CORDIC-Algorithmen in der Lehre, in Mathematik, Implementation und Anwendungen

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1 CORDIC-Algorithmen in der Lehre, in Mathematik, Implementation und Anwendungen Thomas Risse Institut für Informatik & Automation Hochschule Bremen Tradition Potenzreihen-Entwicklung vs CORDIC CORDIC rotation vectoring hyperbolic and linear mode Implementation Anwendungen c risse@hs-bremen.de Mai Norddeutsches Kolloquium Informatik

2 Th.Risse (HSB) CORDIC 2 1. Tradition Ausgangspunkt ist die Frage: Wie berechnet man effizient beispielsweise e π sin 1 3 arctan 1 7 cosh 0.7 e... (auch meine) typische, im übrigen übliche wie gängige Antwort Polynom-Approximation (Potenz-, Taylor-Reihe) Fourier-Approximation (Fourier-Reihe) Newton (-Raphson), natürlich nur für etwa e look up table mit linearer Interpolation (trading space for time)

3 Th.Risse (HSB) CORDIC Beispiele für diese Tradition in der Literatur Hartmann Der Taschenrechner macht nichts anderes, als die ersten Glieder von x i i=0 auszuwerten. i! Papula Näherungsweise Berechnung von Funktionswerten... Stingl Per Taylor-Polynom kann man den Wert beliebiger Funktionen näherungsweise, nur mit Hilfe der Grundrechnungsarten berechnen. Stöcker Unter der Verwendung von Potenzreihen kann die Berechnung von Funktionswerten auf einfache Weise erfolgen... Brauch/Dreyer/Haacke Reihen von Zahlen werden i.a. dazu benutzt, Funktionswerte von transzendenten Funktionen zu berechnen. Burg/Haf/Wille Verweis auf Bernstein-Polynome, Tschebyscheff-Polynome, (B-) Spline-Approximation... alle behandeln Potenz- und Fourier-Reihen...

4 Th.Risse (HSB) CORDIC Bedeutung der Fragestellung sin, cos Rotationen der generativen Computer Graphik Fourier-Transformation und Abkömmlinge Sinus-Generator sqrt(x) Normieren von Vektoren... übrige elementare Funktionen 1.3. Taylor-Approximation kann es nicht sein! extrem unterschiedliche Laufzeit Konvergenz-Geschwindigkeit hängt vom Argument ab! extrem unterschiedliches Konvergenz-Verhalten (vgl. e x und ln x) seit 1980 implementiert 8087 eine Reihe von Konstanten plus FPATAN, FPTAN, FSQRT, FYL2X, FYL2XP1 seit 1985 implementiert zusätzlich FCOS, FSIN, FSINCOS

5 Th.Risse (HSB) CORDIC Taylor-Approximation vs CORDIC Berechne cos 1 3. (Fehler aufgrund Rundung des Argumentes werden hier nicht betrachtet.) Taylor Approximiere cos x durch n ( 1) i i=0 (2i)! x2i Approximation der Reihe durch Polynom bei festem Argument Fehler aufgrund dieser Approximation und der Arithmetik CORDIC CORDIC = COordinate Rotation DIgital Computer Volder 1959 (!), Walther 1971 Approximation durch Approximation des Argumentes Falls cos x, also die transzendente Funktion ansonsten korrekt berechnet wird: Fehler aufgrund dieser Approximation und der Arithmetik

6 Th.Risse (HSB) CORDIC 6 2. CORDIC Illustration am Beispiel, etwa sin x oder cos x oder... zu berechnen (Wie fangen Mathematiker einen Löwen? Sie fangen zwei und lassen einen wieder laufen!) cos ϕ + j sin ϕ = e j ϕ = e j ϕn 1 e j ϕn 2 e j ϕ1 e j ϕo falls ϕ = n 1 i=0 ϕ i oder eben vektoriell geschrieben wobei hier ϕ o = 0 ( ) cos ϕ sin ϕ = = ( ) ( cos ϕ sin ϕ 1 sin ϕ cos ϕ 0) ( ) ( ) ( ) cos ϕn 1 sin ϕ n 1 cos ϕ1 sin ϕ 1 1 sin ϕ n 1 cos ϕ n 1 sin ϕ 1 cos ϕ 1 0

