11. Prädikatenlogik (2): Quantoren

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1 LÖBNER Logikkurs Syntax der Quantoren Motivation für den Allquantor: 11. Prädikatenlogik (2): Quantoren Verallgemeinerung jede Person ist genau dann männlich, wenn sie nicht weiblich ist (M(a)ōŏW(a)) ʼn(M(b)ōŏW(b)) ʼn... ʼn(M(mut(a))ōŏW(mut(a))) ʼn... ʼn(M(vat(mut(mut(vat(f)))))ō ŏw(vat(mut(mut(vat(f)))))) ʼn... Muster: (M( _ )ō ŏw( _ )) gilt für alle üllungen der Leerstelle besser (weil allgemeiner): (M(x)ō ŏw(x)) gilt für alle möglichen Werte von x Lösung: Ŗx(M(x)ō ŏw(x)) für alle [mögl. Werte von] x gilt Motivation für den Existenzquantor: Minimalforderung mindestens eine Person ist der Vater von Hannelore a=vat(h) Ŋb=vat(h) Ŋ... Ŋmut(a)=vat(h) Ŋ... Ŋvat(mut(mut(vat(f))))=vat(h) Ŋ... Muster: _ =vat(h) gilt für mind. eine üllung der Leerstelle besser (weil allgemeiner): x=vat(h) gilt für mind. einen Wert von x Lösung: ŕx(x=vat(h)) für mind. ein[en Wert von] x gilt [1] ENTON Syntaktische Regeln für die Verwendung der Quantoren S3. b. Quantifizierte Aussagen Wenn A eine Aussage ist und x eine ndividuenvariable, dann sind auch þŕx Aÿ und þŗx Aÿ Aussagen. Leseweisen: þŕx Aÿ : für (mindestens) ein x gilt A / es gibt/es existiert (mindestens) ein x mit A þŗx Aÿ : für jedes x / für alle x gilt A Alternative Schreibweisen: þŕx Aÿ : þ\/x Aÿ (vgl. isjunktionszeichen Ŋ ) þŗx Aÿ : þ/\x Aÿ (vgl. Konjunktionszeichen ʼn) auch þ(x) Aÿ

2 LÖBNER Logikkurs Mehrfache Quantifikation a das Ergebnis einer Quantifikation, das heißt der Hinzufügung eines Quantors mit Variable, wieder eine Aussage ist, kann eine bereits quantifiziert Aussage (i) noch einmal quantifiziert werden (ii) den nput für aussagenlogische Junktionen bilden und dann noch einmal quantifiziert werden Auf beide Weisen können Aussagen mit mehreren Quantoren entstehen. Beispiele zu (i) (1) a. vat(x)=y b. ŕy vat(x)=y es gibt mindestens ein y mit vat(x)=y c. ŕxŕy vat(x)=y es gibt mindestens ein x und mindestens ein y mit vat(x)=y Wenn mehrere Existenzquantoren unmittelbar nacheinander angewendet werden, ist die Reihenfolge egal: z.b. sind ŕxŕy vat(x)=y und ŕyŕx vat(x)=y äquivalent. (2) a. Vw(x,y) b. Ŗx Vw(x,y) für alle x gilt Vw(x,y) c. ŖyŖx Vw(x,y) für alle y und alle x gilt Vw(x,y) Wenn mehrere Allquantoren unmittelbar nacheinander angewendet werden, ist die Reihenfolge egal: z.b. sind ŖyŖx Vw(x,y) und ŖxŖy Vw(x,y) äquivalent. (3) a. vat(x)=y b. ŕy vat(x)=y es gibt mindestens ein y mit vat(x)=y c. Ŗxŕy vat(x)=y für alle x gibt es mindestens ein y mit vat(x)=y (4) a. vat(x)=y b. Ŗy vat(x)=y für alle y ist vat(x)=y c. ŕxŗy vat(x)=y es gibt mindestens ein x, so dass für alle y gilt: vat(x)=y Wenn Allquantor und Existenzquantor unmittelbar nacheinander angewendet werden, ist die Reihenfolge nicht egal: z.b. sind (3c) und (4c) nicht äquivalent : (3c) ist eine Tautologie, (4c) nicht. Beispiel zu (ii) (weitere Beispiele s. Abschnitt 11.5) (5) Ŗx (V(x)ŌŕyVh(x,y)) für alle x gilt: wenn V(x) dann gibt es mindestens y mit Vh(x,y)

