wobei L die Länge der Wärmeübertragung und U der Umfang des Rohres oder Kanals Temperaturverläufe bei einem elektrisch beheizten Rohr

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1 5 5 Wärmeübertrager Wärmeübertrager sind Apparate, in denen ein Fluid erwärmt oder abgekühlt wird Das Heiz- oder Kühlmedium ist in der Regel ein anderes Fluid Verdampft oder kondensiert ein Fluid dabei, ist der Wärmeübergangskoeffizient so hoch, dass die Wandtemperatur als annähernd konstant angesehen werden kann Dieser Fall wird gesondert behandelt Begonnen wir mit dem einfachen Fall, dass das Fluid elektrisch erwärmt wird Die emperaturunterschiede im Querschnitt des Fluids können vernachlässigt werden Dessen emperatur ändert sich somit nur mit der Strömungslänge 5 Konstante Wärmestromdichte Wird ein Fluid elektrische erwärmt, ist die übertragene Wärmestromdichte längs des Strömungsweges aufgeprägt und konstant Bild 5- zeigt schematisch ein elektrisch beheiztes Rohr mit zugehörigem emperaturverlauf Ist Q ɺ der zugeführte Wärmestrom, so beträgt die Wärmestromdichte qɺ, U A (5-) wobei die änge der Wärmeübertragung und U der Umfang des Rohres oder Kanals ist Bild 5-: emperaturverläufe bei einem elektrisch beheizten Rohr Für die Zunahme der emperatur gilt für ein infinitesimales ängenelement qɺ U dx Mɺ c d (5-) p Mit der Eintrittstemperatur x als Anfangsbedingung

2 5 ( x ) x folgt (5-3) x + Mɺ c p x (5-4) Die Fluidtempreatur steigt also linear an Die Austrittstemperatur x beträgt ( ) ɺ ɺ (5-5) Q Mcp x Für die Wandtemperatur gilt ( ) qɺ α (5-6) w Diese steigt also ebenfalls linear mit der änge an Je geringer der Wärmeübergangskoeffizient ist, desto größer ist folglich die sich einstellende emperaturdifferenz zwischen Wand und Fluid Der Wärmeübergangskoeffizient ist entsprechend Abschnitt 33 auf die mittlere logarithmische emperaturdifferenz des Kanals bezogen Diese setzt eine konstante Wandtemperatur voraus Da die Wandtemperatur bei konstanter Wärmestromdichte jedoch ansteigt, muss eine modifizierte Nusseltfunktion verwendet werden: Nu,45 ɺ w w ( q konst) Nu( konst) (5-7) 5 Konstante Wandtemperatur Bei einigen technischen Prozessen ist der Wärmeübergangskoeffizient oder der Wärmekapazitätsstrom des einen Fluides um ein Vielfaches höher als der des anderen Fluides Die Wandtemperatur des Rohres oder Kanals kann dann näherungsweise als konstant angesehen werden Dies ist beispielsweise der Fall, wenn ein Fluid durch kondensierenden Dampf erwärmt wird Die Wand hat dann näherungsweise die Kondensationstemperatur In Bild 5- ist der prinzipielle emperaturverlauf des Fluids dargestellt Für ein infinitesimales ängenelement dx gilt die Energiebilanz dhɺ d, (5-8) Die Enthalpieänderung ist gleich dem zu- oder abgeführten Wärmestrom Mit der Zustandsgleichung für die Enthalpie und den Newtonschen Ansatz für die Wärmeübertragung folgt ( ) Mc d α U dx ɺ, (5-9) w p

3 53 wobei U wiederum der Umfang des Kanals ist Bild 5-: Erwärmung eines strömenden Fluids in einem Kanal mit konstanter Wandtemperatur Mit der Eintrittsbedingung ( x ) x (5-) liefert die ösung der obigen Dgl w α A exp Mɺ cp x x w (5-) Die dimensionslose Größe im Exponenten wird als Stantonzahl bezeichnet α A St M ɺ c p (5-) Ihre physikalische Bedeutung ist konvektiv übertragener Wärmestrom St ~ Enthalpiestrom des Fluids Der insgesamt übertragene Wärmestrom beträgt ( ) ɺ (5-3) Q ɺ M c p x x Mit der Gleichung (5-) für α A m Mc ɺ p folgt

