Leseprobe. Rudi Marek, Klaus Nitsche. Praxis der Wärmeübertragung. Grundlagen - Anwendungen - Übungsaufgaben. ISBN (Buch):

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1 Leseprobe Rudi Marek, Klaus Nitsche Prais der Wärmeübertragung Grundlagen - Anwendungen - Übungsaufgaben ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Weitere Informationen oder Bestellungen unter sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München

2 Vorwort 5 Die Wärmeübertragung gehört traditionell zu den eher als schwierig empfundenen Fächern im Studium des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik. Zum einen verlangt sie wie die Thermodynamik eine analytische und abstrakte Denkweise in Systemen, Systemgrenzen, Systemvariablen und Bilanzen, die den Studierenden zunächst schwer fällt. Die einzelnen Mechanismen der Wärmeübertragung sind zudem meist miteinander gekoppelt und teilweise nichtlinear. Zum anderen setzt die Lösung wärmetechnischer Fragestellungen die sichere und zielgerichtete Anwendung mathematischer Methoden voraus. Auch der heute weit verbreitete Einsatz von Computern und Programmen zur numerischen Berechnung und Simulation von Wärmetransportvorgängen verlangt fundierte Grundkenntnisse und den Einsatz analytischer Methoden zur Verifikation und Plausibilitätsprüfung der Ergebnisse. Für ein vertieftes Verständnis der Wärmeübertragung ist ein intensives Studium der Grundlagen und der Wärmeübertragungsmechanismen unerlässlich. Wie gut diese theoretischen Grundkenntnisse wirklich verstanden wurden, zeigt die erfolgreiche und zielorientierte Lösung praktischer Anwendungen und Aufgabenstellungen. Auf diesem teilweise beschwerlichen Weg will das vorliegende Werk, das auf den umfangreichen Lehrerfahrungen der Autoren an der Technischen Hochschule Deggendorf (THD) basiert, die Studierenden unterstützen und leiten. Die enthaltenen Beispiele und Aufgaben können gezielt zur Prüfungsvorbereitung und zur Nachbereitung von Vorlesungsinhalten genutzt werden. Gleichzeitig liefern sie auch Anregungen, Informationen und wertvolle Hinweise für in der Prais tätige Ingenieure, Physiker und Techniker. Während sich die 3. Auflage primär auf Korrekturen beschränkte, beinhaltet die vorliegende 4. Auflage zahlreiche weitergehende Präzisierungen und Ergänzungen (z. B. Wärmeeindringkoeffizient, Kontakttemperatur, flächenbezogene Wärme beim halbunendlichen Körper, Anwendung des ideal gerührten Behälters, Heisler-Diagramme, dimensionsloser Rippenparameter, Paketanalogie, eindimensionale stationäre thermische Modelle etc.), umfassende Arbeitshilfen im Anhang sowie im Umfang erweiterte MS Ecel R - Codes und 0 zusätzliche Aufgaben zum Selbststudium mit Lösungen. Dem Carl Hanser Verlag, insbesondere Frau Ute Eckardt, danken wir für die gute und vertrauensvolle Zusammenarbeit. Unseren Lesern aus der Prais sowie von anderen Hochschulen und Ausbildungseinrichtungen danken wir für das positive Feedback und die zahlreichen Hinweise und Anregungen zu den früheren Auflagen. Die Studierenden der Technischen Hochschule Deggendorf lieferten mit ihren Ideen, Fragen und fruchtbaren Diskussionen in unseren Lehrveranstaltungen und den Kursforen erneut wertvolle Beiträge. Besonderer Dank gilt dabei Herrn cand. bac. Vincent Kramer für seine zahlreichen zielführenden Hinweise und scharfsinnigen Ergänzungen. Für die Umsetzung der Internetrepräsentanz bedanken wir uns bei Herrn B. Eng. Philipp Achatz. Last but not least gebührt unseren Familien und Frauen, ohne deren Verzicht auch die 4. Auflage nicht möglich gewesen wäre, großer Dank. Den Leserinnen und Lesern wünschen wir auch mit der 4. Auflage viele Erkenntnisgewinne und positive Aha-Erlebnisse. Für Fehlermeldungen, konstruktive Anregungen sowie Verbesserungsvorschläge sind wir stets dankbar.»longum iter est per praecepta, breve et effica per eempla.lang ist der Weg durch Lehren, kurz und erfolgreich durch Beispiele.«(L.A. Seneca, Epistulae morales ad Lucilium, 6) Deggendorf, August 05 Rudi Marek Klaus Nitsche

3 6 Inhaltsverzeichnis Grundlagen der Wärmeübertragung 5. Praktische Bedeutung Wärme, Wärmestrom, Wärmestromdichte Temperatur und Temperaturfelder Wärmetransportmechanismen Arten des Wärmetransports Wärmeleitung Konvektion Wärmestrahlung Fourier sche Wärmeleitungsgleichung Mehrdimensionale instationäre Wärmeleitung mit inneren Wärmequellen Koordinatenunabhängige Schreibweise Eindimensionale instationäre Wärmeleitung Stationäre Wärmeleitung mit Wärmequellen Stationäre Wärmeleitung ohne Wärmequellen Anfangs- und Randbedingungen Anfangsbedingungen Randbedingungen Koppelbedingungen Elektrische Analogie Thermische Widerstände und Leitwerte Spezifische thermische Widerstände und Leitwerte Wärmedurchgangskoeffizient und Wärmedurchgangswiderstand Reihenschaltung thermischer Widerstände Parallelschaltung thermischer Widerstände Thermischer Kontaktwiderstand /4-Regel Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Massen- und Energiebilanzen 49. Grundlagen System Kontinuitätsgleichung Erster Hauptsatz der Thermodynamik Hinweise zur Aufstellung von Energiebilanzen Innere Energie und Enthalpie Enthalpieströme Beispiele Aufgaben zum Selbststudium

4 Inhaltsverzeichnis 7 3 Stationäre Wärmeleitung Grundlagen Péclet-Gleichungen für mehrschichtige Bauteile Mehrschichtige ebene Platte Zylinderschalen Kugelschalen Oberflächen- und Schichttemperaturen Stationäre eindimensionale Wärmeleitung mit inneren Wärmequellen Ebene Platte mit Wärmequellen Vollzylinder und Zylinderschale mit Wärmequellen Vollkugel und Kugelschale mit Wärmequellen Stationäre zweidimensionale Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Rippen und Nadeln 0 4. Grundlagen Kenngrößen von Rippen Universelle Rippendifferenzialgleichung Rechteckrippen Zylindrische Nadeln Kreisringrippen Weitere Formen von Rippen und Nadeln Optimale Rippen Thermischer Widerstand von Rippen und Nadeln Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Instationäre Wärmeleitung Grundlagen Dimensionslose Kennzahlen Dimensionslose Grundgleichung Dimensionslose Anfangs- und Randbedingungen Modelle der instationären Wärmeleitung Ideal gerührter Behälter Halbunendlicher Körper Eakte Lösung für Platte, Zylinder und Kugel Näherungslösung für große Zeiten Kurzzeitnäherung des erweiterten ideal gerührten Behälters für RB 3. Art Produktansatz bei mehrdimensionaler Wärmeleitung Beispiele Aufgaben zum Selbststudium

