V19 Spezifische Wärmekapazität von Wasser

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1 V19 Spezifische Wärmekapazität von Wasser Unter allen Energieformen kommt der Wärme eine besondere Bedeutung zu. Sowohl der Wärmehaushalt unseres Körpers als auch unserer Umwelt unterliegen komplizierten Regulationsprozessen, bei denen die Wärmekapazität eine wesentliche Rolle spielt. Diese spezifische Stoffeigenschaft stellt den Zusammenhang zwischen der Temperaturänderung und der hierzu erforderlichen Zuoder Abfuhr von Wärmeenergie her. 1. Theoretische Grundlagen 1.1. Temperatur Den Wärmezustand eines Körpers beschreibt man mit dem Begriff Temperatur. Die Temperatur ist die vierte Grundgröße der Physik, nach Länge, Zeit und Masse. Zur Messung der Temperatur dienen Thermometer. Ihre Wirkungsweise beruht auf der Ausdehnung von Körpern mit steigender Temperatur (Flüssigkeits- und Gasthermometer). Die Einheit der Temperatur ist das Grad Celsius [ C ]. 1 C ist der hundertste Teil der Temperaturdifferenz zwischen schmelzendem Eis und siedendem Wasser bei sog. Normal-Luftdruck. Am Eispunkt von Wasser beträgt die Temperatur 0 C, am Siedepunkt 100 C. Als Buchstabensymbol für die in Celsiusgraden gemessene Temperatur soll das kleine griechische Theta,, verwendet werden, im Gegensatz zu T als Buchstabensymbol für die später einzuführende absolute Temperatur Gesetz von GAY-LUSSAC und absolute Temperatur Während bei Festkörpern und Flüssigkeiten der Ausdehnungskoeffizient eine Materialkonstante ist (also für verschiedene Stoffe verschiedene Werte hat), gilt für Gase ein einfacherer Zusammenhang: Es sei V 0 das Volumen einer Gasmenge bei 0 C und einem bestimmten Druck p 0. Dazu gilt für das Volumen des Gases bei einer Temperatur von C und konstantem Druck das Gesetz von GAY-LUSSAC : V = V 0 ( 1 +. ), Druck konstant = p 0. (1.1) Die Größe ist der Volumenausdehnungskoeffizient. Dieser ist aber keine Stoffkonstante, sondern hat für alle Gase den gleichen Wert: ,15 C = 3, C V 19.1 (1.2) Nach (1.1) würde das Volumen des Gases bei einer Temperatur = 273,15 C gleich Null. In Wirklichkeit hört natürlich die Gültigkeit von Gl.(1.1) vorher auf, weil das Gas vor Erreichen dieser Temperatur die Eigenschaft 'ideales Gas' verliert und bei weiterer Abkühlung kondensiert, also flüssig wird, um dann schließlich zu einem festen Stoff zu erstarren. Die Temperatur = 273,15 C heißt absoluter Nullpunkt. Es gibt keine tiefere Temperatur. Der absolute Nullpunkt ist Ausgangspunkt einer zweiten Temperaturskala, der absoluten Temperatur. Als Buchstabensymbol dafür soll T benutzt werden. Die Einheit der absoluten Temperatur ist Kelvin, K (früher: Grad Kelvin). 1 K ist der 273,15te Teil der Temperaturdiffe-

2 renz zwischen dem absoluten Nullpunkt und der Temperatur des schmelzenden Eises, (bei Normal-Luftdruck), bzw., was dasselbe ist: T = 273,15 K ist die absolute Temperatur des Schmelzpunktes von Eis. Der Zusammenhang zwischen Kelvin- und Celsiustemperatur ist in Abb.1.1. dargestellt: - 273, C (Grad Celsius) Abb.1.1. Celsiusskala und absolute Temperatur Einer Celsius-Temperatur von = x C entspricht demnach eine absolute Temperatur von T = (x + 273,15) K. Da sich die Angaben in den beiden nebeneinander gültigen Temperaturskalen nur um den additiven Zahlenwert 273,15 unterscheiden, erhält man für eine Temperaturdifferenz die gleiche Maßzahl in beiden Temperaturskalen. Nach dem Bundesgesetz über die Einheiten im Meßwesen werden Temperaturdifferenzen in Kelvin angegeben. (Das heißt z.b.: Zwischen den Temperaturen 37,5 C und 40,2 C besteht eine Temperaturdifferenz von 2,7 Kelvin (2,7 K)). Schreibt man das Gesetz von GAY-LUSSAC für absolute Temperaturen um, so erhält man aus Gl.(1.1) und Gl.(1.2): 273,15 T V V0 V V0, (1.3a) 273,15 T worin T 0 die absolute Temperatur bei 0 o C ist, T 0 = 273,15 K Spezifische Wärmekapazität V V 0, p = const (1.3b) T T 0 Um die Temperatur eines Körpers zu erhöhen, muß man ihm Energie zuführen. (Der Begriff Körper steht hier im weiteren Sinne auch für bestimmte Flüssigkeits- oder Gasmengen). Um die Temperatur eines homogenen Körpers der Masse m um T zu erhöhen, ist eine Energie W erforderlich, die zu m und T proportional ist: W ~ m T (1.4) Durch Einführung einer Proportionalitätskonstanten c geht die Beziehung (1.4) über in eine Gleichung: mit 0 273,15 373,15 K (Kelvin) W = c m T, (1.5) 1 W c (1.5a) m T Die Größe c heißt spezifische Wärmekapazität, sie ist eine Stoffkonstante (Materialkonstante), d.h. sie ist charakteristisch für die Stoffart, aus welcher der homogene Körper besteht. Wird die Energie W in Joule (1 Joule = 1 Newtonmeter = 1 Wattsekunde) gemessen, die Masse m in Kilogramm und T in Kelvin, so ist die Einheit von c: V T

