Einführung in die Geostatistik (2) Fred Hattermann (Vorlesung), Michael Roers (Übung),

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1 Einführung in die Geostatistik () Fred Hattermann (Vorlesung), Michael Roers (Übung),

2 Gliederung Allgemeine Statistik. Deskriptive Statistik. Wahrscheinlichkeitstheorie.3 Statistische Tests

3 Was ist die Aufgabe der Statistik? Aufgabe der Statistik ist die Zusammenfassung von Daten, deren Darstellung, Analyse und Interpretation. Sie müssen schon bei der Planung eines Versuches berücksichtigt werden. Man unterscheidet zwischen beschreibender oder deskriptiver und schließender oder analytischer Statistik. Statistik und Stochastik: Statistik ist die Methodik, Daten nach einem Zufallsverfahren zu gewinnen und zu analysieren, um zu neuen Erkenntnissen zu gelangen. Stochastik ist die wissenschaftliche Disziplin, die sich mit der Behandlung von Zufallsereignissen und der Wahrscheinlichkeitsrechnung befasst. Die Notwendigkeit zur Anwendung statistischer Methoden ergibt sich immer dann, wenn die Datengrundlage für numerische Analysen nicht vollständig ist, d.h. wenn nur eine Stichprobe anstelle der eigentlich interessierenden Grundgesamtheit zur Verfügung steht.

4 Niederschlag [mm] Augenzahl Fallhöhe [m] Warum Statistik? Ein statistisches Modell beschreibt die Eigenschaften eines Zufallsprozesses. Beispiel für deterministisches Ereignis: Fallhöhe eines Balles. Zeit [t] Beispiel für unkorreliertes stochastisches (stat.) Ereignis: Würfeln. Zeit [t] Beispiel für korreliertes stochastisches (stat.) Ereignis : Zeit [t] Niederschlagshöhe.

5 - Einführung Es ist grundsätzlich unmöglich, die Umwelt vollständig zu beschreiben, vielmehr werden Realitätsausschnitte oder Merkmale untersucht. Die konkrete Merkmalsausprägung ist messbar und wird für die mathematische (statistische) Analyse in Zahlwerte kodiert. In der Mathematik bezeichnet man die Merkmale als Variablen und die durch Zahlwerte kodierten Merkmalsausprägungen als Werte. Beispiel: Beobachtungsvariable = Stoffkonzentration; Wert der Beobachtungsvariable = X [mg/l]. Es gibt unabhängige und abhängige Variablen. Z.B. ist die Temperatur von der Höhe abhängig, die Höhe aber nicht von der Temperatur. Diese Abhängigkeit kann man sich bei der Interpolation zunutze machen. Weiter gibt es kategorische oder qualitative Variablen wie z.b. geologische Einheiten und metrische oder quantitative Variablen wie z.b. Konzentrationen.

6 - Einführung Beispiel: Hinzunahme von Höheninformation zur Interpolation von Temperaturen (links ohne, rechts mit).

7 . Einführung () Die deskriptive Statistik dient der Beschreibung quantitativempirischer Daten. Ziel ist es, Daten und die ihnen zugrunde liegenden Muster sinnvoll darzustellen und zusammenzufassen. Beispiele sind: Tabellen (z.b. Häufigkeitstabellen, oft Einteilung in Klassen); Grafiken (z.b. Balkendiagramme oder Histogramme, Kreisdiagramme, Liniendiagramme); Statistische Kennwerte (z.b. Mittelwerte, Streuungsmaße). Im Gegensatz zur deskriptiven Statistik versucht man in der analytischen Statistik, von den Ergebnissen der Stichprobe auf die Grundgesamtheit der Beobachtungsvariablen zu schließen: Auf der Basis der Stichprobenwerte kann man auf die (räumliche) Verteilung der Beobachtungsvariablen schließen; Auf der Basis von Stichprobenwerten kann man Hypothesen überprüfen (ist z.b. die Temperatur in der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts signifikant höher als in der Zeit davor?). -> statistische Tests

8 . Deskriptive Statistik Anzahl Werte Häufigkeitsverteilung: Messwerte qualitativer (kategorischer) Variablen treten meist mehrfach auf. Bei quantitativen (metrischen) Variablen bildet man meist Intervalle oder Klassen, denen die Messwerte zugeordnet werden. Das Ergebnis ist in beiden Fällen eine Häufigkeitsverteilung. Diese Häufigkeitsverteilung lässt sich tabellarisch oder grafisch darstellen: Klasse Klassengrenzen Anzahl Werte Tabelle Histogramm Klasse

