3.5 Semantische Repräsentation mit PL1
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- Felix Berg
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1 3.5 Semantische Repräsentation mit PL1 PL1 kann man als Formalismus zur Darstellung der Bedeutung natürlichsprachlicher Sätze verwenden. Solche Darstellungen werden als semantische Repräsentationen der betreffenden Sätze bezeichnet. Dabei werden für die Sätze deren logische Formen in PL1 angegeben. Es wird auch von einer PL1-Formalisierung oder Übersetzung der natürlichsprachlichen Sätze in PL1-Formeln gesprochen. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 1
2 Zwei Varianten der Repräsentation von Sätzen mit Quantorausdrücken Für Sätze mit Quantorausdrücken gibt es zwei Möglichkeiten der seman-tischen Repräsentation mit PL1. Sie unterscheiden sich hinsichtlich der dabei zugrunde gelegten Domänen D. Entsprechend lassen sich die Sätze durch jeweils zwei unterschiedliche PL1- Formeln repräsentieren. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 2
3 Beispiele: (1) Alles Schöne ist vergänglich. (2) Einiges Schöne ist vergänglich. Variante (A): D enthält nur Individuen, die schön sind. Variante (B): D enthält beliebige Individuen. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 3
4 Variante (A): D enthält nur Individuen, die schön sind. (1) Alles Schöne ist vergänglich. EF: Für jedes schöne Individuum x gilt: x ist vergänglich. LF: xvx ( ) (2) Einiges Schöne ist vergänglich. EF: Für mindestens ein schönes Individuum x gilt: x ist vergänglich. LF: xvx ( ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 4
5 Variante (B): D enthält beliebige Individuen. (1) Alles Schöne ist vergänglich. EF: Für jedes Individuum x gilt: Wenn x schön ist, dann ist x vergänglich. LF: xsx [ ( ) Vx ( )] (2) Einiges Schöne ist vergänglich. EF: Für mindestens ein Individuum x gilt: x ist schön und x ist vergänglich. LF: xsx [ ( ) Vx ( )] Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 5
6 Allsätze als generalisierte materiale Implikationen Bei Variante (B) werden Allsätze der Form Alle P sind Q. als generalisierte materiale Implikationen repräsentiert. Jedes P ist Q. xpx [ ( ) Qx ( )] Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 6
7 Die Wahrheitsbedingungen solcher Formeln sind: xpx [ ( ) Qx ( )] ist wahr bez. D gdw für jedes d D gilt: Wenn d P, dann d Q, d.h. gdw es kein d D gibt, so dass gilt: d Pund d Q. Die angegebenen Mengenverhältnisse können geometrisch mit Hilfe eines Venn- Diagramms (John Venn, ) dargestellt werden. P Q Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 7
8 Dagegen wäre die Repräsentation von Allsätzen als generalisierte Konjunk-tionen xpx [ ( ) Qx ( )] nicht adäquat. Solche Formeln haben folgende Wahrheitsbedingungen: xpx [ ( ) Qx ( )] ist wahr bez. D gdw für jedes d D gilt: d Pund d Q. P Q Ein solches Verständnis von Allsätzen wäre zu stark.? Durch welchen Satz müsste (1) ersetzt werden, um eine Situation zu Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 8
9 beschreiben, die mit xsx [ ( ) Vx ( )] erfasst wird? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 9
10 Problem: Eine Formel xpx [ ( ) Qx ( )] ist auch dann wahr, wenn für kein d D gilt: d P, d.h. wenn P leer ist. Das ist eine Konsequenz der für geltenden Wahrheitsbedingungen. P Q Ein Satz wie (1) Alles Schöne ist vergänglich ist damit auch dann wahr, wenn es kein schönes Individuum gibt. Das scheint unserer Intuition zu widersprechen. Weitere Beispiele: Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 10