3 LÖBNER Logikkurs Quantifikation und Negation [2] ENTON Skopus a. Wenn B eine Aussage (oder Teilaussage) der orm þŕx Aÿ oder þŗx Aÿ ist, ist A der Skopus des Quantors. b. Wenn B eine Aussage (oder Teilaussage) der orm þŏaÿ ist, ist A der Skopus des Negators. [3] ENTON innere Negation, äußere Negation a. ie innere Negation einer quantifizierten Aussage der orm þŕx Aÿ bzw. þŗx Aÿ ist die Aussage þŕx ŏaÿ bzw. þŗx ŏaÿ: die Negation ist im Skopus des Quantors (der Quantor hat Skopus über den Negator ). b. ie äußere Negation ( = die Negation) einer quantifizierten Aussage der orm þŕx Aÿ bzw. þŗx Aÿ ist die Aussage þŏŕx Aÿ bzw. þŏŗx Aÿ: der Quantor ist im Skopus des Negators (der Negator hat Skopus über den Quantor). Beispiele für innere Negation (6) Ŗx ŏvw(x,b) alle x sind nicht mit b verwandt / keiner ist mit Berta verwandt (7) ŕx ŏki(x,s) mindestens ein x ist nicht ein Kind von s / manche sind kein Kind von Sven (8) Ŗx ŏŕy Vw(x,y) für jedes x gibt es kein y, mit dem x verwandt ist / jeder ist mit niemandem verwandt (9) Ŗx ŕy ŏvw(x,y) für jedes x gibt es ein y, mit dem x nicht verwandt ist / jeder ist mit jemandem nicht verwandt Beispiele für äußere Negation (10) ŏŗx Vw(x,b) nicht alle x sind mit b verwandt (11) ŏŕx Ki(x,s) kein x ist ein Kind von s / Sven hat keine Kinder (12) ŏŗx ŕy Vw(x,y) nicht für jedes x gibt es ein y, mit dem x verwandt ist (13) ŏŕx Ŗy Vh(x,y) für kein gilt, dass x mit allen y verheiratet ist / niemand ist mit jedem verheiratet [4] ENTON ualität Zwei Operatoren sind dual, wenn die äußere Negation des einen äquivalent zur inneren Negation des anderen ist. [5] SATZ ualitätsbeziehung zwischen den Quantoren a. þŗx ŏaÿ þŏŕx Aÿ für kein x gilt A b. þŕx ŏaÿ þŏŗx Aÿ nicht für jedes/alle x gilt A c. þŗx Aÿ þŏŕx ŏaÿ d. þŕx Aÿ þŏŗx ŏaÿ

