Inhaltsverzeichnis. iii

Transkript

1 Tim Netzer Algebra

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Motivation Konstruktion mit Zirkel und Lineal Nullstellen durch Radikale berechnen Lineare Diophantische Gleichungen Algebraische Geometrie Gruppen Grundlagen Homomorphie- und Isomorphiesätze Gruppenoperationen Existenz von Untergruppen und Sylow-Sätze Auflösbare Gruppen Ringe Grundlagen Noethersche Ringe und Hauptidealringe Primideale und maximale Ideale Der Quotientenkörper Teilbarkeit Euklidische Ringe Körper Grundlagen Algebraische Erweiterungen und Körpergrad Lösung der antiken Konstruktionsprobleme Der Zerfällungskörper und der algebraische Abschluss Normale und separable Erweiterungen Galoistheorie iii

4 iv Inhaltsverzeichnis 4.7 Unlösbarkeit von polynomialen Gleichungen Moduln Grundlagen Moduln über Hauptidealringen Lineare Gleichungssysteme über Hauptidealringen Das Tensorprodukt Algebraische Geometrie Ganze Ringerweiterungen und der Nullstellensatz Affine Varietäten Reguläre Funktionen und Morphismen Kategorientheorie Projektive Varietäten Literaturverzeichnis 163 Übungsaufgaben 165

5 Kapitel 1 Einleitung und Motivation Fast die gesamte Theorie dieser Vorlesung hat sich aus Fragen entwickelt, die bereits in der Antike gestellt wurden. Exakte Lösungen der Probleme konnten aber erst deutlich später gegeben werden, als die abstrakte Theorie weit genug entwickelt war. Diese Entwicklung werden wir im Verlauf der Vorlesung nachvollziehen. Als Motivation für die später folgenden abstrakten Begriffe und Ergebnisse wollen wir aber zunächst einige der klassischen Fragen kennenlernen. 1.1 Konstruktion mit Zirkel und Lineal Bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal startet man mit einer Teilmenge M R 2 und konstruiert dann iterativ neue Punkte. Dabei sind drei elementare Konstruktionsschritte erlaubt: Definition Sei M R 2 gegeben. (i) Seien p 1, p 2, q 1, q 2 M mit p 1 p 2, q 1 q 2. Sei G 1 die Gerade durch p 1, p 2 und G 2 die Gerade durch q 1, q 2. Falls sich G 1 und G 2 in genau einem Punkt x schneiden, so heißt x in einem Schritt vom Typ 1 aus M konstruierbar. (ii) Seien p 1, p 2, q, q 1, q 2 M mit p 1 p 2. Sei G die Gerade durch p 1, p 2 und K der Kreis mit Radius q 1 q 2 um den Mittelpunkt q. Falls x ein Schnittpunkt von G und K ist, so heißt x in einem Schritt vom Typ 2 aus M konstruierbar. 1

6 2 Kapitel 1. Einleitung und Motivation (iii) Seien p, p 1, p 2, q, q 1, q 2 M mit p q. Sei K 1 der Kreis mit Radius p 1 p 2 um den Punkt p und K 2 der Kreis mit Radius q 1 q 2 um den Punkt q. Falls x ein Schnittpunkt von K 1 und K 2 ist, dann heißt x in einem Schritt vom Typ 3 aus M konstruierbar. Wir definieren M (0) = M und iterativ M (i+1) als die Vereinigung von M (i) mit der Menge aller Punkte, die in einem Schritt (irgendeines Typs) aus M (i) konstruierbar sind. Dann gilt M = M (0) M (1) M (2) und wir setzen Kon(M) = i 0 M (i). Kon(M) ist also die Menge aller Punkte, die in endlich vielen Schritten aus M konstruierbar sind. Um die Konstruktion mit Zirkel und Lineal besser algebraisch beschreiben zu können, wollen wir ab jetzt R 2 mit dem Körper C identifizieren. Satz Es sei 0, 1 M C. Dann gilt: (i) Kon(M) ist ein Teilkörper von C, der Q enthält und abgeschlossen unter komplexer Konjugation ist. (ii) Für x C mit x 2 Kon(M) gilt x Kon(M). Beweis. Aufgabe 5. Die klassischen Konstruktionsprobleme der Antike kann man nun exakt formulieren: Problem (Dreiteilung des Winkels). Gegeben sei ein Winkel in der Ebene. Gibt es eine Möglichkeit, ihn mit Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu zerteilen? In exakter Formulierung: Es sei ϕ (0, π) und e iϕ := cos ϕ + i sin ϕ. Gilt stets e i ϕ 3 Kon({0, 1, e iϕ })? Problem (Konstruktion regulärer Vielecke). Welche regulären n-ecke lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren? In exakter Formulierung: Für welche n gilt e 2πi n Kon({0, 1})? Problem (Quadratur des Kreises). Gegeben sei ein Kreis. Kann man mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt konstruieren? In exakter Formulierung zum Beispiel: Gilt π Kon({0, 1})?

7 1.2. Nullstellen durch Radikale berechnen 3 Problem (Würfelverdoppelung). Gegeben sei ein Würfel (durch seine Kantenlänge). Kann man daraus die Kantenlänge eines Würfels von doppeltem Volumen konstruieren? In exakter Formulierung zum Beispiel: Gilt 3 2 Kon({0, 1})? Um diese Probleme zu lösen, müssen wir den Körper Kon(M) und seine Eigenschaften genau studieren. 1.2 Nullstellen durch Radikale berechnen Sei k ein Körper und p k[x] ein Polynom. Wir wollen die Nullstellen von p in k (oder einem größeren Körper) berechnen. Beispiel (i) In k gelte und sei p = x 2 + ax + b k[x]. Dann sind die Nullstellen von p gerade λ 1,2 = a ± a 2 4b. 2 Ersetzt man nämlich zunächst x durch x a/2, erhält man ( q(x) = p x a ) = x 2 + b a2 2 4 und die Nullstellen von q sind offensichtlich γ 1,2 = ± a 2 4 b. Daraus erhält man für p die Nullstellen λ 1,2 = γ 1,2 a 2. (ii) In k gelte und Sei p = x 3 + ax + b k[x] (einen quadratischen Term kann man wieder durch eine Translation einfach loswerden). Dann besitzt das Polynom p die folgende Nullstelle: b γ 1 = ( ) 2 b ( a ) b 2 ( ) 2 b ( a ) Das ist die sogenannte Cardanische Formel. (iii) Auch für Polynome vom Grad 4 gibt es noch eine Lösungsformel, welche die Nullstellen anhand von +,,, / und (höheren) Wurzeln aus den Koeffizienten von p berechnet. Das sind die Formeln von Ferrari.

8 4 Kapitel 1. Einleitung und Motivation Problem (Lösung polynomialer Gleichungen mit Radikalen). Gibt es eine Formel, die nur mit +,,, / und höheren Wurzeln die Nullstellen jedes Polynoms vom Grad 5 (oder höher) aus seinen Koeffizienten berechnet? Für welche Polynome entstehen die Nullstellen überhaupt auf solche Weise aus den Koeffizienten? Auch hier kommt wieder ein Körper ins Spiel. Sei etwa p Q[x] gegeben. Dann zerfällt p über C vollständig in Linearfaktoren: p = (x α 1 )(x α 2 ) (x α d ) mit α 1,..., α d C. Sei nun K der kleinste Körper zwischen Q und C, der alle Nullstellen α 1,..., α d enthält. Wir nennen ihn den Zerfällungskörper von p. Ob man die α i wie oben aus den Koeffizienten von p berechnen kann, spiegelt sich nun in einer (relativ komplizierten) Eigenschaft dieses Körpers wieder. Um diese zu überprüfen, übersetzt man sie gewöhnlich in eine Eigenschaft von Gruppen mit Hilfe der sogenannten Galoistheorie. Dort lässt sich die Eigenschaft dann besser entscheiden und man kommt zu einer Lösung des Nullstellenproblems. 1.3 Lineare Diophantische Gleichungen In der linearen Algebra betrachtet man lineare Gleichungssysteme über Körpern. Ganz anders wird die Frage, wenn man sich für solche Systeme über Ringen interessiert. Ein System linearer diophantischer Gleichungen ist von der Gestalt Ax = b mit A Mat m,n (Z) und b Z m. Es sollen nun alle Lösungen x Z n gefunden werden. Der klassische Gauß-Algorithmus funktioniert dabei nicht ohne weiteres, da man dabei durch Einträge der Matrix teilen muss, was in Z im Allgemeinen nicht möglich ist. Bringt man die Matrix dagegen über Q auf Dreiecksgestalt, ist im Allgemeinen überhaupt nicht klar, wie man alle ganzzahligen Lösungen ablesen kann. Man muss die Theorie der linearen Algebra also nochmals neu entwicklen, diesmal für Ringe. Das führt zur sogenannten Modultheorie.

9 1.4. Algebraische Geometrie Algebraische Geometrie Nochmals anders wird die Frage nach Lösbarkeit von Gleichungssystemen, wenn man statt linearen Gleichungen beliebige polynomiale Gleichungen erlaubt. Hier arbeitet man gewöhnlich wieder über einem Körper, der oft sogar als algebraisch abgeschlossen vorausgesetzt wird. Es gibt dann keinen einfachen Algorithmus wie den von Gauß. Schon allein die Frage nach der Lösbarkeit eines polynomialen Gleichungssystems ist viel schwieriger. Eine komplette Parametrisierung der Lösungsmengen ist im Allgemeinen gar nicht möglich. Man geht dann dazu über, die Lösungsmengen als geometrischen Objekte aufzufassen, und sie nach bestimmten Kriterien zu klassifizieren. Im Vergleich zur linearen Algebra treten statt affinen Unterräumen dabei viel kompliziertere geometrische Objekte auf. Oft können die entstehenden Fragen erst durch ein Zusammenspiel von Geometrie und Algebra gelöst werden. Alle genannten Probleme werden wir im Lauf der Vorlesung betrachten und teilweise lösen können. Dabei sind nur wenige Vorkenntnisse aus der linearen Algebra nötig. Außer gewissen grundlegenden Konzepten der Mathematik benötigen wir den Begriff des Vektorraums, der Basis und der Dimension. Außerdem verwenden wir die komplexen Zahlen und einige ihrer Eigenschaften. Alle anderen Konzepte und Ergebnisse werden im Skript eingeführt. Die Inhalte der Vorlesung werden auch in vielen Lehrbüchern der Algebra behandelt. Im Anhang finden Sie dazu eine (unvollständige) Liste. Ich danke meinen Studenten der Vorlesung für viele Hinweise auf Fehler im ursprünglichen Skript; ganz besonders Tobias Olsacher und Tom Drescher. Trotzdem kann es natürlich immer noch Fehler beinhalten und ich bin für Hinweise auf diese sehr dankbar.

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11 Kapitel 2 Gruppen Eine der wichtigsten algebraischen Strukturen ist die Gruppe. Obwohl der Begriff aus der linearen Algebra bekannt ist, wollen wir ihn noch einmal einführen, um dann tiefere Ergebnisse der Gruppentheorie zu beweisen. Im Zusammenhang mit der Galoistheorie wird uns das später auch starke Aussagen über Körper ermöglichen. 2.1 Grundlagen Definition (i) Eine Gruppe ist eine Menge G zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung die folgende Bedingungen erfüllt: : G G G, (Assoziativgesetz) f, g, h (f g) h = f (g h), (neutrales Element) e g e g = g e = g, (inverse Elemente) g h g h = h g = e. (ii) Gilt zusätzlich (Kommutativgesetz) g, h g h = h g, so nennt man G eine kommutative oder abelsche Gruppe. (iii) Eine Untergruppe von G ist eine nichtleere Teilmenge H G mit 7

12 8 Kapitel 2. Gruppen (Abgeschlossenheit unter ) g, h H g h H, (Abgeschlossenheit unter Inversen) h H, g G invers zu h g H. Wir verwenden dafür auch die Schreibweise H < G. Beispiel (i) Beispiele für abelsche Gruppen sind Z, Q, R, C (oder jeder beliebige Körper) mit + und e = 0. Dabei sind die kleineren jeweils Untergruppen in den größeren. (ii) Für n N sei Z/nZ := {0, 1,..., n 1} versehen mit der Addition wie auf einer Uhr. Wir addieren also wie gewöhnlich, identifizieren aber n mit 0, n + 1 mit 1 usw... Auf diese Weise erhalten wir eine abelsche Gruppe mit n Elementen. Sie ist aber keine Untergruppe von Z, denn die Verknüpfung ist eine andere. In Z gilt (n 1) + 1 = n, in Z/nZ gilt (n 1) + 1 = 0. (iii) Für einen Körper K ist K \ {0} mit und e = 1 eine abelsche Gruppe. (iv) Die Menge GL n (K) der invertierbaren Matrizen mit Einträgen aus K ist mit Matrixmultiplikation und e = I ebenfalls eine Gruppe, die für n 2 nicht abelsch ist. (v) Für jede nichtleere Menge X bilden die bijektiven Abbildungen von X nach X eine Gruppe S(X) bezüglich der Hintereinanderausführung, das neutrale Element ist dabei die identische Abbildung id X. Falls X mindestens 3 Elemente hat, ist S(X) nicht abelsch. S(X) wird als Permutationsgruppe oder Symmetriegruppe von X bezeichnet. Im Fall X = {1,..., n} schreiben wir statt S(X) auch S n und verwenden für Permutationen σ S n auch die bereits bekannte Matrixschreibweise ( ) 1 2 n σ(1) σ(2) σ(n) oder die Darstellung als Produkt von Zykeln (1, σ(1), σ(σ(1)),...). (vi) Sind (G, ) und (H, ) Gruppen, so ist das kartesische Produkt G H ebenfalls eine Gruppe mit der komponentenweise definierten Verknüpfung (g, h) (g, h ) := (g g, h h ). Das neutrale Element ist dabei (e g, e h ) und das inverse Element zu (g, h) ist (g 1, h 1 ).

13 2.1. Grundlagen 9 Bemerkung (i) Das Assoziativgesetz erlaubt uns, Klammern bei komplizierteren Ausdrücken meistens ganz wegzulassen. (ii) Die Definition der inversen Elemente nimmt Bezug auf das neutrale Element e. Das muss also zunächst bekannt sein, es ist eindeutig bestimmt. Das inverse Element zu einem festen Element ist dann ebenfalls eindeutig bestimmt. (iii) Untergruppen enthalten immer das neutrale Element e und sind für sich selbst betrachtet Gruppen. (iv) In abelschen Gruppen wird die Verknüpfung oft mit + bezeichnet und das neutrale Element mit 0. Das zu g inverse Element wird dann mit g bezeichnet. In nicht-abelschen Gruppen verwenden wir oft und 1 oder und id für die Verknüpfung und das neutrale Element. Das zu g inverse Element wird dann mit g 1 bezeichnet. Oft lassen wir auch einfach weg, schreiben also gh statt g h. Besonders interessiert uns die Frage, welche Untergruppen eine Gruppe haben kann. Für die ganzen Zahlen ist das leicht zu erkennen: Lemma Jede Untergruppe von (Z, +) ist von der Gestalt für ein n Z. nz = {nz z Z} Beweis. Sei H < Z. Der Fall H = {0} ist trivial, also sei n H \ {0} ein Element von kleinstem Betrag. Dann gilt nz H, weil H eine Untergruppe ist. Sei umgekehrt h H. Division mit Rest liefert h = nx + r mit x, r Z, r < n. Wegen r = h nx H folgt daraus r = 0, weil n von minimalem Betrag gewählt war. Somit gilt h nz. Wenn man Abbildungen zwischen mathematischen Strukturen betrachtet, fordert man sinnvollerweise immer eine Strukturerhaltungseigenschaft. Für Gruppen führt das zum Begriff des Gruppenhomomorphismus: Definition (i) Seien (G, ), (H, ) Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung ϕ: G H mit ϕ(g h) = ϕ(g) ϕ(h)

14 10 Kapitel 2. Gruppen für alle g, h G. (ii) Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus ϕ. Das ist äquivalent dazu, dass es einen Homomorphismus ψ : H G gibt mit ϕ ψ = id H, ψ ϕ = id G. (iii) Zwei Gruppen G, H heißen isomorph (H = G), falls es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Beispiel (i) Lineare Abbildungen f : V W zwischen Vektorräumen sind Gruppenhomomorphismen. (ii) Die Multiplikation mit einem festen Körperelement g K ist ein Gruppenhomomorphismus m g : (K, +) (K, +) h gh. Betrachtet man stattdessen die Gruppe (K \ {0}, ), ist es kein Homomorphismus. (iii) Die Exponentialfunktion exp: (R, +) (R >0, ) ist ein Gruppenisomorphismus. Insbesondere (R, +) = (R >0, ). (iv) Die Menge { 1, 1} ist bezüglich eine Gruppe. Sie ist isomorph zu Z/2Z mit +. (v) Die Signatur von Permutationen sgn: S n {1, 1} ist ein Gruppenhomomorphismus. (vi) Die Determinante ist ein Gruppenhomomorphismus det: GL n (K) K \ {0}. Bemerkung (i) Gruppenhomomorphismen bilden stets die neutralen Elemente aufeinander ab und inverse Elemente auf die entsprechenden Inversen: ϕ(g) 1 = ϕ(g 1 ). (ii) Zwei isomorphe Gruppen sind völlig identisch, bis auf die Namen ihrer Elemente. Wir müssen zwischen ihnen nicht mehr unterscheiden. Ein zentraler Begriff im Kontext von Gruppen und Untergruppen ist der einer Nebenklasse:

15 2.1. Grundlagen 11 Definition (i) Für eine Untergruppe H < G und g G heißt die Menge gh := {gh h H} eine Linksnebenklasse von H in G und analog heißt Rechtsnebenklasse. Es gilt Hg := {hg h H} gh = gh g 1 g H. Analog ist Hg = H g äquivalent zu g g 1 H. (ii) Wir bezeichnen mit G/H := {gh g G} die Menge der Linksnebenklassen und analog mit H\G die Menge der Rechtsnebenklassen. (iii) Eine Untergruppe H < G heißt Normalteiler oder normale Untergruppe von G, falls gh = Hg für alle g G gilt. Das ist äquivalent zu Wir schreiben dafür H G. h H, g G g 1 hg H. Bemerkung/Beispiel (i) In einer abelschen Gruppe gilt stets g 1 hg = hg 1 g = he = h, also ist jede Untergruppe normal. (ii) Wir betrachten G = S 3 und darin die Untergruppe H = {id, (23)}. Wir berechnen (13) H = {(13), (132)}, H (13) = {(13), (123)}. Diese beiden Mengen stimmen nicht überein, also ist H keine normale Untergruppe von S 3. Lemma Für einen Gruppenhomomorphismus ϕ: G H ist eine normale Untergruppe von G und ker(ϕ) := {g G ϕ(g) = e H } im(ϕ) := {ϕ(g) g G} eine Untergruppe von H. Es ist ϕ genau dann injektiv, wenn ker(ϕ) = {e G }.

16 12 Kapitel 2. Gruppen Beweis. Offensichtlich sind ker(ϕ) und im(ϕ) jeweils Untergruppen. Für h ker(ϕ) und g G gilt ϕ(g 1 hg) = ϕ(g) 1 ϕ(h)ϕ(g) = ϕ(g) 1 e H ϕ(g) = e H, also g 1 hg ker(ϕ). Damit ist ker(ϕ) einw normale Untergruppe. Für die Injektivität sei ker(ϕ) = {e G } und ϕ(g 1 ) = ϕ(g 2 ) für gewisse g 1, g 2 G. Dann gilt e H = ϕ(g 1 ) 1 ϕ(g 2 ) = ϕ(g 1 1 g 2 ), also g 1 1 g 2 ker(ϕ), also g 1 1 g 2 = e G, also g 1 = g 2. Proposition Sei H < G. Dann gilt für g, g 1, g 2 G stets sowie g 1 H = g 2 H oder g 1 H g 2 H = #gh = #H = #Hg. Insbesondere ist G disjunkte Vereinigung seiner Linksnebenklassen sowie seiner Rechtsnebenklassen und deren Anzahl (falls G endlich ist) stimmt überein. Beweis. Sei g g 1 H g 2 H, also g = g 1 h 1 = g 2 h 2 mit h 1, h 2 H. Damit ist g 1 = g 2 h 2 h 1 1 g 2 H und somit g 1 H g 2 H. Die andere Inklusion folgt analog (ebenso für Rechtsnebenklassen). Wegen g = ge gh für alle g G ist G also die disjunkte Vereinigung der Nebenklassen. Die surjektive Abbildung H gh, h gh ist injektiv aufgrund der Existenz des Inversen von g (analog für Rechtsnebenklassen). Daraus folgt die Gleichheit der Mächtigkeiten und damit insbesondere die Gleichheit ihrer Anzahl. Wir können nun den ersten wichtigen Satz über mögliche Untergruppen einer Gruppe beweisen. Er formuliert eine notwendige Bedingung, schließt also die Existenz von Untergruppen mit gewissen Eigenschaften aus. Satz (Satz von Lagrange). Sei G eine endliche Gruppe und H < G. Dann ist die Mächtigkeit von H ein Teiler der Mächtigkeit von G. Beweis. G wird disjunkt zerlegt durch die Nebenklassen von H, die alle gleich viele Elemente wie H haben. Damit ist die Aussage klar.

17 2.1. Grundlagen 13 Bemerkung (i) Eine Gruppe mit 8 Elementen kann höchstens Untergruppen mit der Mächtigkeit 1, 2, 4, 8 haben. (ii) Eine Gruppe G mit Primzahlmächtigkeit hat nur die beiden trivialen Untergruppen {e} und G. Definition Sei G endlich und H < G. Dann heißt der Index von H in G. G : H := #G #H = #(G/H) = #(H\G) Der folgende Satz zeigt, warum die Normalität einer Untergruppe interessant ist: Satz Sei H G. Dann ist die Menge G/H auf folgende Weise mit einer wohldefinierten Verknüpfung versehen, die sie zu einer Gruppe macht: Die Projektion (g 1 H) (g 2 H) := (g 1 g 2 )H. π : G G/H g gh ist ein surjektiver Gruppenhomomorphimus mit ker(π) = H. Beweis. Wir zeigen zunächst die Wohldefiniertheit. Sei dazu g 1 H = g 1 H, g 2 H = g 2 H, also g 1 1 g 1 H, g 1 2 g 2 H. Aufgrund der Normalität gibt es ein h H mit g 1 1 g 1 g 2 = g 2 h. Damit gilt (g 1 g 2 ) 1 ( g 1 g 2 ) = g 1 2 g 1 1 g 1 g 2 = g 1 2 g 2 h H, also (g 1 g 2 )H = ( g 1 g 2 )H. Nachdem die Wohldefiniertheit gezeigt ist, folgen die Gruppeneigenschaften direkt aus denen von G: (fh gh) hh = (fg)h hh = ((fg)h)h = (f(gh))h = fh (gh)h = fh (gh hh)

18 14 Kapitel 2. Gruppen eh gh = (eg)h = gh = (ge)h = gh eh gh g 1 H = (gg 1 )H = eh. Die Homomorphie-Eigenschaft der Projektion ist ebenfalls klar: Es gilt schließlich π(gh) = (gh)h = gh hh = π(g) π(h). ker(π) = {g G gh = eh} = {g G g 1 e H} = H. Definition Für eine normale Untergruppe H G heißt die Gruppe G/H Faktorgruppe oder Restklassengruppe von G nach H. Beispiel Wir betrachten Z als Gruppe mit +. Für n N ist die Menge H = nz = {nz z Z} eine Untergruppe. Da Z abelsch ist, ist H eine normale Untergruppe, also ist Z/nZ wie oben eine Gruppe. Für die Nebenklasse m+nz schreiben wir auch einfach m. Für a, b Z schreiben wir auch a b mod n falls a = b in Z/nZ gilt (Sprechweise: a kongruent b modulo n). Dies ist äquivalent zu n (a b) in Z. Es gilt zum Beispiel in Z/3Z = = 3 = 0. Man überlegt sich leicht, dass diese Definition von Z/nZ wirklich genau mit der bereits bekannten übereinstimmt. Wir beenden diesen Abschnitt mit einem vielleicht zunächst überraschenden Satz: Satz Jede Gruppe G mit #G = n ist isomorph zu einer Untergruppe von S n. Beweis. Für g G ist die Abbildung m g : G G h gh

19 2.2. Homomorphie- und Isomorphiesätze 15 bijektiv und es gilt m fg = m f m g, m 1 g = m g 1. Weiter ist Also ist die Abbildung m g = id g = e. G S(G) g m g ein injektiver Gruppenhomomorphismus und damit G isomorph zu seinem Bild, einer Untergruppe von S(G) = S n. 2.2 Homomorphie- und Isomorphiesätze Für das Studium von Gruppen und Homomorphismen ist der Homomorphiesatz ein wichtiges Werkzeug. Er wird im Folgenden unzählige Male verwendet werden. Satz (Homomorphiesatz). Für einen Gruppenhomomorphismus ϕ: G H ist der folgende Homomorphismus wohldefiniert und injektiv: Insbesondere gilt G/ ker(ϕ) = im(ϕ). ϕ: G/ ker(ϕ) H gn ϕ(g). Beweis. Setze N = ker(ϕ). Für die Wohldefiniertheit sei g 1 N = g 2 N, also g1 1 g 2 N, also e H = ϕ(g1 1 g 2 ) = ϕ(g 1 ) 1 ϕ(g 2 ), also ϕ(g 1 ) = ϕ(g 2 ). Für die Injektivität reicht es, ker(ϕ) = {e} zu zeigen. Aus e = ϕ(gn) = ϕ(g) folgt aber g ker(ϕ) = N, also gn = en in G/N. Aus im(ϕ) = im(ϕ) folgt die besagte Isomorphie.

20 16 Kapitel 2. Gruppen Als erste Anwendung erhalten wir eine Klassifizierung von sogenannten zyklischen Gruppen. Definition (i) Sei G eine Gruppe und A G. Dann bezeichnet A die kleinste Untergruppe von G, die A enthält. Offensichtlich gilt A = A H<G H = { a 1 a 2 a r r N, a i A oder a 1 i A }. (ii) Sei g G. Dann heißt g eine zyklische Gruppe. Korollar Jede zyklische Gruppe ist isomorph zu Z oder zu Z/nZ für ein n Z. Insbesondere ist jede zyklische Gruppe abelsch. Beweis. Wir betrachten die folgende Abbildung, die offensichtlich ein Homomorphismus ist: ϕ: Z G z g z. Es gilt im(ϕ) = g und nach Lemma gilt ker(ϕ) = nz für ein n Z, also folgt die Aussage aus dem Homomorphiesatz. Korollar Jede Gruppe G mit #G = p prim ist zyklisch und damit abelsch. Beweis. Für e g G ist 1 < # g ein Teiler von G = p nach Satz Also gilt G = g. Auch die Isomorphiesätze sind immer wieder nützlich. Satz (1. Isomorphiesatz). Seien H < G und N G. Für gilt dann: (i) HN < G, (ii) (H N) H und N HN, (iii) H/(H N) = HN/N. HN := {hn h H, n N}

21 2.3. Gruppenoperationen 17 Beweis. (i) HN ist offensichtlich nicht leer und für h 1, h 2 H, n 1, n 2 N gilt h 1 n 1 h 2 n 2 = h 1 h 2 ñ 1 n 2 für ein ñ 2 N aufgrund der Normalität. Also h 1 n 1 h 2 n 2 HN. Analog ist (h 1 n 1 ) 1 = n 1 1 }{{} N h 1 1 = h 1 1 }{{} H für ein n N. Damit ist HN eine Untergruppe von G. (ii) H N ist offensichtlich eine Untergruppe von H. Für n H N und h H gilt h 1 nh N aufgrund der Normalität von N und h 1 nh H aufgrund der Untergruppeneigenschaft von H. Damit ist (H N) N. Wegen e H gilt N HN und offensichtlich ist es dann eine normale Untergruppe. Für (iii) verwenden wir den Homomorphiesatz. Zunächst gibt es einen Homomorphismus ϕ: H HN/N h hn. Er ist offensichtlich surjektiv, denn für h H, n N gilt hnn = hn. Nun gilt ker(ϕ) = {h H hn = en} = {h H h N} = H N. Die Isomorphie folgt also aus der Aussage des Homomorphiesatzes. Satz (2. Isomorphiesatz). Seien H, N G und H < N. Dann ist N/H G/H und G/N = (G/H) / (N/H). Beweis. Aufgabe 11. n 2.3 Gruppenoperationen Definition (i) Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Abbildung G X X (g, x) g x heißt Gruppenoperation von G auf X, falls gilt:

22 18 Kapitel 2. Gruppen (a) x X e x = x, (b) g, h G, x X g (h x) = (gh) x. (ii) Für eine Gruppenoperation G X X und x X heißt die Bahn von x und der Stabilisator von x. Gx := {g x g G} Stab(x) := G x := {g G g x = x} Bemerkung/Beispiel (i) Die Gruppe G = GL n (K) operiert auf X = K n durch Matrixmultiplikation: GL n (K) K n K n (A, v) Av. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten für die Bahnen. Für v = 0 gilt Gv = {0}, für v 0 gilt Gv = K n \ {0}. Der Stabilisator Stab(v) besteht aus denjenigen Matrizen, für die v ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist. Zum Beispiel gilt Stab(0) = GL n (K). (ii) Die Gruppe O n (R) der orthogonalen Matrizen operiert wie in (i) auf R n. Die Bahnen sind dabei gerade die Sphären um den Ursprung. (iii) Die Gruppenverknüpfung einer Gruppe G ist eine Operation von G auf sich selbst: G G G (g, h) gh. Wegen der Existenz von Inversen gilt Gh = G und Stab(h) = {e} für alle h G. (iv) G operiert auf sich selbst aber zum Beispiel auch durch Konjugation: G G G (g, h) ghg 1. Für h G ist dann Stab(h) = {g G gh = hg} die Menge aller Elemente, die mit h kommutieren. Die Bahn Gh = {ghg 1 g G} nennt man auch die Konjugationsklasse von h in G.

23 2.3. Gruppenoperationen 19 (v) Sei H < G eine Untergruppe. Dann operiert G auf der Menge G/H der Linksnebenklassen durch G G/H G/H (g, fh) (gf)h. Um die Wohldefiniertheit nachzuweisen, benötigt man hier nicht die Normalität! (vi) Für eine Gruppenoperation G X X liefert jedes g G eine Abbildung m g : X X x g x. Dabei gilt aufgrund der Axiome m e = id X und m gh = m g m h. Insbesondere gilt m g 1 = (m g ) 1 und alle m g sind bijektiv, also m g S(X). Man kann eine Gruppenoperation von G auf X also wahlweise auch einfach definieren als einen Gruppenhomomorphismus G S(X). Lemma Sei G X X eine Gruppenoperation. Dann gilt: (i) Bahnen sind entweder disjunkt oder identisch, liefern also eine disjunkte Zerlegung von X. (ii) Für jedes x X ist Stab(x) eine Untergruppe von G. Beweis. (i) Gx Gy bedeutet g 1 x = g 2 y für gewisse g 1, g 2 G. Daraus folgt x = ex = (g 1 1 g 1 )x = g 1 1 (g 1 x) = g 1 1 (g 2 y) = (g 1 1 g 2 )y Gy und damit offensichtlich Gx Gy. Die andere Inklusion folgt analog. (ii) e Stab(x) folgt aus der Definition von Gruppenoperation, also Stab(x). Für g, h Stab(x) gilt also gh, g 1 Stab(x). (gh)x = g(hx) = gx = x g 1 x = g 1 (gx) = (g 1 g)x = ex = x,

24 20 Kapitel 2. Gruppen Definition (i) Eine Gruppenoperation heißt transitiv, falls es nur eine Bahn gibt, also Gx = X für alle x X gilt. (ii) Eine Teilmenge V X heißt vollständiges Vertretersystem der Bahnen, falls für jede Bahn Gx gilt #(Gx V ) = 1. Satz (Bahnengleichung). Sei X eine endliche Menge, G X X eine Gruppenoperation und V X ein vollständiges Vertretersystem der Bahnen. Dann gilt #X = G : Stab(v). v V Beweis. Für x X betrachte die Abbildung Dann gilt π : G Gx g gx. π(g 1 ) = π(g 2 ) g 1 x = g 2 x g 1 2 g 1 x = x g 1 2 g 1 Stab(x) g 1 Stab(x) = g 2 Stab(x). Also induziert π eine bijektive Abbildung zwischen G/Stab(x) und Gx und es gilt G : Stab(x) = #Gx. Da die Bahnen X disjunkt zerlegen, folgt daraus die Aussage. Beispiel Wir betrachten die offensichtlich transitive Operation Für jedes i {1,..., n} gilt also S n {1,..., n} {1,..., n} (σ, i) σ(i). n = #{1,..., n} = S n : Stab(i) = also #Stab(i) = (n 1)!. #S n #Stab(i) = n! #Stab(i),

25 2.4. Existenz von Untergruppen und Sylow-Sätze 21 Definition (i) Für eine Gruppe G nennt man das Zentrum von G. (ii) Für h G heißt der Zentralisator von h in G. Z(G) := {g G h G gh = hg} C G (h) = {g G gh = hg} Lemma Es gilt Z(G) G und C G (h) < G für alle h G. Beweis. Aufgabe 13. Korollar (Klassengleichung). Sei G eine endliche Gruppe und V ein Vertretersystem aller Konjugationsklassen in G mit mindestens 2 Elementen. Dann gilt #G = #Z(G) + v V G : C G (v). Beweis. Die Aussage ist eine direkte Anwendung der Bahnengleichung auf die Operation von G auf sich selbst durch Konjugation (siehe Beispiel (iii)). Man beachte dabei nur, dass Stab(v) = C G (v) gilt, die Bahn Gv gerade die Konjugationsklasse von v ist und die Konjugationsklasse eines Elementes genau dann nur ein Element hat, wenn das Element im Zentrum liegt. Korollar Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe mit #G = p r > 1. Dann gilt Z(G) {e}. Beweis. In der Klassengleichung ist p ein Teiler der linken Seite und ebenfalls ein Teiler von G : C G (v) für v V, da dann C G (v) G. Also ist p ein Teiler von #Z(G) und insbesondere #Z(G) > Existenz von Untergruppen und Sylow-Sätze Wir wollen uns nun mit der wichtigen Frage beschäftigen, was für Untergruppen man in einer gegebenen Gruppe wirklich finden kann. Das wird uns später in Kombination mit der Galoistheorie starke Ergebnisse ermöglichen. Definition Sei G eine Gruppe. Die Ordnung ord(g) eines Elements g G ist die Mächtigkeit der Untergruppe g.

