Vorlesungs-Skript. Betriebsfestigkeit. Prof. Dr. Dieter Joensson. HTW Berlin 2016 Fachbereich Ingenieurwissenschaften Technik und Leben

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1 Vorlesungs-Skript Betriebsfestigkeit Prof. Dr. Dieter Joensson HTW Berlin 2016 Fachbereich Ingenieurwissenschaften Technik und Leben Vorlesung im 3. Fachsemester des Masterstudienganges Maschinenbau mit 2 Stunden Vorlesung pro Woche

2 D. Joensson Seite 1 von 2 Vorbemerkung zum Skript Betriebsfestigkeit Mit dem einsemestrigen Wahlpflichtmodul Betriebsfestigkeit an der HTW Berlin und den 2 Stunden pro Woche kann nur eine erste Einführung in dieses Fachgebiet gegeben werden. Wer berufsmäßig Betriebsfestigkeit betreiben möchte, kommt zumindest im deutschsprachigen Raum um zwei Fachbücher und eine Richtlinie nicht herum: Haibach, E.: Betriebsfestigkeit. Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung. Springer- Verlag Berlin, Heidelberg, 3. Auflage Radaj, D., Vormwald, M.: Ermüdungsfestigkeit. Grundlagen für Ingenieure. Springer- Verlag Berlin, Heidelberg, 3. Auflage FKM-Richtlinie: Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile aus Stahl, Eisenguss- und Aluminiumwerkstoffen. Herausgeber: Forschungskuratorium Maschinenbau (FKM), VDMA Verlag Frankfurt am Main, 6. Auflage Wer als Anfänger eines dieser beiden Bücher oder die Richtlinie in die Hand nimmt, wird von der Fülle der Fakten und Abhandlungen buchstäblich überrollt. Das liegt nicht nur daran, dass Betriebsfestigkeit fast durchgängig mit Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung durchsetzt ist. Betriebsfestigkeit zählt zu den komplexesten Fachgebieten des Maschinen- und Fahrzeugbaus mit den teuersten Prüfmaschinen, den aufwendigsten Prüfverfahren und der vielfältigsten Verknüpfung aller Gebiete der Festkörpermechanik. Im vorliegenden Skript werden nur erste Grundlagen und Vokabeln beschrieben, insbesondere zur Statistik der Wöhlerlinie und zur Amplitudentransformation auf Amplituden ohne Mittelspannungen. Mit diesem Grundgerüst sollte es möglich sein, die oben erwähnten Bücher dann doch in die Hand zu nehmen, ohne gleich zu verzagen. Im Skript werden statistische Streuungen der Beanspruchungsverläufe nicht thematisiert. Diese Streuungen treten zusätzlich zu den Werkstoff-Streuungen (der Wöhlerlinie) auf und müssen in realen Einsatzfällen mit berücksichtigt werden. Auch dazu sind in den oben erwähnten Büchern die erforderlichen Beschreibungen enthalten. Vorgestellt werden im Skript nur einfache Lebensdauerberechnungen sowie die Nutzung eines "Freeware-Programms" in Form des Betriebsfestigkeitstools von Ansys Workbench. Um Freeware handelt es sich insofern nur, solange die Anwender noch Studenten sind und das FEM-Programmsystem Ansys demzufolge als Studentenversion kostenfrei nutzen können.

3 D. Joensson Seite 2 von 2 Vorbemerkung zum Skript Betriebsfestigkeit Wenn jemand am Computer z.b. mit rein elastisch berechneten Spannungen Lebensdauerwerte ermitteln möchte, erlebt eine Überraschung: Schon einfache Kerben im Bauteil führen bei relativ geringen Belastungen zu Spannungen oberhalb der elastischen Streckgrenze und damit zu geringen Bruchlastwechselzahlen der Spannungs-Wöhlerlinie. In der FKM-Richtlinie wird ihre Anwendung für größere Bruchlastwechselzahlen ab Lastwechseln empfohlen - oder nicht weiter erwähnt. Um trotzdem handlungsfähig zu bleiben, empfehle ich in Kapitel für erste Berechnungen eine Extrapolation der Wöhlerlinie als Grobabschätzung. Genauere Berechnungen erfordern dann natürlich mehr Aufwand: Die Berücksichtigung elastisch-plastischer Effekte z.b. über die Dehnungs-Wöhlerlinie, die Berücksichtigung bruchmechanischer Effekte sowie des örtlichen Spannungsgefälles. Andererseits treten in vielen Beanspruchungsverläufen anteilig in überwiegender Zahl Lastwechsel mit niedrigen Spannungswerten auf, für die wiederum die Spannungs- Wöhlerlinie besser als die Dehnungs-Wöhlerlinie geeignet ist. In den beigefügten Workbench-Übungen soll vor allem demonstriert werden, welche beträchtlichen Fehler bei falscher Anwendung entstehen können. Weitere Literaturempfehlungen: Buxbaum, O.: Betriebsfestigkeit. Verlag Stahleisen mbh Düsseldorf, 2. Auflage Gudehus, H., Zenner, H.: Leitfaden für eine Betriebsfestigkeitsrechnung. Verlag Stahleisen GmbH Düsseldorf, 4. Auflage 2004 und 2007 Sander, M.: Sicherheit und Betriebsfestigkeit von Maschinen und Anlagen. Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008 Richard, H. A., Sander, M.: Ermüdungsrisse. Vieweg + Teubner Verlag Wiesbaden 2009 Köhler, M., Jenne, S., Pötter, K., Zenner, H.: Zählverfahren und Lastannahme in der Betriebsfestigkeit. Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012

4 Inhaltsverzeichnis Betriebsfestigkeit 1. Einleitung 1 2. Grundbegriffe der Schwingfestigkeit Amplituden-Schwingspiel Verschiedene Schwingfestigkeiten Spezielle Fachgebiete der Schwingfestigkeit Die drei Bestandteile der Betriebsfestigkeit 8 3. Die Wöhlerlinien des Wöhlerdiagramms Statistische Streuung der Bruch-Schwingspielzahlen Das Wöhlerdiagramm Die Wöhlerlinie Statistische Grundlagen des Wöhlerdiagramms Vorgeschichte: Die Klassierung großer Stichproben Die Grundgesamtheit mit stetiger Verteilung Die Normalverteilung als spezielle Verteilungsfunktion Kleine Stichproben Logarithmische Normalverteilung Streuspannen T N und T S Wöhlerlinie für P ü = 97,5 % Statistische Bestimmung der Dauerfestigkeit Fazit Experimenteller Aufwand für ein Wöhlerdiagramm Das Perlenschnurverfahren Wöhlerlinien für Mittelspannungen ungleich Null Kerbeinfluss auf Wöhlerlinien Bauteil-Wöhlerlinie und Werkstoff-Wöhlerlinie Kerbwirkungszahl und Stützziffer Drei Konzepte der Betriebsfestigkeit zur Kerbwirkung Weitere Einflüsse auf Bauteil-Wöhlerlinien 56

5 Inhaltsverzeichnis Betriebsfestigkeit 3.8 Künstlich erzeugte Wöhlerlinien Ein Beispiel nach FKM-Richtlinie Lebensdauer-Vergleich für beide Konzepte Wöhlerlinien für FEM elastisch Werkstoff-Wöhlerlinien mit grob geschätzter Kurzzeitfestigkeit Lebensdauer-Berechnung Einleitung Schadensakkumulation hypothetisch Die Hypothese von Palmgren und Miner Intermezzo: Kollektive Drei Sonderformen der Palmgren-Miner-Formel Miner elementar Miner original Miner konsequent Beanspruchungsanalysen der Betriebsfestigkeit Einleitung Regellose Wechselbeanspruchung mit R = Regellose Wechselbeanspruchung plus konstante Mittelspannung Beanspruchung mit schwankenden Mittelspannungen Das Rainflow-Klassierverfahren Schädigungsmatrix Ausblick 85 FEM-Übungen zur Betriebsfestigkeit ab Seite 91 der vorliegenden Datei Joen-Skript_BFe.pdf

6 Betriebsfestigkeit Seite 1 B e t r i e b s f e s t i g k e i t 1. Einleitung Betriebsfestigkeit bedeutet: Schwingfestigkeit bei regelloser Beanspruchung z.b. Zeit Ziel der Betriebsfestigkeit: Lebensdauervorhersage für regellos beanspruchte Bauteile sowie optimale Ausnutzung des Materials für eine vorgegebene Lebensdauer (Dimensionierung auf Zeitfestigkeit ) Alternative: Dimensionierung auf Dauerfestigkeit (das Bauteil soll ewig halten) Leichtbauprinzip! Zuerst im Flugzeugbau ab etwa 1930 entstanden. Heute im Maschinenund Fahrzeugbau ebenso üblich. Prof. Dr. 2015

7 Betriebsfestigkeit Seite 2 2. Grundbegriffe der Schwingfestigkeit 2.1 Amplituden-Schwingspiel Ein Schwingspiel (mitunter auch Lastwechsel oder Zyklus genannt) entspricht bei harmonischer (sinusförmiger Schwingung) einer kompletten Schwingungsperiode der Dauer T. t 1 Schwingspiel beginnt also z.b. bei einem positiv ansteigenden Nulldurchgang und endet beim nächsten positiven Nulldurchgang oder beginnt bei einem Maximalwert und endet beim nächsten Maximalwert. Das Gleiche gilt für aufeinander folgende Minimalwerte. Bei nicht-harmonischen Schwingungsverläufen werden in der Betriebsfestigkeit zunächst Halb-Schwingspiele ( von Spitze zu Spitze ) jeweils aufsteigend und absteigend ermittelt und zu vollständigen Schwingspielen zusammengesetzt. Jedes Halb-Schwingspiel i wird dabei mit 2 Werten charakterisiert: Amplitude ai und zugehörige Mittelspannung mi a ˆ a m ˇ ˆ m ˇ t

8 Betriebsfestigkeit Seite 3 Dies führt zu einer anderen Interpretation als in Maschinendynamik. Beispiel: (t) m t Dieser Verlauf wird in Maschinendynamik mittels Fourier-Analyse als Summe von harmonischen Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden interpretiert: m t ˆ t ˆ 2 t Null Hertz Frequenz" Grundschwingung mit Frequenz f 1 1. Oberschwingung mit Frequenz f 2 usw. bzw. rationell zusammengefasst im Amplituden-Frequenzgang ˆ 1 ˆ f 1 f 2 f 3 f 4 f [Hz] (mit einer einzigen gemeinsamen Mittelspannung m bei f = 0 Hz)

9 Betriebsfestigkeit Seite 4 im Unterschied zur Betriebsfestigkeit: m1 a1 t m2 a2 + + t m3 t a2 usw. Hier wird der Zeitverlauf durch verschiedene Amplituden ai und zugehörige Mittelspannungen mi interpretiert - ohne Berücksichtigung unterschiedlicher Frequenzen. Wesentliche Unterschiede zwischen Maschinendynamik und Betriebsfestigkeit: 1.) In der Betriebsfestigkeit kann jeder Schwingungsanteil seine eigene Mittelspannung haben. 2.) In der Betriebsfestigkeit interessiert vor allem die Anzahl der ertragbaren Lastwechsel bis zum Bruch des Bauteils (Stichwort Lebensdauer oder Schwingfestigkeit des Bauteils)

10 Betriebsfestigkeit Seite Verschiedene Schwingfestigkeiten (im Unterschied zur statischen Festigkeit) Beispiel Statisches Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Baustahl: R m R e statische Zugfestigkeit Rm ( Bruchfestigkeit ) statische Streckgrenze Re Re zulässige Spannung zul = 1,5 Bei schwingender Beanspruchung führen bereits Amplituden zum Bruch des Bauteils. a < Re / 1,5 Beispiel Einstufige Schwingbeanspruchung (d.h. 1 konstante Amplitude als Beanspruchungsstufe) a T Bruch t mit a : Amplitude < Rm statisch T : Schwingungsdauer A 1 Schwingspielzyklus Die Anzahl der Schwingspielzyklen bis zum Bruch heißt Bruchschwingspielzahl oder Bruchlastwechselzahl N B. Hier: N B = 4 Während der Schwingbeanspruchung tritt Ermüdung des Werkstoffes und Rissbildung auf.

