Koordinatensysteme. Grundkurs Architektur & Darstellung: Darstellende Geometrie. Lehrveranstaltungsinhalte

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1 Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Lehrveranstaltungsinhalte Grundkurs Architektur & Darstellung: Darstellende Geometrie Koordinatensysteme Projektionen und Risse Parametrische Grundkörper Boolesche Operationen Raumtransformationen Schattenkonstruktion Perspektive Splines Flächen im Bauwesen Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Ebene kartesische Koordinaten Kugel/Zylinderkoordinaten Kartesische Normalkoordinaten Ebene, Raum Koordinatensysteme y e y x P E y E x P y P x-achse, y-achse: zwei (zueinander) orthogonale, im Gegenuhrzeigersinn orientierte Geraden (Strahlen) einer Ebene Ebenes kartesisches Rechtskoordinatensystem Welt/Benutzer Rechts/Links Polarkoordinaten e x x e x, e y... Einheitsstrecken Damit können Punkte der Ebene durch Zahlenpaare (Koordinaten) festgelegt werden. E x, E y... Einheitspunkte Bsp: P(x P = 3, y P = 2.3) 3 4

2 Räumliche kartesische Koordinaten Koordinatensysteme z P x-achse, y-achse, z-achse: drei (zueinander) orthogonale, orientierte Geraden durch einen gemeinsamen Punkt U (Koordinatenursprung) y z z y x U y Räumliches kartesisches Rechtskoordinatensystem Rechte Hand Regel x - + x Rechte Hand Regel: x-achse, y-achse und z-achse eines Rechtskoordinatensystems sind orientiert wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand Linkskoordinatensystem Rechtskoordinatensystem 5 6 Räumliche kartesische Koordinaten Ebene Polarkoordinaten P x z U P P P P, P, P... Grundriss, Aufriss, Kreuzriss des Punktes P Koordinatenweg: Ein in U beginnender und in P endender Streckenzug aus drei Kanten eines Koordinatenquaders, welcher alle drei Koordinaten von P zeigt y Koordinatenquader: Die Kantenlängen am Quader zeigen die Absolutbeträge der Koordinaten des Punktes P(x P, y P, z P ) 7 Pol ϕ r Q (r; ϕ) positiver Drehsinn Bsp: Q(7,5; 39º) Nullrichtung Zusammenhang kartesische/polarkoordinaten: x Q = r cos(ϕ) r 2 = x 2 Q + y 2 Q Ein Punkt der Ebene kann auch in Polarkoordinaten festgelegt werden: Q(r; ϕ) r... Abstand des Punktes zum Pol ϕ... Winkel zwischen der Nullrichtung und dem Vektor Pol - Punkt y Q = r sin(ϕ) tan(ϕ) = y Q / x Q ϕ x y r x Q Q y Q 8

3 Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten z z P r x U ϕ r P z P P y x U ϕ ψ P P(r; ϕ; ψ) y Kugelkoordinaten entsprechen der geographischen Länge und Breite auf der Erdkugel P(r; ϕ; z P ) Bsp: Tragen Sie den Punkt Q(r; 90; z p /2) ein! Bsp: Tragen Sie den Punkt Q(r; 100; 30) ein 9 10 Welt / Benutzer- Koordinatensysteme formz Koordinatensystem BKS x y z z WKS x z y BKS A absolute/relative Koordinaten W Weltkoordinaten-/ Benutzerkoordinatensystem C Kartesische- /Polarkoordinaten Frank O. Gehry DESIGN MUSEUM Weil am Rhein, Germany x y 11 12

4 Tipp für CAD Konstruktionen Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Vereinfachung der CAD Konstruktion durch Verwendung geeigneter Koordinatensysteme Möglichkeit der Koordinateneingabe über Tastatur und Maus Projektionen und Risse passende Wahl von Benutzerkoordinatensystemen (in formz über die Wahl der Referenzebene) Parallelprojektion Zentralprojektion Zentralprojektion Zentralprojektion O Zentralprojektion ist die Projektion aus einem Punkt (Zentrum) O auf eine zur Blickachse (optischen Achse) normale Bildebene (vgl. Filmebene in Fotografie) ist dem einäugigen Sehen nachgebildet (Netzhaut ist jedoch gekrümmt; Projektion auf gekrümmte Flächen tritt bei Panoramabildern auf) Bsp: Schattenwurf einer punktförmigen Lichtquelle Grundlegende Begriffe: O Projektionszentrum π Bildebene s = OP Sehstrahlen (Geraden durch O, werden projizierend abgebildet) Eigenschaften: geradentreu für allgemeine Geraden speziell: nicht mittelpunktstreu allgemein: nicht teilverhältnisstreu nicht parallelentreu s P c =s c P Π 15 16

5 F 2 Zentralprojektion Parallelprojektion Parallelprojektion ist die Projektion mittels paralleler Geraden auf eine (Bild-)ebene F i Fluchtpunkt (Zentralriss des Fernpunktes einer Geraden g) Parallele Geraden haben denselben Fluchtpunkt F 1 Bsp: Schattenwurf bei Sonnenschein P P s Q Q s Π Mario Botta EINFAMILIENHAUS RIVA SAN VITALE Tessin, Schweiz Nicholas Grimshaw SPORTHALLE FUER IBM Hampshire, England Parallelprojektion Parallelprojektion geradentreu teilverhältnistreu mittelpunktstreu parallelentreu Π Π 19 20

6 Teilverhältnis Sind A, B, C drei verschiedene Punkte auf einer Geraden g, so bezeichnet man mit TV(A,B,C) das Teilverhältnis der Punkte A,B,C. TV(A,B,C) := AC / BC > 0 TV(A,B,C) < 0 C liegt zwischen A und B Um welches Objekt handelt es sich hier? Motivation für Normalrisse z A M B C Beispiel: TV(A,B,C) = 5:2 = 2,5 Ist speziell M der Mittelpunkt der Strecke AB, so ist TV(A,B,M) = -1 x Aus einem Bild kann die Raumsituation nicht eindeutig rekonstruiert werden! y Normalrisse formz -- Views z Π 3 Π 2 P P P Kreuzriss Axonometrie Aufriss Grundriss x y P Π

7 Projektionen in formz Tipp für CAD Konstruktionen Verwendung geeigneter Normalrisse als Konstruktionsprinzip im CAD z.b.: Würfel auf eine Raumdiagonale stellen Tipp für CAD Konstruktionen Axonometrie Verwendung geeigneter Snapfunktionen als Konstruktionsprinzip im CAD Normale Axonometrie: Parallelprojektion mit zur Bildebene normalen Projektionsstrahlen Würfel minus Kugel (welche die Kanten berührt) Würfel- und Kugelmittelpunkt identisch wählen, den Kugelradius über Snap-Midpoint interaktiv Schiefe Axonometrie: Parallelprojektion mit zur Bildebene nicht parallelen Projektionsstrahlen eingeben 27 28

8 Abbildungsvorschrift Horizontalriss Axonometrische Methode: 1. Das abzubildende Objekt wird mit einem kartesischen Koordinatensystem {U; E x,e y,e z } verbunden. z P spezielle schiefe Axonometrie 2. Der Parallelriss des Koordinatensystems wird entweder durch Angabe von U p,e xp,e yp, E zp oder durch Angabe der orientierten Achsenbilder x P,y P,z P samt Verzerrungen v x, v y,v z so festgelegt, dass keine der Koordinatenebenen projizierend ist (d.h. die Geraden x P,y P,z P müssen paarweise verschieden sein.) 3. Die Risse von Objektpunkten werden über die Risse von Koordinatenwegen eingemessen ( axonometrisches Aufbauverfahren). x P E P z E P x E P y P P P(2/5/3) y P Gustav Peichl ORF-Studio, Graz z P x P y P x P y P v x =v y Frontalriss Isometrie spezielle schiefe Axonometrie z n spezielle normale Axonometrie x n y n z P y P y P z P Gustav Peichl Behördenzentrum, Frankfurt am Main x P v y =v z Christian de Portzamparc Cite de la Musique, Paris z n,x n = x n,y n = y n,z n v x =v y =v z 31 32

9 Schlagschatten einer Kugel bei Parallelbeleuchtung Umriss einer Kugel Lichtstrahlen, welche die Kugel berühren, bilden einen Drehzylinder (berührt längs eines Großkreises). Der Schlagschatten auf eine Ebene (ebener Schnitt des Lichtzylinders) wird von einer Ellipse berandet (Kreis, falls die Lichtstrahlen normal zur Schirmebene) 33 axonometric Normale Axonometrie Umriss der Kugel = Kreis oblique Schiefe Axonometrie Umriss der Kugel = Ellipse 34 Aufbauverfahren Aufbauverfahren z z z p z p y y y y Angabe y p x p v x = 1, v y =v z = 3/2 x 35 Konstruktion v x = 1, v y =v z = 3/2 x p y p x 36

