D a s D i f f e r e n t i a l - e i n m a l a n d e r s g e d a c h t. V e r ö f f e n t l i c h t u n t e r :

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1 D a s D i f f e r e n t i a l - e i n m a l a n d e r s g e d a c h t B e r n h a r d B l a n k V e r ö f f e n t l i c h t u n t e r : 1 A r t i k e l A F a s s u n g 6.7 Copyright Oktober 2015 Alle Rechte vorbehalten. Dies gilt insbesondere für die fotomechanische Wiedergabe und der Speicherung in elektronischen Medien (mit Ausnahme der Zwecke von Suchmaschinen) und betrifft nicht das Ausdrucken des Artikels. Eine gewerbliche Nutzung ist nicht zulässig. Literaturangaben sind im Literaturverzeichnis genauer aufgeführt. Siehe 1 Titel der Website: Erklärungen in Mathematik, Physik und Physikalischer Chemie

2 Das Differential einmal anders gedacht Das Differential wird in diesem Artikel anders gedacht, als es in der Mathematik allgemein üblich ist, jedoch so, dass es mit seiner Verwendung in der Physik übereinstimmt. (Siehe dazu Abb. 0.1.) Zu diesem Zweck wird ein theoretischer Überbau geschaffen, der sich vor allem in den eingeführten Begriffen Grenzprozess und Grenzzustand widerspiegelt. Die wesentlichen Aspekte des Differentials werden ebenso behandelt wie grafische Darstellungsweisen, und auch die Ausdrucksweise, dass das Differential eine unendlich kleine Differenz sei, darf hier nicht fehlen. Weiterhin wird erklärt, was man unter einem partiellen und einem totalen Differential versteht. Die Begriffe Grenzprozess und Grenzzustand finden gleichermaßen in den Naturwissenschaften ihre Entsprechung, sodass ein paar Beispiele dazu erwähnt werden. Es bietet sich ferner an, dass in diesen Zusammenhängen auf Vorstellungen des Unendlichen in Mathematik und Physik eingegangen wird - bis hin zum Symbol, das auf diese Weise eine genaue Deutung erfährt. Last but not least wird zu der Aussage, dass Grundlinie mal Höhe die Fläche eines Rechtecks ergibt, eine Ausnahme genannt, die sich mit hiesiger Vorstellung vom Differentialbegriff verbindet. Wichtige Begriffe, Namen: Ableitung, partielle Ableitung, Cauchy, Courant, Differential, partielles Differential, totales Differential, Differentialquotient, Differentialrechnung, unendlich kleine Differenz, Grenzfall, Grenzprozess, Stadium eines Grenzprozesses, Grenzübergang, Grenzwert, Grenzzustand, infinitesimal, ntegralrechnung, Konvergenz, Leibniz, unendlich. nhalt A.1 Überblick S. 2 A.2 Der Grenzzustand in der ntegralrechnung S. 2 Begriffe: Asymptote, Differential, Grenzfall, neuartig: Grenzprozess, Grenzübergang, Grenzwert, neuartig: Grenzzustand, ntegral, bestimmtes bzw. riemannsches ntegral, ntegralrechnung, Konvergenz, Treppenfunktion, unendlich, unendlich klein. U.a.: Grenzzustände in den Naturwissenschaften: ideales Gas, Massenpunkt, spezielle Relativitätstheorie, klassische Mechanik, Quantenmechanik. A.3 Der Grenzzustand in der Differentialrechnung S. 6 Begriffe: Differentialrechnung, Differentialquotient, Differenzierbarkeit, Grenzfall, Grenzwert, Grenzzustand, Steigungsdreieck. A.4 Zum Differentialbegriff S. 7 Begriffe, Namen: Richard Courant, Differential, Differentialquotient, infinitesimal, Leibniz, Limes, neuartig: Stadium eines Grenzprozesses. U.a.: Grafische Darstellung eines Differentials. Kann man Differentiale kürzen?

3 - 2 - A.5 Das Differential als unendlich kleine Differenz - Unendlichkeiten S. 11 Begriffe, Namen: Cauchy, Courant, uneigentliches ntegral; Konvergenz; unendlich groß, unendlich klein, unendlich kleine Differenz, unendlich kleine Größe; Unendlichkeit. U.a.: Das Differential bei Cauchy und weshalb die Argumentation mit dem unendlich Kleinen heutzutage überflüssig geworden ist. - Beispiel mit einem Raumschiff. A.6 Beispiele zum Differential aus der Physik S. 14 A.7 Das partielle Differential S. 15 A.8 Das totale Differential S. 17 A.9 Zusammenfassung S. 19 A.10 Aufgaben S. 19 A.1 Überblick Anhand der ntegralrechnung wird zuerst das Begriffspaar Grenzprozess und Grenzzustand erläutert, zusammen mit der Aussage, dass ein Grenzprozess gegen einen Grenzzustand strebt. Damit kann zwanglos auf die in der Literatur vorkommenden Begriffe Grenzwert, Grenzübergang und Grenzfall eingegangen werden. Grenzzustände spielen ebenso in den Naturwissenschaften eine Rolle (dies alles unter A.2). Der Begriff des Grenzzustandes lässt sich auch in der Differentialrechnung einführen (A.3). Über diesen lässt sich dann logisch einwandfrei das Differential definieren, wobei anschließend zu seinen häufigsten Definitionen und Darstellungsweisen in der Literatur Stellung genommen wird (A.4). Unendlichkeitsvorstellungen in Mathematik und Physik sind das Thema des darauffolgenden Unterkapitels sowie die Ausdrucksweise, dass das Differential eine unendlich kleine Differenz sei. Ferner gehört hierher die Erkenntnis, dass das Symbol besser für unendlich groß stehen sollte (A.5). Wie das Differential in der Physik eingesetzt wird, ist der nhalt von A.6, einschließlich einer sich daraus ergebenden Näherung in Form von kleinen x -Werten. Das partielle und das totale Differential führt zur Anwendung des Differentialbegriffs auf Funktionen mit mehreren unabhängigen Veränderlichen (A.7 und A.8). Und wer wissen will, warum Grundlinie Höhe nicht immer die Fläche eines Rechtecks ergeben muss, sehe bei den Aufgaben in A.10 nach. A.2 Der Grenzzustand in der ntegralrechnung Möchte man allgemein die Fläche unter einer Kurve berechnen, so hat man in der Mathematik ein Verfahren entwickelt, mit dem sich dies innerhalb fester Grenzen durchführen lässt und das jedem noch aus der Schule unter dem Oberbegriff ntegralrechnung bekannt ist. Will man z.b. in