11 (3) Alle Mondmenschen sind blauäugig. LF: xmx [ ( ) Bx ( )] Da xmx ( ) wahr ist, ist xmx [ ( ) Bx ( )] wahr. (4) Alle Antragsteller werden in Raum 3 abgefertigt.? Ist im Fall von (4) die Repräsentation angemessen? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 11
12 Existenzsätze als partikularisierte Konjunktionen Bei Variante (B) werden Existenzsätze der Form Einige P sind Q. als partikularisierte Konjunktionen repräsentiert. Ein P ist Q. xpx [ ( ) Qx ( )] Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 12
13 Die Wahrheitsbedingungen solcher Formeln sind: xpx [ ( ) Qx ( )] ist wahr bez. D gdw für mindestens ein d D gilt: d Pund d Q. P + Q Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 13
14 Dagegen wäre die Repräsentation von Existenzsätzen als partikularisierte Implikationen xpx [ ( ) Qx ( )] nicht adäquat. Letztere haben folgende Wahrheitsbedingungen: xpx [ ( ) Qx ( )] ist wahr bez. D gdw für mindestens ein d D gilt: wenn d P, dann d Q. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 14
15 Wiederum auf Grund der Wahrheitsbedingungen für gilt: Eine Formel xpx [ ( ) Qx ( )] ist auch dann wahr, wenn für kein d D gilt: d P, d.h. wenn P leer ist. P Q Ein solches Verständnis von Existenzsätzen wäre zu schwach. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 15
16 Einige Äquivalenzen zwischen All- und Existenzsätzen Beispiele: (5) Alle Lehrer sind freundlich. LF (Variante A): xfx ( ) LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] (6) Einige Lehrer sind freundlich. LF (Variante A): xfx ( ) LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] (7) Alle Lehrer sind unfreundlich. LF (Variante A): x Fx ( ) LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] (8) Einige Lehrer sind unfreundlich. LF (Variante A): x Fx ( ) LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 16
17 ? Gib für folgende Sätze die PL1-Repräsentationen gemäß Variante (B) an. (9) Kein Lehrer ist unfreundlich. (10) Nicht jeder Lehrer ist unfreundlich. (11) Kein Lehrer ist freundlich. (12) Nicht jeder Lehrer ist freundlich. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 17
18 ? Welche der Sätze (5)-(12) sind jeweils synonym? (5) Alle Lehrer sind freundlich. (6) Einige Lehrer sind freundlich. (7) Alle Lehrer sind unfreundlich. (8) Einige Lehrer sind unfreundlich. (9) Kein Lehrer ist unfreundlich. (10) Nicht jeder Lehrer ist unfreundlich. (11) Kein Lehrer ist freundlich. (12) Nicht jeder Lehrer ist freundlich. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 18
19 Es gelten folgende PL1-Äquivalenzen: (i) (ii) (iii) (iv) γφ γ φ γφ γ φ γφ γ φ γφ γ φ Wegen (i) und (ii) sind und gegenseitig definierbar, d.h. jeder der beiden Quantoren kann mit Hilfe des jeweils anderen definiert werden. γφ= γ φ def γφ= γ φ def Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 19
20 Es gelten außerdem die folgenden AL1-Äquivalenzen: (v) φ φ (vi) φ ψ ( φ ψ) Auf Grund der logischen Äquivalenzen (i)-(vi) lassen sich die PL1- Repräsentationen von All- und Existenzsätzen durch äquivalente Umformungen ineinander überführen. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 20
