Versuch: Zufälliges Ziehen aus der Population

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1 Wahrscheinlichkeit Ein Test diagnostiziert Kranke zu 99% richtig Gesunde zu 90% richtig 5% der Bevölkerung ist krank? Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand krank ist, wenn der Test dies diagnostiziert? Formulierung mit Wahrscheinlichkeiten Versuch: Zufälliges Ziehen aus der Population Mögliche Ereignisse K + : K : Proband ist krank Proband ist gesund T + : Test ist positiv ( krank ) T : Test ist negativ Ereignisse treten ein oder treten nicht ein P : Wahrscheinlichkeit P(K + ) = : wissenschaftlich 5% : informell 11 EF16 1

2 P(K + ) = 05 P (K ) = 95 Gegenereignisse Wahrscheinlichkeiten von Gegenereignissen addieren sich zu 1 P (T + K + ) = 99 P (T K ) = 9 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bedingung nur logisch nicht zeitlich nicht kausal P (T K + ) = 01 P (T + K ) = 1 Gegenereignisse? P (K + T + ) =? 11 EF16 2

3 Bildung neuer Ereignisse Allgemein : A, B : Ereignisse A B : Beide Ereignisse ( A und B ) treten ein A B = B A K + T + : Proband ist krank und Test positiv? P ( K + T + ) =? Anteil der Kranken : 05 ( P (K + ) ) Davon : Anteil positiver Tests : 99 ( P (T + K + ) ) Anteil der Kranken mit positivem Test : (05) (99) = 0495 Formal : P (T + K + ) = P (K + ) P (T + K + ) Allgemein : P(A B) = P(A B) P (B) Folgerung : P(A B) = P(A B) P(B) Formal eigentlich umgekehrt : Zweite Formel ist Definition, erste dann Folgerung P (T + K ) = P (T + K ) P (K ) = (1)(95) = EF16 3

4 Bildung neuer Ereignisse Allgemein : A, B : Ereignisse A B : Mindestens ein Ereigniss ( A oder B ) tritt ein A B = B A Spezieller Gebrauch von oder ( Nicht ausschließend ) Wahrscheinlichkeiten von Vereinigungen Nur für Spezialfall A B = : Leere Menge Unmögliches Ereignis A B = heißt A und B können nicht gemeinsam eintreten Beispiel : K + K = Ist A B =, so P (A B) = P(A) + P(B) 11 EF16 4

5 ? P (T + ) =? T + = (T + K + ) (T + K ) (T + K + ) (T + K ) = P(T + ) = P (T + K + ) + P (T + K ) P(T + ) = = 1445? P (K + T + ) =? P (K + T + ) = P (K+ T + ) P (T + ) P (K + T + ) = = Hier reicht 34 oder EF16 5

6 Ereignisse B 1,, B J heißen (paarweise) disjunkt, wenn nie zwei B j gleichzeitig eintreten können Ereignisse B 1,, B J heißen erschöpfend, wenn immer mindestens ein B j eintritt Beispiele für Ereignisse, die disjunkt und erschöpfend sind : K + und K, ebenso T + und T Totale Wahrscheinlichkeit Voraussetzung : B 1,, B J sind disjunkt und erschöpfend, alle P(B j ) > 0 A ist weiteres Ereignis P ( A ) = J P ( A B j ) P (B j ) j=1 Beispiel : J = 2, B 1 : K +, B 2 : K, A : T + P (T + ) = P (T + K + ) P (K + ) + P (T + K ) P (K ) 11 EF16 6

7 Formel von Bayes Voraussetzung : B 1,, B J sind disjunkt und erschöpfend, alle P(B j ) > 0 A ist weiteres Ereignis, P (A) > 0 Für alle k = 1,, J gilt P ( B k A ) = P ( A B k ) P ( B k ) J P ( A B j ) P (B j ) j=1 Beispiel : B 1 : K +, B 2 : K, A : T +, k = 1 P ( K + T + ) = P (T + K + ) P (K + ) P (T + K + ) P (K + ) + P (T + K ) P (K ) 11 EF16 7

8 Terminologisches P ( B 1 ),, P ( B J ) : Basisraten, a-priori-wahrscheinlichkeiten P ( A B j ) : Übergangswahrscheinlichkeiten P ( B k A ) : a-posteriori-wahrscheinlichkeiten Bayes-Formel : Änderung der Wahrscheinlichkeiten durch Zusatzinformation P ( B k ) P ( B k A ) Im Beispiel : P ( K + ) P ( K + T + ) Konkret : EF16 8

9 Illustration T + T K + K T + K + K T Flächenanalogie Allgemeiner Maßbegriff umfasst ebenso Flächen- wie W-Maße 11 EF16 9

10 Fehlerwahrscheinlichkeit Diagnoseregel 1 ( R1 ) : T + K + T K Fehler : ( T + K ) ( T K + ) Zwei Typen von Fehlern ( T + K ) ( T K + ) = P ( Fehler ) = P ( T + K ) + P ( T K + ) = = 0955 Illustration T + T K + K 11 EF16 10

11 Alternative Regel Diagnoseregel 2 ( R2 ) : T + K T K P ( Fehler ) = P ( K + ) = 05? R2 besser als R1? Nur bei gleicher Gewichtung der Fehlertypen! Kennwerte immer im Zusammenhang sehen! Weitere Kennwerte : P ( K T + ) = 66 ( P ( K + T + ) = 34 ) P ( K T ) = 9994 P ( K + T ) = EF16 11

12 Alternativszenario Jetzt : P ( K + ) = 7 P ( K + T + ) = 96 P ( K T + ) = 04 P ( K T ) = 97 P ( K + T ) = 03 P ( Fehler ) = 037 Vergleich : T + K + K T T + K + K T P(K + T + ) in Abhängigkeit von P(K + ) P(K + T + ) P(K + ) 11 EF16 12

13 Interpretation W : Wahrscheinlichkeit Wieder : P ( K + ) = 05 Bei Herrn NN ist der Test positiv Die W, dass Herr NN krank ist, ist 34? Einfaches Beispiel : Münzwurf Aussage A : Die W für Zahl ist 5 Mögliche Äußerungen : 1 Beim Werfen einer idealen Münze gilt : A 2 Beim Werfen dieser Münze gilt : A 3 Gleich wird diese Münze geworfen A 4 Gerade wurde die Münze geworfen A? Korrekt? Sinnvoll? 11 EF16 13

14 Äußerungen : 1 Beim Werfen einer idealen Münze gilt : A 2 Beim Werfen dieser Münze gilt : A 3 Gleich wird diese Münze geworfen A 4 Gerade wurde die Münze geworfen A Kommentar : 1 Tautologie 2 Frage der Angemessenheit, nicht der Richtigkeit (? ) 3? 4????? Für uns : Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf abstrakte Ereignisse Daher : 3 unsinnig, 4 erst recht Keine subjektiven Wahrscheinlichkeiten Subjektive Wahrscheinlichkeiten gibt es bei Bayesianern 11 EF16 14

15 Zitat : Aus den axiomatischen Begründungen der Geometrie, der Algebra, der Topologie und anderer mathematischer Disziplinen weiß man, dass dort davon abgesehen wird, Begriffe wie Punkt und Gerade, Zahl, Umgebung, usw inhaltlich zu definieren Ähnlich hat es sich gezeigt, dass für einen Aufbau der W-Theorie eine inhaltliche Definition von Begriffen wie Ereignis und Wahrscheinlichkeit nicht erforderlich, ja zur Vermeidung logischer Schwierigkeiten und im Hinblick auf eine möglichst umfangreiche und leichte Anwendbarkeit der Theorie nicht einmal erstrebenswert ist Wie in den genannten Disziplinen kommt es auch in der W- Theorie nur auf die formalen Eigenschaften dieser Begriffe an Heinz Bauer 11 EF16 15

