Vertiefte Grundlagen. R. J. Scherer 2. OG, Raum 204. TU Dresden - Institut für Bauinformatik

Transkript

1 Bauinformatik Vertiefte Grundlagen Petri Netze Prof. Dr.-Ing. Nürnberger Str. 31a R. J. Scherer 2. OG, Raum 204 1

2 Grundlagen der Petri Netz Theorie (1) Petri Netze sind ein in der Informatik weit verbreiteter Formalismus zur Modellierung, Analyse, Simulation von dynamischen Prozessen/Systemen mit nebenläufigen (parallelen) Teil Systemen. Sie wurden durch Carl Adam Petri (Diss. 1962), zur Beschreibung von Kontroll und Datenfluss, definiert. Anwendungen von Petri Netzen zur Modellierung von realen oder abstrakten Automaten und Maschinen kommunizierenden Prozessen in der Realität oder in Rechnern Verhalten von Hardware Komponenten Geschäftsabläufe Bauabläufe Spielpläne Kommunikation mit Automaten. Petri, C.A., Bonn: Institut für Instrumentelle Mathematik, Schriften des IIM Nr. 2,

3 Grundlagen der Petri Netz Theorie (2) Ein Petri Netz besteht aus Stellen und Transitionen (Übergängen). Stellen und Transitionen sind durch gerichtete Kanten verbunden. Ein Petri Netz ist ein bipartiter und gerichteter Graph Eine Stelle wird graphischalskreis dargestellt. Eine Stelle s modelliert immer eine passive Komponente; s kann Dinge lagern, speichern, sichtbar machen, sich in einem Zustand befinden. Eine Transition wird graphisch als Quadrat oder Rechteck dargestellt. Eine Transition t modelliert immer eine aktive Komponente; t kann Dinge erzeugen, verbrauchen, transportieren, verändern. S t Eine Kante wird graphisch als Pfeil dargestellt. Damit ist die Systemstruktur beschrieben. Später erweitern wir auf: Beschreibung des dynamischen Systems durch Ressourcen und Kapazitäten Beschreibung der Systemsteuerung 3

4 Grundlagen der Petri Netz Theorie (3) In Petri Netze e egb gibt es keine edirekten e Verbindungen eb zwischen zwei Stellen Se e oder zwei Transitionen. Ein Netz N = (S,T,Z,Q) ist folgendermaßen definiert (1) S S; endliche, nicht leere Menge von Stellen. (2) T T; endliche, nicht leere Menge von Transitionen. (3) S T = S, T disjunkte Mengen (4) Z SxT : Zielrelation, nicht leere Menge aller von s nach t gerichteten kanten, (s, (, t) v Z (5) Q TxS : Quellrelation, nicht leere Menge aller von t nach s gerichteten kanten, (t, s) v Q (6) F = Z Q: Flussrelationen, l Summe aller Kanten Die Stellen S sind die Systempunkte, die Transitionen repräsentieren die Systemeigenschaften (Analogie FEM: Elastizitäten der Finiten Elemente entspricht den Transitionen) 4

5 Grundlagen der Petri Netz Theorie (4) Eingabemenge (Vorbereich) und Ausgabemenge (Nachbereich) eines Transitions t : t = {s S (s,t) Z} ist der Vorbereich von t t = {s S (t,s) Q} ist der Nachbereich von t Ein Netz heißt schlicht, wenn keine zwei Stellen denselben Vor und Nachbereich haben x,y S: x = y x = y x = y Nicht schlicht Ein Netz N = (S,T, Z,Q ) ist Teilnetz des Netzes N = (S,T,F), wenn S S, T T und Z = Z (S x T ) Q = Q (T x S) S ) Randstelle Ein Petri netz P = (S, T, Z, Q) ist nebenbedingungsfrei, wenn gilt: Z Q = Nebenbedingung Randtransition 5

