Textur I. Grundlagen. Günter Gottstein. Institut für Metallkunde und Metallphysik IMM

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1 Textur I Grundlagen Günter Gottstein Institut für Metallkunde und Metallphysik IMM

2 Indizierung von Ebenen und Richtungen Definition und Darstellung von Orientierungen Definition und Darstellung von Texturen Inhaltsübersicht

3 kubisch flächenzentriert hexagonal dichtest gepackt kubisch raumzentriert Kristallstruktur

4 Z Z [111] Y Y X [100] [110] Z X Z [112] [110] Y Y X neuer Ursprung X 1 2 Indizierung kristallographischer Richtungen

5 Z q Zur Beschreibung von Ebenen benutzt man die Miler Indizes X m n Y 1. Schnittpunkte mit den drei Achsen finden 2. Kehrwerte bilden 3. Kleinstes gemeinsames Vielfaches finden, damit alle Zahlen ganzzahlig sind. Miller Indizes: (hkl) = (( 1/m, 1/n, 1/q) rr Indizierung kristallographischer Ebenen

6 Z q X m n Y Miller Indizes: (hkl) = (( 1/m, 1/n, 1/q )) r r Indizierung kristallographischer Ebenen

7 (100) Z (111) Z X ,, = ( 100) 1 Y (110) Z X ,, = ( ) Y (236) Z X Y X Y ,, = ( 110) ,, = ( ) Indizierung kristallographischer Ebenen

8 Miller Indizes einer kristallographischen Ebene sind identisch mit Miller Indizes der Richtung senkrecht zur Ebene (Ebenennormale) Z [111] Y X (111) Kubische Symmetrie

9 Atomistische Anordnung von Ebenen und Richtungen mit permutierten oder vorzeichenverkehrten Miller Indizes sind ununterscheidbar Z Y [111] [111] [111] [111] X Kubische Symmetrie

10 Basisebene C Pyramidenebenen A D 1. Art / 1. Ordnung (z.b. ABC) 2. Art / 2. Ordnung E (z.b. BED) B Prismenebenen 1. Art (z.b. ABDC) 2. Art (z.b. CDFE) A D C F E B Pyramidenebenen 1. Art / 2. Ordnung (z.b. ABD) 2. Art / 1. Ordnung (z.b. BEC) A B C D E Hexagonale Kristallstruktur

11 c (100) Beschreibung mit den Achsen a 1, a 2 und c (110) +a 2 +a 1 Miller-Indizes äquivalenter Ebenen und Richtungen nicht ähnlich!!! Äquivalenz

12 Miller-Bravais-Indizes (h k i l) [1120] [110] +a 3 -a 1 mit h + k + i = 0 +2 Für Ebenen: (H K L) -1 -a c a 2 [1210] [010] => (h k i l) = (H, K, -(H+K), L) -1 Für Richtungen: [U V W] -1 +a 1 [2110] [100] -a 3 => [u v t w ] = [2U-V, 2V-U, -(U+V), 3W] Miller-Bravais Indizes

13 c ( 0001) c +a 3 c ( 110 2) ( 0112) +a 3 +a 1 +a 2 ( 110 0) ( ) +a 3 +a 1 +a 2 +a 2 +a 1 Indizierung hexagonaler Ebenen

14 Indizierung von Ebenen: {hkl}: alle kristallographisch äquivalenten Ebenen (hkl): festgelegte Ebenen {111} = { (111), (111), (111), (111) } Indizierung von Richtungen: <uvw>: alle kristallographisch äquivalenten Richtungen [uvw] : festgelegte Richtungen <111> = < [111], [111], [111], [111] > Klammersymbolik

15 E α P Äquatorebene = Projektionsebene α P β Referenzkugel Projektionszentrum E : kristallographische Ebene P : Pol der Ebene E in der stereographischen Projektion Prinzip der stereographischen Projektion