4 - 3 - Abb. 2.1a die Fläche unter der Funktion y f ( x), die durch die Punkte A, B und C eingeschlossen wird und in den Grenzen von a bis b verläuft, berechnen, so kann man dies mit folgendem Ansatz tun: Man zeichnet eine Treppenfunktion von C bis B unter der Funktion f ( x) ein, wobei die Unterkante jeder Treppenstufe die Kantenlänge x haben soll. Lässt man anschließend in Gedanken die Kantenlänge x zunehmend kleiner werden (s. Abb. 2.1b und c), so erhält man eine Treppenfunktion, deren Fläche sich immer mehr der Fläche unter der Funktion y f ( x) annähert. st die Länge x genügend klein geworden, also so klein, dass die Fläche der Treppenfunktion praktisch der Fläche unter der Kurve entspricht, so schreibt man für x das b Differential und formuliert für diese Fläche den Ausdruck f ( x ), das man als das ntegral in den Grenzen von a bis b bezeichnet, das sog. riemannsche ntegral (auch bestimmtes ntegral genannt). Betrachtet man den eben beschriebenen Prozess etwas genauer, so stößt man leicht auf eine Schwierigkeit, wenn es darum geht, die Natur des Differentials zu ergründen. Schlägt man in der Literatur nach, so wird bisweilen das Differential als eine unendlich kleine Differenz bzw. Größe aufgefasst (s. den Duden). Wer dieser Ausdrucksweise nachgehen will, stellt sich vielleicht die Frage, was denn etwas unendlich Kleines ist und wofür dieser Begriff überhaupt steht. Und auch: Lässt sich so etwas anschaulich verstehen? Um nun mit dem Begriff des Unendlichen richtig umgehen zu können, möchte ich zu Anfang ein einfaches Beispiel anführen: Gegeben sei die Funktion h( x) 1, s. Abb Wie man ohne Weiteres nachvollziehen kann, x nähert sich diese Funktion mit zunehmendem x asymptotisch der x Achse. Der Abstand zwischen der Asymptoten und der x Achse wird hier, wie man sagt, unendlich klein. Die Asymptote, die gegen die x Achse konvergiert, berührt dabei für ein gegebenes x die x Achse nicht. Wandert man die Asymptote entlang zu immer größeren x Werten, so wird man ebenfalls kein h( x) finden, das diese Eigenschaft aufweist. Da dieser Vorgang jedoch ohne Ende ist, d.h. wenn x unendlich groß wird, kommt man zu dem Schluss, dass die Asymptote die x Achse nie berühren wird (denn ein h( x ), das diese Eigenschaft aufweist, lässt sich nicht finden). Steht denn auch un - endlich im Ausdruck unendlich groß für nichts anderes als nicht endlich, also ohne Ende. Man kann also ohne Ende zu immer größeren x Werten wandern und wird kein h( x) finden, das die x -Achse je berührt. n dem Sinne von nicht endlich wird der Ausdruck unendlich auch im Folgenden gebraucht. Oft trifft man die Vorstellung an, dass die Asymptote die x Achse im Unendlichen berühren wird. Doch das ist logisch nicht ganz korrekt. Vielmehr verhält sich dieser Sachverhalt ähnlich dem zweier paralleler Geraden, die ohne Ende d.h. unendlich - zueinander verlaufen und sich daher auch nie berühren. 1 Gleiches gilt für unsere Asymptote, denn man kann hier nicht mit zweierlei Maß messen. Wenn man vom Unendlichen sprechen will, so muss man korrekterweise sagen, dass man sich die ganze Zeit im Unendlichen befindet, wenn man zu größeren x Werten wandert, wofür diese kein Ende haben. Eine Berührung im Unendlichen ist deswegen einfach ein falsches Gedankenbild und findet nie statt. Von den so verstandenen unendlichen Verläufen werden unten noch weitere Beispiele angegeben. 1 Sie sollen sich dazu in einer nicht gekrümmten Ebene befinden. a y

5 - 4 - Die besprochene Funktion h( x) ist hier ein Beispiel für einen Grenzwertprozess, bei dem der Funktionsgraf gegen eine Grenzgerade, das ist die x Achse, konvergiert. Man bezeichnet den Wert h( x) 0 dabei als Grenzwert. Der Begriff des Grenzwertes ist noch aus der Schule hinreichend bekannt und beschreibt einen Wert, gegen den eine Folge, ein Funktionsgraf etc. konvergiert. - Bei unserer Treppenfunktion können wir eine ähnliche Analogie aufstellen. Auch dort haben wir es mit einem Grenzprozess zu tun, nur mit dem Unterschied, dass an die Stelle eines Grenzwertes eine Grenzfunktion, die Funktion f ( x ), tritt 1. m Folgenden wird statt dem Ausdruck Grenzwertprozess nur noch allgemein der Ausdruck Grenzprozess 2 verwendet. Die Treppenfunktion nähert sich also in einem Grenzprozess asymptotisch dieser Grenzfunktion, erreicht diese aber ebenfalls nie. Um es einmal mit Zahlen deutlich zu machen: Wenn in Abb. 2.1 x 0 geht und x am Anfang z.b. 0,1 ist, kann für x bei Konvergenz jeweils eine Null zwischen dem Komma und der 1 hinzukommen (also ist x 0,1; dann 0,01; danach 0,001 usw.). Die Treppenstufen werden dabei immer kleiner. Es liegt hier in gleichem Maße Konvergenz vor wie bei der Asymptoten. Da die 1 jedoch n i e verschwindet, werden die Treppenstufen auch nie zu null! Dem Grenzwert, der Grenzgeraden oder der Grenzfunktion, gegen die ein Grenzprozess konvergiert, gebe ich den allgemeinen Namen Grenzzustand 3. Man gelangt so zu der allgemeinen Formulierung, auf die dieser Artikel dann aufbauen wird, dass jeder Grenzprozess gegen einen Grenzzustand konvergiert. 4 Ein Grenzzustand ist - wenn man es mit ganz einfachen Worten formulieren will damit das, gegen was etwas allgemein konvergiert. n der ntegralrechnung ist ein Grenzzustand so eine Grenzfunktion oder ein Grenzwert, gegen den eine Treppenfunktion oder die Fläche unter einer Treppenfunktion strebt. Der eben beschriebene Gedankengang wird in der Literatur oft etwas anders gesehen: Bezogen auf unsere Treppenfunktion wird so argumentiert, dass bei kleiner werdenden Treppenstufen mit der Kantenlänge x ein Grenzübergang stattfindet, bei dem die Treppenfunktion in die Grenzfunktion übergeht. Da wir jetzt jedoch wissen, dass die Treppenfunktion die Funktion f ( x) nie erreicht (man muss hier schon ganz genau sein), ist diese Ausdrucksweise nicht ganz korrekt. Es ist ja gerade das Wesen der Konvergenz, dass nur von einer Annäherung gesprochen werden kann, die freilich nie endet. ndes muss man folglich sagen, dass ein solcher Grenzübergang n i e stattfindet. (Siehe zu diesem Verständnis den kurz zuvor erläuterten Sachverhalt, bei dem die 1 nie verschwindet, was das gerade deutlich macht.) Auch die oft vorgebrachte Äußerung, dass er im Unendlichen dann doch eintritt, trifft nicht zu; denn wie schon erläutert, befinden wir uns im Unendlichen, wenn die Kantenlänge x unserer Treppenfunktion immer kleiner wird, und irgendein Dahinter gibt es auch nicht. Dieser Vorgang der Annäherung ist einer ohne Ende und demnach un - endlich. Wer dennoch gerne vom Grenzübergang sprechen will, vermischt dabei das, was ich mit Grenzprozess und Grenzzustand bezeichnet habe. Man muss deswegen die letzten beiden Begriffe immer sauber auseinanderhalten. Da sich viele mit der soeben vorgenommenen Leugnung eines Grenzübergangs schwertun, will ich den Sachverhalt noch mal anhand eines anderen Beispiels erläutern: Nehmen wir an, unser x betrage am Anfang den Wert 1. x solle nun gegen null gehen. Bei x 1 könnte man Es stimmt ebenso die Betrachtungsweise, dass die Fläche der Treppenfunktion gegen die Fläche des bestimmten ntegrals als Grenzwert konvergiert. Ein jeder kennt dazu sicher das Prozedere aus der Schule mit den Ober- und Untersummen. 2 Er wird in diesem Sinne auch in Wikipedia des Öfteren benutzt. 3 Der Begriff des Grenzzustandes wird in dem Buch von W. Jost, J. Troe, Kurzes Lehrbuch der Physikalischen Chemie, S. 1 genannt, dort unter der Formulierung Grenzzustand der Materie. Er wird in diesem Artikel weiter gefasst und auch auf den Bereich der Mathematik erweitert. Zusammen mit dem Begriff des Grenzprozesses wird der Verfasser diese noch öfter benutzen, da sie sehr praktisch sind. 4 Es ist jedoch zu erwähnen, dass nicht alles, was man für einen Grenzprozess halten könnte, auch ein solcher ist (s. dazu das Unterkapitel A.4, S. 7, Fußnote 1)).