9 . Deskriptive Statistik Z.B. Temperaturen [ C] Klimastationen

10 . Lagemaße Lagemaße: Modalwert = der in der Stichprobe am häufigsten auftretende Wert; Medianwert = sowohl oberhalb als auch unterhalb des Medianwertes liegen 50 % der nach Größe sortierten Werte, er wird deshalb auch Zentralwert genannt; Mittelwert = arithmetisches Mittel oder Durchschnitt, also die Summe der Werte x i durch die Anzahl n der Werte: x n i n x i

11 . Streuungsmaße Dispersions- oder Streuungsmaße: Streuungsmaße beschreiben die Streuungsbreite oder Heterogenität der Werte. Bei kleiner Dispersion verteilen sich die Werte eng um den Mittelwert, bei großer weit. Wichtig sind: Range = Variationsbreite oder Spannweite zwischen dem größten und dem kleinsten Wert. Varianz = Die empirische Varianz ist eine Kennzahl für die Dispersion von gemessenen Werten um den Mittelpunkt herum. Je stärker die Messwerte der einzelnen Werte vom Mittelwert abweichen, desto größer ist die Varianz s der Variablen. In die Berechnung der empirischen Varianz gehen die quadrierten Abweichungen der einzelnen Werte x i von ihrem Mittelwert ein: s n n i ( x i x) Standardabweichung = Quadratwurzel der Varianz.

12 . Beispiel Lagemaße und Streuungsparameter Mittelwert x n i n x i Varianz s n i n ( x i x) Meßwerte Errechnung Varianz s 5 (x- x ) = (5-4) = Summe Summe 4 Mittelwert Varianz 0.8

13 Niederschlag [mm] Augenzahl Fallhöhe [m] Was ist ein statistisches Modell? Ein statistisches Modell beschreibt die Eigenschaften eines Zufallsprozesses. Beispiel für deterministisches Ereignis: Fallhöhe eines Balles. Zeit [t] Beispiel für unkorreliertes stochastisches (stat.) Ereignis: Würfeln. Zeit [t] Beispiel für korreliertes stochastisches (stat.) Ereignis : Zeit [t] Niederschlagshöhe.

14 . Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion: Betrachtet man stetige Zufallsvariablen, so kann man die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Realisation (eines Elementarereignisses) nicht bestimmen, dafür aber die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert innerhalb eines Intervalls liegt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte oder Dichtefunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die stetige Zufallsvariable X innerhalb von a und b liegt: P ( a X b) f ( x) dx b a Die Gesamtfläche unter dem Integral ist auf normiert: f ( x) dx

15 . Eintrittswahrscheinlichkeiten Überschreitungswahrscheinlichkeit Zwischenwahrscheinlichkeit Unterschreitungswahrscheinlichkeit

16 . Verteilungsmodelle

17 . Verteilungsmodelle Verteilungsmodelle: Die meisten Zufallsvariablen können durch Verteilungsmodelle beschrieben werden, wobei für stetige und diskrete Zufallsvariablen unterschiedliche Modelle Anwendung finden. Gleichverteilung: Für eine diskrete Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass alle k möglichen Ereignisse bzw. x i -Werte gleich wahrscheinlich sind: f(x i ) = /k für alle i =,..., k Für eine stetige Zufallsvariable bedeutet die Tatsache, dass sie gleichverteilt ist, dass der Graph der Funktionsvorschrift einen konstanten Wert hat und parallel zur x-achse verläuft.

18 . Normalverteilung y Wichtigstes statistisches Modell: Normalverteilung Mit Mittelwert (Erwartungswert) µ, Streuung (Varianz) σ und Standardabweichung σ. Für die Standardnormalverteilung ist µ = 0 und σ =. y e ( x ) σ µ + σ Normalverteilung x

19 . Normalverteilung Normalverteilung: Die Normalverteilung ist ein Verteilungsmodell für stetige Zufallsvariablen und wurde von Carl Friedrich Gauß entwickelt -> Gaußsche Glockenkurve. Wichtig: Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert (Erwartungswert) µ mit einer Streuung σ. Die Streuung bestimmt dabei die Breite der Verteilung. Normalverteilungen mit gleichem µ und σ sind identisch. Modalwert = Median = Mittelwert Im Bereich µ - σ bis µ + σ liegen ca. 68 % der Werte. Im Bereich µ - σ bis µ + σ liegen ca % der Werte.

