Grundlagen der Logischen Programmierung

Transkript

1 Grundlagen der Logischen Programmierung Udo Hebisch WS 2017/18 Dieses Skript enthält nur den roten Faden der Vorlesung. Wesentliche Inhalte werden ausschließlich in der Vorlesung vermittelt. Daher ist dieses Skript nicht zum Selbststudium gedacht, sondern nur als Erinnerungsstütze. 1

2 INHALTSVERZEICHNIS INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Syntax der Prädikatenlogik Terme und Formeln Substitutionen Ableitungen Normalformen Semantik der Prädikatenlogik Interpretationen und Modelle Herbrand-Modelle Korrektheit und Vollständigkeit Peano-Arithmetik Aussagenlogische Kalküle Resolutionsregeln Unifikation Resolution Suchstrategien Breitensuche (Level-Saturation) Präferenz-Strategien Vereinfachungsregeln Strukturorientierte Strategien

3 1 SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK 1 Syntax der Prädikatenlogik Zur Wiederholung der Begriffe der Aussagenlogik vergleiche man den ersten Abschnitt des Skriptes zur Diskreten Mathematik hebisch/skripte/diskmath/diskmath.pdf 1.1 Terme und Formeln Definition 1.1 Eine Signatur Σ = (S, F, P) besteht aus drei paarweise disjunkten Mengen von Symbolen: einer Menge S von Sortensymbolen, einer Menge F von Funktions- oder Operationssymbolen, einer Menge P von Prädikatensymbolen, wobei jedes f F und P P eine Stelligkeit n N 0 und eine Sortigkeit besitzt, geschrieben f(s 1,..., s n ) s bzw. P (s 1,..., s n ). Dabei heißen s 1,..., s n die Argumentsorten und s die Zielsorte. Für n = 0 heißt f Konstantensymbol und P Aussagensymbol oder Aussagenvariable. Wählt man S = und entsprechend F = (und V =, siehe unten) sowie sämtliche Prädikatensymbole als Aussagenvariable, so erhält man die Signatur einer Aussagenlogik. In diesem Sinne ist also die Aussagenlogik ein Teil der hier betrachteten Prädikatenlogik 1. Stufe. Die Sorten werden in der Informatik auch Datentypen genannt und mit Hilfe geeigneter Funktionen werden dann Datenstrukturen definiert. Beispiel 1.2 a) Zur Axiomatisierung der Gruppentheorie. b) Zur Axiomatisierung der Vektorrechnung. c) Zur Axiomatisierung der Mengenlehre. d) Zur Axiomatisierung der natürlichen Zahlen vgl. 2.4.

4 1.1 Terme und Formeln 1 SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK Weitere Beispiele für Signaturen zur Axiomatisierung der reellen Zahlen, der Ringtheorie, der Booleschen Algebren, der Verbandstheorie, der Automatentheorie etc. lassen sich hiermit leicht herstellen. Im folgenden sei stets Σ = (S, F, P) eine beliebige, aber feste Signatur und V = (V s ) s S eine zu S, F und P disjunkte Mengenfamilie von Variablen zu den Sorten s S. Im Unterschied zu den Aussagenvariablen werden sie auch Objektvariablen genannt. Definition 1.3 Die Menge T Σ (V ) der (Σ-)Terme mit Variablen aus V ist induktiv definiert: 1. Jede Konstante c s aus F ist ein Term zur Sorte s. 2. Jede Variable v V s ist ein Term zur Sorte s. 3. Ist f(s 1,..., s n ) s ein Funktionssymbol aus F und sind t 1,..., t n Terme zu den Sorten s 1,..., s n, so ist f(t 1,..., t n ) ein Term zur Sorte s. T Σ (V ) besteht genau aus den gemäß gebildeten Termen. Bemerkung 1.4 Der induktive Aufbau von T Σ (V ) gestattet es, Funktionen auf T Σ (V ) rekursiv zu definieren, z. B. die Funktion var : T Σ (V ) P(V ) gemäß 1. var(c s) :=. 2. var(v) := {v} für v V. 3. var(f(t 1,..., t n )) := var(t 1 )... var(t n ). Ein Term t T Σ (V ) mit var(t) = heißt variablenfrei oder Grundterm. Entsprechend kann man Funktionen zur Bestimmung der Länge eines Terms oder der Schachtelungstiefe rekursiv definieren. Im folgenden existiere zu jeder Sorte s S mindestens ein Grundterm, also wenigstens eine Konstante c s. (Sonst wäre diese Sorte bei späteren Betrachtungen überflüssig, vgl. auch Bemerkung 1.11.) Beispiel 1.5 Terme zu Beispiel 1.2 a) und d).

5 1.1 Terme und Formeln 1 SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK Definition 1.6 a) Ist P (s 1,..., s n ) ein Prädikatensymbol und sind t 1,..., t n aus T Σ (V ) Terme zu den Sorten s 1,..., s n, so ist P (t 1,..., t n ) eine atomare Formel oder ein Atom. b) Die Menge der quantorenfreien (Σ-)Formeln (mit Variablen aus V ) ist induktiv definiert: 1. Jede atomare Formel ist eine quantorenfreie Formel. 2. Die Wahrheitswerte W, F S F P V sind quantorenfreie Formeln. 3. Sind A und B quantorenfreie Formeln, so auch ( A), (A B), (A B), (A B), (A B). Gemäß entstehen sämtliche quantorenfreien Formeln. Sie werden auch Formeln der offenen Prädikatenlogik genannt. (Auch die Junktoren,,,, und die gleich noch eingeführten Quantoren, sollen in keiner der Mengen S, F, P, V vorkommen.) c) Ist A ein Atom, dann heißt A positives und A negatives Literal. d) Die in den quantorenfreien Formeln enthaltenen Variablen heißen freie oder ungebundene Variablen. Auch für quantorenfreie Formeln G kann wie in Bemerkung 1.4 rekursiv die Menge var(g) der in G enthaltenen Variablen definiert werden. Im Fall var(g) = heißt G eine Grundformel. Manchmal wird nur ein Teil der oben angegebenen Junktoren zugelassen und die restlichen (oder weitere) dann als Abkürzungen eingeführt, etwa A B für A B oder A B für (A B) (B A) oder A XOR B für (A B). Die Interpretationen dieser Junktoren erfolgt dann aber in der Regel so, daß zwar die Menge der Formeln verändert wird, aber nicht ihre Ausdrucksstärke, weil die neu hinzugekommenen Formeln als äquivalent, d. h. bedeutungsgleich, zu schon vorhandenen Formeln interpretiert werden. Beispiel 1.7 Gruppenaxiome und Peano-Axiome Definition 1.8 a) Die Menge der (prädikatenlogischen) (Σ-)Formeln erhält man induktiv durch 1. Jede quantorenfreie Formel ist eine Formel.

6 1.1 Terme und Formeln 1 SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK 2. Ist A eine Formel, in der die Variable x V frei vorkommt, dann ist xa eine Formel, der Allabschluß von A bezüglich x. Ebenso ist xa eine Formel, der Existenzabschluß von A bezüglich x. In beiden Fällen heißt die zuvor frei vorkommende Variable x nun durch den jeweiligen Quantor ( bzw. ) gebunden. Sind alle Variablen einer Formel gebunden, so heißt die Formel geschlossen. 3. Sind A und B Formeln, so auch ( A), (A B), (A B), (A B), (A B). Freie Variablen bleiben hierbei frei. Genau die gemäß gebildeten Formeln sind die Formeln der Prädikatenlogik erster Stufe, vgl. auch Bemerkung b) Der Abschluß einer Formel A bezüglich aller in ihr freien Variablen nur mit Allquantoren bzw. nur mit Existenzquantoren heißt ihr Allabschluß bzw. Existenzabschluß. Auch bei den Quantoren kann man einen von ihnen mit Hilfe der Negation durch den anderen gleichwertig ausdrücken und somit einsparen. Es werden aber auch ganz andere Quantoren betrachtet, die beispielsweise Möglichkeiten oder nur zeitweise Gültigkeiten von Formeln ausdrücken. Man verläßt damit aber den Rahmen der reinen Prädikatenlogik und geht zu einer Modallogik bzw. temporalen Logik über. Bemerkung 1.9 a) Um Klammern zu sparen, werden Prioritäten für Quantoren und Junktoren eingeführt:, vor vor vor vor vor. Bei gleicher Priorität wird wie üblich eine Klammerung von links nach rechts angenommen. b) Wie für Terme kann man für Formeln induktiv Funktionen definieren, welche die (freien oder gebundenen) Variablen, die Länge oder die Schachtelungstiefe einer Formel ermitteln. Beispiel 1.10 Allabschluß und Existenzabschluß.