6 - 5 - davon sprechen, dass ein Grenz übergang schon ziemlich gut erreicht ist. Für eine (sagen wir mal) Eintagsfliege, mag jedoch das, was wir als klein bezeichnen, noch ziemlich groß vorkommen und aus ihrer Sicht hätten wir bei x 1 noch lange keinen Grenzübergang vorliegen. Also 1000 kann man sagen, dass dann für x 1 1 ein solcher Grenz übergang auch für unsere Eintagsfliege vorläge. Aber, so kann man einwenden, dass dies für ein Bakterium noch lange nicht sein muss... Die Leserin / der Leser wird verstehen, worauf ich hinaus will: Sie können diesen Vorgang unendlich oft wiederholen ob x als groß oder klein zu bezeichnen ist, lässt sich dabei nicht mit absoluter Gewissheit sagen. Einen Grenz übergang gibt es dabei nie, genauso wie unsere Asymptote den zugehörigen Grenzzustand nie erreicht, es also auch dort keinen Übergang gibt. Man kann, wie es richtig ist, immer nur von Konvergenz sprechen. Einen noch extremeren Fall hat man in der Mathematik vorliegen, wenn man die Zahlen 0, 9 und 1, 0 vergleicht, also eine Zahl mit unendlich vielen Neunen und eine mit unendlich vielen Nullen. Man kann sicher sagen, dass zwischen diesen beiden reellen Zahlen keine weitere reelle Zahl existiert, sie also benachbart sind. Aber sind sie deswegen identisch bzw. gleich? Der Autor findet: Nein. Und so wird ein Grenzprozess auch nie mit einem Grenzzustand identisch bzw. den Begriff Grenz übergang sollte man bei genauerer Betrachtung eher streichen. Schließlich versteht sich ja die Mathematik als exakte Wissenschaft. - Das alles ist nicht ganz einfach zu verstehen, aber beim zweiten Mal Lesen könnte der Sachverhalt vielleicht klarwerden. Es ist noch eine weitere Ausdrucksweise im Zusammenhang mit Grenzvorgängen gebräuchlich, die den Begriff des Grenzfalls einführt: So findet man oft die Formulierung, dass unsere Treppenfunktion im Grenzfall die Funktion f ( x) erreicht 1. Wenn man auch weiß, was damit gemeint ist, so ist doch das Erreichen aus eben besagten Gründen mit einem Fragezeichen zu versehen. (Die Treppenfunktion erreicht bei kleiner werdendem x die Grenzfunktion nie.) Grenzzustände gibt es nun nicht nur in der Mathematik als Beispiele habe ich die Grenzgerade der Asymptoten, den Grenzwert und die Grenzfunktion bei der ntegralrechnung angegeben (aber es gibt noch weitere 2 ) -, sondern auch in den Naturwissenschaften ist das Phänomen der Konvergenz bekannt, und somit gibt es auch dort Grenzzustände. Zu nennen ist hierbei einmal das ideale Gas (von dieser Vorstellung habe ich ja überhaupt den Begriff des Grenzzustandes abgeleitet). Aber auch in der speziellen Relativitätstheorie existiert die Vorstellung, dass bei Beschleunigung eines Körpers auf Lichtgeschwindigkeit, dieser unendlich schwer wird unter Zufuhr von unendlich viel Energie. n diesem Fall stellt die Lichtgeschwindigkeit einen Grenzzustand dar, gegen den der betreffende Körper mit seiner Masse als Folge zunehmender Geschwindigkeit konvergiert. Als weiteren wichtigen großen Punkt für einen Grenzzustand in den Naturwissenschaften ist die klassische Mechanik 3 zu erwähnen, die zumindest in Teilen als ein Grenzzustand der Quantenmechanik aufzufassen ist (man spricht hier auch von dem Sonderfall der Quantenmechanik). So gehört das nebenstehende Beispiel (s. Abb. 2.3) dazu, das eine 1 Ein weiteres Beispiel dazu ist im nächsten Unterkapitel aufgeführt. 2 So kann man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als Grenzzustand auffassen (s. Unterkapitel: Wahrscheinlichkeit von Ereignissen ). 3 Siehe das Glossar in

7 - 6 - harmonische Schwingung aus Sicht der Quantenmechanik wiedergibt: Die Wellenberge und -täler einer Funktion q q( x) rücken dort mit zunehmender Energie immer mehr zusammen, sodass die Maxima dieser Funktion gegen den Grenzzustand, die Funktion k k( x), konvergieren. Solche Funktionen sind von Bedeutung, wenn man sich mit Schwingungen in Molekülen befasst. Als Grenzzustand hat man den Fall der harmonischen Schwingung der klassischen Mechanik vorliegen. A.3 Der Grenzzustand in der Differentialrechnung Neben der ntegralrechnung bildet die Differentialrechnung einen Zweig der Mathematik, der in vielen Mathematikbüchern nicht fehlen darf. Sei wieder eine Funktion y f ( x) gegeben, s. Abb. 3.1, so ist es von nteresse, die Steigung in einem Punkt T mit dem zugehörigen Wert x0 zu bestimmen. Dazu legt man ein Steigungsdreieck zwischen den Punkten R und T mit der Steigung y m x f ( x0 x) f ( x0 ) x (A-3.1) an. Wandert nun R über S immer mehr auf T zu, so wird eine Steigung erhalten, die immer mehr der Steigung m( x0 ) der Tangenten t im Punkt T gleichkommt. Bedingung ist jedoch, dass der Punkt R nie mit dem Punkt T identisch wird, da sich sonst kein Steigungsdreieck mehr anlegen und die Steigung m bestimmen lässt. x geht dabei gegen null, darf diesen Wert aber nie erreichen. Auch hier haben wir es mit einem Grenzprozess zu tun, wobei die Steigung m gegen den Grenzwert m( x0 ) konvergiert. Für den Grenzwert setzt man den Ausdruck dy df ( x0) m( x0) f ( x0 ), (A-3.2) wobei dieser wieder einen Grenzzustand, so wie wir ihn allgemein im vorigen Unterkapitel definiert haben, darstellt. Hier wird die Tangente zum Grenzzustand, gegen die das Steigungsdreieck konvergiert, oder wie dieser Sachverhalt in vielen Mathematikbüchern beschrieben wird es erreicht die Sekante durch die Punkte T und R bzw. S im Grenzfall die Tangente. n der Differentialrechnung leitet man allgemein einen Ausdruck nicht für einen Wert x 0, sondern für alle Werte x des Definitionsbereiches von f ( x) her, sodass sich ergibt: dy df ( x) m( x) f ( x). (A-3.3) d ln x 1 Sei z.b. f ( x) ln x, dann ist f ( x) (siehe hr Schulwissen). (A-3.4) x st zudem die Funktion f ( x) für alle x differenzierbar, so sagt man, dass die Funktion über ihren ganzen Definitionsbereich differenzierbar ist.