26 22 Kapitel 2. Gruppen Lemma Sei G eine Gruppe und g G. (i) Es gilt g z = e für z Z genau dann, wenn ord(g) z. Insbesondere ist die Ordnung von g die kleinste positive Zahl n mit g n = e. (ii) Falls g p = e für eine Primzahl p gilt, folgt g = e oder ord(g) = p. Beweis. Wie in Korollar betrachten wir den Homomorphismus ϕ: Z g ; z g z. Dann gilt ker(ϕ) = nz und Z/nZ = g, woraus n = ord(g) folgt. Wegen g z = e z ker(ϕ) n z ist Aussage (i) klar und (ii) folgt direkt daraus. Das folgende Ergebnis ist unter anderem die Grundlage für einen ersten einfachen Primzahltest. Korollar (Kleiner Satz von Fermat). Sei p eine Primzahl und a N mit 1 a < p. Dann gilt p a p 1 1. Beweis. Die Menge Z/pZ ist mit + und sogar ein Körper. Dazu benötigt man dass p eine Primzahl ist (Aufgabe 16). Insbesondere ist G = (Z/pZ) \ {0} eine Gruppe bezüglich, die genau p 1 Elemente hat. Wegen a G gilt nach Satz ord(a) p 1, also n ord(a) = p 1, also a p 1 = a p 1 = ( a ord(a)) n = 1 n = 1. Das bedeutet aber in Z gerade p a p 1 1. Nach Satz gilt ord(g) #G für alle g G. Eine erste teilweise Umkehrung dieser Aussage ist der folgende Satz. Proposition (Lemma von Cauchy). Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl mit p #G. Dann gibt es in G ein Element g mit ord(g) = p.

27 2.4. Existenz von Untergruppen und Sylow-Sätze 23 Beweis. Wir betrachten die Menge X = {(g 1,..., g p ) G p g 1 g p = e}, und sehen dass #X = (#G) p 1 gelten muss. Man kann nämlich die ersten p 1 Einträge eines Tupels beliebig vorgeben, der letzte Eintrag ist dann eindeutig bestimmt. Inbesondere gilt p #X. Nun betrachten wir die folgende (wohldefinierte!) Gruppenoperation: Z/pZ X X ( i, (g1,..., g p ) ) (g i+1, g i+2,..., g p, g 1, g 2,..., g i ). Die Mächtigkeit jeder Bahn ist ein Teiler von #Z/pZ = p, wie wir im Beweis der Bahnengleichung gesehen haben. Damit hat jede Bahn entweder 1 oder p Elemente. Es gibt aber Bahnen mit einem Element, zum Beispiel die Bahn von (e,..., e) X. Weil die Bahnen X disjunkt zerlegen und weil p #X gilt, muss die Anzahl der einelementigen Bahnen deshalb ebenfalls durch p teilbar sein. Insbesondere ist sie echt größer als 1. Also gibt es ein e g G mit (g,..., g) X, also g p = e. Mit Lemma (ii) folgt die Aussage. Für abelsche Gruppen erhalten wir eine komplette Umkehrung des Satzes von Lagrange: Satz Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Dann gibt es für jeden Teiler n von #G eine Untergruppe H von G mit #H = n. Beweis. Wir beweisen die Aussage per Induktion über #G. Für #G = 1 ist nichts zu zeigen. Sei also #G > 1. Für n = 1 ist die Aussage ebenfalls klar. Sei also n > 1 und p eine Primzahl mit p n. Wegen p #G gibt es nach dem Lemma von Cauchy eine Untergruppe U von G mit #U = p. Da G abelsch ist, ist U eine normale Untergruppe und damit G/U wieder eine Gruppe und wegen #(G/U) = #G p < #G finden wir nach Induktionsannahme eine Untergruppe H < G/U mit # H = n p. Sei π : G G/U die kanonische Projektion. Dann ist H := π 1 ( H)

28 24 Kapitel 2. Gruppen aber eine Untergruppe von G mit Mächtigkeit n wie gewünscht. Die Untergruppeneigenschaft ist dabei klar. Für die Mächtigkeit betrachten wir die surjektive Einschränkung π : H H. Wegen ker(π) H gilt U = ker(π) = ker( π), also nach dem Homomorphiesatz H/U = H. Für die Mächtkeiten bedeutet das n p = # H = #(H/U) = #H #U = #H p, also #H = n. Eine ebenfalls vollständige Umkehrung des Satzes von Lagrange erhalten wir für Gruppen mit Primzahlpotenz-Mächtigkeit: Proposition Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe mit #G = p r. Dann gibt es für jedes 0 k r eine Untergruppe H von G mit #H = p k. Beweis. Wir beweisen die Aussage per Induktion über r. Für r = 1 ist nichts zu zeigen, sei also r > 1. Sei ebenfalls k > 0. Nach Korollar gilt Z(G) {e}, also p #Z(G) nach Satz und deshalb gibt es nach dem Lemma von Cauchy ein g Z(G) mit ord(g) = p. Weil g im Zentrum liegt, ist U = g eine normale Untergruppe von G und wir betrachten den kanonischen Gruppenhomomorphismus π : G G/U. Es gilt #(G/U) = p r 1 und nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Untergruppe H < G/U mit # H = p k 1. Mit dem selben Argument wie im letzten Beweis ist dann H := π 1 ( H) eine Untergruppe von G mit Mächtigkeit p k. Für allgemeine Gruppen gibt es keine vollständige Umkehrung des Satzes von Lagrange, nur eine teilweise: Satz (1. Sylowsatz). Sei G eine endliche Gruppe mit #G = p r m, wobei p eine Primzahl mit p m sei. Dann gibt es für jedes 0 k r eine Untergruppe H von G mit #H = p k.

29 2.4. Existenz von Untergruppen und Sylow-Sätze 25 Beweis. Zunächst zeigen wir die Existenz einer Untergruppe mit p r Elementen. Dazu verwenden wir Induktion über n = #G. Im Fall n = 1 ist nichts zu zeigen. Wir nehmen also an, dass die Aussage für alle Gruppen mit Mächtigkeit < n bereits bewiesen ist. 1. Fall: G besitzt eine echte Untergruppe H mit p r #H. Dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung in H eine Untergruppe der Mächtigkeit p r und das ist auch eine Untergruppe von G. 2. Fall: Für jede echte Untergruppe H von G gilt p r #H, also p G : H. Die Klassengleichung besagt #G = #Z(G) + v V G : C G (v), wobei alle in der Summe auftretenden C G (v) echte Untergruppen von G sind. Daraus folgt p #Z(G) und nach dem Lemma von Cauchy gibt es ein g Z(G) mit ord(g) = p. Da die Untergruppe U = g im Zentrum von G enthalten ist, ist sie eine normale Untergruppe von G und wir betrachten den kanonischen Gruppenhomomorphismus π : G G/U. Es gilt #(G/U) = p r 1 m < n und nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Untergruppe H < G/U mit # H = p r 1. Genau wie im letzten Beweis erhalten wir damit die gewünschte Untergruppe H = π 1 ( H). Nun sei 0 k r beliebig. Zunächst wählen wir eine Untergruppe in G mit Mächtigkeit p r und mit Proposition darin eine Untergruppe mit Mächtigkeit p k. Beispiel (i) Sei G eine Gruppe mit #G = 12 = Dann gibt es in G Untergruppen mit 1, 2, 3, 4, 12 Elementen. (ii) Wir betrachten zunächst allgemein die Gruppe S n und den Gruppenhomomorphimus sgn: S n {1, 1}. Dann ist A n := ker(sgn) eine normale Untergruppe in S n, genannt die alternierende Gruppe. A n besteht also gerade aus den Permutationen, die ein Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen sind. Wegen S n /A n = {1, 1} folgt sofort #A n = #S n /2 = n!/2, also zum Beispiel #A 4 = 12. In A 4 gibt es allerdings keine Untergruppe mit Mächtigkeit 6 (Aufgabe 18).

30 26 Kapitel 2. Gruppen Definition Sei p eine Primzahl mit #G = p r m und p m. (i) H < G heißt p-untergruppe von G, falls #H = p k für ein 0 k r gilt. (ii) H < G heißt p-sylow-untergruppe, falls #H = p r gilt. Satz (2. Sylowsatz). Sei G eine endliche Gruppe mit #G = p r m, wobei p eine Primzahl mit p m sei. Seien H eine p-untergruppe und S eine p-sylow- Untergruppe von G. Dann gibt es ein g G mit H gsg 1. Insbesondere ist jede p-untergruppe in einer p-sylow-untergruppe enthalten und je zwei p-sylow-untergruppen sind zueinander konjugiert. Beweis. Sei S p die Menge aller p-sylow-untergruppen von G. Offensichtlich operiert G auf S p durch Konjugation: G S p S p (g, U) gug 1. Sei Ω S p die Bahn von S unter dieser Operation, also Ω = { gsg 1 g G }. Offensichtlich gilt S < Stab(S) < G, also p r = #S #Stab(S) und damit ist p kein Teiler von #Ω = G : Stab(S) = #G #Stab(S). Die Untergruppe H operiert genau wie G durch Konjugation auf Ω (nur im Gegensatz zu G nicht unbedingt transitiv). Dabei sind die Bahnenlängen Potenzen von p oder 1, denn das sind die einzigen Teiler von #H. Da die Bahnen Ω dabei disjunkt zerlegen und p kein Teiler von #Ω ist, muss mindestens eine Bahn der Länge 1 auftreten. Es gibt also S = gsg 1 Ω mit hs h 1 = S für alle h H. Wie im Beweis des ersten Isomorphiesatzes zeigt man damit leicht, dass HS eine Untergruppe von G ist, S HS und H S H gilt sowie H/(H S ) = HS /S.

31 2.4. Existenz von Untergruppen und Sylow-Sätze 27 Die Mächtigkeit der linken Seite sowie die von S ist aber jeweils eine Potenz von p und damit ist auch #(HS ) eine p-potenz. Da S eine p-sylow- Untergruppe in G ist, folgt aus S HS dann schon S = HS. Das impliziert H S, die gewünschte Aussage. Satz (3. Sylowsatz). Sei G eine endliche Gruppe mit #G = p r m, wobei p eine Primzahl mit p m sei. Sei s die Anzahl der p-sylow-untergruppen von G. Dann gilt s m und s 1 mod p. Beweis. Wie im letzten Beweis betrachten wir die Menge S p aller p-sylow- Untergruppen und die Operation G S p S p (g, U) gug 1. Da je zwei p-sylow-untergruppen zueinander konjugiert sind, ist die Operation transitiv, d.h. mit beliebigem S S p und der Notation des letzten Beweises gilt Ω = S p. Dort wurde aber gezeigt, dass p kein Teiler von #Ω = G : Stab(S) = #G #Stab(S) ist, also s = #Ω m. Lässt man nun S anstatt G auf S p operieren, so gibt es wieder ein S S p mit Bahnenlänge 1 und dafür gilt S S, wie im letzten Beweis gezeigt. Das impliziert aber S = S, also gibt es genau eine Bahn mit Bahnenlänge 1, alle anderen Bahnenlängen sind Vielfache von p. Daraus folgt s = #Ω 1 mod p. Korollar Bis auf Isomorphie gibt es nur eine Gruppe mit 15 Elementen, nämlich die zyklische Gruppe Z/15Z. Beweis. Sei G eine Gruppe mit #G = 15 = 3 5. Sei s 3 die Anzahl der 3-Sylow- Untergruppen und s 5 die Anzahl der 5-Sylow-Untergruppen von G. Es gilt s 3 5 und s 3 1 mod 3 und daraus folgt s 3 = 1. Analog folgt s 5 = 1. Die (einzige) 3-Sylow-Untergruppe S 3 und die (einzige) 5-Sylow-Untergruppe S 5 müssen dann aber normale Untergruppen in G sein. Außerdem gilt S 3 S 5 = {e}, weil die Ordnung eines Elements im Durchschnitt ein Teiler von 3 und von 5 sein muss. Für g S 3, h S 5 gilt dann ghg 1 h 1 S 3 S 5,

32 28 Kapitel 2. Gruppen aufgrund der Normalität, also ghg 1 h 1 = e, also gh = hg. Die Elemente von S 3 und S 5 kommutieren also miteinander. Damit ist die folgende Abbildung ein Homomorphismus: S 3 S 5 G (g, h) gh. Wegen S 3 S 5 = {e} ist er injektiv. Da beide Gruppen aber 15 Elemente haben, ist er surjektiv und damit ein Isomorphismus. Es gilt aber S 3 = Z/3Z und S5 = Z/5Z nach Korollar und Korollar Damit ist G isomorph zu Z/3Z Z/5Z und diese Gruppe ist wiederum isomorph zu Z/15Z (Aufgabe 19). 2.5 Auflösbare Gruppen Der Begriff einer auflösbaren Gruppe ist zunächst sehr abstrakt. Er wird aber gebraucht, um später die Existenz von Lösungsformeln für polynomiale Gleichungen zu untersuchen. Sei G stets eine Gruppe. Definition (i) Für g, h G heißt [g, h] := ghg 1 h 1 der Kommutator von g und h. (ii) Die von allen Kommutatoren erzeugte Untergruppe von G heißt Kommutator-Untergruppe und wird mit K(G) bezeichnet. Lemma (i) Es gilt [g, h] 1 = [h, g]. Inbesondere besteht die Kommutator- Untergruppe aus allen endlichen Produkten von Kommutatoren, d.h. K(G) = {[g 1, h 1 ] [g n, h n ] n N, g i, h i G}. (ii) K(G) ist eine normale Untergruppe in G. (iii) Für N G gilt G/N abelsch K(G) N. K(G) ist also die kleinste normale Untergruppe mit abelscher Faktorgruppe. Beweis. (i) ist klar: [g, h] 1 = (ghg 1 h 1 ) 1 = hgh 1 g 1 = [h, g].

33 2.5. Auflösbare Gruppen 29 Für (ii) rechnet man direkt nach f 1 [g 1, h 1 ][g 2, h 2 [g n, h n ]f = [f 1 g 1 f, f 1 h 1 f] [f 1 g }{{} n f, f 1 h n f]. }{{} K(G) K(G) (iii) G/N ist genau dann abelsch, wenn für alle g, h G gilt also also K(G) N. ghn = gn hn = hn gn = hgn, N (gh)(hg) 1 = ghg 1 h 1 = [g, h], Lemma (i) Für abelsche Gruppen gilt K(G) = {e}. (ii) Für alle n 1 gilt K(S n ) = A n. (iii) Für n = 1, 2, 3 gilt K(A n ) = {id}. (iv) K(A 4 ) = Z/2Z Z/2Z ist abelsch. (v) Für n 5 gilt K(A n ) = A n. Beweis. (i) folgt aus Lemma (iii) und ist auch direkt klar, da in abelschen Gruppen immer [g, h] = ghg 1 h 1 = gg 1 hh 1 = e gilt. (ii) Für n = 1 ist die Aussage klar. Für n 2 gilt S n /A n = {1, 1} = Z/2Z und das ist eine abelsche Gruppe. Damit gilt nach Lemma (iii) K(S n ) A n. Für n = 2 gilt offensichtlich A 2 = {id} und damit Gleichheit. Für n 3 ist jedes Element von A n ein Produkt von 3-Zyklen (Aufgabe 17). Für i, j, k paarweise verschieden gilt aber (ijk) = (ik)(jk)(ik) 1 (jk) 1 = [(ik), (jk)] K(S n ). Daraus folgt A n K(S n ). (iii) ist klar, da die Gruppen A n für n 3 abelsch sind. (iv) ist Aufgabe 21. Für (v) reicht es zu zeigen, dass für n 5 jeder 3-Zykel in S n ein Kommutator von 3-Zykeln ist. Seien dazu i, j, k {1,..., n} paarweise veschieden. Wähle dann zwei weitere unterschiedliche Elemente l, m {1,..., n} und berechne (ijk) = [(ijl), (ikm)] K(A n ).

34 30 Kapitel 2. Gruppen Definition (i) Eine Normalreihe für G ist eine Folge von normalen Untergruppen {e} = G n G n 1 G 1 G 0 = G. Man beachte dabei, dass jedes G i+1 nur eine normale Untergruppe in G i sein muss, nicht etwa in G. Die Gruppen G i /G i+1 heißen Faktoren der Normalreihe. (ii) G heißt auflösbar, wenn G eine Normalreihe mit abelschen Faktoren besitzt. Wir setzen nun K 0 (G) := G und iterativ K i+1 (G) := K(K i (G)). Auf diese Weise erhalten wir eine absteigende Folge von Untergruppen von G, die jeweils normale Untergruppen in der vorhergehenden Gruppen sind, mit abelschen Faktoren. Satz G ist genau dann auflösbar, wenn für ein n N gilt. Beweis. Falls K n (G) = {e} gilt, ist K n (G) = {e} {e} = K n (G) K n 1 (G) K 1 (G) K 0 (G) = G offensichtlich eine Normalreihe mit abelschen Faktoren, also ist G auflösbar. Sei umgekehrt {e} = G n G n 1 G 1 G 0 = G eine Normalreihe mit abelschen Faktoren. Wir zeigen induktiv K i (G) G i und daraus folgt dann die Behauptung. Für i = 0 ist die Aussage klar. Es gelte nun K i (G) G i für ein i. Es ist G i /G i+1 abelsch, also K(G i ) G i+1 nach Lemma (iii). Somit gilt K i+1 (G) = K(K i (G)) K(G i ) G i+1.

35 2.5. Auflösbare Gruppen 31 Korollar Für n 4 ist S n auflösbar, für n 5 nicht. Beweis. Folgt aus Satz und Lemma Satz (i) J ede Untergruppe einer auflösbaren Gruppe ist auflösbar. (ii) Für N G gilt G auflösbar G/N und N auflösbar. Beweis. (i) folgt direkt aus Satz 2.5.5, da für H < G offensichtlich K(H) < K(G) gilt. Für (ii) sei zunächst G auflösbar, also K n (G) = {e}. Nach (i) ist dann auch N auflösbar. Sei π : G G/N die kanonische (surjektive) Projektion. Dann überlegt man sich leicht K n (G/N) = π (K n (G)) = {e}, also ist auch G/N auflösbar. Gelte nun umgekehrt K n (G/N) = {e} und K m (N) = {e}. Dann gilt wieder π (K n (G)) = K n (G/N) = {e}, also K n (G) ker(π) = N. Daraus folgt also ist G auflösbar. K n+m (G) K m (N) = {e}, Satz Sei G eine Gruppe mit #G = p r, wobei p eine Primzahl sei. Dann ist G auflösbar. Beweis. Induktion über r, der Fall r = 0 ist trivial. Für r > 1 hat G nach Korollar ein nichttriviales Zentrum Z(G) G. Es ist aber Z(G) abelsch und damit auflösbar und #(G/Z(G)) = p k für ein k < r. Nach Induktionsvoraussetzung ist damit G/Z(G) auflösbar und nach Satz damit auch G. Satz Jede endliche auflösbare Gruppe G besitzt eine Normalreihe, deren Faktoren isomorph zu gewissen Z/p i Z mit Primzahlen p i sind. Beweis. Wir zeigen, dass wir jede Normalreihe mit abelschen Faktoren solange verfeinern können, bis die Faktoren Primzahlmächtigkeit haben. Das müssen wir natürlich nur für einen Schritt in der Normalreihe beweisen. Sei also H G mit G/H abelsch und π : G G/H

36 32 Kapitel 2. Gruppen die kanonische Projektion. Falls G/H nicht bereits Primzahlmächtigkeit hat, finden wir nach Satz eine nichttriviale Untergruppe U < G/H, die automatisch eine normale Untergruppe ist, da G/H abelsch ist. Mit N := π 1 (U) gilt dann H N G. Nach dem 2. Isomorphisatz gilt G/N = (G/H)/(N/H) und als Quotient einer abelschen Gruppe ist diese Gruppe wieder abelsch. Weiter gilt N/H = U < G/H, also ist auch N/H abelsch. Wir haben die Normalreihe also strikt verfeinert. Dieser Prozess wird iteriert, bis alle Faktoren Primzahlmächtigkeit haben.

37 Kapitel 3 Ringe Eine weitere wichtige Struktur in der Algebra ist der Ring. Im Gegensatz zu einer Gruppe besitzt ein Ring zwei verschiedene Verknüpfungen. Die aus der linearen Algebra bekannten Körper sind Spezialfälle von Ringen. 3.1 Grundlagen Definition (i) Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen +: R R R : R R R, genannt Addition und Multiplikation, sodass gilt: R ist bezüglich Addition eine abelsche Gruppe (das neutrale Element bezeichnen wir mit 0). Die Multiplikation ist assoziativ und besitzt ein neutrales Element 1. Addition und Multiplikation erfüllen das Distributivgesetz, d.h. für alle a, b, c R gilt a (b + c) = (a b) + (a c), (b + c) a = (b a) + (c a). (ii) Der Ring R heißt kommutativ, falls die Multiplikation kommutativ ist. 33

38 34 Kapitel 3. Ringe (iii) Ein Teilring von R ist eine Teilmenge S R mit 0, 1 S, die mit den von R vererbten Verknüpfungen selbst ein Ring ist. Anders formuliert muss S abgeschlossen unter + und sein und zu jedem Element das additiv Inverse enthalten. (iv) Die Menge R := {a R b R ab = ba = 1} heißt Menge der Einheiten von R. Sie bildet eine Gruppe bezüglich Multiplikation. Das multiplikativ inverse Element von a R ist eindeutig bestimmt, wir bezeichnen es mit a 1. (v) Ein Ringhomomorphismus ist eine Abbildung ϕ: R S zwischen Ringen, die für alle a, b R erfüllt: ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) ϕ(1 R ) = 1 S. Dabei definieren wir Kern und Bild als ker(ϕ) := {a R ϕ(a) = 0 S } im(ϕ) := {ϕ(a) a R}. (vi) Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Ringhomomorphismus. Zwei Ringe sind isomorph (in Zeichen R = S), falls es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Beispiel (i) Das klassischste Beispiel eines kommutativen Ringes sind die ganzen Zahlen Z mit + und. Es ist aber jeder Körper insbesondere auch ein Ring, also zum Beispiel Q, R, C. Wir erhalten eine Kette von Teilringen Z Q R C. In einem Körper K gilt immer K = K \ {0}. Im Unterschied zu einem Körper müssen in einem Ring aber inverse Elemente bezüglich nicht immer existieren. Es gilt zum Beispiel Z = { 1, 1}. (ii) Der einzige Ringhomomorphismus ϕ: Z Z ist die Identität. Das Gleiche stimmt für Homomorphismen von Q und R in sich selbst (Aufgabe 24). Auf C gibt es außer der Identität aber zum Beispiel noch die komplexe Konjugation.

39 3.1. Grundlagen 35 (iii) Die Menge der Polynome K[x] = { c 0 + c 1 x + c 2 x c d x d d N, c i K } über einem Körper bildet einen kommutativen Ring mit der bekannten Addition und Multiplikation von Polynomen. Allgemeiner kann K dabei selbst ein beliebiger kommutativer Ring sein. Für jedes a K ist die Auswertungsabbildung e a : K[x] K p p(a) ein Ringhomomorphismus. Für ein Polynom 0 p = c 0 + c 1 x + c 2 x c d x d R[x] mit c d 0 definieren wir den Grad von p als deg(p) := d. Dabei heißt c d auch der Leitkoeffizient von p. Wir setzen zusätzlich deg(0) :=. (iv) Für jeden Ring R ist die Menge Mat n (R) der n n-matrizen mit Einträgen aus R erneut ein Ring, der im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Dabei ist die Addition komponentenweise definiert, die Multiplikation ist die bekannte Matrixmultiplikation. Die Nullmatrix ist das neutrale Element bezüglich +, die Einheitsmatrix das neutrale Element bezüglich. (v) Sei M eine nichtleere Menge. Dann bildet die Menge F(M, R) aller reellwertigen Abbildungen auf M einen kommutativen Ring bezüglich punktweise definierter Addition und Multiplikation: (f + g)(m) := f(m) + g(m) (f g)(m) := f(m) g(m). Auch hier kann statt R ein beliebiger Ring R gewählt werden (wobei F(M, R) dann nicht mehr unbedingt kommutativ ist). Die Auswertungsabbildung in einem festen Punkt m M ist ein Ringhomomorphismus: e m : F(M, R) R f f(m). Die Menge C(M, R) aller stetigen Funktionen ist ein Teilring von F(M, R). (vi) Die Menge Z[i] := Z + Zi = {a + bi a, b Z}

40 36 Kapitel 3. Ringe ist ein Teilring von C, genannt der Ring der ganzen gaußschen Zahlen. (vii) Sei G Gruppe und R ein Ring. Dann ist der Gruppenring von G über R definiert als Menge aller formalen endlichen Linearkombinationen von Gruppenelementen mit Koeffizienten aus R: { } RG := c g g c g R, nur endlich viele c g 0. g G Dabei addiert man Elemente koeffizientenweise, d.h. c g g + d g g := (c g + d g )g. g g g Die Multiplikation definiert man über die Gruppenverknüpfung von G und das Distributivgesetz: ( ) ( ) c g g d g g := c g d h gh = }{{}}{{} g g g,h R G g Es gibt dann einen injektiven Ringhomomorphismus R RG a ae und einen injektiven Gruppenhomomorphismus G (RG) g 1g. ( ) c gh 1d h g. (viii) Sind R, S Ringe, so ist das kartesische Produkt R S mit komponentenweise definierten Verknüpfungen ein Ring. Bemerkung (i) Da R mit + eine abelsche Gruppe ist, gelten alle bereits bewiesenen Aussage dafür. Beispielsweise sind das neutrale Element und die inversen Elemente eindeutig bestimmt und Ringhomomorphismen bilden 0 auf 0 ab. Für die Multiplikation ist das schwieriger, da es keine inversen Elemente geben muss. Das neutrale Element 1 ist aber trotzdem eindeutig bestimmt. Für Homomorphismen fordern wir, dass 1 auf 1 abgebildet wird. h

41 3.1. Grundlagen 37 (ii) In Ringen gelten einige einfache Rechenregeln, wie zum Beispiel oder 0 a = 0 (a b) = ( a) b = a ( b) für alle a, b R. (iii) Um die Anzahl von Klammern zu verringern, vereinbaren wir, dass Multiplikation stärker bindet als Addition. So schreiben wir etwa anstelle von a b + c d (a b) + (c d). Wiederum lassen wir oft einfach weg, schreiben also ab anstelle von a b. (iv) Die Umkehrabbildung eines Isomorphismus ist automatisch wieder ein Ringhomomorphismus. (v) Ein Ringhomomorphismus ϕ ist genau dann injektiv, wenn ker(ϕ) = {0} gilt. Das folgt direkt aus Lemma , da jeder Ringhomomorphismus insbesondere ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppen ist. (vi) Das Bild im(ϕ) eines Ringhomomorphismus ϕ: R S ist ein Teilring von S. (vii) Die meisten der von uns betrachteten Ringe werden kommutativ sein. Ideale spielen in einem Ring in etwa die Rolle von normalen Untergruppen in Gruppen. Insbesondere kann man mit Idealen wieder eine Faktorkonstruktion durchführen. Definition Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge I R, welche die beiden folgenden Bedingungen erfüllt: a, b I a + b I a I, b R a b I und b a I. Wir verwenden dafür die Notation I R. Bemerkung/Beispiel (i) Jeder Ring R besitzt die beiden trivialen Ideale {0}, R.

42 38 Kapitel 3. Ringe (ii) Ein Ideal I R ist im Regelfall kein Teilring von R. Es gilt nämlich 1 I I = R. Das folgt unmittelbar aus der zweiten Bedingung in der Definition von Idealen. Noch etwas allgemeiner kann ein echtes Ideal I R niemals ein Element enthalten, das invertierbar bezüglich der Multiplikation ist. Insbesondere gibt es in Körpern nur die beiden trivialen Ideale {0}, K. (iii) Ein Ideal ist insbesondere eine Untergruppe der additiven Gruppe des Rings. Für a I gilt nämlich a = ( 1) a I wegen der zweiten Bedingung der Idealdefinition. Da die Addition kommutativ ist, ist es automatisch eine normale Untergruppe. Insbesondere ist R/I eine abelsche Gruppe bezüglich der im letzten Kapitel definierten Addition: (a + I) + (b + I) := (a + b) + I. Es gilt a + I = b + I a b I. Wir sagen dazu auch, dass a kongruent b modulo I ist. (iv) Für n Z ist nz = {nz z Z} ein Ideal in Z. Wegen (iii) und Lemma ist jedes Ideal in Z von dieser Gestalt. (v) Der Kern ker(ϕ) eines Ringhomomorphismus ϕ: R S ist ein Ideal in R. Beispielsweise ist die Menge I m := {f F(M, R) f(m) = 0} für jedes m M ein Ideal im Ring F(M, R). Allgemeiner ist das Urbild ϕ 1 (J) eines Ideals J S ein Ideal in R. (vi) Das Bild ϕ(i) eines Ideals I R unter einem Homomorphismus ϕ: R S ist im Allgemeinen kein Ideal in S. Ist ϕ hingegen surjektiv, stimmt die Aussage. (vii) Jeder Ringhomomorphismus ϕ: K R von einem Körper in einen Ring ist injektiv! Es ist nämlich ker(ϕ) ein Ideal in K mit 1 / ker(ϕ), also ker(ϕ) = {0}. Satz Für einen Körper K hat der Matrixring M n (K) nur die beiden trivialen Ideale.

43 3.1. Grundlagen 39 Beweis. Sei J M n (K) und 0 M J. Wir zeigen J = M n (K). Sei E ij M n (K) die Matrix mit einer 1 an der (i, j)-position und Nullen überall sonst. Es gilt λe ij = λi n E ij und die E ij spannen M n (K) als K-Vektorraum auf. Also genügt es E ij J für alle i, j zu zeigen. Aufgrund der Gleichung E ki E ij E jl = E kl genügt es aber, das für eine Matrix E ij zu zeigen. Falls der Eintrag von M an einer Stelle (i, j) gerade m 0 ist, so gilt aber E ij = m 1 E ii ME jj J. Satz Für ein Ideal I R ist die folgende Multiplikation auf R/I wohldefiniert und macht R/I (zusammen mit der bereits bekannten Addition) zu einem Ring: Die kanonische Projektion (a + I) (b + I) := (a b) + I. π : R R/I a a + I ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit ker(π) = I. Beweis. Es gelte a 1 +I = a 2 +I und b 1 +I = b 2 +I, also a 1 a 2 I, b 1 b 2 I. Aus der zweiten Idealeigenschaft folgt a 1 (b 1 b 2 ) I und (a 1 a 2 )b 2 I. Durch Addition erhalten wir mit der ersten Idealeigenschaft a 1 b 1 a 2 b 2 I, d.h. gerade a 1 b 1 + I = a 2 b 2 + I. Das zeigt die Wohldefiniertheit. Wiederum folgen die Axiome (Assoziativgesetz, Distributivgesetz) direkt aus denen in R. Das neutrale Element bezüglich ist offensichtlich 1 + I. Ebenso offensichtlich ist π ein Ringhomomorphismus mit I als Kern. Definition Wir nennen R/I den Faktorring oder Restklassenring von R nach I.

