Grundlagen der Informatik II

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1 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5 Professor Dr. Hartmut Schmeck Mathematisch sind Schaltnetze eine Teilmenge der Schaltwerke, aber i.a. wird letzterer Begriff nur verwendet, wenn es tatsächlich rückgekoppelte Leitungen gibt. Miniaufgabe * bevor es losgeht * Die folgende Abbildung zeigt ein a) Schaltnetz b) Schaltwerk c) Schaltgetriebe KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association

2 Vorab Bonusklausur Montag, , 9:30 Uhr Inhalte der Übungsblätter -4 (bis Kapitel 6) Anmeldung abgeschlossen Hörsaalverteilung wird rechtzeitig im Wiwi-Portal bekannt gegeben Die Bonusklausur besteht aus vier Aufgaben Pro vollständig korrekt gelöster Aufgabe erhalten Sie einen Bonuspunkt, der auf ein bestandene Haupt- oder Nebenklausur angerechnet wird Vor der Bonusklausur findet die Evaluation der Vorlesung statt! Saalübung. Übung hat bereits stattgefunden 2. Übung , :30 Uhr Gerthsen Selbsttest über nukit Fragen zu Kapitel -7 sind bereits freigeschaltet Aufgabenpool Nutzen Sie das Question-/Answer-System, um Fragen zu stellen Nutzen Sie die zahlreichen Lernangebote! Die Bonusklausur naht 2 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

3 Vorab Bonusklausur Montag, , 9:30 Uhr Es enthält viele Tipps und Tricks. Inhalte der Übungsblätter -4 (bis Kapitel 6) Anmeldung abgeschlossen Hörsaalverteilung wird rechtzeitig im Wiwi-Portal bekannt gegeben Die Bonusklausur besteht aus vier Aufgaben Pro vollständig korrekt gelöster Aufgabe erhalten Sie einen Bonuspunkt, der auf ein bestandene Haupt- oder Nebenklausur angerechnet wird Vor der Bonusklausur findet die Evaluation der Vorlesung statt! Saalübung. Übung hat bereits stattgefunden 2. Übung , :30 Uhr Gerthsen Selbsttest über nukit Fragen zu Kapitel -7 sind bereits freigeschaltet Aufgabenpool Nutzen Sie vor allem auch das neue Lehrbuch zur Klausurvorbereitung! Nutzen Sie das Question-/Answer-System, um Fragen zu stellen Nutzen Sie die zahlreichen Lernangebote! Die Bonusklausur naht 3 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

4 Für die Fleißigen Weitere Aufgaben zu den Themen dieses Tutoriums Aus dem Aufgabenpool bzw. Übungsbuch: Kapitel 4-Band II: Fehlererkennung und korrektur, häufigkeitsabhängige Kodierung und Verschlüsselung (alle Aufgaben außer KOD-AK). Kapitel 5-Band II: Darstellung von Ziffern und Zahlen (alle 3 Aufgaben). Heimaufgaben dieses Übungsblattes (3 Aufgaben) Aufgaben, die mit für zuhause markiert sind HU-5-, HU-5-2, HU-5-3 Bei Fragen oder Kommentaren zu allen Aufgaben nutzen Sie das Q/A-Forum oder fragen Sie Ihren Tutor. Klick 4 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

5 Einführungsaufgabe: Huffman Erzeugen Sie einen Huffman-Baum zur angegebenen Verteilung und geben Sie für das Wort rot die Kodierung an. Lösung: A r t o b f p Kodierung von rot : c(r) c(o) c(t) = Damit die Fanobedingung erfüllt ist, müssen die Codewörter von der Wurzel zum Blatt abgelesen werden. Die Nullen links und die Einsen rechts zu schreiben ist Geschmackssache und kann variiert werden. 5 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

6 Aufgabe : Huffman-Kodierung Gegeben sei folgende Zeichenmenge A mit zugehöriger Wahrscheinlichkeitsverteilung p für das Auftreten der Zeichen. A a b c d e f g p Analysieren Sie die folgenden Kodierungen c a, c b und c c im Hinblick darauf, ob diese äquivalent sind zu einer Huffman-Kodierungen c der obigen Zeichenmenge samt Wahrscheinlichkeitsverteilung. Geben Sie Gründe an, falls eine dieser Kodierungen keine Huffman- Kodierung sein kann. 6 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

7 Aufgabe : Huffman-Kodierung gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung : A a b c d e f g p a) c a : a b c d e f g Lösung: Das Codewort von g ist ein Präfix der Codewörter für a, b und c. Somit kann dies keine gültige Huffman-Kodierung sein, da diese immer die Fano-Bedingung erfüllen muss. 7 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