8 - 7 - A.4 Zum Differentialbegriff Diesen Grenzprozessen, die gegen einen Grenzzustand konvergieren, ist gemeinsam, dass sie durch Größen wie y 0 oder x 0 (s. Abb. 2.2 und 2.3) beschrieben werden können. x bzw. y stellen dabei ein Stadium des jeweiligen Grenzprozesses dar. Auch Formulierungen wie x 0, x oder x a ( x bzw. y sei hier x ) dienen in der Mathematik zur Beschreibung von Grenzprozessen. Bekannt sind diese in Ausdrücken wie lim x 0, lim x oder lim x a, in denen dann der zugehörige Grenzwert bestimmt wird, wobei lim (sprich: Limes) für den zu erhaltenden Grenzzustand bzw. Grenzwert steht. 1 Obwohl Grenzprozesse ihren Grenzzustand nie erreichen, kann man bei jedem von ihnen aufgrund seiner eigenen Fantasie der Mathematiker würde sagen: aufgrund der Konvergenzeigenschaften immer deutlicher sagen, wie der Grenzzustand aussieht. So wird wohl jeder erkennen, dass bei der 1 Funktion h( x) die x Achse ein Grenzzustand ist, x gegen den h( x) konvergiert. Die Tatsache, dass ein Grenzprozess einen Grenzzustand nie erreicht (siehe weiter unsere Treppenfunktion aus der ntegralrechnung), kann man nun dazu benutzen, dem Grenzzustand s e l b s t ein eigenes Symbol zu geben. n der ntegralrechnung ist das das Differential. Dabei ordnet man dem so definierten Differential eine Strecke zu. Hierbei hängt es in der Praxis vom Belieben des Darstellers ab, welche Länge er dieser gibt. Abb. 4.1 zeigt so einen Grenzzustand, die Fläche f ( x0 ). (Diese Auffassung kann man in Anlehnung an Cauchy 2 vornehmen, der Differentiale als endlich betrachtet. Er lässt es dabei offen, welchen Wert er diesem Differential gibt.) Über diese Fläche wird zugleich die grafische Darstellung eines Differentials demonstriert. - Dass der Gebrauch des Differentials in der Literatur oft als unendlich kleine Größe angesehen wird und es auch noch andere Definitionen vom Differential gibt, 3 darauf wird weiter unten noch eingegangen. Eben die Tatsache des Nicht-Erreichens des Grenzzustandes durch einen Grenzprozess ist ein wichtiges Argument dafür, dass man die Differentialdefinition so vornehmen kann. Ein weiteres Argument für genau diesen Differentialbegriff ist, dass er in gleicher Weise in der Differentialrechnung (s. dazu das vorige Unterkapitel) einsetzbar ist. Siehe Abb. 3.1, in der der Differentialquotient eine Tangente als Grenzzustand wiedergibt, und es hier auch vom dy Belieben des Darstellers abhängt, welche Länge er und dy gibt. Dieser muss nur das Verhältnis von zu dy wahren. (Dass in Abb. 3.1 x, soll nicht weiter irritieren, s. dazu auch Aufgabe 4).) Auf diese Weise gelangt man zu einem einheitlichen Differentialbegriff in der Differential- und ntegralrechnung. Den Begriff des Grenzzustandes habe ich gerade deswegen eingeführt, weil mit ihm das b b a 1 Der Ausdruck lim sin x ist ein Beispiel dafür, dass nicht alles, was nach einem Grenzprozess aussieht, auch einer ist. Denn wenn b geht, erhält man als Ergebnis eine oszillierende Kurve und keinen Grenzzustand. 2 Augustin Louis Cauchy, frz. Mathematiker, So wird in Wikipedia (de.wikipedia.org/wiki/differential (Mathematik), Stand: ) dort das Differential als linearer Anteil des Zuwachses einer Variablen oder Funktion verstanden, was hier nicht weiter verfolgt wird, da man den Begriff nach Ansicht des Autors allgemeiner fassen kann, und er so auch in der ntegralrechnung gilt. x0 x xa

9 - 8 - Differential so gut zu begreifen ist. Darum der ganze theoretische Aufwand. Selbst ein so komplexes Gebilde wie die Funktionaldeterminante lässt sich mit dieser Definition herleiten. 1 Historisch wird der Differentialbegriff anders gehandhabt und man findet folgenden in der Literatur: So wird in der ntegralrechnung einmal davon ausgegangen (s. dazu Abb. 2.1), dass bei kleiner werdenden x -Werten der Treppenfunktion irgendwann ein Grenz übergang zur Grenzfunktion, der Funktion f ( x ), stattfindet. (Siehe oben.) Dieser einem sachgemäßen Gefühl 2 entsprechende Übergang soll durch das Symbol ausgedrückt werden. Auf diese Weise soll auch das ntegral f ( x) verstanden werden. Dazu ist zu bemerken: Auf die Problematik bzw. Ungenauigkeit, die in dem Begriff des Grenzübergangs steckt, habe ich im ersten Unterkapitel hingewiesen, denn ein Grenz übergang findet korrekterweise nie statt es kann immer nur von einer nicht enden wollenden Annäherung gesprochen werden. So führt dieses Gefühl demnach zu einer Verkennung des realen Sachverhalts. (Einen ähnlichen Fall hat man vorliegen, wenn man die Zahlen 0, 9 und 1, 0 vergleicht. Vom Gefühl her man hier vielleicht 0, 9 1, 0 sein. Vom Verstand her gesehen sind dies jedoch immer noch zwei verschiedene Zahlen und 0, 9 wird nie in 1, 0 übergehen.) Zum anderen ist zum ntegralbegriff auch folgende Formulierung gebräuchlich: Man denke sich, dass die Anzahl unser Treppenstufen in Abb. 2.1 unendlich groß wird, und erhält dann unendlich viele unendlich kleine Stufen, deren Summation wieder unser ntegral f ( x) ausdrückt. Hier ist einzuwenden, dass man sich so etwas schlecht vorstellen kann. Der durch seine Bücher bekannte Mathematiker Richard Courant (gesprochen [ 'ku:rant]) hat sich in seinem Werk 3 von dieser Summe aus unendlich vielen unendlich kleinen Summanden dagegen verwehrt. Ob man seinen Einwand nicht beachtet, die Änderung scheut oder keine bessere Lösung wusste, jedenfalls wird die Vorstellung von den unendlich kleinen Größen bis heute verwendet. Man kann berechtigt sagen, dass man im Begriff ist, sich hier eine eigene Logik zu schaffen. Diese Vorstellungen vom Grenz übergang und der unendlich kleinen Größe machen beide einen Differentialbegriff aus, der in vielen Mathematikbüchern gang und gäbe ist. Dies geht auf Leibniz 4 zurück, der das - Zeichen für ein stilisiertes Summenzeichen und das als einen infinitesimalen 5 Abschnitt bezeichnete, wobei dann über die infinitesimalen Abschnitte aufsummiert wird. 6 (Erst zeitlich später wurde durch Riemann das ntegral als Grenzwert einer Ober- und Untersummenbildung aufgefasst, wie man es von der Schule her kennt.) Diese infinitesimalen Abschnitte, über die integriert werden soll, werden, wenn sie nebeneinander liegen, zeichnerisch oft so dargestellt, wie es Abb wiedergibt. Eine andere Darstellungsart eines infinitesimalen Abschnittes ist noch in Abb. 4.4a und 4.4b zu sehen, doch dazu gleich mehr. Wenn man es hier mit der Anschauung genau nimmt, so muss man jedoch zugeben, dass für ein Differential jeweils eine endlich große Strecke vergeben wird. Dies würde auch in 1 Siehe dazu den Artikel: 2,3 So Richard Courant in: Vorlesungen über Differential- und ntegralrechnung 1, S Leibniz gilt vornehmlich zusammen mit Newton als der Begründer der Differential- und ntegralrechnung. Beide entwickelten sie im 17. Jh., jedoch unabhängig voneinander. 5 infinitesimal steht für ins unendlich Kleine gehend (s. Wahrig, Fremdwörterbuch). 6 Siehe R. Müller-Fonfara, Mathematik verständlich, S Siehe die Abbildung aus dem Buch von L. Papula, Mathematik für ngenieure und Naturwissenschaftler, Bd 1, S. 433 mit gleichem Aussagegehalt.

