Konzept diskreter Zufallsvariablen

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1 Statistik 1 für SoziologInnen Konzept diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Beispiel: Zufallsvariable 3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert. Elementar- Wahrschein- h ereignis lichkeit KKK 1/8 KKZ 1/8 KZK 1/8 ZKK 1/8 KZZ 1/8 ZKZ 1/8 ZZK 1/8 ZZZ 1/8 2 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 1

2 Beispiel: Zufallsvariable 3 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Beispiel: Zufallsvariable Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe) Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Zahl ergibt sich durch Summation der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse, die mit dieser Zahl verknüpft sind: Anzahl Kopf Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert. Elementar- Anzahl Wahrschein- ereignis Kopf lichkeit KKK 3 1/8 KKZ 2 1/8 KZK 2 1/8 ZKK 2 1/8 KZZ 1 1/8 ZKZ 1 1/8 ZZK 1 1/8 ZZZ 0 1/8 Wahrscheinlichkeit 1/8 3/8 3/8 1/8 4 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 2

3 Beispiel aus Buch von Agresti General Social Survey Question: What do you think is the ideal number of children for a family to have? Ideal Number Probability 0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01 If you randomly pick out a person from the USpopulation the probability of each allowed answer will follow the above table. 5 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Zufallsvariable (Random Variable) Eine Variable X, die jedem möglichen Ereignis e E eines Zufallsexperimentes eine Zahl X(e) zuordnet, wird als Zufallsvariable bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X ist die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu allen durch X definierten Ereignissen. 6 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 3

4 Wahrscheinlichkeitsfunktion Die Funktion f(x), die jeder Zahl x die Wahrscheinlichkeit P(X=x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariablen X: f(x) = P(X = x) Seien x 1, x 2,..., x i,... die Realisationsmöglichkeiten der diskreten Zufallsvariablen X, so wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion oft kurz als p i geschrieben: f(x i ) = P(X = x i ) = p i i=1, 2,... 7 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Beispiel: Zufallsvariable Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe) Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeit 1/8 3/8 3/8 1/8 P{X=2} = 3/8 P{X 2} = 1 - P{X > 2} = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 1-1/81/8 =7/8 P{0 < X 1} = 3/8 P{X > 1} = 1 - P{X 1} = 3/8 + 1/8 = 1-1/8-3/8 = 4/8 8 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 4

5 Verteilungsfunktion Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X zu definieren, genügt es Ereignissen des Typs {X x} Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Daraus lassen sich bereits für alle anderen durch X definierten Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten ermitteln. Die Funktion F(x), die jedem x die Wahrschein-lichkeit P(X x) zuordnet nennt man die theoretische Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X: F(x) = P(X x) 9 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Anzahl Kopf Wahrscheinlichkeitsfunktion 1/8 3/8 3/8 1/8 V erteilungsfunktion 1/8 4/8 7/8 8/8 P{X 0} = 1/8 P{X 1} = 4/8 P{X 2} = 7/8 P{X 3} = 8/8 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Verteilungsfunktion Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 5

6 Eigenschaften der Verteilungsfunktion F(x) nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an, d.h. es gilt 0 F(x) 1 F(x) steigt für wachsendes x monoton an F(x) 1 für x F(x) 0 für x - x 1 < x 2 F(x 1 ) F(x 2 ) 11 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable f(x) F(x) im diskreten Fall Zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und der Verteilungsfunktion F(x) gelten im Fall der diskreten Zufallsvariable X mit den Realisationsmöglichkeiten x 1, x 2,..., x i,...: Fx) ( = fx ( i ) xi x F(x i ) - F(x i-1 ) = f(x i ) F(x i ) = P(X x i ) = = P(X < x i ) + P(X = x i ) = = F(x i-1 ) + P(X = x i ) 12 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 6

7 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Bei einem Wissenstest muss ein Kandidat bei jeder Frage ein Zuordnungsproblem der folgenden Art lösen: 1) Erste Türkenbelagerung g 2) Schlacht von Hastings 3) Entdeckung Amerikas a) 1066 b) 1492 c) 1529 Der Ereignisraum kann wie folgt dargestellt werden: a b c a c b b a c b c a c a b c b a Die Anzahl der richtigen Antworten bei dieser Frage ist, da die korrekte Lösung (c a b) lautet, wie folgt: Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Geht man davon aus, dass der Kandidat die Fragen nach einem Zufallsprinzip beantwortet (jede der 6 Antworten mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählt), ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der richtigen Antworten folgendes: Anzahl richtige Antworten Wahrscheinlichkeit /6 3/6 0 1/6 14 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 7

8 Beispiel: Diskrete Zufallsvariable Stellt man den Kandidaten wiederholt eine Problemstellung des obigen Typs, kann man wohl davon ausgehen, daß der Kandidat im Mittel pro Problem eine richtige Antwort treffen wird: x i p i x i p i 0 2/ /6 3/ /6 3/6 Summe 1 1 Dieses gewogene Mittel nennt man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen. 15 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Erwartungswert Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationsmöglichkeiten x i und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion p i =P(X=x i ), i=1,2,... Dann heißt E(X) der Erwartungswert von X. EX ( ) = μ = i xp i i Gewichtete Summe der Merkmalsausprägungen, wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten sind. 16 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 8

9 Beispiel Würfelwurf Wir betrachten einen idealen (unverfälschten) Würfel, welcher folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt: Würfel x i p i x i p i 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 E(X) = 3,5 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/6 Summe 1 3,5 17 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Arithmetisches Mittel Bei 12 Würfen mit dem Würfel wurde folgendes Ergebnis beobachtet: 5, 3, 4, 5, 5, 2, 6, 1, 4, 1, 3, 6 Der Durchschnitt (das Arithmetische Mittel) dieser 12 Augenzahlen ist 3,75. Das arithmetische Mittel (oder der Durchschnitt) x der Zahlen x 1,..., x n ist definiert als: x = 1 ( n x + x + + x n = ) n n i= 1 x i 18 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 9

