Praxis der Wärmeübertragung Grundlagen - Anwendungen - Übungsaufgaben

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1 Rudi Marek, Klaus Nitsche Prais der Wärmeübertragung Grundlagen - Anwendungen - Übungsaufgaben ISBN-0: ISBN-3: Inhaltsverzeichnis Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel

2 6 Inhaltsverzeichnis Grundlagen der Wärmeübertragung 5. Praktische Bedeutung Wärme und Wärmestrom Temperatur und Temperaturfelder Wärmetransportmechanismen Arten des Wärmetransports Wärmeleitung Konvektion Wärmestrahlung Fourier sche Wärmeleitungsgleichung Mehrdimensionale instationäre Wärmeleitung mit inneren Wärmequellen Koordinatenunabhängige Schreibweise Eindimensionale instationäre Wärmeleitung Stationäre Wärmeleitung mit Wärmequellen Stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen Anfangs- und Randbedingungen Anfangsbedingungen Randbedingungen Koppelbedingungen Elektrische Analogie Thermische Widerstände und Leitwerte Spezifische thermische Widerstände und Leitwerte Wärmedurchgangskoeffizient und Wärmedurchgangswiderstand Reihenschaltung thermischer Widerstände Parallelschaltung thermischer Widerstände Thermischer Kontaktwiderstand Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Massen- und Energiebilanzen 49. Grundlagen System Kontinuitätsgleichung Erster Hauptsatz der Thermodynamik Hinweise zur Aufstellung von Energiebilanzen Innere Energie und Enthalpie Enthalpieströme Beispiele Aufgaben zum Selbststudium

3 Inhaltsverzeichnis 7 3 Stationäre Wärmeleitung Grundlagen Péclet-Gleichungen für mehrschichtige Bauteile Mehrschichtige ebene Platte Zylinderschalen Kugelschalen Oberflächen- und Schichttemperaturen Stationäre eindimensionale Wärmeleitung mit inneren Wärmequellen Ebene Platte mit Wärmequellen Vollzylinder und Zylinderschale mit Wärmequellen Vollkugel und Kugelschale mit Wärmequellen Stationäre zweidimensionale Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Rippen und Nadeln 0 4. Grundlagen Kenngrößen von Rippen Universelle Rippendifferenzialgleichung Rechteckrippen Zylindrische Nadeln Kreisringrippen Weitere Formen von Rippen und Nadeln Optimale Rippen Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Instationäre Wärmeleitung Grundlagen Dimensionslose Kennzahlen Dimensionslose Grundgleichung Dimensionslose Anfangs- und Randbedingungen Modelle der instationären Wärmeleitung Ideal gerührter Behälter Halbunendlicher Körper Eakte Lösung für Platte, Zylinder und Kugel Näherungslösung für große Zeiten Kurzzeitnäherung des erweiterten ideal gerührten Behälters Produktansatz bei mehrdimensionaler Wärmeleitung Beispiele Aufgaben zum Selbststudium

4 8 Inhaltsverzeichnis 6 Konvektion Grundlagen Arten von Konvektion Ähnlichkeitstheorie und dimensionslose Kennzahlen Längs angeströmte ebene Platte Quer und schräg angeströmte Kreiszylinder Quer angeströmte Profile Umströmte Kugel Einlaufproblematik bei der Rohr- und Kanalströmung Vollständig ausgebildete Laminarströmung Thermischer Einlauf bei laminarer Strömung Hydrodynamischer und thermischer Einlauf bei laminarer Strömung Vollständig ausgebildete turbulente Rohrströmung Ausgebildete Rohrströmung im Übergangsbereich Nichtkreisförmige Querschnitte Fluidtemperaturänderung in Strömungsrichtung Freie Konvektion Vertikale ebene Platte Vertikaler Zylinder Geneigte ebene Platte Horizontale ebene Platten Horizontaler Zylinder Kugel Freie Konvektion in geschlossenen Fluidschichten Horizontale ebene Schichten Geneigte ebene Schichten Vertikale ebene Schichten Freie Konvektion in offenen Fluidschichten Senkrechte Kanäle Geneigte Kanäle Parallele vertikale Platten Mischkonvektion an umströmten Körpern Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Wärmeübertrager 6 7. Grundlagen Begriffe und Nomenklatur Bauformen von Wärmeübertragern Einseitig konstante Fluidtemperatur Dimensionslose Kennzahlen Wärmeübertrager-Hauptgleichung Gleichstrom-Wärmeübertrager Gegenstrom-Wärmeübertrager Kreuzstrom-Wärmeübertrager Wärmewirkungsgrade von Wärmeübertragern Korrekturfaktor Wärmeübertrager mit Phasenübergang Ablagerungen (Fouling Beispiele Aufgaben zum Selbststudium