3 1 Joule Kilog ramm Kelvin 1 J kg K (1.6) Häufig benutzt man auch, um bequemere Zahlenwerte zu erhalten, die um 10 3 größere Einheit: Kilojoule kj 1 1 (1.6a) Kilog ramm Kelvin kg K Die Maßzahl von c gibt dann an, wieviel Energie in Joule bzw. Kilojoule einem Kilogramm des in Frage stehenden Stoffes zugeführt werden muß, damit sich die Temperatur um 1 Kelvin erhöht. Je größer c ist, umso mehr Energie braucht man für eine bestimmte Temperaturerhöhung. (Umso mehr Energie wird dann auch beim Abkühlen in Form von Wärme an die Umgebung abgegeben.) Bei Gasen muß man zwischen zwei Wärmekapazitäten unterscheiden: Bei c p wird der Druck konstant gehalten, bei c v bleibt das Volumen der betrachteten Gasmenge konstant. Die spezifische Wärmekapazität c p ist größer als c v, weil ein Teil der zugeführten Energie dazu verwandt wird, das Volumen des Gases zu vergrößern. Bei Festkörpern kann die Volumenvergrößerung vernachlässigt werden. (Genaugenommen müßte in Gl.(1.5) c p stehen, weil der Druck als konstant angenommen wird, wenn man Erwärmung von Körpern in der Atmosphäre entsprechend dem Gesetz von GAY-LUSSAC diskutiert.) 1.4. Schmelz- und Verdampfungswärme Die Gl.(1.5) gilt nur, solange sich der Aggregatzustand des Körpers nicht ändert. Zur Veranschaulichung des Sachverhalts soll Abb.1.2. dienen. Wir betrachten einen festen Körper mit der Masse m und der Anfangstemperatur A. Dem Körper wird Energie zugeführt und die Temperatur in Abhängigkeit von der zugeführten Energie bestimmt. Bis zu W 1 steigt die Temperatur linear mit der zugeführten Energie von der Anfangstemperatur A bis zur Temperatur Sch an, bei der der Körper zu schmelzen beginnt (Punkt 1 der Kurve). Der Anstieg der Kurve zwischen A und Sch ist durch die Größe c f bestimmt, wobei c f die spezifische Wärmekapazität des Körpers im festen Aggregatzustand ist. Der Anstieg ist umgekehrt proportional zur spezifischen Wärmekapazität, d.h. je größer c f ist, desto langsamer steigt die Temperatur bei stetiger Energiezufuhr an. Das erkennt man durch Umschreiben der Gl.(1.5) 1 1 T W (1.7) c m V 19.3

4 Führt man dem Körper nach Erreichen der Schmelztemperatur Sch weitere Energie zu, bleibt die Temperatur konstant gleich Sch und zwar solange, bis der ganze Körper geschmolzen, also in den flüssigen Aggregatzustand überführt worden ist. Dem entspricht in Abb.1.2. das waagerechte Kurvenstück von Punkt 1 bis Punkt 2. Den Quotienten (W 2 W 1 )/m bezeichnet man als die spezifische Schmelzwärme des Körpers (Einheit 1 Joule/Kilogramm oder auch 1 Kilojoule/Kilogramm). Weitere Energiezufuhr bewirkt dann einen Temperaturanstieg nach Gl.(1.7), wobei jetzt die spezifische Wärmekapazität c fl der Flüssigkeit einzusetzen ist. Abb Schmelzen (Erstarren), Verdampfen (Kondensieren) In Abb.1.2. ist die Steigung der Kurve für den flüssigen Zustand kleiner als die Steigung im Bereich des festen Aggregatzustandes, was nach Gl.(1.7) bedeutet, daß c fl > c f ist. Der Temperaturanstieg dauert an, bis die Siedetemperatur S erreicht ist (Punkt 3). Weitere Energiezufuhr bewirkt eine Überführung vom flüssigen in den gasförmigen Aggregatzustand. Der Quotient (W 4 W 3 )/m heißt spezifische Verdampfungswärme. Erst nachdem die gesamte Flüssigkeit verdampft ist, erhöht weitere Energiezufuhr die Temperatur des Dampfes (ab Punkt 4). Bei Abkühlung ist die Abb.1.2. in umgekehrter Reihenfolge zu lesen: Von Punkt 4 bis Punkt 3 kondensiert der Dampf, W 4 W 3 wird als Kondensationswärme an die Umgebung abgegeben, die Temperatur bleibt bei S stehen. Zwischen Punkt 2 und Punkt 1 erstarrt die Flüssigkeit, W 2 W 1 wird als Erstarrungswärme freigesetzt, während die Temperatur bei Sch stehenbleibt. Die spezifische Schmelzwärme von Wasser (Eis) berechnen sie in Versuch 2.7, die spezifische Verdampfungswärme ist wesentlich höher, sie beträgt 2257 kj/kg. V 19.4

