Rade. Westergren Springers Mathematische Formeln

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1 Rade. Westergren Springers Mathematische Formeln

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3 Lennart Rc1de Berti! Westergren Springers Mathematische Formeln Taschenbuch fur Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschaftswissenschaftler Ubersetzt und bearbeitet von Peter Vachenauer i Springer

4 Lennart Riide Universitat G6teborg O. Fogelbergsvagen 3 S Gothenburg, Schweden Bertil Westergren Universitat G6teborg Brutavagen 6 S M6lnycke, Schweden Ubersetzer: Peter Vachenauer Technische Universitat Munchen Mathematisches Institut Arcisstra6e 21 D Munchen Titel der englischen Originalausgabe: BETA Mathematics Handbook for Science and Engineering (3rd edition). Lennart Riide, Bertil Westergren and Studentlitteratur, 1995 Mathematics Subject Classification (1991): ooa22 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Riide, Lennart: Springers mathematische Formeln : Taschenbuch fiir Ingenieure, Naturwissenschaftler, Wirtschaftswissenschaftler 1 Lennart Riide; Bertil Westergren. Dbers. und bearb. von Peter Vachenauer. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong; London; Mailand; Paris; Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer, 1996 Einheitssacht.: BETA mathematics handbook <dt.> ISBN-13: e-isbn-13: DOl: NE: Westergren, Bertil:; Vachenauer, Peter lbearb.j Dieses Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehallen. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zuhissig. Sie ist grundsatzlich vergiitungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996 Umschlaggestaltung: Kiinkel +Lopka, Ilvesheim Satz: Belichtung durch Konrad Triltsch, Wiirzburg, mit den vom Ubersetzer gelieferten Postscriptfiles; SPIN: / Gedruckt auf saurefreiem Papier

5 Vorwort 1m deutschsprachigen Raum mangelt es seit einiger Zeit an einer knappen und ubersichtlichen Formelsammlung der Mathematik, die in optimaler Kurze aile die Gebiete anspricht, die heute in der Ausbildung von Ingenieuren, Naturwissenschaftlern, Mathematikern, Physikern und Informatikern behandelt werden und fur die in der Praxis Tabellen zum Nachschlagen benotigt werden. Die zahlreichen, derzeit verwendeten "Taschenbucher" sind entweder im Laufe der Zeit viel zu umfangreich geworden - Formelsammlung und Lehrbuchersatz in einem, das fuhrt zu Folianten mit uber 1000 Seiten, die einem Studienanfanger nicht mehr zugemutet werden konnen - oder sie behandeln nur, wenn uberhaupt, den elementarsten Stoff der Linearen Algebra und Statistik. Das vorliegende Handbuch ist bis auf wenige Anderungen die deutsche Ubersetzung der dritten Auflage des BETA Mathematics Handbookfor Science and Engineering, Studentlitteratur, Lund, Schweden. Sowohl Diktion als auch Stoffauswahl und -aufbau entsprechen genau dem Stil, wie heute die Mathematik an Technischen Universitaten gelehrt wird. Besonders wertvoll sind dabei die tabellarischen Ubersichten zu den mehr abstrakten Teilen der Mathematik und nicht zuletzt die umfangreichen Tabellen zur Analysis, fur Spezielle Funktionen und fur die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Aus all diesen Grunden schatzen vor allem die in der Praxis stehenden Naturwissenschaftler in wei ten Teilen Europas das BETA-BOKEN. Die deutsche Fassung unterscheidet sich von der englischen nur darin, dab zusatzlich weitere wichtige Begriffe und Formeln aufgenommen wurden [in der Codierungstheorie (Abschnitt 1.6), in der analytischen Geometrie und fur Drehungen des Raumes (3.6 und 4.8), die Schur-Normalform und Hauptvektoren (4.10), die vollstandige Matrixmethode bei Systemen von linearen Differentialgleichungen, das Hurwitz-Kriterium (9.3 und 9.4) und die Berechnung von Fourier-Integralen mit der Residuenmethode (14.2)]. Die Abschnitte 12.1 und 13.1 wurden im Hinblick auf die Konvergenz und die punktweise Darstellung von Funktionen neu formuliert, ebenso wurde bei der Definition der Laplace-Transformation (13.5) zwischen gewohnlichen Funktionenf(x) mit Definitionsbereich x;::: 0 und verallgemeinerten Funktionen auf R unterschieden. Bedanken mochte ich mich fur die auberordentlich entgegenkommende Unterstutzung durch Herrn Lennart Rilde und den Studentlitteratur-Veriag in Schweden. Fur die Hilfe bei der Ubertragung der Abschnitte 1.6 und der Kapitel 17 und 18 danke ich Prof. Dr. W. Heise und Dr. Chr. Kredler. Besonders gerne habe ich auf die langjahrige Erfahrung meiner Kollegen L. BarnerBoi und K. Penzkofer zuruckgegriffen, ihre Vorschlage und Korrekturen habe ich gerne aufgenommen, sie fuhrten zu einer noch ubersichtlicheren Gestaltung. Zum SchluB gilt mein Dank dem bewahrten Team in der Planung und Herstellung Mathematik des Springer-Veriages, das zur raschen Auflage des Handbuches drangte und mit grobzugiger Flexibilitat und unter Einsatz aller elektronischen Ubertragungsmittel die extrem kurze Herstellungszeit ermoglichte. Munchen, im Juli 1996 Peter Vachenauer

