GEODÄTISCHES INSTITUT HANNOVER

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Björn Kranz
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1 Alexander Dorndorf, M.Sc. GEODÄTISCHES INSTITUT HANNOVER Entwicklung eines robusten Bayesschen Ansatzes für klein-redundante Ausgleichungsmodelle

2 Motivation Funktionaler Zusammenhang: h = β 0 + β 1 x + β 2 y 2

3 Motivation 3

4 Agenda 1. Bayesischer Ansatz 2. Vorstellung eines robusten Bayesschen Ansatzes 3. Validierung des robusten Bayesschen Ansatzes 4. Fazit und Ausblick 4

5 Bayesischer Ansatz Bayesischer Ansatz: P β y P β P y β Kombiniert Prioriwissen und Daten mit Hilfe des Bayes- Theorems auf Basis von Wahrscheinlichkeitsdichten 5

6 Bayesischer Ansatz Bayesischer Ansatz: P β y P β P y β Kombiniert Prioriwissen und Daten mit Hilfe des Bayes- Theorems auf Basis von Wahrscheinlichkeitsdichten Priori-Dichte: P β Ergebnis einer vorherigen Ausgleichung Ergebnis einer Expertenbefragung Herstellerangaben z.b. Fehlerquellen von Messinstrument Vorwissen über die Objektgeometrie oder Messkonfiguration 5

7 Bayesischer Ansatz Bayesischer Ansatz: P β y P β P y β Kombiniert Prioriwissen und Daten mit Hilfe des Bayes- Theorems auf Basis von Wahrscheinlichkeitsdichten Priori-Dichte: P β Ergebnis einer vorherigen Ausgleichung Ergebnis einer Expertenbefragung Herstellerangaben z.b. Fehlerquellen von Messinstrument Vorwissen über die Objektgeometrie oder Messkonfiguration Likelihood-Funktion: P y β Messungen (Beobachtungen) Verteilungsannahmen der zu schätzenden Fehler 5

8 Bayesischer Ansatz Bayesischer Ansatz: P β y P β P y β Verteilung der Beobachtungen 6

9 Bayesischer Ansatz Bayesischer Ansatz: P β y P β P y β Verteilung der Beobachtungen Student-Verteilung unempfindlicher gegenüber Ausreißern 6

10 Robuster Bayesischer Ansatz Ansatz: t-verteilung für Gewichtung der Likelihood-Funktion Likelihood: P y Xβ, var ε ~N Xβ, var ε Priori-Dichte: P β, σ, ω P β P σ P ω und β, σ, ω sind stochastisch unabhängig Posteriori Dichte: β = X T Ω X + σ 2 V 1 1 X T Ω y + σ 2 V 1 β y : Unabhängige Daten (Höhe Nivellement) X : Abhängige Einflussgrößen (Koordinaten) β: Posteriori-Dichte (Regressionskoeffizienten) β : Priori-Wissen über Koeffizienten aus GPS V : VKM der Priori-Koeffizienten aus GPS σ 2 : Priori-Wissen Varianzfaktor. Gewichtung der Priori-Dichte mit der Likelihood Funktion Ω : Priori-Wissen Gewichtsmatrix Likelihood 7

11 Robuster Bayesischer Ansatz Numerische Lösung der Posteriori-Dichte mit Markov-Chain-Monte-Carlo 1. Generierung von Ω j mit σ j 1 und β j 1 3. Generierung von β j mit σ j und Ω j 2. Generierung von σ j mit β j 1 und Ω j Ergebnis: β = mean β j Schematischer Ablauf Gibbs-Sampler 8

12 Robuster Bayesischer Ansatz Numerische Lösung der Posteriori-Dichte mit Markov-Chain-Monte-Carlo 1. Generierung von Ω j mit σ j 1 und β j 1 3. Generierung von β j mit σ j und Ω j 2. Generierung von σ j mit β j 1 und Ω j Ergebnis: β = mean β j Schematischer Ablauf Gibbs-Sampler 8

13 Robuster Bayesischer Ansatz Bestimmung der Gewichte ω mit der t-verteilung: σ 2 ε i 2 +ν ω i β, σ ~χ 2 υ + 1 mit ε i 2 = y i X i β 2 Ω j = 1/ω /ω n 9

14 Robuster Bayesischer Ansatz Iterationen Gibbs-Sampler:

15 Robuster Bayesischer Ansatz Iterationen Gibbs-Sampler:

16 Robuster Bayesischer Ansatz Iterationen Gibbs-Sampler:

17 Robuster Bayesischer Ansatz Iterationen Gibbs-Sampler:

18 Robuster Bayesischer Ansatz In jeder Iteration j werden neue Gewichte gezogen Ausreißeranteil < 50 % Beobachtungen ohne Ausreißer werden öfter zur Berechnung von β verwendet 11

19 Validierung Sensitivitätsanalyse mit Monte-Carlo-Simulation (MCS) Anzahl Priori: 1000 Messungen Anzahl Likelihood: 20 Messungen Messrauschen σ Priori : 15 σ Likelihood Anteil Ausreißer: 20% Verteilung Ausreißer: 12

20 Validierung Sensitivitätsanalyse mit Monte-Carlo-Simulation (MCS) Anzahl Priori: 1000 Messungen Anzahl Likelihood: 20 Messungen Messrauschen σ Priori : 15 σ Likelihood Anteil Ausreißer: 20% Verteilung Ausreißer: nicht normalverteilt Ausreißer < E(h) 12

21 Validierung Ergebnis für eine Iteration der Sensitivitätsanalyse 13

22 Validierung Ergebnis für eine Iteration der Sensitivitätsanalyse Ergebnis der MCS für Iterationen Beobachtung y Regression Klassisch Huber Bayes Robust Nicht Informativ Informativ RMSE zu E y 32,42 16,49 10,25 10,19 3,94 13

23 Fazit und Ausblick Die Priori-Dichte beeinflusst die Posteriori-Dichte stärker bei kleinen n der Likelihood Robustheit hängt vom Freiheitsgrad υ ab Zukünftige Arbeiten: Freiheitsgrad υ mitschätzen Kombinierung verschiedener Priori-Informationen Varianzfaktor für Gewichtung optimieren 14

24 Fazit und Ausblick Die Priori-Dichte beeinflusst die Posteriori-Dichte stärker bei kleinen n der Likelihood Robustheit hängt vom Freiheitsgrad υ ab Zukünftige Arbeiten: Freiheitsgrad υ mitschätzen Kombinierung verschiedener Priori-Informationen Varianzfaktor für Gewichtung optimieren DFG Projekt: & Immobilienbewertung in kaufpreisarmen Lagen durch ein Robustes Bayesisches hedonisches Modell (WE 5631/1-1) 14

25 15

26 Validierung Ergebnis für eine Iteration der Sensitivitätsanalyse Ergebnis der MCS für Iterationen Regression Huber Nicht Informativ Informativ Δ b1 / σ1-14,02 326,53-1,58 259,076-2,13 249,57-0,15 17,92 Δ b2 / σ2 0,0005 0, ,0019 0,3010 0,0040 0,2898-0,0068 0,0162 Δ b3 / σ3-0,0002 0,7208-0,0517 0,5880-0,0597 0,5651 0,0177 0,1286 RMSE von y 16,49 10,25 10,19 3,94 16

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