7 1.2 Substitutionen 1 SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK Bemerkung 1.11 Die Sorten S können eine unstrukturierte Menge bilden (flache Sortenstruktur) oder durch eine partielle Ordnung geordnet sein (hierarchische Sortenstruktur). Die zulässige Struktur dieser Untersortenbeziehung, z. B. linear, baumförmig, verbandsartig, beeinflußt die möglichen Variablenbelegungen und daher die Konstruktion von Kalkülen der jeweiligen Logik. Ein Beispiel ist etwa S = {Integer Real Complex}. Mehrsortige Logiken sind nicht ausdrucksstärker als solche ohne Sorten (also mit einer universellen Sorte): Für jede Sorte s S wird ein neues einstelliges Prädikat S P eingeführt und die Untersortenbeziehung S 1 S 2 durch die Implikation x(s 1 (x) S 2 (x)) ausgedrückt. Für sortierte Variable x V s wird xg dann als x(s(x) G) notiert und f(s 1,..., s n ) s als x 1... x n (S 1 (x 1 )... S n (x n ) S(f(x 1,..., x n ))). Bemerkung 1.12 In der Prädikatenlogik erster Stufe ist die Quantifizierung (Definition 1.8 a)) nur über Objektvariable erlaubt, nicht über Funktions- oder Prädikatenvariable, also nicht: P symmetrisch(p ) ( x yp (x, y) P (y, x)). In der Prädikatenlogik zweiter Stufe ist die Quantifizierung dann auch über Mengen von Objekten erlaubt. Identifiziert man nun ein Prädikat P mit der Menge der Objekte, auf die es zutrifft, so ist also auch die Quantifizierung über Funktionsoder Prädikatenvariable erlaubt, also auch: M N (M N x(x M x N)). Bekanntlich ist die Struktur der reellen Zahlen erst durch das Supremumsaxiom bis auf Isomorphie eindeutig charakterisiert. Dabei wird über alle beschränkten Teilmengen quantifiziert, also nicht mehr in der Prädikatenlogik erster Stufe. Ebenso erfordert das Induktionsaxiom für die natürlichen Zahlen die Prädikatenlogik zweiter Stufe. P (P (0) ( x(p (x) P (x + 1)) yp (y)) Quantifiziert man auch über Mengen von Mengen von Objekten, dann ist man in der Prädikatenlogik dritter Stufe usw. 1.2 Substitutionen Definition 1.13 a) Eine Abbildung σ : V T Σ (V ) gemäß x xσ heißt Substitution, wenn x und xσ für alle x V dieselbe Sorte haben und dom(σ) := {x

8 1.2 Substitutionen 1 SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK V xσ x} endlich ist. Für dom(σ) = {x 1,..., x n } und x i σ = t i, i = 1,..., n schreibt man auch σ = [x 1 t 1,..., x n t n ] oder ( ) x1... x σ = n. t 1... t n Die identische Substitution wird mit ε = [ ] bezeichnet. Ist σ eine Permutaion von V, so heißt σ eine Umbenennung. Unter var(σ) := var(xσ) wird die Menge der Variablen im Bildbereich x dom(σ) einer Substitution verstanden. Gilt var(σ) =, so heißt σ Grundsubstitution. b) Substitutionen σ werden wie folgt auf Terme, quantorenfreie Formeln und Mengen quantorenfreier Formeln zu σ fortgesetzt: 1. xσ := xσ für alle x V. 2. (f(t 1,..., t n ))σ := f(t 1 σ,..., t n σ ) für alle anderen Terme (P (t 1,..., t n ))σ := P (t 1 σ,..., t n σ ) für alle Atome. 3. W σ := W, F σ := F, ( A)σ := (Aσ ), (A B)σ := (Aσ Bσ ), (A B)σ := (Aσ Bσ ), (A B)σ := (Aσ Bσ ), (A B)σ := (Aσ Bσ ). 4. Mσ := {mσ m M} für Mengen M quantorenfreier Formeln. Man schreibt dann wieder einfach σ für σ. c) Die Komposition στ zweier Substitutionen σ und τ ist definiert gemäß t(στ) := (tσ)τ für alle Terme t und A(στ) := (Aσ)τ für alle quantorenfreien Formeln A. Man nennt dann στ eine Instanz von σ. d) Ist σ eine Substitution und t ein Term, so heißt tσ eine Instanz von t. Ist tσ variablenfrei, so heißt tσ eine Grundinstanz von t. Mit grund(t) werde die Menge aller Grundinstanzen eines Terms t bezeichnet. Für quantorenfreie Formeln und Mengen derartiger Formeln werden diese Bezeichnungen analog verwendet. Beispiel 1.14 Substitutionen, Umbenennungen, Grundinstanz. Lemma 1.15 Für alle Substitutionen σ, τ, ϱ gelten: a) σε = εσ = σ, b) (στ)ϱ = σ(τϱ), c) στ = σ = xτ = x für alle x var(σ).

9 1.3 Ableitungen 1 SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK 1.3 Ableitungen Definition 1.16 a) Eine (n-stellige) Ableitungsregel (besser: ein Regelschema) mit den Prämissen G 1,..., G n und der Konklusion G ist ein syntaktisches Schema der Gestalt G 1. G n G bzw. G 1... G n G mit prädikatenlogischen Formeln G, G 1,..., G n. Ein Regelsystem R ist eine Menge von Ableitungsregeln. b) Eine Ableitungsregel auf gegebene Formeln anwenden heißt, eine Instanz des Regelschemas mit diesen Formeln zur Deckung zu bringen und daraus die Konklusion als entsprechende Instanz zu erhalten. Dabei soll stets entscheidbar sein, ob das Regelschema auf diese Formeln anwendbar ist, und die Konklusion soll daraus berechenbar sein. Eine solche Regelanwendung heißt ein Ableitungsschritt. Beispiel 1.17 Schnittregel. Beispiel 1.18 Substitutionsregel. Beispiel 1.19 Modus ponens. Definition 1.20 Es sei R ein Regelsystem, X eine Formelmenge und G eine Formel. Eine Ableitung von G mit R aus X ist induktiv definiert: 1. Für jedes G X ist (G) eine Ableitung von G mit R aus X. 2. Ist (C 1,..., C k ) eine Ableitung von C k mit R aus X und R R eine n-stellige Ableitungsregel, so daß durch Anwendung von R auf die Formeln G 1,..., G n X {C 1,..., C k } die Konklusion G entsteht, dann ist (C 1,..., C k, G) eine Ableitung von G mit R aus X. Gibt es eine Ableitung von G mit R aus X, so heißt G mit R aus X ableitbar, in Zeichen: X R G (bei zwei Regeln auch: X R1 +R 2 G). Bemerkung 1.21 Jede Ableitung ist endlich. Bei Aussagen über die Ableitbarkeit kann man sich daher auf endliche Formelmengen beschränken und Beweise mit Induktion über den Aufbau der Ableitung führen.