5 Inhaltsverzeichnis 9 8 Wärmestrahlung Grundlagen Wellenlängenbereiche der Strahlung Modell des schwarzen Körpers Strahlungsfunktion des schwarzen Körpers Strahlungsintensität und emittierte Strahlung Auftreffende Strahlung Helligkeit Spektrale Kenngrößen Emissionsgrad Absorption, Refleion und Transmission Graue und selektive Strahler Kirchhoff sches Gesetz Helligkeit grauer opaker Oberflächen Oberflächenwiderstand für Strahlung Raumwiderstand zwischen zwei strahlenden Oberflächen Helligkeitsverfahren für Wärmestrahlungsprobleme Wärmestrahlung zwischen zwei Oberflächen Wärmestrahlung zwischen drei Oberflächen Wärmeübergangskoeffizient für Strahlung Strahlungsaustauschkoeffizient Einstrahlzahlen Einstrahlzahlen zwischen zwei Flächen Einstrahlzahlen einer Fläche zu sich selbst Einstrahlzahlen-Algebra Methode der gekreuzten Fäden Einstrahlzahlen einfacher Konfigurationen Strahlungsschutzschirme Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Aufgaben aus verschiedenen Themengebieten 86 0 Anhang Gauß sche Fehlerfunktion Bessel-Funktionen Bessel-Funktionen. Art Modifizierte Bessel-Funktionen. und. Art Zahlentafeln der Bessel-Funktionen Näherungslösung der eindimensionalen instationären Wärmeleitung Stoffwerte Lösungen der Aufgaben

6 Rudi Marek, Klaus Nitsche Prais der Wärmeübertragung Grundlagen - Anwendungen - Übungsaufgaben ISBN-0: ISBN-3: Leseprobe Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel

