EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN MIT EINER SELBSTGEBAUTEN WÄRMEBILDKAMERA

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1 Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Physik, Professur für Didaktik der Physik EXPERIMENTELLE UNTERSUCHUNGEN MIT EINER SELBSTGEBAUTEN WÄRMEBILDKAMERA Wissenschaftliche Arbeit im Fach Physik Lehramt an Gymnasien Eingereicht von: Tom Köhler Geboren am: Erster Gutachter: Prof. Dr. Gesche Pospiech Zweiter Gutachter: Dr. Jessie Best Eingereicht am 22. Februar 2011

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3 INHALTSVERZEICHNIS 1 Einleitung Einführung Motivation Zielsetzung Physikalischer Teil Zur Natur der Wärmestrahlung Grundlegende Strahlungsgrößen Klassifizierung der Strahlungsgrößen Das weitere Vorgehen Ausstrahlung Bestrahlung Absorption Reflexion Wichtige Strahlungsgesetze Das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz Das Plancksche Strahlungsgesetz und das Wiensche Verschiebungsgesetz Das Stefan-Boltzmann-Gesetz Reale Körper und ihre Strahlungsgrößen

4 2.4.1 Emissionsgrade Diffuse Strahler und das Modell des grauen Strahlers Folgerungen aus dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz Strahlungsdurchlässige Körper Technischer Teil Technische Grundlagen Mögliche Detektionstechniken Thermoelement und Seebeck-Effekt Thermosäulen und ihre Anwendung in Pyrometern Korrektur der gemessenen Temperatur Vorstellung der Wärmebildkamera HA Aufbau der Kamera und Auswahl der Bauteile Technische Eigenschaften des TPA Kommunikation zwischen Computer und Kamera Das Messverfahren der HA Das Computerprogramm zur Aufnahme eines Wärmebildes Überprüfung der Messeigenschaften der HA Experimenteller Teil Das weitere Vorgehen Wichtige Vorbetrachtungen beim Einsatz der Kamera im Unterricht Untersuchungen zu den Strahlungskoeffizienten realer Körper Einfluss des Emissions- und Absorptionsverhaltens Untersuchungen zum Reflexionsverhalten Untersuchungen zum Transmissionsverhalten Die Paradoxie bei der Transmission an Glas Wärmestrahlung in der Küche Wie viel Milch ist noch in der Packung? Die schwebende Milch Inhaltsverzeichnis

5 4.4.3 Der versteckte Teelöffel Der Zebra-Wasserkocher Der Einfluss der Temperaturbereichsgrenzen Weitere mögliche Versuche Erwärmung einer Computer-Hauptplatine Glühlampe vs. Energiesparlampe Eine Frage der Farbe: Coole Hüte Verdunstungskühlung Beispiel für die Grenzen der HA2010: Wärmeleitungsexperiment Fazit und Zusammenfassung A Anhang 79 A.1 Übersicht über die Strahlungsgrößen A.2 Herleitung des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes A.3 Emissionsgrade ausgewählter, realer Körper A.4 Übersicht über die Bauteile der HA A.5 Bohrskizzen für die Grundplatte A.6 Schaltplan und Belegung der Anschlüsse A.7 Wichtige Kommandos zur Steuerung des TPA81 im I2C-Bus Literaturverzeichnis 98 Inhaltsverzeichnis 5

6 6 Inhaltsverzeichnis

7 1 EINLEITUNG

8 8 Kapitel 1 Einleitung

9 1.1 EINFÜHRUNG Und woher wissen Sie, dass das so ist? fragt Jana ihren Physiklehrer, als dieser der Klasse erzählt, dass nicht nur sichtbares Licht, sondern auch langwelligere Infrarotstrahlung an spiegelnden Flächen reflektiert wird. Weil dieses Infrarotlicht auch zur elektromagnetischen Strahlung wie das Licht gehört und deshalb genauso reflektiert wird! entgegnet der Lehrer. Den Rest der Stunde schwebt er gedanklich an seinen physikalischen Modellen festgenagelt durch die Theorie der elektromagnetischen Strahlung, spricht von nahem und fernem Infrarot sowie von Wärmestrahlung, die allesamt die gleichen Eigenschaften wie das sichtbare Licht haben. Sie genügen also auch dem Reflexionsgesetz! Jana hatte schon längst abgeschalten. Was hätte der Lehrer tun sollen? Natürlich gehört die Wärmestrahlung, die sich im Bereich größerer Wellenlängen an das rote, sichtbare Licht anschließt und daher oft auch (ferne) Infrarotstrahlung genannt wird, zum elektromagnetischen Spektrum. Aber es liegt eben nicht im sichtbaren Bereich, wodurch sich ein unmittelbarer Zugang zunächst schwierig gestaltet. Mit unseren Sinneszellen auf der Haut können wir schnell die Existenz der Wärmestrahlung sowie die Tatsache, dass Wärme transportiert wird, feststellen. Doch untersucht man aus physikalischer Sicht die Eigenschaften bezüglich des Strahlen- oder Wellenmodells, so stoßen wir schnell an die Grenze des Wahrnehmbaren. So sehen wir zwar das Licht einer Kerzenflamme im Spiegel, doch wird auch die Wärmestrahlung reflektiert? In die Flamme selbst können wir ein Thermometer halten, aber wo sollten wir die reflektierte Strahlung detektieren und vor allem wie? Der Lehrer wird dann mit Sicherheit kreativ und ersinnt immer einfallsreichere Experimente. Zum Nachweis, dass Wärmestrahlung an Spiegeln ebenfalls reflektiert wird, bündelt er möglicherweise die von der Kerzenflamme ausgehende Strahlung mittels zweier Hohlspiegel in einem anderen Brennpunkt. Besonders schön und aufschlussreich mag der Lehrer dieses Experiment finden, besonders langweilig der Schüler. Moderne Wärmebildkameras brechen für die Wärmestrahlung hier eine Lanze. Obwohl auch sie die Strahlung nur indirekt mittels ausgeklügelter Technik nachweisen, erwecken sie doch den Eindruck eines unmittelbaren Zugangs. Wir schließen nicht mehr mit Hilfe von Experimenten indirekt auf Eigenschaften, sondern machen sie direkt sichtbar. Sie erweitern quasi das durch unser Auge wahrnehmbare Spektrum in Richtung größerer Wellenlängen. Dieser enorme Vorteil wird bereits seit einigen Jahren in der Wirtschaft und der Industrie genutzt. An Hausfassaden zeigen sie Stellen besonders hoher Wärmeverluste auf (Wärmebrücken), in elektrischen Anlagen werden schlechte Isolierungen oder Kabelbrüche sichtbar und auch in immer mehr Feuerwehren werden Wärmebildkameras eingesetzt, um im verqualmten Brandraum verletzte Personen oder Brandherde schnell aufzuspüren. Dieses Wunderwerk der Technik hilft also u. a. Energie und damit Geld zu sparen, Gefahren zu vermeiden und Leben zu retten. Leider ist ihnen ebenfalls die Beihilfe zum Mord vorzuwerfen auch das Militär hat Wärmebildkameras für sich entdeckt. 1.1 Einführung 9

