Elektrodynamik - Zusammenfassung

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1 Elektrodynamik - Zusammenfassung Vorlesung: Prof. Dr. Lederer Zusammenfassung: Fabian Stutzki 22. Juli 2006 Die Zusammenfassung bezieht sich auf Elektrodynamik (SS06). Die Vorlesungen wurde von Herrn Prof. Dr. Lederer gehalten. Fehler (auch bei kleineren Tipfehlern) und Anmerkungen bitte an fabian.stutzki@uni-jena.de. Inhaltsverzeichnis Elektrostatik im Vakuum 2. Coulombsches Gesetz Elektrostatisches Feld Gausches Gesetz (Durchflutungsgesetz) Feldberechnung mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes Elektrostatisches Potentital Elektrischer Dipol Multipolentwicklung des elektrischen Potentials Elektrostatische Energie Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern (Randwertproblem der Elektrostatik) 5 2. Potential auf Leitern bekannt Problem mathematisch beschreiben Bestimmung der Greenschen Funktion Geometriekoeffizient Potential Oberflächenladungsdichte auf den Leitern Gesamtladung auf Leiter i Gesamtladung auf Leitern bekannt Elektrostatik in Dielektrika 7 3. Potentialberechnung

2 4 Magnetostatik 9 4. Magnetfeld stationärer Ströme Maxwellgleichungen Vektorpotential Multipolentwicklung Magnetfeld in Materie Kräfte und Drehmoment Energie des magnetostatischen Feldes Induktionsgesetz - langsam veränderliche Felder 2 6 Elektrodynamik 2 6. zeitliche Response Maxwellsche Gleichungen im Fourierraum Elektrodynamische Potentiale und Eichtransformationen Lorentz-Eichung Coulomb- oder transversale Eichung Energiebilanz - Poyntingscher Satz Mathematisches 6 Elektrostatik im Vakuum. Coulombsches Gesetz F 2 = q q 2 r r 2 2 r r 2 r r 2 Proportional zu r 2, Superposition möglich, Zentralkraft ( Potential).2 Elektrostatisches Feld Abstraktion auf Eigenschaft des Raumes, Feldlinien + mehrere Punktladungen Q i bei r i E(r) = lim q 0 F(r) q E(r) = i E i (r) = i Q i r r i 2 r r i r r i 2

3 kontinuierliche Ladungsverteilung Q V dv ρ(r ).3 Gausches Gesetz (Durchflutungsgesetz) Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine Oberfläche ist gleich der im Volumen enthaltenen Ladung. ε 0 E(r) df = Q V = ρ(r) dv (V ) V Die gesamte Ladungsdichte ist die Quelle des elektromagnetischen Feldes. ε 0 div E(r) = ρ(r).3. Feldberechnung mit Hilfe des Durchflutungsgesetzes nur für hohe Symmetrie praktisch: Feld einer geladenen Kugelschale Feld eines unendlich langen homogen geladenen Drahtes Feld einer unendlich ausgedehnten ebenen homogen geladenen Fläche.4 Elektrostatisches Potentital E(r) = grad ϕ(r) mit ϕ(r) = V Wegunabhängigkeit des elektrischen Feldes E(r) dr = 0 (F ) dv ρ(r) r r Dies führt auf die Poissongleichung rot E(r) = 0 ε 0 div E(r) = ε 0 div grad ϕ(r) = ρ(r) ϕ(r) = ρ(r) ε 0 3

4 .5 Elektrischer Dipol Dipol bei r 0 : ρ D (r) = p grad r δ(r r 0 ) ϕ D (r) = p (r r 0 ) r r 0 3 Elektrisches Feld für Dipol bei r 0 = 0: E D (r) = (p grad ) r r [ 3 3(r p)r = p ] r 5 r 3 r 3 Energie im äußeren Feld: W D = pe Kraft durch äußeres Feld F D = (pgrad )E Drehmoment im äußeren Feld M D = p E homog Energie eines induzierten Dipols W D = 2 pe.6 Multipolentwicklung des elektrischen Potentials Ziel: Trennung der Quelleigenschaften und des Betrachtungspunktes ϕ(r) = l=0 mit folgenden Multipolmomenten Ladung Q k k 2...k l l!r x 2l+ k x k2... x kl Q = r + p r + r 3 2 = ϕ 0 (r) + ϕ (r) + ϕ 2 (r) +... mit Ladung Q = V ρ dv ρ(r ) ϕ 0 (r) = Q r r D ij x i x j r