7 6 7 Wärmeübertrager 7 Wärmeübertrager Bild 7.: Filigrane Lamellenstruktur eines Autokühlers. Bild 7.: Kompakt-Wärmeübertrager aus gepressten Blechplatten in montiertem Zustand. Bild 7.3: Das Fischgrätmuster zweier aufeinander folgender Blechplatten verläuft senkrecht zueinander. 7. Grundlagen 7.. Begriffe und Nomenklatur Unter einem Wärmeübertrager wird im Folgenden ein kalorischer Apparat verstanden, bei dem Wärme zwischen zwei Arbeitsmedien, die nicht in unmittelbarem thermischen Kontakt miteinander stehen, sondern durch eine feste Wand getrennt sind (z. B. Autokühler, übertragen wird. Daneben eistieren auch Geräte mit direkter Wärmeübertragung (z. B. Nasskühltürme auf die hier nicht eingegangen wird. Als Arbeitsfluide kommen meist Flüssigkeiten oder Gase zum Einsatz, in besonderen Fällen auch verdampfende Flüssigkeiten oder kondensierende Dämpfe. Der Wärmedurchgang durch die Trennwand wird durch den Wärmedurchgangskoeffizienten k zwischen den beiden Medien beschrieben (vgl. Abschnitt.7.. Insbesondere bei Wärmeübertragern mit Luft als Arbeitsmedium kommen zur Steigerung des Wärmeübergangs an der Trennwand Rippen und Lamellen zum Einsatz (Bild 7.. Der Wärmewirkungsgrad eines Wärmeübertragers hängt maßgeblich von der Stromführung der beiden Medien ab. Wärme fließt dabei stets vom wärmeabgebenden Medium (in der Regel mit indiziert zum wärmeaufnehmenden Medium (in der Regel mit indiziert. Der Eintritt in den Wärmeübertrager wird mit dem Inde (-Strich, der Austritt mit (-Strich gekennzeichnet. ϑ kennzeichnet also die Eintrittstemperatur von Fluid, ϑ die Austrittstemperatur von Fluid. In der Literatur finden sich auch andere Bezeichnungen, was bei Verwendung der entsprechenden Beziehungen zu beachten ist. Grundsätzliche Aufgaben sind die Dimensionierung und Nachrechnung von Wärmeübertragern. Bei der Auslegung gilt es, bei bekannten Stoffströmen und Temperaturen die Übertragungsfähigkeit zu ermitteln, während beim Nachrechnen die Austrittstemperaturen der Medien und der übertragene Wärmestrom bestimmt wird. In der Prais hat sich für Wärmeübertrager der thermodynamisch unzutreffende Begriff Wärmetauscher bzw. Wärmeaustauscher eingebürgert, der mit heat echanger (HX auch international üblich ist. Ein Wärmeaustausch zwischen den beiden Arbeitsmedien liegt allerdings nicht vor. Vielmehr erfolgt nach dem. Hauptsatz der Thermodynamik ein in eine Richtung verlaufender Wärmetransport vom Medium höherer Temperatur zum Medium niedrigerer Temperatur. Der Begriff Wärmeaustausch würde dagegen implizieren, dass Wärme in beide Richtungen ausgetauscht wird. Bei gleichen Wärmekapazitätsströmen der beiden Medien wäre bei idealen Verhältnissen ein vollständiger Temperaturaustausch möglich, d. h. das wärmere Medium würde sich am Austritt auf die Eintrittstemperatur des kühleren Mediums abkühlen, während sich das wärmeaufnehmende Medium am Austritt auf die Eintrittstemperatur des wärmeabgebenden Mediums erwärmen würde. Im Folgenden wird daher nach einem Vorschlag von E. Schmidt der Begriff Wärmeübertrager verwendet. Bild 7. fff: Kompakt-Wärmübertrager aus gepressten Blechplatten