16 Datenbeschreibung Gegeben sind 20 Werte einer Variablen X X : Fehleranzahl in Reaktionsexperiment 5 Durchgänge pro Versuchsperson ( Vp ) Anzahl der Vpn : n = 20 Daten : 4, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 2, 1, 2 x i : Wert von Vp i x 5 = 3 X ist quantitativ ( Gegensatz : qualitativ ) X ist diskret ( Gegensatz : kontinuierlich ) Leicht verschiedener Sprachgebrauch in der W-Theorie 12 EF16 16

17 Daten ordnen Daten : 4, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 2, 1, 2 w j : mögliche Werte ( j = 1, J ) Hier : J = 6, mögliche Werte : 0,, 5 n j : absolute Häufigkeit von w j h j := n j /n : relative Häufigkeit von w j Tabelle j w j n j h j EF16 17

18 Graphische Darstellung w j n j h j Absolute Häufigkeiten ( Balkendiagramm ) 10 ah Relative Häufigkeiten X rh X 12 EF16 18

19 Kennwerte Mittelwert : M X := 1 n n i=1 x i Kurz auch M, falls X aus Kontext klar Hier : M = = 205 Varianz : S 2 X := 1 n n (x i M) 2 i=1 Streuung, Standardabweichung : S X := S 2 X Kurz auch S 2, S, falls X aus Kontext klar Hier : S 2 = = 9475 S = 9475 = 9734 Alternativ : S 2 X = M X 2 ( M X ) 2 Hier : S 2 X = = 9475 Varianz ist Null Daten sind konstant 12 EF16 19

20 Rechentabelle i x i x i M (x i M) 2 x 2 i EF16 20

21 Graphische Darstellung Mittelwert mit Streuungsbalken S S M Mit Balkendiagramm rh X 12 EF16 21

22 Beispiele zur Streuung rh X rh X rh X rh X 12 EF16 22

23 Alternative Berechnung des Mittelwerts Daten : 4, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 0, 4, 2, 2, 1, 2 M = 1 20 ( ) Alternativ : M = 1 20 ( ) Zusammenfassen : M = 1 20 ( ) = = = 205 Allgemein : M = 1 n J j=1 n j w j = J j=1 n j n w j = J j=1 h j w j M = J j=1 w j h j 12 EF16 23

24 Ebenso : Varianz, Mittelwert von X 2 Rechentabelle w j h j w j h j w j M (w j M)h j (w j M) 2 (w j M) 2 h j wj 2 wj 2h j Sind a 1,, a m Zahlen und g 1,, g m nichtnegativ ( 0 ) mit g i = 1, so heißt m a i g i i=1 auch gewichtetes Mittel der a i mit Gewichten g i Der Mittelwert ist gewichtetes Mittel der möglichen Werte Gewichte sind die relativen Häufigkeiten Formel der totalen Wahrscheinlichkeit : J P ( A ) = P ( A B j ) P (B j ) j=1 P ( A ) ist gewichtetes Mittel der P ( A B j ) Gewichte sind die a-priori-wahrscheinlichkeiten P (B j ) 12 EF16 24

25 Erwartungswert Typische Sprechweise : Die Fehlerzahl unter Alkoholeinfluss ist größer als die ohne Alkohol? Was heißt Die Fehlerzahl unter Bedingung B? Naheliegend : Durchschnittliche Fehlerzahl, Mittelwert! Aber : Unterschiedliche Mittelwerte bei Replikationen Gegebene Daten und drei Replikationen : rh M = 205 X rh M = 240 X rh M = 245 X rh M = 220 X 13 EF16 25

26 Mittelwerte aus 100 Durchführungen : 205, 240, 245, 220, 245, 270, 175, 180, 240, 210, 195, 230, 235, 260, 265, 235, 230, 175, 230, 160, 230, 210, 220, 250, 250, 250, 210, 230, 210, 230, 230, 165, 255, 215, 230, 270, 245, 170, 255, 255, 225, 190, 200, 160, 230, 275, 230, 240, 190, 255, 200, 240, 200, 240, 205, 200, 205, 280, 195, 230, 220, 295, 180, 250, 220, 210, 180, 240, 200, 230, 205, 225, 220, 275, 205, 200, 210, 215, 215, 225, 210, 225, 230, 200, 240, 250, 230, 285, 240, 270, 280, 175, 285, 205, 225, 210, 240, 250, 240, 215? Zwischenproblem : Geeignete Zusammenfassung Klassenbildung Klasse k n k h k ( 15, 17 ] ( 17, 19 ] ( 19, 21 ] ( 21, 23 ] ( 23, 25 ] ( 25, 27 ] ( 27, 29 ] ( 29, 31 ] n k, h k : Absolute und relative Häufigkeit von Klasse k 13 EF16 26

27 Anmerkungen Schreibweisen für Intervalle ( a, b ] := {x R a < x b} a b R Statt ( a, b ] auch ] a, b ] [ a, b ] := {x R a x b} a b R ( a, b ) = ] a, b [ := {x R a < x < b} a b R [ a, b ) = [ a, b [ := {x R a x < b} [ a, ) := {x R a x} a b R a R Analog : (, b ) = (, b [ etc 13 EF16 27

28 Graphische Darstellung Klassifizierte Daten Klasse k n k h k ( 15, 17 ] ( 17, 19 ] ( 19, 21 ] ( 21, 23 ] ( 23, 25 ] ( 25, 27 ] ( 27, 29 ] ( 29, 31 ] Histogramm rh M Analog : Histogramm der absoluten Häufigkeiten 13 EF16 28

29 Histogramm rh M Geringere Streuung als bei Originaldaten Extreme Werte neutralisieren sich beim Mitteln Balkendiagramme - Histogramme Wenige unterschiedliche Daten, auch qualitativ Balkendiagramm Viele unterschiedliche quantitative Daten Histogramm Nachteil : Informationsverlust durch Klassenbildung Mittelwert und Streuung nur noch ungefähr rekonstruierbar 13 EF16 29

30 Unterschiedliche Histogramme für die gleichen Daten 5 rh rh M M 5 rh rh M M 3 rh rh M M Unterschiedlicher Eindruck je nach Wahl der Klassen 13 EF16 30

31 ? Was heißt Die Fehlerzahl unter Bedingung B? Mittelwert ist untauglich Einführung einer theoretischen Ebene Gegenstück : Empirische Ebene der Daten Theoretische Sichtweise : Die einzelnen Fehlerzahlen treten mit gewissen Wahrscheinlichkeiten auf Aus der Variable X wird eine Zufallsvariable ( Zva ) Dieser Begriff ist in der W-Theorie streng definiert Hier nur etwa : Mögliche Werte + Wahrscheinlichkeiten! Schwierigkeit ( nicht nur ) für Anfänger : Die Wahrscheinlichkeiten sind meistens unbekannt Womöglich prinzipiell Hilfskonstruktion : Olymp der Statistik 13 EF16 31

