Hauptprüfung Abiturprüfung 2016 (ohne CAS) Baden-Württemberg

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1 Baden-Württemberg: Abitur 6 Stochastik Hauptprüfung Abiturprüfung 6 (ohne CAS) Baden-Württemberg Stochastik Aufgabe Hilfsmittel: GTR, Formelsammlung berufliche Gymnasien (AG, BTG, EG, SG, TG, WG) Alexander Schwarz Mai 6

2 Baden-Württemberg: Abitur 6 Stochastik An den Kundenschalter einer Elektronik- Fachmarktkette kommen Kunden, die Probleme mit ihrem Smartphone haben. Die Kundenberater am Schalter wissen aufgrund ihrer Erfahrung, dass diese Reklamationen auf folgenden, typischen Problemen mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten beruhen: Problem Bedienungsfehler Defekter Akku Betriebssystemfehler Sonstiger Fehler Wahrscheinlichkeit % % % 4% Von diesen vier Problemen tritt pro Reklamation genau eines auf. Die Kundenberater können nur dann vor Ort helfen, falls es sich um einen Bedienungsfehler handelt oder wenn der Akku defekt ist. In allen anderen Fällen muss das Smartphone zur Reparatur geschickt werden... An einem Morgen waren schon vier Kunden mit Smartphone-Reklamationen am Kundenschalter. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: A: Die Kundenberater konnten allen vier Kunden vor Ort helfen B: Ein Bedienungsfehler lag genau an einem Smartphone vor. C: Bei mindestens einem Smartphone lag ein Betriebssystemfehler vor. (6 Punkte).. Formulieren Sie für die Vorgänge am Kundenschalter eine mathematische Fragestellung, die n mit Hilfe der Ungleichung,9 >,5 beantwortet werden kann. ( Punkte).. Einem Kunden mit einem Smartphone- Problem konnten die Kundenberater vor Ort helfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Bedienungsfehler vor? ( Punkte). An den Kundenschalter kommen auch Kunden, die Probleme mit ihrem Tablet haben. % dieser Tabletts haben einen Betriebssystemfehler. Unabhängig davon können für diese auch Hardwarefehler auftreten. Kundenberater Niko stellt fest, dass 4% der problembehafteten Tablets mindestens einen dieser beiden Fehler haben. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zum Kundenschalter gebrachter Tablett einen Hardwarefehler hat. (4 Punkte)

3 Baden-Württemberg: Abitur 6 Analysis Die Funktion g hat die Gleichung Das Schaubild von g ist K. 5 g(x) x x = + mit x... Untersuchen Sie K auf Symmetrie. Berechnen Sie die exakten Koordinaten der Extrempunkte von K. Zeichnen Sie K. (8 Punkte).. Die beiden Wendetangenten begrenzen mit K eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche mit einer Stammfunktion. (7 Punkte).. Die Punkte A(-u/), B(u/), C(u / g(u)) und D(-u/g(-u)) sind für jeden Wert von u mit, u,9 die Eckpunkte eines Rechtecks R. Bestimmen Sie den Wert von u, sodass der Flächeninhalt von R maximal wird. (6 Punkte)..4 Betrachten Sie nun die Funktion w mit w( x) = 4x + 4 für x. Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der Schaubilder von g und w. Das Flächenstück, das von den beiden Saubildern eingeschlossen wird, rotiert um die x-achse. Bestimmen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers. (6 Punkte). Für jedes t > ist eine Funktion t Das Schaubild von f t ist C t. f gegeben durch ( ) π ft x = sin x+ t; x. t.. Bestimmen Sie die Periode vom f. Zeichnen Sie C für x 6. (5 Punkte)

4 Baden-Württemberg: Abitur 6 Analysis C t angelegt. Bestimmen Sie t, sodass diese Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung y = Im Kurvenpunkt W( t t ) wird die Tangente an.. x ist. (4 Punkte) Für welche Werte von t besitzen die Schaubilder der Stammfunktion von f t Extrempunkte? Begründen Sie Ihre Entscheidung. ( Punkte). Die folgende Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion h. Überprüfen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie. () Die erste Ableitung von h nimmt für < x < nur positive Werte an. () ( ) < h x dx < 6 () Die zweite Ableitung von h wechselt im Bereich < < x das Vorzeichen von plus nach minus. (6 Punkte)