7 Th.Risse (HSB) CORDIC CORDIC-Rotations ( ) cos ϕ sin ϕ = = = n 1 i=0 n 1 i=0 ( ) ( ) cos ϕi sin ϕ i 1 sin ϕ i cos ϕ i 0 ( ) ( 1 tan ϕi 1 cos ϕ i tan ϕ i 1 0) ( n 1 i=0 cos ϕ i ) n 1 i=0 ( ) ( 1 tan ϕi 1 tan ϕ i 1 0) Wähle ϕ i = arctan 2 i, dann besteht eine Cordic-Rotation ( ) ( ( ) ( ( ) 1 tan ϕ i x 1 2 i x x 2 = ± tan ϕ i 1 y) ±2 i = 1 y) i y 2 i x ± y aus 2 SHIFTs und 2 ADDs. Berechnung mit Prä- oder Post-Skalierung n 1 K = lim n i=0 n 1 cos arctan 2 i = lim n i= i 1/

8 Th.Risse (HSB) CORDIC CORDIC-Algorithmus (rotation, forward) CORDIC-Algorithmen operieren auf Tripeln (x i, y i, z i ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( xi i xi xi 2 = y i+1 ±2 i = i y i xo 1 1 y i 2 i = x i ± y i mit y o 0) 0 z i+1 = z i α i sgn(z i ) mit α i = arctan 2 i z o = ϕ s.a.

9 Th.Risse (HSB) CORDIC CORDIC-Konvergenz & -Konvergenz-Bereich Gegeben α o α 1... α n > 0 mit α k α n + n i=k+1 α i für alle 0 k n. Gegeben r IR mit r n i=0 α i. Definiere induktiv z i+1 = z i + α i sgn(r z i ) mit z o = 0. Dann gilt: n r z k α n + α i für alle 0 k n und speziell r z n+1 α n i=k Konvergenz für alle r n i=0 α i Falls α n 0 dann z n r n für α i = arctan 2 i CORDIC-scaling Falls K in sign-digit-representation K = n i=0 κ i2 i mit κ i = ±1, dann auch Skalierung nur mit SHIFTs und ADDs. Alternativen...

10 Th.Risse (HSB) CORDIC CORDIC-vectoring (vectoring, backward) Um ϕ = arcsin(arg) oder arccos(arg) = π 2 arcsin(arg) zu berechnen, rotiere den Einheitsvektor e x, bis die y-koordinate des gedrehten Vektors mit arg übereinstimmt: y i arg ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( xi i xi xi 2 = y i+1 ±2 i = i y i xo 1 1 y i 2 i = x i ± y i mit y o 0) ϕ z i+1 =z i +α i sgn(arg y i ) mit α i =arctan 2 i z o = 0 y arg arccos(arg) arcsin(arg) 1 x

11 Th.Risse (HSB) CORDIC Koordinaten-Transformationen rotating (r, ϕ) (x, y) = r(cos ϕ, sin ϕ) vectoring berechne ϕ = arctan y x zu (x, y) (r, 0) = ( x 2 + y 2, 0 ) 2.7. hyperbolic CORDIC cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cosh(j x) = cos x sinh(j x) = j sin x cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x hyperbolic CORDIC berechnet rotating sinh, cosh und so tanh, coth und exp = sinh + cosh vectoring arsinh, arcosh, artanh und so ln x = 2 artanh x 1 x linear CORDIC linear CORDIC multipliziert (rotating) und dividiert (vectoring)!