11 Betriebsfestigkeit Seite 6 Drei Stadien der fortschreitenden Schädigung bei 1-stufiger Schwingbeanspruchung: 100 % Schädigung 0 % I II III N A N B Lebensdauer Anriss Bruch Stadium I : II : III : Bildung der Ermüdungsgrundstruktur Rissbildung (Mikrorisse wachsen zu Makrorissen) Rissausbreitung der Makrorisse bis zum Bruch des Bauteils Je nach Dauer der ertragbaren Lastwechsel unterscheidet man a) Dauerfestigkeit ( = Dauerschwingfestigkeit), d.h. die Schwingungs-Amplitude a der Spannung ist so niedrig, dass sie vom Bauteil oft ertragen werden kann. Der obere Grenzwert für a mit dieser Eigenschaft ist D : a D Dauerfestigkeit als Werkstoffkennwert b) Zeitfestigkeit a ist so groß, dass nach einer endlichen Zeitspanne das Bauteil zu Bruch geht. Dies gilt für Amplituden D < a < Re mit Re : statische Zug-Streckgrenze Dazu gehören folgende Bruch-Schwingspielzahlen bei Stahl: N B 10 3 bis 10 7 c) Kurzzeitfestigkeit N B = 1 bis 10 3 bei Stahl für Spannungsamplituden Re < a < Rm Alle drei Schwingfestigkeiten sind im Wöhlerdiagramm enthalten Kap. 3.

12 Betriebsfestigkeit Seite Spezielle Fachgebiete der Schwingfestigkeit Ermüdungsfestigkeit Untersucht 1.) vorrangig bei 1-stufiger Beanspruchung die zyklische Werkstoffermüdung (Dauerfestigkeit sowie Zeit- und Kurzzeitfestigkeit bis zur Anriss-Zyklenzahl N A < N B ) unter Berücksichtigung verschiedener Einflussgrößen (Werkstoff, Bauteilgeometrie, Belastungsart.) 2.) werkstoff-physikalisch die Ermüdungsgrundstruktur ( Stadium I der Schädigung), d.h. die Änderungen der Werkstoffeigenschaften. 3.) die Wirkung mehrstufiger Beanspruchungen bis zum messbaren Anriss N, z.b. a1 A a2 t meistens mit geordneter 2- oder 3-stufiger Beanspruchung Bruchmechanik Untersucht die Rissausbreitung zwischen Anriss-Lastwechselzahl Bruchlastwechselzahl N B ( Stadium III der Schädigung), N A und meistens für 1-stufige und geordnete mehrstufige Beanspruchungsverläufe Betriebsfestigkeit Unter Nutzung der Erkenntnisse der oben genannten Fachgebiete werden Lebensdauervorhersagen für regellos beanspruchte Bauteile bis zum Bruch erstellt.

13 Betriebsfestigkeit Seite Die drei Bestandteile der Betriebsfestigkeit 1.) Wöhlerlinie aus 1-stufiger Beanspruchung a1 N B1 z.b. für P = 90 % ü log N B t 2.) Analyse der regellosen Beanspruchungs-Zeit-Funktion durch Auszählen der vorhandenen Häufigkeiten einzelner Schwingspiele t liefert zu jeder möglichen Spannungsamplitude eine Bruchlastspielzahl N Bi ai liefert die Anzahl n i der vorhandenen Schwingspiele zu jeder Beanspruchungsstufe i n i 3.) Schadensakkumulationshypothese zu jedem Schwingungsanteil i wird aus n i und ein Schädigungsbeitrag berechnet N Bi D i und daraus die Lebensdauer N BL des Bauteils für diese Beanspruchung σ (t)

14 Betriebsfestigkeit Seite 9 3. Die Wöhlerlinien des Wöhlerdiagramms 3.1 Statistische Streuung der Bruch-Schwingspielzahlen Identisch hergestellte Bauteile liefern bei harmonischer Schwingbeanspruchung mit 1 konstanten Amplitude ai jeweils deutlich verschiedene Werte für die Bruch-Schwingspielzahlen N = N. Beispiel: Zugkraft F(t) sinusförmig F (t) über t erzeugt im engsten Querschnitt des Bauteils eine Spannungs-Amplitude : a 1 B a1 Die statistische Auswertung je Spannungshorizont ai liefert eine Häufigkeitsverteilung für t N i : a je Bauteil 1 Punkt für N log N logarithmisch wegen großer Streuspanne Häufigkeit f (N) N 90 N 50 N 10 log N mit N 90 : 90 % aller Bauteile überleben diese Anzahl N N 90 repräsentiert eine Überlebenswahrscheinlichkeit von P ü = 90 %. Des Weiteren gilt: N 50 = N B für 50 % P ü, N 10 = N B für 10 % P ü Fazit: 1.) Zu jedem Spannungshorizont ai gehören stets mehrere Werte N i ( theoretisch viele ) 2.) Daraus einen Mittelwert zu bilden, wäre sinnlos, weil die Hälfte (!) aller Bauteile diesen Wert nicht erreichen kann. 3.) Für technische Belange viel wertvoller sind hohe P ü -Werte: Mindestens 90 % P ü oder 97,5 % P ü.

15 Betriebsfestigkeit Seite Das Wöhlerdiagramm Werden die Ergebnisse mehrerer Spannungshorizonte (des gleichen Bauteils) über N i aufgetragen, so entsteht ein Wöhlerdiagramm als Streuband: a a2 Wöhlerlinie für P ü = 10% a1 P ü = 90% log N Sonderfall des Wöhlerdiagramms: Einzelne Wöhlerlinien, jeweils für 1 konkrete Überlebenswahrscheinlichkeit P ü bzw. Ausfallwahrscheinlichkeit P A = 100 % - P ü bzw. Bruchwahrscheinlichkeit P = P = 100 % - Wöhlerdiagramm komplett mit Streuband zwischen 10 % und 90 % a R m R e Amplitude Kurzzeitfestigkeit B A Zeitigfestigkeit P ü P ü : Dauerfestigkeit ai 10% P ü = 90% P A Häufigkeit 90% P 50% ü D 0, log N mit ai ein beliebiger Spannungshorizont P ü = 90 % bedeutet: 90 % aller Bauteile überleben diese Linie, 10 % erreichen sie nicht.

16 Betriebsfestigkeit Seite 11 Auch die statische Zugfestigkeit R m auf der Ordinate des Wöhlerdiagramms ist eine streuungsbehaftete Größe: Nur 10 % aller identischen Bauteile erreichen hier den oberen Wert mit P ü = 10 %. Die zugehörige Bruch-Schwingspielzahl ist N B = 1 4 R m Bruch t 1 T 4 Des Weiteren sind die statische Streckgrenze R e und die Dauerfestigkeit ebenfalls Streuungsgrößen. D Statische Versuche an identischen Bauteilen liefern je Versuchsprobe jeweils eine eigene Spannungs-Dehnungs-Linie, z.b.: Auch der E-Modul (der Anstieg R m R e der Anfangsgeraden) ist streuungsbehaftet E 2 = tan Die statistische Auswertung der Versuche liefert P ü -Prozentwerte für R e und R. m 2 Daraus folgt z.b.: R m 90 = R m mit 90 % P ü (d.h. dieser Wert wird von 90 % aller identischen Proben überschritten) und R m 10 (= R m mit 10 % P ü ) wird nur von 10 % erreicht.

17 Betriebsfestigkeit Seite Die Wöhlerlinie Wöhlerlinie: Sonderfall des Wöhlerdiagramms für 1 konkrete Überlebenswahrscheinlichkeit P bzw. Ausfallwahrscheinlichkeit P. ü A a R m90 z.b. für P ü = 90% (=10% P A ) AR e90 a1 WL D N B log N R m 90 und D 90 sind experimentell ermittelbare Werkstoffkennwerte, die jeweils von 90 % aller identischen Bauteile überschritten werden. R folgt aus statischen Versuchen, D 90 aus Schwingungsversuchen). ( m 90 Werden beide Achsen logarithmisch aufgetragen, so entsteht eine ähnliche Kurve der Wöhlerlinie wie bei linear-logarithmischer Darstellung. Die näherungsweise Interpretation der Zeitfestigkeitskurve als Gerade führt dann auf eine besonders kurze Exponentialgleichung für ( N ). a log a R m90 WL idealisiert mit Anstieg k z.b. P ü = 90% trilinear D90 tatsächliche WL log N N D90

18 Betriebsfestigkeit Seite 13 Die Gleichung der idealisierten Zeitfestigkeits-Geraden im log-log-system lautet: N ( ) = a N D a D k Mit N D : fiktive Bruch-Schwingspielzahl für die Dauerfestigkeit D (mitunter auch Knickpunkt-Zyklenzahl genannt einen solchen Knick gibt es aber real nicht) a : Amplitude der einstufigen Beanspruchung d.h. a1 0 (t) t a a1 N 1 log N N ( ) : zugehörige Bruch-Schwingspielzahl N a k : Neigung der Zeitfestigkeits-Geraden im log-log-system k = tan α z.b. bei Metallen übliche Werte: k = 3 bis 25 Beispiel: Wöhlerlinie für Ges.: P ü = 90 % mit k = 6,7 und D = 94 MPa bei N D = 10 6 Bruch-Schwingspielzahlen N für a 1 = 200 MPa und a 2 = 140 MPa Lösung: a 1 ) = N D D N 1 ( a 1 k = ,7 = Schwingspiele N 2 ( a 2 ) = = Schwingspiele

19 Betriebsfestigkeit Seite Statistische Grundlagen des Wöhlerdiagramms Oder: Woher kommen die Prozentwerte für P ü und P u? Vorgeschichte: Die Klassierung großer Stichproben Für einen Messwert sind theoretisch viele Ergebnisse möglich. Zufällige Auswahl = Stichprobe. Mehr als n = 100 Einzelergebnisse: Großer Stichprobenumfang (n > 100) z.b. 198 Messwerte zu einer Größe x: 0 Häufung x Auswertung der Häufung durch Klassierung, d.h. willkürliche Einteilung eines Messbereiches x min bis x max in k Klassen gleicher Breite x = ( x max - x min ) / k und anschließende Zählung der Häufigkeit in jeder Klasse. 0 Klasse x x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = x max Nach dieser Einteilung z.b. in 8 Klassen liegen hier deutlich mehr Messwerte im Bereich der Klasse 4 (zwischen x 3 und x 4 = x 3 + x) im Vergleich zu Klasse 1 oder 8. Die gezählten Häufigkeiten werden anschaulich als Stabdiagramm oder als Säulendiagramm (Histogramm) dargestellt.

20 Betriebsfestigkeit Seite 15 H j absolute Klassenhäufigkeit je Klasse j = 1 k n =198 Einzelwerte in 8 Klassen 0 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x = x min = x max Die Häufigkeiten im Stabdiagramm werden jeweils in der Klassenmitte angetragen. Aus Hj folgt die relative Klassenhäufigkeit h j (x j ) = H(x) j n j in % gleiches Bild wie H j (x j ), jetzt aber mit Ordinate in % : h j [%] 20 relative Klassenhäufigkeit 23,2 % 10 5,6 % 13,1 % 11,6% = 23/ x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x h j (x j ) wird auch Häufigkeitsfunktion der Stichprobe genannt.

21 Betriebsfestigkeit Seite 16 Werden diese %-Werte h j von links beginnend je Klasse an der rechten Klassengrenze aufsummiert, so entsteht die Relative Klassen-Summenhäufigkeit h j (x j ) h j [%] 100 % Verteilungsfunktion der Stichprobe 33,8 % 25 18,7 % 5,6 % 0 0 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x max x Mit h j ist zu jedem Wert x j sofort sichtbar, wieviel % aller Messwerte der Stichprobe diesen Wert unterschreiten. h j (x j ) = Unterschreitungswahrscheinlichkeit P u Daraus folgt die Überschreitungswahrscheinlichkeit P ü P ü = 100% - P u wegen P u + P ü = 1 In der Mathematik wird meistens die Unterschreitungs-Wahrscheinlichkeit P u bevorzugt, in der Betriebsfestigkeit eher P ü.

22 Betriebsfestigkeit Seite 17 Beispiel: Wie groß ist die Überschreitungswahrscheinlichkeit und x 5 im Diagramm auf Seite 15? P ü für die Werte x 3 P u (x 3 ) = h (x 3 ) = 1 n H (x 3) = ( ) = Also P ü (x 3 ) = 100% - 33,8 % = 66,2 % = 33,8 %. 66,2 % aller Messwerte dieser Stichprobe überschreiten den Wert x 3. P u (x 5 ) = h (x 5 ) = 1 n H (x 5) = = 76,8 %. Also P ü (x 5 ) = 23,2 % Nur 23,2 % aller Messwerte überschreiten den Wert x 5.