10 1.2 MOTIVATION Wärmebildkameras wandeln die langwellige Wärmestrahlung in sichtbares Licht um und ermöglichen somit einen visuellen Zugang, der leicht Begeisterung hervorrufen kann und damit ein hohes Aufmerksamkeitspotential besitzt. Daher sind Wärmebildkameras ideale Begleiter für den Physikunterricht. Wenn es da nicht ein entscheidendes Problem gäbe: die Kosten. Professionelle Kameras reißen ein Loch von mehreren Zehntausend bis über Hunderttausend Euro in die Haushaltskasse (vgl. [VAT]). Doch selbst einfachste Modelle mit geringer Auflösung und spartanischer Ausstattung schlagen noch mit einigen Tausend Euro zu Buche. Da sich an diesem Preisniveau auch in den kommenden Jahren vermutlich nur langsam etwas ändern wird, liegen Wärmebildkameras für die meisten Schulen nicht im Rahmen des Finanzierbaren. Leider ist es ja oftmals so, dass ein Fachkabinett Physik schon froh sein darf, wenn ein defektes Stromversorgungsgerät für Schüler ersetzt werden kann. Not macht bekanntlich erfinderisch, selbst wenn es nur finanzielle Not ist. So hat eine kleine Entwicklergruppe um Herrn Prof. Nordmeier der Freien Universität Berlin eine sehr kostengünstige Wärmebildkamera Low Cost entwickelt, die den grundlegenden Vorteil einer Wärmebildkamera verwirklicht: einen Körper im Bereich der Wärmestrahlung sichtbar machen. Diese Kamera haben sie auf der Frühjahrstagung der Didaktik der Physik in Bochum 2009 vorgestellt ([GHN09]). Als mir ein Nachbau dieser Kamera als Thema für meine wissenschaftliche Hausarbeit vorgeschlagen wurde, war ich sofort von der Idee begeistert, wenn auch etwas skeptisch im Hinblick auf den Programmieraufwand für das Ansprechen der Kamera. Da sich der in dieser Arbeit beschriebene Nachbau wie die Bezeichnung Nachbau auch vermuten lässt an vielen Stellen an seinem Vorbild orientiert, wird das Original hier als die Berliner Vorlage bezeichnet. 1.3 ZIELSETZUNG Die selbstgebaute Wärmebildkamera ist zwar mit ihren Anschaffungskosten von unter 300 Euro äußerst preisgünstig, dafür aber in ihrer Funktionalität, insbesondere hinsichtlich der Bildqualität und der Aufnahmegeschwindigkeit, den teuren Kameras mitunter weit unterlegen. Ziel dieser Arbeit ist es, die Einsatzmöglichkeiten dieser Kamera zu untersuchen sowie einige Versuchsvorschläge zu unterbreiten, die einen Denkanstoß für komplexere Lernprojekte im Unterricht geben können. Die Untersuchungen werden dabei im Hinblick auf folgende Fragen geleitet: 1. Welche Einschränkungen hinsichtlich der Bildqualität und Einsatzfähigkeit bestehen von technischer Seite her? 2. Welche Möglichkeiten und Einschränkungen ergeben sich aus der Natur der Wärmestrahlung (Emissionsgrade etc.)? 3. Wie ist die hohe Aufnahmezeit für ein Wärmebild bei der Auswahl der Versuche zu berücksichtigen? 10 Kapitel 1 Einleitung

11 Für die Analyse der Einsatzmöglichkeiten ist ein solides Verständnis einiger physikalischer Grundlagen unabdingbar, weshalb diese im folgenden Kapitel zunächst beleuchtet werden. Es schließt sich ein Kapitel über die technischen Grundlagen der Thermografie und den Aufbau sowie die Funktionsweise der selbst gebauten Wärmebildkamera an. Hier werden bereits einige Einschränkungen von technischer Seite sichtbar. Im vierten Kapitel wird schließlich auf die Realisierung der Zielsetzung hingearbeitet. So werden im Rahmen einiger Versuche zunächst die Grenzen für den Kameraeinsatz ausgelotet. Anschließend werden Experimente vorgestellt, die den Unterricht an den verschiedensten Stellen durch den Einsatz der Kamera bereichern können. 1.3 Zielsetzung 11

12 12 Kapitel 1 Einleitung

13 2 PHYSIKALISCHER TEIL

14 14 Kapitel 2 Physikalischer Teil

15 2.1 ZUR NATUR DER WÄRMESTRAHLUNG Besitzt ein Körper beliebigen Aggregatzustands eine thermodynamische Temperatur T > 0 K, so führen seine Atome und Moleküle Schwingungen aus, deren Stärke mit der Temperatur zunimmt 1. Nach Maxwells Theorie der Elektrodynamik senden beschleunigt bewegte Ladungen elektromagnetische Wellen aus. Der Körper gibt also permanent Energie in Form von elektromagnetischen Wellen, unter anderem charakterisiert durch ihre Wellenlänge λ, an seine Umgebung ab, und das allein auf Grund seiner positiven Temperatur. Diese Strahlung wird daher auch Wärmestrahlung oder Temperaturstrahlung genannt. Wie später noch genauer gezeigt wird, nimmt diese Strahlung einen typischen Bereich im elektromagnetischen Spektrum ein. Dieser Bereich erstreckt sich über Wellenlängen von etwa 0,1 µm bis 1000 µm und überdeckt damit auch den Bereich des sichtbaren Lichts von etwa 0,38 µm (Violett) bis 0,78 µm (Rot). Die Heraushebung sichtbares Licht ist lediglich für uns Menschen und die meisten Lebewesen auf diesem Planeten relevant, da sich laut offizieller Lehrmeinung der Evolutions-Biologen die Zäpfchen in den Augen an das Licht der Sonne angepasst haben, welches gerade in diesem Bereich liegt. Physikalisch ist er nicht bedeutender als die anderen Wellenlängenbereiche. Die Festlegung des Bereichs der Wärmestrahlung ist etwas willkürlich. Die Körper strahlen theoretisch Wellen mit noch größeren oder noch kleineren Wellenlängen ab, doch selbst bei sehr kalten oder sehr heißen Körpern ist der Anteil der Strahlung außerhalb der Grenzen von der Gesamtstrahlung nur sehr gering (vgl. [BS94], S. 519). Häufig wird statt von Wärmestrahlung auch von Infrarot-Strahlung gesprochen. Das ist jedoch nicht ganz korrekt, da das Infrarot jenseits des sichtbaren Rots beginnt und sich in Richtung größerer Wellenlängen erstreckt. Damit ist der infrarote Bereich nur ein Teil des typischen Bereichs der Wärmestrahlung, der ja bereits im Ultravioletten beginnt. Würde ein Körper Strahlung nur emittieren, so würde er permanent an Energie verlieren und immer weiter auskühlen. Spätestens beim nächsten Sonnenbad erinnern wir uns jedoch, dass ein Körper Strahlung auch reflektieren, transmittieren und zu unserem Leidwesen auch absorbieren kann. Es findet also ein Energieaustausch zwischen Körpern statt, wobei die Energie mittels elektromagnetischer Wellen übertragen wird. Diese Übertragung benötigt kein Trägermedium und erfolgt damit auch im Vakuum. Am Körper selbst findet dann eine Umwandlung von Strahlungsenergie in innere Energie und zurück statt. Bei den meisten festen Körpern und Flüssigkeiten dringt die Strahlung nur maximal 1 µm in den Körper ein, sie wird also bereits an der Oberfläche stark absorbiert. Nach außen wird folglich auch nur Strahlung aus dieser Schicht emittiert, weshalb meist von strahlenden Flächen und nicht von strahlenden Körpern gesprochen wird. Die Beschreibung der Strahlung von und auf diese Flächen wird im Folgenden präzisiert. 1 Im Rahmen der Quantenmechanik existieren diese Schwingungen auch bei T = 0 K, doch das ist praktisch kaum von Bedeutung, da der absolute Nullpunkt nie erreicht werden kann (Dritter Hauptsatz der Thermodynamik). 2.1 Zur Natur der Wärmestrahlung 15