5 1.5. Die spezifische Wärmekapazität von Wasser Die spezifische Wärmekapazität von Wasser bei = 20 C wird in der Literatur mit c w = 4,1868 kj/kg K angegeben. Zum Vergleich mit den Meßergebnissen dieses Versuchs verwenden wir den der Meßgenauigkeit angepaßten gerundeten Wert: C w = 4, J/kg K = 4,19 kj/kg K. (1.8) Für den festen und gasförmigen Aggregatzustand von Wasser ergeben sich: Eis (bei 0 C): c p = 2,1 kj/kg K, Wasserdampf : c p = 1,8 kj/kg K. Zum Vergleich einige andere Stoffe bei 20 C: Kupfer: c p = 0,38 kj/kg K Blei: c p = 0,13 kj/kg K Glas: c p = 0,67 kj/kg K Luft: c p = 1,01 kj/kg K Erdboden: c p 0,9 kj/kg K Die Angabe 'bei 20 C' ist notwendig, weil die Wärmekapazitäten temperaturabhängig sind, und zwar werden sie mit sinkender Temperatur i.a. kleiner. Dieses Verhalten schränkt das Anwendungsintervall von Gl.(1.5) ein. Der sehr hohe Wert der Wärmekapazität von Wasser bedeutet, daß vergleichsweise viel Energie nötig ist, um Wasser zu erwärmen, dass aber andererseits Wasser bei Abkühlung auch entsprechend große Energiemengen in Form von Wärme abgeben kann. (Unterschied Land - Seeklima; Wasser als Wärmespeicher in Raumheizungen). Bei Zufuhr oder Abgabe von Energie, die mit Temperaturänderung, Volumenvergrößerung oder Schmelzen oder Verdampfen verbunden ist, spricht man auch von zugeführter oder abgegebener Wärme oder von Wärmemengen. Wärme(menge) ist keine neue physikalische Größe, sondern nur ein anderes Wort für Energie. Bis vor einiger Zeit war allerdings noch eine gesonderte Energieeinheit für Wärmemengen gebräuchlich, die Kalorie (cal) oder Kilokalorie (kcal): 1 kcal ist diejenige Wärme(energie)menge, die 1 kg Wasser um 1 Kelvin erwärmt. Durch diesen Bezug auf Wasser beträgt die spezifische Wärmekapazität von Wasser definitionsgemäß 1,00 kcal / kg K. Der Umrechnungsfaktor ist: 1 Kilokalorie = 4,1868 Kilojoule. Die Einheit kcal wird häufig in der Energiebilanz chemischer Reaktion also auch beim Stoffwechsel benutzt. Im Versuch wird einer Wassermenge Wärmeenergie dadurch zugeführt, daß eine Drahtspirale im Wasser elektrisch beheizt wird. Auf diese Weise wird elektrische Energie vollständig in Wärmeenergie umgewandelt. Ist U die Spannung in Volt zwischen den Enden der Spirale, I der Strom durch die Spirale in Ampere und t die Zeit in Sekunden, während der der Strom fließt, so ist die dabei in Form von Wärme entstehende Energie in Joule (Wattsekunden): W = U I t (1.9) Während des Versuchs bleibt die Heizleistung P (in Watt) P = U I (1.10) konstant, die zugeführte Energie ist dann proportional zur Heizdauer t Wärmetransportvorgänge Um die Funktion des Dewargefäßes besser zu verstehen, wollen wir kurz auf Wärmetransport eingehen. Die Ausbreitung von Wärmeenergie kann in Form von Wärmestrahlung, Wärmeleitung und Wärmeströmung (Konvektion) erfolgen. V 19.5