10 Aufbauverfahren Einschneideverfahren z p z P P n Q Designertisch y y Q n P Ergebnis v x = 1, v y = v z = 3/2 x p y p x 37 Q 38 Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Parametrische Grundkörper Was sind parametrische Grundkörper? Parametrische Grundkörper sind als Grundelemente in CAD-Paketen enthalten werden über die Festlegung der sie bestimmenden Parameter konstruiert können nachträglich durch Veränderung der Parameter manipuliert werden Parametrische Grundkörper in formz Quader (cube), Kegel (cone), Zylinder (cylinder), Kugel (sphere), Torus (torus),... Geodätische Kuppel (spheric geodesic sphere), Platonische Körper (spheric ) 39 40

11 Parametrische Grundkörper Quader ( Cube ) Drei verschiedene Angabemöglichkeiten Quader Höhe h 1 Breite h Länge 1 1 Sears Tower, Chicago, US Flächenmodell (Surface) Volumsmodell (Solid) Flächen- und Volumsmodelle Parametrische Grundkörper Für die CAD Modellierung Flächenmodell (surface) stellt die Oberfläche (Haut) eines Objektes dar Volumsmodell (solid) Objekt als Vollkörper Kegel Vor allem für Darstellungszwecke Kantenmodell (wireframe) repräsentiert Kanten und ausgewählte Kurven auf der Oberfläche eines Objektes Norman Foster Millenium Tower Tokyo, Japan 43 44

12 Kegel (Cone) Drei verschiedene Angabemöglichkeiten Geometrie der Kegelflächen Höhe Mittelpunkt des Basiskreises Radius 1 2 h 1 2 h Angabe durch Spitze S und Leitkurve l: Die Kegelfläche besteht aus allen Geraden (Erzeugenden), welche durch die Spitze S gehen und die Leitkurve l treffen. S l Flächenmodell Volumsmodell Tangentialebenen In allen Punkten einer Erzeugenden berührt dieselbe Tangentialebene Parametrische Grundkörper Zylinder (Cylinder) Drei verschiedene Angabemöglichkeiten Zylinder 3 3 Höhe h h 1 1 Mittelpunkt des Basiskreises Radius 2 2 Hans Hollein HAAS-HAUS Wien, Oesterreich 47 Flächenmodell Volumsmodell 48

13 Geometrie der Zylinderflächen Angabe durch Erzeugendenrichtung und Leitkurve: Die Zylinderfläche besteht aus allen Geraden (Erzeugenden), welche die Leitkurve l treffen und die gegebene Richtung besitzen Moderne CAD-Pakete speichern auch den Konstruktionsgang Dadurch wird die nachträgliche Manipulation eines fertigen Objektes durch die Variation der verwendeten Parameter einfach möglich Beispiel: Parametrisches Konstruieren im CAD Tangentialebenen In allen Punkten einer Erzeugenden berührt dieselbe Tangentialebene Radius vergrößern Extrusion paralleles Extrudieren Eine Punktmenge der Ebene (Polygon, Kurve, Bereich, ) wird in Extrusionsrichtung stetig parallelverschoben und überstreicht dabei ein Extrusionsobjekt Extrusion zentrales Extrudieren alle Punkte einer Punktmenge der Ebene (Polygon, Kurve, Bereich, ) werden durch geradlinige Strecken mit dem Extrusionszentrum verbunden, diese bilden das Extrusionsobjekt 51 52

14 Extrusion als Konstruktionsprinzip Parametrische Grundkörper Erkennen von Extrusionskörpern im Objektaufbau vereinfacht die Modellierung Bsp: Die Profile p 1 und p 2 werden parallel extrudiert, die beiden Extrusionskörper zum fertigen Objekt vereinigt Kugel p 1 p 2 Adrian Fainsilber CITE DES SCIENCES ET DE'L INDUSTRIE, Paris, Frankreich Kugel (Sphere) Drei verschiedene Angabemöglichkeiten Parametrische Grundkörper Mittelpunkt 4 Santiago Calatrava Funk - Fernsehturm Montjuic Spanien Torus Radius 2 Flächenmodell Volumsmodell Takasaki Masaharu ASTRONOMICAL MUSEUM Kihoku-cho, Japan 55 56

15 Torus - Erzeugung Rotiert ein Kreis k um eine Achse a, die in der Kreisebene liegt, aber kein Kreisdurchmesser ist, so entsteht ein Torus. a...achse Mittelpunkt Torus - Bezeichnungen Je nachdem ob die Anzahl der Schnittpunkte von k und a gleich 0,1, oder 2 ist, sprechen wir von einem Ringtorus, Dorntorus, oder Spindeltorus k...meridiankreis m Mittenkreis Ringtorus Dorntorus Spindeltorus Torus (Torus) Drei verschiedene Angabemöglichkeiten Flächen/Volumsmodelle 1 3 Mittenkreisradius Meridiankreisradius 2 Ringtorus Dorntorus Spindeltorus

16 Ebene Schnitte des Torus Villarceau-Kreise: Jeder Schnitt eines Ringtorus mit einer Doppeltangentialebene zerfällt in zwei kongruente Kreise, welche von Y. Villarceau (1848) entdeckt wurden. Ein Ringtorus enthält mithin neben den Parallelund Meridiankreisen noch unendlich viele weitere Kreise. Konvexität Konvexer Bereich: Punktmenge welche die Verbindungsstrecke von je zwei beliebig in ihr gewählten Punkten zur Gänze enthält (in 2D, 3D, ) konvex nicht konvex 61 Polyeder: ebenflächig begrenztes Objekt in 3D Konvexes Polyeder: Polyeder, dessen Volumsmodell ein konvexer Bereich in 3D ist 62 Konvexe und nichtkonvexe Polyeder Topologisch äquivalente Körper sind durch stetige Deformation ineinander überführbar Tetraeder Platonische Körper Oktaeder Ikosaeder konvex (stets topologisch äquivalent zu Kugel, Quader, ) nicht konvex (topologisch verschieden) Würfel Pentagondodekaeder 63 64

17 Platonische Körper Die konvexen Polyeder, deren sämtliche Seitenflächen von kongruenten regelmäßigen Polygonen berandet werden und bei denen von jeder Ecke gleich viele Kanten ausgehen sind genau die 5 Platonischen Polyeder (Platonische Körper). Tetraeder: 4 gleichseitige Dreiecke, 4 Ecken, 6 Kanten Hexaeder (Würfel): 6 Quadrate, 8 Ecken, 12 Kanten Oktaeder: 8 gleichseitige Dreiecke, 6 Ecken, 12 Kanten Pentagondodekaeder: 12 regelmäßige Fünfecke, 20 Ecken, 30 Kanten Ikosaeder: 20 gleichseitige Dreiecke, 12 Ecken, 30 Kanten Dualität der Platonischen Körper Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Platonischen Körpers (Polyeders) sind ebenfalls die Ecken eines Platonischen Körpers (Polyeders). Tetraeder Tetraeder Würfel Oktaeder Sie besitzen eine Umkugel, Inkugel und Kantenkugel. Dodekaeder Ikosaeder Platonische Körper im Bauwesen Tetraeder im Kunstturm Mito Eulersche Polyederformel Architekt Arata Isozaki Unter der Voraussetzung, dass das Polyeder topologisch äquivalent zur Kugel ist ( kein Loch hat ) gilt: Pentagondodekaeder in einer Wohnsiedlung Architekt Zvi Hecker e k + f = 2 e... k... f... Anzahl der Ecken Anzahl der Kanten Anzahl der Flächen 67 68

18 Parametrische Grundkörper Geodesic Spheres Geodesic Sphere Geodesic Spheres entstehen aus den platonischen Grundkörpern durch Teilung der Flächen in kleinere Dreiecke und Verlagern der eingefügten Punkte auf die den Grundkörper einhüllende Kugel Verallgemeinerung dieses Prinzips führt uns später zu den Unterteilungsflächen (subdivision surfaces) Geodesic Spheres im CAD In vielen CAD Paketen werden Geodesic Spheres aus dem Grundkörper Ikosaeder erzeugt Seitenflächen einer Geodesic Sphere keine gleichseitigen Dreiecke! 2 Unterteilungsvarianten Variante 1: Seitenflächen des Ausgangspolyeders werden immer feiner unterteilt (z.b. 3DSMax) Variante 2: Seitenflächen aus dem vorigen Unterteilungsschritt werden nach demselben Schema weitergeteilt (z.b. formz) 71 72

19 Geodesic Sphere Level Unterteilungsvariante 1 Geodesic Sphere Level Unterteilungsvariante 2 Geodesic Spheres mit Basisobjekt Ikosaeder Anzahl der Dreiecke im Level k 20*(k+1)^2 Geodesic Spheres mit Basisobjekt Ikosaeder Anzahl der Dreiecke im Level k 20*4^k (oder rekursiv 4 mal die Anzahl der Dreiecke aus dem vorigen Schritt) Level 1 (20*4 = 80 triangles) Level 2 (20*9 = 180 triangles) Level 3 (20*16 = 320 triangles) Level 1 (20*4 = 80 triangles) Level 2 (20*16 = 4*80 = 320 triangles) Level 3 (20*64 = 4*320 = 1280 triangles) Level 4 (20*256 = 4*1280 = 5120 triangles) Geodesic Spheres in formz Befehl Spherical Object Geodesic Spheres weitere Ausgangskörper Als Basisobjekte auch Tetraeder oder Oktaeder Unterteilungsvarianten wie Ikosaeder Tetraeder Oktaeder Anzahl der Level definieren 75 Grundkörper Level 1 Level 2 Level 3 76