5 8 Inhaltsverzeichnis 6 Konvektion Grundlagen Arten von Konvektion Ähnlichkeitstheorie und dimensionslose Kennzahlen Erzwungene Konvektion Längs angeströmte ebene Platte und Kreisscheibe Quer und schräg angeströmte Zylinder und Profile Quer angeströmte Profile Umströmte Kugel Einlaufproblematik bei der Rohr- und Kanalströmung Vollständig ausgebildete laminare Rohrströmung Thermischer Einlauf bei laminarer Rohrströmung Hydrodynamischer und thermischer Einlauf bei laminarer Rohrströmung Vollständig ausgebildete turbulente Rohrströmung Ausgebildete Rohrströmung im Übergangsbereich Nichtkreisförmige Querschnitte Fluidtemperaturänderung in Strömungsrichtung Freie Konvektion Vertikale ebene Platte Vertikaler Zylinder Geneigte ebene Platte Horizontale ebene Platte und Kreisscheibe Horizontaler Zylinder Kugel Freie Konvektion in geschlossenen Fluidschichten Horizontale ebene Schichten Geneigte ebene Schichten Vertikale ebene Schichten Freie Konvektion in offenen Fluidschichten Senkrechte Kanäle Geneigte Kanäle Parallele vertikale Platten Mischkonvektion an umströmten Körpern Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Wärmeübertrager 6 7. Grundlagen Begriffe und Nomenklatur Bauformen von Wärmeübertragern Einseitig konstante Fluidtemperatur Beidseitige Temperaturänderung Wärmeübertrager-Hauptgleichung Gleichstrom-Wärmeübertrager Gegenstrom-Wärmeübertrager Kreuzstrom-Wärmeübertrager Wärmewirkungsgrade von Wärmeübertragern Korrekturfaktor Wärmeübertrager mit Phasenübergang Ablagerungen (Fouling) Beispiele Aufgaben zum Selbststudium

6 Inhaltsverzeichnis 9 8 Wärmestrahlung Grundlagen Wellenlängenbereiche der Strahlung Modell des schwarzen Körpers Strahlungsfunktion des schwarzen Körpers Strahlungsintensität und emittierte Strahlung Auftreffende Strahlung Helligkeit Spektrale Kenngrößen Emissionsgrad Absorption, Refleion und Transmission Graue und selektive Strahler Kirchhoff sches Gesetz Helligkeit grauer opaker Oberflächen Oberflächenwiderstand für Strahlung Raumwiderstand zweier strahlender Oberflächen Helligkeitsverfahren für Wärmestrahlungsprobleme Wärmestrahlung zwischen zwei Oberflächen Wärmestrahlung zwischen drei Oberflächen Wärmeübergangskoeffizient für Strahlung Strahlungsaustauschkoeffizient Einstrahlzahlen Einstrahlzahlen zwischen zwei Flächen Eigeneinstrahlzahlen Einstrahlzahlen-Algebra Methode der gekreuzten Fäden Einstrahlzahlen einfacher Konfigurationen Strahlungsschutzschirme Beispiele Aufgaben zum Selbststudium Aufgaben aus verschiedenen Themengebieten 86 0 Anhang Gauß sche Fehlerfunktion Bessel-Funktionen Bessel-Funktionen. Art Modifizierte Bessel-Funktionen. und. Art Zahlentafeln der Bessel-Funktionen Näherungslösung der eindimensionalen instationären Wärmeleitung Stoffwerte Lösungen der Übungsaufgaben auf CD Literatur 33 Arbeitshilfen 33 Inde 337

7 6 7 Wärmeübertrager Bild 7.: Filigrane Lamellenstruktur eines Autokühlers. Bild 7.: Kompakt-Wärmeübertrager aus gepressten Blechplatten in montiertem Zustand mit Anschlüssen für Fluid und. Bild 7.3: Das Fischgrätmuster zweier aufeinander folgender Blechplatten verläuft senkrecht zueinander. 7. Grundlagen 7.. Begriffe und Nomenklatur Unter einem Wärmeübertrager wird im Folgenden ein kalorischer Apparat verstanden, bei dem Wärme zwischen zwei Arbeitsmedien, die nicht in unmittelbarem thermischen Kontakt miteinander stehen, sondern durch eine feste Wand getrennt sind (z. B. Autokühler), übertragen wird. Daneben eistieren auch Geräte mit direkter Wärmeübertragung (z. B. Nasskühltürme) auf die hier nicht eingegangen wird. Als Arbeitsfluide kommen meist Flüssigkeiten oder Gase zum Einsatz, in besonderen Fällen auch verdampfende Flüssigkeiten oder kondensierende Dämpfe. Der Wärmedurchgang durch die Trennwand wird durch den Wärmedurchgangskoeffizienten k zwischen den beiden Medien beschrieben (vgl. Abschnitt.7.3). Insbesondere bei Wärmeübertragern mit Luft als Arbeitsmedium kommen zur Steigerung des Wärmeübergangs an der Trennwand Rippen und Lamellen zum Einsatz (Bild 7.). Der Wärmewirkungsgrad eines Wärmeübertragers hängt maßgeblich von der Stromführung der beiden Medien ab. Wärme fließt dabei stets vom wärmeabgebenden Medium (in der Regel mit indiziert) zum wärmeaufnehmenden Medium (in der Regel mit indiziert; Merkregel: Fluid zwei = Wärmezufluss ). Der Eintritt in den Wärmeübertrager wird mit dem Inde (-Strich), der Austritt mit (-Strich) gekennzeichnet. ϑ kennzeichnet also die Eintrittstemperatur von Fluid, ϑ die Austrittstemperatur von Fluid. In der Literatur finden sich auch andere Bezeichnungen, was bei Verwendung der entsprechenden Beziehungen zu beachten ist. Grundsätzliche Aufgaben sind die Dimensionierung (Auslegung) und Nachrechnung von Wärmeübertragern. Bei der Auslegung gilt es, bei bekannten Stoffströmen und Temperaturen die Übertragungsfähigkeit zu ermitteln, während beim Nachrechnen die Austrittstemperaturen der Medien und der übertragene Wärmestrom bestimmt wird. In der Prais hat sich für Wärmeübertrager der thermodynamisch unzutreffende Begriff Wärmetauscher bzw. Wärmeaustauscher eingebürgert, der mit heat echanger (HX) auch international üblich ist. Ein Wärmeaustausch zwischen den beiden Arbeitsmedien liegt allerdings nicht vor. Vielmehr erfolgt nach dem. Hauptsatz der Thermodynamik ein in eine Richtung verlaufender Wärmetransport vom Medium höherer Temperatur zum Medium niedrigerer Temperatur. Der Begriff Wärmeaustausch würde dagegen implizieren, dass Wärme in beide Richtungen ausgetauscht wird. Bei gleichen Wärmekapazitätsströmen der beiden Medien wäre bei idealen Verhältnissen ein vollständiger Temperaturaustausch möglich, d. h. das wärmere Medium würde sich am Austritt auf die Eintrittstemperatur des kühleren Mediums abkühlen, während sich das wärmeaufnehmende Medium am Austritt auf die Eintrittstemperatur des wärmeabgebenden Mediums erwärmen würde. Im Folgenden wird daher nach einem Vorschlag von E. Schmidt der Begriff Wärmeübertrager verwendet.