21 Beispiele: Äquivalente Umformung von (5) in (9): (5) Alle Lehrer sind freundlich. LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] (9) Kein Lehrer ist unfreundlich. LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] xlx [ ( ) Fx ( )] x [ Lx ( ) Fx ( )] nach (i) γφ γ φ x [ Lx ( ) Fx ( )] nach (vi) φ ψ ( φ ψ) xlx [ ( ) Fx ( )] nach (v) φ φ Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 21
22 Äquivalente Umformung von (6) in (10): (6) Einige Lehrer sind freundlich. LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] (10) Nicht jeder Lehrer ist unfreundlich. LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] xlx [ ( ) Fx ( )] x [ Lx ( ) Fx ( )] nach (ii) γφ γ φ x [ Lx ( ) Fx ( )] nach (v) φ φ xlx [ ( ) Fx ( )] nach (vi) φ ψ ( φ ψ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 22
23 ? Zeige, wie sich die PL1-Repräsentationen von (7) und (11) sowie von (8) und (12) durch äquivalente Umformungen ineinander überführen lassen. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 23
24 Skopusambiguität bei Sätzen mit Quantorausdrücken Ein Satz wie (13) ist ambig, d.h. er hat zwei mögliche Lesarten oder Bedeutungen. (13) Jeder liebt jemanden. Genauer gesagt, liegt ein Fall von Skopusambiguität der in ihm vorkommenden Quantorausdrücke vor. Deshalb wird ein solcher Satz durch zwei PL1-Formeln repräsentiert, die sich in der Reihenfolge der verwendeten Quantoren unterscheiden. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 24
25 (13) Jeder liebt jemanden. D= die Menge der Personen (a) EF 1 : Für jedes x gibt es ein y derart, dass gilt: x liebt y. LF 1 : x ylxy (, ) (b) EF 2 : Es gibt ein y derart, dass für jedes x gilt: x liebt y. LF 2 : y xlxy (, ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 25
26 (14) Jeder Mann liebt eine Frau. (a) Zu jedem Mann gibt es (irgend-)eine Frau, die er liebt. EF 1 : Für jedes x gilt: Wenn x ein Mann ist, dann gibt es ein y, so dass gilt: y ist eine Frau und x liebt y. LF 1 : xmx [ ( ) yfy [ () Lxy (, )]] (b) Es gibt eine (bestimmte) Frau, die jeder Mann liebt. EF 2 : Es gibt ein y derart, dass y eine Frau ist und für alle x gilt: Wenn x ein Mann ist, dann liebt x y. LF 2 : yfy [ () xmx [ ( ) Lxy (,)]] Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 26
27 ? Charakterisiere die Skopusverhältnisse der Quantoren bei den Lesarten von (13) und (14). (13) Jeder liebt jemanden. LF 1 : x ylxy (, ) LF 2 : y xlxy (, ) (14) Jeder Mann liebt eine Frau. LF 1 : xmx [ ( ) yfy [ () Lxy (, )]] LF 2 : yfy [ () xmx [ ( ) Lxy (,)]]? Welche der jeweils beiden Lesarten ist spezieller und impliziert damit die andere? Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 27
28 Weitere PL1-Repräsentationen Beispiele: (15) Nicht alles, was glänzt, ist Gold. xgx [ ( ) Ox ( )] (16) Alles, was glänzt, ist nicht Gold. xgx [ ( ) Ox ( )] bzw. xgx [ ( ) Ox ( )] (17) Wer stiehlt, wird bestraft. xsx [ ( ) yb(, yx)] 1 (18) Wer zu spät kommt, den bestraft das Leben. xzx [ ( ) B(, lx)] (19) Jeder betrügt sich selbst. xb [ (, xx)] 2 1 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 28
29 (20) Selig sind die Sanftmütigen. xs [ ( x) S( x)] 1 2 (21) Jeder ist sich selbst der Nächste. xnxx (, ) (22) Jede Unglückswolke hat einen Silberstreifen. xux [ ( ) ys [ () y Hxy (,)]] (23) Für jede Handlung gibt es ein Motiv. xhx [ ( ) ymyx (, )] (24) Keine Regel ohne Ausnahme. xrx [ ( ) yayx (, )] 3 Bei (17-21) wird vorausgesetzt, dass D die Menge der Personen ist. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 29