16 Standardprojektion eines kubischen Kristalls in (001)-Lage Stereographische Projektion

17 BN WR BN β WR QR α Entstehung einer {100} - Polfigur

18 Walzprobe stranggepreßter Al-Draht β (111) WR 1 α 001 QR BN 100 (001) (012) (011) Inverse Polfigur

19 Die vier bezüglich der Probensymmetrie äquivalenten Komponenten der S - Lage {123} <634> (213) [364] (213) [364] BN-Drehung WR-Drehung QR QR-Drehung (213) [364] (213) [364] WR Probensymmetrie in der Polfigur

20 Die vier bezüglich der Probensymmetrie äquivalenten Komponenten der S - Lage {123} <634> (213) [364] (213) [364] QR (213) [364] (213) [364] WR Probensymmetrie in der Polfigur

21 Drehung des des probenfesten Koordinatensystems {P} {P} in in das das kristallfeste Koordinatensystem {K} {K} probenfestes Koordinatensystem {P} kristallfestes Koordinatensystem {K} QR BN WR [001] [010] [100] {K} {P} Definition Orientierung

22 1. Miller Indizes (hkl) [uvw] 2. Rotationsachse / Winkel [hkl] / ω 3. Eulerwinkel ϕ 1 φ ϕ 2 Beschreibung von Orientierungen

23 g g g g { K} = g { P} mit g= g g g = = g g g : Transformations- oder Rotationsmatrix Die Spaltenvektoren der Rotationsmatrix entsprechen den kristallographischen Richtungen, die parallel zu den Probenachsen WR, QR und BN liegen, also: g = = u N v N w N q N r N s N h N k N l N mit N = u + v + w N = q + r + s N = h + k + l Mathematische Beschreibung von Orientierungen

24 1. (hkl) [uvw] Miller Indizes (hkl) Kristallebene parallel zur Blechebene [uvw] Kristallrichtung parallel zur WR q r = s h k l u v = w k w l v lu hw hv ku g = = u N v N w N q N r N s N h N k N l N mit N = u + v + w N = q + r + s N = h + k + l Miller Indizes

25 2. [hkl] ω Rotationsachse / Winkel z ϕ 1 ω [h k l] Drehachse [h k l] hat (in Polarkoordinaten ψ und ϑ) in beiden Koordinatensystemen gleiche Komponenten. ϑ φ=ϑ Komponenten der Rotationsachse in Polarkoordinaten: ψ y a 1 = sinϑ cosψ = h / N x a 2 = sinϑ sinψ = k / N mit N= h + k + l a 3 = cosϑ = l / N Rotationsachse / Winkel

26 Für die Rotationsmatrix R folgt: 2 2 ( 1 a1 )cos ω+ a1 aa ( cos ω) + a3sin ω aa ( cos ω) a2sinω 2 2 aa ( cos ω) a3sin ω ( 1 a2)cos ω+ a2 a2a3( 1 cos ω) + a1sinω 2 2 aa ( 1 cos ω) + a sin ω a a ( 1 cos ω) a sin ω ( 1 a )cosω+ a Komponenten der Rotationsachse a 1 2sinω =R 23 R 32 a 2 2sinω =R 31 R 13 a 3 2sinω =R 12 R 21 Drehwinkel ω = arccos (R 11 + R 22 + R 33 1) 1 2 Rotationsmatrix für [hkl] ω

27 3. ϕ 1 φ ϕ 2 Eulerwinkel 3 aufeinanderfolgende Rotationen, die das probenfeste Koordinatensystem {P} in das kristallfeste Koordinatensystem {K} überführen z 1 = z 2 x 1 ϕ 1 cosϕ 1 ϕ 1 x 2 y 2 cosϕ 1 Ebene Drehung um z-achse sinϕ 1 y 1 Eulerwinkel - ebene Drehung - Gedrehte Koordinatenachsen haben im unrotierten System Komponenten 2 x = (cos ϕ,sin ϕ, 0) y z sinϕ 1 R(ϕ [ z] ) = 1 1 = ( sin ϕ,cos ϕ, 0) 1 1 = z = (0,0, 1) Rotationsmatrix einer ebenen Drehung: 1 cosϕ ϕ 1 sin 1 sinϕ ϕ 1 cos