10 - 9 - Übereinstimmung mit Cauchy sein, der Differentiale als endliche Größen deutet. 1 Selbst wenn beim Aufzeichnen von dieses unendlich klein bzw. infinitesimal sein soll, so stellt man doch zeichnerisch ganz real eine endlich große Strecke dar, was man sich stets vor Augen führe. Gerade das hieße überspitzt, wollte man die Argumentation mit den unendlich vielen Summanden aufrechterhalten, dass man eine Summation von unendlich vielen endlich großen Differentialen durchführt. Und das endet anschaulich in einem Widerspruch, würde es bedeuten, dass man eine unendlich große Fläche erhielte (denn Unendlich Viel Endlich Groß ergibt etwas Unendlich Großes bzw. c mit c const. ). Man kann es nun drehen, wie man will: Gerade die Problematik mit dem Begriff des Grenzübergangs als auch die Formulierung mit den unendlich kleinen Summanden lässt es mir vor dem Hintergrund von Cauchys Forderung nach Endlichkeit, als auch aus der anschaulichen Überlegung von Abb. 4.2 heraus, sinnvoll erscheinen, dass Differential besser als Symbol für einen Grenzzustand mit beliebig zu gebender Länge bzw. Breite sowohl in der ntegral- als auch in der Differentialrechnung einzuführen, wie es in der Praxis stets gemacht wird. Fasst man das ntegral als Größe auf, deren Länge bzw. Breite erst vom Darsteller festgelegt wird, so ist die b Summation f ( x ) mithilfe des ntegralzeichens a jetzt wie folgt zu deuten: Man summiert über alle Flächenelemente f ( x), bis die Fläche unter der Grenzfunktion vollständig in den Grenzen von a bis b aufgefüllt ist. Kommt dies nicht ganz hin, so kann man dies auch q Summanden der einzelnen f ( x) s mit q (und diese Erweiterung auf den Bereich der reellen Zahlen wäre eine Neuerung) erlauben (s. dazu Abb. 4.3, hier liegt q in den Grenzen von a bis b zwischen 5 und 6). Alle anderen nterpretationen führen logisch gesehen mehr oder weniger in ein Dilemma, wenn man um Anschauung bemüht ist. 2 Dass genau diese Deutung des Differentials so abwegig nicht ist, zeigt auch seine Verwendung in der Physik. Dies wird an einem Beispiel im Unterkapitel A.6, Abb. 6.1, noch demonstriert. Vergleicht man Abb. 4.3 und Abb. 4.2 und betrachtet das Differential dort als eine endlich große Größe, so kann man q auch so wählen, dass es nicht nur ein Element von, sondern durch geeignete Wahl wie in Abb. 4.2 nur von ist, was optisch vielleicht besser passt. 1 Dem Autor ist durch eine Äußerung eines Mathematik-Professors, die er in einer Vorlesung für Mathematiker im 1. Semester gehört hat (Prof. Heinz, Vorlesung: Differential- und ntegralrechnung, Göttingen, WS 80/81), die Aussage bekannt, dass ein Differential endlich ist (was anschaulich begreifbar ist). Diese dürfte wohl in Anlehnung an Cauchy, der Differentiale als endliche Größen begreift, gemacht worden sein. 2 Diese Auffassung lässt sich gerade bei mehrdimensionalen ntegralen vertreten, insbesondere der Umstand, dass q. Siehe dazu Unterkapitel C.9: Zu unendlich kleinen Flächenelementen in

11 Abb. 4.4a 1 zeigt nun eine Darstellungsart der Fläche f ( x0 ), die etwas von der Darstellung in Abb. 4.1 differiert, da einmal x0 in der Mitte von und das andere Mal am Rande von vorzufinden ist. Bei dieser Abbildung, die in dem Buch von L. Papula zu finden ist, zeigt dieser noch eine andere Darstellungsart und betrachtet die Fläche f ( x0 ) näherungsweise als Rechteck mit der Höhe f ( x0 ) und der Breite (s. Abb. 4.4b 1 ). Hier kommt wieder die Vorstellung zum Ausdruck, dass das Rechteck, wenn genügend klein wird, in einem Grenz übergang in die Fläche f ( x0 ) von Abb. 4.4a übergeht. Dies ist aber, wie wir jetzt wissen, nicht ganz genau - wie b L. Papula auch selbst schon einräumt. Soll für f ( x) a eine Summation über die einzelnen f ( x) s wie in Abb. 4.2 erfolgen, so käme von den Abb. 4.4a und 4.4b also nur erstere infrage. Müsste man sogar zwischen der Darstellungsart in Abb. 4.1 und Abb. 4.4a wählen, so wird in der Physik der Abb. 4.1 nach Abb. 6.1 (s. Unterkapitel A.6) den Vorrang gegeben. Die Darstellungsart in Abb. 4.1 ist also demnach vorzuziehen. Manche Mathematiker führen das Differential auf eine Weise ein, indem sie eine Definition wie folgt erlauben: Sei eine Unterteilung a x0 x1... xn b gegeben und f xk 1, xk ck, wobei f A als Beschränkung einer Abbildung f : X Y auf eine Teilmenge A X zu lesen ist ( x x, k1 k sei diese Teilmenge A, die dann auf Y abgebildet wird), dann sei b a n f ( x) : ck ( xk xk 1) k 1 (A- 4.4) zu setzen, wobei der rechte Ausdruck, wie man leicht sieht, eine Treppenfunktion wiedergibt. Dabei gelte diese Definition unabhängig von der gewählten Unterteilung. Dies ist eine Differentialdefinition, wie sie in einem Mathematik-Taschenbuch für Mathematikstudenten gefunden wurde 2. Hier, bei der die rechte Seite eindeutig als Stadium eines Grenzprozesses angesehen wird, kann man davon ausgehen, dass eine solche Treppenfunktion bei Konvergenz die zugehörige Grenzfunktion f ( x) nie (!) erreicht. Eine solche Definition können wir jetzt nach unseren obigen Erörterungen als ungeeignet ansehen, da sie in diesem Sinne nicht für einen Grenzzustand steht. 3 - Manchmal wird das Symbol auch als reine Notation verstanden. Aber das bringt uns im Sinne der Anschauung, um die es in diesem Artikel geht, nicht weiter. Abb. 4.3 soll uns noch in einer anderen Hinsicht interessieren, wenn man nur die x -Achse als Zahlenstrahl im Auge hat: Denn analog zum ntervall [ x, x x], das man für Abb. 2.1 formulieren kann, führt uns dies mit dem Differential auf das ntervall [ x, x ]. Siehe z.b. Abb. 4.3 mit i 5. ist dabei eine endlich lange Strecke, deren Länge vom Darsteller beliebig festgelegt wird. Auf diese Weise gelangt man also zu ntervallen, die Differentialausdrücke enthalten. - Es ist zu beachten, dass 1 Siehe ebenso wie Abb. 4.2 die Abbildungen aus dem Buch von L. Papula, Mathematik für ngenieure und Naturwissenschaftler, Bd 1, S. 433 mit gleichem Aussagehalt. 2 Die Definition und ein Beweis für die Unabhängigkeit von der gewählten Unterteilung ist in Otto Forster, Analysis 1, S. 125 f. zu finden. b a n 3 Wäre f ( x) : lim ck ( xk xk 1) (A-4.5), so würde es allerdings schon eher stimmen. n k 1