5 Dipolmoment mit Vektor p = V ρ dv ρ(r )r Quadrupolmoment ϕ (r) = Q i x i r 3 = pr r 3 r 2 ϕ 2 (r) = Q ij x i x j r 5 = 2 D ij x i x j r 5 r 3 mit spurfreiem, symmetrischen Tensor 2. Stufe D ij = dv ρ(r )(3x ix j r 2 δ ij ) V ρ.7 Elektrostatische Energie Energie zum Aufbau von Ladungsverteilungen (innere WW) W = N Q i ϕ j W i = i= i j = dv dv ρ(r)ρ(r ) 2 r r = dv ϕ(r)ρ(r ) 2 = DE 2 V Wechselwirkungsenergie zweier Ladungsverteilungen (äußere WW) W = dv ϕ a (r )ρ (r ) V = dv dv ρ (r)ρ a (r ) V a r r V 2 Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern (Randwertproblem der Elektrostatik) Raumladungsdichte ρ(r), Geometrie der Leiter und Ladung oder Potential auf den Leitern bekannt ϕ(r) = ρ(r) sowie ϕ i oder Q i auf L i ε 0 5

6 2. Potential auf Leitern bekannt 2.. Problem mathematisch beschreiben 2..2 Bestimmung der Greenschen Funktion Die Greensche Funktion wird bestimmt, indem eine Punktladung in den Raum gesetzt wird. Damit muss die GF folgende Bedingungen erfüllen: G(r, r ) = ε 0 δ(r r ) und G(r, r ) = 0 auf dem Rand (Bsp. Kugeloberfläche) Es bleibt ein geeignetes F zu bestimmen, das folgende Gleichung erfüllt G(r, r ) = r r + F (r, r ) mit F = 0 Für leitenden Halbraum: Ladung r = (x, y, z ) und Scheinladung bei r s = ( x, y, z ). Mit diesem Ansatz ergibt sich G Halbraum = { } r r + r r s Für leitende Kugel: Ansatz Spiegelladung in der Kugel, für die gilt: R r + A R r s = 0 Es ergeben sich A = R und r r s = R2, insgesamt als Greensche Funktion: { } r G Kugel = r r R r r R2 r r Geometriekoeffizient zum Beispiel: Γ Kugel = R r 2..4 Potential Γ i (r) = df G(r, r ) ε 0 (V i ) n ϕ(r) = ϕ ρ (r) + ϕ i Γ i 6

7 2..5 Oberflächenladungsdichte auf den Leitern η = ε 0 ϕ(r) n OF 2..6 Gesamtladung auf Leiter i Q i = η i df L i 2.2 Gesamtladung auf Leitern bekannt Lässt sich auf oberen Fall zurückführen, da über die Ladung Q i und die induzierte Ladung Q ind i das Potential ϕ i jedes Leiters berechnet werden kann. ϕ i = i C ij (Q j Q ind j ) mit Q ind j = ε 0 C ij = C ji = ε 0 = ε 2 0 (V j ) (V j ) (V j ) df ϕ ρ(r) = dfη j (r) n j (V j ) df Γ i(r) n j (V i ) df df 2 G(r, r ) n i n j 3 Elektrostatik in Dielektrika zusätzlich zu externen Ladungen sind Polarisationsladungen als Quellen des Polarisationsfeldes P zu beachten. (Mittelung über gewissen Bereich) rot E = 0 div D = ρ ext D(r) = ε 0 E + P(r) div D = ρ ext div E = ρ ges = ρ ext + ρ pol div P = ρ pol 7

8 Verschiebungs- bzw. Orientierungspolarisation: linear Vereinfachung zu P = ε 0 NαE bzw. P = Np2 0 3kT E D(r) = ε 0 E + ε 0 χ(r)e = ε 0 ε(r)e Ferroelektrika: spontane Ausrichtung unterhalb Curie-Temperatur nicht linear Übergangsbedingung für Felder: An Grenzflächen zwischen ε und ε 2 sind die tangentiale E- und normale D-Feldkomponente stetig, die normale E- und tangentiale D-Feldkomponente unstetig. Falls keine externen Ladungen vorhanden sind, gilt:. div D = ρ ext D df = Q ext = 0 Dn D n2 = 0 (V ) rot E = 0 E dr = 0 E t E t2 = 0 (F ) E t = E t2 und ε E n = ε 2 E n2 D t ε 3. Potentialberechnung für stückweise konstantes ε: = D t2 ε 2 und D n = D n2 ε 0 ε i ϕ(r) = ρ ext und zusätzlich zu den Randbedingungen noch die Übergangsbedingungen D na D ni = ε 0 ε a ϕ a n + ε 0ε i ϕ i n = η ext Es ergibt sich die bekannte Lösung für r im i-ten Gebiet ϕ(r) = dv ρ ext (r )G(r, r ) V 8