44 40 Kapitel 3. Ringe Für Ringe kann man einen Homomorphiesatz beweisen, genau gleich wie für Gruppen: Satz (Homomorphiesatz). Sei ϕ: R S ein Ringhomomorphismus. Dann ist ker(ϕ) ein Ideal und die folgende Abbildung ist ein wohldefinierter injektiver Ringhomomorphismus: Insbesondere gilt R/ ker(ϕ) = im(ϕ). ϕ: R/ ker(ϕ) S a + I ϕ(a). Beweis. Offensichtlich ist ker(ϕ) ein Ideal in R. Mit Satz wissen wir bereits, dass ϕ ein wohldefinierter injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Nach Definition der Multiplikation im Faktorring ist es aber offensichtlich auch ein Ringhomomorphimus. Lemma Sei R ein Ring, I, J R und M R. (i) I J ist ein Ideal in R. Es ist das größte Ideal, das in I und J enthalten ist. (ii) I + J := {a + b a I, b J} ist ein Ideal in R. Es ist das kleinste Ideal, das I und J enthält. (iii) I J := { n i=1 a ib i n N, a i I, b i J} ist ein Ideal in R. Es gilt I J I J, aber im Allgemeinen keine Gleichheit. (iv) Sei Λ eine beliebige Indexmenge und I λ R für alle λ Λ. Für alle λ, γ Λ gelte I λ I γ oder I γ I λ. Dann ist λ Λ ein Ideal in R. Ohne die Inklusionsbedingung stimmt das im Allgemeinen nicht. (v) Es gilt { n } I = a i m i b i n N, a i, b i R, m i M M I R i=1 und diese Menge ist das kleinste Ideal, das M enthält. Es heißt das von M erzeugte Ideal und wird auch mit (M) bezeichnet. I λ

45 3.1. Grundlagen 41 Beweis. Aufgabe 26. Satz (Chinesischer Restsatz). Sei R ein Ring und I 1,..., I n R Ideale mit I i + I j = R für i j. Dann induzieren die kanonischen Projektionen einen Isomorphismus R/(I 1 I n ) = R/I 1 R/I n. Insbesondere gibt es für jede Wahl von a 1,..., a n R ein Element a R mit für i = 1,..., n. a a i mod I i Beweis. Wir betrachten den Homomorphismus π : R R/I 1 R/I n a (a + I 1,..., a + I n ) für den offensichtlich ker(π) = I 1 I n gilt. Aufgrund des Homomorphiesatzes genügt es zu zeigen, dass π surjektiv ist. Das beweisen wir zunächst im Fall n = 2. Nach Voraussetzung gibt es Elemente b 1 I 1, b 2 I 2 mit b 1 + b 2 = 1. Es gilt also b 1 0, b 2 1 mod I 1 b 1 1, b 2 0 mod I 2. Für beliebige a 1, a 2 R und a := a 1 b 2 + a 2 b 1 gilt dann a a 1 mod I 1 und a a 2 mod I 2, die gewünschte Aussage. Im Fall von n 3 setze J := i 2 I i. Nach Voraussetzung gibt es c 2,..., c n I 1, d 2 I 2,..., d n I n mit c i + d i = 1. Dann gilt 1 = n (c i + d i ) = i=2 n c i + + i=2 } {{ } I 1 n d i. i=2 }{{} J

46 42 Kapitel 3. Ringe Also ist für die beiden Ideale I 1, J die Voraussetzung aus dem Fall n = 2 erfüllt, also gibt es b 1 R mit b 1 1 mod I 1 und b 1 0 mod J = n I i, also b 1 0 mod I i für i = 2,..., n. Analog erhält man für alle j = 1,..., n Elemente b j R mit Das Element i=2 b j 1 mod I j und b j 0 mod I i für i j. a := a 1 b a n b n erfüllt dann wie im Fall n = 2 die gewünschten Kongruenzen. Beispiel In einer Wohngemeinschaft leben drei Personen, die in regelmäßigen Abständen morgens duschen möchten. Die WG hat zwar zwei Duschen, aber eben keine drei. Person A duscht nun an Tag 1 und dann immer alle drei Tage. Person B duscht einen Tag später, also am Tag 2, und dann nur alle 7 Tage. Person C schließlich duscht am dritten Tag und dann alle 4 Tage. Solange höchstens zwei Personen gleichzeitig morgens duschen wollen, geht alles in Ordnung. Problematisch wird es nur, wenn alle 3 Personen gleichzeitig duschen möchten. Nun ist die Frage, ob dieser Fall wirklich eintritt, und wenn ja, wann zum ersten Mal. Wenn nach x Tagen dieser Fall eintritt, dann hat x die Gestalt x = 1 + 3k x = 2 + 7m x = 3 + 4n, mit positiven ganzen Zahl k, m, n. Anders formuliert fragen wir uns also, ob es eine positive Zahl x gibt mit x 1 mod 3 x 2 mod 7 x 3 mod 4. Wir wollen also gerade ein System linearer Kongruenzen in Z lösen. Die dabei auftretenden Ideale sind I 1 = (3), I 2 = (7), I 3 = (4). Man überprüft, dass

47 3.1. Grundlagen 43 die Voraussetzungen aus dem chinesischen Restsatz erfüllt sind. Also gibt es in der Tat irgendwann ein Duschproblem und man kann wie im Beweis des chinesischen Restsatzes auch genau bestimmen, wann (Aufgabe 27). Definition (i) 0 a R heißt Nullteiler, falls b 0 in R existiert mit ab = 0 oder ba = 0. (ii) Der Ring R heißt nullteilerfrei, falls er keine Nullteiler besitzt. Ein kommutativer nullteilerfreier Ring wird auch Integritätsring oder Integritätsbereich genannt. Bemerkung/Beispiel (i) Jeder Körper ist ein Integritätsring. Das folgt aus der Existenz von multiplikativ inversen Elementen. Z ist ebenfalls ein Integritätsring. Auch der Polynomring R[x] über einem Integritätsring R ist wieder ein Integritätsring. Dort gilt nämlich für Polynome deg(p q) = deg(p) + deg(q), da sich die Leitkoeffizienten beim Multiplizieren nicht auf heben können. Mit diesem Argument sieht man auch R[x] = R. (ii) Der Ring Mat 2 (R) hat beispielsweise den Nullteiler ( ) 0 1 M =. 0 0 Es gilt M M = 0. (iii) Der Ring C([0, 1], R) besitzt ebenfalls viele Nullteiler. (iv) In einem Integritätsring können wir Produkte kürzen, obwohl Division im Allgemeinen nicht möglich ist! Aus ab = ac mit a 0 folgt nämlich 0 = ab ac = a(b c) und aufgrund der Nullteilerfreiheit b c = 0, also b = c. Satz Sei R ein kommutativer Ring und p R[x] ein Polynom. Dann gilt für a R p(a) = 0 p = (x a) q für ein q R[x]. Ist R ein Integritätsring, so hat 0 p höchstens deg(p) viele verschiedene Nullstellen in R.

48 44 Kapitel 3. Ringe Beweis. " ": Für p = (x a) q gilt p(a) = (a a) q(a) = 0 q(a) = 0. " ": Wir betrachten p := p(x + a) R[x]. Dann gilt p(0) = p(a) = 0, d.h. p hat keinen konstanten Term. Das bedeutet aber gerade, dass man die Variable x aus p ausklammern kann, also für ein q R[x]. Daraus folgt p = x q p = p(x a) = (x a) q(x a), also können wir q := q(x a) wählen. Sei nun R nullteilerfrei und p R[x] habe in R die verschiedenen Nullstellen a 1,..., a n. Dann gilt p = (x a 1 ) q 1 und wegen 0 = p(a 2 ) = (a 2 a 1 ) q }{{} 1 (a 2 ) 0 und der Nullteilerfreiheit von R muss q 1 (a 2 ) = 0 gelten. Iterativ sehen wir für ein 0 q R[x] und damit p = (x a 1 ) (x a n ) q deg(p) = n + deg(q) n. Korollar (Polynominterpolation). Sei K ein Körper und a 1,..., a d K paarweise verschieden sowie b 1,..., b d K. Dann gibt es genau ein Polynom p K[x] mit deg(p) d 1 und Beweis. Existenz: Das Polynom erfüllt p(a i ) = b i für i = 1,..., d. p i := 1 j i (a (x a j ) i a j ) deg(p i ) = d 1, p i (a i ) = 1 und p i (a j ) = 0 für j i. j i

49 3.2. Noethersche Ringe und Hauptidealringe 45 Somit ist p = b 1 p b n p n ein gewünschtes Interpolationspolynom vom Grad höchstens d 1. Eindeutigkeit: Falls p, q beides Interpolationspolynome sind, so hat das Polynom p q Grad höchstens d 1 und d verschiedene Nullstellen in K. Nach Satz muss es das Nullpolynom sein, also p = q. Satz Für n Z sind äquivalent: (i) Z/nZ ist ein Körper. (ii) Z/nZ ist nullteilerfrei. (iii) n ist eine Primzahl. Beweis. Übungsaufgabe. 3.2 Noethersche Ringe und Hauptidealringe Ab jetzt seien alle Ringe kommutativ! Definition Ein Ring R heißt noethersch, falls jedes Ideal I R von einer endlichen Menge erzeugt wird, also von der Gestalt { m } I = (a 1,..., a m ) = b i a i b i R für ein m N und a 1,..., a m R ist. R heißt Hauptidealring, wenn jedes Ideal von einem Element erzeugt wird, also von der Gestalt ist. i=1 I = (a) = {ba b R} Beispiel (i) Jeder Körper ist ein Hauptidealring. Es gilt {0} = (0) und K = (1). Andere Ideale gibt es nicht. (ii) Bemerkung/Beispiel (iv) besagt gerade, dass Z ein Hauptidealring ist. Es ist ja gerade nz = (n).

50 46 Kapitel 3. Ringe Satz Für jeden Körper K ist der Polynomring K[x] ein Hauptidealring. Beweis. Der Beweis geht ganz analog zu Lemma 2.1.4, nur dass wir statt Division mit Rest in Z hier Polynomdivision benutzen. Sei also I K[x] ein Ideal. Der Fall I = {0} = (0) ist trivial. Sei also I {0} und p I \{0} ein Polynom von kleinstem Grad. Offensichtlich gilt dann (p) I. Um die andere Inklusion zu zeigen, wählen wir 0 q I beliebig. Durch Polynomdivision (die über einem allgemeinen Körper immer möglich ist) erhalten wir eine Gleichung q = fp + r mit Polynomen f, r K[x] und deg(r) < deg(p). Aus r = q fp I folgt wegen der Wahl von p schon r = 0, also q = fp (p). Konstruktion Für einen Ring R definieren wir den Polynomring über R in mehreren Variablen iterativ als R[x 1,..., x n ] := (R[x 1,..., x n 1 ]) [x n ]. Wenn R ein Integritätsring ist, ist der Polynomring ebenfalls ein Integritätsring. Man sieht leicht, dass man eine isomorphe Darstellung durch folgende Beschreibung bekommt: { } R[x 1,..., x n ] := c α x α1 1 x αn n c α R, nur endlich viele c α 0. α N n Dabei wird wie gewohnt addiert und multipliziert, zum Beispiel in Z[x 1, x 2, x 3 ] (1 + x 1 x 2 x 3 2) + (x 1 x 2 + 7x 1 x 2 3) = 1 + 2x 1 x 2 x x 1 x 2 3. (1+x 1 x 2 x 3 2) (x 1 x 2 +7x 1 x 2 3) = x 1 x 2 +7x 1 x 2 3+x 2 1x 2 2+7x 2 1x 2 x 2 3 x 1 x 4 2 7x 1 x 3 2x 2 3. Dabei heißt ein Term der Gestalt x α 1 1 x αn n =: x α ein Monom und deg(x α ) := α := α α n

51 3.2. Noethersche Ringe und Hauptidealringe 47 sein Grad. Für ein Polynom 0 p = α N n c α x α R[x 1,..., x n ] setzen wir deg(p) := max {deg(x α ) c α 0}. So ist beispielsweise p = 1 x x 1 x x 1 x 15 3 Z[x 1, x 2, x 3 ] ein Polynom über Z vom Grad 16 in drei Variablen. Bemerkung (i) Satz stimmt nicht für Polynomringe in mehr als einer Variablen über einem Körper. Zum Beispiel ist das Ideal (x 1, x 2 ) Q[x 1, x 2 ] nicht von einem Element erzeugt (Aufgabe 31). Man beachte allerdings Satz unten. (ii) Satz stimmt ebenfalls nicht, wenn K kein Körper ist. So ist zum Beispiel das Ideal I = (2, x) Z[x] kein Hauptideal (Aufgabe 31). Beispiel Der Ring Z[i] der ganzen Gaußschen Zahlen ist ein Hauptidealring. Dazu zeigt man, dass Division mit Rest existiert, es also für 0 a, b Z[i] stets eine Darstellung b = xa + r mit x, r Z[i] und r < a gibt. Danach wiederholt man das Argument aus dem Beweis von Satz bzw. Lemma Satz Für einen Ring R sind äquivalent: (i) R ist noethersch. (ii) J ede aufsteigende abzählbare Kette von Idealen wird konstant. (iii) J ede nichtleere Menge von Idealen enthält ein maximales Ideal. Beweis. (i) (ii): Sei I 1 I 2 I n eine Kette von Idealen in R. Nach Lemma (iv) ist I = i 1 I i ein Ideal in R, also I = (a 1,..., a m ), da R noethersch ist. Wegen a i I für i = 1,..., m und da die Kette aufsteigend ist, gibt es ein n N mit a 1,..., a m I n.

52 48 Kapitel 3. Ringe Damit gilt I = (a 1,..., a m ) I n, also I n = I n+1 = = I. (ii) (iii): Angenommen eine nichtleere Menge von Idealen in R hat kein maximales Element. Dann kann man daraus offensichtlich eine echt aufsteigende Folge von Idealen wählen, die nicht konstant wird, ein Widerspruch. (iii) (i): Sei I ein Ideal in R und M die Menge aller endlich erzeugten Ideale von R, die in I enthalten sind. Dann ist M nicht leer, da zum Beispiel (0) M. Wegen (iii) muss es ein maximales Element (a 1,..., a m ) M geben. Wäre (a 1,..., a m ) I, so gäbe es ein a I \ (a 1,..., a m ) und dann wäre (a 1,..., a m ) (a 1,..., a m, a) M, ein Widerspruch zur Maximalität. Also ist I = (a 1,..., a m ) endlich erzeugt. Satz (Hilbertscher Basissatz). Sei R ein noetherscher Ring. Dann ist der Polynomring R[x] wieder noethersch. Insbesondere ist der Polynomring K[x 1,..., x n ] in mehreren Variablen über einem Körper noethersch, ebenso wie Z[x 1,..., x n ]. Beweis. Angenommen I R[x] ist ein nicht endlich erzeugtes Ideal. Wähle iterativ Elemente p 1, p 2,... I so, dass p n+1 von minimalem Grad aus I \ (p 1,..., p n ) ist. Ist d n = deg(p n ), so gilt d 1 d 2. Sei nun c n R der Leitkoeffizient des Polynoms p n. Betrachte das Ideal J := (c n n N) R. Da J nach Annahme an R endlich erzeugt ist, gibt es eine Gleichung mit b i R. Setze nun m c m+1 = b i c i i=1 m g := p m+1 b i p i x d m+1 d i. i=1 Nach Konstruktion gilt deg(g) < deg(p m+1 ), denn die Leitkoeffizienten heben sich gegenseitig gerade auf. Andererseits gilt wegen p m+1 I \ (p 1,..., p m ) auch g I \ (p 1,..., p m ). Das ist ein Widerspruch zur Wahl von p m+1. Da K als Körper ein noetherscher Ring ist (sogar ein Hauptidealring) und K[x 1,..., x n ] iterativ als (K[x 1,..., x n 1 ]) (x n ) definiert ist, ist es damit also offensichtlich ein noetherscher Ring. Dasselbe stimmt für Z[x 1,..., x n ].

53 3.3. Primideale und maximale Ideale 49 Lemma Sei ϕ: R S ein surjektiver Ringhomomorphismus und R noethersch. Dann ist auch S noethersch. Insbesondere ist für einen noetherschen Ring R und I R der Faktorring R/I wieder noethersch. Beweis. Aufgabe Primideale und maximale Ideale Sei wieder R stets ein kommutativer Ring. Definition (i) Ein Ideal p R heißt Primideal, falls p R und für alle a, b R gilt ab p a p oder b p. (ii) Ein Ideal m R heißt maximales Ideal, falls m R und m maximal als echtes Ideal ist, d.h. aus m I R folgt I = m oder I = R. Bemerkung/Beispiel (i) In Z gilt (n) Primideal n Primzahl (oder n = 0). Es bedeutet nämlich ab (n) gerade n ab und für eine Primzahl n folgt (mit der eindeutigen Primfaktorzerlegung von a und b) daraus n a oder n b, also a (n) oder b (n). Ist umgekehrt n keine Primzahl, so wählen wir eine echte Zerlegung n = ab und erhalten ab (n), aber a / (n), b / (n). (ii) In einem Hauptidealring R ist jedes Primideal (a) {0} automatisch ein maximales Ideal. Es bedeutet (a) (b) ja gerade, dass a ein Vielfaches von b ist. Daraus folgt dass sich entweder b und a nur um eine Einheit unterscheiden, oder b R, also (b) = (a) oder (b) = R. (iii) Im Ring C([0, 1], R) erhalten wir für jedes X [0, 1] ein Ideal I X := { f C([0, 1] f 0 auf X }. Es ist genau dann ein Primideal wenn #X = 1 gilt und dann ist es automatisch auch ein maximales Ideal. Jedes maximale Ideal ist von dieser Gestalt (Aufgabe 35). (iv) Im Polynomring R[x, y] ist (x) = {x p p R[x, y]} ein Primideal, aber kein maximales Ideal (Übungsaufgabe).

54 50 Kapitel 3. Ringe Bemerkung (i) p R ist genau dann ein Primideal, wenn R \ p die 1 enthält und abgeschlossen unter ist. (ii) {0} ist genau dann ein Primideal, wenn R ein Integritätsbereich ist. Satz Für ein Ideal I R gilt: (i) I Primideal R/I Integritätsbereich. (ii) I maximales Ideal R/I Körper. Insbesondere ist jedes maximale Ideal ein Primideal. Beweis. Für (i) sei I prim und in R/I gelte 0 = 0 + I = (a + I)(b + I) = ab + I. Das bedeutet in R gerade ab I und daraus folgt a I oder b I. Daraus folgt a + I = 0 oder b + I = 0. Also ist R/I nullteilerfrei. Sei umgekehrt R/I nullteilerfrei und in R gelte ab I. Das bedeutet in R/I gerade 0 = ab + I = (a + I)(b + I) und daraus folgt a + I = 0 oder b + I = 0, also a I oder b I. Also ist I ein Primideal. Für (ii) sei zunächst I maximal. Für 0 a + I R/I gilt a / I, also ist I I + (a) R, und aus der Maximalität von I folgt I + (a) = R. Also gibt es eine Gleichung mit i I, b R. In R/I bedeutet das i + ba = 1 1 = 1 + I = (i + ba) + I = (i + I) + (b + I)(a + I) = (b + I)(a + I), also ist a + I in R/I multiplikativ invertierbar. Also ist R/I ein Körper. Sei umgekehrt R/I ein Körper und I J R. Wähle a J \ I. Dann gilt in R/I 0 a + I, also gibt es b R mit 1 = 1 + I = (a + I)(b + I) = ab + I,

55 3.4. Der Quotientenkörper 51 d.h. 1 ab I. Damit gilt 1 = ab }{{} J + (1 ab) J, }{{} I J also J = R. Somit ist I maximal. Da Körper insbesondere Integritätsringe sind, ist also jedes maximale Ideal ein Primideal. Satz Sei I R ein echtes Ideal. Dann gibt es ein maximales Ideal m mit I m R. Beweis. Wir verwenden das Zorn sche Lemma. Sei dazu M := {J R I J}. Dann ist I M, also M. M ist partiell geordnet durch und jede Kette (I λ ) λ Λ in M besitzt nach Lemma (iv) in M eine obere Schranke, nämlich Ĩ = λ Λ I λ. Dabei folgt Ĩ R aus der Tatsache, dass 1 Ĩ schon 1 I λ für ein λ bedeuten würde und damit I λ = R, ein Widerspruch. Mit dem Zorn schen Lemma besitzt M nun bezüglich ein maximales Element und das ist offensichtlich ein gewünschtes maximales Ideal. 3.4 Der Quotientenkörper Konstruktion So wie wir von Z zu Q übergehen können, können wir zu jedem Integritätsring einen sogenannten Quotientenkörper konstruieren. Sei also R ein Integritätsring. Auf der Menge {(a, b) a, b R, b 0} definieren wir eine Äquivalenzrelation: (a, b) (c, d) : ad = bc.

56 52 Kapitel 3. Ringe Um nachzurechnen, dass es sich dabei wirklich um eine Äquivalenzrelation handelt, benötigt man Nullteilerfreiheit und Kommutativität von R! Die Äquivalenzklasse von (a, b) bezeichnen wir dann mit a und die Menge b aller Äquivalenzklassen mit Quot(R): { a } Quot(R) := b a, b R, b 0. Auf Quot(R) sind nun Addition und Multiplikation definiert durch a b + c d := ad + bc bd a b c d := ac bd, wobei man die Wohldefiniertheit nachrechnen muss. Damit ist aber Quot(R) dann ein kommutativer Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1. Das additiv Inverse zu a a 1 1 ist, und für 0 a existiert sogar das multiplikativ inverse b b b Element b. Somit ist Quot(R) ein Körper, genannt der Quotientenkörper a von R. Die Abbildung ι: R Quot(R) a a 1 ist ein injektiver Ringhomomorphismus, wir können also R als Teilring von Quot(R) auffassen. Korollar R ist genau dann ein Integritätsring, wenn er Teilring eines Körpers ist. Beispiel (i) Der Quotientenkörper von Z ist Q. (ii) Für jeden Integritätsring R ist R[x 1,..., x n ] wieder ein Integritätsring, also existiert der Quotientenkörper Quot (R[x 1,..., x n ]). Wir nennen ihn den Körper der rationalen Funktionen über R und bezeichnen ihn auch mit R(x 1,..., x n ). Der Quotientenkörper ist der kleinste Körper, in dem ein Integritätsring enthalten ist: Proposition Sei R ein Integritätsbereich, K ein Körper und ϕ: R K ein injektiver Homomorphimus. Dann existiert genau ein Homomorphismus ϕ: Quot(R) K mit ϕ ι = ϕ.

57 3.5. Teilbarkeit 53 Beweis. Für 0 b R ist 0 ϕ(b) K, also existiert dort ϕ(b) 1. Wir definieren also ( a ) ϕ := ϕ(a)ϕ(b) 1 b und rechnen direkt nach, dass es sich dabei um einen wohldefinierten Ringhomomorphismus ϕ: Quot(R) K handelt. Es gilt ( a ( ϕ ι)(a) = ϕ = ϕ(a)ϕ(1) 1) 1 = ϕ(a), also ist ϕ eine gewünschte Fortsetzung. Für jede solche Fortsetzung ϕ muss gelten ( ( a ) ( ) ) 1 a b ϕ = ϕ b 1 = ϕ(ι(a)) ϕ(ι(b)) 1 = ϕ(a)ϕ(b) 1, 1 also ist ϕ eindeutig bestimmt. 3.5 Teilbarkeit Sei in diesem Abschnitt R stets ein Integritätsbereich. Definition Für a, b R definieren wir: (i) a b : c R : ac = b (in Worten: a teilt b). (ii) a b : e R : ae = b (in Worten: a und b sind assoziiert). (iii) Eine Teilerkette ist eine Folge von Elementen in R mit a 1, a 2,..., a n,... a i+1 a i für alle i. Die Teilerkette heiß echt, falls a i a i+1 für alle i gilt. (iv) 0 a heißt irreduzibel, falls a / R und aus a = bc stets b R oder c R folgt. (v) 0 a heißt prim, falls a / R und aus a bc stets a b oder a c folgt. Bemerkung (i) a b ist äquivalent zu (b) (a). Eine Teilerkette ist also eine Folge a 1, a 2,... mit (a 1 ) (a 2 )

58 54 Kapitel 3. Ringe und die Teilerkette ist echt, wenn alle Inklusionen echte Inklusionen sind. (ii) a b ist äquivalent zu a b und b a, also zu (a) = (b). In Z ist jedes Element a genau zu a und a assoziiert. (iii) a ist genau dann prim, wenn (a) ein Primideal ist. (iv) In einem Körper gibt es weder irreduzible noch Primelemente. Lemma Primelemente sind irreduzibel. Beweis. Sei a prim und gelte a = bc. Dann gilt inbesondere a bc, also o.b.d.a a b, d.h. ad = b für ein d R. Daraus folgt a = adc und mit der Kürzungsregel folgt 1 = dc, also c R. Also ist a irreduzibel. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht: Beispiel Wir betrachten den folgenden Teilring der komplexen Zahlen: R = Z[ 5] := { a + ib } 5 a, b Z C. Dann ist das Element 2 R irreduzibel, aber nicht prim. Es gelte nun 2 = (a + ib 5)(c + id 5) = (ac 5bd) + i(ad + bc) 5. Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil erhalten wir ac 5bd = 2, ad + bc = 0. Wegen 4 = (ac 5bd) 2 + 5(ad + bc) 2 = (a 2 + 5b 2 )(c 2 + 5d 2 ) folgt daraus direkt b = d = 0 und damit 2 = ac. Sei also o.b.d.a. a = 1. Dann ist aber a + ib 5 = 1 in R invertierbar. Also ist 2 irreduzibel. 2 ist hingegen nicht prim. Es gilt 2 3 = 6 = (1 + i 5)(1 i 5), also 2 (1 + i 5)(1 i 5). Es gilt aber 2 (1 ± i 5), wie man direkt sieht. Lemma Gibt es in R keine echten unendlichen Teilerketten, so ist jedes Element 0 a R entweder invertierbar oder Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen. Dies stimmt in noetherschen Integritätsringen immer.

59 3.5. Teilbarkeit 55 Beweis. Ist a keine Einheit und nicht irreduzibel, so schreiben wir a = bc mit b, c / R. Es gilt also b a, c a und a b, c. Wir iterieren den Prozess mit b und c. Da es keine unendlichen echten Teilerketten gibt, müssen alle Faktoren irgendwann irreduzibel sein. Da es in noetherschen Ringen keine unendlich echt aufsteigenden Idealketten gibt (Satz 3.2.7), gibt es auch keine unendlichen echten Teilerketten (vgl. Bemerkung (i)). Satz Sei R Integritätsring und Hauptidealring. Dann gilt für alle 0 a R \ R : (i) a irreduzibel a prim. (ii) a ist (bis auf Reihenfolge und Einheiten) eindeutiges Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen. Beweis. (i): Sei a irreduzibel. Dann ist (a) sogar ein maximales Ideal in R. Dabei ist (a) R klar, da a / R. Sei nun (a) I R. Da R ein Hauptidealring ist, gilt I = (b) mit einem b R, also gilt b a, also bc = a für ein c R. Aus der Irreduzibilität folgt entweder c R oder b R. Im ersten Fall gilt (a) = I, im zweiten I = R. Also ist (a) maximal. Als maximales Ideal ist (a) aber nach Satz ein Primideal und damit ist a prim. (ii): Als Hauptidealring ist R insbesondere noethersch und damit besitzt a nach Lemma eine Darstellung als Produkt von irreduziblen (=Prim-) Elementen. Seien nun a = p 1 p n = q 1 q m zwei solche Zerlegungen. Dann gilt p 1 q 1 q m und, da p 1 prim ist, gibt es ein i mit p 1 q i. Da q i irreduzibel ist, folgt p 1 q i. Wir kürzen nun diesen Faktor in der Zerlegung und iterieren den Prozess. Das beweist die Aussage. Definition Ein Integritätsbereich, der (i) und (ii) aus Satz erfüllt, heißt faktorieller Ring. Beispiel (i) Es sind also Z, K[x] und Z[i] faktorielle Ringe. (ii) Der Ring Z[ 5] ist nicht faktoriell. Einerseits ist 2 irreduzibel und nicht prim, andererseits liefert 2 3 = 6 = (1 + i 5)(1 i 5) zwei unterschiedliche Zerlegungen von 6 in irreduzible Elemente.

60 56 Kapitel 3. Ringe Bemerkung In einem faktoriellen Ring kann es keine echten unendlichen Teilerketten geben. Das folgt direkt aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung der Elemente. In einem faktoriellen Ring können wir den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Elementen genau wie in Z definieren: Definition Sei R ein faktorieller Ring und a, b R \ {0}. Wir schreiben a = e 1 p ν 1 1 p νn n b = e 2 p µ 1 1 p µn n mit e 1, e 2 R und Primelementen p 1,..., p n. Dabei sind die Exponenten ν i, µ i N eindeutig bestimmt. (i) Es heißt ggt(a, b) := p min(ν 1,µ 1 ) 1 p min(νn,µn) n der größte gemeinsame Teiler von a, b. Beachte, dass er nur bis auf Einheiten eindeutig bestimmt ist. Wir setzen (ii) Es heißt ggt(a, 0) := ggt(0, a) = a, ggt(0, 0) := 0. kgv(a, b) := p max(ν 1,µ 1 ) 1 p max(νn,µn) n das kleinste gemeinsame Vielfache von a, b. Es ist ebenfalls nur bis auf Einheiten eindeutig bestimmt. Wir setzen kgv(a, 0) := kgv(0, a) = 0, kgv(0, 0) := 0. (iii) Offensichtlich kann man ggt und kgv analog auch für mehr als zwei Elemente definieren, zum Beispiel iterativ, oder direkt über die entsprechende Formel mit min und max. Lemma Für a, b, c R gilt sowie Ist R ein Hauptidealring, so gilt ggt(a, b) a und ggt(a, b) b c a und c b c ggt(a, b). (a, b) = (c) c = ggt(a, b)

61 3.5. Teilbarkeit 57 und insbesondere für gewisse x, y R. ggt(a, b) = xa + yb Beweis. Alle Aussage folgen leicht aus der Existenz der eindeutigen Primfaktorzerlegung aller Elemente. Lemma Sei R ein Integritätsring, in dem jedes Element ein Produkt von irreduziblen Elementen ist (z.b. wenn R noethersch ist). Dann ist R genau dann faktoriell, wenn alle irreduziblen Elemente prim sind. Beweis. In einem faktoriellen Ring sind irreduzible Elemente prim. Umgekehrt seien alle irreduziblen Elemente prim. Jedes Element ist ein Produkt von irreduziblen Elementen. Die Faktoren sind alle prim und mit dem Argument aus dem Beweis von Satz folgt die Eindeutigkeit. Im Rest dieses Abschnitts befassen wir uns mit Teilbarkeit in Polynomringen. Der wichtigste Satz wird dabei der Satz von Gauß sein. Die Aussagen sind wichtig für die Körpertheorie im nächsten Kapitel. Sei dazu ab jetzt stets R ein faktorieller Ring. Definition (i) Für ein Polynom p = c 0 + c 1 x + + c d x d R[x] definieren wir seinen Inhalt I(p) durch I(p) := ggt(c 0,..., c d ). Beachte wieder, dass I(p) nur bis auf Einheiten eindeutig bestimmt ist. (ii) p R[x] heißt primitiv, falls I(p) R (man sagt dazu auch: die Koeffizienten von p sind teilerfremd). Bemerkung/Beispiel (i) Für p = 2x + 4 Z[x] gilt I(p) = ggt(4, 2) = 2 Z \ Z, p ist also nicht primitiv. Betrachtet man stattdessen p = 2x + 4 Q[x], so gilt I(p) = 1 (oder jedes andere Element 0). Also ist p primitiv. Inhalt und Primitivität hängen also stark vom Ring R ab.

62 58 Kapitel 3. Ringe (ii) Für p = 2x 3 + 9x + 12 Z[x] gilt I(p) = ggt(12, 9, 0, 2) = 1 Z, also ist p primitiv. (iii) Für einen Körper K ist jedes 0 p K[x] primitiv. (iv) Jedes Polynom p R[x] lässt sich schreiben als p = I(p) p 0 mit einem primitiven p 0 R[x]. (v) Ist p R[x] \ R irreduzibel, so ist p insbesondere primitiv. Aus der Darstellung p = I(p) }{{} R p 0 }{{} R[x]\R folgt I(p) R, da p 0 / R = R[x]. Primitivität ist also ein erster einfacher Test für Irreduzibilität. Satz (Lemma von Gauß). Für p, q R[x] gilt I(pq) = I(p) I(q). Insbesondere ist das Produkt von zwei primitiven Polynomen wieder primitiv. Beweis. Wir zeigen zunächst die zweite Aussage. Schreibe p = a 0 + a 1 x + + a m x m, q = b 0 + b 1 x + + b n x n sowie pq = c 0 + c 1 x + + c n+m x n+m. Sei nun d R ein beliebiges Primelement. Wir wählen dann k, l minimal mit d a k, d b l. Diese k, l existieren, da p und q primitiv sind. Es ist dann c k+l = r+s=k+l a r b s = a k b l + r+s=k+l r<k s<l a r b s. Da d prim ist, wird der Term a k b l aber von d nicht geteilt, jeder andere Summand rechts jedoch schon. Damit ist d kein Teiler von c k+l. Da d ein beliebiger Primfaktor war, ist pq primitiv.

63 3.5. Teilbarkeit 59 Schreibe jetzt allgemeine p, q R[x] als mit primitiven p 0, q 0. Dann gilt p = I(p) p 0 q = I(q) q 0 I(pq) = I(p)I(q)I(p 0 q 0 ), da man Faktoren aus R offensichtlich aus I( ) herausziehen kann. Es ist aber, wie eben gezeigt, I(p 0 q 0 ) R und daraus folgt die Aussage. Satz Sei K = Quot(R) und p, q R[x]. Dann gilt p q in R[x] p q in K[x] und I(p) I(q) in R. Beweis. " " ist klar mit Satz Für " " gelte q = p h und I(q) = I(p) a für ein h K[x] und ein a R. Nach Ausklammern des Hauptnenners der Koeffizienten von h und des Inhalts über R können wir h = b c h 0 mit b, c R und h 0 R[x] primitiv schreiben. Dann gilt I(p)p 0 b c h 0 = ph = q = I(q)q 0 = ai(p)q 0 und nach Multiplikation mit c sowie Kürzen von I(p) also b p 0 h 0 = ac q 0. Nach Anwendung von I( ) auf beide Seiten und Multiplikation mit I(p 0 h 0 ) 1 (beachte dazu Satz ) sehen wir, dass c b in R gilt, also b R und damit c h R[x]. Also gilt p q in R[x]. Korollar Sei K = Quot(R), a R und p R[x] \ R. (i) Ist a irreduzibel in R, so auch in R[x]. (ii) Ist p irreduzibel in R[x], so auch in K[x]. (iii) Ist p primitiv in R[x] und irreduzibel in K[x], so ist p auch irreduzibel in R[x].

64 60 Kapitel 3. Ringe Beweis. (i) ist klar (aufgrund der Nullteilerfreiheit von R). Für (ii) sei p = qh mit q, h K[x]. Dabei können wir q R[x] annehmen (indem wir q mit dem Hauptnenner seiner Koeffizienten multiplizieren und h dadurch teilen). Ebenso können wir q als primitiv in R[x] annehmen. Dann gilt I(q) R und damit natürlich I(q) I(p) in R. Nach Satz gilt dann q p schon in R[x] und aus der Irreduzibilität folgt q R[x] K[x] oder q p in R[x] und damit auch q p K[x]. Also ist p irreduzibel in K[x]. Für (iii) gelte q p in R[x]. Wir müssen q R oder q p in R[x] zeigen. Es gilt nach Satz q p in K[x] und I(q) I(p) R Aus der ersten Bedingung (und der Irreduzibilität von p in K[x]) folgt deg(q) = 0 oder deg(q) = deg(p). Aus der zweiten Bedingung folgt direkt I(q) R. Damit gilt im Fall deg(q) = 0 schon q R. Im Fall deg(q) = deg(p) gilt aq = p für ein a R und nach Anwenden von I( ) folgt aus der Primitivität von p, q dann a R, also q p. Somit ist p irreduzibel in R[x]. Beispiel p = 1 + x + x 2 ist irreduzibel in Z[x]. Wenn nämlich p = qh eine Zerlegung ist und q etwa Grad 2 hätte, so müsste h Z gelten und mit Vergleich des konstanten Koeffizienten also o.b.d.a. h = 1 Z. Also können wir deg(q) = deg(h) = 1 annehmen und wiederum mit Vergleich des konstanten Koeffizienten q = 1 + ax, h = 1 + bx. Nach Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich erhalten wir a + b = 1, ab = 1, was in Z offensichtlich nicht möglich ist. Also ist p auch irreduzibel in Q[x]. Die Irreduzibilität in Q[x] direkt zu zeigen, wäre etwas schwieriger gewesen. Es gibt nun außer Z, K[x] und Z[i] noch viel mehr faktorielle Ringe. Zum Beispiel Z[x 1,..., x n ], K[x 1,..., x n ] und Z[i][x 1,..., x n ] : Satz (Satz von Gauß). Ist R faktoriell, so auch R[x]. Beweis. Zunächst zeigen wir, dass in R[x] keine echten unendlichen Teilerketten existieren können. Für eine Teilerkette p 1, p 2,..., p n,...