23 Betriebsfestigkeit Seite Die Grundgesamtheit mit stetiger Verteilung Sämtliche mögliche Messwerte einer konkreten Prüfgröße bilden die so genannte Grundgesamtheit für n =. Aus der diskreten (brüchigen) Funktion h j (x j ) wird mittels unendlich feiner Klassenteilung eine stetige Dichtefunktion f(x), z.b: f f (x) 0 x i x! Die Maßeinheit von f ist nicht Prozent, sondern der Kehrwert der Maßeinheit von x (z.b. x in kg liefert f in 1/kg). Umrechnung zur diskreten relativen Häufigkeit h(x) in Prozent: h (x) = f (x) x mit endlicher Klassenbreite x Durch Integration der Dichtefunktion folgt die stetige Verteilungsfunktion F 1 F (x) P u (x i ) x F F(x) = f(x)dx f x dx x 0 x i x

24 Betriebsfestigkeit Seite 19 F (x) ist dimensionslos bzw. in % angegeben und entspricht der relativen Summen-Häufigkeit. Dabei gilt stets 0 < F (x) < 1 F (x) kennzeichnet die Unterschreitungswahrscheinlichkeit P u für den Wert x: F (x) = P u (x) = P ( X < x) d.h. F(x) beschreibt die Wahrscheinlichkeit P, dass die Zufallsgröße X kleiner als der konkrete Einzelwert x ist. Der schraffierte Flächeninhalt zwischen ( - ) bis x i im Diagramm f (x) entspricht im Diagramm F (x) einem Punkt. Konkrete x i -Werte zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit P (z.b. 1% oder 90 %) heißen Quantile.

25 Betriebsfestigkeit Seite Die Normalverteilung als spezielle Verteilungsfunktion Bei Messungen wurde entdeckt: Für bestimmte Messgrößen treten typische Häufigkeitsverteilungen auf, die sich mit wenigen Parametern rationell beschreiben lassen, z.b. Poissonverteilung, Binominal-V., Exponential-V., Gaußsche V., Weibull-V. usw.. Speziell die Gaußsche V. wird auch Normalverteilung (NV) genannt. Bei dieser Verteilung genügen 2 Werte (Parameter) zur vollständigen Beschreibung: 1.) Der Erwartungswert μ kennzeichnet den Mittelwert x, bei dem die größte Häufigkeit auftritt. 2.) Die Standardabweichung σ kennzeichnet den x-abstand zwischen dem Gipfel und den Wendepunkten der Dichtefunktion f (x) f Gaußsche f (x) Glockenkurve symmetrisch 0 x F 1 F (x) 0,5 P u (x i ) Auch hier gilt 0 < F (x) < 1 und 0 0 x i F (x) = P u (x) x

26 Betriebsfestigkeit Seite 21 Mit μ und σ werden die Lage des Gipfels und die Breite der Häufigkeitsverteilung beschrieben, z.b.: f f 1 (x) f 2 (x) x Das alles gilt jeweils für viele Messwerte einer Prüfgröße. Hat die relative Klassenhäufigkeit h (x j ) einer Stichprobe mit n Werten etwa die Form einer Gaußschen Glockenkurve, so kann eine normalverteilte Grundgesamtheit vermutet werden. Ob tatsächlich eine Normalverteilung vorliegt, kann geprüft werden: Entweder analytisch mit statistischen Prüfverfahren, siehe z.b. Papula Band 3, oder grafisch mittels Wahrscheinlichkeitsnetz (erfunden von A. Hazen 1914) In diesem Netz ist die Ordinate entsprechend dem Gaußschen Integral für F (x) nichtlinear verzerrt: P u % neu 60 original Damit entsteht aus der S-Kurve der Funktion F (x) eine Gerade 0,1 0,01 x

27 Betriebsfestigkeit Seite 22 Werden in diesem Netz Stichprobenwerte h j (x j ) normalverteilter Grundgesamtheiten eingetragen, so liegen diese Punkte auf einer Geraden bzw. können durch eine Ausgleichsgerade angenähert werden: P u 90 h (x i ) ,1 x x i x Für P u = 50 % und andere %-Werte können die zugehörigen x i -Werte von der Ausgleichsgeraden abgelesen werden. Liegen die Punkte h j (x j ) nicht auf einer Geraden bzw. annähernd auf einer Geraden, so liegt keine Normalverteilung vor! Aus dem Wahrscheinlichkeitsnetz sind folgende zwei Parameter ablesbar: Empirischer Mittelwert x μ bei P u = 50 % und Empirische Standardabweichung s x σ als Differenzbetrag von x und dem x-wert für P u = 15,87 % oder als Differenzbetrag von x und dem x-wert für P u = 84,13 %.

28 Betriebsfestigkeit Seite Kleine Stichproben n < 30 Bei Wöhlerversuchen sind oft nur je Spannungshorizont 6 bis 10 Versuchswerte vorhanden. Statistische Auswertung mit Summenhäufigkeiten aus Klassierung ist nicht möglich. Deshalb spezielle Auswertung als Kleine Stichprobe, d.h. Simulation der relativen Summenhäufigkeit hj durch so genannte Positionswahrscheinlichkeiten. Dazu werden die n Versuchswerte x i der Größe nach geordnet: x 1 x n kleinster Wert größter Wert Diesen Werten werden dann %-Positionen mit Hilfe einfacher Schätzformeln zugeordnet, z.b. nach Weibull 1951 Pu = i n 1 mit i = 1, 2, n Beispiel: 9 Werte x i x 1 Pu 1 = 1 / 10 = 10 % x 2 Pu 2 = 20 % x 9 Pu 9 = 90 % Unterschreitungs-Wahrscheinlichkeit (entspricht hj bei großen Stichproben) P u % F (x) Die Werte-Paare Pu i -x i können dann im Wahrsch.-Netz als Punkte eingetragen werden. Auswertungs-Ergebnis: x und s x 10 x 1 x 2 x 3 s x x 4 x x 5 x

29 Betriebsfestigkeit Seite 24 Alternative: Die umgekehrte Reihenfolge j = n, n-1, 1 führt zur Überschreitungs-Wahrscheinlichkeit (= Überlebens- wahrscheinlichkeit) P ü P u i Pü n 1 j n 1 P u % P ü % F (x) 1 F (x) x 1 x x n x x 1 x x n x P u typisch für Mathematik P ü typisch für Betriebsfestigkeit Weitere Schätzformeln für Positionswahrscheinlichkeiten kleiner Stichproben stammen von Stepnow, Blom, Hück, Rossow. z.b. Rossow-Formel 1964 P u = 3 i 1 3n 1 bzw. P ü = 3 j 1 3n 1 mit i = 1, 2, n bzw. j = n, n-1, 1 jeweils für x 1 = kleinster Wert und x n = größter Wert. Die Auswertung für P ü = 10, 50 und 90 % mehrerer Spannungshorizonte führt dann direkt zum Wöhlerdiagramm

30 Betriebsfestigkeit Seite 25 Bild-Zitat aus einem Fachbuch. Wird hier aus Urheberrechtsgründen nicht gezeigt und wurde in der damaligen Vorlesung nur für die Teilnehmer verwendet. Der Zugriff darauf erfolgte in nicht öffentlichem Ressort. Bild-Zitat aus einem Fachbuch. Haibach, E.: Betriebsfestigkeit. Springer-Verlag, 3. Auflage 2006, S. 30/31

31 Betriebsfestigkeit Seite Logarithmische Normalverteilung Die Bruch-Schwingspielzahlen N je Spannungshorizont a der Zeitfestigkeit im Wöhlerversuch sind typischerweise NICHT normalverteilt, d.h. die Häufigkeitsverteilung ist keine Glockenkurve, sondern deutlich unsymmetrisch nach rechts flacher auslaufend: h j % relative Häufigkeit f (x) Häufung x = lin N Wird jedoch N logarithmisch aufgetragen, so entsteht zumindest näherungsweise wieder eine Gauß sche Glockenkurve: h j bzw. f Diese Verteilung heißt f (x) Logarithmische Normalverteilung. F z z z = log N Sie hat ebenfalls nur 2 Parameter: 1 Mittelwert z und 0,5 F (x) Standardabweichung z 0 z z = log N Die S-förmige Verteilungsfunktion F (z) bildet im Gaußschen Wahrscheinlichkeitsnetz Nr. 485 (mit logarithmischer Abszisse) eine Gerade. Die Auswertung erfolgt ähnlich wie mit dem Wahrscheinlichkeitsnetz Nummer 500. Abgelesen werden jetzt die empirischen Werte: z = log x z und s z z

32 Betriebsfestigkeit Seite Streuspannen T N und T S Üblicher Streuungskennwert der Mathematik: Standardabweichung der Grundgesamtheit bzw. empirische Standardabweichung s der Stichprobe. In der Betriebsfestigkeit bevorzugt wird jedoch die so genannte N10 Streuspanne T N = 1 : N ü 90 ü N N 90 ü = 10 ü für die Streuung der Bruch-Schwingspielzahlen N bei konstanter Spannungs-Amplitude a mit sowie N 10 ü = N mit 10 % Überlebenswahrscheinlichkeit Pü N 90 ü = N mit 90 % P ü Beispiel: T N = 1 : 2,41 auf S. 25 oben bedeutet: N 10 ü = 2,41 N90 ü Je Spannungshorizont kann so die horizontale Streuung anschaulich beschrieben werden: a f (x) N 90 ü N 50 N 10 ü log N Die vertikale Streuung bei konstanter Schwingspielzahl N wird durch die Streuspanne T S (der Spannungs-Amplituden) beschrieben: 10 T S = 1 : ü 90 ü 90 ü = 10 ü mit 10 ü = a mit 10 % P ü sowie 90 ü = a mit 90 % Pü

33 Betriebsfestigkeit Seite 28 Darstellung der vertikalen Streuung: a 10 ü R m90ü 90 ü 0,25 N = konst. N D log N Umrechnung von Streuspanne und Standardabweichung: Erfolgt mit Hilfe der normierten Normalverteilung (auch Standard- Normalverteilung genannt). Deren Parameter sind = 0 und = 1: f = 0 = 1 Speziell für = 1 gilt: P u = 84,13 % Eine Unterschreitungs-Wahrscheinlichkeit P u = 90 % wird gemäß Standard-Normalverteilung beim Quantilwert x = 1,282 erreicht. Daraus folgt für nicht normierte Normalverteilungen von Stichproben: h % 1 1,282 x x 90 ü x x 10 ü x 1,282s x x 10 ü = x + 1,282 s x und x 90 ü = x - 1,282 sx

34 Betriebsfestigkeit Seite 29 Umrechnung von s x in Streuspanne T x : x90 T x = x ü 10 ü liefert T x = x 1,282 s x 1,282 s x x bzw. Umstellen dieser Gleichung nach s x : s x = x 1 1,282 1 T 1 T x x für normalverteilte Stichproben mit T x = T N und s x = s N bzw. mit T x = T S und s x = s S! Bei logarithmischer Normalverteilung gelten diese Formeln nicht! h j N 90 ü N 50 N 10 ü log N = z s z s z Mit der Standardabweichung s z des logarithmischen Merkmals z = log N (mit log = Logarithmus zu einer beliebigen Basis wie 10 oder e) entsteht zum Beispiel für die Bruch-Schwingspielzahlen N : log N 10 ü = log N50 1,282 sz und log N 90 ü = log N50 1,282 sz N90 Des Weiteren gilt: T N = N ü 10 ü 90 sowie log T N = log N N10 ü ü log N log N = 90 ü 10 ü bzw. log T N = log N 1,282 s - N s 50 z log 50 1,282 z

35 Betriebsfestigkeit Seite 30 also log T N = 2,564 sz Daraus folgt für die logarithmische Normalverteilung speziell mit lg = log zur Basis 10: s z = 1 lg T N oder T 2,564 N = 10 2,564 sz Umrechnung von T N und T S : Beide Streuspannen lassen sich ineinander umrechnen, wenn die Neigung k der linearisierten Wöhlerlinie (gemäß Seite 12) gegeben ist: T N = k TS und T S = 1 k T N = k T N mit k : Neigung der Wöhlerlinie für P ü = 50 % Die Neigung k wiederum kann aus zwei Punkten dieser 50 % - Wöhlerlinie im log-log-diagramm ermittelt werden: Punkt 1 mit a 1 und N 1 sowie Punkt 2 mit a 2 und N 2 liefern: k = log N / N 2 1 log / a 1 a 2 siehe auch Seite 31.

