2.6 Bestimmung der Faktorwerte ( Matrizenmanipulation bei Hauptkomponentenmethode)

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1 2.6 Bestimmung der aktorwerte ( Matrizenmanipulation bei Hauptkomponentenmethode) usgangspunkt zur Ermittlung der aktorwerte ist die Strukturgleichung Z E mn mp pn mn Z: Matrix der standardisierten Merkmalsausprägungen, : Matrix der aktorladungen (=aktormatrix), : aktorwertematrix, E: Matrix der Einzelrestfaktorwerte (merkmalsspezifischen aktoren) Zerlegung der Strukturgleichung in zwei Bestandteile: durch die aktorextraktion erklärter Teil: nicht durch die aktorextraktion erklärter Teil: E Würde man p=m setzen, könnte die Matrix der Einzelrestfaktorwerte, E, weggelassen werden, so dass die standardisierte Beobachtungsmatrix Z durch Z mn mm mn gegeben ist. Diese Matrixgleichung lässt sich einfach nach auflösen, da die aktor-matrix regulär ist (orthogonale aktoren): - Z

2 2 ufgrund der geforderten Informationsverdichtung durch die aktorenanalyse, ist p < m, so dass der Lösungsweg nicht gangbar ist. In dem Lösungsansatz der Matrizenmanipulation, n p p m ~ n m Z vernachlässigt man die Matrix der Einzelrestfaktorwerte auch für p < m. Die aktormatrix ist dann nicht mehr quadratisch, so dass sie vor der Invertierung von links mit ihrer Transponierten multipliziert wird: ~ Z Man erhält dann für die aktorwertematrix den usdruck (2.5) n m m p p p ~ n p Z Die durch Matrizenmanipulation hergeleitete aktorwertematrix (2.5) lässt sich als Kleinst-Quadrate-Schätzer interpretieren. Er wird von SPSS standardmäßig (Standardeinstellung: Regression) berechnet, sofern die aktorextraktion mit der Hauptkomponentenmethode erfolgt ist. ) ( : aktorwerte-koeffizientenmatrix

3 Im alle einer Rotation wird die unrotierte aktormatrix zur Berechnung der aktorwertematrix in SPSS durch die rotierte aktormatrix ersetzt. Die Berechnungsprozedur wird ansonsten unverändert durchgeführt. Interpretation der aktorwerte: Die Interpretation der aktorwerte ergibt sich daraus, dass sich die Eigenschaft der Standardisierung der manifesten Variablen auf die aktoren übertragen. Die gemeinsamen aktoren sind dadurch ebenfalls standardisiert, d.h. sie haben einen Mittelwert von 0 und eine Varianz und Standardabweichung von. aktorwert 0 Interpretation im Hinblick auf den betrachteten aktor Durchschnittlich > 0 Überdurchschnittlich < 0 Unterdurchschnittlich Gleichzeitig können die aktorwerte untereinander verglichen werden. olgende ussage ist beispielsweise möglich: Der aktor ist bei der i-ten statistischen Einheit Person, Region etc. stärker ausgeprägt als der aktor 2. 3

4 Matrix der aktorwerte ( Matrizenmanipulation ) und reproduzierte standardisierte Beobachtungsmatrix Beispiel 2.8: Betrachten wir zunächst die Berechnung der Werte bei den unrotierten aktorenladungen der Hauptkomponentenmethode. Bei Unabhängigkeit der aktoren (orthogonalen aktoren) hat die Matrix Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen: λ 3,562 0,000 λ 2 0,000,782 Die Inverse ( ) - ergibt sich dann einfach durch Invertierung der Eigenwerte: 0,28 0,000 0,000 0,56 Das Produkt aus der Inversen ( ) - mit der Transponierten ergibt die aktorwerte-koeffizientenmatrix: 0,267 0,074 0,256 0,34 0,242 0,222 0,080 0,50 0,25 0,024 0,28 0,478 4

5 Damit lässt sich der Kleinst-Quadrate-Schätzer ( Matrizenmanipulation ) für die aktorwertematrix berechnen: ˆ Z 0,268,7,438 0,036 0,654,66 0,44,488 0,664,738,738 0,78,023 0,855 0,77 0,577,249 0,233,224 0,59 0,535 0,350 0,954 0,240 B C D E G H I J K L nalog zur obigen Vorgehensweise lassen sich auch die Werte berechnen, die auf rechtwinklig rotierten Ladungen basieren. 3,399 0,53 0,306 0,08 0,53,945 0,08 0,536 0,277 ( ) 0,00 und schließlich ˆ ( ) Z 0,285 0,05 0,297 0,38 0,078 0,50 0,232 0,099 0,022 0,494 0,45 0,55,64,30,89,22 0,8 0,69 0,3,7 0,85,6 0,08 0,72,24,00,02 0,88 0, 0,40 0,87,28 0,49 5 0,40

6 Wir berechnen nun die reproduzierte Matrix Zˆ und die quadrierten Korrelationskoeffzienten (=Determinationskoeffizienten) der einzelnen Spalten dieser Matrix mit den entsprechenden Spalten der standardisierten Beobachtungsmatrix Z. Wie sich zeigt, stimmen die quadrierten Korrelationskoeffizienten (=Determinationskoeffizienten) mit den Kommunalitäten nach der Extraktion, d.h. mit den durch die gemeinsamen aktoren (Hauptkomponenten) erklärten Varianzanteilen der beobachteten Variablen überein. 6

