Spektraltheorie. Structure. 1 Matrizen eines Graphen. 2 Adjazenzmatrix. 3 Laplacematrix. 4 Die Spektrale Lücke

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1 Spektraltheorie Expandergraphen Seminar im SS Robert Görke Sommer 0 KARLSRUHE INSTITUTE OF TECHNOLOGY INSTITUTE OF THEORETICAL INFORMATICS KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Structure Matrizen eines Graphen Adjazenzmatrix Laplacematrix 4 Die Spektrale Lücke 5 Das Expander Mixing Lemma 6 Perron-Frobenius 7 Ende Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40

2 Matrizen eines Graphen 4 Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40 Matrizen eines Graphen G A(G) = Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 4/40

3 Matrizen eines Graphen G A(G) = A : (A ) ii = Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 5/40 Matrizen eines Graphen G A(G) = A : (A ) ii = {π : π =, π = (v i,..., v i )} Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 6/40

4 Matrizen eines Graphen G A(G) = A : (A ) ii = {π : π =, π = (v i,..., v i )} i (A ) ii = tr(a ) = 6 # Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 7/40 Matrizen eines Graphen G A(G) = A : (A ) ii = {π : π =, π = (v i,..., v i )} i (A ) ii = tr(a ) = m Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 8/40

5 Matrizen eines Graphen G A(G) = D(G) = Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 9/40 Matrizen eines Graphen G A(G) = L(G) = D(G) = = D(G) A(G) Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 0/40

6 Matrizen eines Graphen e e e G A(G) = e L(G) = D(G) = = D(G) A(G) Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40 Gerichtete Inzidenzmatrix B ordne V (strikt, total, egal) v < v < < v n Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40

7 Gerichtete Inzidenzmatrix B ordne V (strikt, total, egal) v < v < < v n { v < w σ :{(v, w) : {v, w} E} {, } σ((v, w)) w < v Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40 Gerichtete Inzidenzmatrix B ordne V (strikt, total, egal) v < v < < v n { v < w σ :{(v, w) : {v, w} E} {, } σ((v, w)) w < v Gerichtete Inzidenzmatrix K(G σ ){ K(G σ σ((v, w)) e = {v, w} E ) v,e = 0 sonst Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 4/40

8 Gerichtete Inzidenzmatrix B ordne V (strikt, total, egal) v < v < < v n { v < w σ :{(v, w) : {v, w} E} {, } σ((v, w)) w < v Gerichtete Inzidenzmatrix K(G σ ){ 4 K(G σ σ((v, w)) e = {v, w} E ) v,e = 0 sonst e e e e 4 K(G σ ) = e e e e 4 v v v v Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 5/40 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 6/40

9 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v K T = v v v v 4 e e e 0-0 e Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 7/40 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v K T = v v v v 4 e e e 0-0 e (KK T ) ij = Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 8/40

10 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v K T = v v v v 4 e e e 0-0 e i j, i j (KK T ) ij = 0 i j, i j deg(v i ) i = j Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 9/40 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v K T = v v v v 4 e e e 0-0 e KK T = L = D A Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 0/40

11 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v K T = v v v v 4 e e e 0-0 e KK T = L = D A rang(l) = rang(k) Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v K T = v v v v 4 e e e 0-0 e KK T = L = D A rang(l) = rang(k) = n dim(kern(k)) Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40

12 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v K T = v v v v 4 e e e 0-0 e KK T = L = D A rang(l) = rang(k) = n dim(kern(k)) }{{} = n zsh. Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v K T = v v v v 4 e e e 0-0 e KK T = L = D A rang(l) = rang(k) = n dim(kern(k)) }{{} = n zsh. dim(lösungsraum von L x = 0) = dim(kern(l)) = Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 4/40

13 Eigenschaften von K K = e e e e 4 v v v v K T = v v v v 4 e e e 0-0 e KK T = L = D A rang(l) = rang(k) = n dim(kern(k)) }{{} = n zsh. dim(lösungsraum von L x = 0) = dim(kern(l)) = allgemeiner: k > Zsg.-Komponenten: k Lösungsraum = span({ vi H l l =... k}) Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 5/40 Adjazenzmatrix d-regulärer Graphen A symmetrisch, reell EW reell EW & EV & Eigenpaare: λ λ... λ n v, v,..., v n (orthonormales System) nette Eigenschaften ablesbar: λ = d, v = / n zusammenhängend λ > λ bipartit λ > λ n λ hängt eng mit Expansion zusammen! Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 6/40