8 7. Grundlagen Bauformen von Wärmeübertragern Im allgemeinen Fall ändern sich durch die thermische Koppelung der Medien beide Fluidtemperaturen mit zunehmender Lauflänge. Eine besonders einfache Bauart von Wärmeübertragern ergibt sich, wenn ein Medium eine konstante Temperatur aufweist. Dies kann infolge sehr großer Wärmekapazität (z. B. Wärmeabgabe eines durchströmten Rohres an die Umgebung oder infolge Phasenübergang (z. B. Verdampfer in einem Kühlschrank der Fall sein. Die Berechnung vereinfacht sich in diesen Fällen, da sich nur eine Fluidtemperatur ändert. In der Prais lassen sich folgende u. a. Bauformen unterscheiden: Rohrbündel-Wärmeübertrager (Bild 7.4 Platten-Wärmeübertrager (Bild 7.5 Spiral-Wärmeübertrager Rotations-Wärmeübertrager Schlangen-Wärmeübertrager Weiter ist zwischen Rekuperatoren und Regeneratoren zu unterscheiden. Rekuperatoren werden gleichzeitig von zwei durch eine feste Wand getrennten Fluiden stationär durchströmt, d. h. es erfolgt ein kontinuierlicher Wärmeaustausch. Demgegenüber enthalten Regeneratoren eine für Gase durchlässige Formmasse (z. B. Formsteine mit Kanälen, Schüttung aus Steinen oder Metall. Sie werden diskontinuierlich, d. h. im zeitlichen Wechsel, von den Gasen durchströmt. Zusätzlich ist beim Regenerator meist auch noch ein Stoffaustausch möglich (z. B. Feuchteaustausch in Klimaanlagen Einseitig konstante Fluidtemperatur Betrachtet wird zunächst der Wärmedurchgang von einem innen strömenden Medium der Temperatur ϑ i durch eine feste Wand an ein äußeres Medium der konstanten Temperatur ϑ e = const. Diese Bedingung ist sowohl bei siedenden Medien in Verdampfern als auch bei kondensierenden Fluiden in Kondensatoren erfüllt. In Platten-Wärmeübertragern liegen ebene (Bild 7.7, in Rohr- Wärmeübertragern gekrümmte Trennflächen (Bild 7.8 vor. Der Wärmedurchgang durch die jeweilige Trennfläche wird durch den Wärmedurchgangskoeffizienten k oder den längenbezogenen Wärmedurchgangskoeffizienten k beschrieben: k = k = + s α i λ + α e α i + r i λ ln ( re r i + r i r e α e und k =k B Platte (7. und k =k π r i Rohr (7. Aus der Energiebilanz am infinitesimalen Element quer zur Trennwand folgt nach Einführen der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Medien θ = ϑ i ( ϑ e und Integration der zugehörigen Differenzialgleichung mit der Randbedingung am Fluideintritt ϑ i ( = 0 = ϑ i0 eine eponentielle Temperaturabnahme des strömenden Mediums: kaltes Fluid (Eintritt Rohrboden Innenrohr Mantel warmes Fluid (Austritt Klöpperboden Umlenkbleche warmes Fluid (Eintritt kaltes Fluid (Austritt Bild 7.4: Rohrbündel-Wärmeübertrager im Schnitt. Bild 7.5: Platten-Wärmeübertrager. Status Nitsche Bild 7.: Platten-Wärmeübertrager im Gegenstrombetrieb, Platten auseinandergezogen zur Strömungsdarstellung kann verkeinert werden wie üblich cm cm m c cm Datei Bild 7- Platten-WÜtrager Klein Schemapfeile Bild 7.6: Innerer Aufbau eines Kompakt- Platten-Wärmeübertragers mit Anschlussstutzen Bild 7. für b :Innerer Fluid. Aufbau eines Plattenwärmetauschers mit Eintrittstutzen für Fluid. Fluid und Fluid sind schichtweise durch dünne Blechwände mit möglichst großer Oberfläche getrennt. warm + Das Originalbild in Farbe ist von mir. Das Schnittmodell i stammt von der Firma i Cetatherm. s Die scheint es nicht mehr zu geben, denn e im Internet findet man nur noch drei Zitate und der Domänenname Qk e CETATHERM.com ist wieder verfügbar. B L Abkühlung kalt Bild 7.7: Wärmedurchgang durch ebene Wand an Fluid konstanter Temperatur. Bild 7.3: Wärmedurchgang durch eine ebene Wand von einem strömenden Medium an ein Fluid konstanter Temperatur.

9 8 7 Wärmeübertrager inne n: L Abkühlung ( ( θ(= (ϑ i0 ϑ e ep k =θ 0 ep k ṁ c p ṁ c p (7.3 i e Q k + i e e warm kalt RBild 7.8: Wärmedurchgang durch Rohrwand an Fluid konstanter Temperatur. Gl. (7.4 ist analog zu Gl. (6.54 aufgebaut, die den Temperaturabfall in Reinem Rohr mit konstanter Wandtemperatur beschreibt. Alternativ zu Gl. (7.6 kann der im infinitesimalen Element fließende Wärmestrom Q k über die Länge L integriert werden: L Q L Q= k d= k ] [ϑ i ( ϑ e d (7.7 R0 0 ϑ log ist die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz analog Gl. (6.56. Sie ergibt sich durch Integration der örtlichen Temperaturdifferenz ϑ ϑ über die gesamte wärmeübertragende Fläche A des Wärmeübertragers: ϑ log = A (ϑ ϑ da (7.9 (A Je nach Fließrichtung der Medien (Gleichstrom=GS, Gegenstrom=GG resultieren unterschiedliche logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenzen: ϑ log,gs = ϑ ϑ ( ϑ ϑ ( (7. ϑ ln ϑ ϑ ϑ ϑ log,gg = ϑ ϑ ( ϑ ϑ ( (7.3 ϑ ϑ ln ϑ ϑ Im Sonderfall gleich großer Wärmekapazitätsströme Ẇ = Ẇ tritt beim Gegenströmer eine konstante Temperaturdifferenz zwischen beiden Medien über den gesamten Wärmeübertrager auf: ϑ log,gg =ϑ ϑ =ϑ ϑ (7.4 s r i r a Die Austrittstemperatur des Mediums bei = L beträgt: ( ϑ il =ϑ e + (ϑ i0 ϑ e ep k L ṁ c p (7.4 Mit dem Wärmekapazitätsstrom des Fluids Ẇ = ṁ c p und der Anzahl der Übertragungseinheiten NT U = k L gilt auch: Ẇ ϑ il =ϑ e + (ϑ i0 ϑ e ep ( NT U (7.5 Der insgesamt übertragene Wärmestrom Q beträgt: Q=ṁ c p (ϑ il ϑ i0 =ṁ c p (θ L θ Dimensionslose Kennzahlen (7.6 Verändern beide Fluide ihre Temperatur, so sind zur Beschreibung von Wärmeübertragern verschiedene dimensionslose Kennzahlen üblich: Dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz Θ (0 Θ : Θ == ϑ log logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz = ϑ ϑ Differenz der Eintrittstemperaturen (7.8 Im Unterschied zur normierten mittleren Temperaturdifferenz aus Gl. (7.8 stellt ϑ log aus Gl. (7.9 eine dimensionsbehaftete mittlere Temperaturdifferenz dar, die in K angegeben wird. Weitere dimensionslose Temperaturdifferenzen können am Anfang des Wärmeübertragers bei = 0 (Inde 0 und am Ende des Wärmeübertragers = L (Inde L gebildet werden: ϑ 0 =ϑ ( = 0 ϑ ( = 0 ϑ L =ϑ ( = L ϑ ( = L (7.0 Die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz ϑ log lässt sich damit wie folgt berechnen: ϑ log = ϑ 0 ϑ L ( (7. ϑ0 ln ϑ L Betriebscharakteristiken (dimensionslose Temperaturänderungen der Stoffströme und : P = ϑ ϑ ϑ ϑ P = ϑ ϑ ϑ ϑ 0 P (7.5 0 P