28 Rotationsbeziehung zwischen den Koordinatensystemen {x 1, y 1, z 1 } und {x 2, y 2, z 2 } z 2 z 1 y 2 x 1 y 1 x 2 Definition der drei Eulerwinkel ϕ 1 φϕ 2

29 Rotationsbeziehung zwischen den Koordinatensystemen {x 1, y 1, z 1 } z 2 z 1 = z 1 ϕ 1 und {x 2, y 2, z 2 } Rotiere um z 1 mit ϕ 1, so dass x 1 in x 2 -y 2 -Ebene liegt. z 1 = z 1. y 2 ϕ 1 ϕ 1 y 1 y 1 x 1 x 1 x 2 Drehung um ϕ 1

30 Rotationsbeziehung zwischen den Koordinatensystemen {x 1, y 1, z 1 } z 2 = z 1 z 1 = z 1 und {x 2, y 2, z 2 } φ y 2 φ y 1 y 1 Rotiere um x 1 mit φ, so dass z 2 = z 1. x 1 = x 1. y 1 x 1 x 2 φ x 1 = x 1 Drehung um φ

31 Rotationsbeziehung zwischen den Koordinatensystemen {x 1, y 1, z 1 } z 2 z ϕ 1 2 und {x 2, y 2, z 2 } y 2 ϕ 2 y 1 ϕ 2 x 1 y 1 x 2 Rotiere um z 2 mit ϕ 2, so dass x 2 = x 1 und y 2 = y 1. x 1 Drehung um ϕ 2

32 Rotationsbeziehung zwischen den Koordinatensystemen {x 1, y 1, z 1 } und {x 2, y 2, z 2 } ϕ 2 z 2 z 1 z 1 = z 1 ϕ 1 φ ϕ 1 ϕ 2 y 2 ϕ 2 ϕ 1 φ y 1 y 1 y 1 x 1 x 1 x 2 φ x 1 = x 1 Rotiere um z 1 mit ϕ 1, so dass x 1 in x 2 -y 2 -Ebene liegen. z 1 = z 1. Rotiere um x 1 mit φ, so dass z 2 = z 1. x 1 = x 1. Rotiere um z 2 mit ϕ 2, so dass x 2 = x 1 und y 2 = y 1. Definition der drei Eulerwinkel ϕ 1 φϕ 2

33 Rotationsmatrizen für die einzelnen Drehungen (alles ebene Drehungen!): R 1 (ϕ 1 ) = cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ R 2 (φ) = cosφ sinφ 0 sinφ cosφ R 3 (ϕ 2 ) = cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ Sukzessive Anwendung gibt Rotation von {x 1, y 1, z 1 } nach {x 2, y 2, z 2 }. R= R3 R2 R1 R = cosϕ cosϕ sinϕ sinϕ cos φ sinϕ cosϕ + cosϕ sinϕ cos φ sinϕ sin φ cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ cosφ sinϕ cosϕ + cosϕ cosϕ cosφ cosϕ sinφ sinϕ sinφ cosϕ sinφ cosφ 1 1 Rotationsmatrix für die Eulerwinkel

34 GOSS - Lage BN Miller Indizes: (011) [100] Rotationsachse / Winkel: [100] / 45 [001] [010] Eulerwinkel: WR [100] QR Beispiel einer Orientierung

35 Gesamtheit der Orientierungen in einem Polykristall BN QR 'graue Textur' regellose Orientierungsverteilung WR BN QR 'scharfe Textur' stark bevorzugte Kristallausrichtung Definition Textur WR

36 1. stereographische Projektion a) Polfigur b) inverse Polfigur 2. Eulerraum 3. Rodrigues-Raum Darstellung von Orientierungen

37 Eulerraum Räumliche Darstellung des Eulerraums

38 Räumliche Darstellung des reduzierten Eulerraums Reduzierter Eulerraum

39 Darstellung einer Orientierung im reduzierten Eulerraum räumlich 1: ϕ 1 59 φ 37 ϕ : ϕ 1 26 φ 58 ϕ : ϕ 1 53 φ 74 ϕ 2 34 ϕ 2 - Schnitte Orientierungen im reduzierten Eulerraum