6 Die dynamische Sicht in PN (1) Ein Petri Netz hat bisher eine statische Struktur. Die dynamische Sicht von einem System kann durch die Marken betrachtet werden. Ein Tk Token (engl. für Zih Zeichen, Marke) beschreibt einen Zustand von einem passiven Element (Stelle) und wird graphisch als ein schwarzer Punkt dargestellt. Marken laufen durch das Petri Netz und beschreiben so das dynamische Verhalten des Systems. DurchMarkenwerdendieStellenmarkiertoderdemarkiert.DieMarkierung ist Belegung der Stellen mit Ressourcen und gibt den Zustand des Petri Netzes wieder. Ein markiertes Petri Netz ist somit ein Netz, bei dem mindestens eine stelle eine Marke enthält. Die Markierung kann: exogene Markierung (Vorgabe von außen) endogene Markierung (durch Weiterschalten der Anfangsmarkierungen) Eine Markierung M eines Systems ist eine Funktion M: S N 0, Sie ordnet jeder Stelle eine natürliche Zahl (Integer 0) zu. 6

7 Die dynamische Sicht in PN (2) Sind die Stellen von 1 bis n nummeriert, so kann man M als Folge angeben; M={M(s 1 ), M(s 2 ), M(s n )}; M(s i )istdiemarke Situation auf der Stelle s i,wobeis i ummarkiert, wenn M(s i )=0. a b c Status 0 M 0 = (2, 0, 0) M(a)=2 M(b)=0 M(c)=0 Status 1 M 1 = (1, 1, 0) M(a)=1 M(b)=1 M(c)=0 Status 2 M 2 = (0, 2, 0) M(a)=0 M(b)=2 M(c)=0 Status 3 M 3 = (1, 0, 1) M(a)=1 M(b)=0 M(c)=1 Status 4 M 4 = (0, 1, 1) M(a)=0 M(b)=1 M(c)=1 Status 5 M 5 = (0, 0, 2) M(a)=0 M(b)=0 M(c)=2 Eigentlich werden Marken in einem Petri Netz nicht bewegt, sondern sie werden erzeugt und entfernt! 7

8 Petri Netz Topologien (1) Entfernen von Marken Erzeugen von Marken Archivierung von Marken Reservoir für Marken Sequentialität mit erst a und dann b a b Nebenläufigkeit von zwei Transitionen a und b a b 8

9 Petri Netz Topologien (2) Parallelisierung UND a b die Alternative zwischen a und b XOR = Entweder Oder a b Schleife Synchronisation 9

10 Kapazitäten und Gewichte 1 Die maximale Anzahl von Marken, die auf einer Stelle liegen können, kann durch Angabe einer Kapazität am betreffenden Kreis (Stelle) notiert, begrenzt werden (falls keine Aufgabe ist die Aufnahmefähigkeit unbeschränkt). Den Pfeilen können Gewichte zugeordnet werden. Diese geben Gewichte an,wie viele Marken beim Schalten einer Transition von den Eingangsstellen entfernt und wie viele Marken den Ausgangsstellen hinzugefügt werden müssen. Wenn diese Angabe am Pfeil fehlt, so entspricht dies einem Flusspotential von 1. Vor dem Schaltvorgang Nach dem Schaltvorgang K=3 1 2 K=3 K=3 1 A) 3 3 K=4 2 K=4 t 1 K=6 K=4 2 K=4 t 2 1 K=3 K=6 Die Ziel und Quellrelation Gewichte geben damit die exakte Kapazität der Transition an. 10

11 Kapazitäten und Gewichte 2 B) K=10 K=3 K=4 1 t K=4 Das Schalten der Transition t ist nicht möglich, da die Kapazität dieser Stelle überschritten würde. Aus n Eingangs (Zielrelations ) Marken werden m Ausgangs (Quellrelations ) Marken erzeugt, n, m vn Beispiel: Betonarbeit (Stütze) Schalungselement Schalungselement 20 Bewehrungskorb t 1 geschalte und bewehrte Stütze 20 Bewehrungskorb t 1 geschalte und bewehrte Stütze 11

12 Schaltregel für Petri Netze (1) Eine Transitionen t ist aktiviert i t bzw. schaltbereit, falls sich in allen Eingangsstellen (Vorbereich) mindestens so viele Token befinden, wie die Transition Kapazitäten benötigt (Kosten verursacht) und alle Ausgangsstellen (Nachbereich) noch genug Kapazität haben, um die neuen Marken aufnehmen zu können. s 2 t s 2 4 s 1 t 1 aktiviert s 3 t 3 nicht aktiviert s 5 s 6 Das Schalten von t 1 entfernt diese Token aus dem Vorbereich pre(t) und legt neue Tk Token in jeder jd Stelle des Nachbereichs h post(t). () Eine Transition kann schalten : Wenn ausreichende Token in s1 ((pre(t1)), d.h. alle Vorbedingungen von t1 sind erfüllt und somit ist t1 aktiviert 12