10 1.4 Normalformen 1 SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK 1.4 Normalformen Definition 1.22 a) Eine Formel der Gestalt Q 1... Q n M ist in pränexer Normalform, wenn M (die Matrix) eine quantorenfreie Formel ist und die Q i jeweils aus einem Quantor gefolgt von einer Variablen bestehen. b) Eine Formel in pränexer Normalform wird in Skolem-Normalform überführt oder skolemisiert (Toralf Skolem, ), indem man von außen nach innen alle Quantoren eliminiert gemäß 1. Allquantoren x fallen für jede Variable x V einfach weg, die gebundene Variable x wird wieder frei, 2. anstelle der Variablen y des wegfallenden Existenzquantors y wird ein neuer Term substituiert, der aus einem Funktionssymbol f / F besteht (Änderung der Signatur!), welches mit allen bisher befreiten Variablen parametrisiert wird. Beispiel 1.23 Skolemisierung. Definition 1.24 a) Eine quantorenfreie Formel der Gestalt K 1... K n ist in disjunktiver Normalform, wenn die K i Konjunktionen von Literalen sind. b) Eine quantorenfreie Formel der Gestalt D 1... D n ist in konjunktiver Normalform, wenn die D i Disjunktionen von Literalen sind. c) Eine quantorenfreie Formel ist in Negations-Normalform, wenn sie nur mittels der Junktoren,, aufgebaut ist, wobei nur direkt an Atomen steht. Definition 1.25 Sind P i, i = 1,..., n und Q j, j = 1,..., m Atome, so heißt P 1... P n Q 1... Q m Gentzenformel oder Klausel (Gerhard Gentzen, ). Äquivalent hierzu ist P 1... P n Q 1... Q m oder in mengentheoretischer Schreibweise kurz { P 1,..., P n, Q 1,..., Q m }.

11 1.4 Normalformen 1 SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK Spezialfälle sind n = 0 (positive Gentzenformel): W Q 1... Q m, m = 0 (negative Gentzenformel): P 1... P n F, n = 0, m = 1 (positive Einheitsklausel, Prolog: Fakt): W Q, n = 1, m = 0 (negative Einheitsklausel): P F, n = m = 0 (Widerspruch): W F, abgekürzt: Gentzenformeln mit m 1 heißen Hornformeln (Alfred Horn, ). Spezialfälle sind: m = 1 (nichtnegative Hornformel, Prolog: Regel): P 1... P n Q, m = 0 (negative Hornformel, Prolog: Anfrage): P 1... P n F. Bemerkung 1.26 Die Schnittregel (GS) wird also auf Gentzenformeln angewandt und enthält folgende Spezialfälle: Positiver Schnitt: W B P P C D C B D Negativer Schnitt: A B P P C F A C B Positiver Einheitsschnitt: W P P C D C D Negativer Einheitsschnitt: A B P P F A B Prolog-Interpretationsregel: A P P C F A C F in Prolog-Notation: P : A 1,..., A n.? P, C 1,..., C m.? A 1,..., A n, C 1,..., C m.

12 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK 2 Semantik der Prädikatenlogik 2.1 Interpretationen und Modelle Definition 2.1 a) Ein Tripel M = (D, F, P) heißt Struktur zur Signatur Σ = (S, F, P), wenn gilt 1. D = (D s ) s S ist eine Familie nichtleerer (Daten- oder Individuen-)Mengen D s =: I(s). 2. F ist eine Menge von Funktionen, wobei zu f(s 1,..., s n ) s aus F stets eine Funktion I(f) := g : D s1... D sn D s existiert. Speziell existiert zu jeder Konstanten c s ein Element I(c) := d D s. 3. P ist eine Menge von Relationen (oder Prädikaten), wobei zu P (s 1,..., s n ) aus P stets eine Relation I(P ) := p D s1... D sn existiert. Ein Prädikat p kann auch als Wahrheitswertfunktion p : D s1... D sn {W, F } aufgefaßt werden. Im Fall n = 0, also für Aussagenvariablen P, ist daher I(P ) = p {W, F } wie in der Aussagenlogik einfach ein Wahrheitswert. Die Familie der Abbildungen I : S D, I : F F, I : P P wird auch Interpretation von Σ (in M) genannt. b) Eine Variablenzuweisung ist eine Abbildung ω : V D gemäß x ω(x) D s für alle Variablen x V s. Beispiel 2.2 Gruppe Z 4. Definition 2.3 Mit den Bezeichnungen aus Definition 2.1 wird der Wert eines Terms wert ω I (t) D bzw. der Wert einer Formel wert ω I (A) {W, F } bezüglich I und ω wie folgt definiert: 1. wert ω I (c) := I(c) für alle Konstanten c aus F (unabhängig von ω!), 2. wert ω I (x) := ω(x) für alle Variablen x V, 3. wert ω I (f(t 1,..., t n )) := I(f)(wert ω I (t 1 ),..., wert ω I (t n )) für alle f F und dazu passende Terme t i, 4. wert ω I (W ) := W, wert ω I (F ) := F unabhängig von I und ω,

13 2.1 Interpretationen und Modelle2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK 5. wert ω I (P ) := I(P ) für alle Aussagensymbole P P, 6. wert ω I (P (t 1,..., t n )) := I(P )(wert ω I (t 1 ),..., wert ω I (t n )) für alle P P und dazu passende Terme t i, 7. wert ω I ( A) := W genau dann, wenn wert ω I (A) := F, 8. wert ω I (A B) := W genau dann, wenn wert ω I (A) = W und wert ω I (B) = W (hieraus folgt die Assoziativität, Kommutativität und Idempotenz des Junktors ), 9. wert ω I (A B) := W genau dann, wenn wert ω I (A) = W oder wert ω I (B) = W (hieraus folgt die Assoziativität, Kommutativität und Idempotenz des Junktors ), 10. wert ω I (A B) := W genau dann, wenn wert ω I (A) = F oder wert ω I (B) = W (dies ist die übliche Interpretation des Junktors ), 11. wert ω I (A B) := W genau dann, wenn wert ω I (A) = wert ω I (B), 12. wert ω I ( xa) := W genau dann, wenn wert ω I (A) = W für alle Variablenzuweisungen ω, die sich höchstens in x von ω unterscheiden, 13. wert ω I ( xa) := W genau dann, wenn eine Variablenzuweisung ω mit wert ω I (A) = W existiert, die sich höchstens in x von ω unterscheidet. Nach 12. und 13. ist für eine geschlossene Formel A der Wert unabhängig von der Variablenzuweisung. Man definiert daher in diesem Fall den Wert von A in der Struktur M: wert M (A) := wert I (A) := wert ω I (A) für eine beliebige Variablenzuweisung ω. Der Wert einer Formel mit freien Variablen ist dann der Wert ihres Allabschlusses. Definition 2.4 a) Eine Formel G (über einer Signatur Σ) gilt in einer Struktur M (zur Signatur Σ) genau dann, wenn der Allabschluß von G in M den Wert W besitzt (kurz: wahr ist). Man nennt dann M ein Modell von G. Die Struktur M ist Modell einer Formelmenge X, wenn M Modell aller Formeln G X ist. b) Eine Formelmenge X heißt erfüllbar, wenn sie ein Modell besitzt, andernfalls unerfüllbar oder widersprüchlich. c) Zwei Formelmengen X und Y heißen erfüllbarkeitsgleich, wenn entweder beide erfüllbar oder beide unerfüllbar sind. d) Eine Formel heißt allgemeingültig oder eine Tautologie, wenn jede Struktur ein Modell von ihr ist.