4 54 mit der logarithmischen emperaturdifferenz m ( ) ( ) x w x w gr kl, x w gr ln x w ln kl (5-4) wobei bedeuten gr die große und kl die kleine emperaturdifferenz entsprechend Bild 5-53 Wärmeübertragung Fluid Fluid In den meisten Fällen wird ein Fluid mit einem anderen Fluid erwärmt oder gekühlt Beispielsweise wird ein Prozessgas durch ein heißes Verbrennungsgas erwärmt oder mit Umgebungsluft gekühlt Die Apparate werden idealisiert als adiabat betrachtet Auf Grund von guten Isolierungen sind die Wärmeverluste relativ niedrig 53 emperaturverläufe Die beiden Fluide können innerhalb des Apparates auf verschiedenste Weise zueinander geführt werden In Bild 5-3 sind die beiden Grundfälle dargestellt, bei denen beide Fluide entweder parallel oder im gegeneinander durch den Apparat strömen Die emperaturverläufe hängen vom Produkt Mc ɺ p ab, was als Kapazitätsstrom bezeichnet wird Für die emperaturänderung des Fluids zwischen Ein- und Austritt gilt nämlich ( x x ) ( ) ɺ ɺ (5-5) ɺ ɺ M c, (5-6) Q M cp Q p x x wobei Q ɺ der übertragene Wärmestrom ist Je höher der Kapazitätsstrom ist, desto geringer ist die emperaturdifferenz zwischen Ein- und Austritt Im Bild 5- ist eine emperatur eingezeichnet Dieser emperatur würden sich beide Fluide bei einam unendlich lagen Wärmeübertrager annähern (Ausnahme M ɺ cp Mɺ c bei p Gegenstrom) Bei Gleichstrom wäre diese emperatur auch die Mischungstemperatur beider Fluide

5 55 Bild 5-3: Prinzipielle emperaturverläufe bei Gleich- und Gegenstrom Zur Berechnung der emperaturverläufe wird wieder von einer infinitesimalen Energiebilanz für die Strecke dx ausgegangen Der übertragene Wärmestrom bewirkt eine Enthalpieabnahme des Fluid d dhɺ (5-7) und eine Enthalpiezunahme des Fluid d dhɺ (5-8) Die Enthalpieströme sind definiert als dh M cp d (5-9) dh M cp d (5-) Für den Wärmestrom gilt entsprechend dem Wärmedurchgang A Q ɺ k ( ) dx d (5-)

6 56 Je höher die emperaturdifferenz an einem Ort x ist, desto höher ist folglich der übertragene Wärmestrom Je höher dieser wiederum ist, desto stärker muss die Änderung der Fluidtemperatur und damit der emperaturgradient sein Aus dieser Überlegung heraus lassen sich die emperaturverläufe für die verschiedenen Kapazitätsstromverhältnisse leicht nachvollziehen Somit ergeben sich aus den Bilanzen (5-7) und (5-8) die beiden gekoppelten Dgln ɺ d k A cp + ( ) dx ɺ d k A cp + ( ) dx M M (5-) (5-3) Bei Gleichstrom sind beide Massenströme positiv, bei Gegenstrom ist der x-achse entgegenströmende Massenstrom negativ Zur ösung der beiden Dgln werden jeweils eine emperatur als Randbedingung benötigt Bei Wärmeübertragern sind vier verschiedene Kombinationen dieser beiden emperaturen möglich, wie in Bild 5-4 veranschaulicht ist Die beiden rechten Fälle lassen sich jedoch in die beiden linken Fälle überführen, wenn die Koordinatenrichtung umgekehrt wird oder x durch x* x ersetzt wird Die ösungen für die beiden linken Fälle werden in dem folgenden Abschnitt vorgestellt Bild 5-4: Mögliche als Randbedingung vorgegebene emperaturen bei Wärmeübertragern Ist der Wärmeübergangskoeffizient ortsabhängig, z B falls sich der Wärmeübergangskoeffizient mit der emperatur stark verändert, müssen die beiden Dgln numerisch gelöst werden Dies ist beispielsweise der Fall, wenn sich bei Gasen die Dichte und damit die Geschwindigkeit oder bei Flüssigkeiten die Viskosität erheblich verändern und die Verwendung von Mittelwerten zu ungenau wird Bei konstantem k A lassen sich die beiden Dgln entkoppeln Hierbei muss zwischen gleichen Kapazitätsströmen bei Gegenstrom und ungleichen Wärmekapazitätsströmen unterschieden werden