20 Geodesic-Spheres in der Architektur Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Boolesche Operationen Durchschnitt Kugel Würfel Differenz Kugel \ Würfel Differenz Würfel \ Kugel Boolesche Operationen Die Mengenoperationen Vereinigung, Durchschnitt und Differenz treten im computergestützten Konstruieren im Zusammenhang mit geometrischen Objekten auf. Ebene: z.b. bei Vielecken Raum: Volumenkörper 2D Ausgangsobjekte A B Boolesche Operation Vereinigung (Union) Vereinigung A B A B 3D Vereinigung A B Durchschnitt A B Differenz A \ B Differenz B \ A 79 80

21 Boolesche Operation Durchschnitt (Intersection) Boolesche Operation Differenz (Difference) Ausgangsobjekte Durchschnitt A B Ausgangsobjekte Differenz A \ B 2D A A 2D A A B B B B 3D 3D Boolesche Operation Differenz (Difference) Boolean Split 2D Ausgangsobjekte A Differenz B \ A A CAD Pakete stellen oft auch noch eine Zerlegung in die einzelnen Schnittelemente zur Verfügung B B 3D One-way B-Split B / A One-way B-Split A / B Two-way B-Split 83 84

22 Boolean Operations in formz Boolesche Operationen in der Architektur Union Intersection Difference Boolean split Ossarium im Friedhof von San Cataldo Modena, Italien Trim, Split für Flächenmodelle Ausgangsobjekte Übungsbeispiele zu den Booleschen Operationen Kennzeichnen Sie (durch Anmalen) das Ergebnis nach Anwendung der angeführten Booleschen Operationen auf die Ausgangsobjekte (= Bereiche mit den gegebenen Linien als Rand) 1 Split both objects (Explosionsdarstellung) Trim first object Differenz: Ellipse minus Polygon Durchschnitt der drei Bereiche 87 88

23 Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Kongruenztransformation Schiebung Vektor Drehung Punkt / Gerade Spiegelung gleichsinnig / ungleichsinnig Schraubung Skalierung Achse Faktor Punkt / Gerade / Ebene Raumtransformationen Wird ein Objekt aus einer Position des Raumes in eine andere Position so übergeführt, dass Längen erhalten bleiben, dann spricht man von einer Kongruenztransformation Als Folge der Längentreue ergibt sich die Winkeltreue Man unterscheidet zwischen gleichsinnigen und ungleichsinnigen Kongruenzen: eine gleichsinnige Kongruenztransformation bildet ein Rechtssystem auf ein Rechtssystem ab eine ungleichsinnige Kongruenztransformation bildet ein Rechtssystem auf ein Linkssystem ab Kongruenztransformationen Raumtransformationen Gleichsinnige Kongruenztransformationen: Schiebung Drehung um eine Gerade Spiegelung an einer Geraden Schraubung Ungleichsinnige Kongruenztransformationen: Spiegelung an einer Ebene Punktspiegelung Gleitspiegelung Schiebung (Translation) Eine Schiebung wird durch einen Schiebvektor festgelegt

24 Schiebung (Translation) Raumtransformationen Drehung (Rotation) Eine Drehung wird durch eine Drehachse und den Drehwinkel bestimmt. Fa. Herold, Mödling, Austria Drehung (Rotation) Raumtransformationen Spiegelung an einer Geraden Eine Spiegelung an einer Geraden kann durch eine Drehung ersetzt werden (Drehwinkel 180 ; Drehachse = Spiegelachse). Tower Dallas, US Bemerkung: Die Spiegelung an einer Geraden im Raum ist gleichsinnig! 95 96

25 Diskrete Schraubung Je zwei gleichsinnig kongruente Lagen eines starren Körpers lassen sich im allgemeinen durch eine diskrete Schraubung ineinander überführen Diese setzt sich zusammen aus einer Drehung um eine Achse a und einer Schiebung längs dieser Achse In Sonderfällen hängen zwei gleichsinnig kongruente Lagen durch eine reine Schiebung oder eine reine Drehung zusammen a 97 Ein räumlicher Bewegungsvorgang, der aus einer gleichförmigen Drehung um eine Achse a und einer gleichförmigen Schiebung parallel zu a zusammengesetzt ist, heißt Schraubung. Der Drehwinkel φ (gemessen im Bogenmaß) und die zugehörige Länge s der Schiebstrecke sind direkt proportional: wird um den Winkel φ gedreht, so wird um die Strecke s = p φ verschoben. Der konstante Quotient p = s / φ heißt Schraubparameter. Zu einer vollen Umdrehung (Drehwinkel 2π) gehört als Länge der Schiebstrecke die Ganghöhe h. Stetige Schraubung (Screw) φ a... Schraubachse h... Ganghöhe 98 Raumtransformationen Spiegelung (Reflection) Spiegelung (an einer Ebene) z z x Eine Spiegelung an einer Ebene wird durch die Spiegelebene angegeben. y x y Die Spiegelung an einer Ebene ist gegensinnig! 99 Cesar Pelli PETRONAS TOWERS Kuala Lumpur, Malaysia 100

26 Raumtransformationen Raumtransformationen z Punktspiegelung Gleitspiegelung Die Punktspiegelung im Raum kann auch durch drei Spiegelungen (an zueinander normalen Spiegelebenen) erzeugt werden und ist daher ungleichsinnig. x y* y x* P P P* Bemerkung: Die Punktspiegelung in der Ebene ist zugleich eine Drehung um 180 Grad und daher gleichsinnig. z* Eine Gleitspiegelung setzt sich aus einer Spiegelung an einer Ebene und einer Schiebung parallel zu dieser Ebene zusammen Gleitspiegelung in der Ebene Skalierung (Scale) C 1 B 1 M 1 = M 2 A 2 B 2 C 2 Gegeben sind drei Skalierungsfaktoren s x, s y, s z Die zugehörige Skalierung bildet dann einen Punkt P(x/y/z) auf den Punkt P (s x x/s y y/s z z) ab z A 1 a Spiegelung an a + Schiebung längs a a Bei gleichen Faktoren, s=s x =s y =s z, ergibt sich eine zentrische Ähnlichkeit mit dem Koordinatenursprung als Zentrum, diese Abbildung ist winkeltreu x y Die Mittelpunkte der Verbindungsstrecken entsprechender Punkte X 1,X 2 liegen auf a

27 Zusammensetzung von Raumtransformationen Zusammensetzung von Raumtransformationen Durch Zusammensetzen (Hintereinanderausführen) von Kongruenztransformationen entsteht wieder eine Kongruenztransformation: 1) gleichsinnig gleichsinnig gleichsinnig 2) ungleichsinnig ungleichsinnig gleichsinnig 3) gleichsinnig ungleichsinnig ungleichsinnig Zusammensetzung ist i.a. nicht kommutativ (auf die Reihenfolge kommt es an) Drehachse Drehachse Beispiel: Gleitspiegelung = Spiegelung an Ebene Schiebung (ungleichsinnig = ungleichsinnig gleichsinnig) zuerst Schiebung, dann Drehung Schiebvektor zuerst Drehung, dann Schiebung Schiebvektor Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Grundbegriffe der Schattenkonstruktion Schatten bei Parallelbeleuchtung Eigenschatten Dem Licht abgewandte Teile eines Objektes (lokal zu entscheiden) liegen im Eigenschatten; die Eigenschattengrenze trennt Eigenschattenbereiche von den dem Licht zugewandten Bereichen Schlagschatten Zur Konstruktion der Schlagschattengrenze brauchen nur die Schlagschatten für die Punkte der Eigenschattengrenze konstruiert zu werden

28 Grundbegriffe der Schattenkonstruktion Wichtige Schattenregeln Bei Parallelbeleuchtung sind alle Lichtstrahlen zu einer orientierten Geraden parallel Lichtstrahl s durch einen Punkt P schneidet eine Schirmebene im Schlagschattenpunkt P s Die Lichtstrahlen, welche eine Gerade treffen sind Teil einer Ebene (Lichtebene) Der Schlagschatten einer Geraden geht durch den Spurpunkt G der Geraden auf der Schirmebene. G P s P s Bei Parallelbeleuchtung haben parallele Geraden parallele Schatten z Schatten bei Parallelbeleuchtung z Eigenschatten P l l l l l Q l x y x y Angabe: Objekt & Lichtrichtung

29 z Schlagschatten 1.Teil z Schlagschatten 2.Teil l l l l l l x y x y z Schlagschatten 3.Teil z Ergebnis (mit Lichtstrahlen) l l l l l l x Doppelschattenpunkt y x y

30 z Ergebnis (ohne Lichtstrahlen) l l l Übungsbeispiel Schatten bei Parallelbeleuchtung l Konstruieren Sie für die Parallelbeleuchtung mit Lichtrichtung l alle am Objekt auftretenden Schlagund Eigenschatten, sowie den Schlagschatten des Objektes in die xy-ebene z l l x y y x Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Zentralprojektion O Perspektive Grundlegende Begriffe: O Projektionszentrum π Bildebene s = OP Sehstrahlen (Geraden durch O, werden projizierend abgebildet) s P π Eigenschaften: geradentreu für Geraden allgemeiner Lage gilt: nicht teilverhältnistreu (speziell: nicht mittelpunktstreu) nicht parallelentreu P c =s c