14 2.2 Herbrand-Modelle 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK e) Eine Formel G folgt (logisch) aus einer Formelmenge X, in Zeichen X = G, genau dann, wenn jedes Modell von X auch Modell von G ist. Analog definiert man X = Y für Formelmengen Y. Folgen zwei Formelmengen wechselseitig auseinander, so heißen sie äquivalent. Unmittelbar aus Definition 2.4 b) und e) folgt Satz 2.5 Für eine Formelmenge X und eine geschlossene Formel G gilt: Es ist X = G genau dann, wenn X { G} widersprüchlich ist. Beispiel 2.6 Modelle gruppentheoretischer Formeln. Es gelten folgende Normalformen-Sätze: Satz 2.7 Jede prädikatenlogische Formel G läßt sich in eine zu ihr äquivalente Formel G in pränexer Normalform überführen. Satz 2.8 Jede Formel G in pränexer Normalform läßt sich in eine dazu erfüllbarkeitsgleiche Formel G in Skolem-Normalform überführen. Satz 2.9 Jede quantorenfreie Formel G läßt sich in eine dazu äquivalente endliche Menge X = {G i } von Gentzenformeln G i überführen. Anstelle von Beweisen: Beispiel 2.10 Umformung einer Formel in eine Menge von Gentzenformeln. 2.2 Herbrand-Modelle Jaques Herbrand, Definition 2.11 a) Eine Herbrand-Struktur zur Signatur Σ = (S, F, P) ist eine Struktur H = (U, F T, P) mit

15 2.2 Herbrand-Modelle 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK 1. dem Herbrand-Universum U = (U s ) s S und U s := {t t ist Grundterm zur Sorte s} (vgl. Verabredung über Grundterme) (eindeutig bestimmt!), 2. dem Funktionenbereich F T gemäß: Für f(s 1,..., s n ) s aus F ist I(f) := f T : U s1... U sn U s aus F T definiert durch f T (t 1,..., t n ) := f(t 1,..., t n ) aus U s (eindeutig bestimmt!). 3. dem Prädikatenbereich P gemäß: Für P (s 1,..., s n ) aus P ist I(P ) := p : U s1... U sn {W, F } aus P beliebig festgelegt. b) Die Herbrand-Basis B zur Signatur Σ ist die Menge aller Grundatome B := {P (t 1,..., t n ) P (s 1,..., s n ) aus P, t si U si }. Beispiel 2.12 Herbrand-Universum und Herbrand-Basis. Lemma 2.13 Jede Festlegung der Prädikate einer Herbrand-Struktur H (und damit einer Interpretation I von Σ in H) läßt sich eindeutig beschreiben durch eine Teilmenge A der Herbrand-Basis B gemäß P (t 1,..., t n ) A genau dann, wenn wert H (P (t 1,..., t n )) = W. Definition 2.14 Ein Herbrand-Modell M einer Formelmenge X ist eine Herbrand-Struktur H = M, die Modell von X ist. Für die Aussagenlogik entfallen natürlich das Herbrand-Universum und die Interpretation von Funktionssymbolen. Der Prädikatenbereich besteht dann nur aus allen möglichen Belegungen der Aussagenvariablen mit Wahrheitswerten. Für jede endliche Menge X aussagenlogischer Formeln und den in ihnen vorkommenden Variablen besteht ein Herbrand-Modell dann aus genau einer Zeile einer Wahrheitswerttabelle. Jede Wahrheitswerttabelle beschreibt also alle möglichen Herbrand-Modelle der betrachteten Formeln. Satz 2.15 Eine Menge von quantorenfreien Formeln ist genau dann erfüllbar, wenn sie ein Herbrand-Modell besitzt. Beispiel 2.16 Herbrand-Modelle. Im Gegensatz zur Situation in diesem Beispiel gilt

16 2.3 Korrektheit und Vollständigkeit 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK Satz 2.17 Ist X eine Menge von Hornformeln und M i ein Herbrand-Modell von X für i I, dann ist M := i I M i ebenfalls ein Herbrand-Modell von X. Speziell ist M X := {M M ist ein Herbrand-Modell von X} das kleinste Herbrand-Modell von X für jede erfüllbare Menge X von Hornformeln. Zum Beweis dieses Satzes und zur Berechnung von M X vgl. J. W. Lloyd, Foundations of Logic Programming, Springer Korrektheit und Vollständigkeit Definition 2.18 Ein Regelsystem R heißt korrekt, falls gilt: X R G impliziert X = G, es heißt vollständig, falls gilt: X = G impliziert X R G, und es heißt widerlegungsvollständig, falls gilt: X widersprüchlich impliziertx R für alle Formelmengen X und alle Formeln G (einer bestimmten Formelklasse). Bemerkung 2.19 Nach Satz 2.5 gilt für beliebige Formelmengen X und geschlossene Formeln G: X = G ist äquivalent zu X { G} ist widersprüchlich. Da der Wahrheitswert einer (quantorenfreien) Gentzenformel gleich dem Wahrheitswert ihres Allabschlusses ist, kann man sich bei der Betrachtung von Gentzenformeln auf widerlegungsvollständige (statt vollständige) Regelsysteme beschränken. Bezeichnet (GS) die Schnittregel für Gentzenformeln und (Subst) die Substitution für Gentzenformeln, dann gilt: Satz 2.20 Das Regelsystem R = {(GS), (Subst)} ist korrekt für Gentzenformeln.

17 2.3 Korrektheit und Vollständigkeit 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK Bemerkung 2.21 Natürlich sind auch alle in Bemerkung 1.26 angegebenen Spezialfälle der Schnittregel korrekt, insbesondere also Prolog für Hornformeln. Wesentlich aufwendiger ist der Nachweis der Widerlegungsvollständigkeit (zum Beweis vgl bis 1.55 in Hofbauer/Kutsche, Grundlagen des maschinellen Beweisens, Vieweg 1989): Satz 2.22 Das Regelsystem R = {(GS), (Subst)} ist widerlegungsvollständig für Gentzenformeln. Bemerkung 2.23 Eine Analyse der in Hofbauer/Kutsche angegebenen Beweise zeigt insbesondere die Widerlegungsvollständigkeit der Prolog-Interpretationsregel für Hornformeln. Für automatische Beweisverfahren entscheidend ist der folgende Satz von Herbrand. Satz 2.24 Eine Menge X von Gentzenformeln ist genau dann widersprüchlich, wenn eine endliche Menge von Grundinstanzen von X existiert, die widersprüchlich ist. Definition 2.25 Es sei L eine bestimmte Teilmenge prädikatenlogischer Formeln, die bezüglich der Negation abgeschlossen ist. Unter einem Kalkül in L versteht man dann ein Paar (A, R) aus einer Teilmenge A L, deren Elemente Axiome genannt werden, und einem Regelsystem R, für das aus L R G stets G L folgt. Der Kalkül (A, R) heißt korrekt, wenn aus A R G stets folgt, daß G eine Tautologie ist. Er heißt vollständig, wenn A R G für jede Tautologie G L gilt. Der Kalkül (A, R) heißt widerspruchsfrei, wenn aus A R G stets folgt, daß A R G gilt, er heißt negationsvollständig, wenn für alle G L stets A R G oder A R G gilt. Beispiel 2.26 Betrachtet werden verschiedene Regelsysteme R i innerhalb der natürlichen Zahlen. Dazu werde die Signatur Σ = (S = {N}, F = {0, s(n) N}, P = {N = N, N < N})

18 2.3 Korrektheit und Vollständigkeit 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK vorausgesetzt. Es gibt also nur eine Sorte N ( natürliche Zahl ), eine Konstante 0 und eine einstellige Funktion, die Nachfolgerfunktion s. Die Variablenmenge V = V N soll zunächst leer sein. Damit gibt es genau die abzählbar vielen (Grund-)Terme T Σ ( ) = {0, s(0), s(s(0)),...}, die schreibtechnisch als 0, 1, 2,... abgekürzt werden sollen. Diese bilden also das Herbrand-Universum einer Herbrand-Struktur zur Signatur Σ. (Grund-)Atome sind dann t 1 = t 2 und t 1 < t 2 für alle Terme t i. Diese bilden also die Herbrand-Basis zur Signatur Σ. Für alle Regelsysteme bestehe die betrachtete Teilmenge L aller (quantoren- weil variablenfreien!) prädikatenlogischen Formeln nur aus den mit diesen Atomen gebildeten Literalen, also neben den Atomen selbst noch (t 1 = t 2 ) und (t 1 < t 2 ). Vorausgesetzt wird weiter eine Standardinterpretation: Einzige erlaubte Datenmenge D N ist die Menge N 0 der natürlichen Zahlen, wobei die Konstante 0 als Zahl 0 interpretiert wird, und s(n) den Nachfolger n + 1 der natürlichen Zahl n bezeichnet. Dadurch ist jede Formel aus L entweder eine Tautologie (wenn sie in diesem Modell gilt) oder widersprüchlich (wenn sie in diesem Modell nicht gilt). Aus der Herbrand-Basis werden also genau die Atome n = m mit n = m und genau die Atome n < m mit n < m für alle natürlichen Zahlen n, m N 0 = D N als wahr ausgewählt. Daher zerfällt L in vier disjunkte Klassen: L 1 : alle wahren Atome, z. B. 0 = 0, 0 < s(0),.... L 2 : alle falschen Atome, z. B. 0 < 0, 0 = s(0), s(0) < 0, s(0) < 0,.... L 3 : alle wahren negierten Atome, z. B. (0 < 0), (0 = s(0)),.... L 4 : alle falschen negierten Atome, z. B. (0 = 0), (0 < s(0)),.... Als Axiom werde in den zunächst betrachteten Kalkülen die allgemeingültige Formel (A1) 0 = 0 gewählt. Es werden also Ableitungen aus der Menge A = {0 = 0} untersucht. Die Ableitungsregeln des ersten Regelsystems R 1 seien die folgenden sechs Regeln (R1) t = t s(t) = s(t)

