8 DieTürmevonHanoi. Problem:

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Mathias Brahms
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1 8 DieTürmevonHanoi Problem: 216

2 Bewege den Stapel von links nach rechts! InjedemZugdarfgenaueinRingbewegtwerden. Es darf nie ein größerer Ring auf einen kleineren gelegt werden. 217

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19 Idee: VersetzeneinesTurmsderHöheh =0isteinfach:wirtun nichts. VersetzeneinesTurmsderHöheh >0vonPositionanach Position b zerlegen wir in drei Teilaufgaben: 1.Versetzenderoberenh 1ScheibenaufdenfreienPlatz; 2. Versetzen der untersten Scheibe auf die Zielposition; 3. Versetzen der zwischengelagerten Scheiben auf die Zielposition. VersetzeneinesTurmsderHöheh >0erfordertalso zweimaliges Versetzen eines Turms der Höhe h

20 ÔÙ Ð Ø Ø ÚÓ ÑÓÚ ÒØ ÝØ ÝØ µ ß ¼µ ß ÝØ Ö µ ÑÓÚ ¹½ µ ËÝ Ø ÑºÓÙØºÔÖ ÒØ ØÑÓÚ ØÓ Ò µ ÑÓÚ ¹½ µ Ð Ð Bleibt die Ermittlung des freien Platzes

21 Offenbar hängt das Ergebnis nur von der Summe der beiden Argumenteab

22 Um solche Tabellen leicht implementieren zu können, stellt Java das Û Ø -StatementzurVerfügung: ÔÙ Ð Ø Ø ÝØ Ö ÝØ ÝØ µ ß Û Ø µ ß Ð ½ ¾ ÙÐØ Ð Ö ØÙÖÒ ¾ Ö ØÙÖÒ ½ Ö ØÙÖÒ ¼ Ö ØÙÖÒ ¹½ 237

23 AllgemeineFormeines Û Ø -Statements: Û Ø expr µ ß const 0 ss 0 ( Ö )? const 1 ss 1 ( Ö )? const k 1 ss k 1 ( Ö )? ( ÙÐØ ss k )? Ð expr sollteeineganzezahl(oderein Ö)sein. Die const i sindganz-zahligekonstanten. Die ss i sinddiealternativenstatement-folgen. 238

24 ÙÐØ beschreibtdenfall,beidemkeinerderkonstanten zutrifft. Fehltein Ö -Statement,wirdmitderStatement-Folgeder nächsten Alternative fortgefahren :-) 239

25 ÙÐØ beschreibtdenfall,beidemkeinerderkonstanten zutrifft. Fehltein Ö -Statement,wirdmitderStatement-Folgeder nächsten Alternative fortgefahren :-) Eine einfachere Lösung in unserem Fall ist: ÔÙ Ð Ø Ø ÝØ Ö ÝØ ÝØ µ ß Ö ØÙÖÒ ÝØ µ ¹ µµ Ð 240

26 FüreinenTurmderHöheh =4liefertdas: ÑÓÚ ¼ ØÓ ½ ÑÓÚ ¼ ØÓ ¾ ÑÓÚ ½ ØÓ ¾ ÑÓÚ ¼ ØÓ ½ ÑÓÚ ¾ ØÓ ¼ ÑÓÚ ¾ ØÓ ½ ÑÓÚ ¼ ØÓ ½ ÑÓÚ ¼ ØÓ ¾ ÑÓÚ ½ ØÓ ¾ ÑÓÚ ½ ØÓ ¼ ÑÓÚ ¾ ØÓ ¼ ÑÓÚ ½ ØÓ ¾ ÑÓÚ ¼ ØÓ ½ ÑÓÚ ¼ ØÓ ¾ ÑÓÚ ½ ØÓ ¾ 241

27 Bemerkungen: ÑÓÚ µistrekursiv,abernichtend-rekursiv. Sei N(h) die Anzahl der ausgegebenen Moves für einen Turm derhöheh 0.Dannist N(0) = 0 undfürh >0, N(h) = 1 +2 N(h 1) Folglichist N(h) =2 h 1. Bei genauerer Analyse des Problems lässt sich auch ein nicht ganz so einfacher nicht-rekursiver Algorithmus finden...(wie könnte der aussehen? :-) Hinweis: Offenbar rückt die kleinste Scheibe in jedem zweiten Schritt eine Position weiter

