Nematische Ordnung von Elektronen in Festkörpern Nematic order of electrons in solids

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1 Nematische Ordnung von Elektronen in Festkörpern Nematic order of electrons in solids Metzner, Walter Max-Planck-Institut für Festkörperforschung, Stuttgart Korrespondierender Autor Zusammenfassung Theoretische Überlegungen haben ergeben, dass Leitungselektronen in metallischen Festkörpern unter geeigneten Umständen einen geordneten Zustand mit einer Vorzugsrichtung für die Bewegung der Elektronen annehmen können. Bei dieser nematischen Ordnung wird eine Orientierungssymmetrie des zugrunde liegenden Kristalls spontan gebrochen, nicht aber die Translationsinvarianz. Nematische Ordnung von Elektronen wurde inzwischen in zwei verschiedenen Übergangsmetalloxiden beobachtet, darunter ein Hochtemperatur-Supraleiter. Summary Theoretical considerations indicated that, under suitable circumstances, conduction electrons in metallic solids may assume an ordered state with a preferred direction for the electron motion. This nematic order breaks an orientational symmetry of the underlying crystal, but not the translation invariance. Nematic order of electrons has now been observed in a high temperature superconductor and another transition metal oxide compound. Einleitung Spontane Symmetriebrechung ist ein allgegenwärtiges Phänomen in der Natur. Unter spontaner Symmetriebrechung versteht man die Bildung geordneter Zustände in Systemen mit vielen Teilchen, die eine Symmetrie der zugrunde liegenden Naturgesetze verletzen. Klassische Beispiele in der Physik kondensierter Materie sind die Kristallordnung in Festkörpern, die die kontinuierliche Translationssymmetrie des Raumes auf die diskrete Translationsinvarianz im Kristallgitter reduziert, oder Ferromagnetismus, wo die Spins (innere Drehimpulse) der Elektronen kollektiv ausgerichtet sind, obwohl die Zustandsgleichung der Spins keine Vorzugsrichtung aufweist. Auch die Bosekondensation in flüssigem Helium oder in ultrakalten atomaren Gasen und Supraleitung in Metallen geht mit einer spontanen Symmetriebrechung einher, die allerdings weniger anschaulich ist als die in Kristallen und Magneten. Spontane Symmetriebrechung setzt stets hinreichend tiefe Temperaturen voraus, da sonst die mit der Bildung des geordneten Zustands verbundene Energieabsenkung durch den Verlust an Entropie zunichte gemacht wird. Die jeweilige kritische Temperatur hängt von den für die Ordnung relevanten Energieskalen ab. Die Schmelztemperatur von Kristallen kann mehrere 1000 Grad Celsius betragen, kritische Temperaturen für Supraleitung erreichen nach derzeitigem Stand bis zu 150 Kelvin 2011 Max-Planck-Gesellschaft 1/7

2 (Temperatur bezogen auf den absoluten Nullpunkt), und die für Bosekondensation in atomaren Gasen liegt im Submikrokelvinbereich. Besondere Formen spontaner Symmetriebrechung sind seit geraumer Zeit bekannt in Flüssigkristallen, die dank ihrer Anwendungen in Displays und Flachbildschirmen von großer technischer Bedeutung sind. Flüssigkristalle enthalten eine Vielzahl stäbchenförmiger Moleküle. In der sogenannten nematischen Phase ordnen sich die Moleküle entlang einer Vorzugsrichtung, ohne dabei die Translationsinvarianz zu brechen. Seit etwa einem Jahrzehnt werden elektronische nematische Zustände in metallischen Festkörpern unter Theoretikern diskutiert [1]. In diesen Zuständen tritt eine Ladungsordnung mit einer Vorzugsrichtung für die Bewegung der Leitungselektronen auf, die eine Invarianz des zugrunde liegenden Kristalls bezüglich räumlicher Drehungen oder Spiegelungen spontan bricht. In den letzten Jahren häuften sich die Anzeichen für die tatsächliche Existenz nematischer Elektronenzustände in verschiedenen Übergangsmetalloxiden, darunter nicht zuletzt der bekannte Hochtemperatur-Supraleiter Yttrium-Barium-Kupferoxid. Pomeranchuk-Instabilität und nematische Ordnung Leitungselektronen in Metallen sind nicht an Atomrümpfe gebunden sondern bewegen sich durch den ganzen Kristall. Bei Vernachlässigung der Coulomb-Wechselwirkung zwischen den Elektronen und der Streuung an Gitterschwingungen haben sie einen erhaltenen Kristallimpuls k, der im Gegensatz zum üblichen Impuls (im freien Raum) auf ein endliches Gebiet, die sogenannte Brillouinzone beschränkt ist. Die Energie der Elektronen ε k ist eine stetige Funktion dieses Kristallimpulses. Im Grundzustand besetzen die Elektronen Impulszustände mit möglichst geringer Energie, und füllen diese unter Berücksichtigung des Pauli'schen Ausschlussprinzips von unten bis zur Fermi-Energie ε F auf. Die besetzten Zustände mit ε k ε F nennt man den Fermi-See, die Grenze zwischen besetzten und unbesetzten Zuständen im Impulsraum die Fermi-Fläche. Die Wechselwirkung zwischen den Leitungselektronen führt zu Streuprozessen mit Impulsüberträgen zwischen den beteiligten Elektronen. In seiner berühmten Fermi-Flüssigkeitstheorie zeigte der russische Physiker Lev Landau in den 1950er-Jahren, dass sich die wichtigsten elektronischen Eigenschaften von Metallen durch sogenannte Quasi-Teilchen beschreiben lassen, die wie nicht-wechselwirkende Elektronen einen erhaltenen Kristallimpuls tragen und eine Fermi-Fläche bilden. Quasi-Teilchen unterliegen aber einer nicht-streuenden impulsabhängigen Restwechselwirkung f kk', wobei k und k' die (jeweils erhaltenen) Impulse der wechselwirkenden Teilchen sind. Diese Restwechselwirkung beeinflusst wichtige Eigenschaften wie die Kompressibilität oder die magnetische Suszeptibilität des Metalls. Landaus Schüler Pomeranchuk stellte 1958 Kriterien für die Restwechselwirkung f kk' auf, die diese erfüllen muss, damit die Fermifläche des Systems gegenüber spontanen Deformationen stabil ist [2] Max-Planck-Gesellschaft 2/7