7 57 53 Gleiche Kapazitätsströme (Gegenstrom) Bei Gegenstromwärmeübertragern mit betragsmäßig gleichen Kapazitätsströmen M ɺ c Mɺ ) geht man von den Dgln (5-) und (5-3) ( p cp d k A M ɺ cp + ( ) dx, d k A M ɺ cp + ( ), dx (5-a) (5-4) aus, addiert beide Gleichungen und erhält d d dx dx (5-5) Hieraus folgt + (5-6) C3 mit einer Konstanten C 3 Setzt man diese Gleichung in eine der obigen Dgln ein, so ergibt sich die allgemeine ösung k A + C3 x C4 Mɺ cp (5-7) und damit k A + C3 x C4 C3 Mɺ + cp (5-8) Die emperaturverläufe sind also linear und parallel Es gibt demnach keine Ausgleichstemperatur Die Konstanten C 3 und C 4 bestimmt man aus den Randbedingungen So erhält man x x St x, x St x + x x x (5-9) und x x x St x St +, mit der Stantonzahl x x x St x + St + (5-3)

8 58 k A St M ɺ c p (5-3) und der dimensionslosen Koordinate x X (5-3) 533 Ungleiche Kapazitätsstromverhältnisse Bei ungleichen Kapazitätsstromverhältnissen lassen sich die beiden Dgln unter Zuhilfenahme der emperatur entkoppeln Sowohl bei Gleich- als auch bei Gegenstrom gilt die Energiebilanz von einer beliebigen Position x bis zur Streck x [ ( x) ] Mɺ c [ ( x) ] Mɺ cp p (5-33) Ersetzt man in den obigen beiden Dgln die emperaturen bzw durch die Gleichung (5-33), so ergibt sich für die entkoppelten Dgln ( ) d dx k A Mɺ c + Mɺ + cp Mɺ c k A Mɺ c + Mɺ + cp Mɺ c ( ) p p ( ) d dx ( ) p p (5-34) (5-35) Jedes Fluid verhält sich also derart, als stehe es im Wärmeaustausch mit einer Wand der konstanten emperatur Diese emperatur erhält man aus der Energiebilanz entsprechend Gleichung (5-33) von x an Mɺ cp Mɺ c x p + Mɺ + Mɺ c c p p x (5-36) Die Gleichungen zur Berechnung der emperaturverläufe für die beiden Arten von Randbedingungen sind in der abelle 5- zusammengefasst Das Kapazitätsstromverhältnis wird, wie in der Praxis üblich, stets positiv angesetzt Die Gleichungen für Gegen- und Gleichstrom unterscheiden sich folglich nur durch das positive bzw negative Vorzeichen vor dem Kapazitätsstromverhältnis Ω