32 Wahrscheinlichkeit Zufall? Worin besteht der Zufall? Beispielsweise in Auswahl der Vpn Umgebungseinflüsse bei der Untersuchung Innere Zustände der Vpn etc Was dem Zufall überlassen bleibt, ist unterschiedlich in verschiedenen Experimenten in verschiedenen Bedingungen desselben Experiments In unterschiedlichen Experimenten / Bedingungen sind die Wn der möglichen Fehlerzahlen unterschiedlich Aus einer Variable ( informell ) werden unterschiedliche Zvan In festem Experiment : Eine Variable X ( informell ) Aber : So viele Zvan, wie Bedingungen ( X 1, X 2, ) Beispiel : ( Informelle ) Variable X : Fehlerzahl Im Experiment : verschiedene Zvan : X 1 : Fehlerzahl in Bedingung Nüchternheit X 2 : Fehlerzahl in Bedingung Alkohol 13 EF16 32

33 Verteilung Die Verteilung einer Zva X gibt an, wie wahrscheinlich die möglichen Werte x von X sind Mögliche Verteilung der Fehlerzahl X bei Nüchternheit : x P(X = x) X = x : Ereignis, dass X den Wert x annimmt In der Alkoholbedingung wäre die Verteilung anders Graphische Darstellung 1 p Bezeichnung : W-Funktion X 13 EF16 33

34 Erwartungswert Def: Der Erwartungswert E(X) einer Zva X ist E(X) := x x P(X = x) Eine Art Mittelwert auf theoretischer Ebene Gewichtetes Mittel der möglichen Werte x Gewichte : Wahrscheinlichkeiten Vergleiche : Mittelwertberechnung mit relativen Häufigkeiten Berechnungsbeispiel x P(X = x) x P(X = x) E(X) = 225 Hier ist E(X) kein möglicher Wert von X insbesondere kein erwarteter Bezeichnung für Erwartungswerte : Meist µ, µ i, etc 13 EF16 34

35 Graphische Darstellung p µ X Es gibt auch eine Streuung auf theoretischer Ebene? Was heißt Die Fehlerzahl unter Bedingung B etc? Präzisierung meist : Erwartungswert der entsprechenden Zva Diese Präzisierung ist im Vergleich zum Mittelwert M frei von Zufälligkeiten Allerdings : Erwartungswerte sind meist prinzipiell unbekannt 13 EF16 35

36 ? Wie groß sind Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte,? Meistens streng genommen prinzipiell unbekannt Finde geeignete Schätzungen Beispiel : Würfel X : Ergebnis beim Würfeln Verteilung und Erwartungswert : x P(X = x) x P(X = x) 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 6/ p µ X 13 EF16 36

37 Ein Experiment mit 60 Würfen x abs H rh X Wahre Verteilung : p µ X 13 EF16 37

38 79 Experimente mit je 60 Würfen 13 EF16 38

39 Zusammenfassung zu Gesamtexperiment mit 4740 Würfen x abs H rh X Wahre Verteilung : 3 p µ X 13 EF16 39

40 Eindruck : Es eignen sich als Schätzer die relativen Häufigkeiten für die Wahrscheinlichkeiten der Mittelwert für den Erwartungswert Je größer die Stichprobe, um so besser die Schätzung Für sehr gute Schätzungen braucht man sehr große Stichproben Schätzungen sind fehlerbehaftet Fehler sollte mit wachsendem n kleiner werden 13 EF16 40

41 Stichprobengröße und Fehler Mittelwerte beim Würfeln 2 rh Mittelwerte aus je 15 Durchgängen M 2 rh Mittelwerte aus je 30 Durchgängen M 2 rh Mittelwerte aus je 60 Durchgängen M 13 EF16 41

42 Eindruck : Je größer die Stichprobe, um so näher liegen die Mittelwerte bei µ In der Tat : M ist ein konsistenter Schätzer von µ Vertrauensintervall Mittelwert M liefert Vorstellung über die Lage von µ jedoch : Kein Hinweis auf Genauigkeit der Schätzung Ziel der Vertrauensintervalle ( Konfidenzintervalle ) : Einfangen des Erwartungswerts in einem Intervall mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit 13 EF16 42

43 Vertrauensintervall Vorbereitungen Gegeben : Stichprobe mit Werten x 1,, x n einer Variable X Stichprobenumfang : n, Mittelwert : M, Varianz : S 2 Def: Die Zahl s 2 := n n 1 S2 = 1 n 1 n ( x i M ) 2 i=1 heißt korrigierte Stichprobenvarianz, die Zahl s := s 2 korrigierte Stichprobenstreuung heißt Def: Die Zahl s/ n heißt Standardschätzfehler (des Mittelwerts) Abk: SEM ( Standard Error of Mean ) Deutung : Schätzung der Streuung von Mittelwerten von Stichproben des Umfangs n auf der Basis nur einer solchen Stichprobe Vgl S EF16 43

44 Ergebnisdarstellung mit Standardschätzfehler Situation : Experiment zu Alkohol und Reaktionsfähigkeit Zwei Bedingungen : N : Nüchternheitsbedingung A : Alkoholbedingung ( 20 g )? Sinkt die Reaktionsfähigkeit in Bedingung A? Messung mit Variable X : Fehlerzahl bei 5 Durchgängen Allgemeine Sprechweise : Untersucht wird Einfluss einer UV auf eine AV UV : Unabhängige Variable, experimentell manipuliert hier : Alkoholmenge hier : realisiert in zwei Stufen : N und A AV : Abhängige Variable ( abhängig : von der UV ) hier : Fehlerzahl X 13 EF16 44

45 Statistische Formulierung der Frage Aus Variable X werden zwei Zvan : X 1 in Bedingung N, Erwartungswert : µ 1 X 2 in Bedingung A, Erwartungswert : µ 2 Die Verteilungen von X 1 und X 2 sind unbekannt Die Erwartungswerte µ 1 und µ 2 ebenso Nicht ganz korrekte, aber griffige Sprechweise : µ 1 ist der Erwartungswert von X in Bedingung N ( 1 ) µ 2 ist der Erwartungswert von X in Bedingung A ( 2 ) Hypothese : µ 2 > µ 1 Zur Untersuchung dieser Frage : Erhebung der Daten von je 20 Vpn in Bedingung N und A 13 EF16 45

46 Untersuchungsergebnis vielleicht : Stichprobe in N liefert : M 1 = 205, S 2 1 = 9475 rh X Stichprobe in A liefert : M 2 = 285, S 2 2 = rh X Ermittlung der SEM : Stichprobe in N : s 2 1 = S2 1 = = SEM : s 1 20 = = 2233 Analog in A : SEM : EF16 46

47 Mittelwerte mit SEM N : 205 ( 2233 ) A : 285 ( 3267 ) Ergebnisdarstellung ( M ± SEM ) : X 1 N A UV M ± SEM-Bereiche Vorstellung von der Lage der µ i µ 2 > µ 1 ist nicht unplausibel 13 EF16 47

48 Unterschiedliche Fehlerbalken rh M ± S : M ± SEM : X Für SEM : Hier ist n = 20 Unterschied : M ± S : Hinweis auf Lage der Daten M ± SEM : Hinweis auf Lage des Erwartungswerts 13 EF16 48