31 Fluchtpunkt einer Geraden Fluchtpunkt einer Geraden F 2 Fluchtpunkt F g der Geraden g: O Verschiebe g durch O und schneide mit der Bildebene π g F 1 F g π Parallele Geraden haben denselben Fluchtpunkt F i g c π Hauptgeraden Hauptgerade = Gerade h parallel zur Bildebene Perspektive bei lotrechter Bildebene In der Aufnahmesituation ist das Bild h c einer Hauptgeraden zur Raumlage h parallel. Parallele Hauptgeraden haben parallele Zentralrisse h O π π Horizont O Wir beziehen das Objekt im folgenden auf ein kartesisches x,y,z- Koordinatensystem, dessen z-achse lotrecht und nach oben orientiert ist. Die Koordinatenebene π 1 ist dabei horizontal. h c π 1 Der Horizont enthält die Fluchtpunkte aller horizontalen Geraden

32 1. Perspektive bei horizontaler Blickachse Durchschnittverfahren π a d π 1 Der Abstand zwischen Augpunkt O und der Koordinatenebene π 1 heißt Aughöhe a Der Abstand zwischen Augpunkt O und der Bildebene Π heißt Distanz d Durchschnittverfahren Durchschnittverfahren 1. Wahl des Augpunktes O der horizontalen Blickachse (Hauptsehstrahl) und der lotrechten Bildebene π O O π 2. In Grund- und Aufriss: Ermittlung der Schnittpunkte der Sehgeraden durch den Augpunkt O mit der erstprojizierenden Bildebene π O O π P c P P c P

33 Durchschnittverfahren 3. Wir legen in die Bildebene ein kartesisches Rechtskoordinatensystem ξ,η Hauptpunkt H als Ursprung Horizont als ξ-achse η H ξ H =η ξ Durchschnittverfahren 4. Die ξ- bzw. η-koordinate des Zentralrisses P c eines Objektpunkts P oder eines Fluchtpunkts Y uc kann im Grundriss bzw. im Aufriss unverzerrt abgelesen werden P c η ξ P c 5. Im Zeichenfeld können die unverzerrte ξ- bzw. η-koordinate des Zentralrisses P c ins (ξ,η)- Koordinatensystem eingetragen werden η H ξ P c η ξ z C L =P A Durchschnittverfahren Beispiel aus den Übungen Vervollständigen einer vorliegenden Perspektive Vervollständigen Sie von dem im axonometrischen Riss gegebenen Objekt die vorliegende Perspektive! z p J I 1 z c x p y p K =N F D =M y B =E =G C c A c F J x π, C =I M P =N K =L D G y H A =B =1 E Y u c D c L c J c E c K c P c N c B c H G c a=2,5 c X u a a 2a 131 x c y c 132

34 Übungsbeispiel: Vervollständigen einer vorliegenden Perspektive Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Vervollständigen Sie von dem im axonometrischen Riss gegebenen Objekt die vorliegende Perspektive! z c x p z p y p Splines x c y c Schiffbau Automobilbau Architektur Interpolierende Kurve Interpolation & Approximation Geg: Menge von Punkten Ges: Kurve, welche die Punkte interpoliert (d.h. die Kurve enthält die gegebenen Punkte) oder approximiert (d.h. der Verlauf der Punkte wird durch die Kurve nur angenähert) Es gibt unendlich viele interpolierende oder approximierende Kurven. CAD-Pakete bieten verschiedene Lösungen an, die Auswahl hängt vom Designzweck ab Approximierende Kurve Beispiel zur Approximation Geg: Datenpunkte Ges: Linearer Ausgleich, sodass die Punkte von der Ausgleichsgerade möglichst wenig abweichen f(x) f(x) = *x x Methode (Gauß): Minimierung der Summe der Fehlerquadrate Fehler eines Punktes: Abstand zur Ausgleichsgeraden in Richtung parallel zur y-achse

35 Bézier-Kurven Grad einer Bézier-Kurve Bézier-Kurven wurden aus dem Bedarf für Freiformkurven in der CAD/CAM/CAE-Technik entwickelt: P. de Casteljau (1959) bei Citroën, P. Bézier (1962) bei Renault Standardmäßig sind Bézier-Kurven in vielen CAD-Paketen enthalten Bézier-Kurven werden durch Angabe eines Polygons gesteuert. Dieses Polygon heisst Kontrollpolygon, seine Ecken werden Kontrollpunkte genannt Eine Bézier-Kurve mit n+1 Kontrollpunkten besitzt den Grad n (= Grad der in der mathematischen Beschreibung auftretenden Polynome) 2 Kontrollpunkte Grad 1 Bezier- Kurve ist Verbindungsstrecke der beiden Kontrollpunkte b 1 3 Kontrollpunkte Grad 2 Bezier- Kurve ist Parabelbogen; Kontrollpunkte: Endpunkte b 0 b 2 und Schnittpunkt b 1 der Tangenten T 0, T 2 in den Endpunkten b 0 T 0 T 2 b Grad einer Bézier-Kurve Geometrischer Algorithmus zur Konstruktion von Bezier-Kurven Grad 1 lineare Bézier-Kurve Grad 2 quadratische Bézier- Kurve Grad 3 kubische Bézier-Kurve Für eine quadratische Bezier-Kurve (Parabelbogen) ist der verwendetet Algorithmus die Fadenkonstruktion einer Parabel Dieser wird später auf höhere Grade verallgemeinert (Algorithmus von de Casteljau)

36 Fadenkonstruktion einer Parabel Fadenkonstruktion einer Parabel b 1 Geg: 2 Linienelemente (b 0, T 0 ), (b 2, T 2 ) einer Parabel b 1 Methode: Übertragen von Teilverhältnissen Ges: weitere Linienelemente (d.h. Punkte mit Tangenten) b 11 (0.25) T 0 T 2 Konstruktion für t = 0.25, 0.5, 0.75 b 01 (0.25) b 0 2 (0.25) Kurvenpunkt b 0 b 0 b 2 b 2 0 t TV(b 0, b 1, b 0 1 ) = TV(b 1, b 2, b 1 1 ) = TV(b 0 1, b 1 1, b 0 2 ) 142 b 0 b 01 (0.5) b 01 (0.25) b 01 (0.75) Fadenkonstruktion einer Parabel b 1 b Kurven punkt b 11 (0.25) b 11 (0.5) b 11 (0.75) b Algorithmus von de Casteljau Ist eine Verallgemeinerung der Fadenkonstruktion der Parabel. 1) Teilverhältnis TV(0,1,t) auf die Strecken des Polygons übertragen 2) Verbinden der erhaltenen Teilungspunkte zu einem neuen Polygon Wiederholtes Anwenden von 1 und 2 liefert schrittweise (oberer Index) Polygone mit absteigender Eckenzahl bis schließlich nur noch der Kurvenpunkt übrigbleibt. b 1 1 Geg: Kontrollpunkte b 0,...,b n Ges: Punkte der Bezier-Kurve n-ten Grades Jeder Punkt ist genau einem Parameter t aus dem Intervall [0,1] zugeordnet: t=0 entspricht b 0 t=1 entspricht b n b 1 b 2 b 0 1 b 0 b 0 2 b t 1 b 1 2 b 3 b

37 Algorithmus von de Casteljau Beispiele von Bézier-Kurven Kurven vom Grad 3 de Casteljau-Schema: b 0 b 1 b 1 0 b 2 b 1 1 b 2 0 b 3 b 1 2 b 2 1 b 3 0 b 1 1 b 1 b 2 b 2 0 b 2 1 b 3 0 b 1 0 b 1 2 Kurven vom Grad 4 b 3 0 t 1 b b 0 Linienelement Bézier-Kurven Eigenschaften Endpunktinterpolation + Tangenteneigenschaft (endpoint interpolation): Eine Bézier-Kurve interpoliert den ersten und den letzten Punkt des Kontrollpolygons und besitzt dort die erste bzw. letzte Strecke des Kontrollpolygons als Tangente. Bézier-Kurve Kontrollpolygon b n Linienelement 147 Wiederholung: Konvexe Hülle konvexer Bereich ist eine Punktmenge, welche die Verbindungsstrecken aller ihrer Punktepaare enthält konvexe Hülle ist der kleinste konvexe Bereich, welcher eine gegebene (Punkt-) Menge enthält 148