8 Aufgabe : Huffman-Kodierung gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung : A a b c d e f g p b) c b : a b c d e f g Lösung: Die Fano-Bedingung wird von dieser Kodierung erfüllt. Codelänge: L A,p (c b ) = = 2 29 Ist diese Codelänge minimal? Dies kann über eine eigene Huffman-Kodierung berechnet werden. 8 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

9 Aufgabe : Huffman-Kodierung Lösung: Huffman-Kodierung: g e f b d c a Skript ID L A,p (c) = = 2 29 = L A,p(c b ) Die Fano-Bedingung ist erfüllt, die Codelänge L A,p (c b ) = 2 29 ist minimal. 9 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

10 Aufgabe : Huffman-Kodierung gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung : A a b c d e f g p c) c c : a b c d e f g Lösung: Die Codelänge L A,p c c = L A,p c b + (4 5) + (4 3) 7 + (4 5) 3 = L A,p c b = L A,p c b + 3 > L A,p c b dieser Kodierung ist nicht minimal. Also kann diese Kodierung keine Huffman- Kodierung für die vorgegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung sein. 0 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

11 oben Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Bei einem Huffman-Baum ist es wichtig, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung oben steht und folglich die Baumwurzel unten. WAHR FALSCH? unten Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

12 oben Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Bei einem Huffman-Baum ist es wichtig, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung oben steht und folglich die Baumwurzel unten. WAHR X FALSCH? unten Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Natürlich nicht! Im Übungsbuch und auf den Übungsblättern ist die Wurzel oben, weil das gedruckt übersichtlicher ist. Wenn Sie eine Aufgabe rechnen, bietet es sich aber an, mit der Verteilung oben anzufangen und sich dann zur Wurzel nach unten durchzuarbeiten. 2 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

13 Einführungsaufgabe: Fehlererkennung In welchem Zusammenhang wurden die folgenden Abbildungen in der Vorlesung vorgestellt und wie sind diese zu interpretieren? x, y, z: Codewörter x x k x y y x k x z z k x x x Lösung: Hammingabstand: h = k + bis zu k-fehler-erkennbar max. k Bits geflippt, ohne dass ein anderes Codewort herauskommt (nur Nicht-Codewörter können rauskommen) Hammingabstand: h = 2 k + bis zu k-fehler-korrigierbar max. k Bits geflippt, ohne dass der Abstand zum ursprünglichen Codewort größer wird als zu einem anderen (ursprüngliches Codewort kann erkannt werden) 3 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

14 Aufgabe 3: Fehlererkennung Gegeben sei der folgende Code: Die Bits der Codewörter seien von links nach rechts mit,2,, 7 durchnummeriert. Die Bits an den Stellen,2,4 dienen als Prüfbits (p) Die restlichen Bits enthalten die Nutz-Bits (a). Anordnung der Bits: p p 2 a 3 p 4 a 5 a 6 a 7 mit p = a 3 a 5 a 7 p 2 = a 3 a 6 a 7 p 4 = a 5 a 6 a 7 a) Berechnen Sie den Code für die 4-Bit-Binärzahlen 0000, 000,,. 4 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

15 Aufgabe 3: Fehlererkennung b) 0 sei ein übertragenes Wort, bei dem eine Position g falsch übertragen wurde. Bestimmen Sie g und korrigieren Sie das Wort. Lösung: Nutz-Bits: a 3 =, a 5 = 0, a 6 = und a 7 = Berechnete Prüfbits: p = 0, p 2 = und p 4 = 0 Übertragene Prüfbits: p =, p 2 = und p 4 = p = a 3 a 5 a 7 p 2 = a 3 a 6 a 7 p 4 = a 5 a 6 a 7 Also wurde das Bit an Position 5 (a 5 ) falsch übertragen, da p 2, welches korrekt übertragen wurde, aus a 3, a 6, a 7 berechnet wird. Korrigiertes Codewort:. Alternative: Berechnung der Hamming-Distanz zwischen übertragenem Wort und Codewörter aber größerer Aufwand 5 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

16 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Durch Hinzufügen von Prüfbits kann man die Fehlererkennbarkeit bzw. -Korrigierbarkeit beliebig erhöhen. Ist es also möglich, eine Kodierung anzugeben, die alle möglichen Übertragungsfehler erkennt bzw. korrigiert? Ja Nein 6 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

17 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Durch Hinzufügen von Prüfbits kann man die Fehlererkennbarkeit bzw. -Korrigierbarkeit beliebig erhöhen. Ist es also möglich, eine Kodierung anzugeben, die alle möglichen Übertragungsfehler erkennt bzw. korrigiert? Ja X Nein Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Im schlimmsten Fall kann durch Übertragungsfehler bei ungeschicktem Umkippen der Bits immer ein neues Codewort entstehen. 7 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