13 Schaltregel für Petri Netze (2) Folgemarkierung : Vorbedingung von t1 ist jetzt nicht mehr erfüllt, dafür sind alle Nachbedingungen von t1 erfüllt und somit die Vorbedingungen von t2 und t3 aktiviert s 2 s 4 t 2 s 1 t 1 nicht mehr aktiviert s 3 aktiviert t 3 s 5 s 6 13

14 Schaltregel für Petri Netze (3) nicht mehr aktiviert s 2 s 4 t 2 s 1 t 1 nicht mehr aktiviert s 3 nicht mehr aktiviert Ergebnis Eine Transition heißt: tot, falls sie unter keiner Folgemarkierung aktiviert ist. aktivierbar, falls sie unter mindestens einer Folgemarkierung aktiviert ist. lebendig, falls sie in jeder erreichbaren Markierung aktivierbar ist. Ein Petri Netz heißt lebendig, wenn alle seine Transitionen lebendig sind. t 3 s 5 s 6 14

15 Inzidenzmatrix Die Inzidenzmatrix C eines espetri Netzes e eszeigt eg jeweils e an, wie sc sich de die Tokenzahl oe einer Stelle s i (dargestellt durch die Zeilen der Matrix) durch ein Schalten der Transition t j (Spalten der Matrix) vergrößert oder verringert. Sei N = (S, T, F) das Netz eines S/T Systems mit endlicher Stellen und Transitionenmenge S={s1,..., sm} T={t1,..., tn} Die Inzidenzmatrix C=(C ab ) mit av {1..m} und bv {1..n} ist dann wie folgt gegeben: C ab = W(t b, s a) falls (t b, s a) vf\f 1 Quellrelation W(s a, t b ) falls (s a, t b ) vf\f 1 Zielrelation W(t b, s a ) W(s a, t b ) falls (t b, s a ) vf F 1 Nebenbedingung 0 sonst keine Relation W = Gewicht F\F 1 (Differenz F minus F 1 ) bedeutet, dass keine Schlinge (Nebenbedingung) vorliegt 15

16 Inzidenzmatrix (Beispiel) Anmerkung: derstartkann in diesem Beispiel an beliebiger Stelle erfolgen. Alle Relationen sind einstellig t 1 s 1 t 2 s 3 2 s s 2 s 4 C 11 = W 11 = 1 C 12 = W 12 = 1 C 21 = W 21 = 1.. s 5 t 3 t 4 t 1 t 2 t 3 t 4 s C = s s s s Interpretation: jede spalte entspricht einem Vektor, der wiederum den Beitrag der jeweiligen Transition zu den Stellen angibt. 16

17 Erreichbarkeitsgraph Die Anfangsmarkierung wird M 0 bezeichnet und entspricht dem Start zustand eines markierten Petri Netzes. Ein System hat einen Endzustand erreicht, wenn es in diesem Zustand für immer verharren kann. Der Endzustand eines Systems entspricht in einem Systemnetz einer Endmarkierung. Die erreichbaren Markierungen eines Systemnetzes N kann man im Markierungsgraph (Erreichbarkeitsgraph) i k it h) von N zusammenstellen. tll Seine Knoten sind die erreichbaren Markierungen, seine Kanten sind die Transitionen, die Flussrelationen sind die Schritte zwischen den erreichbaren Markierungen von N Sei N = (S, T, Q, Z, M) mit S = {s 1,,s n }, T = {t 1,,t k }. Dann ist der Erreichbarkeitsgraph von N ein gerichteter Graph G=(V,E) mit V={v=(M(s 1 ),, M(s n )) s i v S, v Anfangsmarkierung M A von N oder Folgemarkierung von M A } E={(v i,v j ) t l v T, so dass durch Schalten von t i,v j direkte Folgemarkierung von v i ist} 17

18 Erreichbarkeitsgraph (Markierungsgraph) Erreichbarkeit: M2 erreichbar aus M1, wenn ein Pfad von M1 nach M2 im Markierungsgraphen existiert. Mit Hilfe der Erreichbarkeit können die statischen und dynamischen Zustände eines Netzes beschrieben werden. Statisch durch die Menge der Stellen die durch ein Token erreicht werden können und dynamisch durch bestimmte Markierungen die ausgehend von der Anfangsmarkierung erreicht werden können. S 1 T 1 Beispiel m 0 : (1, 0, 0) T 4 T 3 S 2 T 1 T 3 T 4 PN m 1 : (0, 1, 0) S 3 T 2 T S1 S 2 2 S 3 T 1 T 2 T 3 T 4 m2: (0, 0, 1) m S 1 Erreichbarkeitsgraph m S 2 m S 3 Inzidenzmatrix 18