9 4 Magnetostatik stationäre Ströme führen zu zeitunabhängigem Magnetfeld. j(r) = σe(r) I = j(r) df Kontinuitätsgleichung (für beliebige Ströme und Ladungen) V ρ dv + ρ(r, t) F (V ) δq = Iδt Q + I = 0 j df = 0 + div j(r, t) = 0 4. Magnetfeld stationärer Ströme Amperesches Gesetz (Kraft von auf 2) F 2 = I ds [I 2 ds 2 (s s 2 )] c 2 L 2 s s 2 Biot-Savartsches Gesetz B(r) = µ 0 4π I L L 4.2 Maxwellgleichungen ds (r s) = µ 0 dv j(r ) r r r s 3 4π L r r 3 rot B(r) = µ 0 j(r) div B(r) = 0 B(r) dr = µ 0 I F B(r) df = 0 (F ) 4.2. Vektorpotential (V ) B = rot A rot B = rot rot A = grad div A A = µ 0 j 9

10 Coulomb-Eichung zur Entkopplung der Komponenten damit möglich: mit bekannter Lösung div A = 0 A = A + grad f A = µ 0 j A = dv G(r, r )j(r ) V 4.3 Multipolentwicklung nur bis Dipol, da B-Feld c 2 schwächer als E-Feld. A = µ 0 dv j(r ) + µ 0 dv j(r )(rr ) π r 4π r 3 V Monopolmoment verschwindet, da div B = 0 Dipolmoment A 2 = m r mit m = µ 0 4π r 3 2 V Magnetfeld eines Dipols V dv [r j(r )] B = rot A = [m r] rot = 3r(rm) mr 2 4π r 3 4π r Magnetfeld in Materie Die Wirbel des H-Feldes sind die makroskopischen Ströme, die Quellen des H-Feldes sind die Senken des Magnetisierungsfeldes M, das B-Feld ist quellenfrei. rot H = j makro div B = µ 0 div H + div M = 0 H = µ 0 [B M] Para- und Diamagnetismus: lineare χ m M = χ m + B H = µ 0 µ B mit µ = χ m + 0

11 Ferromagnetismus: Feld führt zum Umklappen weißscher Bezirke nicht lineare Beschreibung notwendig (Hysteresis) Übergangsbedingung für Felder: B n = B n2 da div B = 0 H t H t2 = [j makro ] OF da rot H = j makro 4.5 Kräfte und Drehmoment Lorentzkraft Drehmoment mit Dipolmoment F = qe + qv B = qe + Il B m = µ 0 2 N = m B r j(r ) dv Für dünne Stromfäden gilt j dv = I dr und r dr = df, sodass sich ergibt m = µ 0 2 I df 4.6 Energie des magnetostatischen Feldes analog zur Elektrostatik W = B H dv 2 V = dv A j 2 makro V j = µ 0 µ dv dv j makro(r )j makro(r) 2 4π r r Spezialfall: Ströme in dünnen Leitern im Vakuum W = 2 L iki i I k mit L ik = µ 0 4π V j V i (F i ) (F k ) ds k ds i s i s k = L ki andere Darstellung: magnetischer Fluss durch k-te Leiterschleife Φ k = L ik I i = df k B F k

12 5 Induktionsgesetz - langsam veränderliche Felder Kopplung von E und B berücksichtigen: Ein zeitlich veränderliches B-Feld (Änderung des magnetischen Flusses Φ) führt zu Wirbeln des E-Feldes. E dr = d B df (F ) dt F U ind = d dt Φ(t) In differentieller Form ergibt sich die homogene Maxwellgleichung rot E + d dt B = 0 Definition von langsam veränderlich folgt aus der Annahme D j (keine Änderung an zweiter MWGL) ω D σ ε D ωε σ Mit Induktionsgesetz und der Annahme langsam veränderlicher Felder folgen die Kirchhoffschen Regeln der Elektrotechnik: I k = 0 Knotensatz C k E dr + i k L ki I i (t) 6 Elektrodynamik = U ext k (t) Maschenregel Maxwellsche Ergänzung E zur zweiten MWGL folgt aus der Kontinuitätsgleichung. Es ergibt sich das vollständige System der Maxwellschen Gleichun- c 2 gen zu: rot E + B = 0 div B = 0 div [ε 0 E + P] = ρ ext rot µ 0 [B M] = j makro + [ε 0E + P] 2