49 Vertrauensintervall weitere Vorbereitungen Stetige ( theoretische ) Verteilungen ( mit Dichte ) Eine neue Klasse von Verteilungen von Zvan ( diskret ) Verteilung einer Zva X ist charakterisiert durch eine Dichte g g(x) X Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeiten : Die Wahrscheinlichkeit für Werte in einem Intervall ist die Fläche über dem Intervall Formal : a b g(x) X P ( X [ a, b ] ) = P ( a X b ) = b a g(x) dx 13 EF16 49

50 Eigenschaften von Dichten und stetigen Verteilungen g(x) X Die Gesamtfläche unter g muss 1 sein Sie ist die W, dass X irgendeinen Wert annimmt Die W für jeden konkreten Wert a ist 0 g(x) a X Die Fläche entartet zu einer Strecke Wahrscheinlichkeit 0 heißt nicht unmöglich 13 EF16 50

51 Zwei Klassen von Verteilungen Diskrete Verteilungen Gekennzeichnet durch W-Funktion p X Höchstens abzählbar viele mögliche Werte Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten durch Summation Stetige Verteilungen ( mit Dichte ) Gekennzeichnet durch Dichte g(x) X Überabzählbar unendlich viele mögliche Werte Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten durch Integration Alle möglichen Werte haben Wahrscheinlichkeit 0 13 EF16 51

52 t -Verteilungen Eine wichtige Klasse von stetigen Verteilungen Charakterisiert durch die sogenannten Freiheitsgrade df : degree of freedom ( Freiheitsgrad ) Für jedes n 1 gibt es eine t -Verteilung mit n df Bezeichnung : t n Beispiele für t n -Dichtefunktionen : t 100 t 10 t 3 t X 13 EF16 52

53 α-fraktile Gegeben : Stetige Zva X mit Dichte g Def: Das α-fraktil der Verteilung von X ist der Wert, der von der Verteilung rechts α abschneidet g(x) α-fraktil α X α-fraktile sind meistens tabelliert Das α-fraktil der t n -Verteilung heißt t n; α 13 EF16 53

54 Ausschnitt aus einer möglichen Tabelle mit t-fraktilen α-fraktile der t n -Verteilungen ( t n; α ) n \ α Beispiel : t 59; 025 = t X EF16 54

55 Vertrauensintervall für µ VI : Vertrauensintervall Das VI soll µ mit einer vorgegebenen W überdecken Diese W nennt man üblicherweise 1 α Das VI heißt dann auch (1 α) - VI Beispiel : Vorgegebene W : 95 95% Dann : α = 05 Das VI heißt dann auch 95% - VI ( 95 - VI ) Gegeben : Zva X mit E(X) = µ ( unbekannt ) Dazu Stichprobe vom Umfang n Mittelwert : M, korrigierte Stichprobenstreuung : s Für gegebenes α nennt man das Intervall ] M tn1; α/2 s/ n, M + t n1; α/2 s/ n [ auch (1 α) - t - VI für µ 13 EF16 55

56 Unter gewissen Voraussetzungen ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das (1 α) - t - VI für µ das unbekannte µ tatsächlich enthält, gleich (1 α) Dann trägt das VI also seinen Namen mit vollem Recht! Praktisch sind die Voraussetzungen eigentlich nie erfüllt Trotzdem gilt die W-Aussage sehr oft näherungsweise Beispiel : 60 Mal Würfeln liefert M = 3317, s = 1568? Gesucht : 95% - t - VI für µ VI ist ] M tn1; α/2 s/ n, M + t n1; α/2 s/ n [ t 59; 025 = 2001 t n1; α/2 s/ n = / 60 = 405 VI : ] , [ = ] 2912, 3722 [ Hier ist µ = EF16 56

57 Beispiel : 95% - t - VIe aus 79 Experimenten à 60 Mal Würfeln X µ!!!! 2/79 253% liegt im Toleranzbereich für 05 5% Kein Hinweis auf gravierende Verletzung des Niveaus 95% 13 EF16 57

58 VI und SEM (1 α) - t - VI : ] M tn1; α/2 s/ n, M + t n1; α/2 s/ n [ s/ n = SEM (1 α) - t - VI also auch : ] M tn1; α/2 SEM, M + t n1; α/2 SEM [ (1 α) - t - VI ist M ± SEM, vergrößert um Faktor t n1; α/2 M ± SEM ist eine Art Schablone für die t - VIe Vergrößerungsfaktor für (1 α) - t - VI : t n1; α/2 Grobe Regel ( n nicht zu klein ) : Vergrößerungsfaktor für 95% - t - VI ist etwa 2 Breite des VI wird mit Niveau (1 α) größer wird im Durchschnitt mit n kleiner Wesentlicher Faktor : 1/ n in SEM n 4-mal so groß Breite etwa 1/2-mal so groß etc 13 EF16 58

59 Beispiel : X : Fehlerzahl in Reaktionsexperiment Daten ( n = 20 ) M = 205, SEM : 2233 Ziel : (1 α) - t - VIe für α = 05, 01 t 19; 025 = 20930, t 19; 005 = rh X M ± SEM : 95% - t - VI : 99% - t - VI : ( Faktor : ) ( Faktor : ) 13 EF16 59

60 Ergebnisdarstellung mit VI ( unüblich ) Beispiel : Fehlerzahl in Reaktionsexperiment Bedingungen : N ( nüchtern ) A ( Alkohol ) Je 20 Vpn Mittelwerte ( SEM ) : N : 205 ( 2233 ), A : 285 ( 3267 ) Ergebnisdarstellung ( M ± SEM ) : X 1 N A UV Ergebnisdarstellung ( 95% - t - VI ) : X 1 N A UV 13 EF16 60

61 Interpretation des VI X : Fehlerzahl in Reaktionsexperiment ( E(X) = µ ) 20 Durchgänge liefern M = 205, SEM : % - t - VI für µ : ] 158, 252 [ Versuch einer Interpretation : Die W, dass sich µ in dem Intervall ] 158, 252 [ befindet, ist etwa 95% etwa wegen fehlender Voraussetzungen Die Interpretation bezieht sich auf ein konkretes schon eingetretenes Ereignis! Die Interpretation ist Unsinn Vgl S 57 Mögliche Interpretation : Das Intervall ] 158, 252 [ wurde nach einem Verfahren konstruiert, das ( unter gewissen Voraussetzungen ) mit einer W von 95% ein Intervall liefert, das µ enthält Hier bezieht sich die W-Aussage auf das Verfahren ( abstrakt ) 13 EF16 61

62 Zur Interpretation Richtig ist folgende Aussage : Die W, dass das sich µ in dem Intervall ] M tn1; α/2 s/ n, M + t n1; α/2 s/ n [ befindet, ist etwa 1 α Hier sind M und s gewissermaßen Zvan Das Intervall ist noch zufallsabhängig ( abstrakt ) Unsinnig wird die Aussage beim Einsetzen konkreter Werte Verwechslung von Zvan mit konkreten Werten 13 EF16 62

63 Ergänzung zu etwa? Wie groß ist die W, dass das 95% - t - VI µ enthält, wirklich? Antwortversuche für das Beispiel 60-mal Würfeln Zwei Zugangsweisen : Exakt Rechnen und Simulieren Exakt Rechnen Auflisten aller möglichen Serien von 60 Würfen Jeweils Bestimmung des zugehörigen VI Auszählen, wie oft diese VIe den Wert µ = 35 enthalten Gesuchte W ist Anzahl günstiger Serien Anzahl aller Serien Hier sind alle Serien gleich wahrscheinlich Konkret : Anzahl der Serien ist 6 60 = Benötigte Zeit ( in Jahren à 365 ) bei 5000 Serien pro Sekunde : EF16 63