10 7. Grundlagen 9 R Anzahl der Übertragungseinheiten der Stoffströme und (Übertragungszahl, Number of Transfer Units: In der Literatur wird die auf den kleineren ] Wärmekapazitätsstrom NT U = k A min [Ẇ, Ẇ bezogene Anzahl der Übertragungseinheiten gelegentlich als Ẇ NT U = k A Übertragungsfähigkeit des Wärmeübertragers bezeichnet, was zu Verwechslungen mit der Übertragungsfähigkeit (7.6 Ẇ RK := k A führen kann. Die Wärmekapazitätsströme (Wasserwerte Ẇ und Ẇ ergeben sich Die mittlere spezifische Wärmekapazität c aus den jeweiligen Massenströmen und mittleren spezifischen Wärmekapazitäten: pj folgt aus: Ẇ =ṁ c p (7.7 c pj = h j h j ϑ j ϑ (j =, (7.8 j Ẇ =ṁ c p Wärmekapazitätsstromverhältnisse (Wasserwertverhältnisse: R = Ẇ Ẇ = R 0 R < R = Ẇ Ẇ = R 0 R < ( Wärmeübertrager-Hauptgleichung Der zwischen den Medien übertragene Wärmestrom Q folgt mit der mittleren Temperaturdifferenz aus der Wärmeübertrager-Hauptgleichung, wobei die Ermittlung der mittleren Temperaturdifferenz in einfacheren Fällen aus Gleichungen und ansonsten aus Diagrammen [3] erfolgen kann: Q=k A ϑ log =k A Θ (ϑ ϑ = Ẇ (ϑ ϑ = Ẇ (ϑ ϑ (7. k ist der über die gesamte Wärmeübertragerfläche gemittelte Wärmedurchgangskoeffizient. Das Produkt K := k A (7.3 wird als Übertragungsfähigkeit bezeichnet. Der Wärmedurchgangskoeffizient k kann damit als flächenbezogene (spezifische Übertragungsfähigkeit interpretiert werden Gleichstrom-Wärmeübertrager Beim Gleichstrom-Wärmeübertrager strömen beide Fluide in dieselbe Richtung und treten an derselben Stelle in den Wärmeübertrager ein (Temperaturen ϑ und ϑ in Bild 7.9. Die Temperaturdifferenz der beiden Fluide ist bei =0 bekannt. ϑ 0 =ϑ ϑ (7.4 Für die Temperaturdifferenz der beiden Medien gilt mit dem Umfang U in Abhängigkeit von der Lauflänge : [ ( ] ϑ(=(ϑ ϑ = ϑ 0 ep + k U (7.5 ṁ c p ṁ c p Zwischen den dargestellten dimensionslosen Kennzahlen gelten die Zusammenhänge: P P = NT U NT U = R =R (7.0 Θ= P NT U = P NT U (7. Im Allgemeinen werden bei Wärmeübertragern folgende vereinfachende Annahmen getroffen: Der Wärmeübertrager wird stationär betrieben. Er ist gegenüber der Umgebung adiabat. Kinetische und potentielle Energien werden vernachlässigt. Die Enthalpieänderung der Stoffströme resultiert nur aus dem übertragenen Wärmestrom. Wärmeleitung und Vermischung in Strömungsrichtung bleiben unberücksichtigt. Der Wärmedurchgangskoeffizient der Übertragungsfläche ist konstant. Tritt im Wärmeübertrager keine Phasenänderung auf, sind die spezifischen Wärmekapazitäten und die Wärmekapazitätsströme konstant. Bei Phasenänderung von Reinstoffen unter konstantem Druck bleibt deren Temperatur konstant, der zugehörige Wärmekapazitätsstrom wird unendlich.