6 1.6.1 Die Wärmestrahlung Die Wärmestrahlung ist wie das Licht eine elektromagnetische Strahlung und stellt die einzige Möglichkeit des Wärmetransports im materiefreien Raum (Vakuum) dar. Jeder Körper, dessen Temperatur über dem absoluten Nullpunkt liegt, gibt unabhängig von seiner Umgebungstemperatur Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung ab. Andererseits kann ein Körper durch Absorption von Wärmestrahlung Energie aufnehmen. Dabei wird sein Absorptions- wie auch Emissionsverhalten maßgeblich durch seine Oberflächenbeschaffenheit mitbestimmt. Ein schwarzer Körper zeichnet sich dadurch aus, daß seine Oberfläche die gesamte auftreffende Strahlung absorbiert, also keinerlei Reflexion zeigt. Es zeigt sich, daß auch die Emission von Strahlungsenergie für den schwarzen Körper maximal ist und mit steigendem Reflexionsvermögen abnimmt. Das Spektrum der Wärmestrahlung erstreckt sich vorwiegend über den Bereich der unsichtbaren Infrarotstrahlung. Es hängt in der Weise von der Temperatur des Körpers ab, daß sich seine Intensitätsverteilung mit steigender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen verschiebt. Ab etwa 1000 K beginnt ein Körper auch Anteile des sichtbaren (zunächst roten) Spektrums zu emittieren: Er beginnt zu glühen. Die gesamte über alle Wellenlängen aufsummierte Strahlungsleistung wächst mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur Die Wärmeleitung Die Wärmeleitung ist ein Energietransport ohne Materietransport. Eine Temperaturdifferenz an verschiedenen Orten eines Stoffes ergibt im mikroskopischen Bild der Materie, daß die thermische Bewegung der Atome bzw. Moleküle abhängig vom Ort verschieden groß ist. Diese Unterschiede werden bei der Wärmeleitung durch Stoßprozesse zwischen jeweils benachbarten Materieteilchen ausgeglichen. Die pro Zeitintervall t übertragene Wärmeenergie W definiert einen Wärmestrom I W, der proportional zur Temperaturdifferenz T 2 - T 1 mit T 2 > T 1 an den betrachteten Orten x 2 bzw. x 1 ist: I W 1 (1.11) W T2 - T 1 t R W Der Proportionalitätsfaktor 1/R W, den man als Wärmeleitwert bezeichnet, wird in Analogie zum elektrischen Strom über den Wärmewiderstand R W definiert. Der Wärmeleitwert wiederum enthält als stoffspezifischen Faktor die Wärmeleitfähigkeit, sowie die Querschnittsfläche A des Wärmestroms und den Abstand d zwischen den Punkten x 2 und x 1 als geometrieabhängige Größen: A IW T2 - T1 (1.12) d Daraus wird der gerichtete Wärmestrom längs der Achse x: I W V 19.6 T2 - T1 T A A (1.13) x x x 2 Das negative Vorzeichen in Gl.(1.13) bringt zum Ausdruck, daß der Wärmestrom I W dem Temperaturgradienten T/x entgegen gerichtet ist, also einem Temperaturgefälle folgt. Stoffe mit großer Wärmeleitfähigkeit sind im besonderen Maße die Metalle, wohingegen sich Stoffe mit geringer elektrischer Leitfähigkeit auch als schlechte Wärmeleiter erweisen. Der Grund hierfür liegt darin, daß die Wärmeleitung wesentlich durch die Wärmebewegung der Leitungselektronen begünstigt wird. 1

7 Die Wärmeströmung (Konvektion) Die Wärmeströmung stellt einen Transport von Wärmeenergie durch strömende erwärmte Materie dar. In Flüssigkeiten und Gasen entstehen durch Erwärmung lokale Dichteunterschiede, die wiederum Auftriebskräfte zur Folge haben. So kann sich eine makroskopische Bewegung von unterschiedlich temperierten Volumenbereichen ausbilden. Konvektion ist in flüssigen und gasförmigen Stoffen der dominierende Wärmetransportvorgang Das Dewargefäß Will man den Wärmeaustausch eines Stoffes mit seiner Umgebung weitgehend unterbinden, so müssen alle drei soeben behandelten Transportvorgänge so gut wie möglich ausgeschaltet werden. Dies geschieht bei einem Dewar- oder Thermosgefäß auf überraschend einfache Weise: Ein derartiges Gefäß besteht meistens aus einer doppelwandigen Glashülle, bei der der Raum zwischen Außen- und Innenwand evakuiert wurde. Dadurch ist ein Wärmeübergang durch Konvektion nicht mehr möglich, und auch die Wärmeleitung kann nur noch längs der schlecht leitenden Glaswand auf dem langen Umweg über die Nahtstelle zwischen Innen- und Außengefäß erfolgen. Um schließlich auch noch die Wärmestrahlung auf ein Minimum zu reduzieren sind die Wände eines Dewargefäßes mit einer reflektierenden Oberfläche versehen. V 19.7