64 Exakt Rechnen etwas intelligenter Statt Serien : bereits mögliche Häufigkeitsverteilungen Anzahl der möglichen Verteilungen : ( ) 65 = 65! = ! 60! Benötigte Zeit ( bei 5000 Verteilungen/sec ) : etwa 30 Minuten Mögliche Speicherprobleme Immerhin : Exakte Rechnung für kleinere Serien machbar Resultat : 1 p n p : W, dass das 95% - t - VI µ enthält n : Seriengröße 13 EF16 64

65 Ergänzung zu etwa? Wie groß ist die W, dass das 95% - t - VI µ enthält, wirklich? Zugangsweise : Simulieren Vorteil : Simulieren kann jeder Prinzip : Führe Versuch sehr oft durch bei gegebener Verteilung und virtuell Ermittle die relative Häufigkeit h günstiger Ergebnisse Benutze h als Schätzer für die gesuchte W Hier : Erzeuge sehr viele Serien von 60 Würfen Bestimme die relative Häufigkeit h, mit der das VI µ enthält Schätze das wahre Konfidenzniveau durch h 13 EF16 65

66 Virtuelles Würfeln Durch geeignete Computerprogramme Kleines Problem : Computer arbeiten deterministisch Ergebnis : nur Pseudozufallszahlen Vom wirklichen Zufall ( hoffentlich ) nicht unterscheidbar Kontrolle : Häufigkeitsverteilung von simulierten Würfen rh Der Computerwürfel scheint zu funktionieren Verbrauchte Zeit : < 02 sec Beispiel : Zwei Simulationen von 60 Würfen : Der Zufall sieht oft nicht nach Zufall aus Auch nicht in der Realität 13 EF16 66

67 Weitere Kontrolle der Simulation? Wie groß ist die W, dass das 95% - t - VI µ enthält, wirklich? Vergleich von Simulationsergebnissen mit der wahren W Größe der Serie : 20 Wahre W : 9485 Mehrere Simulationen von je Serien liefern 9517, 9515, 9505, 9436, 9483, 9499, 9486 Hinweis auf Brauchbarkeit der Simulation Rechenzeit pro Simulation : Etwa 18 sec Aufgaben pro Simulation : Serien von je 20 Würfen erzeugen Daraus die ( ) VIe bilden Feststellen der relativen Häufigkeit, mit der sie 35 enthalten Nun endlich : Anfangsfrage : Größe der Serien : 60 Mehrere Simulationen von je Serien liefern 9494, 9508, 9495, 9504, 9476, 9485, 9514 Dem VI scheint man einigermaßen trauen zu können 13 EF16 67

68 Hypothesentesten Beispielfragestellung :? Senkt Alkohol die Reaktionsleistung? Durchführung einer geeigneten Untersuchung Festlegung : Wie wird Reaktionsleistung gemessen? Beispielsweise durch Fehlerzahl X in Reaktionsexperiment Festlegung : Welche Bedingungen werden verglichen? Beispielsweise Nüchternheit ( N ) und 20 g Alkohol ( A ) Also : UV : Trunkenheitsgrad T mit zwei Stufen : A und N AV : Fehlerzahl X mit möglichen Werten 0, 1, 5 Festlegung : Wie viele Vpn? Beispielsweise 20 pro Bedingung Weitere Festlegungen Beispielsweise : Was für Vpn? Wann? Wo? 14 EF16 68

69 Formulierung der Hypothesen Unterscheide : Inhaltliche Hypothese Statistische Hypothesen Inhaltliche Hypothese : Alkohol erhöht die Fehlerzahl Ziel : Ableitung von statistischen Hypothesen Bezeichnungen : µ 1 : Erwartungswert von X in Bedingung N µ 2 : Erwartungswert von X in Bedingung A Formulierungen etwas unsauber Entsprechung der inhaltlichen Hypothese : µ 2 > µ 1 ( H 1 ) Formulierung einer Art Gegenteil Beispielsweise : µ 2 = µ 1 ( H 0 ) Ergebnis : Hypothesenpaar H 0 : Nullhypothese, H 1 : Alternativhypothese Normalerweise wird die inhaltliche Hypothese zur H 1 14 EF16 69

70 Statistische Hypothesen : H 0 : µ 2 = µ 1 H 1 : µ 2 > µ 1 Ziel : Entscheidung zwischen diesen Hypothesen Die Entscheidung beruht auf Daten Die Daten enthalten Zufallskomponenten Es ist mit Fehlentscheidungen zu rechnen H 0 : Entscheidung für H 0 H 1 : Entscheidung für H 1 Typen von Fehlern Entscheidung Wahr ist H 0 H 1 H 0 korrekt Fehler 1 Art H 1 Fehler 2 Art korrekt α : W des Fehlers 1 Art β : W des Fehlers 2 Art 14 EF16 70

71 Gesucht : Entscheidungsregel Forderung : Die W des Fehlers 1 Art soll klein bleiben Genauer : Es wird eine obere Grenze dafür vorgegeben Diese Grenze heißt auch Signifikanzniveau Bezeichnung meist α Doppeldeutigkeit von α W des Fehlers 1 Art und Signifikanzniveau Bedeutung ergibt sich jeweils aus dem Kontext Sinnvoll wären Zusätze : Fehler-W α, Signifikanzniveau α Hier gilt zunächst meistens : α ist die maximal zulässige W des Fehlers 1 Art In vielen Fällen ist dies α auch die tatsächliche Fehler-W! Bezeichnungen sind leider uneinheitlich 14 EF16 71

72 Gesucht : Entscheidungsregel Entscheidungsregeln benutzen meist sogenannte Teststatistiken Hier soll ein sogenannter t - Test durchgeführt werden Genauer : t - Test für zwei unabhängige Stichproben Bezeichnungen ( allgemein ) : n 1, n 2 : Größen der beiden Stichproben M 1, M 2 : Mittelwerte von X in den Stichproben s 2 1, s 2 2 : zugehörige korrigierte Stichprobenvarianzen n := n 1 + n 2 : Gesamtstichprobengröße Teststatistik für den t - Test : t := n 1 + n 2 n 1 n 2 M 2 M 1 (n 1 1) s (n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 Entscheidungsregel : Verwirf H 0, falls t t n2; α Verwerfen von H 0 bedeutet Entscheidung für H 1 14 EF16 72

73 Beispiel : ( Erhöht Alkohol die Fehlerzahl? ) Daten aus den beiden Gruppen ( n 1 = n 2 = 20 ) liefern M 1 = 205, s 2 1 = 9974 M 2 = 285, s 2 2 = X 1 N A T Rechnung : t = n 1 + n 2 n 1 n 2 M 2 M 1 (n 1 1) s (n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 = = t 38; 05 = H 0 kann verworfen werden ( α = 05 ) 14 EF16 73

74 Untersuchung der t - Statistik t = n 1 + n 2 n 1 n 2 M 2 M 1 (n 1 1) s (n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 Zähler : M 2 M 1 ( Mittelwertdifferenz ) Nenner Bestandteile : Zweiter Bestandteil : s 2 := (n 1 1) s (n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 Gewichtetes Mittel aus s 2 1 und s 2 2 Gewichte : ( n i 1 ) / ( n 1 + n 2 2 ) s := s 2 Erster Bestandteil : n 1 + n 2 n 1 n 2 = 1 n n 2 Spiegelt die Stichprobengrößen wider vgl SEM Insgesamt : Nenner ist eine Art Streuungsmaß 14 EF16 74

