Selbstorganisierte Kritizität
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- Hansl Bieber
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1 Selbstorganisierte Kritizität Moritz Gerstung Fakultät für Mathematik und Physik Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Studenten Seminar: Dynamische Modelle komplexer Systeme M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
2 Vorbemerkungen Selbstorganisierte Kritizität Selbstgeordnete Instabilität Englisch: Self-Organized Criticality (SOC). Eingeführt von P. Bak, C. Tang und K. Wiesenfeld in Phys. Rev. Lett. 59(4), Großer Boom Anfang der 90er. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
3 Gliederung 1 Einführung Zwei einfache Beispiele 2 Sandhaufen-Modell 1D 2D Theoretische Analyse 3 Kritizität und die reale Welt Lawinen Waldbrände und Erdbeben Ausblick M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
4 Gliederung 1 Einführung Zwei einfache Beispiele 2 Sandhaufen-Modell 1D 2D Theoretische Analyse 3 Kritizität und die reale Welt Lawinen Waldbrände und Erdbeben Ausblick M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
5 Gliederung 1 Einführung Zwei einfache Beispiele 2 Sandhaufen-Modell 1D 2D Theoretische Analyse 3 Kritizität und die reale Welt Lawinen Waldbrände und Erdbeben Ausblick M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
6 Gliederung 1 Einführung Zwei einfache Beispiele 2 Sandhaufen-Modell 1D 2D Theoretische Analyse 3 Kritizität und die reale Welt Lawinen Waldbrände und Erdbeben Ausblick M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
7 Am Strand Betrachte Sandhaufen, auf den Sandkörner mit Rate r gerieselt werden. Beobachtungen Nach Übersteigen einer kritischen Steigung entsteht eine Lawine. Dies wiederholt sich (Selbsorganisation). Es entstehen Lawinen aller Größenordnungen. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
8 Domino Betrachte zufällig verteilte Dominosteine mit Dichte σ. Ein Stein wird zufällig angestoßen Lawine. 3 Fälle 1 σ σ c : Subkritisch, nur lokale Auswirkungen. 2 σ σ c : Superkritisch, immer katastrophale Auswirkungen. 3 σ σ c : Kritisch, Lawinen aller Größenordnungen möglich. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
9 Domino Betrachte zufällig verteilte Dominosteine mit Dichte σ. Ein Stein wird zufällig angestoßen Lawine. 3 Fälle 1 σ σ c : Subkritisch, nur lokale Auswirkungen. 2 σ σ c : Superkritisch, immer katastrophale Auswirkungen. 3 σ σ c : Kritisch, Lawinen aller Größenordnungen möglich. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
10 Domino Betrachte zufällig verteilte Dominosteine mit Dichte σ. Ein Stein wird zufällig angestoßen Lawine. 3 Fälle 1 σ σ c : Subkritisch, nur lokale Auswirkungen. 2 σ σ c : Superkritisch, immer katastrophale Auswirkungen. 3 σ σ c : Kritisch, Lawinen aller Größenordnungen möglich. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
11 Selbstorganisierte Kritizität Definition Selbstorganisierte Kritizität beschreibt die Dynamik von komplexen, dissipativen Systemen an der Grenze der Instabilität bei langsamen Antrieb. Antrieb in Richtung der Instabilität (Sisyphos). Langsam im Vergleich zum Kollaps. Dominoartiger Kopplungsmechanismus. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
12 Gliederung 1 Einführung Zwei einfache Beispiele 2 Sandhaufen-Modell 1D 2D Theoretische Analyse 3 Kritizität und die reale Welt Lawinen Waldbrände und Erdbeben Ausblick M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
13 Eindimensionales Modell Bak, Tang, Weisenfeld Es gibt N benachbarte Plätze, mit jeweils h i Sandkörnern. Steigung z i = h i h i+1. An der Stelle N können Körner herausfallen. Dynamik 1 Körner (δh = 1) werden zufällig an Stelle i hinzugefügt. 2 Wenn z i > z c fällt ein Korn von i nach i Wiederhole 2 bis Gleichgewicht, dann 1. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
