Vom Nutzen der Aufgabensammlungen zur Begabungsförderung

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1 Vom Nutzen der Aufgabensammlungen zur Begabungsförderung Universität Regensburg 16. Forum für Begabungsförderung 22. März 2013, Universität Würzburg

2 Gliederung 1 2 3

3 Zitat Pólya Eine Aufgabe haben bedeutet, bewußt nach einer Handlungsweise suchen, die dazu angetan ist, ein klar erfaßtes, aber nicht unmittelbar erreichbares Ziel zu erreichen.

4 Zitat Pólya Eine Aufgabe haben bedeutet, bewußt nach einer Handlungsweise suchen, die dazu angetan ist, ein klar erfaßtes, aber nicht unmittelbar erreichbares Ziel zu erreichen. Eine Aufgabe lösen bedeutet, eine solche Handlungsweise entdecken.

5 Zitat Pólya Eine Aufgabe haben bedeutet, bewußt nach einer Handlungsweise suchen, die dazu angetan ist, ein klar erfaßtes, aber nicht unmittelbar erreichbares Ziel zu erreichen. Eine Aufgabe lösen bedeutet, eine solche Handlungsweise entdecken. Eine Aufgabe ist eine große Aufgabe, wenn sie sehr schwierig ist, sie ist nur eine kleine Aufgabe, wenn sie nicht sehr schwierig ist. Aber ein gewisser Grad von Schwierigkeit gehört zu dem Wesen des Begriffs der Aufgabe:

6 Zitat Pólya Eine Aufgabe haben bedeutet, bewußt nach einer Handlungsweise suchen, die dazu angetan ist, ein klar erfaßtes, aber nicht unmittelbar erreichbares Ziel zu erreichen. Eine Aufgabe lösen bedeutet, eine solche Handlungsweise entdecken. Eine Aufgabe ist eine große Aufgabe, wenn sie sehr schwierig ist, sie ist nur eine kleine Aufgabe, wenn sie nicht sehr schwierig ist. Aber ein gewisser Grad von Schwierigkeit gehört zu dem Wesen des Begriffs der Aufgabe: Wo es keine Schwierigkeit gibt, gibt es auch keine Aufgabe.

7 Zitat Pólya Eine Aufgabe haben bedeutet, bewußt nach einer Handlungsweise suchen, die dazu angetan ist, ein klar erfaßtes, aber nicht unmittelbar erreichbares Ziel zu erreichen. Eine Aufgabe lösen bedeutet, eine solche Handlungsweise entdecken. Eine Aufgabe ist eine große Aufgabe, wenn sie sehr schwierig ist, sie ist nur eine kleine Aufgabe, wenn sie nicht sehr schwierig ist. Aber ein gewisser Grad von Schwierigkeit gehört zu dem Wesen des Begriffs der Aufgabe: Wo es keine Schwierigkeit gibt, gibt es auch keine Aufgabe. (Aus: Vom Lösen mathematischer Aufgaben, Band 1, Kap. 5.)

8 Allgemeines Aufgabensammlungen als Sammlung von Schwierigkeiten?

9 Allgemeines Aufgabensammlungen als Sammlung von Schwierigkeiten? Wie überwindet man solche Schwierigkeiten? Mit guten Ideen!

10 Allgemeines Aufgabensammlungen als Sammlung von Schwierigkeiten? Wie überwindet man solche Schwierigkeiten? Mit guten Ideen! Ziel: Anregungsmomente (Stimuli) zu geben, die in den Aufgaben liegenden Schwierigkeiten zu überwinden.

11 Allgemeines Pólya (aus Schule des Denkens ): Gute Ideen beruhen auf Erfahrung und früher erworbenem Wissen.

12 Allgemeines Pólya (aus Schule des Denkens ): Gute Ideen beruhen auf Erfahrung und früher erworbenem Wissen. (Mathematische) Erfahrung sammelt man am besten mit guten Aufgabensammlungen an seiner Seite!