12 Differentiale so auch negativ sein können. Dies folgt aus dem Umstand, dass im Grenzprozess bei negativem x für x 0 dies natürlich dann auch für das Differential als seinem Grenzzustand gilt. Nun zu einigen Sonderfällen: Bei der Differentialrechnung lässt sich x setzen (s. dazu Abb. 3.1), aber dies gilt nicht allgemein. dy y gilt hier zugleich nur, wenn f ( x) c x mit c const., also wenn jedes Stadium des Grenzprozesses mit dem Grenzzustand identisch ist (s. Abb. 4.5). Ansonsten sind dy und y verschieden. Ebenso gilt in der ntegralrechnung x für ein ntegral f ( x ) b a nur für den besonderen Fall, dass f ( x) const., also ebenfalls, wenn Grenzprozess und Grenzzustand in jedem Stadium übereinstimmen. Dies verhält sich hier ähnlich der Quadratur eines Kreises, die unmöglich ist, so wie es beim ntegral i.allg. nicht möglich ist, die Rechtecke der Treppenfunktion so anzuordnen, dass damit die Fläche unter der Grenzfunktion vollständig ausgefüllt wird (s. wieder Abb. 2.1). x lässt sich also nicht allgemein setzen. Es soll noch erwähnt werden, dass, wenn man in der Differentialrechnung ein Produkt von dy Differentialquotienten wie etwa vorliegen hat, es nicht zulässig ist, das " dy" dy dz herauszukürzen, da sowohl dy als auch jeweils für einen Grenzzustand stehen. Diese kann dy dz man nicht durch Teile daraus gegeneinander kürzen, da man Grenzzustände nicht miteinander verrechnen kann. A.5 Das Differential als unendlich kleine Differenz - Unendlichkeiten Wie kommt man auf die oft gebrauchte Ausdrucksweise, das Differential sei eine unendlich kleine Differenz bzw. Größe? Das lässt sich jetzt mit dem Begriff des Grenzzustandes beantworten: 1 Über die Funktion h( x) (s. Abb. 2.2) sollen dazu zuerst die Formulierungen: etwas ist x unendlich groß, etwas wird unendlich groß, etwas wird unendlich klein und etwas ist unendlich klein behandelt werden. Diese werden allesamt gerne in der Physik verwendet. 1 Da man sich im Unendlichen befindet, wenn man die Äste in h( x) immer weiter entlang x wandert und diese kein Ende haben, so ist das als etwas Unendliches schlechthin anzusehen. st x 0, betrachtet man also den Grenzzustand der oberen Asymptoten, so kann man sagen, dass y unendlich groß ist, da für das größer werdende y der Funktion h( x) kein Ende zu finden ist. Für den zugehörigen Grenzprozess (Abb. 2.2) wird dann y unendlich groß, wenn x 0 geht. Strebt jedoch x, betrachtet man also die rechte Asymptote als Grenzprozess, so wird in Analogie dazu y unendlich klein. Rein sprachlich gesehen müsste man dann für den zugehörigen Grenzzustand, bei dem y 0 ist, auch die Formulierung gebrauchen y ist unendlich klein, was in der Tat vielfach gemacht wird. So kommt es, dass für diesen Grenzzustand die Formulierungen y ist unendlich klein und y 0 synonym gebraucht werden. n der Physik spiegelt sich diese Ausdrucksweise in der Wendung wie: eine Ebene ist unendlich dünn (klein) wider. Diese wäre dann identisch null. 1 1 Siehe z.b. Stephen Hawking in seinem Buch: Eine kurze Geschichte der Zeit, in dem er sog. Strings anführt, die Linien sind und damit eine Längenausdehnung haben, aber keine weitere Dimension besitzen (S. 250 und S. 227). hre Breite ist demnach null, was er als unendlich dünn (= klein) bezeichnet (S. 217).

13 n Bezug zur Wendung unendlich klein findet man, und damit gelangen wir zum Differentialbegriff, bei diesem eine ähnliche Analogie. Geht x 0, so ist es noch angebracht zu sagen, die Differenz x wird unendlich klein (s. Abb. 3.1). Rein sprachlich stößt man dann jedoch auf die Formulierung, dass der zugehörige Grenzzustand, das ist dann das Differential (!), wieder unendlich klein ist und damit folgerichtig der Sprache nach als eine unendlich kleine Differenz bzw. Größe anzusehen ist. Dabei soll durch die Ausdrucksweise etwas ist eine unendlich kleine Differenz durch den Begriff Differenz angedeutet werden, dass eine von null verschiedene dy Größe vorliegt, wie der Differentialquotient f ( x) es auch erfordert ( darf nicht null sein, denn die Division durch null ist nicht definiert). Etwas unendlich Kleines kann, wenn man den Begriff pauschal verwendet und um einen Bezug zum Anfang dieses Artikels herzustellen, also einmal für null (siehe die unendlich dünne Ebene) und ein andermal für eine von null verschiedene Größe stehen. Sprachlich wird dabei eine Trennung zwischen beiden Grenzzuständen (ausgedrückt durch unendlich klein zu unendlich kleine Differenz ) gezogen. Der Mathematiker Richard Courant spricht sich in seinem Buch 1 dagegen aus, ein Differential als unendlich kleine Größe zu bezeichnen, da sie keinen Sinn hat. Man kann so sagen, dass ihre Existenz nur rein sprachlich abgeleitet ist. Sie ist auch nur rein sprachlich zu verstehen, denn aus Sicht der Anschauung heraus entbehrt eine solche Begriffsbildung jeglicher Vorstellungskraft. Als die Differential- und ntegralrechnung entwickelt wurde, war es üblich, mit dem Begriff des unendlich Kleinen zu argumentieren. So schrieb Cauchy für den Differentialquotienten noch: 2 dy y lim 0 x, (A-5.1) wobei er x h setzte und den Limes mit 0 als infinitesimal (= unendlich klein) ansetzte. h sah er darin als endlich klein an, wobei nicht weiter bestimmt ist, welchen Wert diese Konstante hat. ch habe in diesem Artikel dafür die Bezeichnung gewählt, dass es vom Belieben des Darstellers abhängt, welche Größe er dieser Konstanten gibt. (Entsprechendes gilt für y, dass man als f ( x h) f ( x) ansehen kann, und dy.) Diese Ansicht wurde schon im Unterkapitel A.3 vertreten (s. wieder Abb. 3.1), wobei dort für den Wert der Konstanten h zu setzen und h x mit 1 ist. x als x h führt nur im Grenzzustand bei 0 auf etwas unendlich Kleines (s. (A-5.1)). Bemerkenswert ist, dass man so den Begriff des unendlich Kleinen gebrauchte und in der Entwicklung der Differential- und ntegralrechnung dennoch zu richtigen Ergebnissen gelangte, obwohl und das wäre zu ergänzen - man sich unter etwas unendlich Kleinem nichts Rechtes vorstellen konnte. 3 Unendlich kleine Größen auf der rechten Seite der Gleichung (A-5.1) ergaben also endliche Größen auf der linken Seite der Gleichung, das sind die Differentiale. Statt mit dem Begriff des unendlich Kleinen zu operieren, ist es viel verständlicher, den Begriff der Konvergenz einzuführen, wie es heute in der Mathematik gemacht wird. So kann man bei unserer Asymptoten etwas unendlich Kleines besser mithilfe einer -Umgebung ausdrücken 4, in 1 Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und ntegralrechnung, S Siehe Wikipedia (de.wikipedia.org/wiki/differential (Mathematik), Stand: ). 3 Siehe Ehrhard Berends, Fünf Minuten Mathematik, S Einem jeden ist sicher die Bedingung für Konvergenz aus dem Schulunterricht bekannt, nachdem es für eine -Umgebung zu jedem 0 ( ) eine Zahl X ( ) gibt, sodass für die Funktion f ( x) und ihrem Grenzwert bzw. Grenzzustand g gilt: f ( x) g für alle x X ( ).