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7 Baden-Württemberg: Abitur 6 Anwendungsorientiert Im Einkommensteuerbescheid wird unter anderem der Durchschnittssteuersatz angegeben. Eine Geldeinheit (GE) entspricht im Folgenden.. Ein Vorschlag für den Verlauf des Durchschnittssteuersatzes wird durch die folgende Tabelle beschrieben. In dieser befinden sich einige berechnete Durchschnittssteuersätze (in Prozent) für unterschiedliche Jahreseinkommen. Jahreseinkommen in GE Durchschnittssteuersatz in %, 5, 7,8 4,5 6,67, Modellieren Sie die obigen Daten durch eine Polynomfunktion. Grades. Berechnen Sie damit das Jahreseinkommen für den Durchschnittssteuersatz 8%. Ist Ihr Modell für eine Steuererhebung geeignet? Begründen Sie. (5 Punkte). Das Schaubild zeigt den Vorschlag für den Grenzsteuersatz, aus dem sich der Durchschnittssteuersatz exakt ergibt. Beispiel: Bei einem Jahreseinkommen von 5 (5 GE) sind die ersten ( GE) steuerfrei. Die restlichen 5 (5 GE) werden zwischen % und % besteuert, also im Mittel mit 5%. Die Steuer beträgt demnach 75, und der Durchschnittssteuersatz ist 75 geteilt durch 5, also 5%. Im Folgenden sollen die Informationen für Einkommen bis zu 85 GE aus dem Schaubild benutzt werden... Zeigen Sie, dass bei einem Jahreseinkommen von 4 Steuern in Höhe von 8 5 anfallen. Bestimmen Sie den zugehörigen Durchschnittssteuersatz. ( Punkte).. Kann der Durchschnittssteuersatz für ein Einkommen 4% sein. Begründen Sie. ( Punkte)

8 Baden-Württemberg: Abitur 6 Anwendungsorientiert Für 6 < x < 85 kann der Durchschnittssteuersatz S (in %) in Abhängigkeit des Jahreseinkommens x (in GE) folgendermaßen ermittelt werden: ( ) S x ( ) x 6 = x Berechnen Sie, für welches Einkommen der Durchschnittssteuersatz S 8% ist. Erläutern Sie mit Hilfe des obigen Schaubilds, wie sich der Term von S ergibt. (5 Punkte)

9 Baden-Württemberg: Abitur 6 lineare Optimierung Eine Fahrradmanufaktur stellt zwei Typen F und F von Fahrrädern aus Spezialstahl her. Für F werden kg Spezialstahl je Stück, für F kg je Stück benötigt. Monatlich können höchstens Stück von F und 6 Stück von F produziert werden. Der Stückpreis beträgt 9 bei F und 6 bei F.. Aus absatztechnischen Gründen darf die Stückzahl von F 4 % der Stückzahl von F nicht überschreiten. Der Zulieferer für Spezialstahl kann pro Monat bis zu 8 kg liefern. Ermitteln Sie graphisch die Stückzahlen von F und F, für die der Umsatz maximal wird. Geben Sie das Umsatzmaximum an. (7 Punkte). Die Manufaktur hat einen weiteren Zulieferer für Stahl gefunden und will ein drittes Fahrrad anbieten, für das 5 kg Stahl je Stück benötigt werden. Mit Hilfe des Simplexverfahrens möchte das Unternehmen die für den Umsatz optimalen Produktionszahlen ermitteln. Die folgende Tabelle zeigt das Anfangstableau für das Rechenverfahren. x y z t u v w b i U x ist die Anzahl der Fahrräder F, y die Anzahl der Fahrräder F und z die Anzahl der Fahrräder F. Die Schlupfvariablen heißen t, u, v und w... Beschreiben Sie die Nebenbedingungen, welche bei der Produktion der drei Fahrradtypen F, F und F jeden Monat eingehalten werden müssen. Interpretieren Sie die letzte Zeile dieses Tableaus. Ermitteln Sie das nächste Tableau mit Hilfe des Simplexverfahrens. (5 Punkte)