14 Laplacematrix von (d-reg.) Graphen (Literaturempfehlung: Dissertation von Daniel Fleischer 09 Konstanz) Klassische Vektorenrechnung: (f ) = f = div(grad(f )) Beispiel: f : R R sei Temparaturverteilung im Raum grad(f ) = f = ( x, y, f z )f = ( x, f y, f z ) ˆ= Veränderung der Temp. als Vektorfeld div(grad(f )) = f = ( x, y, z ) ( f x, f y, f z ) = ( f x ˆ= Quellenhaftigkeit / Fluss durch Kugeloberfläche um Punkt + f y + f z ) Analogon auf Graphen: f : V R Knotenbewertung grad(f ) = fk (fk ) (u,v) = f u f v ˆ= Veränderung der Knotenbewertung, auf Kanten notiert div(grad(f )) = K (grad(f )) K (grad(f )) u = grad(f ) e e raus aus u grad(f ) e = df u e rein nach u v u ˆ= Quellenhaftigkeit von Knoten (Exaktheit mit Füßen getreten) Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 7/40 f v Laplacematrix: Beobachtungen L = KK T flf T = (u,v) E(f (u) f (v)) λ min = 0 spectrum(l) ist in [0, d] Exkurs: Layoutproblem Knoten sollen nah bei Nachbarn liegen, minimaler quadratischer Fehler! G zsh. kern(l) = span() eindeutige Lösung trivial :-( Lösung: suche v mit v und v =, so dass vlv T = minimal Rayleigh-Ritz nutze v n und v n in D x T L(G)x min x R n x T x x span(v n,..., v n i+ ) = λ n i Oder andere? Animation! Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 8/40

15 Die Spektrale Lücke d λ Expansion! δs Erinnerung: (edge-)expansion(ratio)(g) = h(g) := min {S V S n } S (Analogon zur Cheeger-Konstante in Riemannscher Geometrie) Theorem (Doziuk 84, Alon-Milman 85, Alon 86) G endlich, zusammenh., d-regulär, dann: d λ h(g) d(d λ ) Analogon: Sei M kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit und λ der kleinste EW seines Laplaceoperators, dann: λ h /4 Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 9/40 Schärfe der Abschätzung I d λ h(g) d(d λ ) untere Schranke: d λ h(g) Betrachte Hyperwürfel Q d : Q Q Q in Q h(g) = (Q d in Q d ) EW =,,,,,,, d λ = scharf Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 0/40

16 Schärfe der Abschätzung II d λ h(g) d(d λ ) obere Schranke: h(g) d(d λ ) Betrachte n-zykel C n : C 8 h(c n ) = 4 n d λ = Θ( n ) scharf Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40 Lücke Groß Expansion Groß (Beweis Abschätzung h vs. Spektrale Lücke, untere Schranke: d λ h(g) bzw. λ d h(g) ) Idee: geeigneten Vektor f nahe v ausdenken! Forderungen: f und f hat ausreichend großen Rayleigh-Quotienten λ }{{} Satz v. Ray.-R. faf T f }{{} z.z. d h(g) Wahl von f : Sei S V h(g)-scharf (i.e., h(g) = E(S,S) S, S n/) Setze f = S S S S liefert: λ faf T f = d n S E(S, S) S d h(g) Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40

17 Expansion Groß Lücke Groß (Beweis Abschätzung h vs. Spektrale Lücke, obere Schranke: h(g) d(d λ ) bzw. h d d λ Idee: billigen Schnitt nahe h(g) ausdenken! Schnitt induziert Vektor f h d }{{} (ii) flf T f d λ }{{} (i) Baue f: man nehme v (obda: mehr positive als negative Einträge) f := v + (i.e., f x = max(0, v (x) )) V + := support(f ) (i.e., V + = {x f x > 0}) Merken: basierend auf v findet man billigen Schnitt! Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 /40 (i) und (ii) (... aus h d }{{} (ii) flf T f d λ }{{} ) (i) (i) grob: x V + : (Lf ) x (Lg) x = (d λ ) g x (ii) grob: technisch, ohne merk-würdigen Kniff }{{} flf T (d λ ) f f x sonst 0 Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 4/40