20 . Vertrauensbereiche Vertrauensbereich für einen Beobachtungswert: Im Bereich µ -.96*σ bis µ +.96*σ liegen ca. 95 % der Werte. Im Bereich µ -.58*σ bis µ +.58*σ liegen ca. 99 % der Werte. Im Bereich µ - 3.9*σ bis µ + 3.9*σ liegen ca % der Werte. Beispiel: µ = 3, σ = => 95% der Werte liegen zwischen 3 +/-.96 *

21 . Vertrauensbereiche Vertrauensbereich für den wahren Mittelwert µ: Gibt das Intervall an, das den wahren Mittelwert µ mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit einschließt. Vorraussetzung ist, dass die Verteilung der für eine Stichprobe errechneten Mittelwerte eine Normalverteilung ist. x Formel: Vertrauens bereich x z * Dabei ist z für z.b. einen Vertrauensbereich von 95% =.96. s n

22 . Zentrale Grenzwertsatz Zentraler Grenzwertsatz: Wenn man eine Serie von Zufallsstichproben gleicher Größe aus derselben Grundgesamtheit zieht und die Mittelwerte berechnet, dann tendiert die Verteilung der Mittelwerte zur Normalverteilung.

23 Durch welche Parameter wird ein statistisches Modell beschrieben?. Moment: Erwartungswert von Z: E [ Z] z f ( z) dz x n i n x i Für Normalverteilung gleich dem Mittelwert. Moment: Varianz von Z Var[ Z] E[( Z E[ Z]) ] s n i n ( x i x) Kovarianz zweier Zufallsvarialen Z und Z : Cov[ ZZ] E[( Z E[ Z])( Z E[ Z])] n Cov( Z, Z) ( z, i z)( z, i z) n i Korrelation zweier Zufallsvariablen: Kor[ Z Z ] Cov( Z Z Var[ Z ) ] Var[ Z ]

24 . Unterschiedliche Normalverteilungen y y Gleiche Varianz, unterschiedliche Mittelwerte Gleiche Mittelwerte unterschiedliche Varianz y y

25 . Verteilungsmodelle Z-Transformation Die Z-Transformation Für viele biometrische Verfahren wird die Umwandlung der untersuchten Variablen einer gegebenen Normalverteilung in die Standard-Normalverteilung vorausgesetzt. Sie erfolgt durch: xi x) z s ( mit = Mittelwert und s = Standardabweichung x f ( z) e z

26 . Analytische Statistik Aber: Viele natürlichen Zufallsvariablen sind nicht normalverteilt. Eine häufig vorkommende Verteilung natürlicher Zufallsvariabler, welche per Definition nur positiv sein ykönnen (z.b. der Permeabilität von Böden), ist die Lognormalverteilung: y x e (ln x )

27 . Verteilungstransformation Transformation in eine Normalverteilung: Viele statistische Methoden setzen eine Normalverteilung der untersuchten Größe voraus. Liegt diese nicht vor, können verschiedene Verfahren angewandt werden, um eine schiefe Verteilung in eine Normalverteilung umzuwandeln: Logarithmische Transformation: y log x, y ln x Beispiel: Linkssteile Verteilungen Kehrwerttransformation: Beispiel: Rechtssteile Verteilungen y x oder y x Quadratwurzeltransformation: y x Beispiel: Vorliegen kleiner ganzer Zahlen bei einer Zählung Potenztransformation: Beispiel: Bei Rechtsgipfligkeit y n x

28 .3 Statistische Tests Vertrauensbereich: Der aus der Stichprobe berechnete Mittelwert µ ist nur ein Schätzwert für den Mittelwert (man kennt normalerweise nicht die gesamte Zufallsfunktion). Mit bestimmter statistischer Sicherheit lässt sich allerdings ein Vertrauensbereich +/- µ bis zu einem Schwellenwert α angeben, der den Parameter mit einschlisst. Nullhypothese und Alternativhypothese: Ho: Die Nullhypothese ist die Behauptung, dass beobachtete Unterschiede zwischen zwei Verteilungen rein zufällig sind. Ha: Durch Ausschluss von Ho wird die Alternativhypothese angenommen, welche bedeutet, dass ein Effekt vorhanden ist. Fehler. und. Art: Fehler. Art: Die Nullhypothese wurde unberechtigt abgelehnt. Fehler. Art: Die Nullhypothese wurde unberechtigt beibehalten.