13 Vom Nutzen des Lösens von Aufgaben Das bereits erworbene Wissen wird am besten mit dem Lösen von Aufgaben gefestigt.

14 Vom Nutzen des Lösens von Aufgaben Das bereits erworbene Wissen wird am besten mit dem Lösen von Aufgaben gefestigt. Eine aktive Haltung gegenüber der Mathematik sowie die Selbstständigkeit, die Einsicht, das Verständnis und die Kreativität werden gefördert.

15 Vom Nutzen des Lösens von Aufgaben Das bereits erworbene Wissen wird am besten mit dem Lösen von Aufgaben gefestigt. Eine aktive Haltung gegenüber der Mathematik sowie die Selbstständigkeit, die Einsicht, das Verständnis und die Kreativität werden gefördert. Fundamentale geistige Operationen, wie z. B.: Analyse, Synthese, Vergleich, Abstrahierung, Verallgemeinerung werden gefestigt und erweitert.

16 Kurzfassung The best way to learn mathematics is to do mathematics. (Aus der zu Hungarian problem book.)

17 Gheorghe Ţiţeica ( ) Es seien drei kongruente Kreise gegeben, die einen gemeinsamen Punkt H haben und sich paarweise in zwei verschiedenen Punkten schneiden. Es bezeichnen A, B, C, H die Schnittpunkte dieser Kreise. Beweisen Sie, dass der Umkreis des ABC zu den gegebenen Kreisen kongruent ist.

18 (Skizze)

19 (Skizze) B C H A

20 (Skizze) B C H A

21 (Skizze) B C H A

22 (Skizze) B M C H A

23 Beweis von Rolle von H B C H A

26 Beweis von Rolle von H B H C H A

27 Beweis von Rolle von H H B C H A

28 anderer Beweis B C H A

29 anderer Beweis B O 2 O 1 C H A O 3

33 Pólyas Beweis B O 2 O 1 C H A O 3

34 Pólyas Beweis B O 2 M O 1 C H A O 3

35 weitere Eigenschaft; Spiegelpunkt S B O 2 M S O 1 C H A O 3

36 Beweisen Sie, dass für jedes ungerade n 3 die Menge {( ) ( ) ( )} n n n,,..., n eine ungerade Anzahl ungerader Zahlen enthält.

37 (Beweis) Es ist ( n) ( 1 = n ( n 1), n ) ( 2 = n n 2 n k=0 ( ) n = 2 n, k ),..., ( n n 1 2 ) ( = n ) n+1 und 2

38 (Beweis) Es ist ( n) ( 1 = n ( n 1), n ) ( 2 = n n 2 n k=0 ( ) n = 2 n, also k ),..., ( n n 1 k=1 n 1 2 ) ( = n ) n+1 und 2 ( ) n = 2 n 2. k

39 (Beweis) Es ist ( n) ( 1 = n ( n 1), n ) ( 2 = n n 2 Damit folgt n k=0 ( ) n = 2 n, also k n 1 2 k=1 ),..., ( n n 1 k=1 n 1 2 ) ( = n ) n+1 und 2 ( ) n = 2 n 2. k ( ) n = 2 n 1 1 = ungerade, k

40 (Beweis) Es ist ( n) ( 1 = n ( n 1), n ) ( 2 = n n 2 Damit folgt n k=0 ( ) n = 2 n, also k n 1 2 k=1 ),..., ( n n 1 k=1 n 1 2 ) ( = n ) n+1 und 2 ( ) n = 2 n 2. k ( ) n = 2 n 1 1 = ungerade, k somit gibt es eine ungerade Anzahl ungerader Zahlen in dieser letzten Summe.

41 Berechnen Sie die Summe der größten ungeraden Teiler der Zahlen 1, 2, 3,...,2 n in Abhängigkeit von n N.

42 Berechnen Sie die Summe der größten ungeraden Teiler der Zahlen 1, 2, 3,...,2 n in Abhängigkeit von n N. Lösungsideen

43 Berechnen Sie die Summe der größten ungeraden Teiler der Zahlen 1, 2, 3,...,2 n in Abhängigkeit von n N. Lösungsideen Die ungeraden Zahlen haben sich selbst als größten ungeraden Teiler.