9 59 k A St M ɺ, c p x X, Mɺ Ω Mɺ c c p p (5-37) Gegenstrom ( x, x ) x exp[ ( Ω) St X], exp[ ( Ω) St X] Ω Ω x x x (5-38) (5-39) Gegenstrom ( x, x ) x exp[ ( Ω) St X], exp[ + ( Ω) St( X) ] exp St exp St [ ( Ω) ] [ ( Ω) ] Ω Ω x x x (5-4) (5-4) Gleichstrom ( x, x ) x exp[ ( + Ω) St X], exp[ ( + Ω) St X] + Ω + Ω x x x (5-4) (5-43) Gleichstrom ( x, x ) x exp[ ( + Ω) St X], exp[ + ( + Ω) St ( X) ] exp St exp St [ ( + Ω) ] [ ( + Ω) ] + Ω + Ω x x x (5-44) (5-45) abelle 5-: Zusammenfassung der Gleichungen für die emperaturverläufe bei Wärmeübertragern 54 Auslegung von Wärmeübertragern Bei der Auslegung von Wärmeübertragern ist in der Regel die zur Wärmeübertragung notwendige Fläche A und damit die Größe k A gesucht Gegeben sind in der Regel einerseits der Massenstrom sowie die Ein- und Austrittstemperaturen des einen Fluids und andererseits der Massenstrom und die Eintrittstemperatur des anderen Fluids Gesucht sind davon die Austrittstemperatur dieses Fluids, die Fläche und der übertragene Wärmestrom Für diesen gilt

10 5 A Q ɺ k ( ) dx (5-46) Mit den zuvor angegebenen emperaturverläufen erhält man Q ɺ k A (5-47) m mit der in Bild 5-5 zusammengefassten mittleren emperaturdifferenz für die verschiedenen Fälle Für den Wärmestrom gelten weiterhin die beiden Gleichungen ( ) ɺ ɺ (5-5) Q M cp x x und ( ) ɺ (5-6) Q ɺ M c p x x Bild 5-5: Mittlere emperaturdifferenzen Damit stehen drei Gleichungen zur Berechnung von drei Unbekannten zur Verfügung Dies können, wie eingangs erläutert, die Fläche, der Wärmestrom und eine Austrittstemperatur sein Es sind jedoch auch viele andere Auslegungsfälle denkbar Ist beispielsweise der Wärmestrom gegeben, so können die Fläche und zwei emperaturen berechnet werden Sind beispielsweise alle emperaturen gegeben, so erhält man aus den Gleichungen den Wärmestrom, die Fläche und einen Massenstrom

11 5 Um die Unterschiede der beiden Strömungsführungen von Gleich- und Gegenstrom beurteilen zu können, werden die übertragenen Wärmeströme miteinander verglichen Dazu werden die Eintrittstemperaturen der beiden Fluide, ihrer Kapazitätsströme und die Stantonzahlen jeweils als gleich angenommen Für beide Strömungsführungen wird der übertragene Wärmestrom jeweils aus der abelle 5- berechnet, wobei die für die logarithmische emperaturdifferenz benötigten Austrittstemperaturen aus den Gleichungen (5-6) und (5-7) mit dem Bild (5-5) ermittelt werden Man erhält dann für das Verhältnis der bei Gegenstrom und bei Gleichstrom übertragenen Wärmeströme Gegen Gleich e Ω e ( Ω ) St St ( Ω ) + Ω Ω St (5-48) Bild 5-6: Vergleich der bei Gegen- und bei Gleichstrom übertragenen Wärmeströme Diese Gleichung ist im Bild 5-6 grafisch dargestellt Man erkennt, dass bei Gegenstromführung stets ein höherer Wärmestrom übertragen wird als bei Gleichstromführung Bei sehr großen und bei sehr kleinen Kapazitätsstromverhältnissen werden die Unterschiede jedoch gering, da dann die emperaturänderung jeweils eines Fluids gegen null geht und sich somit die Verhältnisse bei konstanter Umgebungstemperatur nach Abschnitt 5 ergeben Vom energetischen Standpunkt aus ist also eine Gegenstromführung der Gleichstromführung immer vorzuziehen An die Bauarten von Wärmeübertragern können verschiedenste Anforderungen gestellt sein Stets sollen die Investitionskosten und die Betriebskosten gering sein Zur Minimierung der Investitionskosten müssen die Fläche und damit die Größe gering sein Dies erfordert hohe Wärmeübergangskoeffizienten Zur Minimierung der Betriebskosten muss der Druckverlust und damit die Gebläse- oder Pumpenleistung gering sein Dies erfordert niedrige Strömungsgeschwindigkeiten, was hohen Wärmeübergangskoeffizienten entgegensteht Somit muss stets ein wirtschaftliches Kostenoptimum gefunden werden Folglich gibt es je nach Anwendungsfall Bauarten mit verschiedensten Strömungsführungen, um hohe Wärmeüberganskoeffizienten und