65 3.5. Teilbarkeit 61 in R[x] muss aber deg(p 1 ) deg(p 2 ) deg(p n ) gelten und weiter ist nach Satz I(p 1 ), I(p 2 ),..., I(p n ),... eine Teilerkette in R. Die Ungleichungskette der Grade wird offensichtlich irgendwann stationär. Nach Bemerkung wird auch die Teilerkette der Inhalte irgendwann stationär. Das impliziert aber p n p m in R[x] für groß genügende n, m, d.h. die Teilerkette ist nicht echt. Nach Lemma gibt es in R[x] also immer Zerlegungen in irreduzible Elemente. Nun zeigen wir, dass irreduzible Elemente prim sind. Die Aussage des Satzes folgt dann aus Lemma Sei also p R[x] irreduzibel. Es gelte p qh in R[x]. Dann gilt insbesondere p qh in K[x]. Falls p R[x] \ R, ist p nach Korollar irreduzibel in K[x] und der Hauptidealring K[x] ist faktoriell (Satz 3.5.6). Deshalb ist p prim in K[x] und es folgt o.b.d.a. p q in K[x]. Dieselbe Schlussfolgerung stimmt erst recht, wenn p R, da dann p K. Nun gilt in R aber auch I(p) I(q) und mit Satz folgt p q in R[x]. Also ist p prim. Satz (Eisenstein-Kriterium). Sei R faktorieller Ring, a R prim und p = c 0 + c 1 x + + c d x d R[x] primitiv. In R gelte Dann ist p irreduzibel in R[x]. a c i für i = 0,..., d 1 und a 2 c 0. Beweis. Es gelte p = qh mit q, h R[x]. Schreibe q = q 0 + q 1 x + + q m x m, h = h 0 + h 1 x + + h n x n mit 0 m, n d und m + n = d. Es gilt dann c 0 = q 0 h 0 und wegen a 2 c 0 folgt o.b.d.a. a q 0. Da a prim ist, folgt aus a c 0 = q 0 h 0 dann a h 0. Da p primitiv ist, muss a c d gelten. Wegen c d = q m h n folgt daraus a h n. Sei nun k n minimal mit a h k. Dann ist c k = i+j=k q i h j = q 0 h }{{} k a + q 1 h k 1 + }{{} a und daraus folgt a c k. Das impliziert d = k = n und m = 0, also q R. Aus der Primitivität von p folgt damit direkt q R = R[x].

66 62 Kapitel 3. Ringe Beispiel (i) Das Polynom p = x 3 + 4x 2 + 2x 2 Z[x] ist irreduzibel. (ii) Für eine Primzahl d 2 betrachte p = x d 1 Z[x]. Offensichtlich hat p die Nullstelle 1 und ist nach Satz deshalb nicht irreduzibel. In der Tat gilt p = (x 1)(1 + x + x x d 1 ), wie man mit einem Teleskop-Argument sofort sieht. Wir nennen Φ d := 1 + x + x x d 1 Z[x] das d-te Kreisteilungspolynom. Es gilt also x Φ d (x + 1) = p(x + 1) Φ d (x + 1) = x d 1 + = (x + 1) d 1 ( ) d = x d + x d ( ) ( ) d d x d x, 2 d 1 ( ) ( ) ( ) d d d x d x +. 1 d 2 d 1 Wir können nun das Eisenstein-Kriterium mit a = d auf Φ d (x+1) anwenden. Für eine Primzahl d gilt ( ) d d i für all i = 1,..., d 1 und offensichtlich gilt ( ) d d 2 = d. d 1 Also ist Φ d (x + 1) irreduzibel und, da die Transformation q q(x 1) ein Ringisomorphismus von Z[x] ist, damit auch Φ d selbst. 3.6 Euklidische Ringe Der Euklidische Algorithmus war ursprünglich eine geometrische Methode der Griechen, um das Längenverhältnis zweier Strecken zu bestimmen. Dabei gingen sie wie folgt vor. Gegeben seien zwei Strecken a und b:

67 3.6. Euklidische Ringe 63 a b Im ersten Schritt wird die Strecke b so oft wie möglich voll in a abgetragen. Der Rest wird mit r bezeichnet. Es handelt sich dabei also genau um Teilung mit Rest: a b r Da r kürzer als b ist, kann die Prozedur nun mit b anstelle von a und r anstelle von b wiederholt werden: b r Wenn die Prozedur nach endlich vielen Schritten aufgeht, haben wir eine Einheit gefunden, in der wir sowohl a als auch b ausdrücken können. Es wird also ein gemeinsamer Teiler beider Strecken produziert. Hier zum Beispiel nehmen wir an dass r genau 2 mal in b passt: b r Es ist also b = 2r, und weil ursprünglich a = 2b + r galt, finden wir a = 5r. In der Einheit r lässt sich also sowohl a als auch b ganzahlig ausdrücken, und das Verhältnis von a zu b war also genau 5 zu 2. Im Allgemeinen wird die Prozedur mehr als zwei Schritte erfordern. Trotzdem kann man durch Rückeinsetzung die ursprünglichen Strecken in der letzten erhaltenen Strecke ausdrücken. Dieser Prozess ist nun auch deutlich abstrakter algebraisch möglich. Dazu benötigt man einen Ring, in dem Teilung mit Rest sinnvoll möglich ist.

68 64 Kapitel 3. Ringe Definition Ein euklidischer Ring ist ein kommutativer nullteilerfreier Ring R, zusammen mit einer Gradfunktion g : R \ {0} N, so dass für alle a, b R, b 0 Elemente r, s R existieren mit a = sb + r wobei entweder r = 0 oder g(r) < g(b) gilt. Beispiel (i) Z ist ein euklidischer Ring, wobei die Gradfunktion die Betragsfunktion ist. (ii) Der Polynomring k[x] über einem Körper k ist ein euklidischer Ring mit g(p) := deg(p) für Polynome p. Man überlegt sich leicht, dass die gewünschte Division mit Rest für Polynome immer möglich ist. Dabei muss man verwenden, dass durch die Koeffizienten der Polynome geteilt werden kann, also die Körpereigenschaft von k. (iii) Der Ring Z[i] der ganzen Gaußschen Zahlen ist ein euklidischer Ring, wobei der Betrag komplexer Zahlen als Gradfunktion dient (vergleiche Beispiel 3.2.6). Lemma J eder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, und damit insbesondere faktoriell. Beweis. Man wiederholt wie in Beispiel einfach den Beweis von Satz oder Lemma Algorithmus (Euklidischer Algorithmus). Sei R ein euklidischer Ring mit Gradfunktion g. Seien a, b R gegeben. Der euklidische Algorithmus läuft folgendermaßen ab: (i) Gilt b = 0, so wird a als Ergebnis ausgegeben und der Algorithmus endet. (ii) Falls b 0, berechne a = sb + r mit r = 0 oder g(r) < g(b). Ersetze a durch b, b durch r und starte erneut bei (i). Satz Der euklidische Algorithmus endet nach endlich vielen Schritten und gibt ggt(a, b) als Ergebnis aus.

69 3.6. Euklidische Ringe 65 Beweis. In jedem Schritt vom Typ (ii) wird g(r) N echt kleiner, also bricht der Algorithmus nach endlich vielen Schritten ab. An der Gleichung sieht man außerdem unmittelbar a = sb + r ggt(a, b) = ggt(b, r). Gilt im letzten Schritt nun also r = 0, d.h. a = sb, so folgt ggt(a, b) = b und das ist genau die Ausgabe des euklidischen Algorithmus (im letzten Schritt wird a nochmals durch b ersetzt). Bemerkung Merkt man sich alle Rechenschritte im euklidischen Algorithmus, so bekommt man Elemente r, s R mit ggt(a, b) = ra + sb. Dazu löst man alle enstandenen Gleichungen jeweils nach dem Rest auf, und ersetzt iterativ vom vorletzten Schritt an die Reste durcheinander. Beispiel (i) Wir berechnen ggt(280, 63) in Z. Der euklidische Algorithmus läuft folgendermaßen ab: 280 = = = Also gilt ggt(147, 63) = 7. Durch Rückwärtsauflösen der Gleichungen erhält man 7 = = 63 2 ( ) = (ii) Wir berechnen ggt(t 3 + t 2 + 1, t 2 + 1) in Q[t]: t 3 + t = (t + 1) (t 2 + 1) t t = ( t) ( t) + 1 ( t) = ( t)

70 66 Kapitel 3. Ringe Also gilt ggt(t 3 + t 2 + 1, t 2 + 1) = 1 und 1 = (t 2 + 1) + t ( t) = (t 2 + 1) + t ((t 3 + t 2 + 1) (t + 1)(t 2 + 1)) = t (t 3 + t 2 + 1) (t 2 + t 1) (t 2 + 1).

71 Kapitel 4 Körper In diesem Kapitel werden wir alle in der Einleitung genannten Probleme lösen. Dazu studieren wir Körper und ihre Eigenschaften. 4.1 Grundlagen Definition (i) Ein Körper ist ein kommutativer Ring K mit K = K \ {0}. (ii) Ein Körperhomomorphismus ist ein Ringhomomorphismus zwischen Körpern. (iii) Eine Körpererweiterung ist eine Inklusion k K, wobei k ein Teilring von K und selbst ein Körper ist. Dabei heißt k Teilkörper von K und K Oberkörper von k. Statt k K schreibt man manchmal auch K/k. Dies ist nicht mit einer Restklassenkonstruktion zu verwechseln. Bemerkung/Beispiel (i) Q, R und C sind Körper. Also ist beispielsweise Q R eine Körpererweiterung. (ii) Für eine Primzahl p ist Z/pZ ein Körper mit p Elementen. (iii) Für einen Integritätsbereich R ist Quot(R) ein Körper. Ein Beispiel dafür ist { } p K(x 1,..., x n ) = Quot (K[x 1,..., x n ]) = q p, q K[x 1,..., x n ], q 0. 67

72 68 Kapitel 4. Körper (iv) Ist k K eine Körpererweiterung, so ist insbesondere K ein k-vektorraum. Als Skalarmultiplikation verwendet man einfach die eingeschränkte Körpermultiplikation : k K K und rechnet alle Axiome eines Vektorraums nach. Konstruktion Für einen Körper K betrachten wir den (einzigen) Ringhomomorphismus: ι: Z K z 1 } + {{ + 1 }. z mal Es ist ker(ι) ein Ideal in Z und nach Lemma (iv) also von der Gestalt ker(ι) = nz für ein n Z. Nach dem Homomorphiesatz gibt es einen Isomorphismus Z/ ker(ι) = ι(z) K. Da K als Körper nullteilerfrei ist, muss auch Z/ ker(ι) nullteilerfrei sein. Nach Satz ist ker(ι) damit ein Primideal, d.h. n muss eine Primzahl oder 0 sein. Im Fall ker(ι) = {0} ist ι injektiv und induziert nach Proposition einen injektiven Homomorphismus von Q nach K. Im Fall ker(ι) = (p) gilt mit dem Homomorphiesatz ι(z) = Z/pZ und das ist bereits ein Körper. Also enthält jeder Körper entweder Q oder Z/pZ als Teilkörper. Wir bezeichnen ab sofort manchmal Z/pZ mit F p und Q mit F 0. Definition Sei K ein Körper und ι: Z K wie oben. (i) Die Zahl p mit ker(ι) = (p) heißt die Charakteristik des Körpers K. Sie wird auch mit char(k) bezeichnet. (ii) Der Körper Quot (ι(z)) heißt Primkörper von K. Es ist offensichtlich der kleinste Teilkörper von K. Bemerkung/Beispiel (i) Die Charakteristik von Q, R und C ist 0. Die Charakteristik des Körpers Z/pZ ist p. (ii) Hat K Charakteristik p > 0, so gilt für alle a K a } + {{ + a } = (1 } + {{ + 1 } ) a = 0 a = 0. p mal p mal

73 4.1. Grundlagen 69 (iii) Ist ϕ: K L ein Ringhomomorphismus zwischen Körpern, so gilt char(k) = char(l). Ringhomomorphismen bilden nämlich 1 auf 1 ab und sind zwischen Körpern automatisch injektiv. Also erhält sich die Charakteristik unter Körpererweiterungen. Lemma Ist K ein Körper mit char(k) = p > 0, so ist die Abbildung ρ: K K a a p ein (injektiver) Ringhomomorphismus. Ist K endlich, so ist ρ bijektiv und wird Frobenius-Automorphismus von K genannt. Beweis. Offensichtlich ist ρ multiplikativ und bildet 1 auf 1 ab. Für die Additivität berechnet man ( ) ( ) p p (a + b) p = a p + a p 1 b + + ab p 1 + b p 1 p 1 und beachtet, dass alle auftretenden Koeffizienten ( p i) Vielfache von p sind. Nach Bemerkung (ii) verschwinden in K also alle Zwischenterme. Ringhomomorphismen zwischen Körpern sind automatisch injektiv und damit im endlichen Fall auch bijektiv. Definition Seien k K Körper und A K eine Teilmenge. (i) Die Menge k[a] := R R K Teilring A k R ist offensichtlich der kleinste Teilring von K, der A und k enthält. Er heißt der von A in K über k erzeugte Teilring. (ii) Die Menge k(a) := L L K Teilkörper A k L ist offensichtlich der kleinste Teilkörper von K, der A und k enthält. Er heißt der von A in K über k erzeugte Teilkörper.

74 70 Kapitel 4. Körper Bemerkung/Beispiel (i) Ist A = {a 1,..., a n } endlich, so gilt und k[a] = k[a 1,..., a n ] = {p(a 1,..., a n ) p k[x 1,..., x n ]} k(a) = k(a 1,..., a n ) { } p(a1,..., a n ) = q(a 1,..., a n ) p, q k[x 1,..., x n ], q(a 1,..., a n ) 0 = Quot (k[a]). (ii) Es gilt k[a B] = (k[a]) [B] und k(a B) = (k(a)) (B). (iii) Es gilt beispielsweise Q[ { 2] = a + b } 2 a, b Q R. Hier ist Q[ 2] sogar schon ein Körper, also gilt Q[ 2] = Q( 2). Wenn ein Oberkörper von k schon geeignete Elemente a 1,..., a n enthält, kann man k(a 1,..., a n ) wie eben definieren. Andererseits kann es sein, dass die Existenz eines solchen Oberkörpers noch gar nicht sichergestellt ist. Dann verwendet man die folgende Konstruktion: Konstruktion Sei k ein Körper und p k[x] irreduzibel. Dann ist (p) k[x] ein Primideal und nach Bemerkung (ii) deshalb sogar maximal. Also ist K := k[x]/(p) nach Satz ein Körper. Die Einschränkung der kanonischen Projektion π π : k k[x]/(p) a a + (p) ist injektiv, da (p) als echtes Ideal keine Einheiten enthält. Damit können wir k K auffassen. Mit p = d i=1 c ix i und x := π(x) = x + (p) K erhalten wir in K p(x) = π(c i )π(x) i = π(p) = 0. i Also haben wir eine Körpererweiterung von k konstruiert, in der p eine Nullstelle hat.

75 4.2. Algebraische Erweiterungen und Körpergrad 71 Beispiel (i) Man sieht leicht, dass zum Beispiel C gerade mit p = x 2 +1 aus R hervorgeht. (ii) Kennt man R theoretisch noch nicht, so kann man den Körper Q( 2) auch mit p = x 2 2 Q[x] wie oben konstruieren. 4.2 Algebraische Erweiterungen und Körpergrad Sei stets k K eine Körpererweiterung. Definition (i) Ein Element a K heißt algebraisch über k, falls es ein 0 p k[x] gibt mit p(a) = 0. (ii) Ist a nicht algebraisch über k, so heißt a transzendent über k. (iii) Die Körpererweiterung k K heißt algebraisch, falls jedes Element a K algebraisch über k ist. Bemerkung/Beispiel (i) Das Element i C ist algebraisch über R (sogar über Q). Es ist Nullstelle des Polynoms p = x Ebenso ist 2 R algebraisch über Q, da es Nullstelle von p = x 2 2 ist. (ii) Die Variable x K = k(x) = Quot (k[x]) ist transzendent über k. (iii) Das Element π R ist transzendent über Q. Das ist allerdings sehr schwer zu zeigen! (iv) Jedes Element a k ist algebraisch über k. Es ist Nullstelle von p = x a k[x]. Definition (i) Für eine Körpererweiterung k K nennen wir die k- Vektorraumdimension dim k (K) =: [K : k] den Grad der Körpererweiterung. (ii) Wir nennen die Körpererweiterung k K endlich, wenn [K : k] < gilt. Beispiel Es gilt (Übungsaufgabe) [C : R] = 2, [R : Q] =, [ Q( ] 2) : Q = 2. Korollar Sei K ein endlicher Körper. Dann gilt #K = p r für eine Primzahl p und ein r 1.

76 72 Kapitel 4. Körper Beweis. K muss als endlicher Körper eine Charakteristik p > 0 haben. Also ist F p K eine Körpererweiterung. Es gilt [K : F p ] = r für ein r N. Die Elemente von K sind also gerade die F p -Linearkombinationen von r Basisvektoren und davon gibt es genau p r viele. Beispiel Es kann keinen Körper mit 6 Elementen geben, da 6 keine Primzahlpotenz ist. Satz (Gradformel). Für Körper k K L gilt [L : k] = [L : K] [K : k]. Beweis. Sei (v i ) i I eine K-Basis von L und (w j ) j J eine k-basis von K. Jedes Element a L hat eine (endliche) Summendarstellung a = i I b i v i mit b i K. Jedes der b i hat wiederum eine Darstellung b i = j J c ij w j mit c ij k. Daraus erhält man in L a = c ij w j v i = i I j J (j,i) J I c ij w j v i, also ist B := (w j v i ) (j,i) J I ein Erzeugendensystem von L als k-vektorraum. Es gelte nun für gewisse c ij k in L 0 = c ij w j v i = ( ) c ij w j v i. (j,i) J I i I j J }{{} K Aus der linearen Unabhängigkeit der v i über K folgt j J c ijw j = 0 für alle i I und aus der linearen Unabhängigkeit der w j über k dann c ij = 0 für alle i, j. Damit ist B eine Basis von L als k-vektorraum und das beweist die Aussage, denn #B = #I #J.

77 4.2. Algebraische Erweiterungen und Körpergrad 73 Beispiel Es gilt (Übungsaufgabe) [ ( )] Q 2, 3 : Q] = 4. Der folgende Satz zeigt, dass algebraische und endliche Körpererweiterungen eng zusammenhängen. Satz Seien k K L Körper. (i) Ist k K endlich, so auch algebraisch. (ii) Für a K sind äquivalent: (1) a ist algebraisch über k, (2) k[a] = k(a), (3) k(a) ist endlich über k, (4) k(a) ist algebraisch über k. (iii) Sind k K und K L algebraisch, so auch k L. (iv) J ede von endlich vielen algebraischen Elementen erzeugte Erweiterung ist endlich (und damit algebraisch). (v) Die Menge { a K a algebraisch über k } ist ein Zwischenkörper von k und K. Beweis. (i): Wenn K ein endlich-dimensionaler k-vektorraum ist, können für a K die Elemente 1, a, a 2,..., a n,... nicht alle linear unabhängig über k sein. Also gibt es eine Gleichung 0 = d c i a i i=1 mit gewissen c i k, nicht alle 0. Das bedeutet aber gerade, dass a algebraisch über k ist. (ii): "(1) (2)": Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus ϕ: k[x] K p p(a)

78 74 Kapitel 4. Körper und erhalten aus dem Homomorphiesatz k[x]/ ker(ϕ) = k[a]. Da k[a] als Teilring des Körpers K nullteilerfrei ist, ist ker(ϕ) ein Primideal, und nach Voraussetzung gilt ker(ϕ) {0}. Im Hauptidealring k[x] ist ker(ϕ) also sogar maximal, also ist k[a] = k[x]/ ker(ϕ) schon ein Körper. Also gilt k[a] = k(a). "(2) (1)": Es gelte o.b.d.a a 0. Dann ist a 1 k(a) = k[a], also gibt es ein p k[x] mit a 1 = p(a). Dann gilt aber a p(a) 1 = 0, also ist a Nullstelle des Polynoms xp 1 k[x] und damit algebraisch über k. "(1)&(2) (3)": Da a algebraisch über k ist, gibt es eine Gleichung mit c i k, c d 0. Das bedeutet c 0 + c 1 a + + c d a d = 0 a d = c 0 c d c 1 c d a c d 1 c d a d 1, also wird k(a) = k[a] schon von den Elementen 1, a, a 2,..., a d 1 als k-vektorraum aufgespannt. Daraus folgt die Endlichkeit. "(3) (4)" folgt aus (i). "(4) (1)" ist trivial. Für (iii) sei a L fest gewählt. Dann ist a algebraisch über K und damit schon über k(b 1,..., b n ) für gewisse b i K (z.b. den Koeffizienten eines Polynoms, welches a als Nullstelle hat). Die b i wiederum sind alle algebraisch über k. Wir betrachten nun die Körperkette k k(b 1 ) k(b 1, b 2 ) k(b 1,..., b n ) k(b 1,..., b n, a), in der jeder Schritt durch Adjunktion eines algebraischen Elements entsteht. Nach (ii) ist jede einzelne Erweiterung endlich und mit der Gradformel damit auch die ganze Erweiterung k k(b 1,..., b b, a). Nach (i) ist sie damit algebraisch und insbesondere ist a algebraisch über k. Für (iv) sei K = k(a 1,..., a n ) erzeugt von den über k algebraischen Elementen a 1,..., a n. Wieder ist jeder Schritt in der Körperkette k k(a 1 ) k(a 1, a 2 ) k(a 1,..., a n ) nach (ii) endlich und mit der Gradformel ist die ganze Erweiterung endlich. Für (v) sehen wir, dass mit über k algebraischen Elementen a, b K die Elemente a + b, a b, a 1 k(a, b) ebenfalls algebraisch über k sein müssen (mit (iv)).

79 4.2. Algebraische Erweiterungen und Körpergrad 75 Beispiel (i) Das Element 2 R ist algebraisch über Q. Damit gilt Q[ 2] = Q( 2) und jedes Element aus diesem Körper erfüllt eine Polynomgleichung über Q. (ii) Die Menge Q := { a C a algebraisch über Q } ist ein Körper mit Q Q C. Konstruktion Sei wieder k K eine Körpererweiterung und a K. Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus Laut Homomorphiesatz gilt e a : k[x] K p p(a). k[x]/ ker(e a ) K und mit Satz ist ker(e a ) also ein Primideal. Da k[x] ein Hauptidealring ist, gilt außerdem ker(e a ) = (p a ) für ein p a k[x]. Dabei ist entweder p a = 0 (im Fall, dass a transzendent über k ist) oder deg(p a ) > 0 (im Fall, dass a algebraisch über k ist). Im zweiten Fall ist p a also irreduzibel und ist p a zusätzlich normiert (d.h. der Leitkoeffizient ist 1), so ist es eindeutig bestimmt. Aus (p a ) = (q a ) folgt nämlich p a q a und aus der Normiertheit folgt dann p a = q a. Außerdem ist p a irreduzibel in k[x], da (p a ) ein Primideal ist. Definition Sei k K Körpererweiterung und a K algebraisch über k. Dann heißt das (eindeutig bestimmte) normierte Polynom p a k[x] mit ker(e a ) = (p a ) das Minimalpolynom von a über k. Wir bezeichnen es auch mit Min(a, k). Lemma Sei k K und a K algebraisch über k. Dann ist Min(a, k) eindeutig bestimmt durch die folgenden Eigenschaften: (i) p k[x] ist irreduzibel und normiert. (ii) Es gilt p(a) = 0.

80 76 Kapitel 4. Körper Beweis. In Konstruktion haben wir schon gesehen, dass Min(a, k) die gewünschten Eigenschaften hat. Erfülle also umgekehrt p k[x] die Eigenschaften und bezeichne mit p a das Minimalpolynom von a über k. Wegen (ii) gilt p ker(e a ) = (p a ), also p a p. Da p nach (i) irreduzibel ist, folgt p a p und wieder aus der Normiertheit beider Polynome damit p = p a. Beispiel (i) Es gilt Min( 2, Q) = x 2 2 und Min( 3 2, Q) = x 3 2. Beide Polynome erfüllen jeweils die Bedingungen (i) und (ii) aus Lemma (ii)wir betrachten Q R C. Dann gilt (Aufgabe 48) Min( 2 + i, R) = x 2 2 2x + 3 Min( 2 + i, Q) = x 4 2x Also hängt das Minimalpolynom stark vom Körper k ab. (iii) Sei p eine Primzahl und ( ) ( ) a = e 2πi p 2π 2π = cos + i sin C. p p Dann gilt Min (a, Q) = Φ p = 1 + x + + x p 1, das p-te Kreisteilungspolynom. Offensichtlich ist a ja eine Nullstelle von x p 1 und dieses Polynom faktorisiert x p 1 = (x 1) Φ p (vergleiche Beispiel (ii)), wobei a keine Nullstelle von x 1 ist. Also gilt Φ p (a) = 0 und Φ p ist nach Beispiel (ii) irreduzibel sowie offensichtlich normiert. Satz Sei k K eine Körpererweiterung und a K algebraisch über k. Dann gilt [k(a) : k] = deg (Min(a, k)). Beweis. Sei p a = Min(a, k) = c 0 + c 1 x + + c d 1 x d 1 + x d, also deg(p a ) = d. Wegen p a (a) = 0 gilt a d = c 0 c 1 a c d 1 a d 1.

81 4.2. Algebraische Erweiterungen und Körpergrad 77 Also ist 1, a,..., a d 1 ein Erzeugendensystem des k-vektorraums k[a] = k(a). Wir zeigen nun die lineare Unabhängigkeit. Gelte also 0 = b 0 + b 1 a + + b d 1 a d 1 für gewisse b 0,..., b d 1 k. Das bedeutet aber gerade, dass für das Polynom q = b 0 + b 1 x + + b d 1 x d 1 k[x] gilt q(a) = 0, also q (p a ). Wegen deg(q) d 1 < d = deg(p a ) folgt daraus aber q = 0, also b i = 0 für alle i. Also sind 1, a,..., a d 1 über k linear unabhängig. Das zeigt [k(a) : k] = d = deg(min(a, k)). Beispiel (i) Mit Satz und Beispiel folgt sofort [ R( ] 2 + i) : R = 2 und Aus der zweiten Gleichung können wir auch Q( 2 + i) = Q( 2, i) [ Q( ] 2 + i) : Q = 4. ablesen. Dabei ist " " klar. Wenden wir nun die Gradformel auf die Kette Q Q( 2) Q( 2, i) an, sehen wir, dass [ Q( 2, i) : Q ] 4 gelten muss. Aus [ Q( 2 + i) : Q ] = 4 folgt dann die Gleichheit. (ii) Mit Satz und Beispiel folgt [ Q( 3 2) : Q ] = 3. Korollar Für jede Primzahl p gilt [ ) ] Q (e 2πi p : Q = p 1. Beweis. Klar mit Satz und Beispiel (iii).

82 78 Kapitel 4. Körper 4.3 Lösung der antiken Konstruktionsprobleme Wir erinnern nochmals an die Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Wir starten mit einer Menge M C, von der wir 0, 1 M annehmen. Wir setzen M 0 = M und definieren iterativ M (i+1) als die Vereinigung von M (i) mit der Menge aller Punkte, die in einem Schritt (irgendeines Typs) aus M (i) konstruierbar sind. Dann ist Kon(M) = die Menge aller Elemente von C, die man in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus M konstruieren kann. Wir wissen bereits, dass i=0 M i k := Q(M M) Kon(M) C eine Körperkette ist. Außerdem ist Kon(M) abgeschlossen unter komplexer Konjugation (Satz 1.1.2). Proposition Sei L C ein unter komplexer Konjugation abgeschlossener Körper. Wenn a C in einem Schritt aus L konstruierbar ist, so gibt es ein b L mit a L( b). Beweis. Wir untersuchen die drei Konstruktionstypen nacheinander. 1. Fall: a entsteht durch das Schneiden zweier Geraden. Es gibt also p 1 p 2, q 1 q 2 L und r, s R mit Also gilt und damit a = p 1 + r(p 2 p 1 ) = q 1 + s(q 2 q 1 ). a p 1 p 2 p 1 = r = r = a p 1 p 2 p 1 a = (a p 1 ) p 2 p 1 p 2 p 1 + p 1. Mit den q i erhält man die analoge Gleichung. Setzt man die beiden rechten Seiten dann gleich und löst nach a auf, erhält man a L. Man kann also b = 1 wählen. 2. Fall: z entsteht durch das Schneiden eines Kreises mit einer Geraden. Es gibt also p 1 p 2, q 1, q 2, q L und r R mit a = p 1 + r(p 2 p 1 )

83 4.3. Lösung der antiken Konstruktionsprobleme 79 und a q 2 = q 1 q 2 2 = (q 1 q 2 )(q 1 q 2 ) L. Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, ergibt sich für r eine quadratische Gleichung mit Koeffizienten aus L. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen sehen wir, dass ein b L existiert mit r L( b). Dann gilt mit der ersten Gleichung auch a L( b). 3. Fall: a entsteht durch das Schneiden zweier Kreise. Es gibt also p q, p 1, p 2, q 1, q 2 L mit a p 2 = p 1 p 2 2 und a q 2 = q 1 q 2 2. Die erste Gleichung ergibt nach Auflösung nach a gerade und analog a = (p 1 p 2 )(p 1 p 2 ) a p a = (q 1 q 2 )(q 1 q 2 ) a q + p + q. Nach Gleichsetzung der beiden rechten Seiten erhält man für a eine quadratische Gleichung mit Koeffizienten aus L. Wieder ergibt sich die Aussage aus der Lösungformel für quadratische Gleichungen. Satz Jedes a Kon(M) ist algebraisch über k = Q(M M). Es gilt stets für ein r N. [k(a) : k] = 2 r Beweis. Um a zu erhalten, konstruiert man ausgehend von M eine endliche Folge von Punkten a 1, a 2,..., a n, a. Nach Proposition gilt also [k(a 1 ) : k] 2. Konjugiert man die Koeffizienten von Min(a 1, k), erhält man eine polynomiale Gleichung für a 1 über k (k ist abgeschlossen unter komplexer Konjugation) und damit über k(a 1 ). Also gilt [k(a 1, a 1 ) : k(a 1 )] 2.

84 80 Kapitel 4. Körper Mit der Gradformel ist also [k(a 1, a 1 ) : k] = 1, 2 oder 4. Der Körper k(a 1, a 1 ) ist aber wieder abgeschlossen unter komplexer Konjugation und wir können iterieren. Wiederum mit der Gradformel sieht man schließlich, dass [k(a 1, a 1,..., a n, a n, a) : k] = 2 s für ein s N gilt. Wegen k k(a) k(a 1, a 1,..., a n, a n, a) und der Gradformel ist [k(a) : k] ein Teiler von 2 s und damit ebenfalls eine Zweierpotenz. Satz (Quadratur des Kreises). Für M = {0, 1} gilt π / Kon(M). Also kann man zu einem gegebenen Kreis mit Radius 1 mit Zirkel und Lineal kein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt konstruieren. Beweis. Es gilt Q(M M) = Q und π ist transzendent über Q (ohne Beweis). Mit Satz gilt also π / Kon(M) und damit erst recht π / Kon(M). Satz (Würfelverdoppelung). Für M = {0, 1} gilt 3 2 / Kon(M). Also lässt sich zu einem Würfel mit Volumen 1 mit Zirkel und Lineal kein Würfel mit Volumen 2 konstruieren. Beweis. Es gilt Q(M M) = Q und [ Q( 3 2) : Q ] = 3 (siehe Beispiel (ii)). Die Aussage folgt nun wieder mit Satz 4.3.2, da 3 keine Zweierpotenz ist. Satz (Dreiteilung des Winkels). Mit M = {0, 1, e πi 3 } gilt e πi 9 / Kon(M). Also lässt sich ein Winkel von 60 mit Zirkel und Lineal nicht in drei gleich große Winkel aufteilen. Beweis. Beachte zunächst, dass M = {0, 1} als Anfangsmenge genügt, da e πi 3 daraus konstruierbar ist. Wäre e πi 9 nun konstruierbar aus Q, so auch ( a = Re e πi 9 ) = cos ( π 9 ). Es gilt aber die allgemeine trigonometrische Formel ( α ) 3 ( α ) 4 cos 3 cos = cos(α) 3 3

85 4.4. Der Zerfällungskörper und der algebraische Abschluss 81 und daraus erhält man Min(a, Q) = x x 1 8. Die Irreduzibilität kann man direkt nachrechnen. Man kann aber auch die Transformation x 1 (x + 1), das Eisensteinkriterium über Z und dann Korollar (ii) verwenden. Also 2 gilt und das ist keine Zweierpotenz. [ ( ( π )) ] Q cos : Q = 3 9 Satz (Konstruktion regelmäßiger p-ecke). Ist p eine Primzahl und das regelmäßige p-eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar, so ist p 1 eine Zweierpotenz. Insbesondere kann man ein regelmäßiges 7-Eck nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren. Beweis. Laut Korollar gilt [ ) ] Q (e 2πi p : Q = p 1. Aus der Konstruierbarkeit folgt, dass dies eine Zweierpotenz sein muss. Für die Umkehrung des letzten Satzes siehe Korollar Das einzige noch offene Problem aus der Einleitung ist nun die Frage nach der Lösbarkeit von polynomialen Gleichungen. Dieses Problem ist deutlich schwieriger als die Konstruktionsprobleme und erfordert noch mehr Theorie der Körper. 4.4 Der Zerfällungskörper und der algebraische Abschluss Sei k K eine Körpererweiterung und p k[x] ein Polynom. Wir erinnern nochmals an Satz Für a K gilt p(a) = 0 (X a) p in K[x]. Insbesondere hat p höchstens deg(p) viele verschiedene Nullstellen in K.