30 ? Gib für (17-21) die PL1-Repräsentationen bei universellem D an. (17) Wer stiehlt, wird bestraft. xpx [ ( ) ( Sx ( ) ypy [ () B(, yx)])] oder 1 xpx [ ( ) Sx ( ) ypy [ () B(, yx)]] (18) Wer zu spät kommt, den bestraft das Leben. (19) Jeder betrügt sich selbst. (20) Selig sind die Sanftmütigen. (21) Jeder ist sich selbst der Nächste. 1 Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 30
31 ? Gib die jeweils andere PL1-Repräsentation für die skopusambigen Sätze (22-23) an. (22) Jede Unglückswolke hat einen Silberstreifen. LF 1 : xux [ ( ) ys [ () y Hxy (,)]] 3 LF 2 : (23) Für jede Handlung gibt es ein Motiv. LF 1 : xhx [ ( ) ymyx (, )] LF 2 : Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 31
32 ? Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an. (25) Nicht jeder Baum ist ein grüner Laubbaum. (26) Einige verwirrte Politiker sind anständig oder naiv. (27) Keine Ente ist eine Amphibie, die einen Schnabel hat. (28) Alle Maler oder Dichter sind berühmt und arm. (29) Keiner ist Millionär und verschenkt sein Geld. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 32
33 ? Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an und diskutiere ihre Adäquatheit. (30) Ein Wal ist ein Säugetier. (31) Der Adler ist ein Vogel. (32) Löwen sind Raubtiere. (33) Tiger sind gestreift. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 33
34 Eingeschränkte Quantifikation Um semantische Repräsentationen mehr dem intuitiven Verständnis der Bedeutungsstruktur von Sätzen anzugleichen, kann man sich der Methode der eingeschränkten (restringierten) Quantifikation bedienen. Der Geltungsbereich des jeweiligen Quantors wird dabei auf diejenigen Individuen eingeschränkt, für die die betreffende Aussage gilt. Die einschränkende Formel wird Restriktor, die unmittelbar auf den eingeschränkten Quantor folgende Formel nuklearer Skopus (Matrix, Nukleus) genannt. Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 34
35 Beispiele: (34) Jede Katze schläft. [ S [ NP [ Det Jede][ N Katze]] [ VP [ V schläft]]] Standardnotation: xkx [ ( ) Sx ( )] Eingeschränkte Quantifikation: xkx : ( )[ Sx ( )] oder x Sx ( ) K( x) Für jedes x derart, dass Kx ( ) gilt: Sx ( ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 35
36 (35) Eine Katze schläft. [ S [ NP [ Det Eine][ N Katze]] [ VP [ V schläft]]] Standardnotation: xkx [ ( ) Sx ( )] Eingeschränkte Quantifikation: xkx : ( )[ Sx ( )] oder x Sx ( ) K( x) Für ein x derart, dass Kx ( ) gilt: Sx ( ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 36
37 Weitere Beispiele: (36) Kein Optimist hat alle Fakten verdrängt und vergessen. Standardnotation: xox [ ( ) yfy [ () V(,) xy V(,)]] xy 1 2 Eingeschränkte Quantifikation: xox : ( ) yfy : ()[ V(,) xy V(,)] xy oder Ox ( ) F( y) x y [ V (,) xy V (,)] xy Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 37
38 (37) Jeder Linguist kennt ein Buch, dessen Autor Chomsky ist. Standardnotation: xlx [ ( ) yby [ () Acy (, ) Kxy (,)]] Eingeschränkte Quantifikation: xlx : ( ) yby : () Acy (, )[ Kxy (,)] oder x y Kxy (,)) Lx ( ) By ( ) Acy (, ) Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 38
39 ? Gib die PL1-Repräsentation mit eingeschränkter Quantifikation bei der zweiten Lesart von (37) an. (37) Jeder Linguist kennt ein Buch, dessen Autor Chomsky ist. LF 1 : xlx : ( ) yby : () Acy (, )[ Kxy (,)] LF 2 : Johannes Dölling: Logik für Linguisten. WiSe 2012/13 39
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