12 5 geringe Druckverluste zu erhalten Darüber hinaus können bestimmte geometrische Besonderheiten vorgegeben sein, wie beispielsweise Zulauf und Ablauf nur an einer Seite möglich, begrenzter Platzbedarf (ängen- oder Höhenbegrenzung) In Bild 5-7 sind beispielhaft einige typische Bauformen dargestellt Zur Erhöhung der Fläche und des Wärmeüberganskoeffizienten wird ein Fluid oft auf mehrere kleine Rohre aufgeteilt Je kleiner der Durchmesser ist, desto höher ist entsprechend der Nusseltfunktion der Durchmesser Das andere Fluid muss dann die Rohre überströmen Für einen hohen Wärmeübergangskoeffizienten ist folglich wiederum eine kleine Überströmlänge notwendig Dazu müssen die Rohre quer und nicht längs überströmt werden Das äußere Fluid wird daher bei der Durchströmung des Apparates mehrfach umgelenkt Jede Umlenkung erhöht jedoch den Druckverlust Oftmals werden Rohre nur quer angeströmt Dies ist z B im Heizthermen der Fall, in den Wasser in Rohren von außen durch Verbrennungsgase erhitzt wird Hier strömen die beiden Fluide im Kreuzstrom Für die Berechnungsgleichungen (speziell mittlere emperaturdifferenz) wird auf den VDI-Wärmeatlas verwiesen Rohrbündelwärmeübertrager

13 53 Kreuzstrom Gleich-/Gegenstromwärmeübertrager Bild 5-7: Beispiele von typischen Wärmeübertrager-Bauarten

14 54 Beispiel 5-: Auslegung Rekuperatorbrenner Ein Industrieofen zur Erwärmung von Metallen wird mit Rekuperatorbrennern beheizt Hierbei wird das C heiße Abgas des Ofens zur Vorwärmung der Verbrennungsluft genutzt Diese kann aus Festigkeitsgründen des Materials bis maximal 6 C vorgewärmt werden Die uft tritt mit der Gebläsetemperatur von C ein Der Brenner muss eine eistung von kw besitzen Als Brennstoff dient Erdgas, das mit einer uftzahl von λ, verbrannt wird egen Sie den Wärmeübertrager aus Die Gasgeschwindigkeiten sollen aus Druckverlustgründen und Stabilitätsgründen der Verbrennung 5 m/s nicht überschreiten Gegebene Stoffwerte: Heizwert des Erdgases h u 47 kj / kgg Stöchiometrischer uftbedarf 7kg / kg a) egen Sie den Wärmeübertrager zunächst als einfaches Doppelmantelrohr aus Als erster Schritt werden die Massenströme und emperaturen ermittelt Für den Massenstrom des Brennstoff gilt M ɺ 3 Q ɺ / h kw / 47kJ / kg 4,3 kg / s B u Hieraus ergibt sich als uftstrom G Skizze 5: Rekuperatorbrenner Mɺ 3 λ Mɺ B, 7 4,3,8 kg und als Gasstrom Mɺ Mɺ + Mɺ,84 kg / s G B Für den übertragenen Wärmestrom gilt G / s