6 4 Vorwort Vorwort zur dritten Auflage der englischen Ausgabe In der vorliegenden dritten Auflage des BETA-Mathematik-Handbuches wurden eine Reihe von Erweiterungen und Korrekturen vorgenommen. Das BETA-Handbuch deckt Grundbereiche der Mathematik, der Numerischen Analysis, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik mit vielen Anwendungen abo Das Handbuch ist fur Studenten und Dozenten der Mathematik, fiir Naturwissenschaftler und Ingenieure und fiir Praktiker, die auf diesen Bereichen arbeiten, gedacht. Ziel ist es, niitzliche Informationen in einer klaren und schnell zuganglichen Form aber bei geringem Umfang anzubieten. Das Handbuch beschrankt sich auf Definitionen, Ergebnisse, Formeln, Graphen, Skizzen und Tabellen und betont Begriffe und Methoden mit praktischen Anwendungen. Das BETA-Handbuch umfabt in 19 Kapiteln von der diskreten Mathematik bis zur Statistik alles Wissenswerte. Querverweise und ein umfangreicher Index helfen bei der Informationssuche. Numerische Tabellen der Funktionen, die auf Taschenrechnem oder PCs verfiigbar sind, wurden nicht aufgenommen. Ein- und mehrdimensionale Analysis werden in zwei getrennten Kapiteln behandelt, da diese Bereiche den Studenten in der Regel in unterschiedlichen Kursen prasentiert werden. Die Formulierung der Voraussetzungen von Lehrsatzen ist mitunter sehr knapp und nicht ganz vollstandig. Als Programmiersprache wird nur BASIC, die einfachste Sprache, verwendet. Die aufgefuhrten Befehle und Programmzeilen lassen sich leicht in jede andere Programmiersprache iibertragen. Wir sind gliicklich, dab wir auf die Erfahrung vieler unserer Kollegen zuriickgreifen konnten. Unser Dank gilt ganz speziell Johan Karlsson, Jan Petersson, Rolf Pettersson und Thomas Weibull. AuBerdem danken wir Christer Borell, Juliusz Brzezinski, Kenneth Eriksson, Carl-Henrik Fant, Kjell Holmaker, Lars Homstrom, Eskil Johnson, Jacques de Mare, Jeffrey Steif und Bo Nilsson fiir ihre hilfreiche Unterstiitzung. Fiir die dritte Auflage danken wir Jan Enger vom Royal Institute of Technology in Stockholm fur die neuen Tabellen auf Seite 462 und 475. Ebenso danken wir Seppo Mustonen von der Helsinki University in Finnland fur die Uberlassung des Algorithmus fur die Simulation einer bivariaten Normalverteilung (Seite 425) und Max Nielsen vom Odense Teknikum in Danemark fiir die verbesserte Formel zur Approximation der Normalverteilung. Mehrere Tabellen und Graphen konnten mit Erlaubnis der Herausgeber iibemommen werden, wir bedanken uns fur diese GroBziigigkeit. Dies gilt der American Statistical Association fur die Tabellen auf den Seiten 467, 483 und 487. Fiir die beiden letztgenannten Tabellen haben wir auch die Erlaubnis von Biometrika Trustees. Weiter bedanken wir uns bei der American Society for Quality Control fur die Erlaubnis zum Abdruck der Tabelle auf Seite 496 (copyright 1952 American Society for Quality Control) und bei der McGraw Hill Book Company fur die Tabelle auf Seite 477 (Original in Eisenhart, et al.: Techniques of Statistical Analysis, 1947) und schlieblich der Pergamon Press fur die Wiedergabe des Graphen auf Seite 428 (Original in L. Kosten, Stochastic Theory of Service System, 1973). Fiir jede Art von Anregungen in Bezug auf Anderungen, Erganzungen oder wegzulassende Teile und natiirlich auch iiber aile Korrekturen werden wir sehr dankbar sein. Wir stellen uns vor und hoffen, dab viele Benutzer mit dem BETA-Handbuch einen niitzlichen Fiihrer in die Welt der Mathematik in die Hand bekommen. Goteborg, 1995 Lennart Rdde, Berti! Westergren Chalmers-Technische Universitat Universitat von Goteborg, Schweden