10 Beispiel Würfelwurf Das Ergebnis des Würfelwurfs lässt sich auch in einer Häufigkeitstabelle zusammenfassen: x i n i h i x i h i x i n i 1 2 2/12 2/ /12 2/ /12 6/ /12 8/ /12 15/ /12 12/12 12 Summe / /12 = 3,75 19 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Arithm. Mittel versus Erwartungswert Erwartungswert ist ein theoretischer Wert (theoretischer Lageparameter), der die zentrale Tendenz einer diskreten Zufallsvariable charakterisiert, indem die Merkmalsausprägungen mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert und dann summiert werden. Das arithmetische Mittel ist ein empirischer Wert (empirischer Lageparameter), der die zentrale Tendenz einer realen Beobachtung (Stichprobe) charakterisiert, indem die Merkmalsausprägungen mit ihrer relativen Häufigkeit multipliziert und dann summiert werden. 20 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 10

11 Inferenzstatistisches Prinzip In der Inferenzstatistik (schließenden Statistik) versucht man durch den systematischen Vergleich von empirischen Häufigkeitsverteilungen mit hypothetischen theoretischen Modellen Schlußfolgerungen über den datengenerierenden Prozeß ziehen zu können. Dieser Vergleich kann auf verschiedenen Ebenen erfolgen: Vergleich der theoretischen und der empirischen Verteilung (z.b. Säulendiagramm versus Wahrscheinlichkeitsfunktion) Vergleich von Maßzahlen (z.b. Mittelwert versus Erwartungswert) 21 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Anwendung beim Zuordnungstest In 3 Schulklassen (A, B, C) mit je 30 Schülern wird der zuvor beschriebene Zuordnungstest durchgeführt: Korrekt Prob Theorie A B C 0 2/ / / Erwartungswert bei zufälligem Antwortverhalten 1 richtige Lösung pro Schüler Mittelwert in Klasse(A): 1/3 Mittelwert in Klasse B: 9/10 Mittelwert in Klasse C: 22/10 22 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 11

12 Vergleich empirische theoretische Verteilung Theorie A 10 Theorie B Theorie C Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Eigenschaften des Erwartungswertes Linearität: Additivität: 24 E(aX + b) = ae(x) + b E(X + Y) = E(X) + E(Y) Beachte : E(X + X) = E(2X) aber X+ X 2X Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 12

13 Zufallsvariable Augenzahl Augenzahl (X) P(X=x) x.p(x=x) 1 0,167 0, ,167 0, ,167 0, ,167 0, , , ,167 1,000 3,5 E(X) = 3,5 25 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Zufallsvariable Doppelte Augenzahl (2X) Augenzahl (2X) P(X=x) x.p(x=x) 2 0,167 0, ,167 0, ,167 1, ,167 1, ,167 1, ,167 2,000 7 E(X) = 3,5 E(2X) = 2*3,5=7 26 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 13

14 Summe Augenzahl von 2 Würfen Ergebnis Augen Augen Augen Augen Augen Augen Möglichkeiten Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Zufallsvariable X+X Summe Augenzahl von 2 Würfen ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0, ,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 z.b.: P(X+X=7)=6/36 28 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 14

15 Zufallsvariable X+X Augenzahl Y=X+X P(Y=y) y.p(y=y) 0, , , ,056 0,167 0, ,083 0,333 0, ,111 0,556 0, ,139 0,833 0, ,167 1,167 0, ,139 1, ,111 1,000 0, ,083 0,833 0, ,056 0,611 0, , , ,000 7,000 P(Y=y) E(X) = 3,5 E(2X) = 2*3,5 = 7 E(X+X) =7= E(2X) 29 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Varianz einer ZV Misst die theoretisch zu erwartende Schwankung eines zufälligen Phänomens V(X) = E(X²) E(X)² V(X) = [x E(X)]²p(x ) i i i Analoge Eigenschaften wie bei der empirischen Varianz Y = a + bx V(Y) = b²v(x) 30 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 15

16 Varianz beim Roulette (Varianz.XLS) Unterschiedliche Strategien haben den selben Erwartungswert aber eine verschiedene Varianz! 31 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Varianz beim Roulette (Varianz.XLS) 250 Drücken Sie F Simulation Spiel auf Dutzend Simulation Spiel auf 1 Zahl Theorie 32 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 16

17 Basic Insurance Model Reserve at Start: 100,000 Mean Number of Claims per Period: 100 Mean of Claim Amount: 1,000 Premium per period: 110,000 Expectation for Total Claim Amount 100,000 Expected Win per Period: 10,000 Ein sicheres Geschäft? Versuchen Sie die Simulation: Insurance Model.XLS Durch Drücken von F9 erhalten Sie immer wieder ein neues Szenario 33 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable One Possible Simulation-Scenario Development of Reserve A m o u n t Period 34 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 17

18 Conclusion The consideration of expectations is not sufficient Since number of claims and amount of claims are variable from period to period we need models to deal with this intrinsic variability The concept of probability and the notion of random variables offer us a formal calculus for such problems The analysis and investigation of data allows us the application of such methods to control insurance business 35 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Modern Risk Theory In 1903 Filip Lundberg a Swedish actuary laid the foundations of modern risk theory. Risk theory is a synonym for non-life insurance mathematics, dealing with stochastic models of claims that arrive in an insurance business (count and amount of claims) and gives advice on how much premium has to be charged. 36 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable Marcus Hudec 18