38 Bézier-Kurven Eigenschaften Konvexe Hülle Eigenschaft (convex hull property): Eine Bézier-Kurve liegt in der konvexen Hülle ihres Kontrollpolygons. Bézier-Kurven Eigenschaften Variationsreduzierende Eigenschaft in der Ebene [im Raum] (variation diminishing property): Geg: Bézier-Kurve, beliebige Gerade [Ebene] Eine Bézier-Kurve wechselt die Seite jeder beliebigen Gerade [Ebene] nicht öfter als das Kontrollpolygon. 2 Testgeraden Bézier-Kurven Eigenschaften Lineare Präzision (linear precision): Liegen die Kontrollpunkte b 0,...,b n einer Bézier- Kurve kollinear (= auf einer Geraden), dann liegt die Bézier-Kurve auf der Strecke b 0 b n b 0 Kontrollpolygon Bézier-Kurve b n 151 Unterteilung (subdivision): Gegeben sei eine Bézier- Kurve mit Kontrollpolygon (b 0,...,b n ) bzgl. [0,1]. Manchmal ist es notwendig, eine einzelne Bézier-Kurve so in zwei Teilstücke zu zerlegen, dass sie gemeinsam identisch sind zur Ausgangskurve. 1. Unterteilungsalgorithmus von de Casteljau liefert auch die Kontrollpolygone (c 0,...,c n ) und (d 0,...,d n ) der Bézier-Kurve bzgl. der Intervalle [0,t] bzw. [t,1]. Bézier-Kurven Eigenschaften b 0 b 2 b 1 c 2 c 3 c 1 c 0 d 0 Beispiel: n=3 b 3 d 1 d 2 d 3 152

39 Bézier-Kurven Eigenschaften Bézier-Kurven Eigenschaften Unterteilung (subdivision): Unterteilung (subdivision): Gegeben sei eine Bézier- Kurve mit Kontrollpolygon (b 0,...,b n ) b 1 b 2 Gegeben sei eine Bézier- Kurve mit Kontrollpolygon (b 0,...,b n ) b 1 b 2 2. Wiederholte Unterteilung mit de Casteljau liefert eine rasch gegen die Kurve konvergierende Polygonfolge. 3. Durch Eckenabschneiden entstehen keine zusätzlichen Seitenwechsel Variationsreduzierende Eigenschaft gilt b 3 b 3 b 0 b Übungsbeispiele zu Freiformkurven Übungsbeispiel zu Bézier-Kurven Begründen Sie, warum es sich bei den folgenden Kurven jeweils nicht um eine Bézier Kurve mit zugehörigem Kontrollpolygon handelt: Gegeben ist das Kontrollpolygon einer Bézier-Kurve Konstruieren Sie mit dem Algorithmus von de Casteljau zum Parameterwert t=1/3 einen Punkt der Bézier-Kurve Skizzieren Sie die zugehörige Bézier-Kurve

40 3D-Bézier-Kurven Spline-Kurven Geg: Kontrollpunkte im 3-Raum Ges: Bézier-Kurve b 2 b 3 Bézier- Kurve Bézier-Kurven sind durch das Kontrollpolygon bestimmt. Damit bewirkt die Änderung eines Kontrollpunktes eine Veränderung des gesamten Kurvenverlaufes (global). ungünstig für Designzwecke b 0 b 1 Die Bézier-Kurve liegt in der konvexen Hülle Kontrollpolygon ihres Kontrollpolygons (hier: Tetraeder) 157 Eine mögliche Abhilfe: Kurven niedrigen Grades zu einer Kurve zusammensetzen Spline-Kurve, lokale Kontrolle, an den Segmenttrennstellen geeignete Übergangsbedingung (z.b. gemeinsame Tangente). 158 Grad und Kontrollpunkte von Splines Grad und Kontrollpunkte von B-Spline Kurven Viele Splinetypen (B-Spline, NURBS, continuous Bezier in FormZ, interpolierende kubische Splines) sind aus Bezierkurven zusammengesetzt Der Grad der Bezier- Segmente heißt Grad der Splinekurve Die Kontrollpunkte des Splines sind oft von den Kontrollpunkten der Beziersegmente verschieden kubische B-Spline Kurve mit B-Spline Kontrollpolygon kubische B-Spline Kurve mit Kontrollpolygonen der kubischen Beziersegmente

41 Spline-Kurven Beispiel: 2 mögliche Kurven zum selben Kontrollpolygon B-Spline Kurven, NURBS B-Spline-Kurven wurden ins Computer Aided Design von J. Ferguson (1964) bei Boeing eingeführt. In CAD-Systemen taucht auch oft der Name NURBS (= Non-Uniform Rational B-Splines) auf. Bézier-Kurve (Grad 13) B-Spline-Kurve Grad 2 B-Spline-Kurve Grad 3 Kurve ist aus Parabelsegmenten mit tangentenstetigem Übergang zusammengesetzt. B-Spline (Grad 2) 161 B-Spline-Kurve Grad 7 (= Bézier) 162 B-Spline Kurven Eine B-Spline-Kurve vom Grad n besteht aus Bezier-Kurven vom Grad n, welche mit optimaler Glattheit zusammengesetzt sind: Grad 2: stetige Tangente Grad 3: stetige Krümmung... Angabe: Kontrollpolygon, Grad, Knoten (hängt mit mathematischer Beschreibung zusammen, für Design kaum verwendbar) B-Spline Kurven B-Spline-Kurven können offen oder geschlossen sein: Bei einer geschlossenen B-Spline-Kurve wird ein geschlossenes Kontrollpolygon zur Gänze geglättet Im offenen Modus hat ein geschlossenes Polygon einen Anfangspunkt und einen damit identischen Endpunkt; dort wird nicht geglättet geschlossen offen offen

42 B-Spline-Kurven Eigenschaften NURBS Gewichte (weights) Bei offenen B-Spline Kurven: Endpunkte mit Tangenten werden durch das Kontrollpolygon angegeben Kurve liegt in der konvexen Hülle des Kontrollpolygons Es gilt die variationsreduzierende Eigenschaft B-Spline-Kurven und somit auch die Bézier-Kurven sind Spezialfälle von NURBS (= Non-Uniform Rational B- Splines) NURBS haben einen zusätzlichen Designparameter Gewichte. Standardmäßig sind alle Gewichte gleich 1, dann stimmt die NURBS- Kurve mit der gewöhnlichen B-Spline- Kurve überein Das Erhöhen des Gewichtes eines Kontrollpunktes bewirkt, dass die Kurve zu diesem Kontrollpunkt hingezogen wird Multipliziert man die Gewichte aller Punkte mit demselben Faktor, so erhält man die ursprüngliche Kurve Kegelschnitte als NURBS Tipps zum CAD Konstruieren mit Splinekurven b 1 w 1 > 1 w 1 = 1 0 < w 1 < 1 Von den Kegelschnitten (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) kann nur die Parabel als Bézier-Kurve (vom Grad 2) repräsentiert werden. Durch das Verwenden von Gewichten können alle Kegelschnittstypen als NURBS vom Grad 2 erhalten werden. Komplexe Kurvenformen mittels NURBS modellieren, und Feinabstimmungen durch Veränderung der Kontrollpunkte und der Gewichte vornehmen. w 1 > 1 Hyperbelbogen w 1 = 1 Parabelbogen 0 < w 1 < 1 Ellipsenbogen b 0 b

43 Splines in der Architektur Unterteilungskurven (Subdivision curves) Grundideen der Unterteilung gehen zurück in die 40er Jahre als G. Rahm corner cutting dazu verwendete glatte Kurven zu beschreiben Anwendungen im CAD, geometrischen Modellieren und in der Computergraphik Grand Arbour, Brisbane, Australia Chaikins Algorithmus Chaikins Algorithmus stationäres Unterteilungsschema, d.h. in jedem Iterationsschritt k=1,2, wird dieselbe Methode (corner cutting) angewendet für k erhält man so eine quadratische B-Spline Kurve P 1 P 2 Q 1 R 1 R 0 Q 2 Q 0 P 0 R 2 Q 3 P 3 R 3 P 4 In jedem Iterationsschritt werden die einzelnen Strecken bei ¼ bzw. ¾ geteilt und die neuen Punkte verbunden

44 Chaikins Algorithmus Unterteilungskurven Weitere Unterteilungsalgorithmen für Kurven (und auch Flächen) werden im Wahlpflichtfach CAAD und Geometrie vorgestellt Bsp: Interpolierender Unterteilungsalgorithmus k = 0 k = 1 k = k = 3 k = 4 k = Übungsbeispiel Unterteilungskurven Konstruieren Sie für das gegebene Polygon den ersten Verfeinerungsschritt im Chaikin Algorithmus In welchem Verhältnis werden die Seiten jeweils unterteilt? Welche Art von Freiformkurve erhält man so bei fortgesetzter Unterteilung? Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie Geometrisches Modellieren und Industrielle Geometrie Prof. Dr. H. Pottmann Flächen im Bauwesen SECC Conference Center, Glasgow, Scotland Office Building, Prague, Czech Republic Reorganized Church of Jesus Christ of Latter Day Saints Temple, Independance, Missouri, USA

45 a Drehflächen (Rotational Surfaces) Eine Drehfläche entsteht durch stetige Drehung einer erzeugenden Kurve e um eine feste Achse a. e Drehflächen Die einzelnen Punkte der Erzeugenden e beschreiben dabei der Fläche angehörende Kreise, die ihre Parallelkreise heißen, weil sie in parallelen, zu a normalen Ebenen liegen. Jede durch die Achse gelegte Ebene schneidet die Drehfläche Meridian nach einem Meridian. Alle Meridiane einer Drehfläche sind untereinander kongruent, weil sie durch Drehung auseinander hervorgehen. a Flachkreis Kehlkreis Äquatorkreis Spezielle Parallelkreise: Äquatorkreis, Kehlkreis, Flachkreis Spezielle Drehflächen Gebaute Drehflächen Drehzylinder Kugel Drehkegel Torus Bonaventure Hotel, Los Angeles, USA Melbourne Central, Melbourne, Australia Oriental Pearl Tower, Shanghai, China