19 Deadlock Als Deadlock werden Sub Netze Nt bezeichnet, in denen ki keine neuen Marken erzeugen werden können. Diese Sub Netze ist dann tot. Wenn der Deadlock dazu führt, dass das gesamte Netz tot ist, nennt man dies Verklemmung: ein System kann unerwünscht anhalten, weil das schalten einiger Transitionen zyklisch voneinander abhängt. Deadlock Freiheit: ein Netz ist Deadlock frei, wenn es unter keiner, ggf. indirekten, Folgemarkierung tot ist ein Netz ist tot, wenn es einen Zustand gibt, in dem alle Transitionen tot sind Das Netz ist unter allen möglichen Folgemarkierungen tot, da eine Stelle mit nicht mehr als einer Marke belegt werden kann. 19

20 Konflikt und Kontakt Konflikt: Mehrere aktivierte nicht nebenläufige Transitionen,, konkurrieren um die selbe Marke, d.h. es gibt nicht genug Marken (im Vorbereich) um alle Transitionen zu schalten. Lokales Problem. Welche Transition schaltet muss der Anwender entscheiden odereine eine Regel ist s 2 zuzuordnen. Kontakt: Die Ursache liegt hier im Nachbereich der Transitionen: mehrere Transitionen haben gemeinsame, kapazitätsbeschränkte Stelle. Nachbereich ist belegt 20

21 Arten von Petri Netze (1) Low Level Netze Marken voneinander nicht unterscheidbar (B/E) Bedingung Ereignis Netze Jede Stelle kann entweder genau eine oder keine Marke enthalten (boolesche Bedingung). Transitionen modellieren Ereignisse. Kantengewichtung auf 1 beschränkt. Eine Transition t kann schalten, wenn jede Eingabestelle von t eine Marke enthält und wenn jede Ausgabestelle von t leer ist. Shl Schaltet eine Transition, i dann werden alle Marken von den Eingabestellen entfernt und alle Ausgabestellen mit einer Marke besetzt. 21

22 Arten von Petri Netze (2) (S/T) Stellen Transitions Netze Mehrere Marken pro Stelle möglich. Stellen Kapazitäten (für jede Stelle wird eine Kapazität festgelegt, andernfalls unendliche Kapazität angenommen). Kanten Gewichtungen (für jede Kante wird ein Gewicht festgelegt, andernfalls wird Gewicht von 1 angenommen). Es müssen nicht mehr notwendigerweise alle Marken von den Eingabestellen beim Schalten entfernt werden. 22

23 Arten von Petri Netze (3) High LevelNetze ee et e Es gibt unterschiedliche Marken Kante kann mit Variable oder Funktion gewichtet werden High Level Netze ergeben ein kleineres Netz als Low Level Netze für gleiches System. Hierarchische Petri Netze Verfeinerung von Teil Prozessen in separaten Petri Netzen Regeln zur Konisitenzerhaltung (TPN) Zeitbewertete Netze S 1 (t=2) t=3 T(t=2) t=7 S 3 (t=4) Marken erhalten Zeitbewertung t=5 t=6 S 1 (t=3) S 4 (t=1) BeiFlussvonMarken(Objekten)werdendiesezeitverzögertbeiden Ausgangsplätzen dertransitionen verfügbarsein 23

24 Arten von Petri Netze (4) Nur verfügbare Marken können verwendet werden. Anfangsmarkierungen gelten stets als verfügbar. Zeitbehaftete Petri Netze sind als Modellierungskonzept für die diskrete ereignisorientierte Simulation gut einsetzbar Prädikat/Transitions Netze Statt anonymen, schwarzen Marken werden individuelle Marken benutzt. Eindeutige Identifikation von Objekten und somit vollständige Modellierung komplexer Abläufe möglich Man kann die Erzeugung einzelner Marke durch das Netz verfolgen. 24