19 2.3 Korrektheit und Vollständigkeit 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK (R2) (R3) (R4) (R5) (R6) t = t t < s(t) t 1 < t 2 t 1 < s(t 2 ) t 1 < t 2 (t 1 = t 2 ) t 1 < t 2 (t 2 = t 1 ) t 1 < t 2 (t 2 < t 1 ) Durch (R1) wird (im Zusammenhang mit (A1)) die Reflexivität des Prädikats = realisiert, durch (R4) und (R5) dann, daß dieses Prädikat nur auf Paare aus {(t, t) t T Σ ( )} zutrifft. Durch (R2) und (R3) wird (im Zusammanhang mit der Reflexivität von =) realisiert, daß das Prädikat < für jedes Paar (t 1, t 2 ) mit t 1 t 2 mindestens einmal zutrifft, durch (R6) dann, daß es auch asymmetrisch ist. Alle Regeln können nur auf Formeln aus L 1 L 2 angewandt werden. Da (A1) in L 1 liegt, können hieraus mit (R1) bis (R3) nur Formeln aus L 1 abgeleitet werden. Mit (R4) bis (R6) können aber aus L 1 nur Formeln aus L 3 abgeleitet werden. Daher ist (A, R 1 ) korrekt (es können aus (A1) nur Formeln aus L 1 L 3 abgeleitet werden) und folglich widerspruchsfrei (es kann keine widersprüchliche Formel abgeleitet werden). Er ist aber weder vollständig noch negationsvollständig, da weder die Formel 0 < 0 (ginge wegen der fehlenden Negation und der fehlenden Gleichheit nur mit (R2) oder (R3), aber dann wäre das Funktionssymbol s vorhanden) noch deren Negation (0 < 0) (ginge nur mit (R6), aber dann auch nur aus 0 < 0!) ableitbar ist. Im zweiten Regelsystem R 2 komme noch die folgende Ableitungsregel hinzu:

20 2.3 Korrektheit und Vollständigkeit 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK (R7) (t 1 < t 2 ) t 2 < t 1 Obwohl diese Regel keinen allgemeingültigen Schluß darstellt, bleibt der Kalkül (A, R 2 ) korrekt und widerspruchsfrei, da die Tautologien (t < t) nicht abgeleitet werden können, und nur diese würden zu t < t und damit zu einem Widerspruch zu der Tautologie t = t führen. Im dritten Regelsystem R 3 werde R 2 noch um die folgende Ableitungsregel ergänzt: (R8) t 1 = t 2 (t 1 < t 2 ) Diese Regel realisiert die Irreflexivität des Prädikates <. (A1, R 3 ) ist vollständig, da sich nun jede Tautologie ableiten läßt, also auch negationsvollständig. Da sich dann aber auch 0 < 0 (aus (A1) mit (R8) und (R7)) und (0 < 0) (aus (A1) mit (R8)) ableiten lassen, ist (A1, R 3 ) widersprüchlich und daher nicht korrekt. Bildet man R 4 aus R 3, indem man (R7) entfernt, so erhält man einen korrekten und widerspruchsfreien, sowie vollständigen und negationsvollständigen Kalkül (A1, R 4 ). Jetzt werde als Axiom die falsche Aussage (A1 ) (0 = 0) gewählt und als Ableitungsregeln (R1 ) (R2 ) (R3 ) (t = t) (s(t) = s(t)) (t = t) (t < s(t)) (t 1 < t 2 ) (t 1 < s(t 2 ))

21 2.4 Peano-Arithmetik 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK (R4 ) (R5 ) (R6 ) (R8 ) (t 1 < t 2 ) t 1 = t 2 (t 1 < t 2 ) t 2 = t 1 (t 1 < t 2 ) t 2 < t 1 (t 1 = t 2 ) t 1 < t 2 Im Unterschied zu R 4 können mit diesem Regelsystem R 5 aus A = { (0 = 0)} genau alle falschen Formeln hergeleitet werden, d. h. (A, R 5 ) ist weder vollständig noch korrekt, aber immer noch widerspruchsfrei und negationsvollständig. 2.4 Peano-Arithmetik Für den Aufbau eines Logikkalküls über der vollen Arithmetik der natürlichen Zahlen werde die folgende Signatur Σ zugrunde gelegt. (S = {N}, F = {0, s(n) N, +(N, N) N, (N, N) N}, P = {N = N}). Da sich die Relation < mit Hilfe der Addition definieren läßt, nimmt man sie üblicherweise nicht mit in die Signatur auf. Als Variablen stehen die Elemente der Menge V = {k, l, m, n,...} zur Verfügung. Vorausgesetzt wird wieder eine Standardinterpretation: Einzige Datenmenge D N ist die Menge N 0 der natürlichen Zahlen, + und bezeichnen die gewöhnliche Addition und Multiplikation der natürlichen Zahlen und s(n) = n+1 den Nachfolger der natürlichen Zahl n. Für die Theorie der Peano-Arithmetik werden die folgenden Axiome vorausgesetzt. Hierin bezeichnen t, t 1, t 2 Terme und ϕ, ψ, χ beliebige prädikatenlogische Formeln. Dabei beschreiben die Axiome (T 1) (T 9) die eigentliche Theorie der natürlichen Zahlen, während die Axiome (L1) (L5) die zugehörige Prädikatenlogik festlegen.

22 2.4 Peano-Arithmetik 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK (T 1) (T 2) (T 3) (T 4) (T 5) (T 6) (T 7) (T 8) (T 9) (L1) (L2) (L3) (L4) t 1 = t 2 (t 1 = t t 2 = t) t 1 = t 2 s(t 1 ) = s(t 2 ) (0 = s(t)) s(t 1 ) = s(t 2 ) t 1 = t 2 t + 0 = t t 1 + s(t 2 ) = s(t 1 + t 2 ) t 0 = 0 t 1 s(t 2 ) = (t 1 t 2 ) + t 1 ϕ(0) ( n(ϕ(n) ϕ(s(n))) mϕ(m)) ϕ (ψ ϕ) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) ( ϕ ψ) (ψ ϕ) nϕ ϕ[n t]

23 2.4 Peano-Arithmetik 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK (L5) n(ϕ ψ) (ϕ nψ), falls n var(ϕ) Die Ableitungsregeln des Kalküls sind (MP ) (G) ϕ, ϕ ψ ψ ϕ nϕ Bemerkung 2.27 a) Die beiden Peano-Axiome 0 ist eine natürliche Zahl. und Jede natürliche Zahl n besitzt einen eindeutig bestimmten Nachfolger s(n). werden bereits durch die Signatur realisiert. b) (T 3) drückt das Peano-Axiom 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl. aus. c) (T 4) legt die Injektivität der Nachfolgerfunktion fest, also ein weiteres Peano- Axiom. d) (T 2) besagt, daß die Nachfolgerfunktion mit der Gleichheit verträglich ist. e) (T 5) und (T 6) zeigen gemeinsam mit dem Induktionsaxiom (T 9), daß die Funktion + die Eigenschaften der üblichen Additon besitzt. Insbesondere ergibt sich mit (T 2) auch, daß die Funktion + mit der Gleichheit verträglich ist. f) (T 7) und (T 8) leisten dasselbe für die Multiplikation. g) Der folgende Satz zeigt, daß (T 1) die gewohnten Eigenschaften der Gleichheitsrelation garantiert. Satz 2.28 Die Gleichheit = ist auf T Σ (V ) für die Peano-Arithmetik eine Äquivalenzrelation. Beweis: Seien t, t i T Σ (V ) für i = 1, 2, 3 beliebig. Aus (T 5) und (T 1) folgt die Reflexivität der Gleichheit durch zweimalige Anwendung von (MP ) t + 0 = t