18 Einführungsaufgabe: Zahlendarstellung Welche verschiedenen Darstellungsarten im Rechner für ganze / reelle Zahlen haben Sie in der Vorlesung kennengelernt und wie unterscheiden sich diese? Lösung: (beispielhaft) Ganze Zahlen (3 Bits) VZ-Betrag-Darstellung -Komplement 2-Komplement Exzess-q (q = 2 n = 3) Binary Coded Decimal Darstellung der Reellen Zahlen: Festpunkt: (n + m Bits) Gleitpunkt: ( + m + c Bits) / / (VZ wird separat kodiert) b n- b n-2..b b 0, b - b -2 b -m c(.75) =. x=(-) v (+m ) 2 c-q VZ Charakteristik Mantisse 8 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

19 Aufgabe 4: Zahlendarstellung Stellen Sie die folgenden Zahlen so genau wie möglich als einfach genaue Gleitpunktzahl gemäß IEEE 754 sowie als 2er-Komplement einer Fixpunktzahl mit 6 Vorpunkt- und 6 Nachpunktbits dar. a) x = Lösung: Die Zahl x wird wie folgt zerlegt: Vorzeichen Summe aus Zweierpotenzen Bestimmung und Ausklammerung der größten Zweierpotenz -2 ( ) ( ) ( ) (8 4 ( Umformung von Exponent ( ) 2 ( ) zu Charakteristik q = 2 n k Somit lässt sich x als Gleitpunktzahl im Format vcm mit = = 2 7 v =, c = (30) 0 = (000000) 2 und m = darstellen ) ) 9 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

20 Aufgabe 4: Zahlendarstellung Lösung: Fixpunktformat: x = Betrag der Zahl darstellen und Zerlegung in Zweierpotenzen bei negativer Zahl, 2er-Komplement bilden (durch Negation und Addition von an der niederwertigsten Stelle (nicht an der ersten Vorpunktstelle)) Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

21 Aufgabe 4: Zahlendarstellung b) x = Lösung: Als Gleitpunktzahl: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) v = 0, c = (32) 0 = (000000) 2 und m = ) - ) Als Fixpunktzahl: Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

22 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Mit der IEEE-754-Darstellung können alle rationalen Zahlen x Q dargestellt werden. WAHR FALSCH 22 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

23 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Mit der IEEE-754-Darstellung können alle rationalen Zahlen x Q dargestellt werden. WAHR X FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Theoretisch hat sogar jede reelle Zahl x R eine eindeutige (eventuell unendlich lange) Kodierung als normierte Gleitpunktzahl zur Basis 2 (ebenso zu jeder anderen Basis). Eine in der Praxis angewandte Kodierung wie IEEE-754 kann mit endlich vielen Bits aber natürlich nur eine endliche Anzahl verschiedener Zahlen darstellen. Prinzipiell kann dennoch für jede endliche Teilmenge der reellen Zahlen Q Q R auch eine praktische Gleitpunkt-Kodierung angegeben werden, mit der man alle Zahlen in Q darstellen kann (solange genügend Bits zur Verfügung stehen). 23 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

24 Aufgabe 5: Zahlendarstellung Gegeben sei folgender Bitstring: b = Geben Sie den jeweiligen Dezimalwert dieses Strings (als Summe bzw. Produkt einzelner 2-er Potenzen) an, wenn man ihn als a) Zahl zur Basis 2 deutet. Lösung: (= ) als Zahl zur Basis 2 b) Zahl zur Basis 2 im 2er-Komplement deutet. Lösung: (= ) als Zahl zur Basis 2 im 2er-Komplement 24 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

25 Aufgabe 5: Zahlendarstellung Bitstring: b = c) BCD-Zahl: Lösung: als BCD-Zahl (Teilung in 4-Bit-Abschnitte) d) Gleitpunktzahl gemäß IEEE 754: Geben Sie die Gleitpunktzahl als gekürzten Bruch und nicht als gerundete Kommazahl an! Lösung: x = (-) v ( + m ) 2 c-q = (-) ( + ( )) = (-) ( ) = / 2 03 = -, Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

26 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Mit irrationalen Zahlen wie 2, e, π, i, Rechner nicht exakt rechnen. 3 usw. kann man im WAHR FALSCH 26 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5

27 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Mit irrationalen Zahlen wie 2, e, π, i, Rechner nicht exakt rechnen. 3 usw. kann man im WAHR X FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Man kann im Rechner symbolisch rechnen, dabei werden die Zahlen aber nicht explizit dargestellt, sondern allgemeine Rechenregeln angewendet: x x = x e iπ = usw. 27 Grundlagen der Informatik II Tutorium 5