8 3. Übungsfragen 1. Wie sind die Temperaturskalen in Grad Celsius und in Kelvin definiert und welcher Zusammenhang besteht zwischen beiden? 2. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Energiezufuhr und der dadurch hervorgerufenen Temperaturerhöhung einer Stoffmenge der Masse m? 3. Man skizziere ein Diagramm, das die Temperatur eines Stoffes in Abhängigkeit von der Energiezufuhr darstellt. Welches Verhalten beobachtet man, wenn der Stoff seinen Aggregatzustand ändert? 4. Welche Bedeutung hat die Verdampfungswärme des Wassers für die Wärmeregulation unseres Körpers? 5. Zwei Stoffen I und II werde mit gleicher Leistung Wärmeenergie zugeführt. Das Diagramm zeigt die Temperaturerhöhung pro Kilogramm in Abhängigkeit von der Heizdauer. Welcher der beiden Stoffe hat die größere Wärmekapazität? 6. Auf welche Weise kann Wärmeenergie transportiert werden, und wie wird der Einfluß dieser Transportvorgänge bei einem Dewargefäß möglichst gering gehalten? V 19.8

9 2. Der Versuch 2.1. Aufgabenstellung 1. Die spezifische Wärmekapazität c W von Wasser soll bestimmt werden. 2. Aus dem Versuchsergebnis und dem Literaturwert von c W soll im nachhinein die Wärmekapazität K vom Kalorimetergefäß mitsamt Einbauteilen berechnet werden Die Durchführung In ein wärmeisoliertes Kalorimetergefäß (Dewargefäß, Prinzip der Thermosflasche) wird mit einem Meßzylinder eine Wassermenge von 200 ml = 0,200 Liter eingefüllt. Dieser Wassermenge wird auf elektrischem Wege Wärmeenergie zugeführt. In Abb.2.1. ist die elektrische Schaltung dargestellt: Im Kalorimetergefäß befinden sich zwei Heizspiralen; ihre Anschlüsse sind in den Deckel des Kalorimeters herausgeführt. Abb.2.1. Die elektrische Schaltung zur Versuchsdurchführung Die zwei Heizspiralen sind in Reihe geschaltet und über ein Amperemeter (und ggf. einen Vorwiderstand R V ) mit einem Wechsel- oder Gleichspannungsnetzgerät verbunden. Zwischen den beiden Enden der Heizspiralen liegt ein Voltmeter. Netzgerät oder Vorwiderstand sind so eingestellt, daß an den Heizspiralen eine Spannung U von ca. 4 Volt liegt. Dann fließt ein Strom I von etwa 1,8 bis 2 Ampere. Das Kalorimetergefäß ist mit Hilfe einer Klemme an einer Stativstange befestigt. Im Deckel des Gefäßes befindet sich eine Öffnung für den Fühler eines Digitalthermometers. Der Temperaturfühler wird ebenfalls an der Stativstange befestigt. Er muß vor Öffnen oder Schließen des Kalorimeterdeckels entfernt werden. Es handelt sich um ein elektronisches Widerstandsthermometer mit einem Meßbereich von -199,9 C bis +650 C, das Temperaturablesungen mit einer Genauigkeit von 0,1 C gestattet. Das Funktionsprinzip dieses Gerätes beruht auf der Messung des temperaturabhängigen Widerstands eines Platindrahts (Pt 100). V 19.9

10 Im Kalorimeter befindet sich außerdem ein Rührer, der vom Deckel aus betätigt werden kann, damit das Wasser beim Erwärmen eine über das ganze Volumen einheitliche Temperatur erhält. (Thermometer und Rührer sind in Abb.2.1. nicht eingezeichnet worden.) Nach Einschalten des Netzgeräts wird die Zunahme der Wassertemperatur in Abhängigkeit von der Heizdauer t über einen Zeitraum von 30 Minuten untersucht. Bei konstanter Heizleistung P = U I Watt sollte die Wassertemperatur linear mit der Zeit t ansteigen, d.h. wenn gegen t aufgetragen wird, sollte sich eine Gerade ergeben. Das ist natürlich nur dann der Fall, wenn das Wasser während des Heizvorgangs mit dem Rührer ständig durchgemischt wird. Andernfalls treten plötzliche Temperatursprünge auf, die die Linearität des Temperaturanstiegs verfälschen. Bei den benutzten Spannungs- und Strommeßgeräten können Spannung U und Strom I direkt in Volt bzw. Ampere abgelesen werden. Protokollschema: Heizdauer t Temperatur Spannung U Strom I [min] [ C] [Volt] [Ampere] 0 A A ist die wirkliche Anfangstemperatur des Wassers unmittelbar vor Einschalten des Netzgeräts: Wenn sich das Kalorimeter auf Zimmertemperatur befindet und kälteres Leitungswasser V 19.10