10 Baden-Württemberg: Abitur 6 lineare Optimierung Bei der Berechnung des maximalen Umsatzes erhält man folgendes Tableau: x y z t u v w b i, -,,5 -,5 -,, U - a Woran erkennt man, dass es sich hier um ein mögliches Endtableau handelt? Geben Sie die Stückzahlen für F, F und F an, die zu einem maximalen Umsatz führen. Wie groß ist dieser Umsatz? ( Punkte)

11 Baden-Württemberg: Abitur 6 Vektorgeometrie Ein Maibaum auf einem ebenen Dorfplatz soll mit drei Seilen in den Punkten A, B und C am Boden gesichert werden. Die Seile werden außerdem in einem Punkt S h ( ) in der Höhe h über dem Dorfplatz an dem Baum befestigt. Der Maibaum steht senkrecht zum Dorfplatz. In einem passenden Koordinatensystem ( Einheit= Meter) steht der Maibaum im Ursprung B. O und es sind A ( ) und ( ) Skizze Maibaum:. S soll nun in m Höhe liegen. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, die das Dreieck BSA enthält. An dem Seil AS werden farbige Bändchen befestigt. Jeweils zwei benachbarte Bändchen sind an den Stellen angebracht, die einen Abstand von cm haben. Wie viele Bändchen können maximal angebracht werden? (5 Punkte). In welcher Höhe h müssen die Seile AS und BS am Baum angebracht werden, damit sie in S einen rechten Winkel einschließen? (4 Punkte). Zeigen Sie, dass jeder Punkt der Geraden m mit x = k für k zu A und B den gleichen Abstand hat. Sei h=. Bestimme die Koordinaten möglicher Punkte C am Boden, sodass C von A und B jeweils den Gleichen Abstand hat und alle drei Seile AS, BS und CS die gleiche Länge haben. Für welchen dieser Punkte C liegt O im inneren des Dreiecks ABC? (6 Punkte)

12 Baden-Württemberg: Abitur 6 wirtschaftl. Anw. Die Firma "Gutsleback" stellt verschiedene Plätzchen her, die sie in zwei verschiedenen Verpackungen anbietet. Die Plätzchen werden hauptsächlich aus Butter, Zucker, Mehl, Nüssen und Kokosraspeln gefertigt. Die quantitativen Zusammenhänge sind durch die folgende Tabelle gegeben. Menge der Zutaten (g) pro Plätzchen Butterplätzchen Nussplätzchen Kokosplätzchen Butter,5,5, Zucker,6,, Mehl,5,5, Nüsse,5 Kokosraspel, Anzahl der Plätzchen pro Packung Packung Ι Packung ΙΙ Butterplätzchen 5 7 Nussplätzchen 7 9 Kokosplätzchen 6.. Stellen Sie den zweistufigen Prozess in einem Verflechtungsdiagramm dar. ( Punkte).. Die Firma soll einem Kunden Packungen Ι und 5 Packungen ΙΙ liefern. Wie viel Gramm an Zucker und Mehl sind hierfür notwendig? ( Punkte).. Die Firma möchte eine neue Packung auf den Markt bringen in dieser Packung sollen doppelt so viele Nuss- wie Butterplätzchen enthalten sein. Die Anzahl an Nuss- und Kokosplätzchen soll gleich sein. Der Gewichtsverlust beim Backen ist vernachlässigbar. Das Gewicht des Packungsinhaltes soll g nicht überschreiten. Wie viele Plätzchen von jeder Sorte sind maximal in der neuen Packung? (4 Punkte)

13 Baden-Württemberg: Abitur 6 wirtschaftl. Anw. Die Zulieferfirmen Z,Z und Z der Firma "Gutslesback" sind nach dem Leontief- Modell miteinander verbunden. Im letzten Jahr belieferten sie sich und den Markt nach der folgenden Input-Output-Tabelle, bei der a, b und c zunächst nicht bekannt sind: Z Z Z Markt Produktion Z a Z 4 5 b 45 c Z Die Lieferungen untereinander, der Konsum sowie die Produktion werden in Geldeinheiten (GE) angegeben. Die zugehörige Inputmatrix lautet:,,, A =,,, d,, Bestimme die Werte für a, b, c und d. Welchen Eigenverbrauch haben die drei Firmen jeweils? (5 Punkte)