24 2.4 Peano-Arithmetik 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK t + 0 = t (t + 0 = t t = t) t + 0 = t t = t ( ) t = t Hiermit ergibt sich ebenfalls durch zweimalige Anwendung von (MP ) aus (T 1) dann auch die Symmetrie gemäß t 1 = t 2 Voraussetzung t 1 = t 1 wegen ( ) t 1 = t 2 (t 1 = t 1 t 2 = t 1 ) wegen (T 1) t 1 = t 1 t 2 = t 1 ( ) t 2 = t 1 Schließlich erhält man auch die Transitivität aus (T 1) gemäß t 1 = t 2 Voraussetzung t 2 = t 3 Voraussetzung t 2 = t 1 wegen ( ) t 2 = t 1 (t 2 = t 3 t 1 = t 3 ) t 2 = t 3 t 1 = t 3 t 1 = t 3. Bemerkung 2.29 Mit Hilfe prädikatenlogischer Formeln lassen sich neue Prädikate (also Relationen) der Peano-Arithmetik definieren, die nicht in der Signatur auftreten, z. B. das zweistellige Prädikat m n : k(m k = n) und dann weiter das einstellige Prädikat prim(n) : ( n = s(0)) m(m n (m = s(0) m = n))). Man nennt diese Prädikate arithmetisch-repräsentierbar. Da es nur abzählbar viele prädikatenlogische Formeln in der Peano-Arithmetik gibt, existieren also auf den natürlichen Zahlen überabzählbar viele Relationen, die nicht arithmetisch repräsentierbar sind.

25 2.5 Aussagenlogische Kalküle 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK Der folgende Satz wurde im wesentlichen erstmals 1931 von Kurt Gödel ( ) bewiesen. Satz 2.30 Jeder widerspruchsfreie Kalkül, der die Peano-Arithmetik umfaßt, ist negationsunvollständig. Bemerkung 2.31 Aus diesem Satz ergibt sich sofort eine semantische Folgerung: Jeder korrekte Kalkül, der die Peano-Arithmetik umfaßt, ist unvollständig, d. h. es gibt in ihm formulierbare wahre Aussagen, die im Kalkül nicht bewiesen werden können. Im Verlauf dieses Beweises codierte Gödel jede Formel des betreffenden Kalküls durch eine natürliche Zahl und ebenso jeden Beweis einer Formel innerhalb dieses Kalküls ( Gödelisierung ). Damit konnten alle im Kalkül artihmetisch-repräsentierbaren (einstelligen) Prädikate (wie oben z. B. prim(n)) durchnumeriert werden, also P 1 (n), P 2 (n),.... Schließlich gelang Gödel die Konstruktion einer natürlichen Zahl g, so daß im Kalkül weder P g (g) noch P g (g) einen Beweis besitzen. 2.5 Aussagenlogische Kalküle Die in diesem Abschnitt kurz skizzierten aussagenlogischen Kalküle benutzen als einzige Ableitungsregel jeweils den Modus ponens (M P ) und unterscheiden sich nur durch die verwendeten Junktoren und Axiome. Die entstehenden Kalküle sind aber untereinander gleichwertig. Bemerkung 2.32 Die Axiome (L1) (L3) bilden gemeinsam mit der Ableitungsregel (M P ) einen vollständigen und korrekten Kalkül für aussagenlogische Formeln, die mit den Junktoren und gebildet werden. Man bezeichnet (L1) auch als Abschwächung, (L2) als (linksseitige) Distributivität und (L3) als Kontraposition. Satz 2.33 Die Implikation ist eine Quasiordnung auf der Menge der aussagenlogischen Formeln, d. h. sie ist reflexiv und transitiv. Daher bildet die abgeleitete Relation A B : A B und B A eine Äquivalenzrelation auf dieser Menge.

26 2.5 Aussagenlogische Kalküle 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK Beweis: Reflexivität: Mit ϕ = A, ψ = (A A) und χ = A folgt aus (L1) zunächst und aus (L2) Nun liefert (MP ) A ((A A) A) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)). (A (A A)) (A A). Da A (A A) mit ϕ = ψ = A aus (L1) folgt, liefert (MP ) schließlich die Behauptung. Transitivität: Wenn A B und B C gelten, so folgt aus (L1) (B C) (A (B C)) und mit (MP ) daher Wegen (L2) gilt aber A (B C). und mit (MP ) folgt (A (B C)) ((A B) (A C)), (A B) (A C). Wendet man hierauf und auf die erste Voraussetzung (MP ) an, so erhält man A C. Bemerkung 2.34 Definiert man wie üblich den Zusammenhang zwischen den Junktoren, und durch A B A B, dann bedeutet die Reflexivität A A nichts anderes als A A, also den Satz vom ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur) für alle aussagenlogischen Formeln A. Die folgende Aussage dagegen wird auch als Gesetz der doppelten Negation bezeichnet. Weiterhin kann man den Junktor durch A B : (A B) definieren, was wegen des Zusammenhangs zwischen und gleichwertig zu ( A B) ist und mit dem Gesetz der doppelten Negation die De Morganschen Gesetze ergibt. Folgerung 2.35 Jede ausagenlogische Formel A ist äquivalent zu A.

27 2.5 Aussagenlogische Kalküle 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK Beweis: A A: Wegen (L1) gilt A ( A A) und wegen (L3) gilt ( A A) ( A A). Mit der Transitivität von folgt A ( A A). Wiederum wegen (L3) gilt ( A A) ( A A), und mit der Transitivität von folgt nun A ( A A). Wegen (L2) gilt ( A ( A A)) (( A A) ( A A)), woraus mit (MP ) dann ( A A) ( A A) folgt. Da auch reflexiv ist, gilt immer A A, so daß (MP ) schließlich die Behauptung zeigt. A A: Aus dem schon Bewiesenen folgt A A und wegen (L3) gilt ( A A) (A A). Nun liefert (MP ) die Behauptung. David Hilbert ( ) und Wilhelm Ackermann ( ) gaben 1928 einen Kalkül an, der anstelle von (L1) (L3) die Axiome (HA1) (HA4) verwendete. Diese Axiome wurden bereits von Russell und Whitehead in der Principia Mathematica benutzt, allerdings noch mit dem zusätzlichen Axiom (ϕ (ψ χ)) (ψ (ϕ χ)), das sich aber aus (HA1) (HA4) herleiten läßt. (HA1) (HA2) (HA3) (HA4) (ϕ ϕ) ϕ ϕ (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ψ ϕ) (ϕ ψ) ((χ ϕ) (χ ψ)) Der Kalkül wurde damals allerdings mit den Junktoren und formuliert, ϕ ψ wurde als Abkürzung für ϕ ψ definiert. Setzt man ϕ ψ als Abkürzung für ψ ϕ, so gehen diese Axiome über in (HA1) ( ϕ ϕ) ϕ

28 2.5 Aussagenlogische Kalküle 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK (HA2) (HA3) (HA4) ϕ (ϕ ψ) ( ϕ ψ) ( ψ ϕ) (ϕ ψ) (( χ ϕ) ( χ ψ)) Barkley Rosser ( ) benutzte 1953 die folgenden Axiome. Der Kalkül wurde zunächst mit den Junktoren und gebildet, ϕ ψ wurde als (ϕ ψ) definiert. (R1) (R2) (R3) ϕ (ϕ ϕ) (ϕ ψ) ϕ (ϕ ψ) ( (ψ χ) (χ ϕ)) Ähnlich wie beim Kalkül von Hilbert und Ackermann kann man auch diese Axiome umschreiben, indem man ϕ ψ durch (ϕ ψ) ersetzt. Schließlich schlug Stephen Kleene ( ) 1952 einen mit den Junktoren,, und gebildeten Kalkül und den folgenden zehn Axiomen vor. (K1) (K2) (K3) (K4) (K5) ϕ (ψ ϕ) (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) (ϕ ψ) ϕ (ϕ ψ) ψ ϕ (ψ (ϕ ψ))