11 ins Kalorimeter gegeben wird, findet zunächst ein Temperaturausgleich statt, währenddessen der Thermometerwert leicht ansteigt. Warten Sie in jedem Fall so lange, bis die Thermometeranzeige zum Stillstand gekommen ist, protokollieren Sie den sich eingestellten Wert A und schalten dann das Netzgerät und die Stoppuhr ein. Die Wassertemperatur wird zu jeder zweiten vollen Minute abgelesen (Rührer betätigen!), und auf 1/10 C genau in die Meßtabelle übernommen. Spannung U und Strom I werden jede vierte Minute protokolliert, zum ersten Mal kurz nach dem Einschalten des Heizstroms. Die mehrfache Messung geschieht, um kleine Spannungs- und Stromänderungen während der Dauer des Versuchs festzuhalten. Nach 30 Minuten wird das Netzgerät abgeschaltet und die Endtemperatur protokolliert. (Die letzten U- und I-Werte wurden bereits nach 28 Minuten abgelesen.) Dann wird das Thermometer aus seiner Halterung entfernt und der Deckel des Kalorimeters (mitsamt den Leitungsschnüren) abgenommen und auf die Zellstoffschicht gelegt. Das Kalorimetergefäß wird aus der Stativklemme gelöst und sein Wasserinhalt ausgegossen. Danach wird es zum Trocknen mit dem Boden nach oben auf die Zellstoffunterlage gestellt. Vorsicht: Der Glaseinsatz muß dabei festgehalten werden, da er nicht in dem schwarzen Kunststoffbehälter befestigt ist! 2.3. Auswertung der Messung und Berechnung von c W Beträgt die Heizdauer t, so wird nach Gl.(1.9) dem Wasser im Kalorimeter die Energie W U I t (2.1) zugeführt. ( U und I sind die jeweiligen Mittelwerte aus den sieben Ablesungen von U und I in der 3. und 4. Spalte des Protokollschemas.) Dadurch erhöht sich die Temperatur des Wassers, dessen Masse die Größe m besitzt, um T, gemessen in Kelvin. Aus der Kombination von Gl.(1.5) mit Gl.(1.9) folgt dann c W Löst man diese Gleichung nach c W auf, erhält man m T U I t (2.2) c W U I t (2.3) m T Setzt man U in Volt, I in Ampere, t in Sekunden, m in kg und T in Kelvin ein, so erhält man aus Gl.(2.3) den Wert der spezifischen Wärmekapazität von Wasser in der Einheit Joule/(kg Kelvin) (Dividiert man durch 1000, ist die Einheit Kilojoule/(kg Kelvin). Die Masse von 200 Milliliter Wasser beträgt 0,200 kg, wenn wir für die Dichte des Wassers 1,0 g/cm 3 einsetzen. Für die Fehlerrechnung soll die Genauigkeit bei der Bestimmung der Wassermasse mit m = ± 0,001 kg angenommen werden, entsprechend einem prozentualen Fehler von 0,5 %. Außerdem müssen die absoluten Fehler U und I der Mittelwerte U und I berechnet werden. Diese Fehler werden im allgemeinen ebenfalls sehr klein sein, da Spannung und Stromstärke während der Heizdauer von 30 min nur geringfügig schwanken. Der Anzeigefehler der verwendeten Digitalinstrumente ist hier zu vernachlässigen. Der Wert des Quotienten t/t wird auf graphischem Wege ermittelt. Dazu tragen Sie in ein Millimeterpapier-Diagramm mit den Achsenmaßstäben nach der Vorlage von Abb.2.2 die Temperaturen in Grad Celsius gegen die Zeit t in Minuten auf. Der Nullpunkt der Tempera- V 19.11

12 turskala ist unterdrückt. Bei der Eintragung der Meßwerte in die Graphik wird sich herausstellen, daß die Meßpunkte zunächst sehr gut dem Verlauf einer Geraden folgen. Zum Ende der Messung jedoch beobachtet man ein zunehmendes Abknicken der Meßkurve zu kleineren Temperatur- werten. Frage: Welche Ursache führt zu dieser systematischen Abweichung? Nur aus der Beantwortung dieser Frage kann man verstehen, ob die ganze Messung zu verwerfen ist oder welchen Teil man eventuell benutzen kann. Da es sich hier nicht um statistische Abweichungen vom erwarteten Geradenverlauf handelt, ist die sonst übliche Methode zum Einzeichnen einer bestangepaßten Geraden nicht angemessen. a) Zeichnen Sie stattdessen eine Anstiegsgerade, die dem Verlauf der Meßpunkte nur soweit folgt, bis sich die systematische Abweichung in Form von zu kleinen Temperaturwerten bemerkbar macht. Das wird typischerweise von einer Heizdauer von 10 bis 14 Minuten an der Fall sein (5. bis 7. Meßpunkt). Die Gerade ist bis zum Zeitpunkt der letzten Meßwertes zu verlängern. b) Bestimmen Sie dann wie üblich die Steigung dieser GeradenT/t. Benutzen Sie dabei ein möglichst großes Steigungsdreieck. c) Berechnen Sie nun mit den aus Ihrer eigenen graphischen Darstellung gewonnen Zahlenwerten folgende auf drei signifikante Stellen zu rundende Werte: 1. Die Steigung der bestangepaßten Anstiegsgeraden g in Kelvin/Minute! (2.4) 2. Den Kehrwert der Steigung von g in Sekunden/Kelvin! (2.5) d) Mit dem Quotienten (t/t) nach Gl.(2.5) können Sie nun den Zahlenwert von c W nach Gl.(2.3) berechnen: Joule c.... w Ki log ramm Kelvin (Rundung auf drei signifikante Stellen.) V 19.12