4 LÖBNER Logikkurs 56 Beweis a. þŗx ŏaÿ ist wahr gdw für alle mögl. Werte von x ist þŏaÿ wahr gdw für alle mögl. Werte von x ist A falsch gdw für keinen mögl. Wert von x ist A wahr gdw es ist nicht der all, dass es mindestens einen mögl. Wert von x gibt, für den A wahr ist gdw þŕx Aÿ ist nicht wahr gdw þŏŕx Aÿ ist wahr. b. Übung. c. ergibt sich aus a., und d. aus b., wenn man für A þŏaÿ setzt (und þŏŏaÿ ţa berücksichtigt) Vergleiche zu den ualitätsbeziehungen die de Morganschen Regeln: Sie besagen, dass auch Konjunktion und isjunktion zueinander dual sind. a. Konj.(ŏA,ŏB) ŏisj.(a,b) bzw. þ(ŏaʼnŏb)ÿ þŏ(aŋb)ÿ b. isj.(ŏa,ŏb) ŏkonj.(a,b) bzw. þ(ŏaŋŏb)ÿ þŏ(aʼnb)ÿ c. Konj.(A,B) ŏisj.(ŏa,ŏb) bzw. þ(aʼnb)ÿ þŏ(ŏaŋŏb)ÿ d. isj.(a,b) ŏkonj.(ŏa,ŏb) bzw. þ(aŋb)ÿ þŏ(ŏaʼnŏb)ÿ 11.4 Beschränkte Quantoren [6] ENTON Beschränkte Quantifikation a. Beschränkte Allquantifikation hat die allgemeine orm þŗx (BŌ A)ÿ. b. Beschränkte Existenzquantifikation hat die allgemeine orm þŕx (Bʼn A)ÿ Beispiel (14) Ŗx(Ki(x,b)ŌV(x)) jedes Kind_von_ Berta ist verheiratet ie Subjunktion, die den Skopus des Allquantors bildet, ist sowieso für alle Werte von x wahr, für die die Beschränkung Ki(x,b) nicht gilt (vgl. WW-Tafel für die Subjunktion) unabhängig davon, ob die eigentliche Aussage V(x) wahr oder falsch ist. aher sagt die Allquantifikation für diese älle nichts aus. ür die älle, die die Bedingung Ki(x,b) erfüllen, ist die Aussage genau dann wahr, wenn zusätzlich auch V(x) wahr ist (vgl. wieder die WW-Tafel für die Subjunktion). Es ergibt sich somit eine Allquantifikation über die älle, die durch die beschränkende Bedingung Ki(x,b) gekennzeichnet sind. (15) ŕx(ta(x,i)ʼnv(x)) mindestens eine Tante von nge ist verheiratet ie Konjunktion, die den Skopus des Existenzquantors bildet, ist sowieso falsch wenn das erste Konjunkt, die beschränkende Bedingung Ta(x,i) falsch ist, unabhängig davon, ob dann die eigentliche Aussage V(x) wahr ist. aher behauptet (15) die Existenz solcher älle nicht. ür die älle, die die Bedingung Ta(x,i) erfüllen, ist die Aussage genau dann wahr, wenn zusätzlich auch V(x) wahr ist. Es ergibt sich somit eine Existenzaussage für die älle, die durch die beschränkende Bedingung Ta(x,i) gekennzeichnet sind.

5 LÖBNER Logikkurs 57 Sonderfall (1): B ist für jeden Wert von x wahr (16) a. Ŗx (x=x ŌVw(x,b)) B = x=x b. ŕx (x=x ʼnVw(x,b)) ie Beschränkungsbedingung x=x ist für alle Werte von x wahr (vgl. Satz [3a] S.49), schränkt also die Quantifikation nicht echt ein. ie Beschränkung ist daher wirkungslos, (16a) und (16b) sind logisch äquivalent zu a und b : (16) a. Ŗx Vw(x,b) b. ŕx Vw(x,b) as bedeutet: die unbeschränkte Quantifikation ist ein Grenzfall der beschränkten. Sonderfall (2): B ist für genau einen Wert von x wahr (17) a. Ŗx (x=a ŌVw(x,b)) B = x=a b. ŕx (x=a ʼnVw(x,b)) ie Beschränkungsbedingung x=a ist für genau einen Wert von x wahr. amit gilt die Allaussage nur für einen einzigen Anwendungsfall, und auch die Existenzaussage lässt nur eine Möglichkeit zu. Beide Aussagen sind äquivalent mit: (17) Vw(a,b) n einem solchen all sind beschränkte Allquantifikation und Existenzquantifikation äquivalent! Sonderfall (3): B ist für keinen Wert von x wahr (18) a. Ŗx (ŏx=x ŌVw(x,b)) B = ŏx=x b. ŕx (ŏx=x ʼnVw(x,b)) ie Beschränkungsbedingung ŏx=x ist für keinen Wert von x wahr (vgl. Satz [3b] S.49). Unter diesen Umständen ist die beschränkte Allquantifikation wahr, weil eine Subjunktion mit falschem Erstglied für beliebige Zweitglieder wahr ist. Hingegen ist die beschränkte Existenzquantifikation falsch, weil eine Konjunktion mit einem falschen Konjunkt immer falsch ist, egal wie das zweite Konjunkt lautet. [7] SATZ ualitätsbeziehungen zwischen den beschränkten Quantoren a. þŗx(bōŏa)ÿ þŏŕx(bʼn A)ÿ b. þŕx(bʼnŏa)ÿ þŏŗx(bō A)ÿ c. þŗx(bō A)ÿ þŏŕx(bʼnŏ A)ÿ d. þŕx(bʼn A)ÿ þŏŗx(bōŏ A)ÿ Beweis ie ualitätsbeziehungen ergeben sich unmittelbar aus denen zwischen unbeschränkten Quantoren (Satz [5]) und einfachen aussagenlogischen Äquivalenzen (Satz [1b,c] S. 34).