15 55 p ( ) M c ( ) Mɺ c ɺ aus ein G pg Gein Die mittlere spezifische Wärmekapazität der uft ( 6 C) beträgt gemäß abelle A- des Anhangs c p,9 kj / kg / K und die vom Erdgas (6 C) c pg, kj / kg /K kg kj Q ɺ,8,9 s kg K ( 6 ) K 5kW Gaus 5 G aus Gein 7 C Mɺ c,84, G pg Für die Wärmeübertragungsfläche gilt nach Gleichung (5-47) k A m Gaus ein Gein + aus ln Gaus Gein ein aus 5 W /K 7 k A ln 78 W /K Die Nusseltfunktion für den Wärmeübergang langer Rohre lautet Nu,8,4,35 Re Pr Zur Ermittlung der Reynoldszahl wird auf der uftseite von einer mittleren emperatur von 3 C ausgegangen und auf der Gasseite von 95 C Die emperaturabhängigkeit der Zähigkeit kann nach abelle A- durch einen Potenzansatz angenähert werden Die mittlere Geschwindigkeit hängt über die Dichte linear von der emperatur ab Damit folgt für die Reynoldszahlen w d ν 5 73 / 573,7 6 3,5 Re, 67 ( 573 / 73) w 358 ( dg d ) 5 3 /473 (,,7 ) 6, ν 3,5 ( 3 / 73) G ReG 67 G 6, wobei d G d der hydraulische Durchmesser des Ringspaltes ist Die Prandtlzahl bei uft ist stets,7 Die emperaturabhängigkeit des Wärmeleitkoeffizienten kann nach abelle A- wiederum durch einen Potenzansatz angenähert werden Damit erhält man für die Wärmeleitkoeffizienten ( 573 / 73),76,5,8,4 α,35 358,7,7 ( 3 / 73),5,8,4 αg,35 6,7,,7 56 W / m,76 6 W / m /K, /K

16 56 Damit ergibt sich als Wärmedurchgangskoeffizient, wobei der Wärmeleitwiderstand durch die Wand vernachlässigt werden darf ( / α + / α ) 9 W / m / K k / G Für die Rohrlänge ergibt sich damit schließlich π d k 78 W /K 78 m 9 π,7 b) Mit m wäre der Brenner viel zu lang und würde zu viel Platz einnehmen Daher müssen zur Erhöhung des Wärmeübergangs Rippen angebracht werden Wie in der Skizze angedeutet ist, sollen auf der Gasseite 3 Rippen mit cm änge und auf der uftseite 6 Rippen mit ebenfalls cm änge und 6 Rippen mit,5 cm änge angebracht werden Welche änge des Rekuperators ergibt sich damit? egen Sie dazu die Dicke der Rippen aus und beachten Sie die Änderung der Strömungsbedingungen Die Strömung zwischen den Rippen kann durch einen Rechteckkanal angenähert werden Nimmt man den Abstand zwischen den Rippen als s Z 4,5 mm an (was später auf Gültigkeit überprüft werden muss), so gilt nach Gleichung (3-89) als hydraulischer Durchmesser d h s 4,5 s + 4,5 + Z Z 7,3mm Dieser Durchmesser ist erheblich kleiner als bei dem unberippten Doppelmantelrohr, so dass sich die Wärmeübergangskoeffizienten erhöhen Gemäß der Nusseltfunktion geht der Durchmesser mit der Potenz, ein Damit ergeben sich als neue Wärmeübergangskoeffizienten α, ,, 88 W / m /K 5 α G 6 9 W / m / K 7, Wählt man einen Rippenwirkungsgrad von 8 %, so folgt aus Bild -7 für die Dicke der Rippe α λ s R