13 2.4. Fehlerrechnung Nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz (Regel 8, Teil B) berechnet sich der prozentuale Fehler von c W zu t p(c W ) p(u) p(i) p(m) p (2.6) T Die Mittelwerte U und I sowie deren Fehler U und I liegen vor; daraus lassen sich p(u) und p(i) berechnen. Der Fehler p(m) war mit 0,5% angenommen worden. Es bleibt noch die Abschätzung des prozentualen Fehlers des Quotienten t/t. Der prozentuale Fehler der graphischen Bestimmung des Quotienten t/t wird wie folgt abgeschätzt: Die Messpunkte liegen, wenn man von der im vorigen Abschnitt diskutierten systematischen Abweichung zu höheren Temperaturen hin absieht, recht gut auf einer Geraden. Statistische Abweichungen sind auf fehlerhafte Temperaturbestimmung, wie sie z.b. durch nicht hinreichende Durchmischung des Wassers beim Aufheizen hervorgerufen werden kann, zurückzuführen. Nimmt man diesen Fehler zu etwa 0,2 C an, so kann man den prozentualen Fehler der Steigung zu etwa 2% abschätzen. Entsprechend setzen wir für den prozentualen Fehler der reziproken Steigung an: t p T 2,0 % Damit kann nach Gl.(2.6) der prozentuale Fehler p(c W ) von c W berechnet werden: p(c W ) =.. % In der Summe (2.6), die sich zum prozentualen Fehler p(c W ) aufaddiert, ist im allgemeinen t der Summand p der größte Wert. Runden Sie auch p(c W ) auf zwei signifikante Stellen. T Unabhängig von der Größe des prozentualen Fehlers p(c W ) lassen wir den Zahlenwert der spezifischen Wärme c W für später zunächst mit drei signifikanten Stellen stehen. V 19.13

14 2.5. Die Wärmekapazität des Kalorimetergefäßes Der auf zwei Nachkommastellen gerundete Literaturwert für die spezifische Wärmekapazität von Wasser liegt bei (c W ) Lit. = 4, Joule/(kg Kelvin). (2.7) Ihr Meßergebnis für c W wird im allgemeinen höher liegen, z.t. sogar erheblich. Der Grund dafür liegt nicht in Ungenauigkeiten Ihrer Messungen oder in einer fehlerhaften Auswertung, sondern er ist prinzipieller Natur: In der Gl.(2.2), die die Grundlage zur Berechnung von c W bildete, ist eine unzulässige Vereinfachung vorgenommen worden. Auf der rechten Seite steht die durch die Heizspiralen zugeführte Energie, auf der linken Seite die als Folge davon erzeugte Temperaturerhöhung T des Wasser der Masse m mit c W als Faktor. Die Vereinfachung in Gl.(2.2), die zu den zu hohen Werten für c W führt, liegt in der Annahme, daß die gesamte auf elektrischem Wege zugeführte Energie W U I t ausschließlich dazu verwendet wird, die Temperatur der Wassermenge der Masse m und T zu erhöhen. Die Energie W U I t erhöht aber nicht nur die Temperatur des Wassers um T, sondern ein Teil dieser Energie wird dazu verbraucht, um die Temperatur der Innenwand des Kalorimetergefäßes, des Rührers, des in das Wasser eintauchenden Teils des Thermometers, und - was zunächst verwunderlich erscheinen mag - der Heizdrähte selbst auch um T zu erhöhen. Dieser Teil W von W U I t steht also nicht mehr zur Erhöhung der Wassertemperatur zur Verfügung. Der Quotient W T K V (2.8) wird als Wärmekapazität oder Wasserwert des Kalorimetergefäßes bezeichnet. Die Einheit des Wasserwertes K ist Joule/Kelvin. (Sein Zahlenwert gibt an, wieviel Energie in Joule erforderlich ist, um die Temperatur des Kalorimeters um 1 Kelvin zu erhöhen.) Wir müssen also in der Energiebilanz von Gl.(2.2) die Energie W K T berücksichtigen, die nicht zur Erhöhung der Wassertemperatur genutzt werden kann. Zur Erhöhung der Wassertemperatur um T steht nur noch die Energie W ' W W U I t K T (2.9) zur Verfügung. Setzen wir W' statt W in Gl.(2.2) ein, so ergibt sich c w oder, wenn man K T auf die andere Seite bringt: m T U I t K T (2.10) c m K T U I t w (2.11) Bei Betrachtung von Gl.(2.11) sieht man, daß die Bezeichnung Wasserwert für die Wärmekapazität K des Kalorimeters eine durchaus anschauliche Bedeutung hat: K tritt in der Klammer als Summand zusätzlich zu dem Produkt aus Wassermasse m und c W auf. Das wirkt sich so aus, als müßte die rechts stehende Energie U I t statt der Wassermenge m noch eine zusätzliche Menge Wasser der Masse m aufheizen, wobei m aus K c m w (2.12)