6 LÖBNER Logikkurs Beispiele für Aussagen mit Quantoren Leseweisen: formal, interpretierend, eutsch ohne Variablen (19) Ŗx (W(x) ō ŏm(x)) für jedes x gilt: W x genau dann, wenn non M x jedes x ist genau dann weiblich, wenn es nicht männlich ist bzw. jedes x ist entweder weiblich oder männlich 1 jede Person ist entweder männlich oder weiblich (20) ŕy Vh(y,d) es gibt (mindestens) ein y mit Vh y d es gibt (mindestens) ein y, das mit ieter verheiratet ist es gibt (mindestens) eine Person, die mit ieter verheiratet ist bzw. jemand ist mit ieter verheiratet (21) ŏŕv Ki(v,u) es gibt kein v mit Ki v u es gibt kein v, das Kind von Ulrike ist es gibt keine Person, die Kind von Ulrike ist bzw. niemand ist ein Kind von Ulrike bzw. Ulrike hat keine Kinder (22) ŏŗx Vw(x,b) nicht für jedes x gilt: Vw x b nicht jedes x ist mit Berta verwandt nicht jede Person ist mit Berta verwandt (23) Ŗx(M(x)ŌV(x)) (beschränkte Quantifkation) für jedes x mit M(x) gilt: V x jedes x, das männlich ist, ist verheiratet jede männliche Person ist verheiratet oder alle männlichen Personen sind verheiratet (24) ŕz (Ki(z,k)ʼnW(z)) (beschränkte Quantifkation) für (mindestens) ein z mit Ki z k gilt: W z (mindestens) ein z, das Kind von Klaus ist, ist weiblich mindestens ein Kind von Klaus ist weiblich bzw. Klaus hat mindestens eine Tochter 1 Zur Äquivalenz von negierter Bijunktion und ausschließlichem Oder (Entweder-Oder) vgl. den Überblick über die aussagenlogischen Junktionen Abschnitt 7.1 S. 31.

7 LÖBNER Logikkurs 59 (25) Ŗx ŕy y=mut(x) für jedes x gibt es (mindestens) ein y mit y=mut von x für jedes x gibt es (mindestens) ein y, das die Mutter von x ist jede Person hat (mindestens) eine Mutter (26) ŕy Ŗx y=mut(x) es gibt (mindestens) ein y, für das für jedes x gilt: y=mut von x es gibt (mindestens) ein y, das die Mutter von jedem ist mindestens eine Person ist die Mutter von jedem bzw. jemand ist die Mutter von jedem (27) ŏŗx ŕy Ki(y,x) nicht für jedes x gibt es (mindestens) ein y mit Ki y x nicht für jedes x gibt es (mindestens) ein y, das Kind von x ist nicht jede Person hat Kinder (28) Ŗv (Ki(v,c) Ō ŕw On(w,v)) (beschränkte Quantifkation) für jedes v mit Ki v c gibt es (mindestens) ein w mit On w v für jedes v, das ein Kind von Christiane ist, gibt es (mindestens) ein w, das ein Onkel von v ist jedes Kind von Christiane hat mindestens einen Onkel (29) ŕx ŕy(vh(x,y)ʼnŏŕz(ki(z,x)ŋki(z,y)) (beschränkte Quantifkation) es gibt (mindestens) ein x und (mindestens) ein y mit Vh x y, für die gilt: es gibt kein z mit Ki z x oder Ki z y) es gibt (mindestens) ein x und (mindestens) ein y, die miteinander verheiratet sind und für die es kein z gibt, das Kind von x oder Kind von y ist es gibt (mindestens) zwei miteinander verheiratete Personen, die beide keine Kinder haben (30) Ŗx Ŗy (Sw(x,y) ō (W(x)ʼnmut(x)=mut(y)ʼnvat(x)=vat(y))) für jedes x und jedes y gilt: Sw x y genau dann, wenn W x und mut von x=mut von y und vat von x=vat von y für jedes x und y gilt: x ist genau dann eine Schwester von y, wenn x weiblich ist und die Mutter von x die Mutter von y und der Vater von x der Vater von y ist eine Person ist genau dann eine Schwester von jemandem, wenn sie weiblich ist und dieselbe Mutter und denselben Vater hat