29 2.5 Aussagenlogische Kalküle 2 SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK (K6) (K7) (K8) (K9) (K10) ϕ (ϕ ψ) ψ (ϕ ψ) (ϕ ψ) ((χ ψ) ((ϕ ψ) χ)) (ϕ ψ) ((ϕ ψ) ϕ) ϕ ϕ

30 3 RESOLUTIONSREGELN 3 Resolutionsregeln 3.1 Unifikation Für eine feste Signatur Σ = (S, F, P) bezeichne Subst die Menge aller Substitutionen σ : V T Σ (V ) gemäß Definition Nach Lemma 1.15 handelt es sich bezüglich der Komposition um eine Halbgruppe mit dem Einselement ε = [ ]. Durch σ τ : es gibt ein ϱ Subst mit σϱ = τ für alle σ, τ Subst (gelesen: σ ist allgemeiner als τ) wird eine Relation auf Subst definiert, die ersichtlich reflexiv (ϱ = ε!) und transitiv ist, also (Subst, ) zu einer quasigeordneten Menge macht. Diese Quasiordnung ist i. a. nicht antisymmetrisch, also keine partielle Ordnung: Für x y aus V s und σ = [x y] τ = [y x] hat man nämlich στ = τ und τσ = σ, also σ τ und τ σ. Wie für jede Quasiordnung wird durch σ τ : σ τ und τ σ aber eine Äquivalenzrelation auf Subst definiert und die Äquivalenzklassen dann durch [σ] [τ] : σ τ partiell geordnet. Ersichtlich ist [ε] kleinstes Element von (Subst/, ). Lemma 3.1 Für σ, τ Subst gilt σ τ genau dann, wenn es eine Umbenennung π Subst, also eine Permutation von V, mit σπ = τ gibt. Insbesondere ist [ε] = {π Subst π ist Umbenennung }. Bemerkung 3.2 Beim Beweis von ist wesentlich, daß σ : V T Σ (V ) nur endlich viele x V verändert, vgl. Definition Sonst hätte man etwa das Gegenbeispiel σ = [x 0 x 1,..., x k x k+1,...] und τ = ε mit σ τ und τ σ, aber σπ τ( σ π 1 ) für jede Permutation π von V. Definition 3.3 Zwei Terme t, t T Σ (V ) bzw. eine Termmenge M T Σ (V ) heißen unifizierbar, falls eine Substitution σ mit tσ = t σ bzw. mit t 1 σ = t 2 σ für alle t 1, t 2 M (also Mσ = 1) existiert. In diesem Fall heißt σ ein Unifikator von t und t bzw. von M. Ein Unifikator heißt allgemeinster Unifikator (von t und t bzw. von M), wenn σ τ für alle Unifikatoren τ von t und t bzw. von M gilt.

31 3.1 Unifikation 3 RESOLUTIONSREGELN Bemerkung 3.4 Nach Lemma 3.1 sind allgemeinste Unifikatoren also bis auf Umbenennungen eindeutig bestimmt. Sind t und t bzw. M unifizierbar, dann dient das folgende, 1982 publizierte Verfahren zur Berechnung des allgemeinsten Unifikators und damit zum Nachweis seiner Existenz. Definition 3.5 Die Martelli-Montanari-Regeln zur Berechnung allgemeinster Unifikatoren sind (U 1) Dekompositionsregel E {f(t 1,..., t n ) f(t 1,..., t n)} E {t 1 t 1,..., t n t n} (U 2) Variablen-Elimination E {x t} Eτ x kommt in t nicht vor, wohl aber in E, und es ist τ = [x t] (U 3) Umordnungsregel t ist keine Variable E {t x} E {x t} (U 4) Elimination trivialer Gleichungen E {x x} E Dabei ist E eine Menge gerichteter Gleichungen, die disjunkte Vereinigung, t, t i, t i, sind Terme, f ein Funktionssymbol und x eine Variable. Beispiel 3.6 Berechnung eines allgemeinsten Unifikators. Bemerkung 3.7 Der Test in (U2), ob x in t vorkommt, heißt auch occurcheck.

32 3.2 Resolution 3 RESOLUTIONSREGELN Satz 3.8 Es sei E eine Menge gerichteter Gleichungen und E aus E durch Anwendung einer der Regeln (U1) (U4) entstanden. Dann gelten: (i) E ist genau dann mit dem Unifikator σ unifizierbar, wenn E mit σ unifizierbar ist. (ii) σ ist allgemeinster Unifikator von E genau dann, wenn σ allgemeinster Unifikator von E ist. Definition 3.9 Unifikationsalgorithmus Es seien t, t Terme bzw. M eine endliche Menge von Termen. Der Unifikationsalgorithmus läuft dann folgendermaßen ab: 1. Bilde die Start-Gleichungsmenge E 0 = {t t } bzw. E 0 = {t t t, t M, t t }. 2. Solange dies möglich ist, wende eine der Regeln (U1) (U4) an. 3. Ist keine Regel mehr anwendbar, so ist die Ergebnis-Gleichungsmenge E erreicht. Satz 3.10 a) Der Unifikationsalgorithmus terminiert für jede Start-Gleichungsmenge E 0. b) Gilt E = {x 1 t 1,..., x k t k }, k > 0 mit paarweise verschiedenen Variablen x i, die in keinem der Terme t j mehr vorkommen, so sind t und t bzw. M unifizierbar mit dem allgemeinsten Unifikator σ = [x 1 t 1,..., x k t k ]. In diesem Fall heißt E vollständig gelöst. Andernfalls sind t und t bzw. M nicht unifizierbar. Bemerkung 3.11 a) Der Unifikationsalgorithmus benötigt im schlimmsten Fall exponentiellen Speicher- und Zeitaufwand. b) Es gibt Unifikationsalgorithmen mit quadratischem, ja sogar fast linearem Aufwand. 3.2 Resolution Definition 3.12 Es seien P, Q Atome, A und C Konjunktionen sowie B und D Disjunktionen von Atomen. Weiterhin sei π eine Umbenennung der Variablen von Q C D derart, daß A B P und (Q C D)π keine gemeinsamen

33 3.2 Resolution 3 RESOLUTIONSREGELN Variablen enthalten, und σ ein allgemeinster Unifikator von P und Qπ. Dann heißt die Ableitungsregel (pure) Resolution. (Res) A B P Q C D (A Cπ B Dπ)σ Beispiel 3.13 Beispiel zur Resolution. Bemerkung 3.14 Die pure Resolution ist noch nicht widerlegungsvollständig, denn für Variablen x, y, u, v ist X = {W P (x) P (y), P (u) P (v) F } widersprüchlich. Aus der ersten Formel folgt nämlich (x = y = u = v!) zunächst P (x) und mit der zweiten Formel dann W F. Mit (Res) bleiben aber bei jedem Ableitungsschritt zwei Literale erhalten, der Widerspruch wird also nicht gefunden. Dies liegt daran, daß in den Prämissen von (Res) nicht nur P und Qπ unifizierbar sind, sondern noch mehrere Atome. Hier sind dies P (x), P (y), P (u) und P (v). Definition 3.15 Es seien P 1,..., P n für n 1 Atome, A eine Konjunktion und B eine Disjunktion von Atomen, sowie σ ein allgemeinster Unifikator von {P 1,..., P n }. Dann heißt die Ableitungsregel (F ak) A B P 1... P n (A B P 1 )σ bzw. P 1... P n A B (P 1 A B)σ Faktorisierungsregel. Die Konklusionen heißen Faktoren der jeweiligen Prämissen. Bemerkung 3.16 a) In Klauselschreibweise bzw. { A 1,..., A m, B 1,..., B l, P 1,..., P n } { A 1 σ,..., A m σ, B 1 σ,..., B l σ, P 1 σ} { A 1,..., A m, B 1,..., B l, P 1,..., P n } { A 1 σ,..., A m σ, B 1 σ,..., B l σ, P 1 σ} sieht man, daß es sich tatsächlich nur um eine Regel handelt. b) Mit Resolution und Faktorisierung findet man auch den Widerspruch in X = {W P (x) P (y), P (u) P (v) F }, denn durch Faktorisierung erhält man etwa W P (x) mit σ 1 = [y x] und P (u) F mit σ 2 = [v u], woraus sich mit (Res) der Widerspruch W F ergibt.