46 Drehquadriken Drehparaboloid Eine Drehfläche, die bei stetiger Drehung eines Kegelschnittes um eine seiner Achsen entsteht, heißt Drehquadrik. Ebene Schnitte dieser Flächen sind Kegelschnitte. Außer den Kugeln gibt es folgende Typen: Ein Drehparaboloid entsteht bei Drehung einer Parabel um ihre Achse. Eigenschaft: Strahlen parallel zur Achse werden in den Brennpunkt reflektiert (Anwendung: Satelliten-Parabolspiegel) Drehellipsoid Drehparaboloid Drehhyperboloide Drehparaboloid Drehparaboloide im Bauwesen Drehellipsoid Ein eiförmiges bzw. abgeplattetes Drehellipsoid entsteht durch Drehung einer Ellipse um ihre Hauptachse bzw. Nebenachse. Very Large Array Plains of San Augustin, New Mexico Erdefunkstelle Aflenz (Steiermark) Gustav Peichl, 1980 (Antennen 32m) Kirche, Oklahoma City, USA Quelle: Telekom Austria Planetarium, Bochum, Deutschland 183 eiförmiges Drehellipsoid abgeplattetes Drehellipsoid 184

47 Drehellipsoide im Bauwesen Drehhyperboloid Ein zweischaliges bzw. einschaliges Drehhyperboloid entsteht bei Drehung einer Hyperbel um ihre Hauptachse bzw. Nebenachse. Rockhalle im Gasometer B (Durchschnitt von 2 Drehellipsoiden) Fukui Prefectural Museum of Dinosaurs, Katsuyama, Fukui, Japan Museum of Ftuit, Yamanashi, Itsuko Hasegawa Atomei (Forschungsreaktor) Garching, Deutschland 185 zweischaliges Drehhyperboloid einschaliges Drehhyperboloid 186 Regeldrehflächen Eine Drehfläche, deren erzeugende Kurve e eine Gerade ist, heißt Regeldrehfläche. Die einzelnen Lagen von e heißen Erzeugenden der Fläche. Ist die Gerade e zur Drehachse parallel bzw. schneidet e die Drehachse in einem Punkt S, so ist die Regeldrehfläche ein Drehzylinder bzw. ein Drehkegel mit der Spitze S. Drehhyperboloide im Bauwesen Kühltürme Atomkraftwerk Temelin, Tschechien Ist die Erzeugende e zur Achse windschief (aber nicht normal), dann erhalten wir ein einschaliges Drehhyperboloid. In einer solchen Fläche liegen zwei Drehscharen von Erzeugenden. e-schar f-schar e- und f-schar 187 Kathedrale Sacre-Coeur, Algier, Algerien 188

48 Rohrflächen (Pipe Surfaces) Rohrflächen (Pipe Surfaces) m Eine Rohrfläche ist bestimmt durch die Ortslinie m der Kugelzentren (Mittellinie der Rohrfläche) und den Kugelradius r. Eine Rohrfläche kann auf zwei Arten erzeugt werden: 1. als das Hüllgebilde einer Schar kongruenter Kugeln 2. indem ein Kreis in einer Ebene normal zur Mittellinie bewegt wird Beispiele: Drehzylinder, Torus, Rohrflächen Kanalflächen Als Verallgemeinerung der Rohrflächen sind jene Flächen anzusehen, die das Hüllgebilde einer Schar von Kugeln sind, deren Radius von der Lage des Kugelmittelpunktes abhängt. Sie werden Kanalflächen genannt. Sonderfälle der Kanalflächen sind die Rohr-, und Drehflächen. Eine Drehfläche ist eine Kanalfläche mit gerader Mittellinie. Wasserrutsche Spielgerät: Teil einer Rohrfläche

49 Wiederholung Schraubung Schraublinie/Schraubzylinder Schraubung = räumlicher Bewegungsvorgang, der durch Zusammensetzen einer gleichförmigen Drehung um eine Achse a mit einer gleichförmigen Schiebung parallel zu a entsteht Begriffe: Drehwinkel ϕ Schraubparameter p Ganghöhe h Jede Schraublinie liegt auf einem sogenannten Schraubzylinder mit der Schraubachse als Achse. In diesem Beispiel ist die Säule der Schraubzylinder. Schraublinie = Bahnkurve eines Punktes, der einer Schraubung unterworfen wird Pestsäule, Karlskirche in Wien, Rechts-/Linksschraubung Rechts-/Linksschraubung Rechtsschraubung Linkssschraubung Besitzen Drehung und Schiebung in Bezug auf ein Rechtskoordinatensystem, dessen z-achse die Schraubachse a ist, gleiches Vorzeichen, dann spricht man von einer Rechtsschraubung, andernfalls von einer Linksschraubung Betrachtet man die Säulen der Karlskirche, so sieht man, dass die rechte Säule eine Rechtsschraublinie, die linke eine Linksschraublinie trägt. Durch eine Bewegung kann eine Rechtsschraublinie nicht in eine Linksschraublinie übergeführt werden!

50 Abwicklung einer Schraublinie Schraubflächen (Helical Surfaces) Die Tangenten längs einer Schraublinie schließen mit einer zur Achse normalen Ebene einen konstanten Winkel ein Schneidet man den Schraubzylinder längs einer Erzeugenden auf und wickelt man diesen Mantel in eine Ebene ab, dann ist die Abwicklung der Schraublinie eine Gerade ϕ ϕ α ϕ α Unterwirft man eine Kurve e einer stetigen Schraubung, wobei e keine Bahnkurve dieser stetigen Schraubung ist, so heißt die Menge der Punkte der dabei entstehenden, zu e kongruenten Kurven eine Schraubfläche. Die Schnittkurven mit Ebenen normal zur Schraubachse bzw. durch die Schraubachse heißen Querschnitte bzw. Meridiane der Schraubfläche. Doppelwendeltreppe, Grazer Burg, 1499 DNA Beispiele: Regelschraubflächen (z.b. Wendelfläche) Kreisschraubflächen Schraubtorsen Wendelflächen Gebaute Wendelflächen Die Geraden durch die Punkte einer Schraublinie, welche die Schraubachse orthogonal schneiden, bilden eine Wendelfläche. Wendelflächen treten als Unterseiten von Wendeltreppen, als Wendelrampen und als flachgängige Schrauben auf. 199 Solomon R. Guggenheim Museum von Frank Lloyd Wright ( ), N.Y. City. Eine langläufig gewendelte Rampe zieht sich über sechs Geschosse durch den gesamten Innenraum des Museums und stellt nicht nur die Erschließung der daran angrenzenden Ausstellungsräume bzw. Nebenräume dar, sondern ist zugleich Ausstellungsbereich für Bilder und/oder Skulpturen. Das Museum wurde 1959 fertiggestellt und beinhaltet seither Wechselausstellungen Moderner Kunst. 200

51 Doppelwendeltreppe Der Stiegenaufgang im Vatikanischen Museum in Rom ist als Doppelwendeltreppe ausgeführt. So werden die Besucherströme beim Betreten bzw. Verlassen des Gebäudes auf getrennten Treppen geführt. Weitere Anwendungen finden sich bei den Auf-/Abfahrtsrampen in Parkhäusern. Anwendungen der Schraubung Bei Treppen gehen Stufen oft durch Schraubung auseinander hervor. Stiegenaufgang des Vatikanischen Museums Rom, Italien Auftreten von Schraubflächen im Bauwesen Kreisschraubflächen Parkhaus... Grundriss Parkhaus Meridiankreisschraubfläche: Entsteht durch Verschraubung eines Kreises in einer durch die Schraubachse gehenden Ebene Schichtenkreisschraubfläche: Entsteht durch Verschraubung eines Kreises in einer zur Schraubachse normalen Ebene 204

52 Kreisschraubflächen Rohrschraubflächen Schneidet der erzeugende Kreis die Schraubachse, dann entstehen die für den Barock typischen Säulen 1. Art der Erzeugung: Man bewegt einen Kreis, welcher in einer zur Bahnschraublinie m seines Mittelpunktes M normalen Ebene liegt, entlang m Innenansicht der Jesuitenkirche (ehemalige Universitätskirche, Wien I, zwischen 1623 und 1631) mit gewundenen Barocksäulen 205 Rutsche Ravenna von Grünzig Spielgeräte 2. Art der Erzeugung: Rohrschraubfläche ist eine Einhüllende einer Kugel, die längs einer Schraublinie bewegt wird 206 Regelflächen Wird eine Gerade im Raum bewegt so überstreift sie im Laufe dieser Bewegung eine Regelfläche (außer die Gerade wird nur in sich verschoben) Durch jeden Punkt einer Regelfläche geht mindestens eine Flächengerade, die Erzeugende genannt wird Tangentialebenen von Regelflächen Berührt in allen Punkten einer Erzeugenden dieselbe Tangentialebene, so spricht man von einer torsalen Erzeugenden (z.b. Kegel, Zylinder) Sind alle Erzeugenden einer Regelfläche torsal, spricht man von einer torsalen Regelfläche (einfach gekrümmte Regelfläche) City Link Melbourne, Australia