36 Betriebsfestigkeit Seite 31 Wöhlerdiagramm mit Streuspannen T N und T S : Bild-Zitat aus einem Fachbuch. Wird hier aus Urheberrechtsgründen nicht gezeigt und wurde in der damaligen Vorlesung nur für die Teilnehmer verwendet. Der Zugriff darauf erfolgte in nicht öffentlichem Ressort. Buxbaum, O.: Betriebsfestigkeit. Verlag Stahleisen, 2. Auflage 1992, S. 111 Typische Werte für Streuspannen: Tabellen-Zitat aus einem Fachbuch. Nach Haibach, E.: Betriebsfestigkeit, 3. Auflage 2006, S. 527

37 Betriebsfestigkeit Seite Wöhlerlinie für Pü = 97,5 % (oder beliebig andere %-Werte) P ü = 97,5 % wird in der FKM-Richtlinie des Maschinenbaus verwendet. Dies entspricht einer Unterschreitungs-Wahrscheinlichkeit P u = 2,5 %. Dieser Prozentwert wiederum entsteht für ein Merkmal x = Erwartungswert (50 %-Wert) μ minus zweifache Standardabweichung entsprechend der normierten Normalverteilung: f P u (2) -2-1 = 1 = 1 f (x) 1 2 x Das Integral F (x) = x f x dx dieser Verteilung liefert den Wert von Pu als Flächeninhalt der schraffierten Fläche: P u ( x = μ - 2 ) = 2,28 % d.h. nur 2,28 % aller Werte x unterschreiten die Schranke x = μ - 2. Daraus folgt P ü = 100 % - P u ( x = μ - 2 ) = 97,72 % 97,5 % als Flächeninhalt der weißen, nicht schraffierten Fläche unter der Kurve f (x). Für nicht-normierte normalverteilte Stichproben ( mit x 0 und s x 1 ) gilt demzufolge x 97,5 ü x - 2,0 sx h % P u = 2,5% weiße Fläche: P ü = 97,5 % x 97,5ü 2s x x x

38 Betriebsfestigkeit Seite 33 bzw. allgemein für Stichproben mit normalverteilter Häufigkeit: x Pü x - q Pü sx mit und x Pü = x ( P ü ) x-wert mit Überschreitungshäufigkeit P ü q Pü : Quantilwert der Standard-Normalverteilung für dieses Pü (tabelliert in Mathematik-Büchern) z.b. Pü 84,15 % 90 % 95 % 97,5 % 99 % q Pü 1,000 1,282 1, ,326 Wenn also x und Hilfe des Quantilwertes berechnet werden. s x gegeben sind ( bzw. T x statt s x ), dann kann mit q Pü sofort der x-wert für ein spezielles P ü Alternative: Grafische Lösung im Wahrscheinlichkeitsnetz 97,5 P ü % Verlängern der Ausgleichsgeraden bis P ü = 97,5 % und zugehörigen x-wert ablesen. x 97,5ü x x

39 Betriebsfestigkeit Seite 34 Logarithmische Normalverteilung: x 97,5 ü ist im Wahrscheinlichkeitsnetz 485 genau so einfach ablesbar wie bei der echten Normalverteilung mit linearer Abzisse (Netz Nr. 500). Rechnerisch gilt jetzt aber: log x Pü = log x - q Pü s z mit s z : Standardabweichung des logarithmischen Merkmals z = log x Speziell für P ü = 97,5 % gilt: log x 97,5 ü log x - 2 s z Angewendet auf die Bruch-Schwingspielzahlen N mit log. Normalverteilung: log N 97,5 ü log N 50-2 s z unter Berücksichtigung der Streuspanne (S. 30) s z = 1 log T N 2,564 entsteht log N 97,5 ü log N ,564 log T N und mit a log b = log a b sowie 2/2,564 = 0,78: N 97,5 ü = N 50 0,78 T N z.b. liefert eine Streuspanne T N = 1 : 5 oder T N = 1 : 3 N 97,5 ü N 50 N 97,5 ü N 50 0,78 0,2 0,3 N 50 0,78 0,333 0,424 N 50

40 Betriebsfestigkeit Seite Statistische Bestimmung der Dauerfestigkeit Die horizontale Streuung je Spannungshorizont ai ist für D unendlich groß, weil die Wöhlerlinien dort parallel zur log N Achse verlaufen: a a1 horizontale Streuung der N-Häufigkeiten bei konst. Spannungs-Amplitude vertikale Streuung der Ampl.- Häufigkeiten bei konst. N D10 D50 D90 N G log N Deshalb wird für D die vertikale Streuung bei einer konstanten Grenz- Schwingspielzahl N verwendet. G (! N G ist nicht identisch mit der fiktiven Knickpunkt-Zyklenzahl von Seite 13.) N G ist frei wählbar. Üblicher Richtwert: N G = für Stahl bzw. = 7 10 für Aluminiumlegierungen N D Die statistische Ermittlung der Dauerfestigkeit erfolgt z.b. mit dem Treppenstufenverfahren. Dafür sind möglichst mehr als 40 Versuchsproben erforderlich. Jede Probe wird maximal mit Erreicht eine Probe die Zahl N G Schwingspielen belastet. N G ohne Bruch, so wird sie als Durchläufer gewertet und nicht weiter verwendet. Die nächste Probe wird dann um eine Stufe Δ höher belastet... Ergebnis: D 50 für 50 % P ü sowie D 10 ü und D 90 ü S. 36

41 Betriebsfestigkeit Seite 36 Beispiel zum Treppenstufenverfahren: Bild-Zitat aus einem Fachbuch. Wird hier aus Urheberrechtsgründen nicht gezeigt und wurde in der damaligen Vorlesung nur für die Teilnehmer verwendet. Der Zugriff darauf erfolgte in nicht öffentlichem Ressort. Buxbaum, O.: Betriebsfestigkeit. Stahleisen-Verlag, 2. Auflage 1992, S. 113

42 Betriebsfestigkeit Seite 37 In welchem Ausmaß die Ergebnisse von Wöhlerversuchen streuen können, zeigt das folgende Beispiel für 1 Bauteil mit 476 Proben aus Stahl C35: Maennig, W.W.: Untersuchungen zur Planung und Auswertung von Dauerschwingversuchen an Stahl in den Bereichen der Zeit- und Dauerfestigkeit. VDI-Fortschrittsbericht Reihe 5, Nr. 5, Düsseldorf 1967.

43 Betriebsfestigkeit Seite Fazit Jede Wöhlerlinie ist eine Wahrscheinlichkeits-Linie mit einem bestimmten Prozentwert P ü oder P A als Extrakt eines Streubandes Experimenteller Aufwand für ein Wöhlerdiagramm Spezielle Prüfmaschinen erforderlich: Zeitaufwand: Etwa 30 Proben für die Zeitfestigkeit Resonanz-Pulsator oder Hydropulsanlage Schwing- (jeweils 10 auf 3 Spannungshorizonten) mit etwa spielen je Probe Schwingspiele + etwa 40 Proben für die Dauerfestigkeit: Je Probe Schwingspiele 8 10 Schwingspiele Damit insgesamt 80 Millionen Schwingspiele für das Wöhlerdiagramm. Prüf-Frequenz z.b. 50 Hz: Zeitumfang s 1, Sekunden 20 Tage. Allerdings erfordert das Wechseln der Proben zusätzlich Zeit, weil zumindest bei den Dauerfestigkeitsversuchen mitunter nur 1 Probe pro Tag geprüft werden kann. Daraus folgt eine Gesamt-Prüfzeit von 6 bis 8 Wochen. Aus dem kompletten Wöhlerdiagramm wird anschließend mittels statistischer Auswertung eine einzige Wöhlerlinie mit P ü = 97,5 % extrahiert.

44 Betriebsfestigkeit Seite Das Perlenschnurverfahren Zur näherungsweise statistischen Auswertung der Zeitfestigkeit *), wenn nur wenige Versuchswerte auf unterschiedlichen Spannungshorizonten vorliegen: log a log a log N log N im Unterschied zum Horizontenverfahren Ausgleichsgerade im doppelt-logarithmischen Wöhlerdiagramm: log a (entspricht Pü 50 % ) M Neigung k dieser Geraden ermitteln, log N mittleren Spannungshorizont M wählen log a i M i Jeder Versuchspunkt i wird mit der Neigung k der 50 % -Wöhlerlinie auf den Horizont M transformiert: N i N i neu log N N i neu k M Ni i *) nach Erker, A.: Sicherheit und Bruchwahrscheinlichkeit. MAN Forschungsheft Nr. 8 (1958), S

45 Betriebsfestigkeit Seite 40 Resultat der Transformation: Die neuen Versuchspunkte gehören zu M. log a M Dann statistische Auswertung für diesen einen Spannungshorizont, z.b. im Wahrscheinlichkeitsnetz. N 10 ü N 90 ü N97,5 ü N 97,5 ü log N Zu jedem der berechneten Werte Anstieg k wie die 50 % Pü - Ausgleichsgerade. Ergebnis insgesamt: N ü gehört eine Wöhlerlinie mit demselben log a Pü 10 % Pü 97,5 % Streuband für Pü 90 bis 10 % log N Typisch für das Perlenschnurverfahren sind parallele Wöhlerlinien für alle P ü.! Die Probenzahl sollte möglichst größer als 10 bis 15 sein. *)! Versuchswerte, die im Dauerfestigkeitsgebiet liegen, dürfen NICHT ver- wendet werden (das Verfahren ist nur für das Zeitfestigkeitsgebiet zulässig). Gibt es nur einen Durchläufer auf einem Spannungshorizont, dann müssen alle Versuchswerte ignoriert werden, die gleich große und kleinere Amplituden als dieser Durchläufer haben. *) Martin, A., Hinkelmann, K., Esderts, A.: Zur Auswertung von Schwingfestigkeitsversuchen im Zeitfestigkeitsbereich. In: Materials Testing 53 (2011) Heft 9, S

46 Betriebsfestigkeit Seite Wöhlerlinien für Mittelspannung ungleich Null Übliche Darstellung von Wöhlerlinien: Amplitude a bzw. A über N. Das gilt auch für Beanspruchung a mit konstanter Mittelspannung m 0: m 0 (t) a1 t A A1 0 1 z.b. P ü = 90% und m = 50 MPA N 1 log N Die Amplitude a der Beanspruchungs-Zeit-Funktion σ (t) ist identisch mit der ertragbaren Amplitude A im Wöhlerdiagramm. Die gleiche Beanspruchung ohne m ( Wechselbeanspruchung ) 0 t führt bei gleicher Amplitude zu längerer Lebensdauer die Wöhlerlinie ist nach rechts verschoben. Daraus folgt auch: Positive (Zug-) Mittelspannung verkürzt die Lebensdauer, Negative (Druck-) Mittelspannung verlängert die Lebensdauer. A a m < 0 (Druck) alles z.b. für P ü = 90 % 0 1 m > 0 (Zug) druck-schwellend m = 0 wechselnd zug-schwellend log N

47 Betriebsfestigkeit Seite 42 Weil m als Ordinate im Wöhlerdiagramm nicht vorhanden ist, muss diese zusätzliche Spannung stets extra angegeben werden! An Stelle von m wird in der Betriebsfestigkeit oft das so genannte Spannungsverhältnis R verwendet: R = u o o mit Unterspannung u und Oberspannung o = m = m a - a 0 m + a a t u Die wichtigsten Sonderfälle sind: R = - 1 wechselnd und R = 0 schwellend, (genauer Zug-schwellend mit u = 0 und m = a ). Allgemein gilt: Bild-Zitat aus einem Fachbuch. Wird hier aus Urheberrechtsgründen nicht gezeigt und wurde in der damaligen Vorlesung nur für die Teilnehmer verwendet. Der Zugriff darauf erfolgte in nicht öffentlichem Ressort. Haibach, E.: Betriebsfestigkeit. Springer-Verlag, 3. Auflage 2006, S. 22

