norm ln := lim sup N N n N ln und nennen die Folge l =ln fast-periodisch, wenn zu edem natürlichen eine omplexe Linearombination h von Exponentialfolgen e 2πiαn n mit α R existiert, so daß l h < ist. Man sieht leicht, daß ede fast-periodische Folge l einen Mittelwert Ml hat und Ml = lim Mh gilt [5, Kap. VI]. Satz 2 Sei e > eine feste Ziffer und ln := die Leitziffer von fn ist e, sonst. Dann ist die Folge ln n fast-periodisch, aber nicht schließlich-periodisch, und sie hat den Mittelwert Ml =log +. e Alle Logarithmen in diesem Artiel sind zur Basis zu nehmen.

4 Elem. Math Bemerung Man ann auch einen linsbündigen Leitbloc fester Länge vorgeben und erhält wieder eine fast-periodische Folge. Sind e e 2 e die ersten Ziffern e, dann ist ihr Mittelwert log + e + e e Insbesondere tritt der Anfangsbloc am häufigsten bei den Fibonacci-Zahlen auf. Offene Fragen Man ennt vermutlich eine ähnlichen Resultate, die alle Ziffern der Fibonacci-Zahlen gleichzeitig betreffen. Was ann man über die Folge dn := # N : e fn = e} aussagen, wobei e > eine feste Ziffer ist? Wie verhält sich die Quersumme der fn asymptotisch bei n?wieverhält sie sich im Mittel? Unser drittes Problem behandelt die Anzahl der Fibonacci-Zahlen mit genau Ziffern: a := #n N : fn < }. Es gilt [4] a 4, 5}, falls >. 2 Beweis. Denn durch Indution über n sieht man, 6 fn fn <, 7 fn, n > 5. Sei > und fn die leinste Fibonacci-Zahl mit genau Ziffern; dann ist n 7 und a 4, da fn + 3 <, 7 4 fn < 8, 36 <, a 5, da fn + 5, 6 5 fn, 48 >. Damit ist 2 bewiesen. Wir definieren die Folgen falls a =4, b := sonst, Es gilt der c := falls a =5, sonst. Satz 3 Die Folgen an, bn und cn sind fast-periodisch, aber nicht schließlichperiodisch. Ihre Mittelwerte sind Ma = = 4, , Mb =5 =, 25..., Mc = 4 =, die Konstante α wurde in definiert.

5 3 Elem. Math Bemerungen. Die drei Sätze behandeln die Dezimal-Ziffern der fn. Ersetzt man die Basis durch eine beliebige Basis g 2, so bleiben die Aussagen über Periodizität und Fast-Periodizität erhalten, nur die Perioden und Mittelwerte ändern sich. 2. Die Inhalte der Sätze 3 sind teilweise beannt; ihre Beweise sind edoch neu, insbesondere war die Fast-Periodizität der betreffenden Folgen bisher unbeannt. Beweis von Satz Es ist e f = e f2 =, und aus der Tabelle der ersten Fibonacci-Zahlen erennt man e f6 = e f62 =. Hieraus folgt e f3 = e f63 = 2 und durch Indution e fn = e fn+6 für alle n. Also hat die Folge rn die Periode 6. Der Mittelwert ist Mr = 6 e fn, den man durch Auszählen berechnet. 2 Beweis von Satz 2 Wir benötigen einen n 6 Hilfssatz Hat die Funtion h : R C die Periode und ist h [, ] quadrat-integrierbar, so ist die Folge fn := hɛn fast-periodisch für edes reelle ɛ. Beweis. Ist ɛ rational, etwa ɛ = q p mit q Z, p N, dannistɛn + p =ɛn + q, und fn hat die Periode p, ist also fast-periodisch. Sei ɛ irrational. Wir definieren die Fourier-Koeffizienten von h und δ := h K x := hxe 2πix dx, Z, K Dann gilt nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung h h K ɛn 2 lim sup N N δ e 2πix, K N. n N h h K ɛn 2. Weil die Folge ɛn n gleichverteilt modulo ist [3, S. 8], ist der lim sup gleich hx h K x 2 dx, und das Integral hat nach der Parseval-Gleichung in L 2 [, ] den Wert δ 2. Hieraus erennt man >K lim h K hk ɛn = und die Fast-Periodizität von hɛn n.