53 Tangentialebenen von Regelflächen Sind die Tangentialebenen in den einzelnen Punkten einer Erzeugenden verschieden, so spricht man von einer nichttorsalen Erzeugenden. Jede Ebene durch eine solche Erzeugende ist in genau einem Punkt der Erzeugenden Tangentialebene. Regelflächen, deren Erzeugende nichttorsal sind, heißen windschiefe Regelflächen (zweifach gekrümmte Regelflächen) 209 A g Erzeugung von Regelflächen Die Bewegung einer Geraden im Raum kann durch zwei Leitkurven samt einer Punktkorrespondenz zwischen den Kurven angegeben werden: X Die Gerade muss stets beide Leitkurven treffen Die Punktkorrespondenz gibt an, welche Punkte der zwei Kurven gleichzeitig von der Geraden durchlaufen werden (z.b. Durchlaufgeschwindigkeit auf jeder Kurve). A* X* l 1 l 2 B* B Beispiel: Gegeben sind zwei Leitkurven l 1,l 2 sowie die Gerade g in ihrer Startlage AA* und Endlage BB*. Korrespondierende Punkte werden durch Abtragen von Bogenlängen mit einem fixem Ähnlichkeitsfaktor λ gefunden: (hier: λ = ½ ) * * AX=λ AX 210 Beispiele zur Erzeugung von Regelflächen durch Leitkurven Die HP-Fläche Zylinder: Leitkurven: Zwei kongruente Kreise in parallelen Ebenen Die Zuordnung erfolgt durch Bogenlängenähnlichkeit Drehkegel: Leitkurven : Punkt und Kreis in geeigneter Lage Treffgeradenmenge aus der Spitze an den Basiskreis Betrachten wir nun zwei Geraden als Leitkurven: Parallele Leitgeraden ebenes Flächenstück (trivialer Fall) Drehhyperboloid: Leitkurven: Zwei kongruente Kreise in geeigneter Lage Die Zuordnung erfolgt durch Bogenlängenähnlichkeit Wendelfläche: Leitkurven: Schraublinie und deren Achse Die Zuordnung erfolgt durch Bogenlängenähnlichkeit windschiefe Leitgeraden Windschiefe Leitgeraden hyperbolisches Paraboloid oder kurz HP-Fläche Bemerkung: Zu jeder Regelfläche kann eine Schar von geeigneten Leitkurven gefunden werden. 211 Erzeugenden 212

54 Teilverhältnisregel für HP-Flächen HP-Flächen als zweifache Regelflächen B ε X A z x B* X* y y A* Die Zuordnung zwischen den Leitgeraden erfolgt nun durch Abtragen von Teilstrecken (analog zur Bogenlänge bei Leitkurven): Die Leitgeraden werden durch die Erzeugenden teilverhältnisgleich aufeinander bezogen TV(A,B,X) = TV(A*,B*,X*) Es gibt einen Parallelriss, in dem die Erzeugenden als untereinander parallele Geraden erscheinen. D.h. die Erzeugenden sind alle parallel zu einer Ebene, der sogenannten Richtebene ε (hier: erstprojizierend). 213 z x y y Es gibt eine Schar von Leitgeraden welche auf der Fläche liegen. Bezüglich je zwei dieser Leitgeraden gilt die Teilverhältnisregel. Auf der Fläche gibt es zwei gleichberechtigte Scharen von Erzeugenden je zwei Geraden derselben Schar sind windschief je zwei Geraden verschiedener Scharen schneiden in einem Flächenpunkt Durch jeden Flächenpunkt gehen zwei Erzeugende, welche die Tangentialebene in diesem Punkt aufspannen 214 D HP-Fläche durch windschiefes Vierseit C A B Eine HP-Fläche ist durch ein windschiefes Erzeugendenvierseit eindeutig festgelegt. Das windschiefe Vierseit ist durch 4 nicht in einer Ebene liegende Punkte A, B, C, D festgelegt Eine Schar von Erzeugenden besitzt AB und DC als Leitgeraden. Konstruktion mittels Teilverhältnisregel Die andere Schar von Erzeugenden besitzt AD und BC als Leitgeraden. Konstruktion von Erzeugenden mittels Teilverhältnisregel 215 x Optimale Aufstellung von HP-Flächen z In dieser besonderen Aufstellung gibt es genau einen Punkt S mit horizontaler Tangentialebene. Dieser heißt Scheitel S der HP-Fläche. Die Flächennormale im Scheitel (lotrecht in der besonderen Aufstellung) heißt Achse a der HP-Fläche y Jede der beiden Erzeugendenscharen besitzt eine Richtebene Werden die Richtebenen beide lotrecht gewählt, so hat die HP-Fläche besonders günstige statische Eigenschaften (große Spannweite bei geringer Schalendicke) S a 216

55 Ebene Schnitte von HP-Flächen Gebaute HP-Flächen Der Schnitt einer HP-Fläche mit einer Ebene parallel zur Achse ist eine Parabel (oder eine Erzeugende falls die Ebene eine Richtebene ist) schräg zur Achse ist eine Hyperbel (Ausnahme: Ist die Ebene eine Tangentialebene so schneidet sie die Fläche nach 2 Erzeugenden) Philips-Pavillon (Le Corbusier) Weltausstellung 1958 Brüssel Aufbahrungshalle, Wien 21 Dachkonstruktion: HP-Schale aus Holz Restaurant Los Manantiales (Felix Candela) 1958, Xochimilco, Mexico Entertainment Center (Felix Candela) Konoidale Regelflächen Wendelflächen x z Leitgerade 1 y Richtebene Richtebene Regelflächen, deren Erzeugende zu einer Ebene ε parallel sind, heißen konoidale Regelflächen. Beispiel: HP-Fläche Die Ebene ε und jede zu ihr parallele Ebene heißt Richtebene der Fläche. Durch Angabe der Richtebene und zweier Leitkurven ist eine konoidale Regelfläche bestimmt. Die Geraden durch die Punkte einer Schraublinie, welche die Schraubachse orthogonal schneiden, bilden eine Wendelfläche. Die Wendelfläche ist eine konoidale Regelfläche, die eine Schraublinie und deren Achse als Leitkurven besitzt. Die Richtebenen sind zur Schraubachse normale Ebenen. Leitkurve

56 Erzeugende parallel zur Richtebene Leitkurven e Olympic Train Station, Homebush, Sydney, Australia Sheddächer Sheddächer sind häufig Ausschnitte von konoidalen Regelflächen mit lotrechten Richtebenen Meist ist eine Richtebene gemeinsame Symmetrieebene der Leitkurven und somit auch Symmetrieebene der Fläche. lotrechte Richtebene 221 Wird eine Kurve k (Profilkurve) entlang einer Kurve l (Leitkurve) zu sich parallel verschoben, so heißt die Menge der Punkte der dabei entstehenden zu k kongruenten Kurven eine Schiebfläche. Halle 26, Deutsche Messe Hanover, Germany Schiebflächen Dulles Airport von Eero Saarinen, Chantilly, Virginia, Wird speziell eine Gerade k längs einer Leitkurve l verschoben, so ist diese Schiebfläche eine allgemeine Zylinderfläche. 222 Schiebflächen Gegeben sind eine Leitkurve l und eine Profilkurve k, die einen Punkt O gemeinsam haben: Wir wenden auf k Schiebungen an, welche O in Punkte der Leitkurve l überführen. Dadurch entstehen neue Lagen der Profilkurve, welche eine Schiebfläche bilden. Zweifache Erzeugung von Schiebflächen Die Rollen von Profil- und Leitkurve können vertauscht werden: Bei Verschiebung von k längs l entsteht dieselbe Fläche wie bei Verschiebung von l längs k. Die Fläche trägt demnach zwei Scharen von Kurven, welche zu k bzw. l schiebungsgleich sind L Leitkurve l P K Profilkurve k K Profilkurve k P Leitlinie l L O 224

57 HP-Flächen als Schiebflächen HP-Fläche als Schiebfläche p 2 p 1 Bei Verschiebung einer Parabel p 1 längs einer Parabel p 2 entsteht eine HP-Fläche, sofern die beiden Parabeln parallele Achsen besitzen als Schiebfläche HP-Flächen im CAD Schiebparabeln als Bezierkurven 2. Grades modellieren HP-Fläche durch sweepen (verschieben) einer Parabel längs der anderen erzeugen Abwickelbare Flächen Unter der Abwicklung oder Verebnung einer krummen Fläche versteht man, anschaulich gesprochen, ihre längentreue (und somit auch winkeltreue) Ausbreitung in eine Ebene. Raumkurve P als Regelfläche durch Einspannen einer Bezierfläche vom Grad (1,1) in ein windschiefes Vierseit Abwickelbare krumme Flächen: τ Zylinderflächen, Kegelflächen,Tangentenflächen von Raumkurven Kennzeichnende Eigenschaft: Regelflächen die nur torsale Erzeugenden besitzen (Tangentialebene berührt jeweils längs der gesamten Erzeugenden)