7 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen. Diskrete Mathematik Logik Mengenlehre Biniire Relationen und Funktionen Algebraische Strukturen Graphentheorie Codierung Algebra Algebra der reellen Zahlen Zahlentheorie Komplexe Zahlen Algebraische Gleichungen Geometrie und Trigonometrie Ebene Figuren K6rper Sphiirische Trigonometrie Vektoren in der Geometrie Ebene analytische Geometrie Analytische Geometrie des Raumes Lineare Algebra Matrizen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Lineare Koordinatentransformationen Eigenwerte. Diagonalisierung Quadratische Formen Lineare Riiume Lineare Abbildungen... 1O~ 4.9 Tensoren Komplexe Matrizen

8 6 Inhaltsverzeichnis 5 Die elementaren Funktionen Uberblick Poly nome und rationale Funktionen Logarithmus, Exponentialfunktion, Potenzen und hyperbolische Funktionen Trigonometrische und Arcusfunktionen DifTerentialrechnung (Eine reelle Variable) Grundbegriffe Grenzwerte und Stetigkeit Ableitungen Monotonie. Extremwerte von Funktionen Integralrechnung Unbestimmte Integrale Bestimmte Integrale Anwendungen von Differential- und Integralrechnung Tabelle von unbestimmten Integralen Tabelle von bestimmten Integralen Folgen und Reihen Zahlenfolgen Funktionenfolgen Zahlenreihen Funktionenreihen Taylor-Reihen...: Spezielle Summen und Reihen Gewohnliche Differentialgleichungen (DGLn) Differentialgleichungen 1. Ordnung Differentialgleichungen 2. Ordnung Lineare Differentialgleichungen Allgemeine Grundlagen und Tatsachen Lineare Differenzengleichungen Mehrdimensionale Analysis Der Raum R n Flachen. Tangentialebenen Grenzwerte und Stetigkeit Differentiation Extremstellen von Funktionen Vektorwertige Funktionen

9 Inhaltsverzeichnis Doppelintegrale Dreifache Integrale Partielle Differentialgleichungen Vektoranalysis II.! Kurven Vektorfe1der Kurvenintegra1e Oberftachenintegrale Orthogonalreihen. Spezielle Funktionen Orthogona1e Systeme Orthogona1e Po1ynome Bernoulli- und Eu1er-Po1ynome Bessel-Funktionen Durch Integrale erkhirte Funktionen Sprung- und Impu1sfunktionen Funktionalanalysis Lebesgue-Integrale Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) Transformationen Trigonometrische Fourier-Reihen Fourier-Transformation Diskrete Fourier-Transformation z-transformation Laplace-Transformation Dynamische Systeme (LTI-Systeme) Hanke1- und Hilbert-Transformation Komplexe Analysis Funktionen einer komplexen VariabJen Komplexe Integration Reihenentwick1ungen Nullstellen und Singu1aritaten Konforme Abbildungen Optimierung Variationsrechnung Lineare Optimierung Nichtlineare Optimierung Dynamische Optimierung

10 8 Inhaltsverzeichnis 16 Numerische Mathematik und Programme Approximationen und Fehler Numerische Lasung von Gleichungen Interpolation Numerische Integration und Differentiation Numerische Lasung von DGLn Numerische Summation Programmieren Wahrscheinlichkeitstheorie Grundlagen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Stochastische Prozesse Algorithmen zur Berechnung von Verteilungsfunktionen Simulation Wartesysteme (Bedienungstheorie) Zuveriassigkeit Tabellen Statistik Beschreibende Statistik Punktschatzung Konfidenzintervalle Tabellen fur Konfidenzintervalle Signifikanztests Lineare Modelle Verteilungsfreie Methoden Statistische Qualitatskontrolle Faktorielle Experimente Analyse von Lebens- und Ausfallzeiten Warterbuch der Statistik Verschiedenes Verwendete Funktionen Bezeichnungen Namen- und Sachverzeichnis