86 82 Kapitel 4. Körper Definition Sei k K eine Körpererweiterung. (i) p k[x] zerfällt über K in Linearfaktoren, falls b k, a 1,..., a d K existieren mit p = b(x a 1 )(x a 2 ) (x a n ) K[x]. (ii) K heißt Zerfällungskörper von p über k, falls p über K zerfällt und mit den a i wie in (i) gilt K = k(a 1,..., a n ). (iii) Einen Zerfällungskörper einer ganzen Familie von Polynomen über k definiert man analog. Alle Polynome der Familie müssen zerfallen und der Körper ensteht durch Adjunktion aller Nullstellen der Polynome. Beispiel (i) Ein Zerfällungskörper von x 2 2 über Q ist gerade Q( 2, 2) = Q( 2). Ein Zerfällungskörper von x über R ist C. (ii) Der Körper Q( 3 2) ist kein Zerfällungskörper von p = x 3 2 über Q. Es gilt nämlich Q( 3 2) R und x 3 2 = (x 3 ( 2) x x ), wobei der quadratische Faktor über R nicht zerfällt. Es ist aber K := Q( 3 2, i 3) ein Zerfällungskörper von p über Q. Der quadratische Faktor hat nämlich die Nullstellen λ 1,2 = 1 ( 3 ) 3 2 ± i 3 2 K. 2 Außerdem gilt K = Q( 3 2, λ 1, λ 2 ), wobei " " schon klar ist und die andere Inklusion aus i 3 = λ 2 λ folgt. Aus der Gradformel folgt hier sofort [K : Q] = 6 = 3!

87 4.4. Der Zerfällungskörper und der algebraische Abschluss 83 (iii) Der Zerfällungskörper von x d 1 (bzw. Φ d ) über Q ist Q(e 2πi d ). Die Nullstellen von x d 1 in C sind gerade die d-ten Einheitswurzeln und e 2πi d erzeugt als primitive Einheitswurzel alle anderen. Falls d prim ist, gilt laut Korollar [ ( ) ] Q e 2πi d : Q = d 1. Lemma Sei p k[x] und K ein Zerfällungskörper von p über k. Dann gilt Beweis. Aufgabe 55. [K : k] deg(p)! Satz Zu jedem p k[x] existiert ein Zerfällungskörper. Beweis. Es genügt zu zeigen, dass eine Körpererweiterung k L existiert, in der p eine Nullstelle hat. Nach Abspaltung von Linearfaktoren über L iterieren wir dann den Prozess und adjungieren am Schluss alle nötigen Nullstellen an k. Da jedes Polynom ein Produkt von irreduziblen Polynomen ist, können wir o.b.d.a. zusätzlich annehmen, dass p irreduzibel ist. Dann entsteht L aber gerade durch Konstruktion Wir wollen nun die Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers zeigen. Ein Homomorphismus ϕ: k k von Körpern setzt sich offensichtlich zu einem Ringhomomorphismus Φ: k[x] k [x] mit Φ(x) = x fort. Für ein Polynom p = d i=0 c ix i k[x] gilt dabei Φ(p) = d ϕ(c i )x i =: p (ϕ). i=0 Die folgende Aussage ist zwar technisch, wird im Folgenden aber immer wieder benutzt werden. Proposition Es seien k K und k K Körpererweiterungen sowie ϕ: k k ein Homomorphismus. Sei a K algebraisch über k und p = Min(a, k) k[x]. Dann ist die Anzahl der Homomorphismen ψ : k(a) K mit ψ k = ϕ gleich der Anzahl der verschiedenen Nullstellen von p (ϕ) in K. Beweis. Sei ψ : k(a) K eine Fortsetzung von ϕ. Für ein Polynom q k[x] gilt dann ψ(q(a)) = q (ϕ) (ψ(a))

88 84 Kapitel 4. Körper und insbesondere 0 = ψ(0) = ψ(p(a)) = p (ϕ) (ψ(a)). Daraus sehen wir zweierlei. Erstens ist ψ durch seinen Wert auf a schon eindeutig bestimmt, zweitens muss ψ(a) immer eine Nullstelle von p (ϕ) sein. Damit gibt es höchstens so viele Abbildungen ψ wie Nullstellen von p (ϕ) in K. Sei nun b K eine Nullstelle von p (ϕ). Wir müssen noch zeigen, dass ein ψ existiert mit ψ(a) = b. Jedes Element von k(a) = k[a] ist von der Form q(a) für ein q k[x]. Wir definieren also einfach ψ(q(a)) := q (ϕ) (b). Dabei müssen wir zunächst die Wohldefiniertheit zeigen. Seien also q, q k[x] mit q(a) = q(a). Das bedeutet (q q)(a) = 0 und wegen p = Min(a, K) folgt q q = ph für ein h k[x]. Daraus folgt q (ϕ) q (ϕ) = p (ϕ) h (ϕ) und nach Einsetzen von b dann q (ϕ) (b) q (ϕ) (b) = p (ϕ) (b) h (ϕ) (b) = 0. }{{} =0 Das zeigt die Wohldefiniertheit. Die Abbildung ψ ist aber nun offensichtlich ein Homomorphismus ψ : k(a) K mit ψ k = ϕ und ψ(a) = b. Satz Sei ϕ: k k ein Isomorphismus, p k[x] und K ein Zerfällungskörper von p sowie K ein Zerfällungskörper von p (ϕ). Dann gibt es mindestens einen und höchstens [K : k] viele Isomorphismen ψ : K K mit ψ k = ϕ. Falls alle Nullstellen von p (ϕ) in K verschieden sind, gibt es genau [K : k] viele solche Fortsetzungen ψ. Beweis. Sei p 1 ein irreduzibler Faktor von p in k[x] und a 1 K mit p 1 (a 1 ) = 0. Dann gilt Min(a 1, k) = p 1 und nach Proposition gibt es so viele Fortsetzungen ϕ 1 : k(a 1 ) K von ϕ, wie p (ϕ) 1 verschiedene Nullstellen in K hat. Das sind mindestens eine und höchstens ( deg p (ϕ) 1 ) = deg(p 1 ) = [k(a 1 ) : k] viele. Wir iterieren diesen Prozess nun mit ϕ 1 anstelle von ϕ und k(a 1 ) anstelle von k. Dafür zerlegen wir p in k(a 1 )[x] in irreduzible Faktoren und wählen

89 4.4. Der Zerfällungskörper und der algebraische Abschluss 85 eine Nullstelle a 2 eines nicht-linearen irreduziblen Faktors. Auf diese Weise erhalten wir schließlich Fortsetzungen ψ : K K von ϕ. Da sich sowohl der Körpergrad als auch die Anzahl der Fortsetzungen in jedem Schritt multipliziert, gibt es höchstens [K : k] viele Fortsetzungen. Hat p (ϕ) lauter verschiedene Nullstellen in K, so gibt es in jedem Schritt die maximale Anzahl von Fortsetzungen, also exakt [K : k] viele insgesamt. Jeder Homomorphismus zwischen Körpern ist injektiv und jede Fortsetzung ψ bildet also verschiedene Nullstellen von p in K auf verschiedene Nullstellen von p (ϕ) in K ab. Da man das Argument auch mit ϕ 1 durchführen kann, haben p und p (ϕ) jeweils gleich viele verschiedene Nullstellen in ihren Zerfällungskörpern und die werden durch ψ permutiert. Also ist ψ auch surjektiv und damit ein Isomorphismus. Definition Seien k L, k K Körpererweiterungen. (i) Ein Homomorphismus ϕ: L K heißt k-homomorphismus, falls ϕ k = id k. (ii) L und K sind isomorph über k, falls es einen Isomorphismus zwischen L und K gibt, der ein k-homomorphismus ist. Bemerkung Jeder k-homomorphismus ϕ: K K ist k-linear. Es gilt für a k, b K ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = aϕ(b). Insbesondere ist ϕ durch die Werte auf einer k-basis von K eindeutig bestimmt. Man beachte aber, dass die Vorgabe von Werten auf einer Basis im Allgemeinen nicht zu einem Homomorphismus führt. Die Multiplikativität ist nicht automatisch sichergestellt. Korollar Der Zerfällungskörper eines Polynoms p k[x] ist bis auf Isomorphie über k eindeutig bestimmt. Beweis. Satz mit ϕ = id k. Definition (i) Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, falls jedes Polynom aus K[x] in K eine Nullstelle hat (und damit natürlich alle Polynome über K zerfallen). (ii) Für eine Körpererweiterung k K heißt K algebraischer Abschluss von k, falls K algebraisch abgeschlossen und k K eine algebraische Erweiterung ist.

90 86 Kapitel 4. Körper Bemerkung Jeder algebraisch abgeschlossene Körper ist unendlich. Wenn k = {a 1,..., a n } nämlich endlich ist, hat das Polynom offensichtlich keine Nullstelle in k. p = (x a 1 ) (x a n ) + 1 k[x] Satz J eder Körper k besitzt (bis auf Isomorphie über k) einen eindeutig bestimmten algebraischen Abschluss. Beweis. Existenz: Zunächst zeigen wir die Existenz einer algebraischen Körpererweiterung k L, wobei jedes nichtkonstante Polynom über k in L eine Nullstelle hat. Das Argument ist eine Verallgemeinerung von Konstruktion Sei dazu R = k [x p p k[x] \ k] der Polynomring über k in so vielen Variablen, wie es nichtkonstante Polynome über k gibt (beachte, dass in jedem Polynom aus R nur endlich viele Variablen auftreten). In R betrachten wir das Ideal I := (p(x p ) p k[x] \ k) und zeigen I R. Wäre nämlich o.b.d.a. 1 = m g i (x p1,..., x pm )p i (x pi ) i=1 mit gewissen g i k[x p1,..., x pm ] und p i k[x] \ k, so wählen wir (zum Beispiel im Zerfällungskörper von p 1 p m über k) Elemente a i mit p i (a i ) = 0. Setzen wir dann a i für x pi in die obere Gleichung ein, ergibt sich 1 = 0, ein Widerspruch. Mit Satz finden wir ein maximales Ideal m mit I m R. Der Körper L := R/m kann dann als Erweiterungskörper von k aufgefasst werden. Das Element x p +m L ist dann aber eine Nullstelle von p, da p(x p ) m. Damit ist k L auch eine algebraische Erweiterung. Wir iterieren den Prozess nun und erhalten eine aufsteigende Folge von algbraischen Körpererweiterungen k = L 0 L 1 L 2.

91 4.4. Der Zerfällungskörper und der algebraische Abschluss 87 Dabei hat jedes nichtkonstante Polynom mit Koeffizienten aus L i eine Nullstelle in L i+1. Dann ist K := i 0 L i auf kanonische Weise ein algebraischer Oberkörper von k. Jedes nichtkonstante Polynom aus K[x] liegt dann bereits in einem L i [x] und hat also in L i+1 K eine Nullstelle. Damit ist K algebraisch abgeschlossen, also ein algebraischer Abschluss von k. Eindeutigkeit: Seien k K und k K zwei algebraische Abschlüsse von k. Wir zeigen die Existenz eines Isomorphismus ϕ: K K mit ψ k = id k mit dem Zorn schen Lemma. Sei dazu M := { ϕ: L L Isomorphismus k L K, k L K, ϕ k = id k }. Wegen (id k : k k) M ist M nicht leer und wir versehen es mit der folgenden partiellen Ordnung: (ϕ: L L ) ( ϕ: L L ) : L L, L L, ϕ L = ϕ. Man sieht leicht, dass jede Kette in M eine obere Schranke besitzt. Also gibt es nach dem Zorn schen Lemma in M ein maximales Element ϕ: L L. Wäre nun L K, so gäbe es a K \ L, wobei a sogar algebraisch über k und damit über L ist. Sei p = Min(a, L). Da K algebraisch abgeschlossen ist, besitzt p (ϕ) in K eine Nullstelle b. Nach Proposition kann man ϕ damit zu einem Isomorphismus ψ : L(a) L (b) fortsetzen, ein Widerspruch zur Maximalität. Dasselbe Argument funktioniert auch mit ϕ 1 und zeigt also L = K, L = K. Bemerkung/Beispiel (i) C ist der algebraische Abschluss von R. Es ist C nämlich algebraisch abgeschlossen und R C ist endlich und damit algebraisch. (ii) C ist nicht der algebraische Abschluss von Q, da die Erweiterung Q C nicht algebraisch ist. Der algebraische Abschluss von Q ist (Aufgabe 54) Q = { a C a algebraisch über Q }. (iii) Die Erweiterung von k zum algebraischen Abschluss muss nicht endlich sein. Für k = F p ist sie es beispielsweise nicht, wie man leicht mit Bemerkung sieht.

92 88 Kapitel 4. Körper (iv) Wir bezeichnen den algebraischen Abschluss des Körpers k von nun an auch mit k. Korollar Sei k L eine algebraische Körpererweiterung und k K mit K algebraisch abgeschlossen. Dann gibt es einen k-homomorphismus ϕ: L K. Beweis. Man kann beispielsweise die Argumente aus dem Eindeutigkeitsteil des Beweises von Satz wiederholen. Andererseits kann man auch folgendermaßen argumentieren. Sei L der algebraische Abschluss von L und k = { a K a algebraisch über k }. Dann sind L und k beides algebraische Abschlüsse von k und damit isomorph über k. Ein Isomorphismus liefert durch Einschränkung auf L den gewünschten Homomorphismus. 4.5 Normale und separable Erweiterungen Der Begriff einer normalen und separablen Körpererweiterung ist nötig, um später den Hauptsatz der Galoistheorie beweisen zu können. Definition Eine algebraische Körpererweiterung k K heißt normal, falls jedes irreduzible Polynom p k[x], welches in K eine Nullstelle hat, in K bereits zerfällt. Beispiel (i) Ist K algebraisch abgeschlossen, so ist die Erweiterung k K trivialerweise normal. Beispielsweise ist R C normal. (ii) Die Erweiterung Q Q( 3 2) ist nicht normal (vergleiche Beispiel 4.4.2). Satz Für eine algebraische Körpererweiterung k K k sind äquivalent: (i) k K ist normal. (ii) K ist Zerfällungskörper einer Menge von Polynomen über k. (iii) Jeder k-homomorphismus ϕ: K k erfüllt ϕ(k) K. Beweis. "(i) (ii)" Für jedes a K hat Min(a, k) in K die Nullstelle a und zerfällt deshalb dort bereits in Linearfaktoren. Damit ist K offensichtlich der Zerfällungskörper der Minimalpolynome aller seiner Elemente über k. "(ii) (iii)" Sei K der Zerfällungskörper der Familie (p i ) i I von Polynomen p i k[x] und ϕ: K k ein k-homomorphismus. Sei a K eine Nullstelle von einem p i. Dann gilt 0 = ϕ(0) = ϕ(p i (a)) = p i (ϕ(a)),

93 4.5. Normale und separable Erweiterungen 89 da ϕ ein k-homomorphismus ist. Als Nullstelle von p i in k liegt ϕ(a) also sogar in K. Da K von solchen Nullstellen erzeugt wird, gilt ϕ(k) K. "(iii) (i)" Sei p k[x] irreduzibel und a K sei eine Nullstelle von p. Sei b k eine beliebige weitere Nullstelle von p. Wir zeigen b K, daraus folgt die Aussage. Nach Proposition gibt es aber einen k-homomorphismus ϕ: k(a) k mit ϕ(a) = b. Wie in Korollar kann man ϕ auf ganz K fortsetzen. Daraus folgt b ϕ(k) K. Beispiel (i) Es sind Q Q( 2) Q Q( 3 3, i ( 3) Q Q normale Körpererweiterungen. Laut Beispiel sind es nämlich Zerfällungskörper. (ii) Jede Körpererweiterung mit [K : k] = 2 ist normal (Aufgabe 56). Korollar Sind k L K algebraische Erweiterungen und ist K normal über k, so auch über L. Im Allgemeinen ist L aber nicht normal über k. Beweis. Die Normalität von K über L folgt zum Beispiel aus Satz (ii). Als Gegenbeispiel zur Normalität von L über k betrachten wir die Körperkette Q Q( 3 2) Q( 3 2, i 3). Die Erweiterung Q Q( 3 2, i 3) ist normal, nicht aber die Erweiterung Q Q( 3 2). Definition (i) Ein irreduzibles Polynom p k[x] heißt separabel, falls p in k (oder seinem Zerfällungskörper) deg(p) viele verschiedene Nullstellen besitzt. (ii) Für eine Körpererweiterung k K heißt a K separabel über k, falls a algebraisch über k ist und Min(a, k) separabel ist. (iii) Eine algebraische Körpererweiterung k K heißt separabel, falls jedes a K separabel über k ist. Bemerkung Sei k L K eine Körperkette. Wenn K separabel über k ist, sind sowohl K über L als auch L über k separabel. Für L über k ist das trivial, für K über L liegt es daran, dass Min(a, L) in L[x] ein Teiler von Min(a, k) ist. e 2πi d )

94 90 Kapitel 4. Körper Definition Sei R ein kommutativer Ring. Dann heißt die Abbildung formale Ableitung. : R[x] R[x] d d c i x i ic i x i 1 i=0 Lemma Sei R ein kommutativer Ring und die formale Ableitung auf R[x]. Dann gilt für r, s R, p, q R[x] Beweis. Aufgabe 45. i=1 (rp + sq) = r (p) + s (q) (pq) = p (q) + q (p) (r) = 0. Satz Sei k ein Körper und p k[x] irreduzibel. Dann gilt p separabel (p) 0. Beweis. Sei o.b.d.a. p normiert. " ": Es gibt paarweise verschiedene a 1,..., a d k mit In k[x] gilt dann p = (x a 1 ) (x a d ). (p) = d (x a j ) i=1 und jeder Linearfaktor (x a i ) teilt jeden Summanden außer dem i-ten, also nicht (p). Daraus folgt (p) 0. " ": Aus (p) 0 und deg( (p)) < deg(p) folgt p (p). Da p irreduzibel ist, sind p und (p) dann schon teilerfremd im Hauptidealring k[x]. Nach Lemma gibt es eine Darstellung j i 1 = fp + g (p)

95 4.5. Normale und separable Erweiterungen 91 mit f, g k[x] und p, (p) können also keine gemeinsame Nullstelle in k haben. Wäre nun p nicht separabel, so gäbe es a k mit (x a) 2 p in k[x], also p = (x a) 2 q. Nun berechnet man (p) = (x a) (2q + (x a) (q)), also haben p und (p) in k die gemeinsame Nullstelle a, ein Widerspruch. Bemerkung Dem Beweis von " " in Satz sieht man an, dass für die Separabilität schon eine einzige Nullstelle in k mit Vielfachheit 1 genügt. Korollar (i) Falls char(k) = 0 gilt, ist jedes irreduzible Polynom p k[x] separabel. Insbesondere ist jede algebraische Körpererweiterung k K separabel. (ii) Falls char(k) = d gilt, so ist p k[x] genau dann inseparabel, wenn ein q k[x] existiert mit p(x) = q(x d ). Beweis. (i) folgt mit Satz aus der Tatsache, dass für p k[x] \ k stets (p) 0 gilt. Ist c 0 nämlich der Leitkoeffizient von p, so ist deg(p) c 0 der Leitkoeffizient von (p). Für (ii) sieht man ganz analog, dass alle Koeffizienten von (p) genau dann Null sind, wenn die Grade bei allen auftretenden Koeffizienten von p Vielfache von d waren. Definition Ein Körper k heißt vollkommen, falls jedes irreduzible Polynom p k[x] separabel ist. Beispiel Jeder Körper von Charakteristik 0 ist vollkommen (Korollar (i)) Satz Sei k ein Körper mit char(k) = d > 0. Dann gilt k vollkommen k = k d ( := { a d a k }). Beweis. " ": Für a k beliebig betrachten wir p = x d a k[x]. Da offensichtlich (p) = 0 gilt muss p reduzibel sein, nach Satz Also gibt es q, h k[x] mit q irreduzibel und p = qh. Es gibt nun ein b k mit q(b) = 0, insbesondere p(b) = 0, also b d = a.

96 92 Kapitel 4. Körper Damit gilt in k[x] (mit Lemma 4.1.6) qh = p = x d a = x d b d = (x b) d. Aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in k[x] folgt q = (x b) m für ein m. Da k nach Annahme vollkommen ist, hat das irreduzible Polynom q lauter verschiedene Nullstellen in k, und daraus folgt m = 1. Aus x b = q k[x] folgt dann b k, die gewünschte Aussage. " ": Sei p k[x] mit (p) = 0. Im Beweis von Korollar haben wir gesehen, dass p = c 0 + c 1 x d + c 2 x 2d + + c n x nd gelten muss. Wähle nun b i k mit b d i = c i. Dann gilt p = b d 0 + b d 1x d + b d 2x 2d + + b d nx nd = ( b 0 + b 1 x + b 2 x b n x n) d. Also ist p nicht irreduzibel. Mit Satz folgt, dass alle irreduziblen Polynome in k[x] separabel sind. Damit ist k offensichtlich vollkommen. Beispiel (i) Jeder endliche Körper ist vollkommen. Das folgt mit Satz aus Lemma (ii) Für eine Primzahl p ist der Körper F p (t) nicht vollkommen (Aufgabe 65). Satz (Satz vom primitiven Element). Sei k K eine endliche separable Erweiterung. Dann gibt es ein a K mit K = k(a). Beweis. Wir führen den Beweis nur im Fall, dass k unendlich ist. Wir können außerdem K = k(b, c) mit algebraischen Elementen b, c K annehmen, weil man das Ergebnis dann iterieren kann. Seien p = Min(b, k), q = Min(c, k) sowie b = β 1, β 2..., β d und c = γ 1, γ 2..., γ e die (jeweils paarweise verschiedenen) Nullstellen von p und q in k. Da k unendlich ist, gibt es ein δ k mit δ β 1 β i γ j γ 1

97 4.6. Galoistheorie 93 für alle i = 1,..., d, j = 2,..., e. Wir setzen a := β 1 + δγ 1 = b + δc K und zeigen k(b, c) = k(a), wobei " " klar ist. Die beiden Polynome q, p(a δx) k(a)[x] haben die gemeinsame Nullstelle c = γ 1. Eine weitere gemeinsame Nullstelle haben sie nicht, denn für j 2 folgt aus 0 = p(a δγ j ) schon a δγ j = β i für ein i und genau das ist nach Wahl von δ nicht der Fall. Es gilt also x c = ggt(q, p(a δx)) in K[x]. Der größte gemeinsame Teiler kann aber auch in k(a)[x] berechnet werden (zum Beispiel wegen Lemma ) und daraus folgt c k(a) und somit auch b k(a). Das zeigt k(b, c) k(a). 4.6 Galoistheorie Die Galoistheorie wird es uns erlauben, Fragen der Körpertheorie in Fragen der Gruppentheorie zu übersetzen. Erst damit werden wir dann die Frage nach der Lösbarkeit von polynomialen Gleichungen beantworten können. Definition Sei k K eine Körpererweiterung. Wir definieren ihre Galoisgruppe folgendermaßen: Gal(K, k) := { ϕ: K K ϕ k-isomorphismus }. Elemente von Gal(K, k) nennen wir auch k-automorphismen von K. Bemerkung/Beispiel (i) Offensichtlich ist Gal(K, k) eine Gruppe bezüglich der Hintereinanderausführung von Funktionen. Das neutrale Element ist id K. (ii) Wir berechnen Gal(C, R). Wegen C = R(i) gibt es nach Proposition so viele R-Homomorphismen von C wie Nullstellen von x in C und das sind genau i und i. Bilden wir i auf i ab, erhalten wir die Identität. Bilden wir i auf i ab, erhalten wir die komplexe Konjugation κ. Es gilt κ κ = id. Beide Homomorphismen sind Automorphismen, also Gal(C, R) = {id C, κ} = Z/2Z.

98 94 Kapitel 4. Körper Ganz analog berechnet man ( Gal Q( ) 2), Q = {id, ϕ} = Z/2Z, wobei ϕ gerade 2 auf 2 abbildet. (iii) Wir bestimmen Gal ( Q ( 3 2 ), Q ). Es muss 3 2 durch jeden Q-Automorphismus auf eine Nullstelle von x 3 2 abgebildet werden und davon gibt es in Q( 3 2) nur eine. Also gilt ( Gal Q( 3 ) 2), Q = {id}. (iv) Wir bestimmen ( ) ) Gal Q (e 2πi p, Q für eine Primzahl p. Das Minimalpolynom Φ p von a = e 2πi p ) hat in K = Q (e 2πi p die p 1 verschiedenen Nullstellen a, a 2,..., a p 1. Nach Proposition gibt es also p 1 viele Q-Homomorphismen von K, also ϕ 1,..., ϕ p 1 bestimmt durch ϕ i (a) = a i. Dabei handelt es sich jeweils sogar um Automorphismen (Übungsaufgabe). Damit sieht man ( ) ) Gal Q (e 2πi p, Q = {ϕ 1,..., ϕ p 1 } = (Z/pZ). Lemma Sei p k[x] und K der Zerfällungskörper von p über k. (i) Es gilt # Gal(K, k) [K : k], insbesondere ist die Galoisgruppe der Erweiterung endlich. (ii) Falls alle Nullstellen von p verschieden sind, gilt # Gal(K, k) = [K : k]. Beweis. Direkte Folgerung aus Satz mit ϕ = id k. Definition Sei k K eine Körpererweiterung, G = Gal(K, k) und H < G eine Untergruppe. Dann definieren wir Fix(H) := { b K ϕ(b) = b für alle ϕ H }.

99 4.6. Galoistheorie 95 Bemerkung/Beispiel (i) Man sieht leicht, dass Fix(H) für jede Untergruppe H der Galoisgruppe ein Zwischenkörper der Erweiterung ist: k Fix(H) K. Die Körperaxiome folgen aus der Tatsache, dass die betrachteten Abbildungen ϕ Homomorphismen sind. Die Aussage k Fix(H) bedeutet gerade, dass alle ϕ k-homomorphismen sind. (ii) Umgekehrt gilt für jeden Zwischenkörper k L K offensichtlich Gal(K, L) < Gal(K, k). (iii) Wir haben also Zuordnungen { Untergruppen von Gal(K, k) } { Zwischenkörper von k K } H Fix(H) Gal(K, L) L Beide Zuordnungen sind inklusionsumkehrend, für H 1 < H 2 < Gal(K, k), k L 1 L 2 K gilt also Weiter gilt offensichtlich Fix(H 1 ) Fix(H 2 ) und Gal(K, L 1 ) Gal(K, L 2 ). H Gal (K, Fix(H)) und L Fix (Gal(K, L)). Im Allgemeinen gilt aber keine Gleichheit. In Beispiel (ii) etwa gilt Fix (Gal(K, k)) = K. Proposition (Lemma von Artin). Sei k K eine Körpererweiterung und H < Gal(K, k) endlich. Dann gilt [K : Fix(H)] #H. Beweis. Sei n = #H und H = {ϕ 1,..., ϕ n }. Sei m > n und a 1,..., a m K. Wir zeigen, dass a 1,..., a m linear abhängig über Fix(H) sein müssen, das beweist die Aussage. Dazu betrachten wir das homogene lineare Gleichungssystem ϕ 1 (a 1 )x 1 + ϕ 1 (a 2 )x ϕ 1 (a m )x m = 0 ϕ 2 (a 1 )x 1 + ϕ 2 (a 2 )x ϕ 2 (a m )x m = 0. ϕ n (a 1 )x 1 + ϕ n (a 2 )x ϕ n (a m )x m = 0.

100 96 Kapitel 4. Körper Wegen m > n gibt es eine nichttriviale Lösung (b 1,..., b m ) K m und wir wählen sie dabei mit einer maximalen Anzahl von Nullen in den Einträgen. Sei außerdem o.b.d.a. b 1 = 1. Für alle i, j gilt nun ( ) 0 = ϕ j (0) = ϕ j ϕ i (a k )b k = (ϕ j ϕ i )(a k )ϕ j (b k ). k k Für festes j durchlaufen die Elemente ϕ j ϕ i mit i die ganze Gruppe H und damit ist auch (ϕ j (b 1 ),..., ϕ j (b m )) K m eine Lösung des Gleichungssystems. Aufgrund der Homogenität ist dann auch (b 1 ϕ j (b 1 ),..., b m ϕ j (b m )) K m eine Lösung. Angenommen es gilt nun b i / Fix(H) für ein i. Dann gibt es ein j mit ϕ j (b i ) b i, also ist (b 1 ϕ j (b 1 ),...,b m ϕ j (b m )) = (1 1, b 2 ϕ j (b 2 ),..., b m ϕ j (b m )) = (0, b 2 ϕ j (b 2 ),..., b i ϕ j (b i ),...,..., b }{{} m ϕ j (b m )) 0 eine nichttriviale Lösung mit einer Null mehr. Das ist ein Widerspruch und zeigt b i Fix(H) für alle i. Wenn etwa ϕ 1 = id gilt, zeigt die erste Zeile des Gleichungssystems also die lineare Abhängigkeit der a i über Fix(H). Definition Eine Körpererweiterung heißt Galois-Erweiterung, falls sie endlich, normal und separabel ist. Beispiel (i) Mit char(k) = 0, p k[x] und K dem Zerfällungskörper von p über k ist k K eine Galoiserweiterung. Das folgt aus Satz 4.2.9, Satz und Korollar Beispiele dafür sind Q Q( 2), Q Q( 3 2, ( 3i), Q Q e 2πi d ), R C. (ii) Ist k L K eine Körperkette und K über k galoisch, so auch K über L (nach Korollar und Bemerkung 4.5.7). Für L über k stimmt das im Allgemeinen nicht (die Normalität kann scheitern, siehe Korollar 4.5.5). Satz (Hauptsatz der Galoistheorie). Es sei k K eine Galois-Erweiterung. Dann sind die Zuordnungen Fix( ) und Gal(K, ) zueinander inverse inklusionsumkehrende Bijektionen zwischen Untergruppen von G = Gal(K, k) und Zwischenkörpern von k und K. Weiter gilt für H < G :

101 4.6. Galoistheorie 97 (i) #H = [K : Fix(H)] und G : H = [Fix(H) : k] (ii) H G Fix(H) normal über k. In diesem Fall ist k Fix(H) wieder eine Galois-Erweiterung und es gilt Gal (Fix(H), k) = G/H. K {id} r r L = Fix(H) H = Gal(K, L) s s k G Beweis. Mit dem Satz vom primitiven Element ist K als Galois-Erweiterung der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms über k. Nach Lemma gilt also # Gal(K, k) = [K : k]. Dasselbe Argument kann man natürlich auch für jeden Zwischenkörper k L K auf die Galois-Erweiterung L K anwenden und erhält also # Gal(K, L) = [K : L]. Sei nun H < G := Gal(K, k) eine Untergruppe. Wegen H Gal(K, Fix(H)) gilt mit dem Lemma von Artin #H # Gal(K, Fix(H)) = [K : Fix(H)] #H. Das beweist Gal(K, Fix(H)) = H und die erste Gleichung in (i). Die zweite Gleichung in (i) folgt direkt aus #G = [K : k] = [K : Fix(H)] [Fix(H) : k] = #H [Fix(H) : k]. Nun gilt offensichtlich Gal(K, Fix(Gal(K, k))) = Gal(K, k), also [K : k] = # Gal(K, k) = # Gal(K, Fix(Gal(K, k))) = [K : Fix(Gal(K, k))] und damit Fix(Gal(K, k)) = k. Auch hier erhält man dieselbe Aussage für jeden Zwischenkörper: Fix(Gal(K, L)) = L.

102 98 Kapitel 4. Körper Damit ist gezeigt, dass die Zuordnungen Gal(K, ) und Fix( ) beidseitig invers zueinander sind. Für (ii) sei H < G und L = Fix(H). Dann gilt für ϕ G denn ϕ(l) = Fix(ϕHϕ 1 ), a Fix(ϕHϕ 1 ) ( ϕτϕ 1) (a) = a τ H ( τϕ 1) (a) = ϕ 1 (a) τ H ϕ 1 (a) Fix(H) = L a ϕ(l). Ist H nun eine normale Untergruppe in G, so gilt ϕhϕ 1 = H und somit ϕ(l) = L für alle ϕ G. Wir wollen mit Satz (iii) daraus die Normalität von L über k schließen. Wir können mit Korollar k L K k annehmen und wählen einen beliebigen k-homomorphismus ψ : L k. Mit Proposition existiert eine Fortsetzung ϕ: K k von ψ und da K normal über k ist, gilt mit Satz sogar ϕ: K K. Es ist also ϕ G und wir wissen deshalb ψ(l) = ϕ(l) L. Mit Satz (iii) ist also L normal über k. Sei umgekehrt L normal über k. Dann gilt wieder mit Satz ϕ(l) L für alle ϕ G, also Fix(ϕHϕ 1 ) Fix(H). Nach Anwendung von Gal(K, ) erhalten wir also H ϕhϕ 1 und aufgrund der Mächtigkeiten damit H = ϕhϕ 1. Dies stimmt für alle ϕ G, also ist H eine normale Untergruppe. In diesem Fall betrachten wir schließlich den Gruppenhomomorphismus π : G Gal(L, k) ϕ ϕ L. Er ist wohldefiniert, da aufgrund der Normalität von L über k stets ϕ(l) L gilt. Es gilt offensichtlich ker(π) = Gal(K, L) = Gal(K, Fix(H)) = H. Außerdem ist π surjektiv. Jeder k-homomorphismus ψ : L L lässt sich fortsetzen zu ϕ: K k und aufgrund der Normalität von K über k also zu ϕ G mit π(ϕ) = ψ. Mit dem Homomorphiesatz folgt G/H = Gal(L, k).