12 Th.Risse (HSB) CORDIC CORDIC Funktionalität mode m rotating circular 1 sin, cos (r, ϕ) r ( cos ϕ, sin ϕ ) =(x, y), tan, cot linear 0 Multiplikation hyperbolic 1 sinh, cosh tanh, coth, exp mode m vectoring circular 1 arcsin, arccos, arctan, arccot (x, y) (r, ϕ) linear 0 Division hyperbolic 1 artanh arsinh, arcosh, ln, sqrt

13 Th.Risse (HSB) CORDIC Implementierungen building blocks pipeline (DFT)

14 Th.Risse (HSB) CORDIC 14 tree (DFT) ISA parallel, MMX speed space (area/memory efficient) low power fault tolerance

15 Th.Risse (HSB) CORDIC Anwendungen Beispiele Transformationen in der generative Computer-Graphik, z.b. 2D, 3D Rotationen, Normalisierungen, 3D-graphics and animations spherical vector interpolation für Phong shading bei Berücksichtigung des level of detail/hvs per # CORDIC-Interationen {X n : 0 n < N} {Y k = N 1 l=0 X le j 2 πl k/n : 0 k < N} DFT per pipelined CORDIC, FFT, DCT, Wavelets Raster-Bilder in real time drehen (parallele Rotation von 8 8 windows) preprocessing, i.e. Normalisieren per Rotation, Skalierung für Handschriften-Erkennung etwa auf PDAs Motion Estimation statt per block matching per matching in DCT domain, per Hough Transformation (Strecken der polygonalen Kontour in Hesse scher Normalform), für Video-Coding wie MPEG, H.261, H.263

16 Th.Risse (HSB) CORDIC Empfehlung etwa für die Technische Informatik Vorschlag: CORDIC-Algorithmen ihrer Bedeutung entsprechend in Mathematik (Additionstheoreme, Geometrie, Konvergenz, Algorithmik, Komplexität, Fehler-Analyse) Rechner-Strukturen/Computer-Archtektur (FK- vs GK-Arithmetik, sign-digit-representation, pipelining, Parallelisierung) generative Computer Graphik, imaging, Signalverarbeitung etc. zu berücksichtigen, um Anwendungsbezogenes, Fächer-übergreifendes (wider die Modularisierung!) Lehren und Lernen zu stärken.

17 Th.Risse (HSB) CORDIC einige wenige Referenzen (bei 5-10K Google hits) Jack E. Volder: The CORDIC Trigonometric Computing Technique; IRE Trans. Electronic Computers, Vol EC-8, September 1959, pp J.S. Walther: A Unified Algorithm for Elementary Functions; Proc. Spring Joint Computer Conference 1971 pp Yu Hen Hu: CORDIC Based VLSI-Architectures for Digital Signal Processing; IEEE Signal Processing Magazine, July Yu Hen Hu: The Quantization Effects of the CORDIC Algorithm; IEEE Trans. Signal Processing, Vol 40, No 4, April Sven Simon, Peter Rieder, Christian V. Schimpfle, Josef A. Nossek: CORDIC Based Architectures for the Efficient Implementation of Discrete Wavelet Transforms; ISCAS 1996, IEEE Christian V. Schimpfle, Sven Simon, Josef A. Nossek: Low Power CORDIC Implementation Using Redundant Number Representation; Proc. IEEE Int. Conference Application-Specific Systems, Architectures and Processors (ASAP 97), July 14-16,

18 Th.Risse (HSB) CORDIC 18 Peter Rieder, Sven Simon, Christian V. Schimpfle: Application Specific Efficient VLSI Architectures for Orthogonal Single- and Multiwavelet Transform; J. VLSI Signal Processing 21, (1999) Sven Simon, M. Müller, H. Gryska, A. Wortmann, S. Buch: An Instruction Set for the Efficient Implementation of the CORDIC Algorithm; ISCAS 2004 Th. Risse: CORDIC-Algorithmen, s. numerik.pdf, numerics.pdf in Th. Risse: CORDIC references papers/cordic.doc/cordicreferences.pdf