3 A bb. 1: Ferm i-fläche (schwarze Linien) in der zweidim ensionalen Brillouinzone für Elektronen auf einem Quadratgitter. Die Im pulskom ponenten k x und k y können jeweils Werte zwischen π/a und π/a annehm en, wobei a der Abstand der Atom e im Quadratgitter ist. Es liegen natürliche Einheiten m it ħ = 1 zugrunde, so dass Im puls = Wellenzahl. Ebenfalls eingezeichnet sind zwei Beispiele für die Restwechselwirkung f kk zwischen Quasi-Teilchen (rote Punkte), einm al repulsiv, einm al attraktiv. Die Fermiflüssigkeitstheorie und insbesondere Pomeranchuks Stabilitätskriterium waren ursprünglich im Hinblick auf dreidimensionale Metalle sowie auch für flüssiges 3 He (ein seltenes Helium-Isotop mit nur einem Neutron) formuliert worden. Mit der Entdeckung der Hochtemperatur-Supraleiter und anderer interessanter Verbindungen mit ausgeprägter Schichtstruktur rückten zweidimensionale metallische Systeme ins Zentrum des Interesses. In den Kuprat-Supraleitern wie auch in den jüngst entdeckten Eisen-Arsenid-Supraleitern bewegen sich die Leitungselektronen in erster Linie in zweidimensionalen Schichten und deutlich seltener zwischen den Schichten. Die Kristallstruktur in den Schichten bildet (zumindest in guter Näherung) ein Quadratgitter. Die zweidimensionale Projektion der Fermi-Flächen von Kuprat-Supraleitern hat in etwa die Form wie in Abbildung 1, die der Eisen-Arsenid-Supraleiter hingegen ist komplizierter und hat mehrere Komponenten. Rechnungen an mikroskopischen Modellen für Kuprat-Supraleiter haben ergeben [3, 4], dass die Restwechselwirkung zwischen den Leitungselektronen in den Kupferoxid-Ebenen einen Beitrag der Form f kk' = g d k d k' enthält. Hierbei ist g eine Kopplungskonstante und d k ein Formfaktor, der bei 90 -Drehungen des Imp u ls e s k = (k x,k y ) in der Ebene sein Vorzeichen wechselt, wie zum Beispiel die Funktion d k = cos(k x ) cos(k y ). Die Wechselwirkung f kk' hat unterschiedliche Vorzeichen, die vom Winkel zwischen den wechselwirkenden Elektronen abhängen (Abb. 1). Ist sie hinreichend stark, kann sie eine Pomeranchuk- Instabilität hervorrufen. Das System unterliegt dann einer spontanen Symmetriebrechung, bei der die Äquivalenz von x- und y-richtung aufgehoben wird [3, 4]. Dies äußert sich unter anderem darin, dass sich die Fermi-Fläche in einer Richtung ausdehnt und in der anderen zurückzieht (siehe Abb. 2). In Analogie zur Terminologie in Flüssigkristallen bezeichnet man den Zustand mit gebrochener Orientierungssymmetrie als 2011 Max-Planck-Gesellschaft 3/7