48 Betriebsfestigkeit Seite 43 Durch m wird nicht nur die Zeitfestigkeit der Bauteile beeinflusst, sondern auch deren Dauerfestigkeit angehoben oder abgesenkt. Je nach Beanspruchung wechselnd, zug-schwellend oder allgemein m 0 0 t 0 t 0 t sind 3 verschiedene Begriffe für die Dauerfestigkeit D üblich: Wechselfestigkeit Schwellfestigkeit allgemeine Dauerfestigkeit W sch AD! Hier ist meistens die Oberspannung o gemeint und nicht die Amplitude a als Funktion AD ( m ) nur einfache Kennwerte Werkstoff-Diagramm, je Werkstoff z.b. nach Smith, Kommerell,. oder nach Haigh Das Haigh-Diagramm zeigt die Abhängigkeit der dauerfest ertragbaren Amplitude A von der vorhandenen Mittelspannung m : R = 5 R = - dsch 2 45 W R = -1 A W 45 R = -0,5 Sch 2 a R = 0 m R = 1 R = 0,5 m

49 Betriebsfestigkeit Seite 44 Das Dauerfestigkeits-Diagramm von Haigh (rechts) in Relation zum Wöhlerdiagramm (links): md t t mz t jeweils mit gleichem Wert P ü A m md m m mz A N D lg N md m = 0 mz m Zu jedem Werkstoff gehört ein eigenständiges Haigh-Diagramm, das jeweils experimentell durch aufwendige Dauerfestigkeitsversuche ermittelt wird. Als Alternative zum Haigh-Diagramm gibt es vereinfachte Näherungsansätze für den so genannten Mittelspannungseinfluss, z.b. nach Goodman, Gerber oder Soderberg: AD W Goodman - Gerade Gerber - Parabel 0 Soderberg 0 R e R m m Mit W Wechselfestigkeit des Werkstoffes, R e statische Streckgrenze R m statische Zugfestigkeit

50 Betriebsfestigkeit Seite 45 Die Goodman-Gerade ist für spröde Werkstoffe gut geeignet, für duktile Werkstoffe jedoch besser die Parabel nach Gerber. Des Weiteren werden auch stückweise gerade Abschnitte als Näherung für das Haigh-Diagramm angesetzt, z.b. im Leitfaden für Betriebsfestigkeit von Gudehus und Zenner (Stahleisen- Verlag, 4. Auflage, S. 8.19) AD W 1 2 Sch Sch R m m oder auf dem Deckblatt der 4. Auflage der FKM-Richtlinie von 2002: Hier mit Spannungsamplitude S A über Mittelspannung S m aufgetragen. Dieses Diagramm zeigt auch den Verlauf für negative Druck-Mittelspannungen sowie parallel nach oben verschoben zur Dauerfestigkeit die Auswirkung der Mittelspannung auf die Betriebs(Zeit-)festigkeit.

51 Betriebsfestigkeit Seite 46 Einzelheiten zu den Mittelspannungstheorien nach Goodman, Gerber und Soderberg (In diesem Abschnitt werden die Spannungen mit S bezeichnet.) Experimentell ermittelte Wöhlerlinien zeigen für jeweils konstante Mittelspannung S m > 0 folgenden Effekt: Die ertragbare Dauerfestigkeits-Amplitude S AD ist kleiner als die Amplitude S W bei wechselnder Beanspruchung und die Zeitfestigkeitslinie für S m > 0 ist nach links verschoben im Vergleich zu S a Spannungsamplitude S m = 0: für S m = 0 bzw. R = 1 für S m > 0 S a1 S W S AD N 1m N 1 log N Mit S W : Dauerfestigkeitsamplitude bei rein wechselnder Beanspruchung ( Wechselfestigkeit ) S AD : Allgemeine Dauerfestigkeit (d.h. zusätzlich zu dieser Amplitude wirkt eine konstante Mittelspannung S m 0. N 1 : Lebensdauer infolge Amplitude S a1 ohne zusätzliche Mittelspannung S m N 1m : Lebensdauer infolge Amplitude S a1 plus Bei gleicher Amplitude S a1 entsteht somit infolge S m > 0 eine kürzere Lebensdauer sowie eine abgesenkte Dauerfestigkeit: S m

52 Betriebsfestigkeit Seite 47 S S m = 0 S S m > 0 S a1 t S m S a1 t abgesenkte Dauerfestigkeit Goodman hat 1910 speziell zur Beschreibung dieser Dauerfestigkeits- Absenkung eine Näherungsformel vorgeschlagen, die in heutiger Schreibweise lautet: S AD = S w 1 S R m m (1) mit S AD : Allgemeine Dauerfestigkeit für S m 0 S W : Wechsel-(Dauer)festigkeit für S m = 0 S m : Mittelspannung, statisch R m : statische Zugfestigkeit Diese Formel stellt im Dauerfestigkeits-Schaubild nach Haigh (Amplituden- Mittelspannungs-Diagramm) eine Gerade dar: S a S W Amplitude S AD (Sm) Goodman-Gerade S AD1 S m1 Rm S m Mittelspannung Jeder konkreten Mittelspannung (z.b. S m1 ) kann damit eine ertragbare Dauerfestigkeitsamplitude (S AD1 ) zugeordnet werden.

53 Betriebsfestigkeit Seite 48 Diese Näherungsannahme der Dauerfestigkeit wird heutzutage auch auf die Zeitfestigkeit übertragen. Vorhandene Amplituden Ersatz-Amplituden S a plus Mittelspannung S ae ohne Mittelspannung umgerechnet. S m werden damit in Die Berechnung von Ersatz-Amplituden mit R = -1 (rein wechselnde Beanspruchung) heißt in der Betriebsfestigkeit Amplitudentransformation. Dazu folgendes Bild: S a Amplitude Wöhlerlinie für R = -1 S ae1 S a1 WL für S m > 0 N 1 log N Eine konkrete Amplitude S a1 + Mittelspannung S m1 führt z.b. auf eine Lebensdauer von N 1 Zyklen. (Dies folgt aus der zugehörigen Wöhlerlinie für R -1). Die gleiche Zyklenzahl N 1 entsteht ebenso durch eine Ersatz-Amplitude S ae1 (ohne Mittelspannung) auf der Wöhlerlinie für R = -1. Amplitudentransformation mittels Goodman-Gerade: Analog zu Gl.(1) für die Dauerfestigkeit wird für die Zeitfestigkeit als Näherung angenommen: Sm S a = S ae 1 Rm S ae repräsentiert die Amplitude der wechselnden Beanspruchung und S a die Amplitude der allgemeinen Beanspruchung (mit zusätzlicher Mittelspannung).

54 Betriebsfestigkeit Seite 49 Umstellen nach S ae liefert die Ersatz-Amplitude, die die gleiche Schädigung wie S a erzeugt: S ae = S a R m Rm S m (2) Beispiel: Geg.: Amplitude S a1 = 100 MPa + Mittelspannung S m1 = 50 MPa, R m = 460 MPa, Wöhlerlinie für R = -1 mit Neigung k = 4,8, N D = 10 6 Zyklen (Bruchschwingspiele) und Wechseldauerfestigkeit S W = 90 MPa Ges.: Lebensdauer N 1 dieser zug-schwellenden Beanspruchung Lösung: Zuerst mittels Gl. (2) Ersatz-Amplitude S ae1 für wechselnde Beanspruchung ermitteln: S ae1 = 100 MPa ( ) = 100 1,122 = 112,2 MPa Dann aus der Wöhlerlinie für R = -1 die Lebensdauer N 1 berechnen: k Sae 1 N 1 = N D = S w 90 = Zyklen. Amplitudentransformation mittels Soderberg-Gerade: An Stelle der Zugfestigkeit R m wird die Streckgrenze R e verwendet. Ansonsten gleiche Formel wie bei Goodman. Amplitudentransformation mittels Gerber-Parabel: S ae = S a R 2 Rm 2 2 m Sm (3)

55 Betriebsfestigkeit Seite Kerbeinfluss auf Wöhlerlinien Bauteil-Wöhlerlinie und Werkstoff-Wöhlerlinie Aus empirischen Ergebnissen ist bekannt: a gekerbt ungekerbt Werkstoff-WL alles z.b. für P = 90 % ü Bauteil - WL log N! Die Absenkung der Bauteil-WL gegenüber der Werkstoff-WL tritt jedoch nur auf, wenn die Amplitude Nennspannung n : z.b.: a als Nennspannung F aufgetragen ist. aus elementarer Festigkeitslehre berechenbar und bezogen auf den Netto-Querschnitt F H max n n In beiden Fällen lautet die Nennspannung: F mit n = F A n F A n : Netto-Querschnittsfläche

56 Betriebsfestigkeit Seite 51 Die elastische Spannung bei gekerbten Bauteilen ist jedoch tatsächlich nichtlinear im Netto-Querschnitt verteilt mit deutlich höherer Spannung H max (mit H wie Hookesches Materialgesetz) im Kerbgrund. Das Verhältnis k = H max n heißt Formzahl oder auch Kerbformzahl K bzw. theoretische Kerbformzahl K t. Ungekerbt bedeutet k = 1 und gekerbt k > 1 Für ungekerbte Bauteile gelten folgende Nennspannungen: zn = F A n M b bn = W b M t tn = W bei Zug/Druck bei Biegung bei Torsion t Die Berechnung mit der Elastizitätstheorie oder mit finiten Elementen liefert jeweils eine nichtlineare Spannungsverteilung bei gekerbten Bauteilen: Bild-Zitat aus einem Fachbuch. Wird hier aus Urheberrechtsgründen nicht gezeigt und wurde in der damaligen Vorlesung nur für die Teilnehmer verwendet. Der Zugriff darauf erfolgte in nicht öffentlichem Ressort. Issler, L. u.a..: Festigkeitslehre. Springer-Verlag 2. Auflage 1997, S. 216

57 Betriebsfestigkeit Seite 52 Ist die Formzahl eines Bauteils bekannt, kann sofort ohne viel Aufwand die maximale elastische Spannung H max ermittelt werden. Wird als Ordinate des Wöhlerdiagramms diese örtliche Kerbspannung H max verwendet, so entsteht im Vergleich zur Nennspannung: a örtliche Spannungs-Amplitude = k n S a Nennspannungs-Amplitude n gekerbt z.b. k = 1,5 ungekerbt ungekerbt gekerbt log N log N Weil dieser Unterschied so gravierend ist, wird z.b. von Haibach konsequent unterschieden zwischen und sowie Nennspannungs-Amplitude S a örtlicher (Kerbgrund-) Amplitude zwischen T a und a a bei Normalspannungen bei Schubspannungen. Das gilt ebenso in der FKM-Richtlinie des Maschinenbaus: Dort gibt es sogar getrennte Berechnungsabläufe für S und T einerseits und für die örtlichen Spannungen und andererseits.

58 Betriebsfestigkeit Seite Kerbwirkungszahl und Stützziffer Die Absenkung der Dauerfestigkeit für gekerbte Bauteile im Nennspannungs- Wöhlerdiagramm ist nicht so groß, wie die Formzahl k vermuten lässt: S a Nennspannung Nennspannung z.b. für k = 2,0 gekerbt (exp.) ungekerbt (exp.) Du DK Du k theoretisch aus k log N experimentell Das experimentell ermittelbare Verhältnis mit und k = Du Dk Du : Dauerfestigkeit der ungekerbten Probe Dk : Dauerfestigkeit der gekerbten Probe heißt Kerbwirkungszahl (bzw. K f mit f wie fatigue ) und kennzeichnet die Absenkung der Dauerfestigkeit für Nennspannungen: k k bzw. K f K t k Das Verhältnis n = k 1,0 heißt Stützziffer und beschreibt die Stützwirkung des Werkstoffes. Damit entsteht Zum Beispiel k = 1 n k k = 2,4 und n = 1,3 liefern k = 1,85.

59 Betriebsfestigkeit Seite 54 Eine wesentliche Stützwirkung folgt aus der Plastifizierung duktiler Werkstoffe wie z.b. Stahl: H max elastisch berechnet max elast.-plastisch berechnet Makrostützwirkung nach Neuber Kann das Material nicht plastifizieren, dann gibt es keine Stützwirkung (n =1) und demzufolge gilt k k (Für spröde Werkstoffe experimentell gut bestätigt). Für Stahl dagegen gilt n 1,1.. 1,5 Im Zeitfestigkeitsgebiet wird die Stützwirkung mit steigender Spannungsamplitude größer steilerer Verlauf der Wöhlerlinie wegen der größeren Plastifizierung: S a Nennspannung gekerbt ungekerbt k für Zeitfest. k = k n log N für Dauerfest.