16 2.2 GRUNDLEGENDE STRAHLUNGSGRÖSSEN Klassifizierung der Strahlungsgrößen Wir verlassen nun die mikroskopische Ebene, da die atomistische Erklärung der Vorgänge uns im weiteren nicht interessiert, sondern nur die Wärmestrahlung selbst. Die Strahlung ist dabei charakterisiert durch die Wellenlänge λ sowie bedingt durch die Temperatur T der strahlenden Fläche. Da diese Fläche im Allgemeinen nicht isotrop in alle Richtungen strahlt, ist auch die Verteilung der Strahlung auf die Richtungen im Raum zu beachten. Das vermag die Beschreibung sehr kompliziert zu gestalten. Um die Übersicht etwas zu wahren, werden nach Baehr & Stephan ([BS94]) alle weiteren Größen zur Beschreibung der Strahlung in vier Kategorien eingeteilt. Die Temperaturabhängigkeiten werden dabei nicht gesondert behandelt, da alle Größen prinzipiell temperaturabhängig sind, zum Teil explizit, zum Teil implizit über die Wellenlängenabhängigkeit. 1. Gerichtete spektrale Größen sind Größen, die sowohl die Richtungs- ( gerichtete ) als auch die Wellenlängen- ( spektrale ) Verteilung der Strahlung beschreiben. Mit ihnen ist zwar eine grundlegende und detaillierte Beschreibung der Vorgänge mögliche, jedoch sind sie in der Praxis unhandlich, da sie experimentell kaum bestimmbar sind. Mehr Bedeutung haben sie in der Theorie zur Begründung und Herleitung der weiteren Größen. 2. Hemisphärische spektrale Größen fassen alle Richtungsabhängigkeiten (mittels Integration über alle Richtungen) zusammen und geben Auskunft über die Wellenlängenverteilung der Strahlung, die auf ein Flächenelement trifft bzw. von diesem ausgeht. Hemisphärisch deshalb, weil alle zusammengefassten Richtungen nun den Halbraum über dem Flächenelement beschreiben. Ein berühmter Vertreter dieser Kategorie ist die spektrale spezifische Ausstrahlung, für die Max Planck im Jahr 1900 eine korrekte Verteilungsfunktion angeben konnte, welche als das Plancksche Strahlungsgesetz bekannt wurde. 3. Gerichtete Gesamtgrößen wahren die Richtungsverteilung, fassen dagegen aber alle Wellenlängenabhängigkeiten (mittels Integration über alle Wellenlängen) zusammen. Der Name Gesamtgrößen weist darauf hin, dass die gesamte Strahlung aus Wellen mit Wellenlängen des gesamten elektromagnetischen Spektrums bestehen kann und nicht nur aus (infinitesimalen) Teilintervallen davon. 4. Hemisphärische Gesamtgrößen fassen sowohl die Richtungs- als auch die Wellenlängenabhängigkeiten zusammen. Sie erlauben zwar keinen Rückschluss mehr auf die jeweiligen Verteilungen, genügen aber bei vielen Aufgaben, wenn z.b. nur die gesamte Strahlungsenergie, also nicht die spektrale Verteilung, interessiert und zudem einige Annahmen (isotrope Strahlung) in guter Näherung gemacht werden können Das weitere Vorgehen Es folgt eine mathematische Beschreibung der ausgesendeten Strahlung mit Hilfe von vier Größen aus jeder Größenkategorie je eine. Da ein Flächenelement nicht nur Strahlung aussenden, 16 Kapitel 2 Physikalischer Teil

17 sondern auch empfangen kann, schließt sich eine Beschreibung der Bestrahlung an. Die Fläche muss dabei nicht die gesamte eintreffende Strahlung absorbieren, ein Teil kann auch reflektiert werden. Es werden also zunächst für strahlungsundurchlässige Körper Absorptions- und Reflexionsgrade eingeführt, welche uns eine erste Bilanzgleichung liefern. Eine genauere Betrachtung des Absorptionsverhaltens führt über die Hohlraumstrahlung und den Schwarzen Körper zum Kirchhoffschen Strahlungsgesetz. Daran schließt sich das Plancksche Strahlungsgesetz an, welches für einen Schwarzen Körper die emittierte Strahlung mittels einer hemisphärischen, spektralen Größe beschreibt. Sie führt uns auch unmittelbar zum Stefan-Boltzmann-Gesetz, das die Grundlage zur technischen Realisierung unserer Wärmebildkamera bildet. Im Anschluss an diese idealen (schwarzen) Strahler folgen Betrachtungen zu realen und strahlungsdurchlässigen Strahlern. Dazu werden Emissions- und Transmissionsgrade sowie das Modell des grauen Strahlers eingeführt. Natürlich wird zur Analyse der Einsatzmöglichkeiten der Selbstbau-Wärmebildkamera nicht jede der folgenden Größen benötigt. Viele werden allerdings auch gebraucht, um wichtige Zusammenhänge und Gesetze darzustellen oder herzuleiten. Außerdem soll die theoretische Beschreibung der Wärmestrahlung hier möglichst lückenlos in einem konsistenten Rahmen dargestellt werden, weil solch eine klare Linie auch dem besseren Verständnis dient. Im Anhang A.1 ist eine Tabelle zu finden, die einen Überblick über alle vorgestellten Größen, deren Gleichungen und ihre SI-Einheiten gibt Ausstrahlung Ein Flächenelement da sendet Strahlung in den über ihn liegenden Halbraum aus 2 : den (differentiellen) Strahlungsfluss dφ. Dieser Energiestrom kann in alle Richtungen des Halbraums fließen. Zur detaillierten Beschreibung muss daher ein Koordinatensystem festgelegt werden. Für die Angabe einer Richtung im Raum benötigt man zwei Koordinaten. Wir bezeichnen den Polarwinkel zur Flächennormalen mit β und den Azimutwinkel, der in dem Flächenelement liegt, mit ϕ. Zum Abdecken des Halbraums gelten folgende Intervalle: 0 β < π, 0 ϕ < 2π Der Strahlungsfluss treffe im Abstand r zum Flächenelement da auf die Fläche da n, welche senkrecht zur Einstrahlung liegt (siehe Abbildung 2.1). Der Fläche da n ist der Raumwinkel dω = dan r 2 zugeordnet. Über die Beziehung da n = r 2 sin β dβ dϕ erhält man dω = sin β dβ dϕ. In Abbildung 2.1 ist der Strahlungsfluss d 2 Φ eingezeichnet. Das Quadrat kommt daher, da es sich um den differentiellen Fluss in Bezug auf das Raumwinkelelement dω und das Flächenelement da handelt, wobei in dem Fluss alle Wellenlängen enthalten sind; das Apostroph wird gleich noch geklärt. Wird der Fluss auch noch auf einem Wellenlängenintervall der Breite dλ betrachtet, so erhalten wir den Strahlungsfluss d 3 Φ. Für ihn wird folgender Ansatz gemacht: d 3 Φ = L λ (λ, β, ϕ, T ) cos β da dω dλ. (2.1) 2 Natürlich auch in den darunter liegenden Halbraum, doch dieser Teil strahlt in den Körper hinein und wird dort absorbiert. Wie oben bereits erwähnt, interessiert aber nur die nach außen dringende Strahlung von der Oberfläche des Körpers. 2.2 Grundlegende Strahlungsgrößen 17