75 Untersuchung der t - Statistik t = n 1 + n 2 n 1 n 2 M 2 M 1 (n 1 1) s (n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 t wird groß bei großer Mittelwertsdifferenz M 2 M 1 bei kleinen Varianzen s 2 i bei großen Stichprobengrößen n i Große Werte von t sprechen für H 1 t erscheint als vernünftige Statistik Als sinnvoll erscheint die Entscheidungsregel : Verwirf H 0 für hinreichend große Werte von t? Was heißt hinreichend groß?? Wo ist die Grenze? Die Grenze heißt auch kritischer Wert Abkürzung : k 14 EF16 75

76 Bestimmung des kritischen Werts Unter geeigneten Voraussetzungen : Falls H 0 gilt, so hat t eine t n2 - Verteilung t n2 010 Gesuchte Entscheidungsregel bis jetzt : 1 t Verwirf H 0, falls t k ( noch unbekannt ) Unter H 0 gilt : Der Fehler 1 Art tritt auf genau dann, wenn t k gilt Die W eines Fehlers 1 Art ist die W für t k Diese W wird α genau für k = t n2; α 010 t n2 α 1 t n2; α t Damit ist t n2; α in der Tat der geeignete kritische Wert 14 EF16 76

77 Leider sind die geeigneten Voraussetzungen hier nicht erfüllt? Darf man den t - Test trotzdem durchführen? Ja, denn die Erfahrung zeigt : Der t - Test ist recht robust Das heißt : Bei nicht allzu gravierenden Verletzungen der Voraussetzungen ist die tatsächliche W eines Fehlers 1 Art immer noch etwa gleich dem Signifikanzniveau α Rechtfertigung beispielsweise mit Simulationen Beispiel einer solchen Simulation Erster Schritt : Festlegung von konkreten Verteilungen Genauer : Verteilung von X in den Bedingungen N und A Hier soll H 0 gelten Eine mögliche Wahl : Gleiche Verteilung in N und A, nämlich x P ( X = x ) Wegen gleicher Verteilung : Insbesondere µ 1 = µ 2 14 EF16 77

78 Beispiel : Wahl der gleichen Verteilung in N und A : p X Beispiel : Eine Simulation für diese Situation N : 2, 3, 3, 1, 1, 1, 0, 2, 4, 0, 4, 2, 2, 0, 3, 4, 5, 2, 0, 3 A : 1, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 2, 1, 3, 2 Kennwerte : M 1 = 21, S1 2 = 219, M 2 = 19, S2 2 = 49 t = 0533 Zweiter Schritt : Eigentliche Simulation : solche virtuellen Stichproben Ergebnis : 522 der t - Werte sind t 38; 05 = 1686 Relative Häufigkeit : 0522 Weiter Simulationen liefern 0496, 0477, 0514 Hier scheint der t - Test in Ordnung Mögliche Rechtfertigung für den untersuchten Fall : Viele andere Simulationen mit anderen H 0 - Verteilungen Oder eben : Berufung auf die Erfahrung 14 EF16 78

79 Diskussion möglicher Testergebnisse Zwei Möglichkeiten : t t n2; α und t < t n2; α Erster Fall : t t n2; α Sprechweisen : Das Ergebnis ist signifikant ( auf dem Niveau α ) t ist signifikant ( auf dem Niveau α ) Entscheidung für H 1 ( Teilweise ) Rechtfertigung : Beschränktes Risiko einer Fehlentscheidung, falls H 0 gilt α heißt gelegentlich auch Irrtumswahrscheinlichkeit Sprechweise dann : Entscheidung für H 1 bei Irrtumswahrscheinlichkeit α Versuch einer Interpretation eines signifikanten Ergebnisses Ich entscheide mich für H 1 Die Wahrscheinlichkeit, dass ich mich irre, ist höchstens ( etwa ) α! Unsinn aus den bekannten Gründen! Statistische Termini darf man fast nie wörtlich nehmen! 14 EF16 79

80 Diskussion möglicher Testergebnisse Zweiter Fall : t < t n2; α Das Ergebnis ist nicht signifikant Entscheidung für H 0? Rechtfertigung? Eine Rechtfertigung müsste auf β Bezug nehmen Über β lässt sich meist keine brauchbare Aussage machen Insbesondere könnte β oft womöglich ziemlich groß sein Entscheidung für H 0 lässt sich meist nicht rechtfertigen Jedenfalls nicht statistisch Daher : Korrektur des Entscheidungsverfahrens Signifikantes Ergebnis Entscheidung für H 1 Kein signifikantes Ergebnis keine Aussage Sprechweise bei nichtsignifikantem Ergebnis : H 0 kann nicht verworfen werden! Sehr oft wird falscher Eindruck suggeriert 14 EF16 80

81 Untersuchung von β Eigentlich müsste β neu definiert werden : W eines nichtsignifikanten Ergebnisses, falls H 1 gilt β kann ( im Prinzip ) bestimmt werden falls die Verteilungen von X 1, X 2 unter H 1 spezifiziert werden Meist sind viele Verteilungen mit H 1 verträglich H 1 heißt dann zusammengesetzt ( oder : unexakt ) Gegensatz : einfach ( oder : exakt ) Im betrachteten Fall sind beide Hypothesen zusammengesetzt β ist abhängig von dem Signifikanzniveau α den tatsächlichen Verteilungen von X den Stichprobengrößen Sprechweise auch : β ist eine Funktion von Abhängigkeit von den tatsächlichen Verteilungen Hier genauer : von den Verteilungen von X in den Bedingungen N und A 14 EF16 81

82 Untersuchung von β Hier beispielhaft mit Hilfe von Simulationen Zu spezifizieren sind α die Verteilungen von X für N und A die Stichprobengrößen Vergleichsbeispiel : α = 05 Verteilung von X 1 ( X unter N ) : x P ( X 1 = x ) Verteilung von X 2 ( X unter A ) : x P ( X 2 = x ) µ 1 = 225, µ 2 = 28 H 1 gilt n 1 = n 2 = Simulationen liefern 6101 nichtsignifikante Ergebnisse Relative Häufigkeit : 610 Hinweis auf ein großes β 14 EF16 82

83 β ist abhängig von α Je größer α um so kleiner der kritische Wert um so größer die Chance auf ein signifikantes Ergebnis um so kleiner β Beispiel : α = 1 statt 05 Kritischer Wert : t 38; 1 = 1304 ( statt 1686 ) Jetzt 4695 nichtsignifikante Ergebnisse ( statt 6101 ) β ist abhängig von der Verteilung Größere Unterschiede in den Verteilungen sollten eher zu signifikanten Ergebnissen also zu kleinerem β führen Beispiel : Änderung der Verteilung von X 2 zu x P ( X 2 = x ) µ 2 ist jetzt 37 ( statt 28 ) Jetzt 652 nichtsignifikante Ergebnisse ( statt 6101 ) 14 EF16 83

84 β ist abhängig von der Stichprobengröße Je größer die Stichproben um so genauer die Schätzungen um so größer sollte die Chance auf ein signifikantes Ergebnis und um so kleiner β werden Beispiel 1 : n 1 = n 2 = 5 ( statt 20 ) Kritischer Wert : t 8; 05 = 1860 ( statt 1686 ) Jetzt 8336 nichtsignifikante Ergebnisse ( statt 6101 ) Beispiel 2 : n 1 = n 2 = 100 ( statt 20 ) Kritischer Wert : t 198; 05 = 1653 ( statt 1686 ) Jetzt 858 nichtsignifikante Ergebnisse ( statt 6101 ) 14 EF16 84