40 Orientierungsbeziehung zwischen zwei Körnern {K 1 } = g {K 2 } Beschreibung von Desorientierungen: z.b. Achse / Winkel r, ω Darstellung von Desorientierungen bzw. Desorientierungsverteilungen: z.b. im Rodrigues-Raum Definition und Beschreibung von Desorientierungen

41 r, ω Achse / Winkel r, ω : Angabe einer gemeinsamen Drehachse r beider Koordinatensysteme {K 1 } und {K 2 }, die durch den Drehwinkel ω ineinander überführt werden (001) 1 (001) 2 ω r (010) 1 (100) 2 (010) 2 (100) 1 Beschreibung von Desorientierungen

42 Beschreibung von Desorientierungen mit Rodrigues Vektor R = n tan ω 2 mit n = [ hkl ] [ hkl] [h k l] : Rotationsachse ω : Rotationswinkel Richtung des Rodrigues Vektors entspricht Rotationsachse [h k l] Länge des Rodrigues Vektors entspricht Rotationswinkel ω Rodrigues Vektor

43 Auswahlkriterium in kubischen Systemen: Achse / Winkel Kombination mit dem kleinsten Winkel fundamentale Zone Wichtige Rotationen: Rotationen um <100>-Achsen befinden sich auf den Koordinatenachsen. Rotationen um <110>-Achsen liegen auf den Flächendiagonalen. Rotationen um <111>-Achsen liegen auf den Raumdiagonalen. Alle Rotationen um eine feste Achse liegen auf einer Geraden durch den Ursprung. Rodrigues Raum

44 [001] Zweidimensionale Darstellung des Rodrigues Raumes Aufteilung des Rodrigues Raumes in äquidistante Schnitte senkrecht zu einer <100>-Achse [010] 45 [100] 2D-Darstellung des Rodrigues Raumes

45 Darstellung von Orientierungsbeziehungen in Schnitten durch den Rodrigues Raum Probe: 100-Faser Streubreite: 2 Levels: Maximum: 95 Schrittweite: 5 [001] Probe: 110-Faser Streubreite: 2 Levels: Maximum: 63 Schrittweite: 5 [001] Probe: 111-Faser Streubreite: 2 Levels: Maximum: 59 Schrittweite: 5 [001] Rotationen um <100>-Achse Rotationen um <110>-Achse Rotationen um <111>-Achse Orientierungsbeziehungen im Rodrigues Raum

46 {111} <100> <100> <110> <110> <100> Anisotropie

47 Hochtemperatur-Supraleitung

48 M M (Gauß) [Gauß] [100] [110] [111] weich hart H H [A/m] Magnetisierungskurven für Fe-Einkristalle Hysterese für hart- und weichmagnetische Werkstoffe Einfluss auf die Magnetisierung

49 Teil II Orientierungen und Orientierungsmessung Institut für Metallkunde und Metallphysik IMM Schülerpraktikum 2. bis 6. August 2004

50 +z kubisch-raumzentriert z -y (0,0,1) (0,-1,0) (1,0,0) (0,0,0) -x (-1,0,0) (0,1,0) +y (1,0,1) a (0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1) (,, ) y (0,1,0) (1,0,0) (1,1,0) +x (0,0,-1) x -z Figure 2.26 Beschreibung der Atompositionen in der EZ

51 Beschreibung der Atompositionen in der EZ kubisch-flächenzentriert y x z (1,0,1) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1) (0,0,0) (1,0,0) (1,1,0) (0,1,0) ,, ,, ,, ,, ,, ,,

52 Z q Zur Beschreibung von Ebenen benutzt man die Miler Indizes X m n Y 1. Schnittpunkte mit den drei Achsen finden 2. Kehrwerte bilden 3. Kleinstes gemeinsames Vielfaches finden, damit alle Zahlen ganzzahlig sind. Miller Indizes: (hkl) = (( 1/m, 1/n, 1/q) rr Indizierung kristallographischer Ebenen