25 B/E Netz Beispiel: Arbeitskette_Bagger_LKW Die Anfangsmarkierung _Schritt 1 Das Ereignis Laden beginnt kann erst schalten, wenn sowohl der Bagger als auch der LKW in Warteposition sind. aus: Franz, Diss

26 B/E Netz Beispiel: Arbeitskette_Bagger_LKW Die Anfangsmarkierung _Schritt 1 Schritt 2 Nach dem Schalten liegt der Zustand Bagger füllt LKW vor, und die Zustände Bagger wartet und LKW wartet sind demarkiert. aus: Franz, Diss

27 B/E Netz Beispiel: Arbeitskette_Bagger_LKW Die Anfangsmarkierung _Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Sobald das Ereignis LKW voll eintritt, geht der Bagger wieder in den Wartezustand, und es liegt der Zustand LKW transportiert Erde vor. aus: Franz, Diss

28 B/E Netz Beispiel: Arbeitskette_Bagger_LKW Die Anfangsmarkierung _Schritt 1 Schritt 2 Schritt 4 Schritt 3 Der Zustand LKW wartet beginnt erneut, sobald das Ereignis LKW zurück eingetreten ist. aus: Franz, Diss

29 S/T Netz Beispiel: Arbeitskette_Bagger_ 3 LKW K=1 1 K= K=1 1 1 K=3 K3 K=

30 Höhere Petri Netze Hierarchische Petri Netze Zeitbewertete Petri Netze Prädikat/Transitions Netze Stochastische Petri Netze Gefärbte Netze 30

31 Hierarchische Petri Netze (1) Größere Petri Netze können in mehrere Teilnetze untergliedert und hierarchisch verknüpft werden. Es entstehen übersichtlichere, kleine Netzeinheiten, die leichter zu analysieren sind. Außerdem ist die Realisierung i entsprechender Softwaremoduleeinfacher. f Die Analyse des Gesamtnetzes kann dann auf die Analyse mehrerer kleinerer Teilsysteme zurückgeführt werden. Die Zahl der in der Gesamtsumme zu untersuchenden Systemzustände wird erheblich reduziert. Vorteile der Hierarchie: übersichtlicher (Graphik) Unterstützung des Top Down Entwurfs Bildung wiederverwendbarer Module ReduzierungderKomplexität der durchkleinere Einheiten Berücksichtigung hybrider Realisierungsformen 31

32 Hierarchische Petri Netze (2) Komplementstellen verhindern, dass die Eingangstransition erneut schaltet, hl bevor die Ausgangstransition geschaltet hat. Dadurch wird erreicht, dass das Teilnetz das Verhalten einer Transition hat. (Steuerung) 32

33 Hierarchische Petri Netze (3) Bei der Hierarchiebildung sind Regeln zur Erhaltung der Konsistenz des Modells zu beachten: Zwischen Baumknoten auf tieferer Ebene dürfen keine neuen Pfeile gezogen werden, d. h. zusätzliche Pfeile können nur innerhalb eines Baumknotens zwischen Stellen und Transitionen eingefügt werden. Pfeile, die von einem Unternetz weg oder zu ihm hinführen, müssen bereits vor der Verfeinerung vorhanden sein; die vorgegebenen Richtungen müssen berücksichtigt werden. Eine Verfeinerung muss markengetreu erfolgen, d. h. sie soll gleich viele Marken abgeben, wie sie verbraucht. Die obere Netzebene bei hierarchischen Petri Netzen wird auch Kanal Instanzen Netz bezeichnet. eine Stelle wird als Kanal interpretiert. eine Transition wird als Instanz interpretiert Instanzen kommunizieren über Kanäle. 33

34 Hierarchische Petri Netze (4) Zu besseren Strukturierung und Übersichtlichkeit sind sowohl die Stellen als auch die Transitionen verfeinerbar. Die Verfeinerung muss Kanten und Marken treu sein. Kanal Instanzen Netz 34