13 Dazu gehören ferner die Materialgleichungen: P = P[E, B] M = M[E, B] j = j[e, B] Außerdem werden oft folgende Abkürzungen genutzt. Dabei gilt hinten anstehende Näherung für Verschiebungs- und Orientierungspolarisation sowie para- oder diamagnetische Medien: 6. zeitliche Response D = ε 0 E + P ε 0 εe H = µ 0 [B M] µ 0 µ B Medien reagieren nicht instantan auf Veränderung der Felder. (Äquivalent: Medien reagieren auf unterschiedliche Frequenzen unterschiedlich) Für schnelle zeitliche Veränderung wird magnetische Eigenschaft des Mediums vernachlässigt B = µ 0 H. Weitere Annahme: isotrope lineare Medien mit dielektrischer Response: P(r, t) = ε 0 dt R(r, t )E(r, t t ) mit R(r, t ) = 0 für t < 0 Endliches Gedächnis führt zu Dispersion (Frequenzabhängigkeit) über Fouriertransformation (Felder müssen im unendlichen gleich Null werden): E(r, t) = und inverse Fouriertransformation: Ē(r, ω) = 2π dωē(r, ω) exp( iωt) dte(r, t) exp(iωt) Man erhält im Frequenzraum die komplexe Suszeptibilitätsfunktion als Fouriertransformierte der Responsefunktion. Nur im Frequenzraum ist der Zusammenhang multiplikativ, im Zeitraum Faltung nötig. Der Realteil kann als Dispersion, der Imaginärteil von χ als Absorption intepretiert werden. P(r, ω) = ε 0 χ(r, ω) Ē(r, ω) χ(r, ω) = 3 dt R(r, t ) exp(iωt )

14 6.2 Maxwellsche Gleichungen im Fourierraum Zeitliche Ableitung wird im Frequenzraum zur Multiplikation mit iω, sodass sich mit der komplexen dielektrischen Funktion ε(r, ω) folgende Gleichungen ergeben: rot H(r, ω) = iωε 0 ε(r, ω) Ē(r, ω) ε(r, ω) = ε(r, ω) + i σ(r, ω) ωε Elektrodynamische Potentiale und Eichtransformationen Die homogenen Maxwellgleichungen können durch folgende Potentiale automatisch erfüllt werden: B(r, t) = rot A(r, t) E(r, t) = A(r, t) grad ϕ(r, t) Die entstehenden Potentialgleichungen sind gekoppelt: ( c ) [ 2 A(r, t) grad div A(r, t) + ] ϕ(r, t) 2 2 c 2 Über geschickte Eichung gelingt Entkopplung 6.3. Lorentz-Eichung = µ 0 j makro (r, t) ϕ(r, t) + div A(r, t) = ρ ext(r, t) ε 0 Lösung muss alle drei Gleichungen erfüllen, Lorentzeichung explizit überprüfen div A(r, t) + c 2 ϕ(r, t). = 0 A(r, t) = µ 0 j makro (r, t) ϕ(r, t) = ρ ext(r, t) ε 0 Lösung bereits aus E-Statik bekannt (Abstraktion auf allgemeines Problem): V (r, t) = q(r, t) V (r, t) = dv dt G 0 (r, r ; t, t )q(r, t ) 4

15 Nun bleibt die Greensche Funktion der zeitabhängigen Wellengleichung zu bestimmen G 0 (r, r ; t, t ) = δ(r r )δ(t t ) G 0 (r, r ; t, t c 2 ) = dv (2π) 4 k dω k 2 c 2 ω 2 eik(r r ) e ω(t t ) Die Integrale können über Betrachtungen der Funktionentheorie aufgelöst werden, sodass sich eine retardierte Greensche Funktion (erfüllt Kausalitätsanforderung: Ursache vor Wirkung) für natürliche Randbedingungen ergibt: G ret (r, r ; t, t ) = 4π r r δ Coulomb- oder transversale Eichung div A(r, t). = 0 ( t t r r c ϕ(r, t) = ρ ext(r, t) ε 0 A(r, t) = µ 0 [j makro ] transversal (r, t) Es ergibt sich folgende Lösung ϕ(r, t) = dv ρ ext(r, t ) V r r ( ) A(r, t) = µ [j 0 makro] transversal r, t r r dv c 4π v r r 6.4 Energiebilanz - Poyntingscher Satz ) rot E + B = 0 H D + rot H = j E div (E H) = H rot E E rot H E D + H B + div (E H) = je Mit dem Poyntingvektor S(r, t) = E(r, t) H(r, t) 5

16 ergibt sich E D + H B + div S = je Im Vakuum erhält man so eine lokale Energiebilanz w(r, t) + div S(r, t) = j(r, t)e(r, t) Diese Betrachtung ist für dispersive und absorptive Medien nicht mehr möglich, für die zeitlichen Mittel ergibt sich bei Monochromasie ω = ω 0 div S = 2 ω [ 0 I( Ē ] P) + I( H M) je Wird ein schmaler Frequenzbereich ω mit ω 0 ω betrachtet, so kann das Verfahren Fouriertransformierte der langsamen Amplitude eine Näherungslösung liefern. In erster Näherung ergibt sich E D + H B = ε 0ω 0 Iε(r, ω 0 ) E 2 (r, t) + µ 0 ω 0 Iµ(r, ω 0 ) H 2 (r, t) + w(r, t) 7 Mathematisches f(x) δ(x) x = δ(x) f x div B dv = B df V (V ) r r r = 4πδ(r r ) grad r (r r ) = grad r (r r ) grad r r r = r r r r 3 6