14 Eindimensionales Modell Bak, Tang, Weisenfeld Es gibt N benachbarte Plätze, mit jeweils h i Sandkörnern. Steigung z i = h i h i+1. An der Stelle N können Körner herausfallen. Dynamik 1 Körner (δh = 1) werden zufällig an Stelle i hinzugefügt. 2 Wenn z i > z c fällt ein Korn von i nach i Wiederhole 2 bis Gleichgewicht, dann 1. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
15 Ergebnisse der Simulation Minimale Stabilität in einer Dimension Beobachtungen Nach Einschwingen ensteht immer der minimalstabile Zustand mit z i = z c. Dynamik trivial: Lawinen bestehen immer aus nur einem Sandkorn. Länge der Lawine (= Gesamtzahl von Übergängen) hängt nur vom Auslösungspunkt ab. Spektrum weiß. Grund: Nur ein räumlicher Freiheitsgrad. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
16 Erweiterung auf zwei Dimensionen Hinzufügen von räumlichen Freiheitsgraden Dynamik Quadratische Grundfläche mit offenen Rändern. Mehr Freiheitsgrade: 4 nächste Nachbarn (NN). Wenn z i > z c : z i z i 4 z NN z NN + 1. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
17 Erweiterung auf zwei Dimensionen Hinzufügen von räumlichen Freiheitsgraden Dynamik Quadratische Grundfläche mit offenen Rändern. Mehr Freiheitsgrade: 4 nächste Nachbarn (NN). Wenn z i > z c : z i z i 4 z NN z NN + 1. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
18 Erweiterung auf zwei Dimensionen Hinzufügen von räumlichen Freiheitsgraden Dynamik Quadratische Grundfläche mit offenen Rändern. Mehr Freiheitsgrade: 4 nächste Nachbarn (NN). Wenn z i > z c : z i z i 4 z NN z NN + 1. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
19 Lawinengrößen Ergebnisse der numerischen Simulation für 2D Beobachtungen Stationärer Prozess: Langsamer Aufbau = Lawine Lawinen auf allen Längenskalen. Exponentielles Anwachsen der Signale ermöglicht durch räumliche Freiheitsgrade. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
20 Verteilung der Lawinengrößen Ergebnisse der numerischen Simulation für 2D und 3D Beobachtungen Häufigkeit von Lawinen der Größe S: D(S) S τ τ 0.98 Potenzgesetz Skaleninvarianz M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
21 Spektrum Frage: Wie sieht die Überlagerung der Signale vieler Sandhaufen aus? Ursprüngliches Ziel (Bak): Erkläre 1/f -Rauschen. Vorgehen Stochastische Überlagerung der Lawinensignale. Gewichte mit der gemessenen Häufigkeitsverteilung D(S, T ). Spektrum S(f ) 1/f 2. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
22 Ausflug: 3D Dreidimensionales Modell: 6 nächste Nachbarn Transport: z i z i 6, z NN z NN + 1. Mehr Freiheitsgrade. Qualitativ gleiches Verhalten: D(S) S τ. Andere Exponenten, τ 1.35 (2D: τ 0.98) M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
23 Theoretische Analyse D. Dhar, 1989 Definition (Konfiguration) Definiere Konfiguration C = {z i } Menge aller Konfigurationen C = {C}. Bemerkung Eine Konfiguration C ist eine Realisierung des Sandhaufens. Die Menge aller möglichen Realisierungen bildet den Konfigurationsraum C. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
24 Umfalloperator Definition (Umfalloperator) { zj Umfalloperator U i : C C, z j ij z i > z c z j sonst 4 j = i ij = 1 j = NN 0 sonst, Bemerkung Relaxation: Anwendung von U bis alle z j < z c. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
25 Additionsoperator Definition (Additionsoperator) Additionsoperator a i : C C, z i z i + 1, anschließend Relaxation Bemerkung Der Additionsoperator a i entspricht dem Hinzufügen eines Sandkorns an die Stelle i bei gegebener Konfiguration. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
26 Lemma Lemma Die Additionsoperatoren kommutieren: [a i, a j ] = 0. Bemerkung Man darf die Reihenfolge von Addition vertauschen (trotz Lawinen). M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
27 Rekurrenz Definition Rekurrente Zustände R = {C i m i : a m i i C = C} C Folgerung Die Menge der erlaubten Konfigurationen zerfällt in transiente und rekurrente Zustände C = T R. Die Menge der transienten Zustände wird durch Anwendung der a i verlassen. Anschließend verbleibt das System dort. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