8 7. Grundlagen Bauformen von Wärmeübertragern Im allgemeinen Fall ändern sich durch die thermische Koppelung der Medien beide Fluidtemperaturen mit zunehmender Lauflänge. Eine besonders einfache Bauart von Wärmeübertragern ergibt sich, wenn ein Medium eine konstante Temperatur aufweist. Dies kann infolge sehr großer Wärmekapazität (z. B. Wärmeabgabe eines durchströmten Rohres an die Umgebung) oder infolge Phasenübergang (z. B. Verdampfer in einem Kühlschrank) der Fall sein. Die Berechnung vereinfacht sich in diesen Fällen, da sich nur eine Fluidtemperatur ändert. In der Prais lassen sich folgende u. a. Bauformen unterscheiden: Rohrbündel-Wärmeübertrager (Bild 7.4) Platten-Wärmeübertrager (Bild 7.5) Spiral-Wärmeübertrager Rotations-Wärmeübertrager Schlangen-Wärmeübertrager Weiter ist zwischen Rekuperatoren und Regeneratoren zu unterscheiden. Rekuperatoren werden gleichzeitig von zwei durch eine feste Wand getrennten Fluiden stationär durchströmt, d. h. es erfolgt ein kontinuierlicher Wärmeaustausch. Demgegenüber enthalten Regeneratoren eine für Gase durchlässige Formmasse (z. B. Formsteine mit Kanälen, Schüttung aus Steinen oder Metall). Sie werden diskontinuierlich, d. h. im zeitlichen Wechsel, von den Gasen durchströmt. Zusätzlich ist beim Regenerator meist auch noch ein Stoffaustausch möglich (z. B. Feuchteaustausch in Klimaanlagen). kaltes Fluid (Eintritt) Rohrboden Innenrohr Mantel warmes Fluid (Austritt) Klöpperboden Umlenkbleche warmes Fluid (Eintritt) kaltes Fluid (Austritt) Bild 7.4: Rohrbündel-Wärmeübertrager im Schnitt. Bild 7.5: Platten-Wärmeübertrager Einseitig konstante Fluidtemperatur Betrachtet wird zunächst der Wärmedurchgang von einem innen strömenden Medium der Temperatur ϑ i durch eine feste Wand an ein äußeres Medium der konstanten Temperatur ϑ e = const (vgl. Bild 6.5), was sowohl bei siedenden Medien in Verdampfern als auch bei kondensierenden Fluiden in Kondensatoren erfüllt ist. In Platten-Wärmeübertragern liegen ebene (Bild 7.7), in Rohr-Wärmeübertragern gekrümmte Trennflächen (Bild 7.8) vor. Der Wärmedurchgang durch die jeweilige Trennfläche wird durch den Wärmedurchgangskoeffizienten k oder den längenbezogenen Wärmedurchgangskoeffizienten k beschrieben: k = k = + s α i λ + α e α i + r i λ ln ( re r i ) + r i r e α e und k =k B Platte (7.) und k =k π r i Rohr (7.) Aus der Energiebilanz am infinitesimalen Element quer zur Trennwand folgt nach Einführen der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Medien θ = ϑ i () ϑ e und Integration der zugehörigen Differenzialgleichung mit der Randbedingung am Fluideintritt ϑ i ( = 0) = ϑ i0 eine eponentielle Temperaturabnahme des strömenden Mediums: cm cm cm cm Bild 7.6: Innerer Aufbau eines Kompakt- Platten-Wärmeübertragers mit Anschlussstutzen für Fluid. warm s i + i e Qk e L Abkühlung kalt Bild 7.7: Wärmedurchgang durch ebene Wand an Fluid konstanter Temperatur. B

9 8 7 Wärmeübertrager i e innen: Abkühlung L Q k + i e e warm kalt Bild 7.8: Wärmedurchgang durch Rohrwand an Fluid konstanter Temperatur. Gl. (7.4) ist analog zu Gl. (6.56) aufgebaut, die den Temperaturabfall in einem Rohr mit konstanter Wandtemperatur beschreibt. Alternativ zu Gl. (7.6) kann der im infinitesimalen Element fließende Wärmestrom Q k über die Länge L integriert werden: L Q L Q= k d= k [ϑ ] i () ϑ e d (7.7) 0 0 ϑ log ist die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz analog Gl. (6.58). Sie ergibt sich durch Integration der örtlichen Temperaturdifferenz ϑ ϑ über die gesamte wärmeübertragende Fläche A des Wärmeübertragers: ϑ log = A (ϑ ϑ ) da (7.9) (A) Je nach Fließrichtung der Medien (Gleichstrom=GS, Gegenstrom=GG) resultieren unterschiedliche logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenzen: ϑ log,gs = ϑ ϑ ( ϑ ϑ ) ( ) (7.) ϑ ln ϑ ϑ ϑ ϑ log,gg = ϑ ϑ ( ϑ ϑ ) ( ) (7.3) ϑ ϑ ln ϑ ϑ Im Sonderfall gleich großer Wärmekapazitätsströme Ẇ = Ẇ tritt beim Gegenströmer eine konstante Temperaturdifferenz zwischen beiden Medien über den gesamten Wärmeübertrager auf: ϑ log,gg =ϑ ϑ =ϑ ϑ (7.4) s r i r a ( ) ( ) ) θ()= (ϑ i0 ϑ e ep k =θ 0 ep k ṁ c p ṁ c p Die Austrittstemperatur des Mediums bei =L beträgt: ( ) ) ϑ il =ϑ e + (ϑ i0 ϑ e ep k L ṁ c p (7.3) (7.4) Mit dem Wärmekapazitätsstrom des Fluids Ẇ = ṁ c p und der Anzahl der Übertragungseinheiten NT U = k L gilt auch: Ẇ ) ϑ il =ϑ e + (ϑ i0 ϑ e ep ( NT U) (7.5) Der insgesamt übertragene Wärmestrom Q beträgt: ) ) Q=ṁ c p (ϑ il ϑ i0 =ṁ c p (θ L θ Beidseitige Temperaturänderung (7.6) Verändern beide Fluide ihre Temperatur, so sind zur Beschreibung von Wärmeübertragern verschiedene dimensionslose Kennzahlen üblich: Dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz Θ (0 Θ ): Θ == ϑ log logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz = (7.8) ϑ ϑ Differenz der Eintrittstemperaturen Im Unterschied zur normierten mittleren Temperaturdifferenz aus Gl. (7.8) stellt ϑ log aus Gl. (7.9) eine dimensionsbehaftete mittlere Temperaturdifferenz dar, die in K angegeben wird. Weitere dimensionsbehaftete Temperaturdifferenzen können am Anfang des Wärmeübertragers bei = 0 (Inde 0) und am Ende des Wärmeübertragers =L (Inde L) gebildet werden: ϑ 0 =ϑ ( = 0) ϑ ( = 0) ϑ L =ϑ ( = L) ϑ ( = L) (7.0) Die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz ϑ log lässt sich damit wie folgt berechnen: ϑ log = ϑ 0 ϑ L ( ) (7.) ϑ0 ln ϑ L Bei Heizkörpern wird sie z. B. als Temperaturdifferenz ϑ verwendet: ϑ := ϑ Vorlauf ϑ [ Rücklauf ] ln (ϑ Vorlauf ϑ Luft )/(ϑ Rücklauf ϑ Luft ) Betriebscharakteristiken (dimensionslose Temperaturänderungen der Stoffströme und ): P = ϑ ϑ ϑ ϑ P = ϑ ϑ ϑ ϑ 0 P (7.5) 0 P

10 7. Grundlagen 9 Anzahl der Übertragungseinheiten der Stoffströme und (Übertragungszahl, Number of Transfer Units): NT U = k A Ẇ NT U = k A Ẇ (7.6) Die Wärmekapazitätsströme (Wasserwerte) Ẇ und Ẇ ergeben sich aus den jeweiligen Massenströmen und mittleren spezifischen Wärmekapazitäten: Ẇ =ṁ c p (7.7) Ẇ =ṁ c p Wärmekapazitätsstromverhältnisse (Wasserwertverhältnisse): R = Ẇ Ẇ = R 0 R < (7.9) R = Ẇ Ẇ = R 0 R < 7..5 Wärmeübertrager-Hauptgleichung Der zwischen den Medien übertragene Wärmestrom Q folgt mit der mittleren Temperaturdifferenz aus der Wärmeübertrager-Hauptgleichung, wobei die Ermittlung der mittleren Temperaturdifferenz in einfacheren Fällen aus Gleichungen und ansonsten aus Diagrammen [4] erfolgen kann: Q=k A ϑ log =k A Θ (ϑ ϑ ) = Ẇ (ϑ ϑ ) = Ẇ (ϑ ϑ ) (7.) k ist der über die gesamte Wärmeübertragerfläche gemittelte Wärmedurchgangskoeffizient. Das Produkt K := k A (7.3) wird als Übertragungsfähigkeit bezeichnet. Der Wärmedurchgangskoeffizient k kann damit als flächenbezogene (spezifische) Übertragungsfähigkeit interpretiert werden Gleichstrom-Wärmeübertrager Beim Gleichstrom-Wärmeübertrager strömen beide Fluide in dieselbe Richtung und treten an derselben Stelle in den Wärmeübertrager ein (Temperaturen ϑ und ϑ in Bild 7.9). Die Temperaturdifferenz der beiden Fluide ist bei =0 bekannt. ϑ 0 =ϑ ϑ (7.4) Für die Temperaturdifferenz der beiden Medien gilt mit dem Umfang U in Abhängigkeit von der Lauflänge : [ ( ) ] ϑ()=(ϑ ϑ ) = ϑ 0 ep + k U (7.5) ṁ c p ṁ c p In der Literatur wird die auf den kleineren Wärmekapazitätsstrom min ( Ẇ, Ẇ ) bezogene Anzahl der Übertragungseinheiten zum Teil als Übertragungsfähigkeit des Wärmeübertragers bezeichnet, was zu Verwechslungen mit der Übertragungsfähigkeit K := k A führen kann. Die mittlere spezifische Wärmekapazität c pj folgt aus: c pj = h j h j ϑ j ϑ j (j =,) (7.8) Zwischen den dargestellten dimensionslosen Kennzahlen gelten die Zusammenhänge: P P = NT U NT U = R =R (7.0) Θ= P NT U = P NT U (7.) Durch die Einführung der dimensionslosen Kennzahlen wird die Anzahl der Parameter soweit reduziert, dass sich das Betriebsverhalten in Diagrammen darstellen lässt (vgl. VDI- Wärmeatlas [4]). Im Allgemeinen werden bei Wärmeübertragern folgende vereinfachende Annahmen getroffen: Der Wärmeübertrager wird stationär betrieben. Er ist gegenüber der Umgebung adiabat. Kinetische und potentielle Energien werden vernachlässigt. Die Enthalpieänderung der Stoffströme resultiert nur aus dem übertragenen Wärmestrom. Wärmeleitung in den Fluiden und deren Vermischung in Strömungsrichtung bleiben unberücksichtigt. Der Wärmedurchgangskoeffizient der Übertragungsfläche ist konstant. Tritt im Wärmeübertrager keine Phasenänderung der Fluide auf, sind die spezifischen Wärmekapazitäten und die Wärmekapazitätsströme konstant. Bei Phasenänderung von Reinstoffen unter konstantem Druck bleibt deren Temperatur konstant, der zugehörige Wärmekapazitätsstrom wird unendlich.