35 Zeitbewertete Petri Netze Die bisher betrachteten PN arbeiten ohne Zeitbegriff, d. h. alle Transitionen werden zum gleichen Zeitpunkt abgearbeitet, an dem die dafür erforderlichen Bedingungen erfüllt sind. Zur Untersuchung der Leistungsfähigkeit oder zur Simulation eines Systems muss jedoch oft die Dauer einer Aktion oder eines Ereignisses festgelegt werden. Zeitintervalle können in den Stellen, in den Transitionen oder an der Kante festgelegt werden. Die Marken müssen aber jeweils auf den Stellen verharren: Schalten dertransitionen dauertzeit (Zeitverzögerung) die Transition kann erst fünf Zeiteinheiten nach dem Eintreffen der Marke in der Eingangsstelle feuern 5 (Übergangzeit) Bei Erzeugung von Marken (Objekten) werden diese zeitverzögert bei den Ausgangsplätzen der Transitionen verfügbar sein. Die Marken müssen daher eine bestimmte Zeitdauer (t>0) auf einer Stelle bleiben, bevor sie von einer Transition verbraucht werden können. eine Marke steht erst nach einer Verzögerung von fünff Zitihit Zeiteinheiten zur Verfügung (Verweilzeit) it) 5 35

36 Zeitbewertete Petri Netze Die Zeitnotation an der Kante im Nachbereich einer Transition stellt eine Liegezeit der Marke in der nachfolgenden Stelle dar. 30 Es wichtig zu verstehen, dass der Prozess während dieser Verzögerungszeit im Fortschritt ist; diese Zeit stellt z.b. die Dauer dar, die die Ausführung einer bestimmten realen Aufgabe benötigt Beton Betonieren Betonfundament Bauarbeiter 2 36

37 Zeitbewertete Petri Netze Zitb Zeitbewertungt der Transitionen erfolgt tdurchschaltintervalle t ll [α, β], 0 α β; α, β v Q + α wird als earliest firing time (eft), β als latest firing time (lft) verstanden. Z = [N, eft, lft] ist Zeit Netz U:T Q + { *} heißt Uhrenstellung von Z bei der Markierung m; U(t) = * bedeutet dabei, dass die Uhr der Transition abgeschaltet ist z = [m, u] ist ein Zustand von Z; m ist eine Markierung von P, u ist Uhrenstellung von Z bei m Anfangszustand z 0 := [m 0, u 0]; t T : u (t) := 0-0f falls t m * sonst 0 die Transition t heißt schaltbar in Zustand z, wenn t < m und u(t) eft(t) ist zum Schalten können Transitionen eine bestimmte zeit benötigen ( v Q + ) eine Transition kann nur schalten, wenn eft(t) u(t) lft(t) - τ τ τ 37

38 Zeitbewertete Petri Netze Zeitbedingungen sind nicht nur Frühester Zeitpunkt bzw. Spätester Zeitpunkt, aber können auch: Mindestdauer Höchstdauer Exakter Zeitpunkt Exakte Dauer etc. Sein Zeitbehaftete Petri Netze lassen sich untergliedern in Zitttibti Zeitattributiertet Nt Netze: mit deterministischem Zeitverbrauch Stochastische Petri Netze: mit stochastischem Zeitverbrauch Zeitpunkte und Zeitintervalle in Netzen können auch mit Zufalls Verteilungsfunktionen versehen werden. 38

39 Zeitbewertete PN: Zeitattributierte Petri Netze Die Marken, die durch das Shlt Schalten erzeugt werden, bekommen neben einem Wert einen (internen) Zeitstempel Der Zeitstempel zeigt den frühest möglichen Zeitpunkt an (Freigabe Zeitpunkt), ab dem die Marken zur Verfügung steht. Der Freigabe Zeitpunkt ergibt sich aus dem Zeitpunkt des Schaltens plus Verzögerung die Verzögerung wird durch die schaltende Transition bestimmt und ist feststehend Der Freigabe Zeitpunkt kann somit gleich (Verzögerung gleich Null) oder später sein als der Zeitpunkt des Schaltens. Das Schalten selbst verbraucht keine Zeit Eine Transition kann nur schalten, wenn jede benötigte Marken einen Zeitstempel hat, der gleich oder früher der aktuellen Zeit ist Die Transition mit dem frühesten Freigabe Zeitpunkt schaltet zuerst Gibt es mehrere Transitionen mit dem gleichen Freigabe Zeitpunkt, wird eine nicht deterministische Entscheidung getroffen Die Marken werden beim Schalten nach der FIFO Regel verbraucht 39

40 Zeitattributierte Petri Netze: Beispiel T = 0 Anfangsmarkierung

41 Zeitattributierte Petri Netze: Beispiel T =

42 Zeitattributierte Petri Netze: Beispiel T =

43 Zeitattributierte Petri Netze: Beispiel T =

44 Zeitattributierte Petri Netze: Beispiel T =

45 Zeitattributierte Petri Netze: Beispiel T = Ergebnis: Bagger wartet 50 LKW wartet 0 50 Alternative: derbagger soll 0 warten Wie erfüllbar? mit 2 LKW mit 3 LKW.. 45