18 Das Expander Mixing Lemma Lemma (diverse, ab 89) G d-regulär, λ = max( λ, λ n ) EW von A(G), dann: S, T V : d S T E(S, T ) n λ S T Bedeutet: S-T -Kanten E(S-T -Kanten) klein, wenn λ klein Graph recht zufällig, diesbezüglich (auch genannt: discrepancy) Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 5/40 Expander Mixing Anwendungen S, T V : d S T E(S, T ) n λ S T Betrachte (n, d, α)-graphen: d-regulär, λ αd Unabhängige Mengen: unabh. Menge S: S αn Chromatische Zahl χ(g): Farbe j: Knoten(j) sind unabh. Mengen χ(g) /α Durchmesser: jedes S V hat ε S neue Nachbarn wachsende Kugeln um u und v begegnen sich nach O(log(n)) Schritten kleines α liefert Durchmesser O(log n) Umgekehrtes Lemma (to appear): Abschätzung gilt für ein ρ λ nahe O(ρ) Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 6/40

19 Beweis Expander Mixing Lemma Man nehme S und T, charakteristische Vektoren von S, T Darstellung duch EV-Basis: S = i α iv i und T = j β jv j E(S, T ) = S A T = ( i α iv i )A( j β jv j ) = ( i α iv i ) ( j β jλ j v j ) = i α iβ i λ i wegen α = S n = S n und analog β = T E(S, T ) = d S T n + λ i α i β i n i= n : aber n i= λ iα i β i n i= λ iα i β i λ n }{{} i= α iβ i Def. λ S T = λ S T }{{} CSU λ α β = }{{} nur Drehung Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 7/40 Begriffe zu Perron-Frobenius Zugrundeliegender Graph einer reellen n n-matrix: V = {,..., n} und (i, j) E iff A ij 0 starker Zusammenhang eines gerichteten Graphen G: gerichteter Pfad von u nach v, u, v V spektraler Radius ρ einer Matrix A: ρ = EW nicht notw. reell, ρ nicht notw. EW max λ EW λ von A r-subharmonic: Sei A n n Matrix, Vektor x ist r-subharmonic wenn: x 0 und Ax rx Lemma (Hilfslemmata) Ist A eine nichtneg. n n Matrix mit G(A) stark zsh.: maximales r R so dass r-subharmonic Vektoren existieren. Es gilt r = ρ, und alle solchen r-subharmonic Vektoren sind EV. Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 8/40

20 Perron-Frobenius Theorem The most important result on the eigenvalues and eigenvectors of nonnegative matrices [Godsil, Royle] Theorem (Perron-Frobenius) A reelle, nichtnegative n n-matrix mit zugr. Graph X stark zusammenhängend: ρ(a) ist einfacher EW. Ist x EV zu ρ, dann ist x > 0 oder x < 0 A reelle, nichtnegative n n-matrix mit A A 0 Dann gilt ρ(a ) ρ(a), mit Gleicheit nur bei A = A θ EW mit θ = ρ, dann ist θ/ρ h-te Einheitswurzel und für alle r ist e πir/h EW (h ist Periode der Matrix). Und alle Zykel in X haben Länge teilbar durch h. Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 9/40 Zusammenfassung und Ende Adjazenzmatrix A(G), Bedeutung von A l Laplacematrix L(G) = D(G) A(G) Inzidenzmatrix K (G) (Richtung, Knoten vs. Kanten), L = KK T Vielfachh. von EW 0 in L(G) gleich # Zusammenhangskomp. von G L(G) Analogon zu Laplace-Operator aus Vektorenrechnung EV von L(G) helfen bei Layouts / Clustern d λ Spektrale Lücke d λ vs. h: h d(d λ) (scharf) Markov-C: Gewichte conductance Konvergenz v. MC-Algos Expander Mixing Lemma: λ = max( λ, λ n ) EW von A(G): S, T V : E(S, T ) d S T λ S T λ klein G recht zufällig Perron-Frobenius: spektraler Radius ist einfacher EW Perron-Frobenius: spektraler Radius skaliert mit A n Danke, Fragen Robert Görke Spektraltheorie Sommer 0 40/40