11 0 7 Wärmeübertrager 0 k Q k m () m A=U. d () () L =0 =L Bild 7.9: Fluidströme (oben) und Temperaturverlauf (unten) in einem Gleichstrom- Wärmeübertrager. 0 Q k k A=U. d m () m () () L =0 =L Bild 7.0: Fluidströme (oben) und Temperaturverlauf (unten) in einem Gegenstrom- Wärmeübertrager. Der übertragene Wärmestrom Q folgt aus einer globalen Enthalpiebilanz an den Medien: Q=ṁ c p (ϑ ϑ ) = ṁ c p (ϑ ϑ ) =k A ϑlog,gs (7.6) Mit den dimensionslosen Kenngrößen aus Gl. (7.5) (7.9) gilt für den Gleichstrom-Wärmeübertrager in verschiedenen Umstellungen: NT U j = ln [ P j ( + R j )] + R j (j =,) (7.7) P j = ep [ NT U j ( + R j )] + R j (j =,) (7.8) P + P Θ= ln [ (P + P )] (7.9) Die dimensionsbehafteten Temperaturdifferenzen betragen: ϑ 0 =ϑ ϑ ϑ L =ϑ ϑ (7.30) Die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz folgt aus Gl. (7.). Der Gleichstrom-Wärmeübertrager besitzt bezüglich der thermischen Leistung eine sehr ungünstige Stromführung. Bei gleichen Betriebscharakteristiken und gleichen Wärmekapazitätsströmen benötigt ein Gleichstrom-Wärmeübertrager gegenüber anderen Bauarten stets eine größere Übertragungsfähigkeit K =k A. Um beim Gleichstrom-Wärmeübertrager eine bestimmte Temperaturänderung P j zu realisieren, ist gemäß Gl. (7.7) ein positives Argument des Logarithmus erforderlich, was auf folgende Bedingung führt: P j < + R j (j =,) (7.3) Selbst bei beliebig großer Übertragungsfähigkeit K sind größere dimensionslose Temperaturänderungen mit einem Gleichstrom-Wärmeübertrager nicht möglich. Beim Gegenstrom-Wärmeübertrager besteht diese Beschränkung grundsätzlich nicht. Hier sind prinzipiell beliebige dimensionslose Temperaturänderungen erreichbar. Damit sind beliebige Wärmeströme übertragbar, wenn die Übertragungsfähigkeit hinreichend groß bemessen wird Gegenstrom-Wärmeübertrager Die beiden Medien strömen nun gegenläufig. Die Eintrittsstelle von Fluid fällt mit der Austrittsstelle von Fluid zusammen (Temperaturen ϑ und ϑ in Bild 7.0). Gegenüber dem Gleichstrom- Wärmeübertrager sind die Temperaturdifferenzen ϑ 0 und ϑ L bei =0 und =L nun anders definiert (Bild 7.0): ϑ 0 =ϑ ϑ ϑ L =ϑ ϑ (7.3) Die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz folgt aus Gl. (7.3). Für die Temperaturdifferenz der beiden Medien gilt in Abhängigkeit der Lauflänge :

12 7. Grundlagen [ ( ϑ()=(ϑ ϑ ) = ϑ 0 ep ṁ c p ṁ c p ) ] k U (7.33) Gegenüber Gl. (7.5) tritt nun zwischen den Kehrwerten der Wärmekapazitätsströme ein Minuszeichen auf. Der übertragene Wärmestrom Q folgt ebenfalls aus einer globalen Enthalpiebilanz an den Medien, kann aber andererseits auch mithilfe der mittleren Temperaturdifferenz ϑ log,gg ermittelt werden. Q=ṁ c p (ϑ ϑ ) = ṁ c p (ϑ ϑ ) =k A ϑlog,gg (7.34) Hinsichtlich der dimensionslosen Kenngrößen ist der Fall ungleicher Wärmekapazitätsströme R vom Fall gleicher Wärmekapazitätsströme R = zu unterscheiden. Für R gilt: NT U j = R j ln ( ) Pj R j P j P j = ep [NT U j (R j )] R j ep [NT U j (R j )] (j =,) (7.35) (j =,) (7.36) Θ= P P [ ] (7.37) P ln P Für R = erübrigt sich die Indizierung: NT U = P (7.38) P P = NT U (7.39) + NT U Θ= P (7.40) Bei gegebenen NT U-Werten liefert der Gegenstrom-Wärmeübertrager gegenüber dem Gleichstrom-Wärmeübertrager die größeren Werte von P. Andererseits benötigt der Gegenströmer bei vorgegebener Betriebscharakteristik die kleinsten Übertragungszahlen Kreuzstrom-Wärmeübertrager In Kreuzstrom-Wärmeübertragern strömen die Fluide und senkrecht zueinander (z. B. Autokühler, Heizregister einer Klimaanlage). Hinsichtlich der Stromführung sind zu unterscheiden: reiner Kreuzstrom (beide Ströme unvermischt) einseitig quervermischter Kreuzstrom (Rohrstrom unvermischt) beidseits quervermischter Kreuzstrom (beide Ströme quervermischt) Für die Betriebscharakteristik des unvermischten Kreuzstroms wurde bereits 930 von W. Nußelt eine Lösung in Form von Potenzreihen mitgeteilt: {[ ] m P j = ep ( NT U j ) R j NT U j k! NT U j k [ m=0 ep ( R j NT U j ) m k=0 k=0 k! (R j NT U j ) k ]} (j =,) (7.4) Bild 7.: Kondensator eines Kühlkreislaufs mit dem Kältemittel R 34a ausgeführt als Kreuzstrom-Wärmeübertrager mit Ventilatoren zur Verstärkung der Wärmeabgabe an die Raumluft. Bild 7.: Kreuzstrom-Luft-Luft-Wärmeübertrager (Fa. Südluft) zur Wärmerückgewinnung in Großküchen. Die frische Zuluft wird im Rohrbündel mit ovalen Querschnitten, gefertigt aus dünnen Blechen, erwärmt und tritt unten aus der Sammelkammer aus. Im Kreuzstrom streicht die Abluft aus der Küche zwischen den Rohren hindurch. Große wärmeübertragende Flächen und geringe Wandstärken ermöglichen eine kompakte Bauweise.