103 4.6. Galoistheorie 99 Beispiel Wir wollen alle Teilkörper der Galoiserweiterung Q Q(e 2πi/5 ) finden. Setze ξ := e 2πi/5. Wir wissen bereits [Q(ξ) : Q] = 4, also hat jeder echte Zwischenkörper laut Gradformel Grad 2 über Q. Aus Beispiel (iii) wissen wir Gal(Q(ξ), Q) = (Z/5Z) = {1, 2, 3, 4}. Man kann nun leicht sämtliche Untergruppen dieser Gruppe bestimmen: {1}, {1, 2, 3, 4}, {1, 4}. Also gibt es genau einen echten Zwischenkörper, und zwar den Fixkörper der Abbildung ϕ 4 : ξ ξ 4. Fixiert wird durch ϕ 4 das Element χ := ξ + ξ 4 = 2 cos(2π/5), da ϕ 4 (ξ 4 ) = ξ 16 = ξ. Andererseits gilt χ / Q, da Also ist ϕ 2 (χ) = ξ 2 + ξ 3 = χ χ. Fix ({1, 4}) = Q(χ) der eindeutig bestimmte nichttriviale Zwischenkörper der Erweiterung. Eine erste Folgerung, in deren Beweis wir Ergebnisse der Gruppentheorie in die Körpertheorie übertragen, ist der Fundamentalsatz der Algebra: Korollar (Fundamentalsatz der Algebra). C ist algebraisch abgeschlossen. Beweis. Da jeder Körper einen algebraischen Abschluss besitzt, genügt es zu zeigen, dass C keine echte endliche Körpererweiterung besitzt. Angenommen C K ist eine endliche Körpererweiterung. Nach dem Satz vom primitiven Element gilt K = R(a) für ein a K, und wenn wir K durch den Zerfällungskörper von Min(a, R) ersetzen, können wir K als Galoiserweiterung von R annehmen. Wir können also den Hauptsatz der Galois-Theorie verwenden. Wegen [K : R] = [K : C] [C : R] = 2 [K : C]

104 100 Kapitel 4. Körper gilt 2 # Gal(K, R). Sei H < Gal(K, R) =: G eine 2-Sylow-Untergruppe und L = Fix(H): K {id} 2 r 2 r L H ungerade ungerade R G In R hat aber nach dem Zwischenwertsatz jedes Polynom von ungeradem Grad eine Nullstelle. Also sind die einzigen irreduziblen Polynome von ungeradem Grad vom Grad 1, also besitzt R keine echte ungerade Körpererweiterung. Das bedeutet L = R und [K : R] = 2 r. Für die Untergruppe Gal(K, C) < G gilt also # Gal(K, C) = 2 r 1 und wir zeigen r 1 = 0. Wäre r > 1, könnten wir eine Untergruppe H 1 < Gal(K, C) mit #H 1 = 2 r 2 wählen. Für L 1 = Fix(H 1 ) wäre dann [L 1 : C] = 2. In C[x] gibt es aber keine quadratischen irreduziblen Polynome, da man in C immer Wurzeln ziehen kann. Also hat C auch keine quadratische Erweiterung, ein Widerspruch. Wir haben also # Gal(K, C) = 1 und damit K = C gezeigt. Wir zeigen nun noch die Umkehrung von Satz 4.3.6: Korollar Sei p eine Primzahl mit p 1 = 2 r für ein r 1. Dann ist das regelmäßige p-eck mit Zirkel und Lineal aus 0, 1 konstruierbar. Beweis. Es ist Q Q ( e 2πi/p) nach Beispiel (i) eine Galoiserweiterung. Mit Korollar und dem Hauptsatz der Galoistheorie erhalten wir für G = Gal ( Q ( e 2πi/p), Q ) #G = 2 r. Mit dem ersten Sylowsatz gibt es nun eine Kette von Untergruppen {id} = H 0 H 1 H r = G mit #H i = 2 i für alle i (man wähle zuerst H r 1 in G, dann H r 2 in H r 1...). Durch Bildung der Fixkörper erhalten wir eine Körperkette Q = L r L r 1 L 0 = Q ( e 2πi/p) mit [L i : L i+1 ] = 2 für alle i. Jede Körpererweiterung vom Grad 2 entsteht aber durch Adjunktion einer Quadratwurzel, wie man sich leicht überlegt. Körperoperationen und Ziehen von Quadratwurzeln ist aber nach Satz mit Zirkel und Lineal möglich. Das beweist die Aussage.

105 4.7. Unlösbarkeit von polynomialen Gleichungen Unlösbarkeit von polynomialen Gleichungen Zum Abschluss der Vorlesung beantworten wir schließlich die Frage nach Auflösbarkeit von polynomialen Gleichungen. Definition Für p Q[x] heißt die Gleichung p = 0 mit Radikalen auflösbar, falls es eine Körperkette Q = k 0 k 1 k m gibt, wobei k i+1 = k i (a i ) mit a d i i k m in Linearfaktoren zerfällt. k i für alle i = 0,..., m 1 gilt und p über Der folgende Satz gilt noch deutlich allgemeiner, zum Beispiel ist auch die Rückrichtung wahr. Wir beschränken uns aber auf den für uns relevanten Teil: Satz Sei p Q[x] und K der Zerfällungskörper von p über Q. Falls die Gleichung p = 0 mit Radikalen auflösbar ist, so ist Gal(K, Q) eine auflösbare Gruppe. Beweis. Sei Q = k 0 k 1 k m eine Körperkette wie gewünscht, also K k m. Es genügt zu zeigen, dass Gal(k m, Q) auflösbar ist. Da K als Zerfällungskörper über Q normal ist, gilt Gal(K, Q) = Gal(k m, Q)/ Gal(k m, K) und als Quotient einer auflösbaren Gruppe ist Gal(K, Q) mit Satz dann auflösbar. Wir können zusätzlich sicherstellen, dass jede Teilerweiterung k i k i+1 normal ist. Dazu nehmen wir o.b.d.a. k 1 = Q(ξ) mit ξ = e 2πi n an für ein n, das von allen d i geteilt wird. Dann gilt ξ i := ξ n/d i k i für alle i 1 und das Polynom x d i a d i i k i [x] hat dann in k i+1 die d i verschiedenen Nullstellen a i, a i ξ i, a i ξ 2 i,..., a i ξ d i 1 i. Also ist k i+1 als Zerfällungskörper von x d i a d i i über k i normal. Wegen Gal(k i+1, k)/ Gal(k i+1, k i ) = Gal(k i, k) genügt es mit Satz also, die Auflösbarkeit von jeder Gruppe Gal(k i+1, k i ) zu zeigen. Insgesamt haben wir die Aussage also auf folgende Behauptung reduziert: Für char(k) = 0, K = k(a) mit a d k und ξ = e 2πi d k ist G = Gal(K, k) auflösbar.

106 102 Kapitel 4. Körper In dieser Situation ist G jedoch sogar abelsch. Wie eben gezeigt ist nämlich a Nullstelle von p = x d a d k[x] und p hat in K die verschiedenen Nullstellen a, ξa, ξ 2 a,..., ξ d 1 a. Jedes Element von G bildet a auf eine andere Nullstelle von p ab. Falls also ϕ(a) = aξ i und ψ(a) = aξ j ist, so gilt (ψ ϕ)(a) = ψ(aξ i ) = ψ(a)ξ i = aξ j ξ i = aξ j+i = aξ i+j = = (ϕ ψ)(a). Da ein Homomorphismus durch den Wert auf a schon eindeutig bestimmt ist, gilt ψ ϕ = ϕ ψ. Satz Sei d eine Primzahl, p Z[x] irreduzibel vom Grad d und habe genau 2 Nullstellen in C \ R. Für den Zerfällungskörper K von p über Q gilt dann Gal(K, Q) = S d. Beweis. Das Polynom p hat in C die verschiedenen Nullstellen a 1,..., a d und jedes ϕ Gal(K, Q) =: G permutiert diese. So erhalten wir einen injektiven Gruppenhomomorphismus ι: G S d. Da p reelle Koeffizienten hat, gilt für alle i 0 = 0 = p(a i ) = p(a i ), also ist a i wieder eine Nullstelle von p. Damit gehört die komplexe Konjugation κ zu G und ι(κ) S d ist eine Transposition, da p genau zwei nichtreelle Nullstellen hat. Außerdem gilt #G = [K : Q] = [K : Q(a 1 )] [Q(a 1 ) : Q] = d [K : Q(a 1 )], also besitzt G nach dem 1. Sylow-Satz eine Untergruppe der Mächtigkeit d, d.h. ein Element ϕ der Ordnung d. Da d prim ist, muss ι(ϕ) S d ein Zykel der Länge d sein, wie man sich (durch Zerlegung in elementfremde Zykel) leicht überlegt. Eine Transposition und ein d-zykel erzeugen aber bereits ganz S d (Übungsaufgabe). Also ist ι surjektiv. Als Höhe- und Schlusspunkt der Körpertheorie erhalten wir nun folgendes Ergebnis, das die Frage nach der Auflösbarkeit von Gleichungen vom Grad 5 negativ beantwortet. Fast die gesamte hier entwickelte Theorie ist dabei eingeflossen:

107 4.7. Unlösbarkeit von polynomialen Gleichungen 103 Korollar Für p = x 5 4x + 2 Q[x] ist die Gleichung p = 0 nicht mit Radikalen auflösbar. Beweis. Mit dem Eisenstein-Kriterium zur Primzahl 2 sieht man, dass p irreduzibel ist. Die Ableitung p = 5x 4 4 ist negativ im Intervall I = [ 4 4/5, 4 4/5] und positiv außerhalb. Also ist p innerhalb von I streng monoton fallend und außerhalb von I streng monoton steigend. Damit hat p höchstens 3 reelle Nullstellen. Man berechnet nun p( 2) < 0, p( 1) > 0, p(1) < 0, p(2) > 0 und nach dem Zwischenwertsatz hat p also genau drei reelle Nullstellen. Mit Satz gilt für den Zerfällungskörper K von p Gal(K, Q) = S 5 und diese Gruppe ist nach Korollar nicht auflösbar. Mit Satz ist die Gleichung p = 0 also nicht mit Radikalen auflösbar.

108

109 Kapitel 5 Moduln In der linearen Algebra untersucht man lineare Gleichungssysteme über Körpern. Dafür gibt es Lösungsmethoden wie den Algorithmus von Gauß. Die zugrundeliegende Theorie ist die Theorie der Vektorräume und linearen Abbildungen. Möchte man nun ein lineares Gleichungssystem über einem Ring lösen, funktionieren viele der Konzepte nicht mehr so einfach, da durch Skalare nicht mehr geteilt werden kann. Die ganze Theorie muss also angepasst werden. Der wichtigste Begriff dabei ist der eines Moduls. Dabei handelt es sich um eine Verallgemeinerung von Vektorräumen, indem der zugrundeliegende Skalarkörper durch einen (kommutativen) Ring ersetzt wird. 5.1 Grundlagen Definition Sei R ein kommutativer Ring. Ein R-Modul ist eine abelsche Gruppe (M, +) mit einer Operation (genannt Skalarmultiplikation) R M M so dass für alle r, s R, m, n M gilt: (i) r (m + n) = (r m) + (r n). (ii) (r + s) m = (r m) + (s m) (iii) (rs) m = r (s m) (r, m) r m 105

110 106 Kapitel 5. Moduln (iv) 1 m = m. Beispiel (i) Ist R = k ein Körper, so ist ein R-Modul genau dasselbe wie ein k-vektorraum. (ii) Für jeden Ring R ist R n auf kanonische Weise ein R-Modul. (iii) Ist I R ein Ideal, so ist I ein R-Modul, wobei die Skalarmultiplikation einfach die Ringmultiplikation ist. So ist zum Beispiel 3Z ein Z-Modul und (x, y) ein k[x, y]-modul. (iv) Ist I R ein Ideal, so ist der Faktorring R/I auf kanonische Weise ein R-Modul. So ist zum Beispiel Z/3Z ein Z-Modul. (v) Jede abelsche Gruppe G kann als Z-Modul aufgefasst werden. Dabei definiert man folgende Skalarmultiplikation Z G G (z, g) z g := g + + g. }{{} z mal (vi) Sei k ein Körper, V ein k-vektorraum und f : V V eine k-lineare Abbildung. Dann wird V zu einem Modul über dem Polynomring k[x], durch folgende Skalarmultiplikation: k[x] V V (p, v) p(f)(v), wobei wir für p = c 0 + c 1 x + + c d x d definieren p(f)(v) := c 0 v + c 1 f(v) + c 2 f(f(v)) + + c d f(f( f(v)))). }{{} d mal Bemerkung Wie üblich vereinbaren wir, dass Skalarmultiplikation stärker bindet als Addition, schreiben also statt (r m) + (s n) auch r m + s n. Auch hier lassen wir das Symbol oft weg und schreiben also rm + sn. Definition (i) Sei M ein R-Modul. Ein R-Untermodul U von M ist eine Untergruppe U von M, mit ru U für alle r R, u U. (ii) Seien M, N zwei R-Moduln. Ein R-Modulhomomorphismus ist eine Abbildung f : M N mit f(m + n) = f(m) + f(n) und f(rm) = rf(m)

111 5.1. Grundlagen 107 für alle m, n M, r R. (iii) Ein R-Modulisomorphismus ist ein R-Modulhomomorphismus, für den ein beidseitig inverser R-Modulhomomorphismus existiert. Zwei R-Moduln M, N heißen isomorph, wenn es einen Modulisomorphismus zwischen ihnen gibt. Bemerkung/Beispiel (i) Sei R ein Ring und A Mat m,n (R). Dann ist die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = 0 ein Untermodul von R n. (ii) Nicht jeder Untermodul von R n ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (im Gegensatz zum Vektorraumfall). Ein Beispiel ist 2Z Z. (iii) Sei M ein R-Modul und W M. Dann ist { d } span R (W ) := r i w i d N, r i R, w i W i=1 der kleinste Untermodul von M, der W enthält. (iv) Sei k ein Körper, V ein k-vektorraum, f : V V k-linear. Wir fassen V wie in Beispiel als k[x]-modul auf. Dann ist ein k-untervektorraum U V genau dann ein k[x]-untermodul, wenn U f-invariant ist (d.h. wenn f(u) U gilt). (v) Für jeden Modulhomomorphismus f : M N ist f(m) ein Untermodul von N und ker(f) := {m M f(m) = 0} ein Untermodul von M. (vi) Ein Modulhomomorphismus f : M N ist genau dann injektiv, wenn ker(f) = {0} gilt. (vii) Für jeden R-Untermodul U M ist die Faktorgruppe M/U auf offensichtliche Weise wieder ein R-Modul. (viii) Auch für Moduln gilt der Homomorphiesatz: Ist f : M N ein Homomorphismus von R-Moduln, so ist der folgende Homomorphismus wohldefiniert und injektiv: f : M/ ker(f) N m + ker(f) f(m). Definition (i) Ein R-Modul M heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Teilmenge W M gibt mit M = span R (W ).

112 108 Kapitel 5. Moduln (ii) Eine Familie (b i ) i I mit b i M heißt Basis von M, falls für alle m M eindeutig bestimmte r i R existieren (nur endlich viele r i 0) mit m = i I r i b i. (iii) Ein Modul heißt frei, falls er eine Basis besitzt. (iv) Sind M 1,..., M d Untermoduln von M, so definieren wir M M d := {m m d m i M i }. (v) Hat jedes Element m M M d eine eindeutige Darstellung m = m m d mit m i M i, so schreiben wir statt M M d auch M 1 M d und nennen die Summe direkt. Bemerkung/Beispiel (i) Jeder k-vektorraum ist ein freier k-modul. (ii) Für jeden Ring R ist R n ein freier R-Modul. Er besitzt beispielsweise die Standardbasis e 1,..., e n. (iii) Ist M ein freier R-Modul mit Basis (b 1,..., b n ), so ist M isomorph zu R n. Einen R-Modulisomorphismus f : M R n erhält man beispielsweise, indem man b i auf e i abbildet. (iv) Im Gegensatz zu Vektorräumen besitzt nicht jeder Modul eine Basis! So ist etwa M = Z/2Z ein Z-Modul ohne Basis. Die einzige mögliche Wahl wäre b 1 = 1 und dafür gilt 0 = 0 b 1 = 2 b 1, die Skalare sind in der Darstellung also nicht eindeutig bestimmt. Also ist M als Z-Modul nicht frei! Wir können M aber natürlich auch als Z/2Z-Modul auffassen, dann ist er frei (das ist ein Spezialfall von (i)). (v) Ist (b 1,..., b d ) eine Basis von M, so gilt insbesondere M = span R (b 1 ) span R (b d ). Die Direktheit dieser Summe ist aber schwächer als die Basiseigenschaft. Für die Direktheit der Summe müssen nur die Summanden r i b i in der Darstellung von m eindeutig sein, für die Basiseigenschaft benötigt man die Eindeutigkeit der r i. Betrachtet man etwa den Z-Modul M = Z/2Z Z/2Z, so gilt M = span Z ((1, 0)) span Z ((0, 1)),

113 5.1. Grundlagen 109 aber ((1, 0), (0, 1)) ist keine Basis (das sieht man wie in (ii)). (vi) M M d ist der kleinste Untermodul von M welcher alle M i enthält, stimmt also genau mit span R (M 1 M d ) überein. (vii) Für zwei Untermoduln M 1, M 2 von M gilt M = M 1 M 2 genau dann wenn M = M 1 + M 2 und M 1 M 2 = {0}. (viii) Für einen Untermodul M 1 von M muss es im Allgemeinen keinen Untermodul M 2 von M geben mit M = M 1 M 2 (Aufgabe 66). Für Vektorräume stimmt das hingegen, wie man durch Basisergänzung leicht zeigen kann. Lemma Sei M ein R-Modul, W M und I R ein Ideal. { d } (i) Es ist IM := k=1 i km k d N, i k I, m k M ein R-Untermodul von M. (ii) Die folgende Skalarmultiplikation ist wohldefiniert und macht den R-Modul M/IM sogar zu einem R/I-Modul: R/I M/IM M/IM (r + I, m + IM) rm + IM. (iii) Aus M = span R (W ) folgt M/IM = span R/I (w + IM w W ). (iv) Ist (b i ) i I eine Basis des R-Moduls M, so ist (b i + IM) i I eine Basis des R/I-Moduls M/IM. Beweis. Aufgabe 67. Satz Sei M ein freier R-Modul. Dann haben je zwei Basen von M dieselbe Mächtigkeit. J edes Erzeugendensystem hat mindestens diese Mächtigkeit. Beweis. Wir führen die Aussage mit Lemma auf den Vektorraumfall zurück, wo die Aussage aus der linearen Algebra bekannt ist. Seien dazu also (a i ) i I sowie (b j ) j J zwei Basen des R-Moduls M, sowie W M ein Erzeugendensystem. Wir wählen ein maximales Ideal m R (mit Satz 3.3.5) und erhalten aus Lemma 5.1.8, dass (a i + mm) i I und (b j + mm) j J

114 110 Kapitel 5. Moduln jeweils Basen des R/m-Moduls M/mM sind, sowie {w + mm w W } ein Erzeugendensystem. Es ist aber R/m ein Körper (Satz 3.3.4), also ist M/mM ein Vektorraum über R/m, und somit gilt #I = #J # {w + mm w W } #W. Definition Der Rang eines freien R-Moduls M ist definiert als die (eindeutig bestimmte) Mächtigkeit einer R-Basis von M. 5.2 Moduln über Hauptidealringen In diesem Abschnitt sei stets R ein nullteilerfreier Hauptidealring, also beispielsweise ein Körper k, Z, k[x] oder Z[i]. Sei K := Quot(R) der Quotientenkörper von R. Jeder endlich-erzeugte freie R-Modul M ist isomorph zu einem R n, also können wir uns auf den Fall M = R n beschränken. Wir können dann R n als Teilmenge von K n auffassen. Bemerkung/Beispiel (i) Eine Familie (m i ) i I von Elementen m i R n ist genau dann R-linear unabhängig, wenn sie K-linear unabhängig in K n ist. Die eine Richtung ist trivial, die andere erhält man durch Multiplikation mit dem Hauptnenner aus einer K-Linearkombination. (ii) Sei M R n ein R-Untermodul. Dann ist span K (M) K n ein K- Untervektorraum, und man kann eine K-Basis (m i ) i I wählen, mit m i M. Es ist allerding nicht wahr, dass (m i ) i I dann automatisch eine R-Basis von M ist! Diese Familie ist zwar nach (i) R-linear unabhängig, erzeugt aber im Allgemeinen nicht ganz M! Wählt man beispielsweise n = 1, M = Z, so gilt span Q (M) = Q und das Element 2 M ist eine Q-Basis von Q, aber kein Z-Erzeugendensystem von M. (iii) Angenommen M R n ist ein freier R-Untermodul. Dann kann man eine Basis von M nicht notwendigerweise zu einer Basis von R n ergänzen. Beispielsweise ist 2Z Z ein Z-Untermodul mit Basis 2, die nicht zu einer Basis von Z ergänzt werden kann. Satz (Elementarteilersatz). Es sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und M R n ein R-Untermodul. Dann gilt:

115 5.2. Moduln über Hauptidealringen 111 (i) M ist frei vom Rang m n. (ii) Falls M {0} gibt es eine Basis (b 1,..., b n ) von R n und r 1,..., r m R mit r 1 r 2 r m, so dass (r 1 b 1,..., r m b m ) eine Basis von M ist. Beweis. Sei o.b.d.a. M {0}. Wir leisten zunächst etwas Vorarbeit. Für jeden R-Modulhomomorphismus f : R n R ist f(m) ein R-Untermodul von R, also ein Ideal. Wir wählen nun h: R n R so, dass h(m) maximal ist unter allen solchen Bildern f(m) (mit Satz 3.2.7). Es gilt h(m) {0}, denn eine der Koordinatenprojektionen p i : R n R liefert unter M ein nichttriviales Bild. Da R ein Hauptidealring ist, gibt es nun ein 0 r R mit h(m) = ( r) und dazu ein m M mit r = h( m). 1. Behauptung: Für jeden Homomorphismus f : R n R gilt in R : Dazu finden wir zunächst b R mit r f( m). ( r, f( m)) = (b) und also r r + sf( m) = b für gewisse r, s R. Dann ist aber g : R n R m rh(m) + sf(m) ein Homomorphismus mit b = g( m), also h(m) = ( r) (b) g(m). Aus der Maximalität von h folgt Gleichheit in der Kette, also f( m) (b) = ( r),

116 112 Kapitel 5. Moduln die gewünschte Aussage. 2. Behauptung: Es gilt m = r ˆm für ein ˆm R n und R n = ker(h) span R ( ˆm). Nach der 1. Behauptung gilt ja r p i ( m), und da r jede Komponente von m in R teilt, folgt die erste Behauptung. Dabei sieht man auch h( ˆm) = 1. Für beliebiges m R n gilt nun m = (m h(m) ˆm) + h(m) ˆm, wobei der erste Summand in ker(h) liegt und der zweite in span R ( ˆm). Also gilt R n = ker(h) + span R ( ˆm). Für die Direktheit der Summe sei Schreibt man m = r ˆm, so folgt aus also m = Behauptung: Es gilt m ker(h) span R ( ˆm). 0 = h(m) = rh( ˆm) = r 1 = r M = (M ker(h)) span R ( m). Für m M gilt ja h(m) ( r), also h(m) = r r für ein r R. Wir schreiben nun m = (m h(m) ˆm) + }{{}}{{} r r ˆm ker(h) span R ( m) und die Direktheit der Summe folgt aus der 2. Behauptung, da M ker(h) ker(h) und span R ( m) span R ( ˆm). Nun beginnen wir mit dem eigentlichen Beweis. Wir beweisen (i) per Induktion über dim K (span K (M)). Der Induktionsanfang ist klar, denn der triviale Modul besitzt die leere Basis. Für den Induktionsschritt wählen wir nun h und m wie in der 3. Behauptung. Dann gilt dim K (span K (M ker(h))) < dim K (span K (M)),

117 5.2. Moduln über Hauptidealringen 113 denn m liegt offensichtlich in span K (M), aber nicht in span K (M ker(h)). Sonst wäre nämlich m = r m für ein m M ker(h) und r, s R, s 0. s Aus s m = rm und der Nullteilerfreiheit von R folgt dann h( m) = 0, ein Widerspruch. Nach Induktionsannahme gibt es nun eine R-Basis b 1,..., b d von M ker(h). Dann ist aber b 1,..., b d, m eine R-Basis von M, wie man an der Zerlegung M = (M ker(h)) span R ( m) direkt sieht. Die Eindeutigkeit des Koeffizienten von m R n in einer Linearkombination folgt dabei aus der Nullteilerfreiheit von R. Aus Bemerkung (i) folgt, dass der Rang von M mit der Dimension von span K (M) übereinstimmt, und daraus folgt rang(m) n. Aussage (ii) beweisen wir per Induktion über n. Der Induktionsanfang n = 1 folgt direkt aus der Hauptidealeigenschaft von R, da M als R-Untermodul von M einfach ein Ideal in R ist. Für den Induktionsschritt wählen wir wieder h, m, r wie oben. Mit der 2. Behauptung und dem gleichen Argument wie in (i) folgt dim K (span K (ker(h))) < n. Es ist also ker(h) nach (i) selbst ein freier Modul von kleinerem Rang als n, und wir können die Induktionsvoraussetzung auf ihn und seinen Untermodul M ker(h) anwenden. Wir finden also eine R-Basis b 2,..., b d von ker(h) und Ringelemente r 2 r 3 r k so, dass r 2 b 2,..., r k b k eine R-Basis von M ker(h) ist. Wir setzen nun b 1 := ˆm und r 1 = r. Dann bilden b 1,..., b d eine R-Basis von R n, wie man wieder an der Zerlegung R n = ker(h) span R ( ˆm) direkt sieht. Wegen r 1 b 1 = r ˆm = m bilden r 1 b 1,..., r k b k eine R-Basis von M, wie wir in (i) gesehen haben. Es bleibt noch r r 2 zu zeigen. Dazu betrachten wir den Homomorphismus f : R n R b 1 1 b 2 1 b i 0 i = 3,..., d. Aus f( m) = f( r ˆm) = rf(b 1 ) = r folgt r f(m) und daraus h(m) = ( r) f(m).

118 114 Kapitel 5. Moduln Aus der Maximalität von h folgt h(m) = f(m) und wegen also r 2 ( r), die gewünschte Aussage. f(m) f(r 2 b 2 ) = r 2 f(b 2 ) = r 2 Bemerkung Für A Mat m,n (R) ist die Lösungsmenge L(A, 0) = {a R n Aa = 0} des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 ein Untermodul von R n. Nach Satz kann man eine R-Basis dieses Raumes finden und somit die Lösungsmenge eindeutig parametrisieren. Wie man das algorithmisch macht, werden wir im nächsten Abschnitt untersuchen. Korollar Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring. Dann ist jeder Untermodul eines endlich erzeugten R-Moduls endlich erzeugt. Beweis. Sei M = span R (m 1,..., m n ) endlich erzeugt. Der folgende Modulhomomorphismus ist dann surjektiv: π : R n M a a 1 m a n m n. Für einen Untermodul N M ist nun π 1 (N) ein Untermodul von R n, der nach Satz frei vom Rang n, und damit insbesondere endlich erzeugt ist. Aus N = π(π 1 (N)) folgt damit direkt, dass auch N endlich erzeugt ist. Korollar Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und M ein endlich erzeugter R-Modul. Dann gibt es Primelemente p 1,..., p d R sowie m, e 1,... e d N mit M = R m R/(p e 1 1 ) R/(p e d d ). Frei ist M genau dann, wenn M tor = {0}, wobei M tor := {m M r R, r 0: rm = 0}. Beweis. Sei M = span R (w 1,..., w n ) und betrachte den surjektiven R-Modulhomomorphismus π : R n M e i w i, i = 1,..., n.

119 5.3. Lineare Gleichungssysteme über Hauptidealringen 115 Es ist ker(π) ein Untermodul von R n und mit dem Homomorphiesatz gilt M = R n / ker(π). Wir betrachten also nur noch den Modul R n / ker(π). Nach Satz gibt es eine Basis b 1,..., b n von R n und Ringelemente r 1,..., r m, so dass r 1 b 1,..., r m b m eine Basis von ker(π) ist. Wir betrachten nun den Basiswechsel- Isomorphismus ϕ: R n R n b i e i, i = 1,..., n und sehen dass ϕ(ker(π)) gerade r 1 e 1,..., r m e m als Basis hat. Also gilt R n / ker(π) = R n / (span R (r 1 e 1,..., r m e m )) = R/(r 1 ) R/(r m ) R n m. Jedes Element r i kann in R aber in Primfaktoren zerlegt werden. Mit dem chinesischen Restsatz (Satz ) gilt R/(ab) = R(a) R(b) für teilerfremde Elemente a, b R. Daraus folgt die gewünschte Isomorphie. Es ist nun offensichtlich M tor = {0} äquivalent dazu, dass in der Zerlegung von M kein Faktor vom Typ R/(p e i i ) auftritt, also zu M = R m. Korollar (Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen). Sei G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann gibt es Primzahlen p 1,..., p d Z und Zahlen m, e 1,..., e d N mit G = Z m Z/p e 1 1 Z Z/p e d d Z. Beweis. Jede abelsche Gruppe ist ein Z-Modul, wie in Beispiel (v) beschrieben. Also folgt die Aussage direkt aus Korollar 5.2.5, da Gruppenhomomorphismen in dieser Situation dasselbe wie Modulhomomorphismen sind. 5.3 Lineare Gleichungssysteme über Hauptidealringen Auch in diesem Kapitel sei R stets ein nullteilerfreier Hauptidealring und K sein Quotientenkörper. Gegeben sei nun eine Matrix A Mat m,n (R) und ein

120 116 Kapitel 5. Moduln b R m. Wir wollen das lineare Gleichungssystem Ax = b über R lösen, also die folgende Menge möglichst gut beschreiben: L(A, b) := {a R n Aa = b}. Für z L(A, b) gilt offensichtlich genau wie in der linearen Algebra L(A, b) = z + L(A, 0) und L(A, 0) besitzt laut Satz als Untermodul von R n eine R-Basis. Wir fragen uns also, wie wir eine solche spezielle Lösung z und eine Basis für den homogenen Lösungsraum finden können. Sei dazu GL n (R) := Mat n (R) die Menge der n n-matrizen, die im Matrixring über R eine inverse Matrix besitzen. Man beachte dass GL n (R) im Allgemeinen kleiner als GL n (K) Mat n (R) ist, da die inverse Matrix einer Matrix über R nicht unbedingt Einträge aus R besitzen muss. An der Formel A A adj = det(a) I n sieht man aber, dass eine Matrix genau dann über R invertierbar ist, wenn det(a) R gilt. Satz (Smith-Normalform). Sei R ein nullteilerfreier Hauptidealring und A Mat m,n (R). Dann gibt es S GL m (R), T GL n (R) und r 1,..., r min(n,m) R mit r 1 r 2 r min(m,n) mit SAT = r r Beweis. Wir betrachten den durch A definierten Modulhomomorphismus A: R n R m a Aa.