46 Zeitbewertete PN: Stochastische Petri Netze Ein stochastisches ti h Pti Petrinetzt it ist ein Pti Petrinetzt SPN = (S, T, Z, Q, M0, R) mit S, T, Z, Q und M0 wie bereits eingeführt R = {r 1,r 2,...,r m }. R ist die Menge der Schaltraten, wobei : r i ist die statistische Verteilung der zur Transition t i gehörenden Schaltrate darstellt. Jd Jeder Transition wird ideine zufällige, Verzögerungszeit entsprechend ihrer statistischen Verteilung, erzeugt durch einen Zufallsgenerator, zugewiesen Die Schalt bzw. Verzögerungszeit einer Transition (Zeit zwischen Aktivieren und Feuern) ist eine Zufallsvariable Die häufigste verwendete Verteilungsfunktion Verteilung ist die Exponentiell 46

47 Zeitbewertete PN: Stochastische Petri Netze Aktiviert eine Markierung mehrere Transitionen, dann feuert die mit der (stochastisch ermittelten) kürzesten Verzögerungszeit als erste Stochastische Petri Netze besitzen (ausschließlich) zeitbehaftete Transitionen Jeder Auswertung eines PN mit einem Satz zufällig erzeugter Verzögerungszeiten stellt eine Beobachtung (Fallbeispiel) dar. Werden viele Fallbeispiele ausgewertet, so kann für die Ergebniswerte wieder eine statistische Verteilungsfunktion ermittelt werden. Dieses Vorgehen bezeichnet man als Monte Carlo Simulation (jedes Fallbeispiel ist wie ein neues Spiel am Spieltisch in Monte Carlo). 47

48 Zeitbewertete PN: Stochastische Petri Netze Generalisierte e se e stochastische sc Petri Netze e e besitzen e auch einige zeitlose Transitionen. Diese Transitionen schalten ohne Verzögerung, sobald sie schaltbereit sind schalten bevorzugt vor zeitbehafteten Transitionen, d.h. haben eine höhere Priorität Aus einem Petri Netz gewinnt man ein stochastisches Petri Netz, wenn man für die Transitionen zufällig verteilte Schaltzeiten vorsieht (zeitbehaftete Transitionen). Solche Transitionen werden oftdurchdicke Balken dargestellt. Zeitbehaftet Übergangsrate direkt, zeitlos Für die Schalt oder Verzögerungszeit einer Transition, d.h. die Zeit, die zwischen Aktivieren und Feuern der Transition verstreicht, wird meistens eine (negativ) exponentiell verteilte Zufallsvariable angenommen. 48

49 Zeitbewertete PN: Stochastische Petri Netze: Beispiel F(x) Stochastisch h Deterministisch x Stochastisch F(x) Deterministisch x 49

50 Prädikat/Transitions Netze Jeder Token erhält einen Wert. die informationstragenden Marken werden durch ihren Wert, z.b. durcheine Zahl repräsentiert. der Datenwert kann dabei auch ein willkürlich komplexer Typ sein, z. B. ein Datensatz, bei dem das erste Feld eine reelle Zahl, das zweite Feld eine Liste von Integer Werten und das dritte Feld ein String ist. Im oberen Teil der Transition wird die Schaltbedingung angegeben. Transitionen i können nur noch beim Vorliegen (einer Kombination) i bestimmter Marken schalten. Die Transition kann dabei nur für die Marken schalten, für die die Schaltbedingung erfüllt ist Im unteren Teil der Transition wird die Schaltwirkung angegeben. der Ausdruck definiert die Anzahl der Token, die verbraucht/erzeugt werden sowie auch die Zusammenstellung der Token nach Werten der Ausdruck besteht somit aus Variablen, die an verschiedene Werte gebundenwerden können 50

51 Prädikat/Transitions Netze Die Art der durch eine Transition erzeugten Token ist abhängig vom Wert der dabei verbrauchten Token, ebenso die Anzahl der erzeugten Token Die Werte der Input Token beeinflussen somit die Wirkung der Transition Die Kantengewichte geben an, welche Informationen entzogen bzw. erzeugt werden. Eine Art der graphischen Darstellung einer Markierung: jedertoken wird durch seinen Wert in der Stelle dargestellt Schaltbedingung 17 x 3 x + 2 = y z 1 z = 2 x + 3 y 8 y 10 Schaltwirkung 5 17 x y x + 2 = y z = 2 x + 3 y z 46 51

