Prüfungsdauer: 120 Minuten

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1 Computergraphik und Multimediasysteme Seite 1 von 6 Klausur: Computergraphik II Probeklausur Semester: Prüfer: Prüfungsdauer: 1 Minuten Hilfsmittel: Schreibgeräte, Lineal, nichtprogrammierbarer Taschenrechner Datum/Zeit: Max. Punktzahl: 1 HINWEIS: Bitte beachten Sie, dass die Themengebiete der eigentlichen Klausur von den hier gewählten Themen gegebenenfalls abweichen können. Prinzipiell sind alle in der Vorlesung besprochenen Themen klausurrelevant. Die Besprechung der Probeklausur wird in der Übung am stattfinden. Hierbei werden jedoch nur die Aufgaben(teile) besprochen, zu denen auch konkrete Fragen vorliegen. Aufgabe 1 Splines (36 Punkte) 1.1. Zwei quadratische Bézier-Spline-Segmente seien durch die Kontrollpunkte ( ) ( ) ( ) 4 6 C =, C 1 =, C = ( ) 1 und C 3, C3 1, C3 definiert, von denen nur C3 = C und C3 = bekannt sind C C 1 C = C3 C a) Berechnen Sie den fehlenden Kontrollpunkt C 3 1, damit die Bézier-Spline-Kurve zwischen den beiden Segmenten C 1 -stetig ist.

2 Seite von 6 b) Prüfen Sie rechnerisch mit Hilfe des De-Boor-Algorithmus, dass die uniforme, quadratische B-Spline-Kurve D(u) mit den folgenden De-Boor-Punkten den Punkt C interpoliert. ( ) ( ) ( ) ( ) D =, D 1 =, D =, D 3 = Hinweis: Wählen Sie u so, dass D(u) = C gleich dem Startpunkt der B-Spline-Kurve ist. Die im Algorithmus benötigten Gewichte α j i (u) können mit Hilfe der folgenden Formel berechnet werden: α j i (u) = u t i mit i = j,..., und j = 1, t i j+3 t i 1.. Gegeben seien beliebige paarweise verschiedene Punkte P,P 1,P,P 3 im zwei-dimensionalen Raum, die durch eine Kurve interpoliert werden sollen (siehe Skizze). P P P 1 P 3 a) Sei der erste De-Boor-Punkt D einer uniformen, C 1 -stetigen quadratischen B-Spline- Kurve D gegeben. Bestimmen Sie vier weitere De-Boor-Punkte D 1,D,D 3,D 4 der B- Spline-Kurve D in Abhängigkeit der gegebenen Punkte, so dass P,...,P 3 von der B- Spline-Kurve D interpoliert werden. b) Zur Definition einer interpolierenden kubischen Bézier-Spline-Kurve können mit Hilfe des Catmull-Rom-Ansatzes zu jedem Segment Kontrollpunkte einer kubischen Bézier-Kurve bestimmt werden. Die resultierende Bézier-Spline-Kurve ist an den interpolierten Kontrollpunkten C 1 -stetig. Bestimmen Sie die Bézier-Kontrollpunkte C 1,C1 1,C1,C1 3 des Kurvensegments C1 (u) zwischen P 1 und P in Abhängigkeit der Punkte P,...,P 3. c) Finden Sie eine Repräsentation C 1 (u) = 3 k= P k X k (u) des Kurvensegments C 1 (u) = 3 k= C 1 k B3 k (u), die einzig von den Punkten P,...,P 3 und den Bernstein-Bézier-Polynomen B 3,B3 1,B3,B3 3 abhängt. Bestimmen Sie hierzu die Polynome X (u),x 1 (u),x (u),x 3 (u) in Abhängigkeit der Bernstein-Bézier-Polynome. Aufgabe Frenet-Frame (6 Punkte) Gegeben ist die Kurve C(u) = ( sin(u),u, ) T. Bestimmen Sie den Frenet-Frame in u =.