13 7 Wärmeübertrager Fluid : unvermischt Fluid : unvermischt (a) Kompakt-Wärmeübertrager Fluid : unvermischt Fluid : quervermischt (b) Glattrohrbündel-Wärmeübertrager Fluid : quervermischt Fluid : quervermischt (c) Platten-Wärmeübertrager Bild 7.3: Beispiele für reinen Kreuzstrom (a), einseitig vermischten Kreuzstrom (b) und beidseitig vermischten Kreuzstrom (c). Der vielfach für den Austauschgrad ɛ synonym verwendete Begriff Wirkungsgrad erweckt den Eindruck einer umfassenden Kenngröße von Wärmeübertragern. Dies trifft aber tatsächlich nicht zu, da auch noch Strömungsverluste in Form eines Druckabfalls auftreten. Der Austauschgrad beschreibt lediglich die thermischen Verhältnisse, so dass Wärmewirkungsgrad oder thermischer Wirkungsgrad zutreffender ist. Gelegentlich wird auch vom Gütegrad des Wärmeübertragers gesprochen. Gl. (7.4) ist nicht eplizit nach der Anzahl der Übertragungseinheiten auflösbar, was die Berechnung erschwert. In der Prais wird vielfach folgende Näherungsgleichung für das Fluid j mit dem geringeren Wärmekapazitätsstrom verwendet, die nur für R j = eakt ist: { P j = ep [ NT U 0, j R j ( ep R j NT U 0,78 j ) ] } (j = für R ) (j = für R > ) (7.4) Für die Betriebscharakteristik des einseitig vermischten Kreuzstroms gilt, wobei der Inde den Fluidstrom im Rohr kennzeichnet: { [ ] } P = ep ep ( R NT U ) R P =R P (7.43) Für die Anzahl der Übertragungseinheiten erhält man: NT U = [ ] ln + R ln ( P ) R NT U =R NT U (7.44) Für den beidseitig quervermischten Kreuzstrom gilt: R j = P j ep( NT U j ) + ep( R j NT U j ) (j =,) (7.45) NT U j Auch Gl. (7.45) ist nicht eplizit nach NT U auflösbar Wärmewirkungsgrade von Wärmeübertragern Ein idealer Wärmeübertrager würde infinitesimale Temperaturunterschiede zwischen den beiden Fluiden aufweisen, so dass die Austrittstemperatur des wärmeaufnehmenden Fluids gleich der Eintrittstemperatur des wärmeabgebenden Fluids und umgekehrt wäre: ϑ =ϑ ϑ =ϑ (7.46) Mithilfe der Wärmeübertrager-Hauptgleichung (7.) folgt, dass dies nur für Ẇ = Ẇ möglich wäre. Für Ẇ < Ẇ erfährt das wärmeabgebende Fluid die größere Temperaturänderung und würde sich auf ϑ abkühlen. Für Ẇ > Ẇ ist die Temperaturänderung im wärmeaufnehmenden Fluid größer. Dieses würde sich am Austritt auf ϑ erwärmen. Damit ergibt sich der maimale Wärmestrom zu: ] Q ma =min [Ẇ, Ẇ (ϑ ϑ ) = Ẇ min (ϑ ϑ ) (7.47) Der Wärmewirkungsgrad (Austauschgrad) ɛ eines Wärmeübertragers ist das Verhältnis des übertragenen Wärmestroms Q zum maimal möglichen Wärmestrom Q ma. Mit den Gln. (7.5) und (7.) folgt: ɛ= Q = Ẇ ( ϑ ϑ ) Q ma Ẇ min (ϑ ϑ ) = Ẇ P = Ẇ ( ϑ ϑ ) Ẇ min Ẇ min (ϑ ϑ ) = Ẇ P (7.48) Ẇ min Ẇ Falls Ẇ < Ẇ, ist =. Anderenfalls ist Ẇ min man für den Austauschgrad: Ẇ Ẇ min =. Damit erhält

14 7. Grundlagen 3 { P für Ẇ < ɛ= Ẇ P für Ẇ > Ẇ (7.49) Der Wärmewirkungsgrad eines Wärmeübertragers ist damit gleich der dimensionslosen Temperaturänderung des Fluids mit dem geringeren Wärmekapazitätsstrom. Bild 7.4 zeigt die Austauschgrade für verschiedene Stromführungen in Abhängigkeit der normierten mittleren Temperaturdifferenz. Der Gegenstrom-Wärmeübertrager weist den höchsten Wärmewirkungsgrad auf, während der Gleichstrom- Wärmeübertrager den geringsten Austauschgrad besitzt. Sehr wirkungsvoll ist auch der reine Kreuzstrom-Wärmeübertrager Kreuzstrom einseitig quervermischt Gegenstrom 0.8 reiner Kreuzstrom Gleichstrom Kreuzstrom beidseitig quervermischt Bild 7.4: Vergleich des Wärmewirkungsgrads verschiedener Wärmeübertrager Korrekturfaktor Der Korrekturfaktor F ist die dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz Θ bezogen auf die dimensionslose mittlere Temperaturdifferenz Θ GG des Gegenstrom-Wärmeübertragers (Inde GG): F := Θ Θ GG = NT U j,gg NT U j j =, (7.50) Der Referenz-Gegenstrom-Wärmeübertrager erreicht dabei dieselben dimensionslosen Temperaturänderungen P und P wie die betrachtete Stromführung mit Θ und NT U j. Bei reinem Gegenstrom ist F =. Spang und Roetzel (995) geben für F bei symmetrischen Stromführungen ohne Längsvermischung folgende Näherungsgleichung an: F = ( ) C (7.5) + A R 0,5 B NT U B 7.. Wärmeübertrager mit Phasenübergang Ist ein Arbeitsmedium ein verdampfendes oder kondensierendes Fluid, wird die für den Phasenübergang benötigte bzw. dabei freigesetzte Verdampfungsenthalpie h fg vom anderen Medium geliefert bzw. aufgenommen. Dabei bleibt die Temperatur des verdampfenden bzw. kondensierenden Fluids konstant. Für einen Wärmeübertrager mit Verdampfung ist ϑ konstant (P = 0), was einem unendlichen Wärmekapazitätsstrom Ẇ bzw. R = 0 entspricht. Unabhängig von der Bauart bzw. der Stromführung gelten dann die Zusammenhänge: P = ep ( NT U ) (7.53) NT U = ln ( P ) (7.54) 7.. Ablagerungen (Fouling) Im Betrieb von Wärmeübertragern kommt es zu Ablagerungen (Fouling) an den Trennwänden (z. B. Oidschichten, Ablagerungen aus den Fluiden, Sand, Schlamm, Rost, Kalk, Algen, Muscheln etc.), die den Wärmedurchgang herabsetzen und so den Wirkungsgrad des Wärmeübertragers vermindern. Rechnerisch kann diesem Umstand durch den spezifischen Verschmutzungswiderstand R f Rechnung getragen werden (Tab. 7.), der den Wärmedurchgangskoeffizienten k verringert. Tabelle 7.: Konstanten von Gl. (7.5). Stromführung A B C reiner Gleichstrom 0,67, 0,534 reiner Kreuzstrom 0,433,60 0,67 beidseitig quervermischter Kreuzstrom 0,5,06 0,677 Für die dimensionslose Temperaturänderung des Stoffstroms gilt: P = ep [ F NT U (R ) ] R ep [ F NT U (R ) ] für R P = F NT U + F NT U = F NT U + F NT U für R = (7.5) Bild 7.5: Beispiele für Ablagerungen in einer Rohrmuffe. Tabelle 7.: Anhaltswerte von Verschmutzungswiderständen in Wärmeübertragern. Fluid Seewasser 0, 0,5 Flusswasser 0,,0 Abgase,8 Heizöl 0,9 Transformatorenöl 0, Speiseöl 0,5 Benzin 0, Kältemittel 0, Wasserdampf 0, 0, Druckluft 0,35 destilliertes Wasser 0, R f in 0 3 (m K)/W