121 5.3. Lineare Gleichungssysteme über Hauptidealringen 117 Das Bild dieses Homomorphismus ist ein Untermodul von R m und nach Satz gibt es also eine Basis b 1,..., b m von R m und r 1 r 2 r d in R so, dass r 1 b 1,..., r d b d eine Basis des Bildes ist. Wähle a 1,..., a d R n mit Aa i = r i b i für i = 1,..., d. Dann sind a 1,..., a d offensichtlich R-linear unabhängig und man sieht leicht R n = span R (a 1,..., a d ) ker(a). Wir können mit Satz also noch eine Basis a d+1,..., a n von ker(a) wählen und erhalten insgesamt eine Basis a 1,..., a n von R n. Bezüglich dieser Basis ist die Darstellungsmatrix von A dann aber genau von der gewünschten Gestalt. Wie in der linaren Algebra entsteht sie aber gerade durch Multiplikation von beiden Seiten mit den jeweiligen Basiswechselmatrizen, die über R invertierbar sind. Man kann hier zum Beispiel einfach über K arbeiten und beachten, dass alle auftretenden Matrizen Einträge aus R haben. Bemerkung Wenn man die Smith-Normalform und die Matrizen S, T kennt, kann man das Gleichungssystem Ax = b über R einfach lösen. Man löst zunächst das System SAT x = Sb, von dem man die Lösungen in R leicht ablesen kann. Dadurch erhält man durch Anwendung von T auf die Lösungen gerade die Lösungsmenge des ursprünglichen Systems. Wir müssen also nur noch einen Algorithmus zur Bestimmung der Smith-Normalform und der Basiswechselmatrizen kennenlernen. Es handelt sich dabei um eine Variante des Gauß-Algorithmus aus der linearen Algebra. Algorithmus Sei A = (a ij ) i,j Mat m,n (R) nicht die Nullmatrix. (i) Durch Vertauschung von Zeilen und Spalten können wir a 11 0 erreichen. Vertauschen von Zeilen oder Spalten entsteht durch Multiplikation von links bzw. rechts mit den entsprechenden Elementarmatrizen, die auch über R invertierbar sind. (ii) Die Idee ist nun, an der Stelle (1, 1) den größten gemeinsamen Teiler von a 11 und a 21 zu erzeugen und damit dann den Eintrag (2, 1) zu eliminieren. Da R ein Hauptidealring ist, gilt (a 11, a 21 ) = (α) wobei α = ggt(a 11, a 21 ) R ist. Es gibt also Gleichungen ra 11 + sa 21 = α, tα = a 11, uα = a 21

122 118 Kapitel 5. Moduln mit r, s, t, u R. Die Matrix E = ist über R invertierbar, denn es gilt r s 0 u t I m 2 det(e) α = (rt + su)α = ra 11 + sa 21 = α, also det(e) = 1. In der Matrix EM steht nun an der Stelle (1, 1) gerade α, an der Stelle (2, 1) steht 0. Wir iterieren diesen Prozess und erhalten a i1 = 0 für i = 2,..., m. (iii) Nun wiederholen wir Schritt (ii) und elimieren diesmal alle Einträge a 1j für j = 2,..., n. Dabei multiplizieren wir die Matrix M von rechts mit invertierbaren Matrizen. (iv) Dummerweise können nun an den Stellen a i1 wieder Einträge 0 entstanden sein (wenn wir in Schritt (iii) ein Vielfaches einer Spalte zu einem Vielfachen der ersten Spalte addiert haben). Wir starten nun mit Schritt (ii) erneut, und erreichen wieder a i1 = 0 für i = 2,..., m. Danach verwenden wir wieder Schritt (iii)... Man beachte nun, dass der Eintrag a 11 jedes Mal durch einen seiner Teiler ersetzt wird. Ein Hauptidealring ist noethersch, also gibt es keine unendlichen Teilerketten. Nach endlich vielen Schritten ändert sich a 11 also nicht mehr, also gilt a 11 a i1, a 1j für alle i, j. Nun können wir alle a i1, a 1j gleichzeitig eliminieren, durch Addition eines Vielfachen der ersten Zeile/Spalte zu den anderen Zeilen/Spalten. (v) Wir ignorieren die erste Zeile und Spalte von M und starten erneut mit Schritt (i). Dabei erhalten wir am Schluss eine Matrix der gewünschten Diagonalform. Nur die Teilerbedingung an die Diagonaleinträge müssen noch nicht erfüllt sein. Wenn also r i kein Teiler von r i+1 ist, so addieren wir zunächst die (i + 1)-te Spalte von M zur i-ten, und verwenden dann die Schritte (ii) und (iii) um die entstandene 2 2-Matrix ( ) ri 0 r i+1 r i+1 wieder zu diagonalisieren. Keine andere Spalte von M ist davon betroffen. Dabei wird r i durch einen Teiler von ggt(r i, r i+1 ) ersetzt, und r i+1 durch ein Vielfaches von sich selbst. Am Ende gilt also die Teilerbedingung. Wir führen

123 5.3. Lineare Gleichungssysteme über Hauptidealringen 119 diese Operation in wahlloser Weise immer dann aus, wenn sie noch nötig ist. Wiederum kann das nicht unendlich oft der Fall sein, weil sonst aus einem r i eine unendliche Teilerkette entstehen würde. (vi) Die Matrizen S und T erhalten wir, indem wir alle Zeilen- bzw. Spaltentransformationen simultan an I m bzw. I n ausführen. Bemerkung (i) Im Algorithmus muss immer wieder ein Vielfaches der i-ten Zeile/Spalte zu einem Vielfachen der j-ten Zeile/Spalte addiert werden. Das Skalieren dieser j-ten Zeile/Spalte ist über einem Ring im Allgemeinen nicht invertierbar. Wir beheben das Problem, indem wir gleichzeitig die i- te Zeile/Spalte ebenfalls durch eine geeignete Linearkombination der beiden Zeilen/Spalten ersetzen. Genau das ist in der Matrix E aus Schritt (ii) des Algorithmus kodiert. Dadurch wird auch automatisch der gewünschte Eintrag eliminiert. (ii) Im Algorithmus sehen wir, dass wir in R immer wieder ggt(a, b) und eine Darstellung ggt(a, b) = ra + sb berechnen müssen. Das tut man wenn möglich mit dem euklidische Algorithmus, den wir in Abschnitt 3.6 beschrieben haben. (iii) Wir haben die Existenz der Smith-Normalform zunächst mit Hilfe des Elementarteilersatzes bewiesen. Das ist allerdings eigentlich nicht nötig, der Algorithmus beweist ebenfalls ihre Existenz. Umgekehrt kann man die Smith- Normalform dazu verwenden, den Elementarteilersatz zu beweisen, allerdings nur, wenn man die endliche Erzeugtheit von M R n bereits voraussetzt (Aufgabe 73). Wir zeigen nun an zwei Beispielen, wie ein lineares Gleichungssystem über einem euklidischen Ring gelöst wird, indem wir die Smith-Normalform der Koeffizientenmatrix berechnen. Beispiel Wir wollen herausfinden, für welche Werte a, b, c Z das folgende Gleichungssystem ganzzahlige Lösungen besitzt, und diese bestimmen: 4x 11y 2z = a 5x + 13y + 4z = b 10x + 23y + 8z = c.

124 120 Kapitel 5. Moduln Dazu betrachten wir die Koeffizientenmatrix A = und verwenden den Algorithmus zur Bestimmung der Smith-Normalform. Die Matrix E aus dem ersten Schritt des Algorithmus der SNF lautet E 1 = und wir erhalten E 1 A = Wir können nun erfreulicherweise direkt alles unter und rechts der 1 eliminieren: Wir rechnen nun mit dem unteren rechten 2 2-Block weiter. Wir erhalten E 2 = sowie E = Nun eliminieren wir noch die 98 und erhalten als Smith-Normalform

125 5.3. Lineare Gleichungssysteme über Hauptidealringen 121 Wenn wir die jeweiligen Zeilen- und Spaltenoperationen noch an der Einheitsmatrix ausführen, erhalten wir als Basiswechselmatrizen S = und T = Statt des ursprünglichen Systems lösen wir nun also das System x a a + b y = S b = 55a 4b 24c z c 245a + 18b + 107c Somit hat das System genau dann eine Lösung, wenn 438 ein Teiler von 245a+ 18b + 107c ist, die Lösung lautet dann (x, y, z) = ( a + b, 55a 4b 24c, (245a + 18b + 107c)/438). Durch Anwendung von T darauf erhält man die eindeutige Lösung des ursprünglichen Systems: (x, y, z) = 1/438 (12a + 42b 18c, 80a + 12b 26c, 245a + 18b + 107c). Beispiel Wir wollen ein lineares Gleichungssystem über dem Polynomring Q[t] lösen: tx + (t 2 + 1)y = t 4 + 2t 2 + t t 2 x ty = t 2.. Wenn wir die Koeffizientenmatrix ( t t A = t 2 t ) von links mit multiplizieren, erhalten wir E 1 = ( 1 0 t 1 ( t 1 + t 2 0 t(t 2 + 2) ) ).

126 122 Kapitel 5. Moduln Wir multiplizieren nun von rechts mit E 2 = ( t (t 2 + 1) 1 t ) und erhalten ( 1 0 t(t 2 + 2) t 2 (t 2 + 2) Hier haben wir nun an der Stelle (2, 1) wieder einen nichttrivialen Eintrag erhalten. Diesen können wir aber direkt mit der 1 eliminieren. Insgesamt erhält man die SNF ( 1 0 ) 0 t 2 (t 2 + 2) sowie S = ( 1 0 t 3 + t 1 ) und T = ). ( t (t 2 + 1) 1 t Das transformierte Gleichungssystem SAT = Sb lautet dann ( t 2 (t 2 + 2) ) ( x y ) ( = und wir erhalten die eindeutige Lösung ). t(t 3 + 2t + 1) t 2 (t 5 + 3t 3 + t 2 + 2t + 2) (x, y) = (t(t 3 + 2t + 1), (t 3 + t + 1)). Durch Multiplikation mit T erhalten wir die eindeutige Lösung der ursprünglichen Systems: (x, y) = (t + 1, t 2 ). ) 5.4 Das Tensorprodukt Tensorprodukte tauchen in vielen Gebieten der Algebra auf. Es sind Konstruktionen, mit denen man Bilinearität in Linearität verwandeln kann. Ihre explizite Konstruktion ist relativ mühsam, deshalb führt man sie oft erst über ihre wichtigste Eigenschaft ein (ihre sogenannte universelle Eigenschaft). Beweise mit Tensorprodukten sollte man dann am besten auch nur mit Hilfe dieser Eigenschaft führen, alles andere ist meistens viel zu mühsam.

127 5.4. Das Tensorprodukt 123 Definition Seien M, N zwei R-Moduln. Ein Tensorprodukt von M und N ist ein R-Modul T, zusammen mit einer R-bilinearen Abbildung ϕ: M N T, so dass jede andere R-bilineare Abbildung ψ : M N P eindeutig linear über T faktorisiert: M N ϕ T ψ! ψ P Für jeden R-Modul P und jede R-bilineare Abbildung ψ : M N P muss es also eine eindeutige R-lineare Abbildung ψ : T P geben mit ψ = ψ ϕ. Satz Für je zwei R-Moduln M, N existiert ein Tensorprodukt. Es ist bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig bestimmt. Wir bezeichnen es auch mit M R N. Beweis. Existenz: Sei F der freie R-Modul mit Basis ((m, n)) (m,n) M N. Elemente von F sind also endliche formale R-Linearkombinationen von Elementen aus M N. In F betrachten wir nun den Untermodul U, der von allen Elementen der folgenden Gestalt erzeugt wird: (m + m, n) (m, n) (m, n) (m, n + n ) (m, n) (m, n ) (rm, n) r(m, n) (m, rn) r(m, n). Dabei erlauben wir alle m, m M, n, n N und r R. Dann ist F/U ein Tensorprodukt von M und N. Wir betrachten dazu die Abbildung ϕ: M N F/U (m, n) (m, n) + U, die nach Definition von U offensichtlich R-bilinear ist. Sei nun ψ : M N P eine weitere R-bilineare Abbildung in einen R-Modul P. Wir erhalten damit

128 124 Kapitel 5. Moduln zunächst eine wohldefinierte R-lineare Abbildung Ψ: F P (m, n) ψ(m, n), da F die Tupel (m, n) gerade als Basis hat. Aufgrund der Bilinearität von ψ liegt U aber im Kern von Ψ, also gibt es den wohldefinierten Morphismus ψ : F/U P (m, n) + U ψ(m, n), der offensichtlich ψ = ψ ϕ erfüllt. Durch diese Bedingung ist aber ψ auch eindeutig bestimmt, da F/U von den Elementen erzeugt wird. Eindeutigkeit: Seien ϕ(m, n) = (m, n) + U ϕ 1 : M N T 1 und ϕ 2 : M N T 2 zwei Tensorprodukte von M und N. Da ϕ 2 bilinear ist und T 1 die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt, gibt es genau einen Morphismus f : T 1 T 2 mit ϕ 2 = f ϕ 1. Umgekehrt gibt es genau einen Morphismus g : T 2 T 1 mit ϕ 1 = g ϕ 2 : ϕ 1 T 1 M N g f ϕ 2 T 2 Dann ist aber g f : T 1 T 1 ein Morphismus mit (g f) ϕ 1 = g (f ϕ 1 ) = g ϕ 2 = ϕ 1,

129 5.4. Das Tensorprodukt 125 und aus der Eindeutigkeit von ψ in der universellen Eigenschaft von T 1 folgt g f = id T1 : ϕ 1 T 1 M N id g f Genauso folgt f g = id T2, und damit die Aussage. ϕ 1 Bemerkung/Beispiel (i) Die Restklasse (m, n)+u bezeichnen wir auch mit m n, und nennen sie einen Elementartensor. Es ist jedoch nicht jedes Element in M R N ein Elementartensor, man muss auch Summen zulassen: { d } M R N = m i n i d N, m i M, n i N. i=1 Nach Konstruktion gelten die folgenden Rechenregeln in M R N : T 1 (m + m ) n = m n + m n m (n + n ) = m n + m n (rm) n = r (m n) = m (rn) (ii) Will man eine wohldefinierte lineare Abbildung M R N P angeben, gibt man gewöhnlich zunächst eine R-bilineare Abbildung M N P an, und verwendet die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts. Zum Beispiel gilt folgende Aussage: Sind f : M P und g : N Q Morphismen, so gibt es einen Morphismus mit f g : M R N P R Q (f g)(m n) = f(m) g(n). Das sieht man am besten folgendermaßen. Die Abbildung f g : M N P R Q (m, n) f(m) g(n)

130 126 Kapitel 5. Moduln ist R-bilinear. Mit der universellen Eigenschaft von M R N folgt nun die Existenz von f g. (iii) In manchen Fällen kann man das Tensorprodukt auch konkreter realisieren als im oberen Beweis. Beispielsweise gilt für einen Ring R stets R m R R n = Matm,n (R) = R mn. Dazu betrachtet man die bilineare Abbildung R m R n Mat m,n (R) (v, w) vw t = (v i w j ) i,j und rechnet die universelle Eigenschaft nach (Aufgabe 79). Die Elementartensoren sind dabei gerade die Matrizen vom Rang 1. Auf ähnliche Weise zeigt man R[x] R R[y] = R[x, y]. (iv) Über das Tensorprodukt kann man auch die sogenannte Koeffizientenerweiterung durchführen. Sei dazu zunächst ϕ: R S ein Ringhomomorphismus. Dann kann man jeden S-Modul N auch als R-Modul auffassen, vermöge r n := ϕ(r) n. Umgekehrt kann man einen R-Modul M aber nicht notwendigerweise auch als S-Modul auffassen. Deshalb bemerkt man zunächst, dass S vermöge ϕ selbst ein R-Modul ist: r s := ϕ(r) s. Dann betrachtet man den R-Modul M S := M R S. Auf M S ist nun sogar eine Skalarmultiplikation aus S wohldefiniert: s m i s i := m i ss i. i i Auf diese Weise kann man M S als S-Modul auffassen (Aufgabe 78). Ist zum Beispiel V ein k-vektorraum und ϕ: k K eine Körpererweiterung, so ist V K = V k K ein K-Vektorraum. Zum Beispiel gilt R n C = R n R C = C n.

131 5.4. Das Tensorprodukt 127 (v) Tensorprodukte von Moduln können unerwartete Eigenschaften haben. Betrachten wir beispielsweise Q und Z/nZ als Z-Moduln, so gilt Das sieht man am besten so: Q Z (Z/nZ) = {0}. q m = (n q ( q ) n ) m = n n m = q n (n m) = q n 0 = q ( q ) ( n (0 0) = 0 n 0 = 0 q ) 0 = 0 0 = 0. n

132

133 Kapitel 6 Grundlagen der algebraischen Geometrie Die algebraische Geometrie hat ihren Ursprung in der Frage nach Lösungen von polynomialen Gleichungssystemen über Körpern. Im Gegensatz zu linearen Gleichungssystemen, die in der linearen Algebra erschöpfend behandelt werden, sind nicht-lineare polynomiale Gleichungen viel schwieriger zu lösen. Andererseits haben die Lösungsmengen aber auch eine deutlich interessantere Geometrie als in der linearen Algebra, wo ausschließlich affine Unterräume auftreten. Viele der auftretenden Probleme können erst dann erfolgreich behandelt werden, wenn man sie aus der Algebra in die Geometrie, oder aus der Geometrie in die Algebra übersetzt. Im Folgenden wollen wir die ersten Grundlagen dieser extrem umfangreichen Theorie beschreiben. 6.1 Ganze Ringerweiterungen und der Nullstellensatz Der wichtigste grundlegende Satz der klassischen algebraischen Geometrie ist sicher der Nullstellensatz von Hilbert. Wir beweisen ihn in diesem Abschnitt zunächst in seiner körpertheoretischen Form und werden ihn im nächsten Abschnitt dann geometrisch interpretieren. Bevor wir ihn aber beweisen können, müssen wir uns mit der sogenannten Ganzheit von Ringerweiterungen befassen. Es handelt sich dabei um eine Variante des Begriffs einer algebraischen Körpererweiterung, die speziell auf Ringe zugeschnitten ist. 129

134 130 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Definition Sei R S eine Ringerweiterung. (i) Ein Element b S heißt ganz über R, falls a 0,..., a n 1 R existieren mit a 0 + a 1 b + + a n 1 b n 1 + b n = 0. Eine solche Gleichung heißt Ganzheitsgleichung für b über R. (ii) S heißt ganz über R, falls jedes Element b S ganz über R ist. Bemerkung/Beispiel (i) Wichtig am Begriff der Ganzheit ist, dass die Gleichung für b normiert sein muss. Sind R und S Körper, so kann man offensichtlich jede nichttriviale Gleichung normieren. Also ist ein ganzes Element dann einfach ein algebraisches Element. (ii) Für Z Q sind die einzigen über Z ganzen Elemente von Q die Elemente aus Z selbst. Das stimmt noch allgemeiner für die Inklusion R K eines nullteilerfreien faktoriellen Rings in seinen Quotientenkörper (Aufgabe 84). (iii) Für R S und b 1,..., b m S definieren wir R[b 1,..., b m ] als den Teilring von S, der von b 1,..., b m und R erzeugt wird, also } R[b 1,..., b m ] = { a e b e1 1 b em m a e R e N m Wenn man S als R-Modul auffasst, ist R[b 1,..., b m ] ein Untermodul, also insbesondere selbst ein R-Modul. Die folgende Aussage ist eine Version von Satz für Ganzheit: Satz Sei R S eine Ringerweiterung und b 1,..., b m S. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) b 1,..., b m sind ganz über R. (ii) R[b 1,..., b m ] ist als R-Modul endlich erzeugt. (iii) R[b 1,..., b m ] ist ganz über R. Beweis. (i) (ii): Durch Auflösen einer Ganzheitsgleichung für b 1 nach b n 1 erhält man b n 1 = ( ) a n 1 b1 n a 0 für gewisse a i R. Man kann die n-te Potenz von b 1 also immer durch niedrigere Potenzen von b 1 und Koeffizienten aus R ersetzen. Verfährt man analog.

135 6.1. Ganze Ringerweiterungen und der Nullstellensatz 131 mit den anderen b i sieht man, dass R[b 1,..., b m ] von endlich vielen Produkten b e 1 1 b em m erzeugt wird. (ii) (iii): Endlich viele Elemente 1 = c 1,..., c n erzeugen den R-Modul M := R[b 1,..., b m ]. Sei nun c M beliebig gewählt. Da M auch ein Ring ist, gilt c c i M und es gibt also a ij R mit c c i = n a ij c j. j=1 Für die Matrix gilt dann M = (a ij ) i,j Mat n (R) M c 1. c n Also liegt (c 1,..., c n ) t im Kern von Es gilt nun und also = c c 1. c n N := ci n M.. adj(n) N = det(n) I n det(n) c 1. c n = 0. Aus c 1 = 1 folgt det(n) = 0. An der Leibnitzformel zur Berechnung der Determinante sieht man aber det(n) = c n + a n 1 c n a m für gewisse a i R. Das liefert eine Ganzheitsgleichung für c über R. (iii) (i) ist trivial. Der folgende Satz ist unsere erste Version des Hilbertschen Nullstellensatzes. In folgender Formulierung kann er als eine Umkehrung von Satz (ii) und (iv) verstanden werden.

136 132 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Satz (Hilberts Nullstellensatz, körpertheoretische Form). Sei k ein Körper, k K eine Körpererweiterung und K sei als Ring über k endlich erzeugt (vergleiche Definition 4.1.7). Dann ist K/k endlich (und damit algebraisch). Beweis. Es gibt α 1,..., α n K mit K = k[α 1,..., α n ]. Wir beweisen die Aussage per Induktion über n. n = 1: Es ist K = k[α] ein Körper, und also gibt es ein Polynom p k[t] mit α 1 = p(α). Daraus folgt α p(α) 1 = 0, und also ist α algebraisch über k. Damit ist die Erweiterung endlich. n 1 n: Es ist K = k(α 1 )[α 2,..., α n ], denn K ist ein Körper. Aus der Induktionsannahme folgt, dass α 2,..., α n algebraisch über k(α 1 ) sind. Es genügt nun zu zeigen, dass α 1 algebraisch über k ist. Dann ist die gesamte Erweiterung K/k algebraisch und damit endlich. Dass α 2,..., α n algebraisch über k(α 1 ) sind bedeutet, dass es für sie Identitäten d 1 u i αi d + r ij α j i = 0 j=0 mit u i, r ij k[α 1 ] gibt (eventuelle Nenner wurden dabei hochmultipliziert). Sei u := u 2 u n k[α 1 ]. Dann sind α 2,..., α n ganz über dem Ring k[α 1, 1/u], und somit ist K nach Satz eine ganze Ringerweiterung von k[α 1, 1/u]. Angenommen α 1 ist transzendent über k, d.h. k[α 1 ] ist ein Polynomring. Dann können wir ein irreduzibles p k[α 1 ] wählen mit p u (es gibt unendlich viele irreduzible Polynome im faktoriellen Ring k[α 1 ]). Für p 1 wiederum gibt es nun eine Ganzheitsgleichung p m + b 1 p (m 1) + + b m = 0 mit b i k[α 1, 1/u]. Multiplikation mit p m und einer genügend hohen Potenz von u liefert u r + a 1 p + + a m p m = 0 mit a i k[α 1 ]. Daraus folgt p u, ein Widerspruch. Korollar Sei m k[x 1,..., x n ] ein maximales Ideal. Dann ist eine endliche Körpererweiterung. k k[x 1,..., x n ]/m Beweis. k[x 1,..., x n ]/m ist als Ring über k immer noch endlich erzeugt und andererseits ein Körper.

137 6.2. Affine Varietäten Affine Varietäten Sei ab jetzt k stets ein algebraisch abgeschlossener Körper. Mit x bezeichnen wir das n-tupel von Variablen (x 1,..., x n ) und mit k[x] den Polynomring in diesen Variablen. Definition (i) Sei P k[x] eine Menge von Polynomen. Wir setzen V(P ) = {a k n p(a) = 0 p P } und nennen V(P ) die von P definierte affine Varietät. Es ist gerade die Lösungsmenge des von P definierten polynomialen Gleichungssystems. (ii) Eine Teilmenge V k n heißt affine Varietät, falls V = V(P ) für eine Teilmenge P k[x]. Affine Varietäten sind also genau die Lösungsmengen von polynomialen Gleichungssystemen. (iii) Eine Hyperfläche ist eine Varietät die von einem Polynom definiert wird, also von der Gestalt V(p) für ein p k[x] ist. (iv) A n := k n nennt man den n-dimensionalen affinen Raum. Beispiel Achtung: Die folgenen Bilder zeigen nur die reellen Punkte der jeweiligen affinen Varietäten in A 2. Bekanntlich ist aber R nicht algebraisch abgeschlossen, und man müsste die Varietäten etwa über k = C betrachten. Das ist aus Dimensionsgründen aber grafisch schlecht möglich. Das reelle Bild gibt aber häufig (nicht immer!) einen guten Eindruck der Varietäten. (i) Sei P = {1 x 2 1 x 2 2} C[x 1, x 2 ]. Dann ist V(P ) ein Kreis. (ii) Sei P = {x 1 x 2 } C[x 1, x 2 ]. Dann ist V(P ) die Vereinigung der beiden Koordinatenachsen.

138 134 Kapitel 6. Algebraische Geometrie (iii) Sei P = {x 2 2 x 2 1(x 1 +1)} C[x 1, x 2 ]. Dann ist V(P ) eine Schleifenkurve. (iv) Sei P = {x 2 2 x 3 1} C[x 1, x 2 ]. Dann ist V(P ) eine Kurve mit Spitze. (v) Sei P = {x x 2 2} C[x 1, x 2 ]. Hier zeigt das reelle Bild nur den Punkt (0, 0). Es ist aber zum Beispiel auch (1, i) V(P ). Noch schlimmer ist der Fall P = {x 2 1 +x }, in dem man im reellen Bild gar nichts sieht. Wiederum ist die Varietät aber nicht leer, z.b. ist (0, i) V(P ). (vi) Einen Ausschnitt aus einer affine Hyperfläche in A 3 zeigt das folgende Bild. Die definierende Gleichung hat Grad 6: Author: Oliver Labs, Projekt des Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, unterstützt durch die Klaus Tschira Stiftung (vii) Die vorigen Bilder zeigen immer Hyperflächen. Es gibt aber sehr viel mehr Varietäten außer Hyperflächen. Zum Beispiel ist jeder Punkt a A n eine affine Varietät. Es gilt nämlich {a} = V(x 1 a 1,..., x n a n )

139 6.2. Affine Varietäten 135 und x 1 a 1,..., x n a n k[x]. Definition (i) Sei I R ein Ideal. Dann nennt man I := { a R a m I für ein m N } das Radikal von I. Es ist selbst wieder ein Ideal mit I I. (ii) I R heißt Radikalideal, falls I = I gilt. Bemerkung/Beispiel (1) Jedes Primideal ist ein Radikalideal. (2) Sei R ein faktorieller Ring und für a R die Primfaktorzerlegung a = p e 1 1 p en n gegeben. Dann gilt (a) = (p1 p n ). Zum Beispiel gilt in Z (6) = (6), (4) = (2), (12) = (6). (3) I R ist genau dann ein Radikalideal, wenn R/I keine nilpotenten Elemente besitzt, also keine nichttrivialen Elemente a mit a n = 0 für ein n 0. Das sieht man genau wie im Beweis von Satz Einen Ring ohne nilpotente Elemente nennt man reduziert. Lemma Sei P k[x] und I = (P ) das von P erzeugte Ideal in k[x]. Dann gilt ( ) V(P ) = V(I) = V I. Beweis. Es gilt P I I, und damit V( I) V(I) V(P ). Sei nun p I, also p m = f i p i i mit p i P, f i k[x]. Daraus sieht man dass für a V(P ) schon p m (a) = 0 gilt und aus der Nullteilerfreiheit von Körpern folgt p(a) = 0. Damit ist p = 0 auf V(P ) und das zeigt V(P ) V( I). Korollar Jede affine Varietät V ist von der Gestalt V = V(p 1,..., p r ) mit endlich vielen Polynomen p 1,..., p r k[x].

140 136 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Beweis. Sei V = V(P ) mit P k[x]. Dann ist (P ) = (p 1,..., p r ) nach Satz und aus Lemma folgt V = V(p 1,..., p r ). Lemma (i), A n sind affine Varietäten. (ii) V 1, V 2 A n affine Varietäten V 1 V 2 affine Varietät. (iii) V λ A n affine Varietät (λ Λ) λ Λ V λ affine Varietät. Beweis. (i): = V(1), A n = V(0). (ii): Für zwei Ideale I 1, I 2 k[x] gilt V(I 1 ) V(I 2 ) = V(I 1 I 2 ) = V(I 1 I 2 ). Dabei ist " " jeweils klar, da die Ideale immer kleiner werden. Sei nun a V(I 1 I 2 ) und a / V(I 1 ). Dann gibt es ein p I 1 mit p(a) 0. Für jedes q I 2 ist nun pq I 1 I 2 und damit 0 = (pq)(a) = p(a)q(a). Aus der Nullteilerfreiheit von Körpern folgt also q(a) = 0 für alle q I 2 und damit a V(I 2 ). (iii): Ist V λ = V(P λ ) mit P λ k[x], so ist offensichtlich ( ) V λ = V P λ. λ Wir können nun Hilberts Nullstellensatz als Lösbarkeitsaussage von polynomialen Gleichungssystemen interpretieren. Für n = 1 stimmt es gerade weil k algebraisch abgeschlossen ist. Satz (Hilberts Nullstellensatz, geometrische Form). Sei I k[x] ein echtes Ideal. Dann ist V(I). Beweis. Wähle ein maximales Ideal m k[x] mit I m. Nach Korollar ist k[x]/m eine endliche Körpererweiterung von k. Da k algebraisch abgeschlossen ist gilt k[x]/m = k. Setze nun a i := x i, die Restklasse von x i in k[x]/m = k. Für jedes p k[x] gilt dann λ p(a) = p(x) = p, und für p I (sogar für p m) ist also p(a) = 0. Also gilt a V(I). Bemerkung (1) Ohne Korollar bekäme man im letzten Beweis nur die Aussage, dass V(I) über irgendeinem Erweiterungskörper von k (nämlich k[x]/m) ein Element besitzt. Mit Korollar sehen wir, dass es eine

141 6.2. Affine Varietäten 137 endliche Körpererweiterung ist, und damit mit k übereinstimmt. Falls k nicht algebraisch abgeschlossen ist, stimmt die Aussage nicht, wie wir bereits ein Beispiel (v) gesehen haben. (2) Satz besagt, dass ein polynomiales Gleichungssystem p 1 = 0,..., p r = 0 mit p i k[x] genau dann keine Lösung über k besitzt, wenn es eine Identität f 1 p f r p r = 1 mit f i k[x] gibt. Diese Bedingung kann man algorithmisch in endlich vielen Schritten exakt testen, während es für die ursprüngliche Lösbarkeitsfrage völlig aussichtslos scheint (k ist unendlich!). Dafür benötigt man die Theorie der Gröbnerbasen. Definition Sei V A n eine beliebige Teilmenge. Dann heißt das Verschwindungsideal von V. I(V ) := {p k[x] p(a) = 0 a V } Lemma Seien V, W A n Teilmengen. (i) I(V ) ist ein Radikalideal. (ii) V W I(W ) I(V ). (iii) I(V W ) = I(V ) I(W ). (iv) Ist V eine affine Varietät, so gilt V(I(V )) = V. (v) Jede absteigende Folge V 1 V 2 von affinen Varietäten wird konstant. Beweis. (i)-(iii) sind klar. Für (iv) sei V = V(I) für ein Ideal I. Dann gilt I I(V ) und damit V = V(I) V(I(V )). Die Inklusion " " ist aber klar. In (v) erhalten wir die aufsteigende Folge der Ideale I(V 1 ) I(V 2 ) und diese wird stationär nach dem Hilbertschen Basissatz. Aus (iv) folgt nach Anwenden von V( ) dass auch die Folge der V i stationär wird. Wir formulieren nun noch eine dritte Variante des Nullstellensatzes: Satz (Hilberts Nullstellensatz, idealtheoretische Form). Für jedes Ideal I k[x] gilt I( V(I)) = I.

142 138 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Beweis. " " ist klar. Für " " sei 0 p I( V(I)). Betrachte das Ideal J = (I, tp 1) k[t, x]. Da p 0 auf V(I) gilt, folgt V(J) =. Nach Satz gibt es eine Identität 1 = a(tp 1) + i b i p i mit a, b i k[t, x] und p i I. Substituiert man p 1 für t und multipliziert mit einer genügend hohen Potenz von p ergibt sich p r = i bi p i, mit b i k[x], also p I. Beispiel Ist V A n eine Hyperfläche, etwa V = V(p), und p = p e 1 1 p er r die Zerlegung in irreduzible Polynome, so gilt I(V ) = (p 1 p r ). Korollar Seien I, J k[x] Ideale. Dann gilt V(I) V(J) J I. Beweis. Aus V(I) V(J) folgt offensichtlich I( V(J)) I( V(I)), und nach Satz also J I. Die andere Richtung folgt aus Lemma 6.2.5, denn V(I) = V( I) und V(J) = V( J). Korollar Die Zuordnung V I(V ) ist eine inklusionsumdrehende Bijektion zwischen der Menge aller affinen Varietäten in A n und der Menge aller Radikalideale in k[x]. Die Umkehrabbildung ist durch I V(I) gegeben. Beweis. Lemma (iv), Satz und Korollar Bemerkung/Beispiel Maximale Ideale sind prim und deshalb Radikalideale. Also entsprechen die maximalen Ideale in k[x] gerade den minimalen nichtleeren Varietäten, also den Punkten von A n. Man sieht leicht I({a}) = (x 1 a 1,..., x n a n ), also sind die maximalen Ideale von k[x] alle von der Gestalt m a = (x 1 a 1,..., x n a n ).

143 6.3. Reguläre Funktionen und Morphismen Reguläre Funktionen und Morphismen Sei V A n eine affine Varietät. Jedes Polynom p k[x] definiert eine polynomiale Abbildung p: A n k = A 1, und durch Einschränkung auch eine Abbildung p: V A 1. Zwei Polynome p, q k[x] definieren dabei dieselbe Abbildung auf V genau dann wenn p q 0 auf V und damit p q I(V ) gilt. Also identifizieren sich die polynomialen Abbildungen V A 1 genau mit den Elementen von k[x]/i(v ). Definition Sei V A n eine affine Varietät. Dann heißt k[v ] := k[x]/i(v ) der affine Koordinatenring. Für V ist es eine Ringerweiterung von k. Elemente von k[v ] heißen reguläre Funktionen auf V, es sind gerade die durch Polynome definierten Funktionen. Beispiel (i) k[a n ] = k[x] und k[ ] = {0}. (ii) Ist V = V(p) eine Hyperfläche mit p quadratfrei, so gilt k[v ] = k[x]/(p). Lemma Für jede affine Varietät V ist k[v ] ein über k endlich erzeugter reduzierter Ring. J eder über k endlich erzeugte reduzierte Ring R ist isomorph zum Koordinatenring einer affinen Varietät. Beweis. k[v ] ist als Quotient von k[x] endlich erzeugt über k. Da I(V ) ein Radikalideal ist, ist k[v ] reduziert. Sei umgekehrt k R endlich erzeugt und reduziert. Wähle Erzeuger a 1,..., a n von R und betrachte die Surjektion π : k[x] R x i a i. Dann ist ker(π) ein Radikalideal, da R reduziert ist. Für V = V(ker(π)) gilt nun k[v ] = k[x]/i(v ) = k[x]/ker(π) = R.