85 Power ( 1 β ) heißt auch Power ( Güte ) des Tests Die Power ist die W für H 1, falls H 1 gilt oder : die W, mit der H 1 sich durchsetzt Die Power wird größer bei größerem Signifikanzniveau α bei größerer Verschiedenheit der Verteilungen mit wachsenden Stichprobengrößen Hier gilt sogar : Power 1 für n 1, n 2 Etwas ungenau : Mit wachsendem n wird alles signifikant Natürlich nur, wenn H 1 gilt! Gefahr korrekter, aber irrelevanter Ergebnisse Signifikanz Relevanz 14 EF16 85

86 Idealfall, graphisch Idealfall liegt hier nicht vor Graphik dennoch nützlich Hoffentlich näherungsweise richtig Dient der Veranschaulichung Verteilung von t unter H 0 : t n2 t n2? Verteilung von t unter H 1? 1 t Im Idealfall : t n2, δ Nonzentrale t - Verteilung δ : Nonzentralitätsparameter ( NZP ) Schaubild beispielsweise t n2, δ 1 t 14 EF16 86

87 t - Dichten mit unterschiedlichen NZPn 1 t Verformung ( nicht Verschiebung ) im Vergleich zu t - Dichte NZP ist Maß für Verformung Je größer NZP, um so stärker Verformung NZP wird größer mit wachsender Erwartungswertdifferenz µ 2 µ 1 mit sinkender ( theoretischer ) Streuung mit wachsendem n Bei Gültigkeit von H 1 ( und im Idealfall ) : Verteilung von t ist eine der vielen t n2, δ - Verteilungen Welche genau, ist unbekannt 14 EF16 87

88 Verteilung von t unter H 0 und H 1 ( eine H 1 - Möglichkeit im Idealfall ) H 0 H 1 Kritischer Wert k 1 t β H 0 H 1 1 k α t 1 Power β k t Power 14 EF k t

89 Power und NZP Beispiel : Wachsender NZP wegen wachsender Differenz µ 2 µ 1 Stichprobenumfang ( n = 40 ) etc soll gleich bleiben δ = 5 δ = 1 1 k Power t Power δ = k k t Power t Ähnliche Schaubilder bei wachsendem n 14 EF16 89

90 p - Werte Alternative Ergebnisbeschreibung Signifikanzniveau wird nicht explizit genannt Praktisch bei maschinellen Auswertungen Anstelle der Angabe ob signifikant auf gegebenem Niveau : p : Anteil, den der Wert der Teststatistik bei H 0 abschneidet Die Teststatistik ist hier t Typisches Beispiel einer solchen Angabe : t 38 = 19 ( p = 0325 ) t 38 bedeutet hier, dass die Zahl der df 38 ist Bezeichnung besser : t emp ( empirisches t ) statt t 38 Schaubild dazu : H 0 p 1 t t emp? Ist dieses Ergebnis signifikant auf dem 5% - Niveau? 14 EF16 90

91 t 38 = 19 ( p = 0325 ) H 0 p 1 t t emp? Ist dieses Ergebnis signifikant auf dem 5% - Niveau? Hilfsfrage : Wo liegt der kritische Wert k? k schneidet 5% ab H 0 05 p 1 t k t emp k liegt also weiter links Das Ergebnis ist signifikant auf dem 5% - Niveau t emp ist genau dann signifikant auf α - Niveau, wenn p α Alternative Definition von p : Das Niveau, auf dem t emp gerade noch signifikant wird Womöglich heißt auch p gelegentlich Irrtumswahrscheinlichkeit 14 EF16 91

92 Grenzen der Robustheit Mögliche Situation : Verteilung von X 1 ( X unter N ) : x P ( X 1 = x ) Verteilung von X 2 ( X unter A ) : x P ( X 2 = x ) µ 1 = µ 2 = 25 H 0 gilt also ( Theoretische ) Varianzen sind deutlich verschieden Fehlende Varianzhomogenität? Waren solche Situationen eigentlich gemeint? Zusätzlich : n 1 = 20, n 2 = 5 ( ungleiche Stichproben ) Signifikanzniveau : 5% Simulationen liefern 1903 signifikante t - Werte Hinweis auf deutliche Verletzung des Signifikanzniveaus Gefährliche Situation beim t - Test : Fehlende Varianzhomogenität und ungleiche Stichproben 14 EF16 92

93 Linksseitige Fragestellungen Statistische Hypothesen jetzt : H 0 : µ 2 = µ 1 H 1 : µ 2 < µ 1 H 1 : µ 2 > µ 1 heißt entsprechend rechtsseitig Testen : Gleiches Verfahren Wieder : Benutzung der t - Statistik Jetzt : Verwerfen von H 0 bei kleinen Werten α muss jetzt links abgeschnitten werden? Welches ist jetzt der kritische Wert? Die t - Verteilung ist symmetrisch ( zur y - Achse ) α t n2; α 010 t n2 α 1 t n2; α t Links wird α abgeschnitten von t n2; α 14 EF16 93

94 Linksseitiges Testen Regel für linksseitiges Testen also ( Niveau α ) : Verwirf H 0, falls t t n2; α Weitere Überlegungen : Völlig analog zum rechtsseitigen Fall Zusätzliche Überlegungen zeigen : Die Tests sind auch korrekt bei erweiterten Nullhypothesen Rechtsseitig : H 0 : µ 2 µ 1 H 1 : µ 2 > µ 1 Linksseitig : H 0 : µ 2 µ 1 H 1 : µ 2 < µ 1 Signifikanzniveau wird auch in Zusatzfällen eingehalten Alternativlösung für die linksseitige Fragestellung : Gruppen vertauschen und rechtsseitig testen 14 EF16 94

95 Zweiseitige Fragestellungen Statistische Hypothesen jetzt : H 0 : µ 2 = µ 1 H 1 : µ 2 µ 1 ( Richtung unklar schlechte inhaltliche Theorie? ) Testen : Wieder Benutzung der t - Statistik? Geeignete Entscheidungsregel? Sinnvoll jetzt : Verwerfen von H 0 bei kleinen oder großen Werten Auf beiden Seiten insgesamt α abschneiden Naheliegend : auf jeder Seite α/2 α/2 t n2; α/ t n2 α/2 t n2; α/2 t Insgesamt wird symmetrisch α abgeschnitten durch t n2; α/2 ( links ) und t n2; α/2 ( rechts ) 14 EF16 95

96 Zweiseitiges Testen Regel für zweiseitiges Testen also ( Niveau α ) : Verwirf H 0, falls t t n2; α/2 oder t t n2; α/2 Alternativ : Verwirf H 0, falls t t n2; α/2 Power zweiseitig : Power H 0 t n2; α/2 1 H 1 Power t t n2; α/2 Beide Anteile berücksichtigen! Power ist Summe aus beiden Teilflächen 14 EF16 96