4 nematisch. A bb. 2: Sym m etriebrechende Deform ation der Ferm i-fläche aufgrund einer Pom eranchuk-instabilität in einem zweidim ensionalen Elektronensystem. Die schwarze Linie stellt die (sym m etrische) Ferm i-fläche des nicht-wechselwirkenden System s dar, die rote Linie die durch die Wechselwirkung deform ierte Ferm i-fläche. In stark korrelierten Elektronensystemen ist die Bildung nematischer Zustände auch durch teilweises Schmelzen geordneter Domänenstrukturen denkbar [5]. Ausgangspunkt ist hierbei ein antiferromagnetisch geordneter Mott-Isolator, in dem die Elektronen aufgrund ihrer starken gegenseitigen Abstoßung im Ortsraum lokalisiert sind, wobei sich die Spins benachbarter Elektronen antiparallel einstellen. Verringert man die Zahl der Elektronen, so sammeln sich die dabei entstehenden Löcher unter Umständen in Form eindimensionaler Linien, die damit Grenzen zwischen antiferromagnetischen Domänen bilden. Das System ordnet sich dann in Streifen aus antiferromagnetischen Domänen und eindimensionalen Lochlinien [6], zum Beispiel wie in Abbildung 3. Diese Ordnung bricht sowohl die Orientierungs- als auch die Translationssymmetrie des zugrunde liegenden Kristalls. Bringen thermische Fluktuationen oder Quantenfluktuationen diese Ordnung teilweise zum Schmelzen, indem sie lediglich die Translationssymmetrie wiederherstellen, dann entsteht auf diesem Weg ein nematischer Zustand mit fluktuierenden Streifen Max-Planck-Gesellschaft 4/7

5 A bb. 3: Streifenordnung von Löchern in einem antiferrom agnetischen Mott-Isolator auf einem Quadratgitter. Die blauen Kreise stehen für Elektronen, deren Spins (Pfeile) in den antiferrom agnetischen Dom änen alternierend ausgerichtet sind. Die Spins der Elektronen zwischen den Dom änen haben keine Vorzugsrichtung. Die schwarzen Punkte bezeichnen leere Gitterplätze, also Löcher. Überzeugende experimentelle Hinweise auf elektronische nematische Ordnung wurden bislang in zwei Materialien mit stark korrelierten Elektronen beobachtet, beides Übergangsmetalloxide mit ausgeprägter Schichtstruktur. In der metallischen Verbindung Sr 3 Ru 2 O 7 wurde bei Anlegen eines starken Magnetfeldes ein Phasenübergang bei sehr tiefen Temperaturen (1 Grad über dem absoluten Nullpunkt) beobachtet, der in einer Vielzahl unterschiedlicher Messungen als Übergang in eine nematische Phase charakterisiert wurde [7]. Im Hochtemperatur-Supraleiter Yttrium-Barium-Kupferoxid (kurz YBCO) hat man in mehreren Messgrößen das Auftreten nematischer Ordnung unterhalb einer dotierungsabhängigen Temperatur im Bereich hundert bis einige hundert Kelvin beobachtet. Die Verbindung YBCO hat orthorhombische Struktur und enthält neben den Kupferoxid-Ebenen auch Kupferoxid-Ketten, sodass die Struktur keine Orientierungssymmetrie (äquivalente Achsen) aufweist. Allerdings bilden die für die elektronischen Eigenschaften entscheidenden Kupferoxid- Ebenen dennoch ein Quadratgitter mit minimaler Anisotropie zwischen x- u n d y-richtung. Mithilfe von Neutronenstreuung kann man Eigenschaften der Elektronen in den Ebenen (unabhängig von den Ketten) spektroskopisch untersuchen. Dabei zeigte sich, dass das Anregungsspektrum der Elektronen bei hinreichend tiefen Temperaturen eine starke räumliche Anisotropie (Abb. 4) wie in einer nematischen Phase aufbaut [8]. Wegen der Temperaturabhängigkeit und aus anderen theoretischen Überlegungen wird vermutet, dass diese Anisotropie in erster Linie durch Wechselwirkungseffekte verursacht wird, und dass die schwache strukturelle Anisotropie der Ebenen lediglich für eine makroskopische Vorzugsrichtung sorgt, also eine Aufteilung in Domänen mit unterschiedlicher Orientierung verhindert Max-Planck-Gesellschaft 5/7