52 Prädikat/Transitions Netze Itd Ist das Shlt Schalten nicht ihtvon bestimmten t Marken abhängig, dann entfällt die Schaltbedingung. Werden Marken durch die Transition nicht verändert, sondern lediglich von Eingangs an die Ausgangsstellen weitergegeben, dann entfällt die Schaltwirkung. Eine andere Art der Darstellung von Petri Netzen mit individuellen Marken sind gefärbte Petri Netze Der größte Unterschied zu Pr/T Netzen besteht in den Methoden zur Berechnung und Interpretation der Stellen und Transitions Invarianten Gfäbt Gefärbte PtiNt Petri Netze können somit als leicht abgewandelter Form der Pr/T Netze angesehen werden 52

53 Prädikat/Transitions Netze: Beispiel 1 Händler bereit Käufer bereit A B C D E ShltM X X Y Y Schalt Modi X=A Y=C (Y! = E) V (X==A) X X Y Y X=A XA Y=D YD X=A Y=E X=B Y=C X=B Y=D Händler mit Geld Käufer mit Ware 53

54 Prädikat/Transitions Netze: Beispiel 2 Bereich Aufgabe Mitarbeiter Aufgabe B1 A1 M1 A1, A2 B2 A2, A4 M2 A3, A5 B3 A3, A5 M3 A4 Bereich z.b. Bereich Mitarbeiter Aufgebe B1 M1 A1 (B1, A1) (B2, A2, A4) (B3, A3, A5) B i, A j Beginne Bearbeitung A j = A m (M1, A1, A2) (M2, A3, A5) M k, A m In Bearbeitung Beende Bearbeitung (M3, A4) Mitarbeiter 54

55 Gefärbte Netze Es gibt jetzt individuelle, sogenannte gefärbte Marken (Farbe entspricht Datentyp). Die Transition können in verschiedenen Modi schalten. Wird die Anonymität der Marken aufgegeben, gg sondern arbeitet man mit unterschiedlichen Typen und individuellen Objekten, so kommt man zum mächtigen Modellierungskonzept der Netze mit individuellen Marken So kann man die Erzeugung einzelner Marken durch den Prozess verfolgen. Stellen speichern Multimengen (Stellen als Behälter für Mengen unterscheidbarer Objekte ) 55

56 Vereinfachte PN Darstellung mittels gefärbter Petri Netze Links Rechts Schaltung Steuerungs Stelle S/TPetri Netz gefärbtes Petri Netz 56

57 Petri Netze: Vorteile Nicht nur grafische sondern auch mathematische formale Modellierungssprache Mathematisch, formale Analyse auf der Basis von Graphentheorie und linearer Algebra Vollständige und konsistente Beschreibung des ungesteuerten Prozesses und der dazugehörenden Steuerung. Verschiedene Software Tools zur Modellierung verfügbar Netzeigenschaften wie Terminierung, Lebendigkeit, Deadlock Freiheit können durch Werkzeuge überprüft werden. Simulationund Animation (Testmöglichkeit it bereits während Entwurfsphase) Nebenläufigkeit ist modellierbar Eigenschaften wie Sicherheit und Lebendigkeit können bei den einfachen Petri Netzen durch die Analyse des Erreichbarkeitsgraphen gelöst werden. 57

58 Petri Netze: Nachteile Komplexe Modelle werden schnell zu groß und unübersichtlich Petri Netze besitzen eine statische Struktur Eine komplette Erreichbarkeitsanalyse, d.h. eine Untersuchung aller möglicher Systemzustände ausgehend von allen denkbaren Ausgangs Markierungen, verlangt häufig einen immensen Rechenaufwand, der sich, je nach Umfang und Komplexität des modellierten Systems trotz des Einsatzes von (Groß ) Rechenanlagen über mehrere Tage erstrecken kann. Ein wesentliches Merkmal von Petri Netzen ist ihre Lokalitätseigenschaft, d.h. die Ausführung einer Aktivität ki iä / das Feuern einer Transition ii wird idnur beeinflusst von ihrer direkten Umgebung und beeinflusst auch nur diese. 58