3 Seite 3 von 6 Aufgabe 3 Polygon-Meshes (8 Punkte) 3.1. Gegeben sei ein geschlossenes, -mannigfaltiges Polygonnetz mit Genus, für das die Euler-Formel gilt: N V N E + N F = wobei N V, N E und N F die Anzahl der Eckpunkte, Kanten und Flächen bezeichnen. a) Zeigen Sie unter Zuhilfenahme der Eigenschaften -mannigfaltiger Polygonnetze, dass im Allgemeinen gilt: N V 4 und N F 4 b) Für welches Polygonnetz mit den oben genannten Eigenschaften gilt genau: N V = 4 und N F = 4 c) Leiten Sie aus den (größtmöglichen) Unterschranken aus Teilaufgabe a) eine größtmögliche Unterschranke für N E ab! 3.. Die Half-Edge-Datenstruktur arbeitet hauptsächlich mit Referenzen bzgl. Kanten. Zusätzlich sei zu jedem Vertex V eine Referenz V.edge auf eine ausgehende Halbkante gegeben, sowie zu jeder Fläche F eine Referenz F.edge aud eine beliebige zugeordnete Halbkante gegeben. F 1 E 1,n face next P 1 E 1 pair vert P Randkanten E 1 E1,n F Entwickeln Sie unter Verwendung der Referenznamen einen Pseudocode für folgende Aufgaben: a) Gegeben ist ein Polygon, gesucht sind alle Halbkanten zu dem Polygon. b) Gegeben ist ein Vertex, gesucht sind alle Halbkanten um diesen Vertex. c) Gegeben ist ein Vertex auf einem Randpolygonzug, gesucht sind alle Halbkanten des Randpolygonzuges.

4 Seite 4 von 6 Aufgabe 4 Quaternionen (14 Punkte) Rotieren Sie den Punkt P = (, 1, ) zweimal mit Hilfe von verketteten Quaternionen. Zuerst um den Winkel Φ 1 um die Achse ˆv 1 und anschließend um den Winkel Φ um die Achse ˆv. Φ 1 = π 1,Φ = π, ˆv 1 =, ˆv = a) Bestimmen Sie hierzu zunächst alle benötigten Quaternionen (q, q, q P ) für die verkettete Rotation bzw. den Punkt. b) Führen Sie nun die Rotation aus und bestimmen Sie den rotierten Punkt P. c) Wie lauten die resultierende Rotationsachse ˆv 1, und der resultierende Winkel Φ 1,? Hinweis: Beachten Sie die Formeln zur Multiplikation von Quaternionen im Anhang. 1 Aufgabe 5 D-Skelettanimation (4 Punkte) 8 y φ P = P 5 φ 5 l 5 6 l 4 φ 3 l 1 P 3 = P 4 P 1 φ 1 l 4 X 1 l 3 X φ x Gegeben sei das abgebildete zweidimensionale, mehrgliedrige Skelettmodell mit folgenden Werten: ( ) P 1 =, φ 1 = π 4, φ = π + π 4, φ 3 = 3π + π 4, l 1 = 8, l = 4, l 3 =, l 4 = 7.1. Berechnen Sie den Endeffektor X 1, indem Sie die Zwischenpunkte P und P 3 sukzessive in globalen Koordinaten berechnen. 7.. Geben Sie eine Hierarchie von Transformationen für das gegebene Modell an, mit denen die lokalen Koordinatensysteme der einzelnen Segmente berechnet werden können. Hinweis: Verwenden Sie die folgenden Bezeichner. T (x, y): Translation R(φ): Rotation um den Mittelpunkt 7.3. Geben Sie den Arbeitsbereich des Endeffektors X 1 an für die gegebenen Längen und Winkel. Begründen Sie kurz Ihre Behauptung.

5 Seite 5 von 6 Aufgabe 6 Spline-basierte Animation (1 Punkte) Die Kurvenpunkte einer quadratischen Bézier-Kurve für u =, u 1 =., u =.4, u 3 =.6, u 4 =.8, u 5 = 1 seien ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C(u ) =,C(u 1 ) =,C(u 1 ) =,C(u 3 ) =,C(u 3 4 ) =,C(u 4 5 ) =. 5 Bestimmen Sie die Parameter u i (i =,...,5) so, dass der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Kurvenpunkten C(u i ) für alle Punkte der gleiche ist. Berechnen Sie dafür zuerst für alle u i (i =,...,5) näherungsweise die Bogenlänge l i zwischen den Kurvenpunkten C(u ) und C(u i ) unter ausschließlicher Zuhilfenahme der oben genannten Kurvenpunkte. Teilen Sie dann die Gesamtkurvenlänge in fünf äquidistante Abschnitte li auf und bestimmen Sie für jede Bogenlänge li den entsprechenden Parameter u i, indem Sie auf den entsprechenden Intervallen linear interpolieren.

6 Seite 6 von 6 Anhang Sinus und Cosinus: sin cos π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 Ein Quaternion q H hat folgende Form: q = (s, v) = (s,(v 1,v,v 3 )) = s + v 1 i + v j + v 3 k Multiplikation der Imaginärteile: i = j = k = 1, i j = k, jk = i, ki = j und ji = k, k j = i, ik = j Multiplikation zweier Quaternionen q 1 = (s 1, v 1 ) und q = (s, v ): q 1 q = (s 1 s ( v 1 v ), s 1 v + s v 1 + v 1 v ) Beachte: Die Multiplikation von Quaternionen ist nicht kommutativ!