29 T-Verteilung Tabellenwerte H0 -> Unterschiede sind zufällig Ha -> Unterschiede sind nicht zufällig T - test für gleichgroße Stichproben : t Prüfhypothesen : Ho : Ha : a a µ b µ b x s - x s n

30 .3 Statistische Tests Zur Erläuterung Vertrauensbereich: Der aus der Stichprobe berechnete Mittelwert µ ist nur ein Schätzwert für den Mittelwert (man kennt normalerweise nicht die gesamte Zufallsfunktion). Mit bestimmter statistischer Sicherheit lässt sich allerdings ein Vertrauensbereich +/- µ bis zu einem Schwellenwert α angeben, der den Parameter mit einschlisst.

31 .3 Analytische Statistik statistische Tests Statistische Tests: Statistische Test liefern Kriterien, um ausgehend von den Messwerten aus den Stichproben die aufgestellte Hypothesen (Ho bzw. Ha) anzunehmen oder abzulehnen. Dazu wird meist eine Prüfgröße errechnet. Anpassungstests ermitteln, ob die Werte der Stichprobe einer theoretischen Verteilung, z.b. der Normalverteilung, gehorchen. Sie selbst sind verteilungsfreie Verfahren.

32 .3 Analytische Statistik statistische Tests Konservative Tests: Fest vorgegebene Fehlerwahrscheinlichkeiten α für den Fehler. oder. Art zugunsten der Nullhypothese (halten länger als geboten an der Nullhypothese fest, darum ist ein relativ großer Stichprobenumfang nötig, um Ho zu verwerfen). Einseitige und zweiseitige Tests: Die Nullhypothese lautet meist, dass zwei Parameter einer gleichen Grundgesamtheit entstammen. Die Alternativhypothese kann alternativ lauten die Parameter sind ungleich (zweiseitige Alternativhypothese, da der Parameter größer oder kleiner als Parameter sein kann). Man müsste einen zweiseitigen Test anwenden. Weiß man allerdings schon die Richtung der Änderung (größer oder kleiner), muss man einen einseitigen Test anwenden. Beim einseitigen Test ist die Fehlerwahrscheinlichkeit (α/) kleiner als beim zweiseitigen Test. Daher hat der einseitige eine höhere Teststärke und deckt bestehende Unterschiede eher auf.

33 .3 Analytische Statistik statistische Tests Statistische Tests: Parametrische Tests (Vergleich von Parametern) setzten im allgemeinen Normalverteilung und Varianzhomogenität voraus. Bei den parameterfreien oder verteilungsfreien Verfahren werden anstelle der Messwerte Rankzahlen verwendet. Sie haben allerdings eine geringere Teststärke. Z.B. werden beim Kolmorogoff-Smirnoff-Test (K-S-Test) nur die Summenkurven der Normalverteilung und die der empirischen Daten auf ihre Abstände überprüft.

34 .3 Analytische Statistik statistische Tests Beispiel : Es soll untersucht werden, ob die Werte einer Stichprobe Normalverteilt sind. Anwendbare Tests: - graphisch durch Wahrscheinlichkeitsnetz - Chi -Test als Anpassungstest - G-Test als Anpassungtest - Test nach Kolmogoroff-Smirnoff - Schnelltest nach David und Mitarbeitern - Prüfung auf Schiefe und Excess

35 .3 Analytische Statistik statistische Tests Beispiel : Test auf Normalverteilung. Schnelltest nach David und Mitarbeitern: Man errechnet die Spannweite (den Range) und die Standardabweichung der Verteilung und vergleicht deren Quotient mit tabellierten Werten. Liegt er oberhalb einer kritischen Grenze, wird Ho abgelehnt. Prüfgröße: Spannweite (Range) Streuung R s Mit R = 0.0, s =.36: Spannweite (Range) Streuung Man liest dann aus einer Tabelle ab, ob der Wert 7.35 bei einer bestimmten Fehlerwahrscheinlichkeit (z.b. N = 80, α = 5%) den oberen Grenzwert überschreitet. Ist dies der Fall, wird die Hypothese der Normalverteilung abgelehnt.