60 Betriebsfestigkeit Seite Drei Konzepte der Betriebsfestigkeit zur Kerbwirkung A) Nennspannungskonzept Vorteile: 1.) n ist für einfach gekerbte Bauteile gut berechenbar. 2.) Für kraft-gesteuerte Prüfanlagen günstig, weil die Vorgabe des Kraftverlaufes F (t) = Fˆ sin Ωt mit Kraftamplitude Fˆ = n A n am einfachsten ist 3.) Die meisten Versuchsergebnisse zu Bauteil-Wöhlerlinien gibt es bisher für Nennspannungen. Nachteil: Bei komplexen Bauteilen ist Bezugsflächen A n fehlen n nicht anwendbar, wenn ebene Netto- Deshalb zwei Alternativen: B) Kerbspannungskonzept mit elastisch berechneten örtlichen Maximalspannungen (z.b. wird dabei H max mittels FEM ermittelt und per Stützziffer abgesenkt, um daraus näherungsweise die tatsächlich wirkende Spannung max zu ermitteln.) C) Kerbgrundkonzept mit elastisch-plastisch berechneten örtlichen Maximalspannungen max im Kerbgrund (ebenfalls mit FEM ermittelbar, allerdings mit deutlich höherem Berechnungs-Aufwand).

61 Betriebsfestigkeit Seite Weitere Einflüsse auf Bauteil-Wöhlerlinien Aus experimentellen Ergebnissen ist bekannt, dass zusätzlich zur Kerbwirkung noch folgende Einflussgrößen die Wöhlerlinien verändern: Probengröße Oberflächenrauhigkeit Beanspruchungsart Temperatur Korrosion Dazu folgende Übersicht: Bild-Zitat aus einem Fachbuch. Wird hier aus Urheberrechtsgründen nicht gezeigt und wurde in der damaligen Vorlesung nur für die Teilnehmer verwendet. Der Zugriff darauf erfolgte in nicht öffentlichem Ressort. Gudehus,H., Zenner,H.: Leitfaden Betriebsfestigkeit. Stahleisen-Verlag, 4. Aufl., S. 8.15

62 Betriebsfestigkeit Seite Künstlich erzeugte Wöhlerlinien Alternative zum hohen Zeit- und Kostenaufwand der experimentell ermittelten Wöhlerlinien: Synthetische Wöhlerlinien bzw. normierte Wöhlerlinien aus überschlägigen Berechnungen mit Hilfe einfacher Werkstoff-Kennwerte Ein Beispiel nach FKM-Richtlinie Richtlinie des Forschungskuratoriums Maschinenbau, VDMA-Verlag, 4. Aufl. 2002: Datei FKM-2002-Auszug.pdf Beispiel: Bauteil aus Stahl S235 soll wechselnd belastet werden mit F (t) = ˆF sin Ωt Ges.: Wöhlerlinie für R = -1 und P ü = 97,5 % für dieses konkrete Bauteil (Bauteil-Wöhlerlinie) Lösung: In der FKM-Richtlinie wird die Bauteil-WL aus Werkstoff-Kennwerten abgeleitet. a) Nach dem Nennspannungskonzept siehe Seite 67 in FKM 2002 Sofortiges Ergebnis für dieses Bauteil: S a (log) Nennspannungs-Amplitude k = 5 F(t) P ü = 97,5 % F(t) R = konstant, z.b. auch R = -1 Neigung k der WL S AK N D log N 6 N D = 10 Zyklen für nicht geschweißte Bauteile mit S Ak : Allgemeine Dauerfestigkeit als Nennspannung mit beliebiger Mittelspannung des gekerbten Bauteils: m

63 Betriebsfestigkeit Seite 58 S Ak = K Ak K E S Wk Bauteil-Wechselfestigkeit (für R = -1) mit k wie Kerbe Konstruktionsfaktor für Eigenspannungen (wenn diese Null sind, ist K = 1,0) E E Konstruktionsfaktor für Mittelspannungen gemäß Haigh-Diagramm (für m = 0 gilt: K Ak = 1,0) Für m = 0 und E = 0 entsteht also: S Ak = S Wk Die Wechselfestigkeit S Wk des gekerbten Bauteils wiederum folgt aus der Wechselfestigkeit des Werkstoffes: W S Wk = 1 K Wk W Dauerfestigkeit ungekerbter Werkstoffproben bei wechselnder Belastung (mit R = -1) Konstruktionsfaktor K Wk 1,0 Für nicht geschweißte Bauteile lautet dieser Faktor: K Wk = K f 1 K R 1 1 K K K V S NL, E k mit K f Kerbwirkungszahl k =, n statische Formzahl k und Stützziffer n sowie K R Rauheitsfaktor, K V Randschichtfaktor, K S Schutzschichtfaktor, K NL, E Konstante für Grauguss (bei Stahl gilt: K NL, E = 1)

64 Betriebsfestigkeit Seite 59! Annahme: K R = K V = K S = 1,0 d.h. Oberfläche der Bauteilkerbe, Randschicht und Schutzschicht wie bei der Werkstoffprobe Nur damit entsteht: bzw. K Wk = K f k K Wk = n und demzufolge S Wk = n k W mit S Wk : Dauer-Wechselfestigkeit des gekerbten Bauteils als Nennspannungsamplitude n : Stützziffer k : Formzahl W : Dauer-Wechselfestigkeit des Werkstoffes (hier Wzd, Zug-Druck) entsprechend den Werkstofftabellen im FKM-Anhang, z.b. Werkstoff R m R e Zug-Druck Wzd, Biegung S S C C Cr CrNiMo (alles in MPa) Wb,

65 Betriebsfestigkeit Seite 60 Die Stützziffer n wird aus dem Spannungsgefälle der größten elastischen Spannung abgeleitet FKM 2002 Seite 108 bis 109 Je größer dieses Gefälle ist, um so größer ist die Stützwirkung, z.b. n nur elastisch berechnete Spannung elastisch-plastisch b) Kerbspannungskonzept mit örtlichen Spannungen, elastisch berechnet (Für Finite-Elemente-Analysen gut geeignet, weil damit von vornherein örtliche Spannungen berechnet werden.) Seite 124 in FKM 2002 Sofortiges Ergebnis für dieses Bauteil: a (log) örtliche Spannungsamplitude P ü = 97,5 % R = konstant = -1 k = 5 Neigung k der WL AK N D log N 6 N D = 10 Zyklen für nicht geschweißte Bauteile mit Ak : Allgemeine Dauerfestigkeit als örtliche Spannung mit beliebiger Mittelspannung des gekerbten Bauteils m

66 Betriebsfestigkeit Seite 61 Gleicher Werkstoffwert W und gleicher Anstieg k wie im Nennspannungskonzept, aber andere Berechnungsformeln für die Bauteil-Dauerfestigkeit Ak Ohne Eigenspannungen und mit m = 0 gilt auch hier ähnlich wie auf S. 58: Ak = Wk Dauer-Wechselfestigkeit des gekerbten Bauteils Allgemeine Dauerfestigkeit des gekerbten Bauteils sowie jetzt aber mit Wk = 1 K Wk W K Wk = 1 n K f KR 1 K K K V S NL, E mit n Stützziffer K f Schätzwert für Stahl 2,0 sowie K R Rauheitsfaktor, K V, K S, K NL, E wie beim Nennspannungskonzept! Annahme: K R = K V = K S = 1,0 d.h. Oberfläche der Bauteilkerbe, Randschicht und Schutzschicht wie bei der Werkstoffprobe liefert jetzt K Wk = 1 n und demzufolge Wk = n W

67 Betriebsfestigkeit Seite 62 Das heißt, die Wechselfestigkeit des Bauteils ist jetzt größer als die des Werkstoffes (wegen der örtlichen Spannungen) die Bauteil-Wöhlerlinie wird angehoben: log a gekerbt ungekerbt log N Lebensdauer-Vergleich für beide Konzepte Beispiel: F(t) R F (t) = ˆF sin Ωt mit ˆF= 40 kn, r Kerbradius r = 4 mm Netto-Radius R = 10 mm, Formzahl Ges.: Lebensdauer für dieses Bauteil k = 2,1 Werkstoff Baustahl S 235 a) nach dem Nennspannungskonzept: Die Wöhlerliniengleichung lautet im log-log-system allgemein (S. 13): N ( ) = a N D a D Im konkreten Fall lautet die Bauteil-Wöhlerlinie mit Nennspannungen S: N ( S a ) = N D S S a Ak k k hier mit S Ak = S Wk = n W (S. 58 und 59) k

68 Betriebsfestigkeit Seite 63 Die Stützzahl n kann näherungsweise gemäß Seite 108 FKM 2002 aus dem Spannungsgefälle ermittelt werden: also G = Für m 2002 liefert: G = 2 / r (nur Zug-Druck, deshalb ohne 2 / d) 2 4 mm = 0,5 1 mm R = 360 MPa ablesen aus dem Diagramm n 1,2 n G Seite 108 FKM Damit entsteht S Ak = n k W = 1, 2 2,1 160 MPa S Ak = 91,43 MPa Die vorhandene Nennspannungsamplitude Amplitude ˆF lautet: Fˆ S a = A Mit Netto-Querschnittsfläche also S a = N A n A n = n S a infolge der Belastungs- 2 R = 314,16 = 127,32 MPa 2 mm, Daraus folgt die Lebensdauer: N ( S a = 127,32 MPa) = ,32 91,43 5 = Zyklen für 97,5 % P ü b) Kerbspannungskonzept: ( örtliches Konzept ) Die Bauteil-Wöhlerlinie lautet jetzt für die örtlichen Spannungen : N ( ) = a N D a Ak k hier mit Ak = Wk = n W (S. 61)

69 Betriebsfestigkeit Seite 64 Die Stützzahl ist wieder n 1,2 und mit W = 160 MPa folgt daraus: Ak = 1, MPa Ak = 192,0 MPa (mehr als doppelt so groß als S Ak ) Örtliche Beanspruchungs-Amplitude im Kerbgrund: a = k na = k S a Nennspannungs-Amplitude im Nettoquerschnitt Lebensdauer: N ( a = 267,37 MPa) = a = 2,1 127,32 MPa a = 267,37 MPa ,37 192,0 5 = Zyklen Vergleich zum Nennspannungsergebnis auf S. 61: 0,008 % Abweichung. Fazit: Das örtliche Spannungskonzept (mit elastischen Maximalspannungen) liefert mit K R = K V = K S = 1,0 exakt dieselbe Lebensdauer N wie das Nennspannungskonzept. Abweichungen entstehen dabei nur durch Rundungsfehler: a = k S a umstellen nach k und einsetzen in Ak = k S Ak a Sa liefert den gleichen Quotienten = für die Berechnung Ak SAk von N ( ) bzw. von N ( S a ). a Erst das Kerbgrundkonzept mit plastisch berechneten Maximalspannungen liefert andere Werte für N.

70 Betriebsfestigkeit Seite Wöhlerlinien für FEM elastisch Welche Wöhlerlinie ist anzuwenden? Eigentlich ist die Bauteil-Wöhlerlinie erforderlich, die möglichst viele Einflüsse berücksichtigt, insbesondere Mittelspannungseinfluss, Kerbeinfluss und Oberflächenrauhigkeit. Der Mittelspannungseinfluss kann mit einer einzigen Wöhlerlinie für R = -1 und Amplitudentransformation erfasst werden (z.b. in Ansys mittels den Gleichungen nach Goodman, Gerber oder Soderberg, in der FKM-Richtlinie durch stückweise gerade Abschnitte im Haigh- Diagramm). Der Kerbeinfluss Zu jeder Kerbe der FEM-Struktur müsste eine spezielle Bauteil-Wöhlerlinie bereitgestellt werden. log a gekerbt (Bauteil-WL) ungekerbt (Werkstoff-WL) log N Die Bauteil-WL liegt um den Faktor n (Stützziffer) höher als die Werkstoff- WL, weil mit FEM elastisch stets das Kerbspannunskonzept realisiert wird. Weil die Ziffer n abhängig vom Spannungsgefälle der Kerbumgebung ist, müsste dieses Gefälle also zu jeder Kerbe der FEM-Struktur ausgewertet werden daraus n ermitteln Anhebung der Bauteil-WL.