144 140 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Definition Seien V A n und W A m affine Varietäten. (i) Ein Morphismus von V nach W ist eine Abbildung p: V W für die p 1,....p m k[v ] existieren mit p(a) = (p 1 (a),..., p m (a)) a V. Wir schreiben dann kurz p = (p 1,..., p m ). (ii) Ein Morphismus p: V W heißt Isomorphismus, falls ein Morphismus q : W V existiert mit q p = id V und p q = id W. (iii) Zwei affine Varietäten V, W heißen isomorph, falls ein Isomorphismus p: V W existiert. Wir schreiben dann V = W. (iv) Mit Hom(V, W ) bezeichnen wir die Menge aller Homomorphismen von V nach W. Beispiel (i) Sei P = V(x 2 1 x 2 ) A 2 eine Parabel, und π : P A 1 ; (a 1, a 2 ) a 1. Dann ist π ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist r (r, r 2 ). (iii) Sei C = V(x 3 1 x 2 2) eine spitze Kurve (vergleiche Beispiel (iv)). Dann gibt es einen Morphismus p: A 1 C r (r 2, r 3 ) der sogar bijektiv ist, wie man sich leicht überlegt. Die Kurve C erlaubt also eine bijektive polynomiale Parametrisierung durch A 1. Trotzdem ist p kein Isomorphismus. Für die Umkehrabbildung müsste man nämlich Wurzeln ziehen, was nicht polynomial möglich ist. Ganz exakt beweisen wir das später. Satz Sei p: V W ein Homomorphismus. Für jedes q k[w ] ist dann p (q) := q p k[v ]

145 6.3. Reguläre Funktionen und Morphismen 141 eine reguläre Funktion auf V. Die so definierte Abbildung p : k[w ] k[v ] q p (q) ist ein k-ringhomomorphismus. Die so definierte Abbildung ist bijektiv. : Hom(V, W ) Hom k (k[w ], k[v ]) p p Beweis. Da die Hintereinanderausführung von zwei polynomialen Abbildungen wieder polynomial ist, ist die Hintereinanderausführung von zwei Morphismen ein Morphismus. Deshalb ist p (q) = q p Hom(V, A 1 ) = k[v ]. Die Abbildung p ist offensichtlich ein k-ringhomomorphismus. Noch zu zeigen ist die Bijektivität von. Dazu geben wir die Umkehrabbildung an. Es ist k[w ] = k[y 1,..., y m ]/I(W ) = k[y 1,..., y m ]. Sei nun ϕ: k[w ] k[v ] ein k-ringhomomorphismus. Setze p ϕ := (ϕ(y 1 ),..., ϕ(y m )) Hom(V, A m ). Wir zeigen dass sogar p ϕ : V W gilt. Für q k[y] und a V gilt nämlich q(p ϕ (a)) = q(ϕ(y 1 )(a),..., ϕ(y m )(a)) = ϕ(q(y))(a) = ϕ(q)(a). Ist nun q I(W ) so gilt q = 0 in k[w ], und also q(p ϕ (a)) = 0. Das beweist p ϕ (a) W, und also p ϕ Hom(V, W ). Die somit definierte Zuordnung Hom k (k[w ], k[v ]) Hom(V, W ) ϕ p ϕ ist aber die Umkehrabbildung zu, wie man als Aaufgabe 88 nachrechne. Bemerkung Wir halten nocheinmal fest: für k[w ] = k[y]/i(w ) ist die Umkehrabbildung zu die Abbildung : Hom(V, W ) Hom k (k[w ], k[v ]) p p Hom k (k[w ], k[v ]) Hom(V, W ) ϕ (ϕ(y 1 ),..., ϕ(y m )).

146 142 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Bemerkung Jeder über k endlich erzeugte reduzierte Ring ist der Koordinatenring einer affinen Varietät (Lemma 6.3.3). Weiter ist eine Bijektion, d.h. die Morphismen der Varietäten und die k-morphismen der dazugehörenden Ringe entsprechen sich eins zu eins. Weiter hat die folgende funktorielle Eigenschaft: für p Hom(V, W ) und q Hom(W, X) gilt (q p) = p q sowie id V = id k[v ]. Daraus ergibt sich, dass sich jede Frage über Varietäten in eine äquivalente Frage über endlich erzeugte reduzierte Ringe über k übersetzen lässt und umgekehrt. Ein Beispiel dafür ist der folgende Satz. Satz Ein Morphismus p: V W von Varietäten ist ein Isomorphismus genau dann wenn p : k[w ] k[v ] ein k-isomorphismus von Ringen ist. Insbesondere gilt Beweis. Übungsaufgabe. V = W k[v ] = k[w ]. Beispiel (i) Für die Parabel P aus Beispiel (i) erhält man k[p ] = k[x 1, x 2 ]/(x 2 1 x 2 ) = k[x 1, x 2 ] = k[x 1 ]. Es gilt k[a 1 ] = k[t] und die von der Projektion π : P A 1 induzierte Abbildung ist π : k[a 1 ] k[p ] t x 1. Dann ist π offensichtlich ein k-isomorphismus mit Umkehrabbildung x 1 t, x 2 t 2. Das beweist erneut, dass π ein Isomorphismus von Varietäten ist. (ii) Wir zeigen nun exakt, dass für C = V(x 3 1 x 2 2) der bijektive Morphismus kein Isomorphismus ist. Es gilt p: A 1 C r (r 2, r 3 ) k[c] = k[x 1, x 2 ]/(x 3 1 x 2 2) = k[x 1, x 2 ], k[a 1 ] = k[t]

147 6.4. Kategorientheorie 143 und p : k[c] k[a 1 ] x 1 t 2 x 2 t 3. Es ist p offensichtlich nicht surjektiv, und also ist weder p noch p ein Isomorphismus (nach Satz 6.3.9). Bijektivität eines Morphismus von Varietäten impliziert also nicht Isomorphie! 6.4 Kategorientheorie Definition (i) Eine Kategorie C besteht aus einer Klasse Obj( C) (von sogenannten Objekten) und für alle X, Y Obj( C) jeweils einer Menge C(X, Y ) (von sogenannten Morphismen), sowie einer partiellen Verknüpfung von Morphismen C(X, Y ) C(Y, Z) C(X, Z) (f, g) g f welche folgenden zwei Bedingungen genügt: (1) X Obj( C) id X C(X, X) mit für alle f C(Y, X), g C(X, Y ). id X f = f, g id X = g (2) Für alle f C(W, X), g C(X, Y ), h C(Y, Z) gilt h (g f) = (h g) f.

148 144 Kapitel 6. Algebraische Geometrie (ii) Ein f C(X, Y ) heißt Isomorphismus, falls g C(Y, X) existiert mit g f = id X, f g = id Y. (iii) Zwei Objekte X, Y Obj( C) heißen isomorph (in Zeichen X = Y ), falls in C(X, Y ) ein Isomorphismus existiert. Grafisch stellt man Ausschnitte aus Kategorien gewöhnlich durch (kommutative) Pfeildiagramme dar: X f Y g f Beispiel (i) Die Kategorie Men der Mengen hat als Objekte die Mengen und als Morphismen die Abbildungen, wobei die Verknüpfung gerade die Hintereinanderausführung ist. Ein Isomorphismus ist eine bijektive (also invertierbare) Abbildung, und zwei Mengen sind isomorph wenn sie die gleiche Mächtigkeit besitzen. (ii) Die Kategorie Gr der Gruppen hat als Objekte die Gruppen und als Morphismen die Gruppen-Homomorphismen. Ganz analog definiert man die Kategorien der Ringe, Körper, Vektorräume über einem festen Körper, Moduln über einem festen Ring, etc... (iii) Die Kategorie k- Var der affinen Varietäten hat als Objekte die affinen Varietäten und als Morphismen gerade die vorhin definierten Morphismen von Varietäten. (iv) Die Kategorie Top der topologischen Räume hat als Objekte die topologischen Räume und als Morphismen die stetigen Abbildungen. Ein Isomorphismus ist gerade ein Homöomorphismus, und isomorphe Objekte sind homöomorphe Räume. (v) Morphismen müssen nicht immer Abbildungen sein. Sei etwa (G, ) eine feste Gruppe. Wir definieren eine Kategorie C G durch und g Z Obj( C G ) := { } C G (, ) := G. Die Gruppenverknüpfung dient uns dabei als Verknüpfung von Morphismen : C G (, ) C G (, ) C G (, )

149 6.4. Kategorientheorie 145 und man überprüft leicht die Bedingungen (1) und (2). Auf diese Weise lässt sich G als eigene Kategorie auffassen. Jeder Morphismus ist hier ein Isomorphismus. Definition Ein kovarianter (bzw. kontravarianter) Funktor von der Kategorie C in die Kategorie D besteht aus einer Abbildung sowie Abbildungen mit (1) F(id X ) = id F(X) F: Obj( C) Obj(D) F: C(X, Y ) D(F(X), F(Y )) ( bzw. F: C(X, Y ) D(F(Y ), F(X)) ) (2) F(g f) = F(g) F(f) (bzw. F(g f) = F(f) F(g)). X f Y F(X) F(f) F(Y ) g f Z g F(g f) F(g) F(Z) Beispiel (i) Sei k ein Körper und k- Vek die Kategorie der k-vektorräume und linearen Abbildungen. Die Bildung des Dualraums ist ein kontravarianter Funktor von k- Vek in sich selbst. (ii) Das Bilden des Koordinatenrings ist ein kontravarianter Funktor von k- Var in die Kategorie der Ringe. (iii) Sei C eine Kategorie, in der die Objekte wirklich aus Mengen und die Morphismen wirklich aus Abbildungen zwischen diesen bestehen (z.b. Gr, Top,...). Der Vergiss-Funktor ist ein kovarianter Funktor C Men, der einfach eine eventuelle zusätzliche Struktur auf den Objekten der Kategorie (z.b. eine Topologie, eine Gruppenstruktur,...) vergisst. Ebenso vergisst er die Tatsache, dass Morphismen eventuell sehr spezielle Abbildungen sind, und betrachtet sie einfach nur noch als Abbildungen. (iv) Seien G, H Gruppen und C G, C H die dazugehörigen Kategorien (siehe Beispiel (iv)). Jeder Gruppenhomomorphismus ϕ: G H induziert einen kanonischen kovarianten Funktor F ϕ : C G C H. Jeder solche Funktor kommt von einem Gruppenhomomorphismus.

150 146 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Lemma Sei F: C D ein Funktor und in C gelte X = Y. Dann gilt in D F(X) = F(Y ). Beweis. Sei o.b.d.a. Fkovariant. Sei f C(X, Y ) ein Isomorphismus mit inversem Morphismus g C(Y, X). Dann gilt g f = id X und nach Anwendung von Falso id F(X) = F(id X ) = F(g f) = F(g) F(f). Analog bekommt man F(f) F(g) = id F(Y ) und damit F(X) = F(Y ). Bemerkung In der Mathematik möchte man oft die Isomorphie von Objekten einer Kategorie entscheiden. Wenn es einen Isomorphismus gibt, findet man ihn oft nach einiger Zeit. Gibt es keinen, ist die Sache oft viel schwieriger. Man muss dann Eigenschaften der Objekte identifizieren, die einen Isomorphismus ausschließen. Oft macht man das (explizit oder implizit) mit einem Funktor. Wenn man zeigen kann, dass Objekte nach Anwendung eines Funktors nicht isomorph sind, so waren sie es vorher auch nicht. Genau das haben wir in Beispiel (ii) gesehen. Der dort angegebene Morphismus ist kein Isomorphismus, was aber schwer zu zeigen ist. Nach Bildung des Koordinatenrings ist es offensichtlich kein Isomorphismus, was die Aussage beweist. Man kann dort auch zeigen, dass k[c] überhaupt nicht isomorph zu k[a 1 ] ist. Also existiert kein Isomorphismus von C nach A 1. Das Bilden des Koordinatenrings ist sogar ein sehr spezieller Funktor, wie wir in Bemerkung schon formuliert haben. Man kann ihn umkehren, und daraus folgt die genau dann wenn-aussage aus Satz Im Allgemeinen stimmt das für einen Funktor jedoch nicht. 6.5 Projektive Varietäten Definition Sei k ein Körper und V ein k-vektorraum. (i) Der projektive Raum P(V ) ist die Menge aller eindimensionalen k-unterräume von V. (ii) Die Dimension eines projektiven Raums ist definiert als dim P(V ) := dim k (V ) 1. (iii) Ist W V ein k-untervektorraum, so nennt man P(W ) einen linearen oder projektiven Teilraum von P(V ). Lineare Teilräume von P(V ) der Di-

151 6.5. Projektive Varietäten 147 mensionen 0, 1, 2, dim P(V ) 1 nennt man auch Punkte, Gerade, Ebenen und Hyperräume. (iv) Man schreibt P n (k) := P(k n+1 ) und nennt P n (k) den n-dimensionalen projektiven Raum über k. Die Elemente von P(V ) sind also die [v] = k v für 0 v V. Dabei gilt [v] = [w] c k v = cw. Definition Elemente von P n (k) notiert man oft in homogenen Koordinaten. Für 0 (a 0,..., a n ) k n+1 schreibt man (a 0 :... : a n ) := [(a 0,..., a n )] = k (a 0,..., a n ) P n (k). Die Doppelpunkte bedeuten also, dass man nicht den Vektor, sondern die davon aufgespannte Gerade als Element des projektiven Raums meint. Beachte dass der Punkt (0 :... : 0) nicht definiert ist. Es gilt (a 0 :... : a n ) = (b 0 :... : b n ) c k a i = cb i für i = 0,..., n. Man kann auch folgende Charakterisierung verwenden: (a 0 :... : a n ) = (b 0 :... : b n ) a i b j = a j b i für alle i, j = 0,..., n. Denn zwei nichttriviale Vektoren (a 0,..., a n ), (b 0,..., b n ) sind genau dann kolinear, wenn die Matrix ( ) a0 a 1 a n b 0 b 1 b n Rang 1 hat, d.h. alle ihre 2 2-Unterdeterminanten verschwinden. Beispiel (i) P 0 (k) besteht aus genau einem Punkt. (ii) P 1 (k) identifiziert sich mit k { } durch P 1 (k) k { } (a : b) a/b falls b 0 (a : 0). Das entspricht geometrisch dem Schneiden der Ursprungsgeraden in k 2 mit der Geraden b = 1. Dabei wird jede Gerade genau einmal getroffen, bis auf die Gerade b = 0, die dem Punkt entspricht.

152 148 Kapitel 6. Algebraische Geometrie b k a (iii), P(V ) sind lineare Teilräume von P(V ). Es gilt dim = 1, denn = P({0}). Jeder Durchschnitt von linearen Teilräumen ist wieder einer: ( ) P(W i ) = P W i. i Eine Gerade in P(V ) ist von der Gestalt P(W ) für einen 2-dimensionalen Teilraum W V. Satz Seien U 1 = P(W 1 ) und U 2 = P(W 2 ) lineare Teilräume von P(V ). Dann gilt dim U 1 + dim U 2 = dim(u 1 U 2 ) + dim P(W 1 + W 2 ). Insbesondere folgt aus dim U 1 + dim U 2 dim P(V ) schon U 1 U 2. Je zwei Geraden in P 2 (k) schneiden sich also. Beweis. Folgt direkt aus der Dimensionsformel für Vektorräume dim k W 1 + dim k W 2 = dim k (W 1 W 2 ) + dim k (W 1 + W 2 ), wenn man auf beiden Seiten 2 abzieht. Definition Sei f : V W eine injektive lineare Abbildung. Dann ist P(f): P(V ) P(W ) [v] [f(v)] eine wohldefinierte Abbildung. Ist f bijektiv, so gilt P(f) 1 = P(f 1 ), und man nennt P(f) dann eine Projektivität von P(V ) nach P(W ). i

153 6.5. Projektive Varietäten 149 Satz Die Projektivitäten von P(V ) auf sich bilden eine Gruppe, die isomorph ist zu PGL(V ) := GL(V )/ (k id V ). Beweis. Sei P die Gruppe der Projektivitäten. Betrachte den Gruppenhomomorphismus GL(V ) P f P(f). Sein Kern besteht aus denjenigen f GL(V ), für die jeder Vektor ein Eigenvektor ist. Bekanntermaßen sind das aber genau die Vielfachen der Identität. ( ) a b Beispiel Für f = GL c d 2 (k) gilt P(f): (x : y) (ax + by : cx + dy). Unter der Identifikation P 1 (k) = k { } aus Beispiel (ii) übersetzt sich das in die Abbildung r ar + b cr + d, a c, eine sogenannte Möbiustransformation der Geraden. Konstruktion In P n (k) ist die Menge H := {(a 0 :... : a n ) a 0 = 0} eine Hyperebene, und insbesondere ist H = P n 1 (k). Es gibt eine Bijektion vom Komplement P n (k) \ H k n ( a1 (a 0 :... : a n ),..., a ) n a 0 a 0 (1 : b 1 :... : b n ) (b 1,..., b n ). Allgemeiner gibt es für jede Hyperebene W V eine Bijektion W P(V ) \ P(W ) w [v + w],

154 150 Kapitel 6. Algebraische Geometrie wobei v V \ W beliebig aber fest gewählt ist. In dieser Sichtweise ist P(V ) eine disjunkte Vereinigung aus W und P(W ). Dabei sind die Punkte aus P(W ) die unendlich fernen Punkte bezüglich W. Nun beschäftigen wir uns mit der den projektiven Räumen zugrundeliegenden Algebra. Sei dazu stets (G, +, 0) eine abelsche Gruppe. Definition (1) Ein G-graduierter Ring ist ein Ring R, zusammen mit einer additiven Untergruppe R g R für jedes g G, so dass gilt R = g G R g und R g R h R g+h für alle g, h G. (2) Ein Element a R heißt homogen, falls a R g für ein g G. Falls a 0 nennt man dabei deg(a) = g den Grad von a. Wir setzen deg(0) =. (3) Jedes Element a R hat eine eindeutige Zerlegung a = g G a g, wobei a g homogen vom Grad g und nur endlich viele a g 0 sind. Man nennt dann a g die homogene Komponente vom Grad g von a. (4) Sind R, S zwei G-graduierte Ringe, so heißt ein Ringhomomorphismus ϕ: R S graduiert, falls ϕ(r g ) S g für alle g G gilt.

155 6.5. Projektive Varietäten 151 Beispiel (i) Jeder Ring R lässt sich trivial G-graduieren, durch R 0 := R und R g := {0} für g 0. (ii) Auf R = k[x] ist eine Z-Graduierung eindeutig definiert durch k R 0 und deg(x i ) = 1. Dabei besteht R d dann genau aus den Polynomen p = p α x α, α =d bzw R d = {0} für d < 0. Diese Graduierung nennt man Standardgraduierung von k[x]. (iii) Allgemeiner kann man k R 0 und deg(x i ) = d i Z fordern, und erhält eine eindeutige Graduierung von R = k[x], genannt eine gewichtete Grad- Graduierung. (iv) Für R = k[x] gibt es beispielsweise auch noch die Z n -Graduierung mit R α = k x α für α N n und R β = {0} für β Z n \ N n. Lemma Für jeden G-graduierten Ring R gilt 1 R 0, und insbesondere ist R 0 ein Teilring von R. Beweis. Schreibe 1 = g G e g mit e g R g. Für homogenes a R h gilt dann a = 1 a = g e g a und aus e g a R g+h folgt e 0 a = a. Dabei verwenden wir die Eindeutigkeit der Zerlegung in homogene Summanden. Damit gilt aber e 0 a = a für alle a R, und also ist e 0 = 1. Bemerkung Das Rechnen in graduierten Ringen ist manchmal einfacher als in ungraduierten Ringen. Im Folgenden werden wir beispielsweise immer wieder die folgende Tatsache verwenden: Ist a = i b i c i

156 152 Kapitel 6. Algebraische Geometrie und sind sowohl a als auch alle c i homogen, kann man die b i ebenfalls als homogen annehmen, mit deg(b i ) = deg(a) deg(c i ). Man kann alle b i nämlich einfach durch ihre homogenen Summanden vom Grad deg(a) deg(c i ) ersetzen, und die Gleichung gilt dann immer noch. Lemma Sei R ein G-graduierter Ring und I R ein Ideal. Dann sind die folgenden Bedingungen an I äquivalent: (i) a I a g I für alle g G (ii) I = g G (I R g) (iii) I wird von homogenen Elementen erzeugt. Beweis. Aufgabe 96. Definition Ein Ideal I welches die Bedingungen aus Lemma erfüllt, nennt man homogenes Ideal. Beispiel (i) Sei ϕ: R S ein graduierter Homomorphismus. Dann ist ker(ϕ) ein homogenes Ideal. Allgemeiner ist ϕ 1 (J) für jedes homogene J S wieder homogen. (ii) Ist R Z-graduiert mit R d = {0} für d < 0, so ist R + = d 1 R d ein homogenes Ideal. Man nennt R + das irrelevante Ideal. Falls der Ring R 0 ein Körper ist, ist jedes homogene Ideal I 1 in R + enthalten. Damit die Menge aller homogenen Ideale mehrere maximale Elemente bekommt, entfernt man R + oft. (iii) Bezüglich der Graduierung aus Beispiel (iv) sind die homogenen Ideale gerade die Ideale, die von Monomen erzeugt werden. Lemma Sei R ein G-graduierter Ring. (i) Summe, Produkt und Durchschnitt von homogenen Idealen in R sind wieder homogen.

157 6.5. Projektive Varietäten 153 (ii) Ist I ein homogenes Ideal, so wird R/I durch (R/I) g := R g /I für g G zu einem G-graduierten Ring. Beweis. (i) ist klar, zum Beispiel mit Eigenschaft (i) aus Lemma Für (ii) beachte zunächst, dass die R g /I additive Untergruppen von R/I sind. Ebenfalls klar ist R g /I R h /I R g+h /I sowie R/I = g R g/i. Es bleibt zu zeigen, dass die Summe direkt ist. Seien also a g R g mit a g = 0 in R/I. g Das bedeutet g a g I, und aus der Homogenität von I folgt a g I für alle g. Damit ist aber a g = 0 für alle g. Lemma Sei R ein Z-graduierter Ring. Dann ist für jedes homogene Ideal I auch I wieder homogen. Beweis. Aufgabe 97. Sei ab jetzt stets wieder k ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir schreiben P n := P n (k) = P(k n+1 ). Weiter ist ab jetzt x = (x 0,..., x n ) und k[x] immer mit der Standardgraduierung versehen. Für homogenes p k[x] und v k n+1 sowie λ k gilt p(λ v) = λ deg(p) p(v). Wenn ein homogenes Polynom an einem Punkt verschwindet, verschwindet es also auf der ganzen davon aufgespannten Gerade, und also ist für a = [v] P n die Setzung p(a) = 0 : p(v) = 0 wohldefiniert. Analog schreiben wir p(a) 0 falls p(v) 0. Für allgemeines p k[x] schreibe p = p 0 + p p d mit p i k[x] i und definiere p(a) = 0 : p 0 (a) = p 1 (a) = = p d (a) = 0.

158 154 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Wegen p(λ v) = p 0 + λ p 1 (v) + λ 2 p 2 (v) + + λ d p d (v) ist das äquivalent zu p(λv) = 0 für alle λ k, d.h. dass p auf der ganzen von v aufgespannten Geraden verschwindet. Definition Sei P k[x] und V P n. (i) Wir definieren V + (P ) = { a P n p(a) = 0 für alle p P } sowie I + (V ) := { p k[x] p(a) = 0 für alle a V }. Wir nennen V + (P ) die von P definierte projektive Varietät und I + (V ) das Verschwindungsideal von V. Wir setzen I + ( ) = (x 0,..., x n ), das irrelevante Ideal. (ii) Eine Menge der Gestalt V + (P ) mit P k[x] heißt projektive Varietät. (iii) Für homogenes p k[x] sei D + (p) := {a P n p(a) 0} = P n \ V + (p). Bemerkung (i) Für V P n beliebig gilt in k[x] I + (V ) = I( V ), wobei wir V A n+1 erhalten, indem wir die Punkte von V als Ursprungsgerade in A n+1 auffassen. Daran sieht man dass I + (V ) ein Radikalideal ist. Andererseits ist I + (V ) nach Definition von "p(a) = 0" auch ein homogenes Ideal. (ii) Für M k[x] sei M h die Menge aller homogenen Komponenten von Elementen aus M, und I = (M h ) das davon erzeugte Ideal. Dann gilt V + (M) = V + (M h ) = V + (I) = V + ( I) (iii) Es gilt V + (k[x]) = V + ((x 0,..., x n )) =

159 6.5. Projektive Varietäten 155 und V + (0) = P n. Für homogene Ideale I, J, I λ (λ Λ) gilt sowie V + (I) V + (J) = V + (I J) = V + (IJ) λ Λ V + (I λ ) = V + ( λ Λ I λ ) Satz Sei I 1 ein homogenes Ideal in k[x], und sei V P n eine Teilmenge. Dann gilt (i) I + ( V + (I)) = I (ii) V + (I + (V ))) = V, falls V eine projektive Varietät war. (iii) V I + (V ) ist eine Bijektion zwischen projektiven Varietäten in P n und homogenen Radikalidealen 1 von k[x]. Die Umkehrabbildung ist I V + (I). Beweis. Aussage (i) sieht man durch I + ( V + (I)) = I( V + (I)) = I( V(I)) = I, wobei wir Bemerkung und Satz benutzt haben. Aussage (ii) folgt aus der Tatsache, dass V + (I + (V )) offensichtlich die kleinstmögliche projektive Varietät über V ist. Aussage (iii) folgt unmittelbar aus (i) und (ii). Im affinen wird die leere Varietät genau durch das Ideal I = (1) definiert, und sonst durch kein Ideal (siehe Satz 6.2.8). Im projektiven Raum entsteht entweder durch ein bereits in A n+1 unlösbares homogenes Gleichungssystem, also durch das homogene Radikalideal k[x], oder durch ein homogenes System, das in A n+1 gerade {0} definiert, also etwa durch das irrelevante Ideal k[x] +. Beides sind homogene Radikalideale, und in der Bijektion aus Satz haben wir k[x] + ausgewählt. Definition Sei V P n eine projektive Varietät. Dann nennt man den Z-graduierten Ring k + [V ] := k[x]/i + (V ) den projektiven Koordinatenring von V (die Graduierung ist wie in Lemma (ii) definiert)..

160 156 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Konstruktion Für i {0,..., n} betrachte die wohldefinierte Bijektion φ i : D + (x i ) A n ( a0 (a 0 :... : a n ),..., âi,..., a ) n a i a i a i (b 1 :... : 1 :... : b n ) (b 1,..., b n ) Dabei sei ab jetzt der Einfachheit halber stets i = 0 angenommen. Für 0 p k[x 1,..., x n ] definieren wir ( p h := x deg(p) x1 0 p,..., x ) n k[x 0,..., x n ] deg(p) x 0 x 0 0 h := 0 und nennen p h die Homogenisierung von p mittels x 0. Ist etwa deg(p) = d und p = α d p αx α, so gilt p h := α d p α x d α 0 x α. Wir machen also p homogen, indem wir jedes Monom von p, welches nicht den maximalen Grad d hat, so oft mit x 0 multiplizieren, bis es Grad d hat. Beispielsweise ist (x 2 1 x 2 + 1) h = x 2 1 x 0 x 2 + x 2 0. Nach Definition ist (p 1 p 2 ) h = p h 1 p h 2 klar. Sein nun umgekehrt q k[x 0,..., x n ] homogen. Dann setzen wir q := q(1, x 1,..., x n ) k[x 1,..., x n ] und nennen q die Dehomogenisierung von q mittels x 0. Offensichtlich gilt dabei p h = p. Weiter ist x m 0 ( q) h = q für ein m 0.

161 6.5. Projektive Varietäten 157 In der letzten Gleichung taucht m 1 genau dann auf, wenn der Grad von q beim Dehomogenisieren sinkt, also jedes Monom in q durch x 0 geteilt wird. Es ist also m = deg(q) deg( q). Im folgenden Lemma zeigen wir, dass die algebraische Konstruktion der Homogenisierung bzw. Dehomogenisierung genau dem Anwenden von φ 0 auf der geometrischen Seite entspricht. Lemma Mit den vorangegangenen Konstruktionen erhalten wir für p k[x 1,..., x n ] und für q k[x 0,..., x n ] homogen φ 1 0 ( V(p)) = V + (p h ) D + (x 0 ) φ 0 ( V + (q) D + (x 0 )) = V( q). Beweis. Es gilt { φ 1 0 ( V(p)) = = ( a1,..., a ) n a 0 (a 0 :... : a n ) a 0 0, p { (a 0 :... : a n ) a 0 0, a deg(p) 0 p a 0 } = 0 ( a1 a 0,..., a n a 0 = { (a 0 :... : a n ) a 0 0, p h (a 0,..., a n ) = 0 } = V + (p h ) D + (x 0 ) ) } = 0 {( a1 φ 0 ( V + (q) D + (x 0 )) =,..., a ) n a 0 a {( 0 a1 =,..., a ) n a 0 0, a deg(q) 0 q a 0 a 0 = {(b 1,..., b n ) q(b 1,..., b n ) = 0} = V( q). } a 0 0, q(a 0,..., a n ) = 0 ( 1, a 1 a 0..., a n a 0 ) } = 0

162 158 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Bemerkung Ist ist also P n = D + (x 0 ) D + (x n ) eine offene Überdeckung mit zu A n homöomorphen Teilmengen. Definition Sei I k[x 1,..., x n ] ein Ideal. Die Homogenisierung I h von I ist das homogene Ideal Korollar Es gilt Beweis. φ 1 0 ( V(I)) = φ 1 0 I h := ( p h p I ) k[x 0,..., x n ]. φ 1 0 ( V(I)) = V + (I h ) D + (x 0 ). ( ) V(p) = p I p I φ 1 0 ( V(p)) = D + (x 0 ) p I V + (p h ) = D + (x 0 ) V + (I h ), wobei wir Lemma benutzt haben. Definition Für jede affine Varietät V A n nennt man V := V + ( I+ (φ 1 0 (V )) ) P n den projektiven Abschluss von V in P n (bezüglich φ 1 0 ). Es ist die kleinste projektive Varietät, die φ 1 0 (V ) enthält. Oft unterdrücken wir φ 0 in der Notation. Es gilt V A n = V.

163 6.5. Projektive Varietäten 159 Satz Sei I k[x 1,..., x n ] ein Ideal und V = V(I) A n. Für den projektiven Abschluss gilt dann V = V + ( I h ). Beweis. " folgt direkt aus Korollar Für " sei q ein homogenes Polynom mit q = 0 auf φ 1 0 (V ). Falls q von x 0 geteilt wird, verschwindet q auf ganz V + (x 0 ) und nach Korollar also auch auf V + (I h ). Andernfalls gilt q h = q. Wegen q = 0 auf V gilt nun q I und damit q I h I h. Also verschwindet q auch hier auf V + (I h ) = V + ( I h ). Bemerkung Ist I = (p 1,..., p s ), so gilt ( ) p h 1,..., p h s I h, aber im Allgemeinen keine Gleichheit. Für p 1 = x 1, p 2 = x gilt I = (p 1, p 2 ) = (1) und deshalb I h = (1). Es ist aber ( ) p h 1, p h 2 = (x1, x 1 + x 0 ) (1). Definition (i) Sei V A n eine affine Varietät und V P n der projektive Abschluss. Sei H = V + (x 0 ) P n. Dann heißen die Punkte von H V = V \ V die unendlich fernen Punkte von V, bzw. die Punkte von V im unendlichen. Sie bilden eine projektive Varietät in H = P n 1. (ii) Für 0 p k[x 1,..., x n ] schreibe p = p 0 + p p d mit p i homogen vom Grad i, p d 0. Dann heißt die Leitform von p. Beachte dass LF(p) := p d LF(p) = p h (0, x 1,..., x n ) gilt. (iii) Für ein Ideal I k[x 1,..., x n ] heißt LF(I) := (LF(p) p I) das Leitformideal von I. Es ist ein homogenes Ideal in k[x 1,..., x n ].

164 160 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Korollar Sei I k[x 1,..., x n ] ein Ideal und V = V(I) A n. Sei H = V + (x 0 ). Dann gilt V H = V + (LF(I)) H = P n 1 wobei wir H = P n 1 mit homogenen Koordinaten (x 1 :... : x n ) versehen. Beweis. Wegen V = V + (I h ) gilt in P n V H = V + ((x 0 ) + I h ) = V + ((x 0 ) + LF(I)), denn p h LF(p) modulo (x 0 ). Beschränken wir uns auf H, erhalten wir also V + (LF(I)) H = P n 1. Beispiel (i) Der projektive Abschluss einer affinen Hyperfläche (mit 0 p k[x 1,..., x n ]) ist V(p) A n V = V + (p h ), denn (p) h = (p h ). Ist p quadratfrei so gilt I + ( V ) = (p) h = (p) h = (p h ). Die unendlich fernen Punkte von V sind die Nullstellen von LF(p) in V + (x 0 ) = P n 1. (ii) Für p k[x 1, x 2 ] mit deg(p) 1 betrachte die affine Kurve V = V(p) A 2. Es gibt eine Faktorisierung LF(p) = c d (a i x 1 + b i x 2 ) i=1 mit (a i : b i ) P 1 (k), c k, wobei die (a i : b i ) eindeutig bestimmt sind. Das erhält man, indem man LF(p)(x 1, 1) k[x 1 ] über k faktorisiert, und dann wieder homogenisiert. Die unendlich fernen Punkte von V sind also gerade die (0 : b i : a i ) P 2 i = 1,..., d beziehungsweise die Punkte (b i : a i ) P 1 = V + (x 0 ) i = 1,..., d.

165 6.5. Projektive Varietäten 161 (iii) Im Fall p = x 2 1 x ist V(p) eine Hyperbel. Wegen LF(p) = x 2 1 x 2 2 = (x 1 + x 2 )(x 1 x 2 ) ergeben sich die beiden unendlich fernen Punkte (0 : 1 : 1) (0 : 1 : 1). (iv) Im Fall p = (x 1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 r 2 ist V(p) eine Ellipse. Wegen LF(p) = x x 2 2 gibt es die beiden unendlich fernen Punkte (0 : 1 : 1) (0 : 1 : 1) die man im reellen Bild jedoch nicht sehen kann. (v) Im Fall p = x 2 1 x 2 ist V(p) eine Parabel. Wegen LF(p) = x 2 1 erhält man nur den einen Punkt (0 : 0 : 1) im Unendlichen (den allerdings in gewisser Weise doppelt).

166 162 Kapitel 6. Algebraische Geometrie Bemerkung Selbst wenn I k[x] ein Radikalideal ist, muss LF(I) kein Radikalideal sein. Das sieht man am letzten Beispiel mit I = (x 2 1 x 2 ). Hier ist LF(I) = (x 2 1).