36 .3 Analytische Statistik statistische Tests Beispiel : Es soll untersucht werden, ob sich zwei normalverteilte Stichproben signifikant unterscheiden y y

37 .3 Analytische Statistik statistische Tests Beispiel : Es soll untersucht werden, ob sich zwei normalverteilte Stichproben signifikant unterscheiden (hier: Eiergröße bei Fischen verschiedenen Alters). A x 36.5 s 6.0 n 8 Freiheitsgrade B T - test für gleichgroße Stichproben : t Prüfhypothesen : Ho : a µ b Ha : µ Irrtumswahrscheinlichkeiten : 0.05(Test einseitig) t a b x s - x s n

38 .3 Analytische Statistik statistische Tests Beispiel : Es soll untersucht werden, ob sich zwei normalverteilte Stichproben signifikant unterscheiden (hier: Eiergröße bei Fischen verschiedenen Alters). Ergebnis: Der errechnete Wert für den einseitigen T-Test ist 3.3. Er liegt damit über dem tabellierten Wert von.5 für 4 Freiheitsgrade und ein Signifikanzniveau von.5%. Daraus folgt, dass Ho (µ a =µ b ) abgelehnt werden muss, die Verteilungen sind also ungleich, und die Eier jüngerer Fische kleiner als die älterer Fische.

39 .3 Analytische Statistik statistische Tests Trenduntersuchung Strahlung Mann/Kendall Test (Zeitreihen gehen von ).

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41 . Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsexperiment: Die Wahrscheinlichkeit P (probabilité) ist ein quantitatives Maß, das die Sicherheit oder Unsicherheit eines Ereignisses ausdrückt. Ein Zufallsexperiment ist ein reales oder gedachtes Experiment, das theoretisch beliebig oft wiederholt werden kann, nach einer bestimmten Vorschrift durchgeführt wurde und dessen Ergebnis nicht mit Sicherheit vorhersehbar ist. Beispiel: Würfeln. Das Ergebnis eines Zufallsexperiments heißt Ereignis. Der Ereignisraum S ist die Grundgesamtheit oder Menge aller möglichen Elementarereignisse (nicht mehr in weitere Ereignisse zu unterteilen). Beispiel: Werfen eines Würfels ist das Zufallsexperiment, {6}, {gerade Augenzahl}, {<4} sind Ereignisse, {6} und {5} sind Elementarereignisse, S={,, 3, 4, 5, 6} ist der Ereignisraum. Jedes Ereignis ist also eine Teilmenge des Ereignisraums und setzt sich aus einem oder mehreren Elementarereignissen zusammen.

42 Rechenregeln: Allgemeine Statistik. Wahrscheinlichkeitstheorie Komplementärereignis: Ist B das Komplementärereignis von A, so ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von B: P( B) P( A) Beispiel: Ist P(A) = 0.7, dann ist P(B) = 0.3 Additionssatz: Für zwei sich ausschließende Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B auftritt, folgendermaßen errechnet werden kann: P( A B) P( A) P( B) Beispiel: Ist P(A) = 0. und P(B) = 0.4, dann ist P(A U B) = 0.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit: Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B A), dass das Ereignis B eintritt, obwohl das Ereignis A bereits eingetroffen ist, ist: P( B A) P( A B) P( A) Multiplikationssatz: Für zwei voneinander unabhängige Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B eintreten, ist: P( A B) P( A) P( B)

43 . Analytische Statistik Zufallsvariable: Man erhält eine Zufallsvariable, indem man jedem möglichen Elementarereignis des Ereignisraums eine reelle Zahl zuordnet. Die Zahlwerte stehen für einzelne Elementarereignisse, man nennt sie Realisation der Zufallsvariablen. Beispiel für Zufallsvariable: Körpergröße, Niederschlag, Konzentrationen Zufallsvariablen werden mit großen, die tatsächlichen Realisationen mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet. Wahrscheinlichkeitsfunktion: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsvariablen X ordnet jeder möglichen Realisation x i eine Wahrscheinlichkeit P zu: Zum Beispiel beim Würfeln: f(xi) = P(X=xi) (f(5) = P(x=5) = /6 = 0.667)