71 Betriebsfestigkeit Seite 66 Oberflächenrauhigkeit Werkstoffproben sind poliert. Oberflächen von Bauteil-Kerben sind meistens etwas rauer. Absenkung der Bauteil-WL im Gegensatz zum Stützziffer-Effekt! Fazit: Für FEM elastisch kann in erster Näherung die Werkstoff-WL als Bauteil- WL verwendet werden Werkstoff-Wöhlerlinien mit grob geschätzter Kurzzeitfestigkeit In der FKM-Richtlinie werden Wöhlerlinien nur für Schwingspiele N > angegeben. Es erfolgt keine Aussage zur Kurzzeitfestigkeit ( N = ) Wie groß ist hier für N = 4 10 die Amplitude a1? log a? a1 D 10 4 N D log N Aus N ( a ) = N D a D k (von S.13) folgt: a ( N ) = D N D N 1 k (nur andere Schreibweise der Wöhlerliniengleichung im log-log-system)

72 Betriebsfestigkeit Seite 67 Konkret für D = W (Wechselfestigkeit) = 160 MPa des Werkstoffes Baustahl S 235 (siehe Tabelle auf S. 59) und N D = sowie k = 5 entsteht für N = 10 : 4 a1 ( N = 10 ) = 160 MPa = 402 MPa Dieser Wert ist bereits größer als die statische Zugfestigkeit: Bei diesem Stahl beträgt R m = 360 MPa.! Elastisch berechnete Spannungen sind jedoch stets unrealistisch zu groß, Zum Beispiel: R me wenn sie die Streckgrenze Spannung nur elastisch berechnet R e (hier 235 MPa) überschreiten. Spannungs-Dehnungs- Diagramm für Baustahl R m R e 0 0 Dehnung Tatsächlich entstehen für > R e plastische Verformungen und damit kleinere Spannungen. Grob geschätzte Kurzzeitfestigkeit für N = 1 durch Verlängerung der Zeitfestigkeitsgeraden z.b. bis N = und damit bis zu einer hypothetischen Ersatz-Zugfestigkeit R me an Stelle der tatsächlichen Zugfestigkeit R m

73 Betriebsfestigkeit Seite 68 Dies führt dann auf eine geschätzte Wöhlerlinie für die Kurzzeitfestigkeit: log a Spannungsamplitude ungekerbt a = S a R me für elastisch berechnete Spannungen geschätzt R m k für elastischplastisch berechnete Spannungen D N D log N Im konkreten Fall S 235 nach FKM-Richtlinie entsteht hier R me = a ( N = 10 ) = D = 160 MPa N D N 10 1 k = 1600 MPa Erst elastisch berechnete Spannungen oberhalb dieses Wertes führen mit dieser künstlichen Wöhlerlinie zum sofortigen Versagen des Bauteils (N = 0). Die Verlängerung der Zeitfestigkeitsgeraden bis N = 1 liefert sogar R me = 2536 MPa

74 Betriebsfestigkeit Seite Lebensdauerberechnung 4.1 Einleitung (für mehrstufig beanspruchte Bauteile) Mehrstufig bedeutet: bzw. geordnet a a1 a2 a3 a4 t t n 1 : Schwingspiel-Anzahl mit Amplitude a1 und Mittelspannung m1 n 2 : mit a2 und m2 usw. Sonderfall: Nur wechselnd (alle mi = 0). n 1 n 2 n 3 n Schadensakkumulation hypothetisch Jeder Block der Stufe i trägt zur Schädigung des Bauteils bei. Beim Bruch des Bauteils sind 100 % Schädigung erreicht Lebensdauer N Der Schaden wird dabei akkumuliert ( Schadensakkumulation ). L Problem: Die Akkumulation der Schädigung im Bauteil ist NICHT durchgängig messbar, weil die Schädigung keine eindeutige Messgröße darstellt. Deshalb sind für die Schadensakkumulation nur Hypothesen möglich. Prof. Dr. 2015

75 Betriebsfestigkeit Seite 70 Einfachste Hypothese: Die Schädigung nimmt bei einstufiger Beanspruchung proportional mit der Anzahl n der Schwingspiele von 0 bis 100 % zu. (Lineare Schadensakkumulationshypothese). Beispiel: WL ai 0 ai N i log N n i Schädigung D ( Damage ) dieser Beanspruchungs-Stufe i : 100 D % D (n) linear angenommen D (n) realistischer, aber unbekannt n i N i n Schwingspielzahl allgemein vorhandene ertragbare Schwingspielzahl (Bruch-) Schwingspielzahl Die vorhandenen Zyklen ni D i = N n i führen auf eine hypothetische Teilschädigung i Wirken mehrere Stufen i = 1 bis k mit verschiedenen Längen auf das Bauteil ein, wird damit als Schädigung akkumuliert: n1 D ges = N + n2 N = k i1 n N i i

76 Betriebsfestigkeit Seite Die Hypothese von Palmgren und Miner Palmgren 1924 und Miner Lineare Schadensakkumulations-Annahme mittels abstrakter Schädigungsarbeit liefert die Lebensdauer: mit = k i1 N L = ni n N i i für k Stufen der Beanspruchung n i : vorhandene Schwingspiele (Zyklen) je Stufe i N i = N i ( ai ) ertragbare Schwingspielzahl der Stufe i (aus der Wöhlerlinie!) mit Amplitude Damit wird die Schädigungssumme einer so genannten Teilfolge mit k Stufen auf 100 % Schädigung extrapoliert. Beispiel: ai a2 a1 n 1 = 5 n 2 = 2 t Teilfolge fortwährende Wiederholung der Teilfolge Ges.: Lebensdauer Lösung: N L des Bauteils für diese zweistufige Beanspruchung Aus der 97,5 % Pü -Wöhlerlinie des Bauteils folgt z.b.: N 1 ( a 1 N 2 ( a 2 ) = ertragbare Schwingspiele (Zyklen) ) =

77 Betriebsfestigkeit Seite 72 Berechnung der Lebensdauer nach Palmgren/Miner: N L = n n N i i i = = Zyklen Ergebnis eintragen in das Wöhlerdiagramm: a hier alles für P = 97,5 % ü a2 a1 Lebensdauer-Punkt Lebensdauer-Linie Wöhlerlinie N L log N Das Ergebnis N L wird der größten Spannungsamplitude (hier a 2 ) zugeordnet und liefert damit im Diagramm einen einzigen Lebensdauer-Punkt. Werden die beteiligten Spannungsamplituden der Teilfolge proportional vergrößert oder verkleinert, entstehen weitere Lebensdauer-Punkte, die zusammen die Lebensdauerlinie ergeben. Die Auftragung der Ergebnisse ist die übliche Auftragung für ein Kollektiv. N L am größten Spannungshorizont a max

78 Betriebsfestigkeit Seite Intermezzo: Kollektive Wird die Teilfolge nach Amplitudengröße geordnet und zwar mit den größten Amplituden zuerst entsteht das so genannte Kollektiv der Beanspruchung zur Kennzeichnung der Häufigkeit in jeder Stufe i. Schematisch für das erwähnte Beispiel: n i a a2 a1 2 5 n ges = 7 n Speziell für m = 0: Amplitudenkollektiv (nur die obere Hälfte wird dargestellt) Des Weiteren ist für große Anzahl n eine logarithmische Abszisse üblich. Beispiel für ein großes Amplitudenkollektiv: a ˆa a n 3 n ges log n Die drei wichtigsten Kenngrößen sind: Kollektiv-Umfang n ges Maximal-Amplitude ˆa = a max des Kollektivs Kollektiv-Völligkeit = Spannungshorizont im Wöhlerdiagramm für die Auftragung des Lebensdauer-Punktes)

79 Betriebsfestigkeit Seite 74 Die Kollektiv-Völligkeit kennzeichnet die Härte der Beanspruchung im Vergleich zur einstufigen härtesten Beanspruchung, z.b. a) b) c) Variante c zeigt hier einen hohen Anteil großer Amplituden und schädigt mehr als die Varianten a und b. Variante b hat die geringste Völligkeit und liefert damit die geringste Schädigung bzw. die längste Lebensdauer. Weitere Kollektive sind das Kleinstkollektiv und das Lastkollektiv. Kleinstkollektiv: Die größte Amplitude kommt nur 1 mal vor ( n 1 = 1 ) und liefert dasselbe Ergebnis ˆa N L wie ein Kollektiv mit n 1 > log n Lastkollektiv: Wie Beanspruchungs-Kollektiv, jetzt aber mit Belastungsamplituden (Kraft- Amplituden F ai oder Momenten-Amplituden M ai je Belastungsstufe i ) an Stelle der Beanspruchungsamplituden ai.

80 Betriebsfestigkeit Seite Drei Sonderformen der Palmgren-Miner-Formel In der FKM-Richtlinie werden drei Varianten verwendet: Miner elementar, Miner original und Miner konsequent Miner elementar Als Wöhlerlinie wird eine Gerade im doppeltlogarithmischen System angenommen und auf alle Amplituden angewendet auch auf Amplituden ai < D unterhalb der Dauerfestigkeit. Daraus folgt die Lebensdauer N Le = ni n N i i mit = k für alle k i1 Stufen der Beanspruchung Die Lebensdauerlinie LL verläuft parallel zur Wöhlerlinie WL: log a ˆ a D WL Kollektiv LL Dauerfestigkeit WL für Miner elementar N D log N Ein Nachteil: Die Schädigung wird damit härter angenommen als real. Zwei Vorteile: 1.) Für alle Amplituden ai wird N i einheitlich berechnet aus a N ( a ) = N D D 2.) Weil die Lebensdauerlinie parallel zur WL liegt, muss nur ein einziger Lebensdauerwert berechnet werden, um die gesamte LL zu erhalten k

81 Betriebsfestigkeit Seite Miner original Dabei werden nur Amplituden ai berücksichtigt, die größer als D sind (wie in den Originalartikeln von Palmgren und Miner): ni i1 N Lo = n i1 N k i l statt k : nur Amplituden i ai > D mit k : Anzahl aller vorhandenen Beanspruchungs-Stufen l : Anzahl der Beanspruchungs-Stufen größer als D Die Lebensdauerlinie LL verläuft jetzt nichtlinear im Log-Log-Diagramm Miner konsequent Dabei wird eine Wöhlerlinie verwendet, die im Dauerfestigkeitsgebiet infolge Vorschädigung eine flachere Neigung als im Zeitfestigkeitsgebiet hat. Aufwendiger zu berechnen als Miner elementar und original, aber realistischer. log a ˆ a LL Miner elementar LL Miner original D LL Miner konsequent WL Miner original WL Miner konsequent WL Miner elementar N D log N

82 Betriebsfestigkeit Seite Beanspruchungsanalysen der Betriebsfestigkeit 5.1 Einleitung Zur Lebensdauerberechnung muss die Häufigkeit Amplituden und Mittelspannungen bekannt sein. n i der vorhandenen Dazu Einteilung der Spannungs-Skala in gleich abständige Klassen und Zählung der Klassenhäufigkeiten in diesen Klassen KLASSIERUNG. 5.2 Regellose Wechselbeanspruchung mit R = - 1 (seltener Sonderfall) t z.b. Klassierung dieser Spannungs-Zeit-Funktion für positive Klassenüberschreitungen (gezählt werden dabei nur die Überschreitungen von Klassengrenzen durch positiv ansteigende Anteile der Spannungsfunktion): σ = 0 t Häufigkeitsverteilung wie in Kap. 3.4 H i absolute Häufigkeit je Klassengrenze i Prof. Dr. 2015

83 Betriebsfestigkeit Seite 78 Aus den Klassierergebnissen H i je unterer Klassengrenze i wird anschließend die Anzahl der Amplituden positiven Extremwerte je Klasse ermittelt. In der Abbildung auf Seite 77 unten gibt es nur ai der Klassen i als Anzahl der 3 positive Maxima innerhalb der Klasse 8 und 5 Maxima in Klasse 7 für den dargestellten kurzen Zeitbereich. Der Spannungswert in Klassenmitte repräsentiert jeweils die Amplitude ai: Klasse Häufigkeit n i der Amplituden a8 a7 a n 8 = 3 n 7 = 5 ( 8 minus 3 Überschreit.) n 6 = 0 ( 8 minus 8 Überschreit.) n 5 = 0 usw. Mit diesen Werten wird das Amplituden-Kollektiv a a8 a7 ai ( n i ) gebildet: 0 3 n 8 = n ges Anschließend Lebensdauerberechnung, z.b. nach Miner elementar n ges N Le = 2 n / N i1 i i mit Bruch-Schwingspielzahlen N i = N i ( ai) aus der zugehörigen Wöhlerlinie des Bauteils für die beiden Amplituden a 8 und a 7.