97 p - Wert beim zweiseitigen Test Abschneiden jetzt zweiseitig ( symmetrisch ) Passend zum Test Beispielangabe : t 38 = 175 ( p = 088 ) Wieder t emp statt t 38 : t emp H 0 1 t t emp p t emp und t emp schneiden zusammen p ab t emp ist hier nicht signifikant auf 5% - Niveau? Ist eine gegebene p - Angabe einseitig oder zweiseitig? Zusatzinformation nötig Kontext Explizite Angabe ( zb one-tailed two-tailed ) Umrechnung : p zweiseitig = 2 p einseitig 14 EF16 97

98 Einseitige und zweiseitige Power Vergleiche Power des einseitigen und zweiseitigen t - Tests! Niveau : 5%, df : 38 t 38; 05 = 1686, t 38; 025 = 2024 Power zweiseitig H 0 H 1 Power einseitig 1 t Beim einseitigen Test ist die Power größer Praktische Konsequenz : Einseitige Fragestellungen einseitig testen! Theorien sollten möglichst zu einseitigen Fragen führen Vielleicht nochmal genauer nachdenken! 14 EF16 98

99 Beispiel für Mogeln Jemand hat eine rechtsseitige Hypothese : Alkohol steigert die Fehlerzahl Test liefert : t 38 = 19 ( p = 0325 ) Mittelwerte : M N = 324, M A = 306 Signifikant, aber leider in der falschen Richtung Erneutes Nachdenken führt zum Schluss : In der betrachteten Menge sollte Alkohol die Fehlerzahl senken Linksseitiger Test ( mit denselben Daten ) Jetzt ist das Ergebnis signifikant wie gewünscht? Problem? Insgesamt wird eigentlich zweiseitig getestet Ergebnis wird einseitig verkauft Das tatsächliche Testniveau ist doppelt so hoch wie angegeben Mögliche Folgerung : Einseitige Tests sind zu verbieten 14 EF16 99

100 Untersuchung von mehr als 2 Gruppen Wieder : Fehlerzahl nach Alkohol Zwei Experimentalgruppen ( A, A+ ), Kontrollgruppe ( N ) A, A+ : wenig bzw viel Alkohol Codierung : N 1 A 2 A+ 3 Erwartungswerte : µ 1, µ 2, µ 3 Inhaltliche Hypothese Alkohol hat eine Wirkung auf die Fehlerzahl Umsetzung in statistische Hypothesen H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 H 1 : nicht H 0 Anmerkungen : Korrekte Verneinung von H 0 : Mindestens zwei Erwartungswerte unterscheiden sich Nicht : Alle Erwartungswerte unterscheiden sich Schon gar nicht : µ 1 µ 2 µ 3 H 1 hier inhaltlich eher unbefriedigend Entspricht aber dem Standard-Auswertungsverfahren Angemessenere Wege sind möglich 14 EF16 100

101 Beispieldaten : N A A Stichproben sind unangemessen klein Zunächst : Deskriptive Aufarbeitung Gruppe N A A+ Besetzung Mittelwert korr Stichprobenvarianz Standardschätzfehler Fehler 1 N A A+ Bedingung 14 EF16 101

102 Testen der Hypothesen Suche nach einer geeigneten Teststatistik Erinnerung : t - Statistik war im wesentlichen grob : Mittelwertdifferenz durch Streuung in den Gruppen Idee einer Teststatistik hier : Varianz der Mittelwerte durch Varianz in den Gruppen Bezeichnungen : j : Index für die Bedingungen / Gruppen J : Anzahl der Gruppen n j : Gruppengrößen y ij : Wert von Vp i in Gruppe j ( i = 1,, n j ) N : Gesamtzahl der Beobachtungen ( N = j n j ) M j : Gruppenmittelwerte s 2 j : korrigierte Stichprobenvarianzen in den Gruppen M : Gesamtmittelwert Hier : J = 3, N = 11, M = 3 j n j M j s 2 j Hier ist M auch Mittelwert der M j Zufall! 14 EF16 102

103 Quadratsummen Einführung von Hilfsgrößen J SS b := n j (M j M) 2 n J j ( J SS w := (y ij M j ) 2 = (n j 1) s 2 j j=1 j=1 i=1 j=1 ) SS tot := N Gesamtvarianz SS : Sum of Squares, Quadratsumme b, w, tot : between, within, total Deutung Ersetze Daten durch M j bzw Abweichungen von den M j Neue Werte : Originaldaten, M j, Abweichungen : N A A N A A N A A Varianzen dieser Werte : SS tot /N, SS b /N, SS w /N Bei Varianzbildung wird Gruppenzugehörigkeit nicht berücksichtigt Die SS sind Vorstufen der Varianzen Im Beispiel : SS tot = 24, SS b = 8, SS w = EF16 103

104 Quadratsummenzerlegung SS tot = SS b + SS w Bis auf 1/N : Zerlegung der Gesamtvarianz in einen systematischen Anteil und einen Fehleranteil Zerlegung kann Rechnungen verkürzen Idee einer Teststatistik : Varianz der Mittelwerte durch Varianz in den Gruppen Das wäre hier (SS b /N)/(SS w /N) = SS b /SS w Tatsächlich nimmt man F := SS b/(j 1) SS w /(N J) Unterschied nur Faktor (N J)/(J 1) J 1 : Zählerfreiheitsgrade N J : Nennerfreiheitsgrade Gegen H 0 sprechen große Werte von F 14 EF16 104

105 Ergebnistabelle Weitere Bezeichnungen : MS b := SS b /(J 1) MS w := SS w /(N J) MS : Mean sum of Squares, Mittlere Quadratsumme Damit : F = MS b /MS w Tabelle Varianzquelle SS df MS F between SS b J 1 MS b F within SS w N J MS w total SS tot N 1 Im Beispiel : Varianzquelle SS df MS F between within total Das Verfahren heißt (einfaktorielle) Varianzanalyse Auch : Einwegvarianzanalyse Mit Faktor ist die UV gemeint 14 EF16 105

106 Testen der Hypothesen H 0 ist für große Werte von F zu verwerfen? Was ist groß? Hierzu : Verteilung von F unter H 0? Unter Idealbedingungen hat F eine F J1, NJ - Verteilung Idealbedingungen hier nicht erfüllt Trotzdem gilt Verteilungsaussage ( hoffentlich ) näherungsweise F - Verteilungen Eine wichtige Klasse von stetigen Verteilungen Gekennzeichnet durch Zähler- und Nennerfreiheitsgrade Für jedes n 1 und jedes m 1 gibt es eine F - Verteilung mit n Zähler- und m Nenner-df Bezeichnung : F n,m Verwendung beispielsweise in Varianzanalysen 14 EF16 106

107 Beispiele von F - Verteilungen 1 F 1, 3 F 2, 8 F 4, 9 1 F Das α - Fraktil der F n, m - Verteilung heißt F n, m; α 1 1 F n, m α F n, m; α F 14 EF16 107

108 Testen in der Varianzanalyse Entscheidungsregel ( für Niveau α ) : Verwirf H 0, falls F F J1, NJ; α Tabellen mit F n, m; α - Fraktilen Üblicherweise gibt es getrennte Tabellen für verschiedene α Beispiel : Ausschnitt aus einer Tabelle für α = 05 m \ n Im Beispiel benötigt : F 2, 8; 05 = 446 ( für 5% - Niveau ) F = 200 ist also nicht signifikant H 0 kann nicht verworfen werden Mögliche Angabe hier auch : F 2, 8 = 200 ( p = 198 ) p hier : Anteil, den F bei H 0 -Verteilung rechts abschneidet 14 EF16 108