18 Abbildung 2.1: Strahlungsfluss d 2 Φ durch die Fläche da n Die Funktion L λ wird spektrale Strahldichte genannt und ist eine materialspezifische Verteilungsfunktion, welche uns die Verteilung der ausgestrahlten Energie in Abhängigkeit der Richtung, in die gestrahlt wird, und der Wellenlänge angibt. Ist diese Funktion für einen bestimmten Körper bekannt, so können alle weiteren Größen aus ihr berechnet und alle Probleme mit ihr gelöst werden. Der einzige Haken: ihre experimentelle Bestimmung ist kaum durchführbar. Die spektrale Strahldichte ist eine gerichtete spektrale Größe. Auf ihren spektralen Charakter lässt der Index λ schließen. Der Faktor cos β in Gleichung 2.1 ist deshalb wichtig, weil die Strahlung bei der mathematischen Beschreibung senkrecht von einer Fläche emittiert werden muss. Daher ist das eigentliche ausstrahlende Flächenelement eine Projektion des Flächenelements da in Richtung der Austrahlung; diese Projektion ist gerade cos β da (siehe Abbildung 2.2). Abbildung 2.2: Projektion des Flächenelements in Strahlungsrichtung Wir erhalten die weiteren Größen nun durch Integration der spektralen Strahldichte a) über alle Raumwinkel (liefert hemisphärische spektrale Größe) b) über alle Wellenlängen (liefert gerichtete Gesamtgröße) c) über alle Raumwinkel und Wellenlängen (liefert hemisphärische Gesamtgröße). Zunächst wird die spektrale Strahldichte über alle Raumwinkel integriert, was die spektrale spe- 18 Kapitel 2 Physikalischer Teil

19 zifische Ausstrahlung M λ (λ, T ) liefert. Mit M λ (λ, T ) = L λ (λ, β, ϕ, T ) cos β dω HR erhalten wir durch d 2 Φ = M λ (λ, T ) dλ da. den Strahlungsfluss, den das Flächenelement da in den gesamten Halbraum (daher das Kürzel HR beim Integral) aussendet. Die spektrale spezifische Ausstrahlung M λ ist eine hemisphärische spektrale Größe und zwar eine sehr wichtige. Sie wird uns später beim Planckschen Strahlungsgesetz wieder begegnen. Integriert man die spektrale Strahldichte über alle Wellenlängen, so fällt der spektrale Charakter weg und wir erhalten die Strahldichte L(β, ϕ, T ). Mit L(β, ϕ, T ) = L λ (λ, β, ϕ, T ) dλ 0 bekommen wir durch d 2 Φ = L(β, ϕ, T ) cos β dω da den gesamten Strahlungsfluss, den das Flächenelement in das Raumwinkelelement dω und damit durch die Fläche da n aussendet. Die Strahldichte L ist eine gerichtete Gesamtgröße. Das Apostroph soll eine Unterscheidung zum Strahlungsfluss, der durch die spektrale spezifische Ausstrahlung beschrieben wird, ermöglichen. Als letztes wird noch die Integration über alle Raumwinkel und alle Wellenlängen durchgeführt, womit wir die spezifische Ausstrahlung M(T ) erhalten. Dafür kann man entweder die spektrale spezifische Ausstrahlung M λ über alle Wellenlängen oder aber die Strahldichte L über alle Raumwinkel integrieren. Mit M(T ) = M λ (λ, T ) dλ = L(β, ϕ, T ) cos β dω 0 HR erhalten wir durch dφ = M(T ) da den gesamten Wärmestrom, der über dem Flächenelement in den Halbraum emittiert wird Bestrahlung Die Definition der Bestrahlungsgrößen erfolgt völlig analog zu denen der Ausstrahlung, allerdings mit dem Unterschied, dass die Größen nun nicht mehr materialspezifisch sind. Der Körper, zu dem das bestrahlte Flächenelement da gehört, hat keinerlei Einfluss auf die Strahlung, die auf ihn trifft. Insbesondere sind die Größen jetzt nicht mehr abhängig von der Temperatur des bestrahlten Körpers. Der Strahlungsfluss, der auf das Flächenelement da trifft, wird im Folgenden mit dφ b 2.2 Grundlegende Strahlungsgrößen 19

20 bezeichnet, wobei der Index b angibt, dass es sich um Bestrahlung handelt. Analog zu Gleichung 2.1 wird die spektrale Bestrahlungsdichte K λ (λ, β, ϕ) definiert durch d 3 Φ b = K λ (λ, β, ϕ) cos β da dω dλ. (2.2) K λ ist eine Verteilungsfunktion, welche die Richtungs- und Wellenlängenverteilung der einfallenden Strahlung über da beschreibt. Sie ist also eine gerichtete spektrale Größe. Genau wie bei L λ tritt der Faktor cos β auf, da die Strahlung senkrecht auf die Projektion des Flächenelements da treffen soll. Die Integration der spektralen Bestrahlungsdichte über alle Raumwinkel liefert uns eine hemisphärische spektrale Größe, die spektrale Bestrahlungsstärke E λ (λ). Mit E λ (λ) = K λ (λ, β, ϕ) cos β dω HR erhalten wir durch d 2 Φ b = E λ (λ) dλ da den Strahlungsfluss in Abhängigkeit der Wellenlänge, der aus dem über dem Flächenelement da liegenden Halbraum auf dieses trifft. Wird nicht über die Raumwinkel, sondern über alle Wellenlängen integriert, erhalten wir die gerichtete Gesamtgröße K(β, ϕ), die sogenannte Bestrahlungsdichte. Mit K(β, ϕ) = K λ (λ, β, ϕ) dλ 0 bekommen wir durch d 2 Φ b = K(β, ϕ) cos β dω da den gesamten Strahlungsfluss, der aus einem bestimmten Raumwinkelelement auf das Flächenelement trifft. Das Apostroph nützt wieder der Unterscheidung zum vorher beschriebenen Strahlungsfluss. Die Integration über alle Raumwinkel und Wellenlängen liefert uns wieder eine hemisphärische Gesamtgröße, die Bestrahlungsstärke E. Mit E = E λ (λ) dλ = K(β, ϕ) cos β dω 0 HR erhalten wir durch dφ b = E da den gesamten Strahlungsfluss aus allen Richtungen auf das Flächenelement da. 20 Kapitel 2 Physikalischer Teil