15 4 7 Wärmeübertrager Bekannte Größen: Milch: Eintrittstemperatur: ϑ =38 C Austrittstemperatur: ϑ =8 C Massenstrom: ṁ = kg/s spezifische Wärmekapazität: c p =3, J/(kg K) Kühlwasser: Eintrittstemperatur: ϑ =4 C Massenstrom: ṁ =,5 kg/s spezifische Wärmekapazität: c p =4,8 0 3 J/(kg K) Gesuchte Größen: 7. Beispiele Beispiel 7.: Wärmestrom: Q Austrittstemperatur Kühlwasser: ϑ logarithmische gemittelte Temperaturdifferenz: ϑ log Übertragungsfähigkeit: K Lösung: Bei Vertauschen der Indizes ( für die Milch und für das Kühlwasser) würde sich ein negativer Wärmestrom Q und auch eine negative logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz ϑ log ergeben. Anschaulich stellt die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz ϑ log den mittleren Temperaturunterschied zwischen Milch und Kühlwasser dar. Der Zähler in Gl. (7.60) ist negativ, allerdings liefert auch der natürliche Logarithmus im Nenner einen negativen Wert, da er von einem Zahlenwert kleiner berechnet wird. Bauer Moritz Molke will Kuhmilch (c p =3,94 kj/(kg K), ṁ = kg/s) von der Temperatur ϑ = 38 C auf die Temperatur ϑ = 8 C abkühlen. In einem im Gegenstrom betriebenen Wärmeübertrager steht ihm dazu Kühlwasser (c p =4,8 kj/(kg K), ṁ =,5 kg/s) der Temperatur ϑ =4 C zur Verfügung. (a) Welcher Wärmestrom Q wird der Milch dabei entzogen? (b) Mit welcher Temperatur ϑ tritt das Kühlwasser aus dem Wärmeübertrager aus? (c) Wie groß ist die logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz ϑ log? (d) Welche Übertragungsfähigkeit K des Wärmeübertragers ist dazu erforderlich? (a) übertragener Wärmestrom: Der übertragene Wärmestrom lässt sich mithilfe der Wärmeübertrager-Hauptgleichung (7.) berechnen, da die Ein- und Austrittstemperatur der Milch (Fluid ) bekannt ist: Q=Ẇ (ϑ ϑ ) (7.55) Der Wärmekapazitätsstrom der Milch ergibt sich dazu aus Gl. (7.7): Ẇ =ṁ c p =3 940 W/K (7.56) Damit beträgt der übertragene Wärmestrom: Q=3 940 W/K (38 C 8 C)=8 00 W =8, kw (7.57) (b) Austrittstemperatur des Kühlwassers: Die Austrittstemperatur ϑ des Kühlwassers lässt sich ebenfalls über die Wärmeübertrager-Hauptgleichung (7.) in Verbindung mit dem Wärmekapazitätsstrom Ẇ des Kühlwassers berechnen: Ẇ =ṁ c p =6 70 W/K (7.58) Q=Ẇ (ϑ ϑ ) ϑ =ϑ + Q = W C+ Ẇ 6 70 W/K =,85 C (7.59) (c) logarithmisch gemittelte Temperaturdifferenz: Bei der Ermittlung der logarithmisch gemittelten ist zu beachten, dass es sich um einen Gegenstrom-Wärmeübertrager handelt. Daher ist Gl. (7.3) auszuwerten: ϑ log = ϑ ϑ ( ϑ ϑ ) ( ) = (8 C 4 C) (38 C,85 C) ( ) ϑ ϑ 8 C 4 C ln ln ϑ ϑ 38 C,85 C = 4 K ( 5,5 ) K =,5 K =8,37 K (7.60) 4 K ln (0,64) ln 5,5 K

16 7. Beispiele 5 (d) Übertragungsfähigkeit: Die erforderliche Übertragungsfähigkeit des Wärmeübertragers K kann ebenfalls über die Wärmeübertrager-Hauptgleichung (7.) in Verbindung mit der logarithmisch gemittelten Temperaturdifferenz ϑ log ermittelt werden: Q=k A ϑ log K =k A= Q 8 00 W = ϑ log 8,37 K =,4 04 W/K (7.6) Beispiel 7.: In den Kellerräumen von Anja Assel ist eine ungedämmte Wasserleitung DN 0 aus Stahl (Innendurchmesser D i =,6 mm, Wandstärke s =,65 mm, Wärmeleitfähigkeit λ = 50 W/(m K), Länge L = 8 m) horizontal verlegt. Das mit einer Geschwindigkeit von w = m/s fließende Kaltwasser (Dichte ϱ W = 999,9 kg/m 3, spezifische Wärmekapazität c pw = 4 96 J/(kg K), Wärmeleitfähigkeit λ W = 576, 0 3 W/(m K), kinematische Viskosität ν W =, m /s, P r W = 0,09) tritt mit einer Temperatur von ϑ 0 = 8 C in die Wasserleitung ein. Der Wärmeübergangskoeffizient an der Rohraußenseite zur konstanten Kellertemperatur ϑ =5 C beträgt α e =,5 W/(m K). (a) Wie groß ist der an der Rohrinnenseite auftretende Wärmeübergangskoeffizient α i? (b) Wie groß ist der auf die innere Rohroberfläche bezogene Wärmedurchgangskoeffizient k i? (c) Leiten Sie aus einer Energiebilanz am infinitesimalen Fluidelement eine Gleichung für den Temperaturverlauf des Wassers im Rohr her und ermitteln Sie die allgemeine Lösung ϑ W (). (d) Welche Temperatur ϑ L hat das Wasser am Ende des Rohrs angenommen? Lösung: (a) wasserseitiger Wärmeübergangskoeffizient: Es liegt erzwungene Konvektion im Rohr vor, so dass zunächst die Reynolds-Zahl und dann die Nußelt-Zahl zu ermitteln ist, um daraus den gesuchten Wärmeübergangskoeffizient zu berechnen. Gemäß Gl. (6.9) gilt: Zusammenfassung und Ausblick: Eine universelle Berechnung von Wärmeübertragern ist vorteilhaft mit der Wärmeübertrager-Hauptgleichung (7.) möglich. Bekannte Größen: Rohr: Innendurchmesser: D i =,6 0 3 m Wandstärke: s=, m Länge: L=8 m Wärmeleitfähigkeit: λ=50 W/(m K) Kaltwasser: Eintrittstemperatur: ϑ 0 =8 C Geschwindigkeit: w = m/s Dichte: ϱ W =999,9 kg/m 3 kinematische Viskosität: ν W =, m /s Wärmeleitfähigkeit: λ W =0,576 W/(m K) spezifische Wärmekapazität: c pw =4 96 J/(kg K) Prandtl-Zahl: P r W =0,09 Keller: Temperatur: ϑ =5 C Wärmeübergangskoeffizient: α e =,5W/(m K) Gesuchte Größen: Wärmeübergangskoeffizient innen: α i Wärmedurchgangskoeffizient: k i Temperaturverlauf im Rohr: ϑ W () Temperatur am Rohrende: ϑ L Re= w D i ν W =3, 0 4 > 30 turbulent (7.6) Für die turbulente Rohrströmung folgt aus den Gln. (6.40) und (6.43): ζ =(,8 log Re,64) =0,04 K L = + ( ) D 3 =,09 L ζ 8 Re P r W Nu=Nu 0 K L = ( ) K L =70,90 (7.63) ζ +,7 8 P r 3 W Auf die Korrektur der Temperaturabhängigkeit wird aufgrund der geringen Temperaturunterschiede verzichtet (K T =).