14 der ntegralrechnung die Vorstellung von den unendlich kleinen Größen besser durch die Konvergenz einer Treppenfunktion sowie das daraus resultierende Differential als endlich große Größe nun in Übereinstimmung mit Cauchy und der Anschauung ersetzen, und in der Differentialrechnung den Differentialquotienten durch Konvergenz der Größe dy f ( x h) f ( x) lim (A-5.2) h 0 h beschreiben. (Letzte Formulierung müsste noch aus Schulbüchern her bekannt sein.) All diese drei genannten Kriterien bzw. Verfahren machen die Argumentation mit dem unendlich Kleinen überflüssig. Zuletzt eine Anmerkung zur Verwendung des Ausdrucks, dass etwas gegen unendlich geht : Die Formulierung x geht gegen unendlich, die oft für x verwendet wird, ist nicht vollständig, wenn man sich vergegenwärtigt, wofür hier gebraucht wird. Hat man z.b. Ausdrücke wie x 0 oder x a vorliegen, so steht 0 bzw. a für einen Grenzzustand, der nie erreicht wird, sondern gegen den das jeweilige x konvergiert. Genauso muss in x dann aber auch ein Grenzzustand sein. Beim Vorliegen von Konvergenz wird der zugehörige Grenzzustand dabei nicht erreicht. Unendlich ist aber nicht ein solcher, sondern dies ist vielmehr eine Eigenschaft, die besagt, dass etwas ohne Ende ist. Bezeichnet man hingegen mit unendlich groß 1 stimmt die Chemie wieder, und statt x muss es korrekterweise heißen: x geht gegen unendlich groß. Das wird oft nicht beachtet. Deutlich wird das auch beim uneigentlichen ntegral f ( x), das man im Mathematik-Jargon gerne als ntegral von minus unendlich bis plus unendlich bezeichnet. Dies ist aber nichts b anderes als eine Kurzschreibweise für lim f ( x), womit man wieder die Formulierung mit den a b a Grenzzuständen unendlich groß ( ) bzw. minus unendlich groß (- ) gebrauchen kann. (Jedoch wäre es auch nicht ganz einwandfrei, ein ntegral von den Grenzzuständen minus unendlich groß bis plus unendlich groß zu benennen, da Grenzzustände, wie eben ausgeführt, nie erreicht, sondern immer nur angestrebt werden, so man sich an seinem Verständnis orientiert.) Wenn man mit unendlich etwas bezeichnet, was ohne Ende ist, so trifft das auch für das daraus abgeleitete Abstraktum Unendlichkeit zu. Diese liegt demnach nicht nur vor, wenn x, sondern auch, wenn x 0 oder x a, da hier ebenso Unendliches vorhanden ist. Es soll zu unseren aufgeführten Ausdrücken zum Schluss zum Thema Unendlichkeit noch ein anschauliches Beispiel genannt werden, das man jetzt gut verstehen kann: Es ist sicher eine allgemein übliche Vorstellung, dass das Weltall unendlich groß sei. Nehmen wir einmal an, dass ein Raumschiff, das von der Erde aus gestartet wird, in immer größere Tiefen des Weltalls vordringt. Dann wird die Strecke zwischen Erde und Raumschiff mit der Zeit unendlich lang (groß). m Grenzzustand ist, wenn das Raumschiff das gesamte Weltall durchquert hat, diese Strecke unendlich lang (groß). Dieser tritt jedoch nie ein und, da das Raumschiff auf keine Grenzen stößt, befindet es sich die ganze Zeit im Unendlichen. Hier ist sicher eine Pause angebracht. Das Wesentlichste könnten Sie jetzt verstanden haben. Es ist zugegebenermaßen auch eine etwas verzwickte Materie. 1 n der Mengenlehre steht das -Zeichen statt unendlich groß für unendlich viel.

15 - 14 A.6 Beispiele zum Differential aus der Physik Für die Anwendung des Differentialbegriffs in der Physik sollen zwei Beispiele genügen, die das bisher Erklärte verdeutlichen. Beispiel 1 ist dem Buch von F. Schwabl, Quantenmechanik, S.3, dort Abb. 1b, entnommen (s. hier die Abb. 6.1a mit gleichem Aussagegehalt) und beschreibt eine Kugelschale mit einem Radius, der durch den Wellenvektor k beschrieben wird, die die Dicke dk und das Volumen 2 4 k dk besitzt. Diese Schale soll durchsetzt sein von Punkten, die wie ein Gitter durch den Raum gehen und den Abstand voneinander haben. L Die Anzahl der Punkte dn pro Kugelschale gibt F. Schwabl dabei mit 2 1 Volumen der k Raum Kugelschale 4 k dk dn an 3 8 k Raum Volumen pro Punkt 8 L 1. (A-6.1) Bezogen auf unseren Differentialausdruck dk wird dabei deutlich, dass k und dk in der Physik genauso verwendet werden, wie in unserer Abb. 4.1 (dort steht x0 für k und für dk ) und nicht wie es z.b. Abb. 4.4 wiedergibt. Außerdem wird für das Differential eine endlich große Strecke angesetzt, deren Länge vom Autor beliebig festgelegt wird und über die sich das Volumen der 2 Kugelschale zu 4 k dk ergibt. n diesem Volumen wird anschließend die Anzahl dn der Punkte bestimmt. (Der Umstand, dass von einem Volumen gesprochen wird, setzt also eine endlich große Größe hier als Differential dk - voraus, womit der Charakter der Endlichkeit, wie oben erwähnt, zum Ausdruck kommt. Betrachtet man das Differential auch als Symbol für einen Grenzzustand, wie es in Abb. 6.1b der Fall ist, wird es zu dieser anschaulichen Größe.) F. Schwabl summiert danach in einer ntegralbildung über alle dk auf (bzw. er ersetzt noch k durch c k ), was unserer Situation in Abb. 4.3 entspricht. Diese vollzieht er dann in den Grenzen von 0 bis. Beispiel 2 (s. Abb. 6.2) zeigt eine häufige Darstellungsart des Differentials in Physikbüchern 2, 3 und würde mit den hier gewählten Abbildungen (Abb. 4.2, 4.3 und 4.4a) übereinstimmen, wenn nicht Beispiel 1 schon verdeutlicht, dass nur Abb. 4.3, 4.2 oder besser noch 4.1 vorzuziehen wäre. wird darin mit beliebig zu wählender Breite angesetzt. Hat man Schwierigkeiten im Umgang mit Differentialen, wie sie in physikalischen Formeln auftreten, so kann man Differentiale auch näherungsweise durch kleine -Werte ersetzen, was im folgenden Beispiel zu entsprechender Formulierung führt: c Mit und d d folgt f c 1 d d c d ( c const.) f f 1 Die Zahl 8 in diesem Ausdruck rührt von geometrischen Überlegungen her. 2 Siehe H. Stroppe, Physik, S. 44, Bild 4.8b oder 3 G. M. Barrow, Physikalische Chemie, Teil, S. 36, Bild 2.4. (A-6.2)