11 0 7 Wärmeübertrager 0 k Q k m m. A=U d ( ( ( L =0 =L Bild 7.9: Fluidströme (oben und Temperaturverlauf (unten in einem Gleichstrom- Wärmeübertrager. 0 k Q k. A=U d m m ( ( ( L =0 =L Bild 7.0: Fluidströme (oben und Temperaturverlauf (unten in einem Gegenstrom- Wärmeübertrager. Der übertragene Wärmestrom Q folgt aus einer globalen Enthalpiebilanz an den Medien: Q = ṁ c p (ϑ ϑ = ṁ c p (ϑ ϑ (7.6 Für die dimensionslosen Kenngrößen eines Gleichstrom-Wärmeübertragers gilt: P j = ep [ NT U j ( + R j ] + R j (j =, (7.7 NT U j = ln [ P j ( + R j ] + R j (j =, (7.8 P + P Θ= ln [ (P + P ] (7.9 Die dimensionsbehafteten Temperaturdifferenzen betragen: ϑ 0 =ϑ ϑ ϑ L =ϑ ϑ (7.30 Die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz folgt aus Gl. (7.. Der Gleichstrom-Wärmeübertrager besitzt bezüglich der thermischen Leistung eine sehr ungünstige Stromführung. Bei gleichen Betriebscharakteristiken und gleichen Wärmekapazitätsströmen benötigt ein Gleichstrom-Wärmeübertrager gegenüber anderen Bauarten stets eine größere Übertragungsfähigkeit K = k A. Um beim Gleichstrom-Wärmeübertrager eine bestimmte Temperaturänderung P j zu realisieren, ist gemäß Gl. (7.8 ein positives Argument des Logarithmus erforderlich, was auf folgende Bedingung führt: P j < + R j (j =, (7.3 Selbst bei beliebig großer Übertragungsfähigkeit K sind größere dimensionslose Temperaturänderungen mit einem Gleichstrom-Wärmeübertrager nicht möglich. Beim Gegenstrom-Wärmeübertrager besteht diese Beschränkung grundsätzlich nicht. Hier sind prinzipiell beliebige dimensionslose Temperaturänderungen erreichbar. Damit sind beliebige Wärmeströme übertragbar, wenn die Übertragungsfähigkeit hinreichend groß bemessen wird Gegenstrom-Wärmeübertrager Die beiden Medien strömen nun gegenläufig. Die Eintrittsstelle von Fluid fällt mit der Austrittsstelle von Fluid zusammen (Temperaturen ϑ und ϑ in Bild 7.0. Gegenüber dem Gleichstrom- Wärmeübertrager sind die Temperaturdifferenzen ϑ 0 und ϑ L bei =0 und =L nun anders definiert (Bild 7.0: ϑ 0 =ϑ ϑ ϑ L =ϑ ϑ (7.3 Die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz folgt aus Gl. (7.3. Für die Temperaturdifferenz der beiden Medien gilt in Abhängigkeit der Lauflänge :