7 Vergleich der standardisierten Beobachtungsmatrix Z und der reproduzierten standardisierten Beobachtungsmatrix Ẑ Standardisierten Beobachtungs Reproduzierte standardisierte Be matrix Z obachtungsmatrix Region ED 0,657 B,709 C,343 D 0,56 E 0,49,38 G 0,03 H,237 I 0,934 J 0,225 K 0,922 L 0,354 BIP,245,254,653 0,299 0,280,022 0,78 0,988,275 0,3 0,940 0,563 EL 0,073,242 2,448 0,274 0,238 0,749 0,52,4 0,822 0,256 0,73 0,0 WBIP 0,450,542 0,955 0,97,055,32 0,006 0,620 0,807 0,84,63 0,32 GEB 0,450,306,002 0,338 0,599 0,375 0,257,597,082,039,262,008 WS ED 0,470 0,342 0,866,342 0,86,596 0,40 0,06,252 0,487,29 0,995,290 0,042,453,338,089,7 0,32 0,76 0,932,038 0,373 0,530 BIP 0,404,485,729 0,39 0,353 0,860 0,040,22,03 0,29 0,890 0,482 EL 0,493,695,924 0,253 0,59 0,666 0,60,052 0,864 0,063 0,677 0,44 WBIP 0,527,247,7 0,662,4,06 0,692 0,946 0,839 0,384,23 0,385 GEB 0,2 0,970,209 0,063 0,628,077 0,59,353,38 0,223,40 0,538 WS 0,443 0,946 0,824 0,628,70,260 0,676,7,026 0,404,37 0,474 Korrelationskoeffizienten gleicher Spalten von Z und Ẑ 0,959 0,944 0,947 0,95 0,893 0,966 Determinationskoeffizienten gleicher Spalten von Z und Ẑ (=Kommunalitäten) 0,92 0,89 0,897 0,905 0,798 0,933 Ẑ hat bei der unrotierten und der rechtwinklig rotierten Lösung gleiches ussehen, so dass Ẑ hier nur einmal dargestellt werden muss. 7

8 aktorwert 0 Interpretation der aktorwerte Interpretation im Hinblick auf den betrachteten aktor Durchschnittlich > 0 Überdurchschnittlich < 0 Unterdurchschnittlich Beispiel 2.9: aktorwerte aus unrotierter Hauptkomponentenlösung Region : aktorwert in Bezug auf den aktor : -0,268 aktorwert in Bezug auf den aktor 2: -0,664 Interpretation: wenig verstädtert, eher ländlich und wenig attraktiv m stärksten verstädtert: Region I mit,249, gefolgt von B (,7) und (,66); am ländlichsten: H (-,488), C (-,438) und K (-,224) m attraktivsten: Region B (,738); am unattraktivsten: C mit,738 8

9 Darstellung der aktorwerte (auf der Basis unrotierter Ladungen) 2,0 B,5,0,5 H K II J G D I 0,0 L Werte des aktors -,5 -,0 -,5-2,0 C III E IV I -2,0 -,5 -,0 -,5 0,0,5,0,5 2,0 Werte des aktors 2 9

10 Orientierung am jeweiligen Durchschnittswert 0 Einstufung der Untersuchungsobjekte: eld aktor (Verstädterung) aktor 2 (ttraktivität) I überdurchschnittlich überdurchschnittlich II überdurchschnittlich unterdurchschnittlich III unterdurchschnittlich unterdurchschnittlich IV unterdurchschnittlich überdurchschnittlich B ist damit die einzige überdurchschnittlich verstädterte Region, die als attraktiv charakterisiert werden kann. Die grafische Darstellung legt bereits eine Gruppierung der Untersuchungsobjekte nahe ( Clusteranalyse). So sind offensichtlich G/D/J, H/K und /I ähnlich strukturiert. Bestimmung der aktorwerte (Regressionsmethode bei aktorenanalyse im engeren Sinne) Im alle einer aktorextraktion mit der aktorenanalyse im engeren Sinne (Hauptachsen-aktorenanalyse) berechnet SPSS bei der (Vor-)Einstellung Regression einen etwas von der ormel (2.5) abweichenden Regressionsschätzer für die aktorwertematrix : : aktormatrix, (2.6) R Z R: Korrelationsmatrix, R REG - : Inverse Korrelationsmatrix, Z: Standardisierte Beobachtungsmatrix 0

11 Wir wollen uns hier darauf beschränken, die Berechnung des Regressionsschätzers für unter nwendung der ormel (2.6) nachzuvollziehen. Beispiel 2.0: Bei den unrotierten aktorenladungen der aktorenanalyse im engeren Sinne ergeben sich die gesuchten aktorenwerte wie folgt. Zunächst ist R - zu berechnen. Dies führt zur Koeffizientenmatrix der aktorenwerte 0,474 0,07 0,333 0,083 0,009 0,348 R 0,049 0,260 0,08 0,030 0,206,076 Multipliziert man sie mit Z, so ergeben sich folgende aktorenwerte: 0,290 0,754,97,588,48,644 0,85 0,54 0,695,09,33 0,848 0,285,299,532 0,878,74 0,532 0,09 0,9 0,974 0,39 0,376 0,07 B C D E G H I J K L Geht man anstelle von von aus, so ergeben sich die der rechtwinkligen Rotation zugeordneten aktorenwerte. Es ist ( ) R 0,467 0,098 0,8 0,25 0,323 0,085 0,070 0,054 0,072 0,93 0,003,3

12 2 und REG Z R L K J I H G E D C B 0,3 0,670 0,20 0,865,303,324,24,25 0,57,32,46 0,630 0,353 0,809 0,029 0,955 0,90 0,26,009 0,329 0,0,852,625 0,506