15 zu berechnen wäre, so daß auf der linken Seite von (2.11) statt c W m + K der äquivalente Ausdruck c W (m + m) stehen würde. Ein Vergleich von Gl.(2.11) mit Gl.(2.2) zeigt, daß der von Ihnen bestimmte Wert, genannt (c W ) exp, mit dem Literaturwert verknüpft ist m (c W ) exp = m (c W ) Lit + K. (2.13) 2.6. Nachträgliche Bestimmung des Wasserwerts K Bei diesem Versuch wird darauf verzichtet, K noch einmal durch Messungen zu ermitteln. Stattdessen soll hier durch Vergleich Ihres Meßergebnisses für c W mit dem Literaturwert (c W ) Lit der Wasserwert K und die ihm nach Gl.(2.12) entsprechende Wassermenge m im nachhinein berechnet werden. Löst man Gl.(2.13) nach K auf, ergibt sich: K (c ) (c ) m, (2.14) worin die Wassermasse m = 0,200 kg ist. W exp Berechnen Sie K nach Gl.(2.14) auf zwei signifikante Stellen, benutzen Sie den vorn angegebenen Literaturwert. W Lit K =... Joule/Kelvin (2.15) Aus Gl.(2.12) schließlich berechnen Sie die K entsprechende Wassermenge m: K m... kg, (2.16) (c ) rechnen Sie m in Gramm um und runden ebenfalls auf zwei signifikante Stellen. W Lit Frage: Kann man diese Bestimmung von K als Eichung des Kalorimeters betrachten, um für andere Substanzen mit dieser Anordnung zuverlässige Werte der spezifischen Wärmekapazität zu bekommen? V 19.15

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17 2.7 Mischungstemperaturen und Schmelzenergie Sie finden an Ihrem Messplatz Waagen, Messbecher, Thermometer und Einen Wasserkocher. Im ersten Versuchsteil sollen Sie zwei Wassermengen unterschiedlicher Temperatur vermischen. Danach bestimmen sie die Schmelzenergie von Eis. 1) Mischtemperatur Notieren Sie die Wassermassen m 1 und m 2 und die dazugehörigen Temperaturen T 1 und T 2. Mischen Sie die Mengen und notieren Sie sich die Mischtemperatur T m.wieder holen Sie den Vorgang um eine weitere Mischtemperatur aufzunehmen. Die Ergebnisse sollen rechnerisch überprüft werden. Suchen Sie die dazu geeignete Formel im Skript. (die spezifische Wärmekapazität von Wasser soll mit 4,18 kj/kg K angenommen werden). 2) Schmelzenergie a) Tippen Sie zuerst, welche Mischtemperatur sich einstellt, wenn sie ca. 1kg Wasser bei 100 C mit 1kg Eis bei 0 C mischen. Tipp: b) Erhitzen Sie Wasser auf über 90 C (genaue Temperatur T w und Masse m w notieren). Nehmen Sie so viel Eis, dass die Masse m e des Eises etwas kleiner als die des Wassers ist. Dann mischen Sie das Wasser und das Eis. Notieren Sie die Mischtemperatur T we. Wiederholen Sie den Vorgang dann mit anderen Mengen. Wie groß ist die Schmelzenergie des Wassers? 3) Spezifische Wärmekapazität von Eisen Bestimmen Sie die spezifische Wärmekapazität von Eisen. Kühlen Sie dazu das Eisengewicht (500 g) auf etwa 0 C ab. Legen Sie das Gewicht in 500 ml warmes Wasser und messen Sie die Mischungstemperatur. Benutzen Sie eine entsprechend modifizierte Form der Rechnung von 2b um die Wärmekapazität von Eisen zu bestimmen. V 19.17

18 V 19.18

19 V 19.19

20 V 19.20

21 Hier Diagramm einkleben [ V 19.21

22 Hier Diagramm einkleben ] V 19.22