17 6 7 Wärmeübertrager Wegen α i α e ist zu erwarten, dass der wasserseitige Wärmeübergang nur wenig zum Wärmedurchgangswiderstand beiträgt. Auch der Wärmeleitwiderstand des Stahlrohrs leistet einen vergleichsweise geringen Beitrag zum thermischen Gesamtwiderstand. Der auf die äußere Rohroberfläche A e = D e π L = 0,68 m bezogene Wärmedurchgangskoeffizient k e liegt mit,46 W/(m K) nur wenig unter dem äußeren Wärmeübergangskoeffizienten, der den Wärmedurchgang dominiert. Aus Gl. (6.4) folgt der gesuchte Wärmeübergangskoeffizient zu: α i = Nu λ W =7 6,5 W/(m K) (7.64) D i (b) auf die Rohrinnenfläche bezogener Wärmedurchgangskoeffizient: Der auf die innere Rohroberfläche A i = D i π L = 0,54 m bezogene Wärmedurchgangskoeffizient k i kann mit r i = D i / = 0,8 mm aus Gl. (7.) berechnet werden: k i = α i + r i λ ln ( re (c) Temperaturverlauf im Rohr: r i ) + r =5,5 W/(m K) (7.65) i r e α e Zur Formulierung der Energiebilanz wird ein infinitesimales Fluidelement der Länge aus dem Rohr herausgeschnitten. Da die Wasser- Qk e temperatur nur von der Lauflänge, aber nicht vom Radius r abhängt, besitzt das Kontrollvolumen den Radius r i. Weiterhin wird eine stationäre Durchströmung des Rohres betrachtet, so dass keine Änderung r e r U t = 0 () i der inneren Energie U = 0 auftritt. In das Kontrollvolumen tritt an t H H + der Stelle der Enthalpiestrom Ḣ ein, während bei + der Enthalpiestrom Ḣ+ austritt. Am Umfang des Elements erfolgt aus der Umgebung die Wärmezufuhr Q k infolge des Wärmedurchgangs. Damit lässt sich die Energiebilanz wie folgt formulieren: + U Bild 7.6: Energiebilanz am infinitesimalen t =0=Ḣ Ḣ+ + Q k (7.66) Fluidelement. Die Längswärmeleitung im Fluid wird vernachlässigt, da gilt: Nu (Re P r W ) Ebenso bleibt die Längswärmeleitung in der Rohrwand außer Acht. Da die Kellertemperatur ϑ konstant ist, gilt: dθ() d = d [ ϑ ϑ() ] = dϑ() (7.7) d d Für den eintretenden Enthalpiestrom gilt: Ḣ =ṁ W c pw ϑ() (7.67) Der austretende Enthalpiestrom folgt mithilfe einer Taylor-Reihe, die nach dem zweiten Glied abgebrochen wird: Ḣ + Ḣ + dḣ d (7.68) Für die Wärmetransmission an der Umfangsfläche A U erhält man: [ ] [ ] Q k =k A U ϑ ϑ() =k π r i ϑ ϑ() (7.69) Einsetzen der Gln. (7.67) (7.69) in die Energiebilanz (7.66) liefert: dḣ [ ] d + k π r i ϑ ϑ() =0 d [ ] d (ṁ W c pw ϑ()) + k π r i ϑ ϑ() =0 ṁ W c pw dϑ() d + k π r i dϑ() d + k π r i ṁ W c pw [ ϑ ϑ() [ ] ϑ ϑ() =0 ] =0 (7.70) Gl. (7.70) ist eine inhomogene gewöhnliche Differenzialgleichung. Ordnung, die mithilfe der Übertemperatur θ() := ϑ ϑ() homogenisiert werden kann:

18 7. Beispiele 7 ( dθ() d ) + k π r i θ()=0 dθ() ṁ W c pw d + κ θ()=0 (7.7) Gl. (7.7) ist eine homogene Differenzialgleichung. Ordnung, die durch Trennung der Variablen oder Eponentialfunktionsansatz lösbar ist. Die spezifische Anzahl der Übertragungseinheiten κ beträgt: ṁ W =ϱ W w A=ϱ W w D i π =0,73 kg/s 4 κ= k π r i ṁ W c pw =3, m (7.73) Der Eponentialfunktionsansatz θ()=c ep(γ ) (7.74) führt mit dθ() d =γ C ep(γ ) (7.75) durch Einsetzen in Gl. (7.7) auf die charakteristische Gleichung: γ C ep(γ ) + κ C ep(γ )=0 (γ + κ) C ep(γ )=0 γ = κ (7.76) Damit lautet die allgemeine Lösung der Übertemperatur: θ()=c ep ( κ ) (7.77) Für den allgemeinen Temperaturverlauf im Wasserrohr erhält man damit: ϑ()=ϑ θ()=ϑ C ep ( κ ) (7.78) Die Konstante C lässt sich mithilfe der Randbedingung bei = 0, d. h. der bekannten Wassereintrittstemperatur ϑ 0, bestimmen: ϑ(=0)=ϑ 0 =ϑ C ep ( κ 0) C =ϑ ϑ 0 (7.79) Damit lautet der Temperaturverlauf in der Kaltwasserleitung: ϑ()=ϑ (ϑ ϑ 0 ) ep ( κ ) (7.80) (d) Temperatur am Rohrende: Die Wassertemperatur am Rohrende erhält man durch Einsetzen von =L in Gl. (7.80): ϑ L =ϑ(=l)=ϑ (ϑ ϑ 0 ) ep ( κ L) =5 C (5 C 8 C) ep ( 3, m 8 m ) =8,0 C (7.8) Beispiel 7.3: Leiten Sie anhand geeigneter Energiebilanzen an den Arbeitsfluiden und eine Gleichung für die Temperaturverläufe ϑ () und ϑ () in einem nach außen hin adiabaten, stationär durchströmten Gleichstrom- Wärmeübertrager der Übertragungsfähigkeit K = k A und der Länge L für den allgemeinen Fall unterschiedlicher Wärmekapazitätsströme Ẇ und Ẇ ab. Als Parameter sollen dabei nur die Ein- und Austrittstemperaturen der Fluide ϑ, ϑ und ϑ, ϑ sowie die jeweilige Anzahl der Übertragungseinheiten NT U und NT U auftreten. Die Definition der Untertemperatur θ := ϑ() ϑ hätte auf denselben Temperaturverlauf wie in Gl. (7.80) geführt. Das Produkt κ bezeichnet laut Abschnitt 6..5 die Anzahl der Übertragungseinheiten NT U. Gl. (7.80) stimmt damit mit Gl. (7.3) bzw. Gl. (7.4) überein. Im vorliegenden Fall der Wärmezufuhr von außen beschreibt Gl. (7.80) eine eponentielle Temperaturzunahme im Fluid. Zusammenfassung und Ausblick: Es tritt nur eine sehr schwache Temperaturerhöhung im Kaltwasser auf, so dass eine Wärmedämmung der Rohrleitung (aus diesem Grunde) nicht erforderlich ist. Die praktisch vernachlässigbare Temperaturzunahme im Fluid resultiert aus dem sehr großen Wärmekapazitätsstrom des Wassers Ẇ W =ṁ W c pw =3 063,08 W/K, was auch aus dem sehr niedrigen Wert der Anzahl der Übertragungseinheiten NT U = κ L =, anschaulich klar wird. Wasser ist daher sehr gut als Wärmeträgermedium geeignet.