28 9 VonMiniJavazurJVM Architektur der JVM: Code PC Store SP

29 Code = enthält JVM-Programm; jede Zelle enthält einen Befehl; PC = Program Counter zeigt auf nächsten auszuführenden Befehl; Store = Speicher für Daten; jede Zelle kann einen Wert aufnehmen; SP = Stack-Pointer zeigt auf oberste belegte Zelle. 244

30 Achtung: ProgrammwieDatenliegenimSpeicher aberin verschiedenen Abschnitten. Programm-Ausführung holt nacheinander Befehle aus Code und führt die entsprechenden Operationen auf Store aus. 245

31 Konvention: Store SP Store = Stack

32 Befehle der JVM: ÒØ-Operatoren: Æ ËÍ ÅÍÄ ÁÎ ÅÇ ÓÓÐ Ò-Operatoren: ÆÇÌ Æ ÇÊ Vergleichs-Operatoren: Ä ËË Ä É É Æ É LadenvonKonstanten: ÇÆËÌ ÌÊÍ ÄË Speicher-Operationen: ÄÇ ËÌÇÊ Sprung-Befehle: ÂÍÅÈ ÂÍÅÈ IO-Befehle: Ê ÏÊÁÌ ReservierungvonSpeicher: ÄÄÇ BeendungdesProgramms: À ÄÌ 247

33 Ein Beispiel-Programm: ÄÄÇ ¾ ÄÇ ¼ ÄÇ ¼ Ê ÄÇ ½ ÄÇ ½ ËÌÇÊ ¼ Ä ËË ËÍ Ê ÂÍÅÈ ËÌÇÊ ¼ ËÌÇÊ ½ ÄÇ ½ ÂÍÅÈ ÄÇ ¼ ÄÇ ¼ ÄÇ ½ ÄÇ ½ ËÍ ÏÊÁÌ Æ É ËÌÇÊ ½ À ÄÌ ÂÍÅÈ ÂÍÅÈ 248

34 Das Programm berechnet den GGT :-) DieMarken(Labels) bezeichnensymbolischdie Adressen der zugehörigen Befehle: = 5 = 18 = 22 = können vom Compiler leicht in die entsprechenden Adressen umgesetzt werden(wir benutzen sie aber, um uns besser im Programmzurechtzufinden :-) 249

35 Bevor wir erklären, wie man MiniJava in JVM-Code übersetzt, erklären wir, was die einzelnen Befehle bewirken. Idee: Befehle, die Argumente benötigen, erwarten sie am oberen Ende des Stack. Nach ihrer Benutzung werden die Argumente vom Stack herunter geworfen. Mögliche Ergebnisse werden oben auf dem Stack abgelegt. BetrachtenwiralsBeispieledieIO-Befehle Ê und ÏÊÁÌ. 250

36 Ê 39 PC PC... falls 39 eingegeben wurde 251

37 39 ÏÊÁÌ PC PC... wobei 39 ausgegeben wird 252

38 Arithmetik Unäre Operatoren modifizieren die oberste Zelle. Binäre Operatoren verkürzen den Stack. 253

39 7 7 Æ PC PC 254

40 PC PC 255

41 4 17 ËÍ 13 PC PC 256

42 DieübrigenarithmetischenOperationen ÅÍÄ ÁÎ ÅÇ funktionieren völlig analog. DielogischenOperationen ÆÇÌ Æ ÇÊebenfalls mitdem Unterschied, dass sie statt mit ganzen Zahlen, mit Intern-Darstellungenvon ØÖÙ und Ð arbeiten(hier: tt und ff ). Auch die Vergleiche arbeiten so nur konsumieren sie ganze Zahlen und liefern einen logischen Wert. 257

43 tt ff Æ ff PC PC 258

44 4 17 Ä ËË ff PC PC 259

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