58 Abwickelbare Flächen Zylinderfläche entsteht durch Verfeinerung einer Prismenfläche Kegelfläche entsteht durch Verfeinerung einer Pyramidenfläche Abwickelbare Flächen Tangentenfläche einer Raumkurve entsteht durch Verfeinerung eines Torsenpolyeders: Die Kanten des Torsenpolyeders sind die Seitengeraden eines räumlichen Polygons. Die Seitenflächen werden von jeweils zwei aufeinanderfolgenden Polygonseiten aufgespannt. Durch Verfeinerung entsteht aus einem räumlichen Polygon eine Raumkurve. Die Polygonseiten gehen dabei in Kurventangenten über. Aus dem Torsenpolyeder des Polygons entsteht die Tangentenfläche der Raumkurve. Das erzeugende Polygon bildet eine Rückkehrkante auf dem Torsenpolyeder Die erzeugende Raumkurve ist eine scharfe Kante (Gratlinie) der Tangentenfläche Abwickelbare Flächen im Bauwesen Abwickelbare Flächen sind für das Bauwesen interessant, weil sie... eine Schar von Geraden tragen und daher leichter zu bauen sind als ganz freie Formen (z.b. Verschalungen, Stahlbeton, Holzbau, ) mit Blech leicht zu verkleiden sind Abwicklungen Die Animation zeigt die Abwicklung eines Drehzylinders bzw. eines Drehkegels in eine Ebene Weisman Art Museum

59 Abwicklung eines Kegels Netz eines Polyeders Ein Polyeder, also ein aus lauter ebenen Flächenstücken begrenzter Körper, lässt sich mit verhältnismäßig geringem Aufwand nachbilden, indem man die einzelnen Oberflächenteile aus Karton oder Blech ausschneidet und aneinanderheftet. Die in einer Ebene möglichst zusammenhängend aneinandergereihten Flächenstücke bilden das Netz des Polyeders Fußball = Ikosaederstumpf 233 In FormZ kann für die Abwicklung von Flächen der Befehl Unfold verwendet werden. 234 Übungsbeispiele Netze von Polyedern Abwicklung - Netz Skizzieren Sie die 11 verschiedenen Netze eines Würfels Netze von Tetraeder, Oktaeder, Pentagondodekaeder und Ikosaeder ein Netz des untenstehenden Objektes Von jeder Fläche kann man ein Näherungspolyeder bilden und für dieses ein Netz konstruieren Dabei entstehen zwischen den verebneten Seitenflächen Lücken, welche auch bei noch so feiner Approximation auftreten Dieser Vorgang kann also nicht als Beweis für die Abwickelbarkeit beliebiger Flächen dienen Beispiel: Eine Kugel ist nicht in die Ebene abwickelbar, daher gibt es keine verzerrungsfreien Landkarten

60 Freiformflächen Bézier-Flächen Karin Zeitlhuber, Reinhard Bernsteiner; Die Welle: Berufsschule Villach Preston Scott Cohen; Torus House; Old Chatham Frank O. Gehry; Experience Music Project Bezier-Kurven werden von einem Kontrollpolygon ausgehend konstruiert. Es liegt also nahe für Bezier-Flächen ein Kontrollnetz zu verwenden. Allgemein wird eine Bézier-Fläche vom Grad (m,n) durch ein Vierecksnetz mit Eckpunkten P i,j (i = 0,...,m; j = 0,...,n) angegeben. Das Bézier-Flächenstück besitzt i.a. 4 Randkurven. Diese sind Bézier-Kurven mit den Randpolygonen des Netzes als Kontrollpolygonen Freiformflächen sind wegen ihrer großen Bedeutung im industriellen Design entwickelt worden (z.b. Automobilindustrie, Schiffbau). Sie finden inzwischen auch großes Interesse bei repräsentativer Architektur Freiformmodule findet man in allen CAD-Systemen Bézier-Flächen Zur Konstruktion eines Flächenpunktes kann man jede der m+1 Zeilen (verbinden jeweils n+1 Punkte mit festem Index i) als Kontrollpolygone auffassen und zum selben Teilverhältnis Kurvenpunkte konstruieren. Dies liefert m+1 Punkte, welche die Kontrollpunkte einer Bézier-Kurve m-ten Grades sind, die ganz auf der Fläche liegt. Bézier-Flächen Randkurven eines Bézier-Flächenstücks sind Bézier-Kurven Eckpunkte des Kontrollnetzes sind Punkte des zugehörigen Bézier-Flächenstücks Damit sieht man, dass auf einer Bézier-Fläche vom Grad (m,n) eine Schar von Bézier-Kurven vom Grad m liegt. Analog erhält man über die Spalten des Kontrollnetzes eine Schar von Bézier-Kurven vom Grad n, die ganz auf der Fläche liegen

61 Bézier-Regelflächen HP-Fläche als Bezier-Fläche Eine Bézier-Kurve ersten Grades ist eine geradlinige Strecke. Daher ist eine Bézier-Fläche vom Grad (1,n) oder (m,1) ein Regelflächenstück. Eine Bézierfläche vom Grad (1,1) ist eine HP-Fläche B 1, 0 B 0, 1 Eine Bézier-Fläche vom Grad (1,1) ist durch vier Kontrollpunkte B 0,0, B 0,1, B 1,0, B 1,1 gegeben, welche zu einem Kontrollvierseit verbunden werden. Sind bei einer Bézier-Fläche vom Grad (1,n) die n+1 Spaltenstrecken parallel, so erhält man ein Stück einer Zylinderfläche. Die Randkurven sind die Bézier-Kurven zu den Randpolygonen des Netzes. B 0, 0 Falls dieses Vierseit nicht in einer Ebene liegt, ist die Bézier-Fläche das HP-Flächenstück mit dem B 1, 1 Kontrollvierseit als Erzeugendenvierseit B-Spline-Flächen Die Bézier-Methode ist zum Design komplizierterer Formen kaum geeignet, weil bei höherem Grad die Bezier-Fläche die Form der Eingabefigur nicht gut wiedergibt. Oft ist auch der globale Einfluss der Kontrollpunkte unerwünscht: Änderung eines einzigen Punktes beeinflusst das gesamte Flächenstück. B-Spline-Flächen Die mathematische Beschreibung einer B-Spline-Fläche basiert auf einem Vierecksnetz. Dieses besitzt im allgemeinen vier Randpolygone und beschreibt demnach ein Flächenstück, dass von vier Randkurven begrenzt wird. Fallen ein oder zwei Paare gegenüberliegender Randpolygone des Vierecksnetzes zusammen, so entstehen schlauchförmige bzw. torusförmige Flächen. In der Praxis verwendet man daher oft B-Spline-Flächen. Auf dieselbe Art wie man von Bezier-Kurven auf Bezier- Flächen erweitert gelangt man von B-Spline-Kurven auf B-Spline-Flächen

62 NURBS-Flächen So wie bei den NURBS-Kurven kann man die Form einer NURBS-Fläche durch Gewichte, die den Kontrollpunkten zugeordneten sind, steuern. Effekt der Gewichte wie bei NURBS-Kurven Das Bild zeigt eine NURBS-Fläche mit einem Kontrollnetz bestehend aus 5*7 = 35 Kontrollpunkten Gebaute Freiformflächen Ausblick: Geometrie & CAAD Vorlesung Vertiefung Freiformflächen Subdivision Surfaces Sweep- und Skinflächen Spiralung Netze und Modellbau Animation Übung Modellierung gebauter Objekte Durchführung eines umfangreicheren CAD-Projektes Unterteilungsflächen (Subdivision Surfaces) Können im Gegensatz zu klassischen Freiformflächen (NURBS-Flächen, ) Flächen beliebiger Topologie darstellen Methode: Ausgehend von einem Mesh wird dieses nach gegebenen Unterteilungsregeln verfeinert bis man eine hinreichend glatte Fläche erhält

63 Sweepflächen entstehen, indem eine erzeugende Kurve längs einer oder mehrerer beliebiger Kurven bewegt wird. Lage und Form der erzeugenden Kurve kann sich während der Bewegung ändern Sweepflächen Skinning Skinning eignet sich besonders zur Erstellung von organischen und komplexen 3D-Formen Skin ist gegenüber Sweep die mächtigere Operation City Link, Melbourne, Australia 249 Guggenheimmuseum (Bilbao) 250 Ausblick: Erschließung neuer Geometrien 3D Photographie Wiener Trio 3D-Photographie & 3D-Druck Visualisierung und Analyse von geometrischen Objekten Geometrische Topologie Minimalflächen Fraktale Mathematische Morphologie Kunstwerk am Schottenring 3D-Scannen CAD-Modell Rekonstruktion 3D-Drucken

64 Einseitige Flächen Fraktale Geometrie Möbiusband Kleinsche Flasche Euklidische Geometrie 2000 Jahre alt verwendbar für künstliche Objekte glatte Oberflächen analytische Gesetzmäßigkeiten Fraktale Geometrie ~ 30 Jahre alt verwendbar für natürliche Objekte rauhe Oberflächen Algorithmen