53 +Z = 1 (100) +Z = 11 (110) +X +Y (100) +X +Y (110) +Z = 111 (111) +Z (236) 00,, 1 3 0, 2 3, 0 +X Figure 2.27 (111) +Y +X 1,0,0 +Y = (236) Indizierung kristallographischer Ebenen

54 Wellenlänge λ >> Gitterkonstante a Reflexionsgesetz für beliebige Winkel: Einfallswinkel = Ausfallswinkel α β z.b. Lichtreflexion am Spiegel α = β Beugung am Gitter

55 Wellenlänge λ < Gitterkonstante a Bragg sches Gesetz: n λ = 2 d sin θ Reflexion an Gitterebenen {hkl} nur unter bestimmten von der Wellenlänge abhängigen Winkeln θ (Bragg-Winkel). für kubische Kristalle gilt: d hkl = n: Ordnung λ: Wellenlänge d: Gitterebenenabstand θ: Bragg-Winkel a: Gitterkonstante h, k, l: Miller-Indizes a h + k + l Beugung am Gitter

56 (n λ) / 2 d < 1 Die Wellenlänge muß in der Größenordnung oder kleiner als die Gitterkonstante sein. Für Beugungsuntersuchungen an kristallinen Materialien: nur harte Röntgenstrahlung Röntgenstrahlung: λ = 0.71 Å (Mo Kα) λ = 1.54 Å (Cu Kα) λ = 2.29 Å (Cr Kα) Neutronenstrahlung: λ = 1-2 Å (thermische Neutronen) Elektronenstrahlung: λ = Å (100 kv) Beugung am Gitter

57 Beugung am Gitter: Behandlung wie Reflexion an halbdurchlässigem Spiegel einfallende Röntgenstrahlen Strahl 1 Wellenfront reflektierte Röntgenstrahlen Strahl 2 θ θ {hkl} Ebenen M P N θ 2 θ d Reflexionsbedingung: Der Gangunterschied von Strahl 1 und Strahl 2 ist gleich einem Vielfachen der Wellenlänge. MP + PN = nλ n λ = 2 d sin θ Bragg sches Gesetz

58 einfallende Röntgenstrahlen a Figure 2.40 Auslöschung

59 Auslöschungsregeln Verstärkung Phasenunterschied π π 2π Erste Ebene Zweite Ebene Dritte Ebene a Ausbreitungsrichtung Bedingung für Reflexion: kfz-gitter: Miller-Indizes alle gerade oder alle ungerade {111}, {200}, {220}, {311}... Auslöschung krz-gitter: Summe der Miller-Indizes gerade {110}, {200}, {211}, {310}... Auslöschungsregeln

60 Röntgenstrahlung Kupfer Vakuum Wolfram-Filament Glas Kühlwasser e - zum Transformator Target Beryllium-Fenster Röntgenstrahlung Wehnelt-Zylinder Figure 2.37 Aufbau einer Röntgenröhre

61 relative Intensität Kα charakteristische Strahlung < x m Erzeugung monochromatischer Strahlung durch: Verwendung von Filtermaterialien (z.b. Ni für Cu-Strahlung, Fe für Co-Strahlung, Zr für Mo-Strahlung) Kβ Verwendung von Monochromatorkristallen kontinuierliche Strahlung Wellenlänge [10-10 m] Röntgenspektrum von Mo bei 35 kv (schematisch) Röntgenspektrum

62 Film 2Θ Θ Ebene Röntgenstrahl (a) Debeye-Scherrer-Ring Debye-Scherrer-Ring (b) (b) Film Film Röntgenstrahl Probe Probe (α) (α) Eintrittspunkt des einfallenden Strahls Eintrittspunkt (2Θ = 180 ) des 2Θ = 0 einfallenden Strahls 2 θ = 0 (2 θ = 180 ) Figure 2.41 (β) (β) Debye-Scherrer Verfahren

63 Kegel der reflektierten Röntgenstrahlen Laue-Punkt Strahldurchgang Röntgenstrahl Ebenen einer Zone (a) (a) Film Film B α (b) Figure 2.42 (c) Laue Verfahren

64 Lernsoftware METIS