44 Berechnen Sie die Summe der größten ungeraden Teiler der Zahlen 1, 2, 3,...,2 n in Abhängigkeit von n N. Lösungsideen Die ungeraden Zahlen haben sich selbst als größten ungeraden Teiler. Die Teilfolge 2, 4, 6,...,2 n (der Länge 2 n 1 ) hat dieselbe zugeordnete Folge der größten ungeraden Teiler wie die Folge 1, 2, 3,...,2 n 1.

45 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n

46 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց

47 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1

48 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 2, 4, 6,...,2 n

49 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 2, 4, 6,...,2 n 1, 2, 3,...,2 n 1

50 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 2, 4, 6,...,2 n 1, 2, 3,...,2 n 1 ւ ց

51 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 2, 4, 6,...,2 n 1, 2, 3,...,2 n 1 ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 1

52 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 2, 4, 6,...,2 n 1, 2, 3,...,2 n 1 ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 1 2, 4, 6,...,2 n 1

53 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 2, 4, 6,...,2 n 1, 2, 3,...,2 n 1 ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 1 2, 4, 6,...,2 n 1 1, 2, 3,...,2 n 2

54 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 2, 4, 6,...,2 n 1, 2, 3,...,2 n 1 ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 1 2, 4, 6,...,2 n 1 1, 2, 3,...,2 n 2 ւ ց

55 (Lösung) 1, 2, 3,...,2 n ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 2, 4, 6,...,2 n 1, 2, 3,...,2 n 1 ւ ց 1, 3, 5,...,2 n 1 1 2, 4, 6,...,2 n 1 1, 2, 3,...,2 n 2 ւ ց etc.

56 (Lösung) Die gesuchte Summe ist: [ (2 n 1)]+[ (2 n 1 1)]+...+[1+3]+[1]+[1].

57 (Lösung) Die gesuchte Summe ist: [ (2 n 1)]+[ (2 n 1 1)]+...+[1+3]+[1]+[1]. Es ist (Summe einer arithmetischen Folge mit Differenz 2): (2 k 1) = 4 k 1 k 1.

58 (Lösung) Die gesuchte Summe ist: [ (2 n 1)]+[ (2 n 1 1)]+...+[1+3]+[1]+[1]. Es ist (Summe einer arithmetischen Folge mit Differenz 2): (2 k 1) = 4 k 1 k 1. Damit lautet die gesuchte Summe: 4 n n = 1 + ( n 1 ) =

59 (Lösung) Die gesuchte Summe ist: [ (2 n 1)]+[ (2 n 1 1)]+...+[1+3]+[1]+[1]. Es ist (Summe einer arithmetischen Folge mit Differenz 2): (2 k 1) = 4 k 1 k 1. Damit lautet die gesuchte Summe: 4 n n = 1 + ( n 1 ) = = 1 + 4n = 4n

60 Finden Sie die letzte von Null verschiedene Ziffer der Zahl 1000!.

61 (Lösung) Vereinfachte Aufgabe: Finden Sie die letzte von Null verschiedene Ziffer der Zahl 10!.

62 (Lösung) Vereinfachte Aufgabe: Finden Sie die letzte von Null verschiedene Ziffer der Zahl 10!. 2 3 }{{} }{{} 7 8 }{{} Die letzte von Null verschiedene Ziffer von 10! ist 8.

63 (Lösung) Vereinfachte Aufgabe: Finden Sie die letzte von Null verschiedene Ziffer der Zahl 10!. 2 3 }{{} }{{} 7 8 }{{} Die letzte von Null verschiedene Ziffer von 10! ist 8. Idee: Jedes Produkt von 10 aufeinander folgenden Zahlen hat als letzte von Null verschiedene Ziffer genau die letzte Ziffer von 10!

64 (Lösung) Vereinfachte Aufgabe: Finden Sie die letzte von Null verschiedene Ziffer der Zahl 10!. 2 3 }{{} }{{} 7 8 }{{} Die letzte von Null verschiedene Ziffer von 10! ist 8. Idee: Jedes Produkt von 10 aufeinander folgenden Zahlen hat als letzte von Null verschiedene Ziffer genau die letzte Ziffer von 10! (denn modulo 10 haben 10 aufeinander folgende Zahlen die Reste 1, 2,..., 9, 0 eventuell in anderer Reihenfolge).