34 3.2 Resolution 3 RESOLUTIONSREGELN 1965 führte J. A. Robinson die folgende Kombination von (Res) und (F ak) ein: Definition 3.17 Es seien P 1,..., P n, Q 1,..., Q m Atome, A und C Konjunktionen sowie B und D Disjunktionen von Atomen. Weiterhin sei π eine Umbenennung der Variablen von Q 1... Q m C D derart, daß A B P 1... P n und (Q 1... Q m C D)π keine gemeinsamen Variablen enthalten, und σ ein allgemeinster Unifikator von {P 1,..., P n, Q 1,..., Q m }. Dann heißt die Ableitungsregel (Rob) A B P 1... P n Q 1... Q m C D (A Cπ B Dπ)σ volle oder klassische Resolution. Lemma 3.18 Lifting-Lemma Es seien G 1 und G 2 Gentzenformeln mit Instanzen G 1 bzw. G 2, so daß der Schnitt (GS) G 1G 2 möglich ist. Dann existiert eine G Gentzenformel G, die durch einen Resolutionsschritt aus Faktoren von G 1 und G 2 entsteht, so daß G Instanz von G ist. Beispiel 3.19 Beispiel zum Lifting-Lemma. Satz 3.20 Die beiden Regelsysteme (Res + F ak) bzw. (Rob) sind korrekt und widerlegungsvollständig für Gentzenformeln. Bemerkung 3.21 Das Lifting-Lemma zeigt lokal (für einen einzelnen Schnitt), daß Ableitungen mittels Schnitten und beliebigen Substitutionen in solche mit Schnitten und allgemeinsten Unifikatoren geliftet werden können.

35 4 SUCHSTRATEGIEN 4 Suchstrategien Die Widerlegungsvollständigkeit eines Regelsystems R besagt für eine widersprüchliche Formelmenge X nur die Existenz einer Ableitung X R. Für die Effektivität eines (maschinellen) Beweises ist aber die Frage, welche Regel aus R mit welchen Prämissen aus den bisher abgeleiteten Formeln für den jeweils nächsten Ableitungsschritt anzuwenden ist, von entscheidender Bedeutung. Hierfür sind mittlerweile sehr viele Strategien untersucht worden, von denen nun einige vorgestellt werden. 4.1 Breitensuche (Level-Saturation) Hierbei werden systematisch alle Formeln erzeugt, die sich in einem Schritt, dann in zwei Schritten usw. aus X mittels R herleiten lassen. Dazu sei noch definiert R(X) := {C C entsteht durch einmalige Anwendung einer Regel aus R auf Formeln aus X}. Definition 4.1 Die Breitensuche bildet für eine gegebenen Formelmenge X und ein gegebenes Regelsystem R sukzessive die Formelmenge S n des n-ten Levels für n N: S (BS) 0 := X, S n+1 := S n R(S n ). Bemerkung 4.2 Bei der Breitensuche werden also alle möglichen Ableitungen parallel erzeugt. Das bedeuttet, daß S n sehr stark anwächst ( kombinatorische Explosion ). Für ein widerlegungsvollständiges Regelsystem R existiert aber genau für widersprüchliche Formelmengen X ein n N mit S n. Bei der konkreten Berechnung von S n+1 wird man natürlich nur Regeln anwenden, die mindestens eine Formel aus S n \ S n 1 als Prämisse verwenden. Man wird daher (BS) verfeinern, etwa für R = {(Res), (F ak)}: Für Klasuelmengen Y und Z bezeichne Res(Y, Z) die Menge aller in einem Schritt zwischen Klauseln aus Y und Klauseln aus Z bildbaren Resolventen F ak(y ) die Menge aller in einem Schritt aus Y bildbaren Faktoren. Dann sei (BS) S 0 := X, S 1 := X Res(X, X) F ak(x), S n+1 := S n Res(S n \ S n 1, S n ) F ak(s n \ S n 1 ).

36 4.2 Präferenz-Strategien 4 SUCHSTRATEGIEN 4.2 Präferenz-Strategien Hierbei benutzt man ein korrektes und widerlegungsvollständiges Regelsystem R und ein korrektes, nicht widerlegungsvollständiges Regelsystem T, dessen Regeln aber effektiver anwendbar sind (Anwendbarkeit mit weniger Aufwand zu entscheiden, Konklusionen schneller zu berechnen, Konklusionen sind einfachere Formeln, etc.). Man zieht dann die Regeln aus T denen aus R vor, ohne die Widerlegungsvollständigkeit zu verlieren. Definition 4.3 Eine Präferenz-Strategie bildet für eine gegebene Formelmenge X und zwei Regelsysteme R und T in Abhängigkeit von k > 0 sukzessive die Formelmengen S n : (P S) S 0 := X, S n+1 := S n R(S n ), falls n mod k S n+1 := S n T (S n ), sonst. Bemerkung 4.4 Der Parameter k steuert in einfacher Weise, wie stark T -Schritte gegenüber R-Schritten bevorzugt werden. Die Strategie ist aber fair, denn jeder R-Schritt, der bei (BS) (k=1) ohne Benutzung von T durchgeführt worden wäre, kommt auch bei (P S) vor, wenn auch verzögert. Auch für diese Strategie sind Verfeinerungen möglich, aber die Fairness ist jeweils zu beweisen. Dann existiert bei widerlegungsvollständigem R unabhängig von T für jede widerspruchsvolle Formelmenge X ein n N mit S n. Beispiel 4.5 Gentzenschnitt und Einheitsschnitte. Für aussagenlogische Gentzenformeln sei R = {(GS)}, also ein korrektes und widerlegungsvollständiges Regelsystem, und T = {(T 1 ), (T 2 )}, wobei (T 1 ) den positiven und (T 2 ) den negativen Einheitsschnitt bezeichne, also ein korrektes, aber nicht widerlegungsvollständiges Regelsystem. Betrachte die Strategien (BS) und (PS) bei k = 3 für die Formelmenge X = {(1)P, (2)P Q, (3)P R S, (4)P S R, (5)P Q R S, (6)P Q R S F }. Dabei ist (5) keine Hornformel und (6) das zu beweisende negierte Theorem P Q R S. Level 1

37 4.2 Präferenz-Strategien 4 SUCHSTRATEGIEN (PS): Wegen k = 3 wird nur T verwendet und erzeugt die folgenden Formeln (7) Q (aus (1) und (2) mit (T 1 )), (8) R S (aus (1) und (3) mit (T 1 )), (9) S R (aus (1) und (4) mit (T 1 )), (10) Q R S (aus (1) und (5) mit (T 1 )), (11) Q R S F (aus (1) und (6) mit (T 1 )). (T 2 ) ist noch nicht anwendbar! (BS): Mit (GS) werden ebenfalls (7) - (11) erzeugt und zusätzlich noch (12) P R S (aus (2) und (5)), (13) P R S F (aus (2) und (6)), (14) P R R (aus (3) und (4), eine Tautologie!), (15) P Q R F (aus (3) und (6)), (16) P S S (aus (4) und (3) [Reihenfolge der Prämissen!] und aus (5) und (3) [Mehrfachableitung!], Tautologie!), (17) P Q S F (aus (4) und (6)), (18) P Q S S (aus (5) und (6), Tautologie), (19) P Q R R (aus (5) und (6), mehrere Konklusionen!, Tautologie), (20) P Q S (aus (5) und (3)), (21) P Q R (aus (5) und (4)). Beachtung der Reihenfolge der Prämissen und Möglichkeit mehrfacher Konklusionen bedeuten einen erhöhten Suchaufwand bei den Ableitungen, Mehrfachableitungen bedeuten einen Suchaufwand beim Abspeichern der abgeleiteten Formeln! Level 2 (PS): Mit T werden außer den Formel (7) - (11) aus Level 1 noch erzeugt (12) P R S (aus (7) und (5)),