28 Satz Satz a i R invertierbar. Bemerkung Zu jedem Zustand C R gibt es genau einen Zustand C aus dem C durch Addition an der Stelle i hervorgegangen ist. Folgerung Unter der Entwicklung der a i sind alle Zustände C R R gleichwahrscheinlich. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
29 Exakte Definition der SOC Definition Der selbstorganisierte kritische Zustand (des gegebenen Modells) ist die Menge der rekurrenten Zustände R. Dabei sind unter der Zeitentwicklung des System alle Konfigurationen C R R gleichwahrscheinlich. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
30 Zusammenfassung BTW-Sandhaufen-Modell BTW Modell ist einfaches, symmetrisches Modell der Ausbreitung einer Größe z. Modell getrieben (Hinzufügen von Sandkörnern) und dissipativ. Stabilisierung um kritischen Wert, alle Konfigurationen gleichwahrscheinlich. Ausbreitung der Signale in Lawinen. Verteilung D(S) S τ, keine Längenskala, Fraktale. Spektrum S(f ) 1/f α. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
31 Gliederung 1 Einführung Zwei einfache Beispiele 2 Sandhaufen-Modell 1D 2D Theoretische Analyse 3 Kritizität und die reale Welt Lawinen Waldbrände und Erdbeben Ausblick M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
32 Sandhaufen Held et al., Phys. Rev. Lett., 65(9), Körner werden einzeln abgelegt, Lawinen als Massenverlust gemessen. Beobachtungen Für kleine Haufen (d 1.5in.) selbsorganisiert kritische Phänomene: Invarianz gegen Änderung der Haufengröße. Spektrum f (S) 1/f 2. Nicht aber für große Haufen, d 3in: Große, periodische Lawinen. Ursache unklar. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
33 Sandhaufen Held et al., Phys. Rev. Lett., 65(9), Körner werden einzeln abgelegt, Lawinen als Massenverlust gemessen. Beobachtungen Für kleine Haufen (d 1.5in.) selbsorganisiert kritische Phänomene: Invarianz gegen Änderung der Haufengröße. Spektrum f (S) 1/f 2. Nicht aber für große Haufen, d 3in: Große, periodische Lawinen. Ursache unklar. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
34 Erdrutsche Ursachen: Erbeben, Schneeschmelze und Regen Messdaten Beobachtete Häufigkeitsverteilung kein einfaches Potenzgesetz. Robust gegenüber Ursache. Dynamik kompliziert. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
35 Waldbrände Modell Feuer z breitet sich auf Nachbarn aus. Bäume wachsen nach. Messdaten Häufigkeitsverteilung Potenzgesetz: D(A) A α, α = 1.38 Modellparameter: α sim = M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
36 Erdbeben Modell Scherspannung greift an Platte an. Einzelne Elemente werden mit Federn gehalten, Spannung z i. Messdaten Gutenberg-Richter (empirisch): log ṄCE = bm + log ȧ α mess = α sim = Beweis, dass Erdbeben keine SOC Phänomen sind durch Umordnen der gemessenen Zeitreihen M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
37 Ausblick Selbstorganisierte Kritizität ist allgegenwärtig. Ökonomie Physik Barkhausen Effekt Magnetfluss in high-t Supraleitern Fluidstrom in porösen Medien... Geologie Erdrutsche Erdbeben Waldbrände Biologie Evolution Neuronale Netze SOC ist ein Transportphänomen in komplexen Systemen. M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
38 Zusammenfassung Zusammenfassung SOC allgemeines Transportphänomen. Erklärungsansatz für Verteilungen mit Potenzabhängigkeit D(S) S τ 1/f α -Rauschen Parameter τ, α hängen vom Modell ab. Natur noch etwas komplizierter. Ausblick Sandhaufen: Abelscher Sandhaufen, Manna Sandhaufen, Oslo Reishaufen... Rapid SOC,... M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
39 Literatur BAK, P., C. TANG und K. WIESENFELD: Self-organized criticality. Phys. Rev. A, 38(1):384, DHAR, D.: Exactly Solved Model of Self-Organized Critical Phenomena. Phys. Rev. Lett., 63(16):1659, TURCOTTE, D.L. und B.D. MALAMUD: Landslides, forest fires and earthquakes: Examples of self-organized critical behavior. Physica A, 340: , M. Gerstung (Uni Freiburg) Selbstorganisierte Kritizität 26. April / 31
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