65 (Lösung) Vereinfachte Aufgabe: Finden Sie die letzte von Null verschiedene Ziffer der Zahl 10!. 2 3 }{{} }{{} 7 8 }{{} Die letzte von Null verschiedene Ziffer von 10! ist 8. Idee: Jedes Produkt von 10 aufeinander folgenden Zahlen hat als letzte von Null verschiedene Ziffer genau die letzte Ziffer von 10! (denn modulo 10 haben 10 aufeinander folgende Zahlen die Reste 1, 2,..., 9, 0 eventuell in anderer Reihenfolge). Die gesuchte Ziffer ist somit die letzte Ziffer von = (8 4 ) 25

66 (Lösung) Vereinfachte Aufgabe: Finden Sie die letzte von Null verschiedene Ziffer der Zahl 10!. 2 3 }{{} }{{} 7 8 }{{} Die letzte von Null verschiedene Ziffer von 10! ist 8. Idee: Jedes Produkt von 10 aufeinander folgenden Zahlen hat als letzte von Null verschiedene Ziffer genau die letzte Ziffer von 10! (denn modulo 10 haben 10 aufeinander folgende Zahlen die Reste 1, 2,..., 9, 0 eventuell in anderer Reihenfolge). Die gesuchte Ziffer ist somit die letzte Ziffer von = (8 4 ) 25 und das ist 6.

67 Aufgabensammlungen (deutsch/englisch) [1] G. Pólya: Vom Lösen mathematischer Aufgaben, Birkhäuser Verlag, Basel und Stuttgart, Bände I und II, [2] G. Pólya: Schule des Denkens, Francke Verlag, Tübingen und Basel, [3] Gh. Andrei, C. Caragea, I. Cucurezeanu, Gh. Bordea: Probleme de algebră pentru concursuri de admitere şi olimpiade şcolare, Editura did. şi ped., Bucureşti, [4] L. Nicolescu, V. Boskoff: Probleme practice de geometrie, Editura tehnică, Bucureşti, [5] L. Pîrşan, C.-G. Lazanu: Probleme de algebră şi trigonometrie, Editura FACLA, Timişoara, 1984.

68 (Fortsetzung) Aufgabensammlungen (deutsch/englisch) [6] N. Teodorescu (coord.): Culegere de probleme, partea a II-a, Societatea de ştiinţe matematice, Bucureşti. [7] D. Buşneag, I. Maftei: Teme pentru cercurile şi concursurile de matematică ale elevilor, Scrisul românesc, Craiova, [8] L. Panaitopol, C. Ottescu: Probleme date la olimpiadele de matematică, Editura did. şi ped., Bucureşti, [9] V. Mangu: Concursurile de admitere, Editura Garamond, Bucureşti, [10] Gh. Ţiţeica: Culegere de probleme de geometrie, Editura tehnică, Bucureşti, 1962 (4. Auflage).

69 Aufgabensammlungen (deutsch/englisch) Einige Aufgabensammlungen (deutsch oder englisch) A. Engel: Problem-Solving Strategies, Springer Verlag G. Hajós (ed.): Hungarian Problem Book I+II, Random House, N. Grinberg: Lösungsstrategien. Mathematik für Nachdenker, Verlag Harri Deutsch. T. Tao: Solving mathematical problems: A personal perspective, Oxford Mathematics. R. Gelca, T. Andreescu: Putnam and beyond, Springer Verlag. T. Andreescu, B. Enescu: Mathematical olympiad treasures, Birkhäuser Verlag.

70 Aufgabensammlungen (deutsch/englisch) Einige Aufgabensammlungen (deutsch oder englisch) T. Andreescu, Z. Feng: A path to combinatorics for undergraduates, Birkhäuser Verlag. T. Andreescu, Z. Feng: 102 combinatorial problems, Birkhäuser Verlag. T. Andreescu, Z. Feng: 103 trigonometry problems, Birkhäuser Verlag. T. Andreescu, O. Mushkarov, L. Stoyanov: Geometric problems on maxima and minima, Birkhäuser Verlag. W. Engel, U. Pirl: Mathematische Olympiade-Aufgaben mit Lösungen, Aulis Verlag.