16 Weiterhin sei dy y x nx n n1 n n 1 oder d x n x (A-6.3) Mit x f und n 1 gilt 2 1 df d df f f f df Daraus folgt mit (A 6.2) : d c f 2 2 (A-6.4) (A 6.5) Näherungsweises Ersetzen von d durch ergibt c f und c (A-6.6) 2 f f (Ableitungen dieser Art sind manchmal in der Physik zu finden.) A.7 Das partielle Differential Gelegentlich hat man nicht eine Funktion y f ( x ) vorliegen (eher geschrieben als y f ( x) ), wobei die Größe y von der Veränderlichen x abhängt, sondern es gibt auch mehrdimensionale Funktionen wie y f ( x, x ) - oder allgemein y f ( x, x,..., x ) -, bei denen die Größe y eine Funktion der Veränderlichen x, x,..., x ist. dy df ( x ) So, wie man bei der Funktion y f ( x ) die Ableitung bilden, sie also differenzieren kann, stellt sich die Frage, ob entsprechende Ableitungen auch bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen x, x,..., x möglich sind. Es geht also darum, wie ein Grenzzustand, den man bei y f ( x ) für eine Tangente an die Kurve erhält, bei einer Funktion y f ( x, x,..., x ) aussieht bzw. wie dort die jeweiligen Grenzzustände für entsprechende Tangenten lauten. Dazu sei die Funktion y f ( x, x ) und die Abb. 7.1a näher betrachtet. Hierbei sollen die 4 Bögen eine gekrümmte Ebene andeuten, auf der alle Werte y f ( x, x ) liegen. st ein Punkt P auf der gekrümmten Ebene gegeben, so lässt sich zu jedem beliebigen weiteren Punkt C ' in dieser Ebene eine Strecke PC ' angeben. Die Strecke PC ' soll dabei in der Schnittebene C, C ' liegen,

17 wie sie durch das gestrichelte Parallelogramm in Abb. 7.1a dargestellt wird. Lässt man nun C ' immer mehr gegen den Punkt P gehen, so erhält man für den Grenzzustand die tangential am Punkt P anliegende Strecke PC in der Ebene C, C ' (s. dazu auch Abb. 7.1b). Ebenso wie die Schnittebene C, C ' in Abb. 7.1a lassen sich aber auch zwei andere exponierte Schnittebenen für die Funktion y f ( x, x ) einzeichnen (s. dazu Abb. 7.2a). Für B, B ' gilt dabei x P const. und für D, D ' x P const. Hier kann man ganz analog zur Strecke PC ' die Strecken PB ' und PD ' bilden und, indem B ' und D ' auf P zuwandert, die jeweiligen Grenzzustände PB und PD als tangential am Punkt P anliegende Strecken auch erhalten (s. Abb. 7.2b und 7.2c). Die Strecken bzw. Grenzzustände PB und PD sollen dabei so angeordnet sein, dass man durch deren Vektoraddition die Strecke bzw. den Grenzzustand PC erhält (s. auch Abb. 8.1). PD ist also parallel zu BC. Man sieht also, wenn man zwischen zwei beliebigen Punkten P und C ' deren Grenzzustand PC betrachtet, dass sich dieser immer in die Grenzzustände PB und PD aufspalten lässt, wobei jeweils eine Koordinate (das eine Mal x und das andere Mal x ) konstant gehalten wird. Konnte wie bei der Funktion y f ( x ) dy man eine Tangente als Grenzzustand einfach dadurch erhalten, dass wir die Ableitung bildeten, so haben wir bei der Funktion y f ( x, x ) eine ganze Reihe von Tangenten als Grenzzustände zur Auswahl (so mit den dargestellten Strecken PC, PB und PD ). Da man den Punkt C ' beliebig in der gekrümmten Ebene wählen kann, sind es eigentlich unendlich viele Strecken PC, die man tangential an den Punkt P erhält. Die Grenzzustände, bei denen die jeweils anderen Koordinaten konstant gehalten werden, dy bezeichnet man als partielle Ableitung. Statt bei der Funktion y f ( x ) mit nur einer y y Veränderlichen führt man dabei die Schreibweise mit x const. und mit x const. x x ein. y bzw. x oder x gibt man einen besonderen Namen und nennt sie partielle Differentiale. Es gilt also: y x dy, wobei x const. und (A-7.1) y x dy, wobei x const. (A-7.2)

18 dy Ebenso wie bei dem Differentialquotienten für die Funktion y f ( x ) der Umstand infrage kommt, dass es vom Belieben des Darstellers abhängt, welche Länge er den Differentialen dy und gibt (er brauchte dabei nur das Verhältnis zwischen dy und zu wahren; s. das y y Unterkapitel A.3), gilt bei den Differentialquotienten bzw., dass es vom Belieben des x x Darstellers abhängt, welche Länge er den partiellen Differentialen y und x bzw. x gibt (auch wieder unter Wahrung der Verhältnisse). Wir können also unsere gewonnenen Erkenntnisse über den Differentialbegriff hier anwenden. Da bei einem partiellen Differential die jeweils andere Koordinate konstant ist man könnte auch sagen: als Konstante betrachtet werden kann -, bilden sich diese Ableitungen für die Funktion y f ( x, x ) wie folgt: y x f ( x, x ) x mit x als Konstante (A-7.3) y x f ( x, x ) x mit x als Konstante (A-7.4) Allgemein gilt sogar: st eine Funktion y f ( x, x,..., x ) gegeben, so bezeichnet man y x f ( x, x,..., x ) x, (A-7.5) wobei x,..., x als Konstante zu behandeln sind, als partielle Ableitung. y y y Entsprechendes gilt für die Beziehungen, bis. x x x Das hat zur merkwürdigen Konsequenz, dass man diese Differentialquotienten so wie gewöhnliche Ableitungen berechnen kann, nur dass man die konstant zu haltenden anderen Veränderlichen als gewöhnliche Konstanten ansieht (s. auch Aufgabe 6)). Soweit also die Betrachtungen zum Begriff des partiellen Differentials. A.8 Das totale Differential Die Ausführungen, die wir in dem Unterkapitel A.3 für eine Tangente an eine Kurve der Funktion y f ( x) machten, sollen nun auf eine allgemeinere Basis gestellt werden. Galt für den Differentialquotienten dieser Funktion (für diese sei im Folgenden wieder y f ( x ) geschrieben), der Ausdruck dy df ( x ) df ( x ) dy, (A-8.1 ) so soll uns nun interessieren, wie dieser für eine Funktion y f ( x, x,..., x ) ausfällt. Der Einfachheit halber gehen wir dabei von einer Funktion y f ( x, x ) aus. Anschaulich betrachtet, fragen wir danach, wie der Differentialquotient für eine Tangente an eine gekrümmte Ebene, wie sie in Abb. 7.1a dargestellt wurde, aussieht, d.h., wir interessieren uns für