21 2.2.5 Absorption Die soeben beschriebenen Bestrahlungsgrößen und die zugehörigen Strahlungsflüsse haben mit dem bestrahlten Körper vorerst nichts zu tun. Interessant ist nun, was mit dem Strahlungsfluss an der Oberfläche des Körpers passiert. Die Erfahrung zeigt, dass er dabei absorbiert (und in innere Energie umgewandelt), reflektiert oder transmittiert werden kann. Es wird zunächst die Absorption betrachtet. Dazu beschreiben wir den absorbierten Teil des Bestrahlungsflusses d 3 Φ b mit Hilfe des gerichteten spektralen Absorptionsgrades α λ : d 3 Φ b,abs = α λ(λ, β, ϕ, T ) d 3 Φ b. (2.3) α λ ist eine materialspezifische, dimensionslose Verhältnisgröße. Sie wird in natürlicher Weise als Quotient aus absorbierten Bestrahlungsfluss und dem einfallenden Bestrahlungsfluss definiert und hat damit folgende Grenzen: 0 α λ 1. Insbesondere ist dieser Absorptionsgrad wieder von der Temperatur der bestrahlten Fläche abhängig, aber auch von deren Oberflächenbeschaffenheit (spiegelnd, rau,...). Um auch in den anderen drei Größenkategorien Absorptionsgrade definieren zu können, müssen zunächst die entsprechenden absorbierten Strahlungsflüsse bestimmt werden. Dazu setzt man Gleichung 2.2 für d 3 Φ b in Gleichung 2.3 ein und integriert über alle Raumwinkel, alle Wellenlängen und letztlich über beides zusammen. Die Integration über alle Raumwinkel liefert d 2 Φ b,abs = α λ(λ, β, ϕ, T )K λ (λ, β, ϕ) cos β dω dλ da. HR Das ist der Teil des aus dem gesamten Halbraum kommenden Strahlungsflusses, der vom Flächenelement da in dem Wellenlängenintervall dλ absorbiert wird. Integriert man über alle Wellenlängen, so erhalten wir den absorbierten Teil des gesamten Strahlungsflusses aus einer bestimmten Raumrichtung: d 2 Φ b,abs = 0 α λ(λ, β, ϕ, T )K λ (λ, β, ϕ) dλ cos β dω da. Die Integration über alle Raumwinkel und Wellenlängen liefert den absorbierten Teil des gesamten, aus allen Richtungen auftreffenden Strahlungsflusses: dφ b,abs = α λ(λ, β, ϕ, T )K λ (λ, β, ϕ) cos β dω dλ da. 0 HR Die jeweiligen Absorptionsgrade werden nun als Quotient aus den entsprechenden absorbierten 2.2 Grundlegende Strahlungsgrößen 21

22 und einfallenden Strahlungsflüssen definiert: Gerichteter spektraler Absorptionsgrad Hemisphärischer spektraler Absorptionsgrad Gerichteter Gesamt-Absorptionsgrad Hemisphärischer Gesamt-Absorptionsgrad α λ (λ, β, ϕ, T ) := d3 Φ b,abs d 3 Φ b α λ (λ, T ) := d2 Φ b,abs d 2 Φ b α (β, ϕ, T ) := d2 Φ b,abs d 2 Φ b α(t ) := dφ b,abs dφ b Zu beachten ist, dass lediglich α λ ein reine Materialgröße ist. Die anderen Absorptionsgrade hängen zusätzlich von der Richtungs- und Wellenlängenverteilung der eintreffenden Strahlung ab, die durch K λ (λ, β, ϕ) mit in die Gleichungen für die absorbierten Anteile der Strahlungsflüsse einfließen. Die Apostrophe dienen zur Unterscheidung, wenn die freien Parameter nicht mit angegeben werden Reflexion Für einen strahlungsundurchlässigen Körper gilt aus Energiegründen: der Teil der einfallenden Strahlung, der nicht absorbiert wird, wird reflektiert. Nun könnte man naiv herangehen und Reflexionsgrade auf eine analoge Weise wie bei den Absorptionsgraden einführen. Doch so einfach ist die Sache bei der Reflexion nicht. Bei der Absorption interessierte uns nur die Tatsache, dass ein Teil der Strahlung absorbiert wird. Wie genau dieser Teil des Strahlungsflusses dabei in innere Energie umgewandelt wird, ist für die makroskopische Betrachtung der Wärmestrahlung irrelevant. Bei der Reflexion dagegen muss man schauen, wie der reflektierte Teil genau reflektiert wird. Das kann auf sehr unterschiedliche Weise geschehen, wobei es zwei ideale Grenzfälle gibt: die ideale spiegelnde Reflexion und die ideale diffuse Reflexion. Abbildung 2.3: Spiegelnde Reflexion Abbildung 2.4: Diffuse Reflexion Bei der spiegelnden Reflexion gehorcht die Strahlung dem klassischen Reflexionsgesetz, welches 3 Bei der Ausstrahlung und Bestrahlung wurde diese Unterscheidung durch verschiedene Buchstaben deutlich, also L und M bzw. K und E. Bei Absorptionsgraden sowie allen weiteren einzuführenden Koeffizienten ist es jedoch sinnvoller, bei einem Buchstaben zu bleiben. 22 Kapitel 2 Physikalischer Teil

23 aus der Schule bekannt ist. Der reflektierte Strahl steht im gleichen Winkel zum Lot wie der einfallende Strahl und beide Strahlen liegen zusammen mit dem Lot in einer Ebene. In unserem auf das Flächenelement da bezogene Koordinatensystem heißt das mathematisch, dass der unter den Winkeln β und ϕ einfallende Strahl unter den Winkeln β r = β und ϕ r = ϕ + π reflektiert wird. Bei diffuser Reflexion wird die einfallende Strahlung gleichmäßig über alle Winkel β r und ϕ r reflektiert, der reflektierte Strahlungsfluss ist also über alle Raumwinkel des Halbraums gleich groß. Reale Körper reflektieren die einfallende Strahlung in einer Weise, die zwischen diesen idealen Grenzfällen liegt. Blank polierte Flächen, insbesondere Metallflächen, reflektieren in guter Näherung spiegelnd. Matte und raue Flächen dagegen reflektieren sehr diffus. Doch hier tritt gleich ein weiteres Problem zu Tage: das Reflexionsverhalten ist abhängig von der Wellenlänge der einfallenden Strahlung. Für langwellige Strahlung kann eine matte Oberfläche zu spiegelnder Reflexion führen, während kurzwellige Strahlung an einer scheinbar glatten Oberfläche diffus reflektiert werden kann. Will man das Reflexionsverhalten der Strahlung mathematisch exakt erfassen, so müssen also neben den Einfallswinkeln β und ϕ auch das Ausfallswinkelpaar (β r, ϕ r ) betrachtet werden, was zu sogenannten gerichtet-gerichteten Reflexionsgraden führt. Dies wäre für das Hauptanliegen dieser Arbeit allerdings nicht zielführend, daher beschränken wir uns auf die Fälle, wo zur Beschreibung der reflektierten Strahlung das Einfallswinkelpaar ausreicht. Dieser Fälle gibt es genau zwei: es sind die bereits erwähnten Grenzfälle. Für sie ist das eingangs erwähnte naive, zu den Absorptionsgraden analoge Vorgehen anwendbar. Ohne große Worte werden die Größen hier nur aufgeführt. Die reflektierten Strahlungsflüsse d 3 Φ b,ref = ρ λ(λ, β, ϕ, T ) d 3 Φ b d 2 Φ b,ref = ρ λ(λ, β, ϕ, T )K λ (λ, β, ϕ) cos β dω dλ da d 2 Φ b,ref = dφ b,ref = HR 0 ρ λ(λ, β, ϕ, T )K λ (λ, β, ϕ) dλ cos β dω da ρ λ(λ, β, ϕ, T )K λ (λ, β, ϕ) cos β dω dλ da 0 HR führen zu den jeweiligen Reflexionsgraden: Gerichteter spektraler Reflektionsgrad Hemisphärischer spektraler Reflektionsgrad Gerichteter Gesamt-Reflektionsgrad Hemisphärischer Gesamt-Reflektionsgrad ρ λ (λ, β, ϕ, T ) := d3 Φ b,abs d 3 Φ b ρ λ (λ, T ) := d2 Φ b,abs d 2 Φ b ρ (β, ϕ, T ) := d2 Φ b,abs d 2 Φ b ρ(t ) := dφ b,abs dφ b Die zu Beginn des Abschnitts erwähnte Energiebilanz äußert sich mathematisch in der Gleichung d 3 Φ b,ref + d 3 Φ b,abs = d 3 Φ b. 2.2 Grundlegende Strahlungsgrößen 23