6 A bb. 4: Spektrales Gewicht m agnetischer elektronischer Anregungen in den Kupferoxid-Ebenen des Hochtem peratur- Supraleiters YBa 2 Cu 3 O 6.85, gewonnen aus Neutronenstreudaten. Das Quadrat stellt einen Ausschnitt aus dem zweidim ensionalen Im pulsraum dar. Die Anregungsenergie wurde bei 35 m ev fixiert. Die Farbkodierung spiegelt die gem essene Intensität wider (schwarz: hohe, gelb: m ittlere, blau: geringe Intensität). Die Brechung der Quadratgitter-Sym m etrie ist deutlich zu erkennen. Nematische Fluktuationen und Nicht-Fermiflüssigkeit Der Phasenübergang zwischen normal-metallischer und nematischer Phase kann erster Ordnung (sprunghaft) oder zweiter Ordnung (kontinuierlich) sein. In Sr 3 Ru 2 O 7 besteht die Phasengrenzlinie im durch Magnetfeld und Temperatur aufgespannten Phasendiagramm aus Linien erster Ordnung bei tieferen Temperaturen, und einer Linie zweiter Ordnung bei höheren Temperaturen [7]. In YBCO ist die Ordnung des Übergangs unklar, unter anderem da die schwache strukturelle Anisotropie und eventuell auch Unordnung den idealisierten Phasenübergang zu einem cros s over verbreitert. Aus theoretischer Sicht ist ein kontinuierlicher Phasenübergang wegen der damit verbundenen kritischen Fluktuationen interessanter. Molekularfeldtheorien zur Pomeranchuk-Instabilität ergeben in der Regel Übergänge erster Ordnung bei tiefen Temperaturen, aber (nicht-kritische) Fluktuationen können einen kontinuierlichen Übergang selbst am absoluten Nullpunkt der Temperatur herbeiführen, der dann von kritischen Quantenfluktuationen begleitet wird [9]. In der Nähe eines kontinuierlichen nematischen Übergangs treten kritische nematische Fluktuationen auf, das heißt große aber ständig schwankende Bereiche mit nematischer Ordnung. Die Streuung von Elektronen an diesen Fluktuationen ist stärker als die übliche von der Coulomb-Wechselwirkung verursachte Streuung. Sie verhindert die Stabilisierung von nicht-streuenden Quasi-Teilchen und entzieht damit der Fermi- Flüssigkeitstheorie ihre Grundlage [10]. An die Stelle der Fermi-Flüssigkeit tritt eine (in etwas phantasielosem Jargon) sogenannte Nicht-Fermiflüssigkeit mit ungewöhnlichem Verhalten verschiedener Messgrößen wie Anregungsspektren und Leitfähigkeiten. Die berechneten Eigenschaften ähneln in vieler Hinsicht dem 2011 Max-Planck-Gesellschaft 6/7

7 Anregungsspektren und Leitfähigkeiten. Die berechneten Eigenschaften ähneln in vieler Hinsicht dem rätselhaften Verhalten von Hochtemperatur-Supraleitern bei Temperaturen oberhalb der Sprungtemperatur. [1] E. Fradkin, S. A. Kivelson, M. J. Lawler, J. P. Eisenstein, A. P. Mackenzie: Nematic Fermi fluids in condensed matter physics. Annual Review of Condensed Matter Physics 1, (2010). [2] I. J. Pomeranchuk: On the stability of a Fermi liquid. Journal of Experimental and Theoretical Physics (USSR) 35, (1958). [3] C. J. Halboth, W. Metzner: D-wave superconductivity and Pomeranchuk instability in the two-dimensional Hubbard model. Physical Review Letters 85, (2000). [4] H. Yamase, H. Kohno: Instability toward formation of quasi-one-dimensional Fermi surface in two-dimensional t-j model. Journal of the Physical Society of Japan 69, (2000). [5] S. A. Kivelson, E. Fradkin, V. J. Emery: Electronic liquid-crystal phases of a doped Mott insulator. Nature 393, (1998). [6] J. Zaanen, O. Gunnarsson: Charged magnetic domain lines and the magnetism of high-t c oxides. Physical Review B 40, (1989). [7] R. A. Borzi, S. A. Grigera, J. Farrell, R. S. Perry, S. J. S. Lister, S. L. Lee, D. A. Tennant, Y. Maeno, A. P. Mackenzie: Formation of a nematic fluid at high fields in Sr 3 Ru 2 O 7. Science 315, (2007). [8] V. Hinkov, D. Haug, B. Fauqué, P. Bourges, Y. Sidis, A. Ivanov, C. Bernhard, C. T. Lin, B. Keimer: Electronic liquid crystal state in the high-temperature superconductor YBa 2 Cu 3 O Science 319, (2008). [9] P. Jakubczyk, W. Metzner, H. Yamase: Turning a first order quantum phase transition continuous by fluctuations: general flow equations and application to d-wave Pomeranchuk instability. Physical Review Letters 103, (2009). [10] W. Metzner, D. Rohe, S. Andergassen: Soft Fermi surfaces and breakdown of Fermi liquid behavior. Physical Review Letters 91, (2003) Max-Planck-Gesellschaft 7/7