17 57 Hochhitzebeständige Stähle haben einen Wärmeleitkoeffizienten von etwa 7 W/m/K Damit ergibt sich für die Dicke s R α 88,,6mm,5mm λ 7 Es wird eine handelsübliche Dicke von,5 mm gewählt für alle Rippen Als nächster Schritt wird der Abstand der Rippen benötigt Der gesamte Umfang des inneren Rohres ist U π d π 7mm mm Der Umfang der Rippen ist U 3 s 3,5mm 8mm R R Daraus folgt für den Abstand s U UR 4,4mm 3 Z Die Verstärkung der übertragenen Wärmestromdichte gemäß Gleichung (-69) beträgt somit auf der Gasseite qɺ G 4,4,5 5 +,8 qɺ 4,4 +,5 4,4 +,5 9,5 5, Auf der uftseite haben die kürzeren Rippen gemäß Bild -7 nur einen Wirkungsgrad von 6 %, so dass sich als mittlerer Wirkungsgrad auf der uftseite 7 % ergibt Damit erhält man als Verstärkung qɺ 4,4,5 5 +,7 qɺ 4,4 +,5 4,4 +,5 88,5 4,5 Die gesamte Verstärkung beträgt etwa den Mittelwert von 4,75 Damit ergibt sich als neue änge m,5m 4,75 Diese änge ist immer noch relativ hoch Daher werden Rekuperatorbrenner zwecks kompakter Bauweise mit aufwändigeren Rippenformen versehen Auf Grund der Querschnittsverengung durch die Rippen müssen die Rohrdurchmesser erhöht werden Zusätzlich muss auch die Veränderung des Druckverlustes mit berücksichtigt werden Bei der Auslegung von Wärmeübertragern stehen mehr geometrische Größen und Freiheitsgrade zur Verfügung als Gleichungen Damit sind unendlich viele ösungen

18 58 möglich Die beste ösung ist die wirtschaftlichste oder die ösung, die der Kunde für die Beste hält Beispiel 5-: Gleich- und Gegenstromwärmübertrager In einer chemischen Anlage wird ein kontinuierlich betriebener Rührkesselreaktor über seine Wandungen mit hermalöl gekühlt (siehe Skizze) Dieses hermalöl wird aus einem Vorlagebehälter entnommen und anschließend wieder in diesen zurück gepumpt Dem Vorlagebehälter wird die anfallende Reaktionswärme über einen Wasserkreislauf und einen Verdampfungskühler entzogen Bisher wurde also die anfallende Reaktionswärme ungenutzt an die Atmosphäre abgegeben Es wird nun angedacht, das aus dem Reaktor austretende hermalöl zunächst durch einen Wärmeübertrager zu leiten und damit Wasser zur Erwärmung eines Eduktstroms eines zweiten Prozesses aufzuheizen Damit kann ein eil der im Rührkesselreaktor anfallenden Reaktionswärme für den zweiten Prozess nutzbar gemacht werden Folgende eistungsspezifikationen müssen bei der Auslegung des Wärmeübertragers zur Aufheizung des Wassers eingehalten werden: - Durch die Wandung des Rührkesselreaktors wird V ɺ 8 m 3 /h hermalöl geleitet, das beim Austritt aus dem Rührkesselreaktor eine emperatur von ϑ, 5 C besitzt - Für den zweiten Prozess muss ein Wasservolumenstrom von V ɺ m 3 /h von ϑ, C auf ϑ, 6 C erwärmt werden a) Wie groß muss die Fläche des Wärmeübertragers bei Gleich- und Gegenstromführung der beiden Flüssigkeiten hermalöl und Wasser sein? Rechnen Sie mit einem konstanten Wärmedurchgangskoeffizienten von k 5 W/m /K! b) Wie verändert sich die Wassertemperatur, wenn in dem unter a) ausgelegten Gegenstromwärmeübertrager der hermalöldurchsatz um 5 % gesteigert wird? Mit welcher emperatur fließt das hermalöl dann in den Vorlagebehälter? Wie verändert sich der übertragene Wärmestrom? c) Welche Austrittstemperaturen stellen sich ein, wenn nun neben dem hermalöldurchsatz auch der Wasserdurchsatz um 5 % gesteigert wird? Wie verändert sich der übertragene Wärmestrom im Vergleich zum ursprünglich geplanten Gegenstromwärmeübertrager? Stoffdaten: Dichte ρ [kg/m ] spezifische Wärmekapazität c [kj/kg/k] hermalöl 9,5 Wasser 4,

19 59 Speisewasser zur Erwärmung des Eduktstroms Prozess II Wärmeübertrager ϑ x ϑ x Wasser hermalöl ϑ Vorlage ϑ x x Eduktstrom Rührkessel reaktor Produktstrom Verdampfungskühler Skizze 5: Rührkesselreaktor mit Kühlung ϑ a) b) c) Gegenstrombetrieb hermalöl 4 Wasser,,4,6,8 x/ [-] Skizze 5: emperaturverlauf im Gegenstrombetrieb