19 Inde 337 3/4-Regel, 8, 333 A Abkühlungsgesetz Newton, 0, 7, 67, 8, 90, 0, 0, 9, 3, 0, 66, 8, 334 Ableitung, siehe Differenzial Absorption solare, 94, 48, 80, 87 Beispiel, 3 Abtriebsströmung, 9, 93 Adiabasie, 4 Advektion, 58, 60 Ähnlichkeitstheorie,, 86 Ähnlichkeitsvariable, 44 Analogie elektrische, 5, 4, 50, 7, 333 Beispiel, 9, 06, 6, 7, 50, 86 9, 94, 96, 30, , Wärme Wasser, 8 Anfangsbedingung, 4, 69, 85, 60 dimensionslose, 40, 47, 67, 7 normierte, siehe dimensionslose anisotrop, 0 Anströmlänge, 94 Anzahl der Übertragungseinheiten, 9, 8 äquidistant, 05 Arbeitshilfen, 33 Arena Beispiel, 308 Außenwand inhomogene Beispiel, 309, 30, 3 Auftriebsströmung, 9 Ausdehnungskoeffizient isobarer, 54, 86, 9 Austrittstemperatur, 03, 8, 7 Azimut, 3, 4 Azimutwinkel, 3, 4 B Bügeleisen Beispiel, 30 Badewanne Beispiel, 6 Balkonplatte Beispiel, 94 Bauteile mehrschichtige, 99 Behälter quaderförmiger Beispiel, 84 zylindrischer Beispiel, 84, 94 Behälter mit Verbindungsstab Beispiel, 35 Bernoulli-Gleichung, 5 Bessel sche Differenzialgleichung modifizierte, Bessel-Funktion, 48, 38 Ableitung, 68 modifizierte,, 38 Bierkrug Beispiel, 99 Bilanzgröße, 50 Biot-Zahl,, 38, 4, 44, 5, 54, 56, 86 inverse, 49 Brauchwassererwärmung Beispiel, 36, 37 Brennelement Beispiel, 95, 08 Brotbackautomat Beispiel, 30 C CPU Beispiel, 7, 8, 88, 3 D Dämmradius kritischer, 5, 8 Dämmstärke kritische, 4 Deckenheizung Beispiel, 83 Delta-Operator, 3 diatherm, 6 Differenzial gewöhnliches, 5 partielles, 5 substanzielles, 50 Differenzialgleichung. Ordnung, 68, 7, 59, 6, 9. Ordnung, 78, 79, 87, 89, 90, 07, 08, 7, 6, 3 charakteristische Gleichung, 6, 7 Eponentialfunktionsansatz, 68, 87, 9, 6, 3, 59, 7 harmonische, 3 homogene, 68, 85, 90, 07, 7, 3, 60, 7 Homogenisierung, 70, 74, 90, 8, 6 inhomogene, 68, 7, 78, 79, 85, 90, 98, 08, 6, 59, 6 modifizierte harmonische, 3 nichtlineare, 300, 33 Normierung, 8, 83, 5, 39, 58, 67 partikuläre Lösung, 69, 73, 85, 60 Störterm, 68, 69, 73, 85, 98, 60 Superposition der Lösungen, 69 Trennung der Variablen, 68, 69, 73, 59, 60 Differenzialgleichungssystem, 8, 96, 97, 33 Differenztemperatur, 85, 9 Summentemperatur, 87 Diffusionslänge, 45, 64 Dimensionsanalyse, 4, 68, 84 Diskretisierung, 04 Dissipation, 5 Beispiel, 98, 7, 8, 88 Divergenz, 37, 49 Beispiel, 47 Doppelrohr-Wärmeübertrager Beispiel, 3, 34 Druckverlust, 5 Durchlauferhitzer Beispiel, 44 Durchmesser hydraulischer, 9, 07 E Effizienz thermische, 9, 8 Einfachverglasung Beispiel, 9, 45 Einlauf, 88 hydrodynamischer, 89, 04 thermischer, 89, 04 Einzelnadel, 9 Eis Beispiel, 47, 48, 86, 9 Eisblumen Beispiel, 30 Eishockey-Stadion Beispiel, 85 Emission,, 39, 4 Energie Gesamt-, 5 innere, 57, 59 kinetische, 5 mechanische, 5 potenzielle, 5 Energiebilanz differenzielle, 49, 54, 57, 33 Beispiel, 58, 77, 94, 95, 98, 3, 37, 6, 7, 98, 305, 33, 36 gekoppelte Systeme Beispiel, 8, 88, 96, 97, 7 geschlossenes System, 54 Beispiel, 67, 75, 94, 0, 66 globale, 54, 57, 33 Beispiel, 75, 9, 98, 0, 04, 8, 0, 86, 87, 90, 9, 93, 97 30, 307, 30, 36 Hinweise, 33 innere Wärmequellen

20 338 Inde Beispiel, 75, 88, 95, 30 instationäre, 5 Beispiel, 67, 7, 94, 95, 98, 86, 90, 9, 93, 97, 99 30, 307, 30 integrale, 54 Kontrollvolumen, Kreisringelement, 98 Kugelschale, 98 offenes System, 5 Beispiel, 7, 94, 7 Rippe,, 36 Rohrleitung, Skizze, 67, 7, 8 stationäre, 54 Beispiel, 75, 88, 90, 95, 0, 66, 68, 87, 93, 98, 30, 305, 3, 33 Teilsysteme, 8 Volumenelement, 57 Vorgehen beim Aufstellen, 58 Wortform, 57 Energieeinsparverordnung Beispiel, 3, 33 Energiestrom diffusiver, 60 massegebundener, 5 Entdimensionierung, 8, 83, 58, 67, 69, 7, 86 Entengrill Beispiel, 98 Enthalpie, 53, 59 Enthalpiestrom, 53, Erhaltungsgröße, 9 error function, siehe Fehlerfunktion Erwärmung eines Metallstabs Beispiel, 37 erweiterter ideal gerührter Behälter, 4, 5 Beispiel, 65 Temperaturverteilung, 54 Erzwungene Konvektion durchströmtes Kreisrohr, 5 Kreisscheibe, 94 längs angeströmte, 87 Kugel umströmte, 88 Platte längs angeströmte, 87 Profile quer angeströmte, 87, 88 schräg angeströmte, 87 Rohr- und Kanalströmung, 88 Zylinder quer angeströmter, 87 schräg angeströmter, 87 Euler-Cauchy-Verfahren, 33 Eponentialfunktion, 70 Etremwertsuche, 9, 5, 305 F Falschfarben, 05 Fehlerfunktion, 45, 74, 37 komplementäre, 45, 6, 74, 37 Feld skalares, 7 Fernwärmeleitungen Beispiel, 8 Finite Differenzen, 04, 4 Finite Elemente, 04, 4 Fischteich Beispiel, 94 Fipunktiteration, 84 Fluid dichtebeständiges, 50 inkompressibles, 50 Temperaturverlauf, 9, 7, 6, 98, 305 Fluidtemperierung Beispiel, 97 Flukondensator Beispiel, 30, 307 Folienheizung Beispiel, 9 Formfaktor, 0 Wärmeleitung Beispiel,, 8 dimensionsloser, 03 Fouling, 3 Fourier scher Wärmeleitungsansatz, 9, 34, 77, 88, 90, 9, 0, 0, 3, 57, 68, 334 Fourier-Reihe, 4, 48, 67 Randbedingung dritter Art, 48 erster Art, 48 Fourier-Zahl, 38, 4, 44, 54, 55, 64, 69, 70, 7, 73, 75, 86 Freie Konvektion, 9 ebene Platte geneigte, 93 horizontale, 94 vertikale, 93 Fluidschicht geneigte, 96 geschlossene, 95 horizontale, 95 offene, 97 vertikale, 96, 0 Kanal geneigter, 98 senkrechter, 97 Kreisscheibe horizontale, 94 Kugel, 94 parallele vertikale Platten, 99 Platte horizontale, 09 vertikale, 08 Zylinder horizontaler, 94, vertikaler, 93 Frequenz, 38 Fußbodenheizung Beispiel, 77, 84 G Gartenmauer Beispiel, 87 Gas ideales, 54, 55, 59 Gauß sche Fehlerfunktion, siehe Fehlerfunktion Gauß scher Algorithmus, 79 Gebäudeaußenwand Beispiel, 7, 8, 305, 309, 30, 3 Geothermal-Wärmeübertrager Beispiel, 3 Gesamtwärmeübergangskoeffizient,, 54, 33 Geschwindigkeitsenergie, 5 Geschwindigkeitsfeld stationäres, 47 Getränkekühlung Beispiel, 5, 97, 307 Glühlampe Beispiel, 300 Glühweinabkühlung Beispiel, 93, 30 Glasscheibe vor Kaminfeuer Beispiel, 4 Gleichgewicht thermisches, 7 Gleichungssystem lineares, 7, 79 nichtlineares, 69 Graetz-Zahl,, 86 Grashof-Zahl,, 86 Grenzschicht, 88, 9, 93, 00 laminare, 87 turbulente, 87 Griff Beispiel, 36 H Hagen-Poiseuille sches Gesetz, 80 halbunendlicher Körper, 4, 44 beidseitig, 46, 7, 74, 78, 79 Beispiel, 6, 64, 70, 7, 78 8 Koordinatenrichtung, 44, 64 Oberflächentemperatur, 6, 64 Orts-Zeit-Koordinate, 44 Randbedingung dritter Art, 45 erster Art, 45 zweiter Art, 45, 6 Temperaturverlauf dimensionsloser, 45 Halbwertszeit, 43 Hallenheizung Beispiel, 84, 303 Handwärmer Beispiel, 36 Hauptsatz erster, 50, 53 nullter, 6, 7