24 Dividiert man diese Gleichung durch d 3 Φ b, so erhält man die Beziehung ρ λ(λ, β, ϕ, T ) + α λ(λ, β, ϕ, T ) = 1. (2.4) Diese Beziehung lässt sich entsprechend auch für die drei anderen Absorptions- und Reflexionsgrade ableiten. Sie sagen uns, dass diese körperspezifischen Koeffizienten nicht unabhängig voneinander sind. 2.3 WICHTIGE STRAHLUNGSGESETZE Wir haben an dieser Stelle ein grundlegendes Repertoire an Strahlungsgrößen, die allesamt noch recht inhaltsleer sind. Das wird sich jetzt ändern, da die eingeführten Größen in Beziehungen zueinander gestellt werden, um damit wichtige Gesetzmäßigkeiten darzustellen oder sogar abzuleiten Das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz Im Abschnitt wurde bereits darauf hingewiesen, dass die spektrale Strahldichte eines Körpers vom Körper selbst abhängt; sie ist eine Materialfunktion. Wir können an dieser Stelle bereits einen Zusammenhang zwischen dem Emissionsverhalten eines Körpers und dessen Absorptionsvermögen herleiten. Dieser Zusammenhang wurde nach seinem Entdecker Gustav Robert Kirchhoff ( ) benannt. Die genaue Herleitung des Gesetzes ist hier nicht zweckdienlich und kann daher im Anhang A.2 nachvollzogen werden. Kirchoff dachte sich einen adiabaten und evakuierten Hohlraum, der sich im thermodynamischen Gleichgewichtszustand befinden soll. Das heißt, dass die Hohlraumwände überall die gleiche Temperatur T besitzen und die den Hohlraum erfüllende Wärmestrahlung, die sogenannte Hohlraumstrahlung, völlig homogen und isotrop ist. Nun setzte er gedanklich einen kleinen Körper hinein mit der Eigenschaft, dass er sämtliche auf ihn einfallende Strahlung absorbiert, bei dem also alle Absorptionskoeffizienten gleich eins sind. Auf Grund dieser Eigenschaft wird der Körper auch Schwarzer Körper genannt, da kein Teil der einfallenden Strahlung reflektiert wird. Nachdem der Körper die Temperatur T angenommen hat, befindet sich nun das gesamte System aus Hohlraum und Schwarzem Körper in einem Gleichgewichtszustand. Das heißt, dass der vom Körper absorbierte Strahlungsfluss durch einen eigenen, emittierten Strahlungsfluss ersetzt werden muss, wobei der emittierte Strahlungsfluss in jeder Wellenlänge und jedem Raumwinkel exakt dem absorbierten Strahlungsfluss gleichen muss. Da die Hohlraumstrahlung homogen und isotrop ist, muss auch der Schwarze Körper homogen und isotrop strahlen, oder mit anderen Worten: diffus. Seine spektrale Strahldichte L λs = L λs (λ, T ) hängt also nicht von dem Winkelpaar (β, ϕ) ab. Der Index s soll auf den Schwarzen Körper hinweisen. Denkt man sich nun statt des schwarzen Körpers einen Körper mit beliebigen Absorptionskoeffizienten, so muss auch dieser den absorbierten Strahlungsfluss durch einen emittierten Strahlungsfluss ersetzen. Diese Ausstrahlung muss nun nicht mehr diffus sein, da der gerichtete spektrale 24 Kapitel 2 Physikalischer Teil

25 Absorptionskoeffizient α λ (λ, β, ϕ, T ) von der Richtung der einfallenden Strahlung abhängig sein kann. Doch viel wichtiger ist der Zusammenhang zur Ausstrahlung des Schwarzen Körpers: L λ (λ, β, ϕ, T ) = α λ(λ, β, ϕ, T ) L λs (λ, T ) (2.5) Da die Ausstrahlung des Schwarzen Körpers der Hohlraumstrahlung gleicht, bedeutet diese Gleichung in Worten: der Körper mit der thermodynamischen Temperatur T emittiert in jedes Raumwinkelelement und jedes Wellenlängenintervall genau den Strahlungsfluss, den er dort vom Bestrahlungsfluss eines Schwarzen Körpers der Temperatur T absorbiert hat. Dieser wichtige Zusammenhang zwischen Absorptions- und Emissionsvermögen eines Körpers wurde bekannt unter der einfachereren Formulierung: gute Absorber sind auch gute Emitter. Das ist das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz. Aus der Tatsache, dass ein Absorptionsgrad maximal eins sein kann, also α λ 1, erhält man aus der Gleichung 2.5 die Ungleichung L λ (λ, β, ϕ, T ) L λs (λ, T ). Da Schwarze Körper mit α λ = 1 die besten Absorber sind, sind sie auch die besten Emitter. Kein Körper kann bei einer gegebenen Temperatur T in einem Raumwinkelelement und Wellenlängenintervall mehr Strahlungsleistung emittieren als ein schwarzer Körper gleicher Temperatur. Das macht die Ausstrahlung der Schwarzen Körper besonders interessant, da ihre emittierten Strahlungsflüsse materialunabhängig und somit universell sind. Die spektrale Strahldichte eines Schwarzen Körpers zu bestimmen wäre damit von fundamentaler Bedeutung. Diese Bestimmung gelang im Jahr Das Plancksche Strahlungsgesetz und das Wiensche Verschiebungsgesetz Die eben erwähnte Obergrenze für die spektrale Strahldichte L λ eines beliebigen Körpers ist die spektrale Strahldichte L λs des diffus strahlenden Schwarzen Körpers. Da L λs nicht von den Einfallswinkeln β und ϕ abhängt, lässt sich ein einfacher Zusammenhang zur spektralen spezifischen Ausstrahlung M λs des Schwarzen Körpers angeben: M λs = L λs (λ, β, ϕ, T ) cos β dω = L λs (λ, T ) cos β dω HR = L λs (λ, T ) 2π π 2 ϕ=0 β=0 HR cos β sin β dβ dϕ = π L λs (λ, T ) (2.6) Dank dieser einfachen Beziehung wird im Folgenden nur die spektrale spezifische Ausstrahlung M λs betrachtet. Für sie konnte Max Planck ( ) eine korrekte Gleichung angeben. Mit seiner revolutionären Annahme, dass die Energie eines Strahlungsflusses nicht kontinuierlich, sondern nur in diskreten Energiepaketen, die ein ganzzahliges Vielfaches eines kleinsten Energiepaketes sind, absorbiert und emittiert werden kann, legte er die Grundlage für die sich an- 2.3 Wichtige Strahlungsgesetze 25