20 5 Beispiel 5-3: Optimaler Rohrdurchmesser Ein Rohrbündel-Wärmeübertrager soll so ausgelegt werden, dass die benötigte Fläche zur Wärmeübertragung möglichst gering ist Wie hoch ist die Anzahl n der Rohre und welchen Durchmesser d müssen diese haben? Einfachheitshalber wird angenommen, dass ein Fluid mit Sattdampf erwärmt werden soll Die Wandtemperatur der Rohre kann dann gleich der (konstanten) Sattdampftemperatur gesetzt werden, da der Wärmeübergangskoeffizient der Kondensation sehr viel höher als der der Rohrströmung ist Gegeben soll sein wie üblich der zur übertragende Wärmestrom, der Massenstrom und die Eintrittstemperatur n des Fluids sowie die Stoffwerte Damit ist entsprechend der Gleichung (5-5) auch die Austrittstemperatur bekannt und nach Bild 5-5 die mittlere emperaturdifferenz Für die Fläche folgt aus Gleichung (5-47) A α m n π d, (I) wobei die änge der Rohre ist Der Wärmeübergangskoeffizient hängt vom Durchmesser ab Hier wird von schlanken Rohren und turbulenter Strömung ausgegangen, so dass die Nusseltfunktion durch,8 α d w d Nu k Re k λ v,8 (II) angenähert werden kann, wobei in der Konstanten k die Prandtlzahl enthalten ist Die für die Reynoldszahl benötigte Geschwindigkeit erhält man aus der Kontinuitätsgleichung M ɺ ρ π / 4 d w n (III) Diese Gleichung in Gleichung (II) eingesetzt liefert für den Wärmeübergangskoeffizienten,8 λ 4 Mɺ d α k i ~,8 d ρ n π d ν d (IV) Die Gleichung in Gleichung (I) eingesetzt ergibt die Geometriebedingung n, π ρ ν ɺ,8 d k π λ m 4 M,8 (V) Hieraus ist ersichtlich, dass die änge und die Anzahl der Rohre umso niedriger werden können, je kleiner der Durchmesser gewählt wird Allerdings steigen jedoch mit kleiner werdendem Durchmesser der Druckverlust und damit die Gebläseleistung an Diese kann berechnet werden mit

21 5 p el V ɺ p, (VI) η wobei η der Wirkungsgrad des Gebläses ist Für den Druckverlust gilt p ρ w c w, (VII) d wobei weiterhin von schlanken Rohren ausgegangen wird, so dass der Druckverlust durch Ein- und Austritt der Strömung vernachlässigt werden darf Geht man vereinfachend von einer hochturbulenten Strömung aus, so kann der Widerstandsbeiwert durch c k ν k Re w d w,, (VIII) angenähert werden Aus den drei obigen Gleichungen erhält man für die Gebläseleistung p k,8,,8 4 ν el M,8 4,8 ɺ (IX) π ρ η n d Hieraus ist ersichtlich, dass diese mit kleiner werdendem Durchmesser extrem stark zunimmt Ersetzt man in der obigen Gleichung die Rohrlänge durch Gleichung (V), so ergibt sich als Kriterium für die Auslegung n Mɺ k ν (X) η π ρ λ 4 d pel m k Hieraus erkennt man, dass je niedriger die elektrische Gebläseleistung und damit die Betriebskosten sein sollen, desto höher müssen die Anzahl und der Durchmesser der Rohre und damit die Investitionskosten sein Ersetzt man in Gleichung (I) für die Fläche A die Rohrlänge durch Gleichung (V) und die Rohranzahl durch Gleichung (X), so erhält man A ɺ k λ m p el η,4,4,, Q k ρ ν d Die Fläche wird demnach umso größer, je größer der Rohrdurchmesser und je kleiner die Gebläseleistung ist