6 Elem. Math Beispiel Seien γ, δ reelle Zahlen, γ<δ, x =[x]+x} sei die Zerlegung der reellen Zahl x im ganzen und gebrochenen Anteil sowie h γ,δ x := γ<x} <δ, 3 sonst. Dann ist die Folge h γ,δ ɛn n fast-periodisch für edes reelle ɛ. Beweis von Satz 2 für den Fall e =. Zu edem natürlichen 3 existiert nach ein n N, sodaßfür alle n > n gilt log fn n β n 2 log 5 = log < α. Die Fibonacci-Zahl fn hat genau dann die Leitziffer, wenn ein K N mit K fn < 2 K,alsoK log fn < K + log 2 existiert. Definiere reelle Zahlen γ := 2 log 5 =, und δ := 2 log 5 + log 2 =, Dann impliziert e Kfn =, n > n, die Ungleichung K + γ < n <K + δ +, also mit 3 h γ,δ+ n =, falls ln =, n > n. 4 Im anderen Fall e K fn > gilt 2 K fn < K+,alsoK + log 2 log fn < K +. Das impliziert n } <γ+ oder n } >δ,also h γ+,δ n =, falls ln =, n > n. 5 Wir approximieren nun die Folge ln: n N ln h γ,δ n = n N ln= h γ,δ+ h γ,δ n n N ln= h γ,δ n + n N ln= h γ,δ n + n N ln= h γ,δ h γ+,δ n +O nach 4 und 5 hγ,δ+ h γ+,δ n +O. n N Da irrational ist, ist die Folge n n gleichverteilt mod [3, S. 8] und lim hγ N N,δ+ h γ+,δ n n N = hγ,δ+ h γ+,δ xdx = 4, 3.

7 32 Elem. Math Damit ist ln h γ,δ n = gezeigt. Weil nach dem Hilfssatz die Folge h γ,δ n n fast-periodisch ist, ist auch ln fast-periodisch. Nun berechnen wir den Mittelwert von l. Wegen der Gleichverteiltheit mod von der Folge n n ist Ml =Mh γ,δ n = h γ,δ xdx = δ γ = log 2. Weil das eine irrationale Zahl ist, ann die Folge l nicht schließlich-periodisch sein eine schließlich-periodische Folge mit ganzzahligen Werten hat einen rationalen Mittelwert. Damit ist Satz 2 für den Fall e = bewiesen. Bei anderen Leitziffern e > schließt man in analoger Weise. 3 Beweis von Satz 3 Ist >, dann gilt nach 2 b =5 a, c =a 4. Somit müssen wir nur die Folge b untersuchen. Sei eine natürliche Zahl. Es ist genau dann b =, wenn fn 3 < und fn + 2 für ein n 4 gilt. Nach Binets Formel bedeutet das n 3 log 5 < 2 und < n + 2 log für alle >. Setze γ := 2 log =, 2...und δ := 2 log 5 =, Dann impliziert b =, >, die Ungleichung also h γ,δ+ n + γ < < n + δ +, =. Der andere Fall b = bedeutet fn 3 und =, falls >. fn + < für ein n 4, also h γ+,δ Wir approximieren nun b ähnlich wie im Beweis zu Satz 2: b h γ,δ K h γ,δ+ h γ,δ K b= K h γ,δ+ h γ+,δ + h γ,δ h γ+,δ + O K b= + O,

8 falls. Da die Zahl irrational ist, ist die Folge und lim h K K γ,δ+ h γ+,δ K = Elem. Math h γ,δ+ h γ+,δ xdx = 4,. gleichverteilt mod Damit ist b h γ,δ = gezeigt, und nach dem Hilfssatz ist die Folge b fast-periodisch. Ihr Mittelwert ergibt sich in beannter Weise: Mb = h γ,δ xdx = δ γ = 5. Weil dies eine irrationale Zahl ist, ann die Folge b nicht schließlich-periodisch sein. Bemerung Die Mittelwert-Formel Mc = 4 wurde schon in [, S. 339] mit einer anderen Methode bewiesen. Kürzlich hat Puchta [4] lim c = K K m Mc K lmodm gezeigt. Es existiert eine äquivalente Formel für die Folge b, und diese ergibt sich diret aus obigem Beweis: Weil auch die Folge gleichverteilt mod ist, folgt lim K K K lmodm b = m lim I I lmod m bmi + l = m i I h γ,δ xdx = m Mb. Literatur [] Guthmann, A.: Wieviele -stellige Fibonaccizahlen gibt es? Arch. Math , [2] Hoggatt, V.E.: Fibonacci and Lucas numbers. Boston, Houghton Mifflin, 969. [3] Kuipers, L.; Niederreiter, H.: Uniform distribution of sequences. New Yor, John Wiley, 974. [4] Puchta, J.-C.: The number of -digit Fibonacci numbers. Fibonacci Quart , [5] Schwarz, W.; Spiler, J.: Arithmetical functions. Cambridge University Press, 994. [6] Wall, D.D.: Fibonacci series modulo m. Amer. Math. Monthly 67 96, Jürgen Spiler Albert-Ludwigs-Universität Mathematisches Institut Abt. Reine Mathemati Ecerstr. D 794 Freiburg, Deutschland Jürgen.Spiler@math.uni-freiburg.de