26 schließend entwickelnde Quantentheorie. Seine gefundene Formel für die spezifische spektrale Ausstrahlung M λs = 2πhc2 1 λ 5 exp ( (2.7) hc λkt 1) wurde als Plancksche Strahlungformel berühmt 4. Die auftretenden Konstanten sind dabei die Lichtgeschwindigkeit c, die Boltzmann-Konstante k sowie eine von Planck eingeführte Konstante, das nach ihm benannte Plancksche Wirkungsquantum h. Abbildung 2.5: Spektrale spezifische Ausstrahlung M λs eines Schwarzen Körpers 5 Das Gesetz beschreibt quantitativ den Strahlungsfluss, der bei einer bestimmten Temperatur des Schwarzen Körpers in einem bestimmten Wellenlängenintervall in den gesamten Halbraum abgestrahlt wird. Abbildung 2.5 veranschaulicht das Strahlungsverhalten für einige Temperaturen. Charakteristisch ist das Maximum, welches mit steigender Temperatur sehr schnell ansteigt. Auffällig ist dabei, dass sich das Maximum bei höheren Temperaturen zu kleineren Wellenlängen verschiebt. Das Maximum ist bei fester Temperatur durch gegeben. Das führt auf die Gleichung M λs λ = 0 ( 1 hc ) ( ) hc exp = 1 5λkT λkt 4 Die Herleitung wird hier nicht geführt. Mit moderneren Mitteln der Quantenmechanik oder der statistischen Physik sind elegante Herleitungen möglich, siehe dazu [Nol02a], Kap , oder [Nol02b], Kap Bildquelle: commons.wikipedia.org, Autor: Sch 26 Kapitel 2 Physikalischer Teil

27 mit der (numerischen) Lösung λ max = 2897,8 µmk T. (2.8) Das ist das Wiensche Verschiebungsgesetz, mit der sich diejenige Wellenlänge berechnen lässt, bei der die spektrale spezifische Ausstrahlung bei einer gegebenen Temperatur ihr Maximum erreicht. Diese Information ist deswegen von Bedeutung, weil sich aus ihr der primäre Farbeindruck eines strahlenden Körpers der Temperatur T angeben lässt, falls dem Maximum eine Wellenlänge zugeordnet ist, die im sichtbaren Bereich oder zumindest in dessen Nähe liegt. Einen Körper können wir nämlich erst dann auf Grund seiner Wärmestrahlung sehen, wenn ein ausreichend großer Teil der Strahlungsleistung im sichtbaren Bereich emittiert wird. Ein Körper bei Zimmertemperatur emittiert nahezu keine Strahlung in diesem Bereich, weshalb er für uns unsichtbar wäre, wenn er nicht so gute Reflexionsgrade hätte, die dafür sorgen, dass er sichtbares Licht aus der Umgebung reflektiert. Ein Körper, der allmählich erhitzt wird, beginnt zunächst rot zu glühen, da sich das Maximum aus dem Infraroten in Richtung kleinere Wellenlängen bewegt und somit der rote Farbeindruck als erstes durchkommt. Das Maximum der Sonnenstrahlung liegt bei ihrer Oberflächentemperatur von etwa 5500 C genau im sichtbaren Bereich und deckt diesen auch vollkommen ab, wodurch ihr Licht uns in der Summe weiß erscheint. Am Nachthimmel erkennen wir schließlich auch sehr heiße Sterne als bläuliche Strahler Das Stefan-Boltzmann-Gesetz Zu einem weiteren interessanten Ergebnis gelangt man, wenn man für den Schwarzen Körper auch die spezifische Ausstrahlung M s (T ) berechnet, also die hemisphärische Gesamtgröße der Ausstrahlung. Dies geschieht durch Integration der spektralen spezifischen Ausstrahlung M λs, also von Gleichung 2.7, über alle Wellenlängen. Wir nutzen die Substitution λ = hc kt x, hc dλ = kt dx und erhalten M s (T ) = = 0 0 M λs (λ, T )dλ = 2πhc 2 ( hc kt x) 5 ( exp hc kt 0 2πhc 2 λ 5 exp ( dλ hc λkt 1) hc kt hcx 1) kt dx = 2πk4 T 4 h 3 c 2 Das letzte Integral liefert den Wert π4 15 und wir erhalten mit σ = 2π5 k 4 15h 3 c 2 Gesetz 0 dx x 5 exp ( dx x 1). das Stefan-Boltzmann- M s (T ) = σt 4. (2.9) Mit dieser Gleichung lässt sich die gesamte von einem Schwarzen Körper pro Flächenelement in den Halbraum emittierte Strahlungsleistung berechnen. Zur Berechnung der gesamten abgestrahlten Leistung muss die spezifische Ausstrahlung noch über die Fläche integriert werden. Für einen Schwarzen Körper mit der Oberfläche A lässt sich das Stefan-Boltzmann-Gesetz auch in seiner bekannteren Form P = σa T 4 (2.10) 2.3 Wichtige Strahlungsgesetze 27

28 notieren. Das Gesetz gilt zunächst für die Ausstrahlung eines Schwarzen Körpers. Es kann aber ebenso zur Berechnung der absorbierten Strahlungsleistung herangezogen werden. Dabei ist zu beachten, dass zunächst die Strahlungsleistung des emittierenden Schwarzen Körpers berechnet werden muss, die dann im Abstand r zum bestrahlten Schwarzen Körper eine (gedachte) Kugelinnenseite der Fläche 4πr 2 durchdringt. Nun muss die Strahlungsleistung auf die bestrahlte Fläche des Schwarzen Körpers im Verhältnis zur Gesamtfläche der Kugel bezogen werden. Die Schattenseite des bestrahlten Schwarzen Körpers absorbiert keine Strahlung, ihre Fläche wird also nicht mit einbezogen. 2.4 REALE KÖRPER UND IHRE STRAHLUNGSGRÖSSEN Bislang richtete sich die Aufmerksamkeit hauptsächlich auf Schwarze Körper, die allerdings eine Idealisierung darstellen. Wir werden uns nun realen Körpern zuwenden. Wir hatten bereits die spektrale Strahldichte als materialspezifische und damit den realen Körper charakterisierende Größe kennengelernt. Sie zu bestimmen ist aber praktisch ein Unding, zumal sie für jeden beliebigen Körper bestimmt werden müsste. Die Ausstrahlung eines realen Körpers kann aber in einfache Beziehung gesetzt werden zur Ausstrahlung eines Schwarzen Körpers. Die benötigten Kopplungsfaktoren sind die Emissionsgrade, auf welche im Folgenden näher eingegangen wird. Dieser Abschnitt führt also Emissionsgrade ein, mit denen das Kirchhoffsche Gesetz noch einmal beleuchtet wird. Es werden zudem diffuse Strahler behandelt und das Modell des grauen Strahlers eingeführt, bevor eine Bemerkung zu strahlungsdurchlässigen Körpern den Abschnitt abschließt Emissionsgrade Wie bereits erwähnt, strahlen Schwarze Körper in alle Raumwinkelelemente und in allen Wellenlängenbereichen den maximal möglichen Strahlungsfluss aus. Bei realen Körpern wird die ausgestrahlte Strahlungsleistung jeweils niedriger ausfallen. Die Beschreibung dieser Anpassung erfolgt mittels Emissionsgraden wieder für jede Größenkategorie je ein Emissionsgrad. Für deren Definition wird lediglich die entsprechende Ausstrahlungsgröße des realen Körpers durch die zugehörige Ausstrahlungsgröße des Schwarzen Körpers dividiert, wodurch man in natürlicher Weise den Anteil des emittierten Strahlungsflusses eines realen Körpers von dem eines Schwarzen Körpers erhält. Gerichteter spektraler Emissionsgrad ɛ λ (λ, β, ϕ, T ) := L λ(λ,β,ϕ,t ) L λs (λ,t ) Hemisphärischer spektraler Emissionsgrad ɛ λ (λ, T ) := M λ(λ,t ) M λs (λ,t ) Gerichteter Gesamt-Emissionsgrad ɛ (β, ϕ, T ) := L(β,ϕ,T ) L s(t ) = π σt 4 L(β, ϕ, T ) Hemisphärischer Gesamt-Emissionsgrad ɛ(t ) := M(T ) M s(t ) = M(T ) σt 4 28 Kapitel 2 Physikalischer Teil

29 Zu beachten ist hierbei, dass die spektrale Strahlichte L λs und die Strahldichte L s des Schwarzen Körpers nicht von (β, ϕ) abhängen und sich dadurch zur spektralen spezifischen Ausstrahlung M λs bzw. zur spezifischen Ausstrahlung M s nur um den Faktor π unterscheiden (siehe Gleichung 2.6). Bei bekannten Emissionsgraden können über diese Definitionsgleichungen auch die Ausstrahlungsgrößen des realen Körpers exakt angegeben werden, da L λs und M λs durch das Plancksche Strahlungsgesetz und L s sowie M s durch das Stefan-Boltzmann-Gesetz gegeben sind. Insbesondere gilt folgende Beziehung L λ (λ, β, ϕ, T ) = ɛ λ(λ, β, ϕ, T ) L λs (λ, T ). (2.11) Diffuse Strahler und das Modell des grauen Strahlers Ein diffuser Strahler ist durch die einfache Bedingung gegeben, dass seine spektrale Strahldichte wie beim Schwarzen Strahler, der ja ebenfalls diffus strahlt, nicht von den Winkeln (β, ϕ) abhängt. Dadurch ergibt sich nach Gleichung 2.6 der Zusammenhang M λ (λ, T ) = πl λ (λ, T ). Viele reale Körper aus der Alltagserfahrung strahlen in guter Näherung diffus. Außerdem genügen sie oft unter gewissen Voraussetzungen dem Modell des grauen Strahlers. Bei einem grauen Strahler ist der gerichtete spektrale Emissionsgrad unabhängig von der Wellenlänge 6 : ɛ λ = ɛ λ(β, ϕ, T ) Genügt ein realer Körper also hinreichend gut dem Modell des grauen Strahlers und strahlt zudem noch diffus, so ist sein gerichteter spektraler Emissionsgrad weder von den Ausstrahlungswinkeln noch von der Wellenlänge, sonder nur noch von der Temperatur des Körpers abhängig. Das gilt dann nicht nur für alle weiteren Emissionsgrade, es ist sogar so, dass sie alle identisch sind! ɛ λ = ɛ λ(t ) = ɛ λ (T ) = ɛ (T ) = ɛ(t ) Folgerungen aus dem Kirchhoffschen Strahlungsgesetz Das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz sagte uns vereinfacht: gute Absorber sind auch gute Emitter. Diese Aussage wird in erstaunlicher Weise gerechtfertigt, wenn man sich das Strahlungsgesetz in quantitativer Form, Gleichung 2.5, und die Beziehung 2.11 anschaut: L λ (λ, β, ϕ, T ) = α λ(λ, β, ϕ, T ) L λs (λ, T ) = ɛ λ(λ, β, ϕ, T ) L λs (λ, T ) α λ(λ, β, ϕ, T ) = ɛ λ(λ, β, ϕ, T ) 6 Bei realen Körpern hängt dieser Emissionsgrad in der Regel schon merklich von der Wellenlänge ab, es gibt aber oftmals Wellenlängenbereiche, in denen der Emissionsgrad konstant bleibt und nicht mehr oder kaum noch wellenlängenabhängig ist. Das gilt für kalte Körper, mit denen wir im Alltag Umgang haben und die auch später mit der Wärmebildkamera untersucht werden sollen (vgl. auch [BS94], S. 558). 2.4 Reale Körper und ihre Strahlungsgrößen 29

30 Der gerichtete spektrale Absorptionsgrad und der gerichtete spektrale Emissionsgrad eines realen Körpers stimmen überein. Mit der Beziehung 2.4 zwischen Reflexionsgrad und Absorptionsgrad erhalten durch ρ λ = 1 α λ = 1 ɛ λ, einen Zusammenhang aller drei Materialfunktionen, falls nur strahlungsundurchlässige Körper betrachtet werden. Werden bei der Reflexion keine gerichtet-gerichteten Größen betrachtet, so genügt also eine einzige Materialfunktion aus, um die gesamten Strahlungseigenschaften eines Körpers zu berechnen. Hier zeigt sich die ganze einschneidende Macht des Kirchhoffschen Strahlungsgesetzes, welches letztlich auf die Hauptsätze der Thermodynamik zurückzuführen ist. Ist der reale Körper nun zusätzlich ein diffuser, grauer Strahler, so besitzt der Körper wegen der Gleichheit aller Emissionsgrade nur noch eine einzige Materialfunktion ɛ(t ) und es gilt: ɛ(t ) = ɛ (T ) = ɛ λ (T ) = ɛ λ(t ) = α λ(t ) = α λ (T ) = α (T ) = α(t ) 7 Im Anhang A.3 sind in einer Tabelle die hemisphärischen Gesamt-Emissionsgrade ɛ(t ) für verschiedene Gegenstände angegeben, die uns zugleich Auskunft über das Absorptions- und das Reflexionsverhalten der Körper geben. Für viele nicht-metallische Körper beschreiben sie die Strahlungseigenschaften sehr gut. Metallische Oberflächen strahlen, vor allem in polierter Form, weder diffus noch grau. Für sie sind Emissionsgrade für die Ausstrahlung senkrecht zur Oberfläche angegeben, da ihre gerichteten Emissionsgrade ihr Maximum bei einem Polarwinkel von β > 80 annehmen (siehe [BS94], S. 564). Da sie nicht dem Modell des grauen Strahlers genügen, gilt auch die nützliche Beziehung α(t ) = ɛ(t ) nicht. Trotzdem spielen die Emissionsgrade bei der Messung der Strahlung eine entscheidende Rolle Strahlungsdurchlässige Körper Bislang hatten wir nur strahlungsundurchlässige Körper betrachtet, was auch Sinn machte, da Strahlung bei den meisten (festen) Körpern nur wenige Mikrometer in die Oberfläche eindringt. Viele alltägliche Körper wie Gase (Luft), Flüssigkeiten oder auch Festkörper wie Glas sind jedoch offensichtlich transparent und daher prinzipiell strahlungsdurchlässig. Mit Hilfe des bekannten Bestrahlungsflusses d 2 Φ b = E λ (λ) dλ da wird der spektrale Transmissionsgrad τ λ (λ, T ) := d2 Φ b,trans d 2 Φ b definiert. Dabei ist d 2 Φ b,trans der vom Körper durchgelassene, transmittierte Strahlungsfluss. Der Transmissionsgrad hat spektralen Charakter, da das Transmissionsvermögen von strahlungsdurchlässigen Körpern wellenlängenabhängig ist. Normales Glas transmittiert beispielsweise das sichtbare Licht sehr gut, wohingegen es kurz- und langwelligere Strahlung (also Ultraviolett und Infrarot) nur noch schlecht oder gar nicht mehr durchlässt. Eine normale Fensterscheibe oder einfache Brillengläser schützen uns so bereits vor der gefährlichen UV-Strahlung der Sonne. Doch auch der umgekehrte Fall ist möglich. Es gibt Körper, die im sichtbaren Bereich undurchsichtig 7 Diese Gleichheit der Emissions- und Absorptionsgrade ist keineswegs trivial. Sie gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen, z. B. für einen diffusen, grauen Strahler. Eine detaillierte Untersuchung zu solchen Beziehungen ist bei [BS94], S , zu finden. 30 Kapitel 2 Physikalischer Teil