84 Betriebsfestigkeit Seite 79 Für wechselnde Beanspruchung mit R = -1 sind verschiedene Zählverfahren gut geeignet, die jeweils nur 1 Parameter auswerten ( einparametrische Klassierverfahren). Z.B. wie gezeigt die Überschreitung der positiven Klassengrenzen oder die Spitzenwertzählung oder die Schwingweitenzählung und andere 5.3 Regellose Wechselbeanspruchung plus konstante Mittelspannung m t Auch hierfür ist eine einparametrische Klassierung gut geeignet, allerdings mit vorhergehender Zentrierung: Mittelwert m aus allen Spannungs-Momentanwerten bilden und diesen Wert von allen Spannungswerten abziehen. Dann einparametrische Klassierung dieser zentrierten Funktion und daraus das Amplitudenkollektiv ai ( n i ) ermitteln. Und schließlich Lebensdauerberechnung, z.b. mit Miner elementar.! Die Bruch-Schwingspiele N i dürfen hier aber NICHT für die Amplituden ai berechnet werden, sondern für Ersatz-Amplituden ae i nach einer Mittelspannungstheorie, z.b. nach Goodman, Gerber oder FKM. Vor der Lebensdauerberechnung ist hier also ein Ersatz-Amplituden- Kollektiv ae i ( n i ) aus dem Kollektiv ai ( n i ) zu ermitteln wenn nicht eine Wöhlerlinie für diese Mittelspannung vorhanden ist.

85 Betriebsfestigkeit Seite Beanspruchung mit schwankenden Mittelspannungen (Normalfall der Betriebsfestigkeit) Zur Analyse derartiger Zeit-Funktionen ist die Zerlegung in Halb-Schwingspiele üblich - jeweils aufsteigend und absteigend: a1 m1 a2 + + m2 Zu jeder Amplitude t ai kann eine eigene Mittelspannung mi gehören. Die Klasseneinteilung für σ (t) erfolgt zwar wie bisher, jetzt aber müssen alle ai und mi gemeinsam erfasst und gezählt werden zwei-parametrische Klassierung erforderlich! MPa a Null 120 t m 15 absolute Häufigkeit n z.b. a 1 = 120 MPa, z.b. wurde hier die Amplitude a 1 m 1 = 70 MPa mit zugehörigem m 1 15 mal gefunden

86 Betriebsfestigkeit Seite 81 Die Zählung sämtlicher Häufigkeiten in allen Klassen liefert ein Häufigkeits- Gebirge (typisch für alle zweiparametrischen Zählverfahren) a m Häufigkeit n bzw. horizontal dargestellt und mit diskreten Häufigkeiten: n m Draufsicht mit Zahlenwerten für n: a m = Häufigkeits-Matrix Sonderfall m = 0 infolge Umrechnung auf Ersatz-Amplituden ae : n a m = 0 1-dimensionale Häufigkeits-Verteilung der Amplituden Erst mit diesem Ersatz-Amplitudenkollektiv wird die Lebensdauer berechnet! Zum Beispiel mit Miner elementar.

87 Betriebsfestigkeit Seite Das Rainflow-Klassierverfahren Spezielles zweiparametrisches Zählverfahren zur Beanspruchungsanalyse: Spannungs-Zeit-Verlauf und zugehöriger Spannungs-Dehnungs-Verlauf Auswertung des Spannungs-Zeit-Verlaufes Abbildungen aus Cottin, D., Puls, E.: Angewandte Betriebsfestigkeit. VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie Leipzig 1985, S. 44 und 45 Ergebnis der Rainflow-Zählung: Zweidimensionale Häufigkeitsverteilung Bild-Zitat aus einem Fachbuch. Wird hier aus Urheberrechtsgründen nicht gezeigt und wurde in der damaligen Vorlesung nur für die Teilnehmer verwendet. Der Zugriff darauf erfolgte in nicht öffentlichem Ressort. Radaj, D.: Ermüdungsfestigkeit. Springer Verlag 2. Auflage 2003, S. 212

88 Betriebsfestigkeit Seite 83 Rainflow in Ansys Workbench 16: zu Übung W-F3 Blatt 4: Rainflow-Matrix als Ergebnis einer Betriebsfestigkeitsberechnung einfügen: Links im Strukturbaum: Betriebsfestigkeit bzw. Lastverlauf anklicken > Rechte Maustaste: Einfügen > `Rainflow`-Matrix > Oben: Lösung. Beispiel Lastverlauf SAE Transmission Max. statische Vergleichsspannung ( = dynam. Oberspannung) : 321,78 MPa Ergebnis `Rainflow-Matrix`:

89 Betriebsfestigkeit Seite Schädigungsmatrix bzw. Schadensmatrix in Ansys-Workbench. Diese Matrix zeigt anschaulich, welche Amplituden mit welchen Mittelspannungen die größten Schädigungsanteile liefern. zu Übung W-F3 Blatt 4: Schadensmatrix als Ergebnis einer Betriebsfestigkeitsberechnung einfügen: Links im Strukturbaum: Betriebsfestigkeit bzw. Lastverlauf anklicken > Rechte Maustaste: Einfügen > Schadensmatrix Beispiel Lastverlauf SAE Transmission Schadensmatrix für Mittelspannungseinfluss nach Goodman: nach Gerber Berechnungsablauf intern, wenn z.b. nur 1 Wöhlerlinie mit R = -1 vorhanden ist: - Berechnung von Ersatz-Amplituden ae, z.b. nach Goodman - Bruch-Zyklen N i = N ( i ae ) aus der gegebenen WL ermitteln - Teilschädigung Di = ni / N i berechnen mit n i aus der Rainflow-Matrix - Die Teilschädigung wird durch die Gesamtschädigung dividiert daraus folgt für jede Amplitude ein Prozentwert der anteiligen Schädigung

90 Betriebsfestigkeit Seite Ausblick Programme zur Betriebsfestigkeit: z.b. Betriebsfestigkeits-Tool in Ansys Workbench Übungen Ansys-W-F1 bis F4 sowie Beispiele von Zammert: Siehe Datei Zammert Ansys.pdf (Dehnungs-Wöhlerlinien und nichtproportionale Ermüdungsbeanspruchung) Quelle: Zammert, U., Einbock, St., Rosenthal J.: Ermüdungsfestigkeitsnachweis mit dem Workbench-Fatigue-Modul. Beitrag zum 23. CADFEM Users' Meeting 2005, enthalten in der CD zur 8. Auflage des Buches "FEM für Praktiker" von Müller und Groth, expert-verlag 2007 Programm ncode DesignLife als Zusatz-Modul zu Ansys WINLIFE MSC Fatigue und andere.

91 Betriebsfestigkeit FEM-Übungen

92 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F1 HTW Berlin Einstufig wechselnde Beanspruchung Blatt 1 von 5 Für alle folgenden Berechnungen soll das Bauteil-Modell der Ansys-Workbench-Übung W2 genutzt werden. Empfehlung: Eigenen Ordner für diese Übung erstellen, z.b. [ Ansys W-F1 ]. Dorthin die Geometrie-Datei Kerbe-1.agdb aus dem Ordner [ Ansys WB 16 ] kopieren. Im eigenen Ordner dann diese Datei doppelklicken Ansys-Workbench startet. Links: Statisch-mechanische Analyse doppelklicken > Mitte: Im Block A mit der linken Maustaste DM Geometrie auf DM Geometrie im Block B ziehen. Links oben: Datei > Datei speichern unter > in den eigenen Ordner, Datei speichern als W-F1. Lebensdauerberechnung für reine Wechselbeanspruchung Zur Lebensdauer-Berechnung in Ansys ist vorher stets eine statische Berechnung erforderlich. Dazu die FEM-Berechnung für dieses Geometrie-Modell starten: Block B: 4 Modell doppelklicken Das Programm Mechanical startet. Das Bauteil soll an einer Seite fest eingespannt sein wie in Übung W2 und mit einer Einzelkraft belastet werden. Die Einzelkraft soll 5000 N betragen. Links im Strukturbaum: Statisch-mechanisch (B5) > Oben: Lagerungen Lasten 5000 N Links im Strukturbaum: Lösung (B6) > Oben: Verformung > Gesamt > Oben: Spannung > Vergleichsspannung (von Mises). Für die anschließende Lebensdauerberechnung einfügen: Links im Strukturbaum: Lösung, Rechte Maustaste > Einfügen > Betriebsfestigkeit > Betriebsfestigkeits-Tool > Rechte Maustaste: Einfügen: Lebensdauer und Sicherheitsfaktor (d.h. Dauerfestigkeit σ D durch σ Vmax ) Oben: Prof. Dr Ergebnis: Vergleichsspannung: MPa.! Achtung: Für Lebensdauer-Analysen muss die statische Berechnung so genau wie möglich sein! Im vorliegenden Fall kann zur Kontrolle der Genauigkeit wie in der Ansys Übung W2 Genau A eine Formzahlberechnung genutzt werden. Die Formzahl beträgt hier 2,4. Damit müsste als maximale Spannung entstehen: max = 5,4545 MPa. Warum? (siehe Ansys Übung W2, Seite 7) Diese Spannung entspricht dem Maximum der ersten Hauptspannung 1. In Ansys Workbench heißt diese Hauptspannung Max. im Hauptachsensystem.

93 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F1 HTW Berlin Einstufig wechselnde Beanspruchung Blatt 2 von 5 Also links im Strukturbaum: Lösung (B6) > Oben: Spannung > Max. im Hauptachsensystem > Oben: Lösung. Ergebnis:. MPa Das Ergebnis im Vergleich zum genauen theoretischen Wert 5,4545 MPa: Abweichung in Prozent:.. % (Ergebnis - theoretisch) / theoretisch Vernetzung darstellen: Siehe Übung W1 Beginn, Seite 5. Die Vernetzung dürfte zu grob sein. Die Vernetzung sollte hier möglichst in der Bohrung verfeinert werden, um genauere Spannungs-Ergebnisse zu erhalten: Links im Strukturbaum: Netz > Rechte Maustaste: Einfügen: Verfeinerung > Links unten: Verfeinerung Stufe 3 Mitte: Die Innenfläche der Bohrung anklicken > Links unten: Anwenden. Oben: Lösung. Jetzt müsste die max. Hauptspannung 1max = 5,4337 MPa betragen. Wie groß ist nun die Abweichung in Prozent zum theoretischen Wert?.. % Die max. Vergleichsspannung müsste jetzt V max = 5,3774 MPa betragen. Für duktile Werkstoffe ist diese Vergleichsspannung maßgebend bei Betriebsfestigkeits- Berechnungen. Nun zur Lebensdauer: Links im Strukturbaum: Lebensdauer 6 Ergebnis: alles rot, Zahlenwerte 1e6 Min, 1e6 Max (= 10 = 1 Million Lastzyklen). Was wurde berechnet? Links Betriebsfestigkeits-Tool anklicken zeigt eine Sinusbelastung zwischen 1 und -1. Das heißt, die vorhandene statische Belastung (hier eine Kraft mit 5000 N) wird als schwingende Wechselbelastung aufgebracht mit Werten zwischen und N. Die Amplitude dieser Schwingung beträgt 5000 N. Für die Lebensdauer des Bauteils ist allerdings nicht vordergründig die Belastungsamplitude, sondern die größte im Bauteil auftretende Beanspruchungsamplitude maßgebend. In diesem Bauteil wird statisch infolge der gegebenen Randbedingungen (hier Kraft F und feste Einspannung) eine max. Vergleichsspannung als Von-Mises Stress im Kerbgrund berechnet, siehe links: Lösung > Vergleichsspannung Die max. Vergleichsspannung wird im verwendeten Fatigue-Modul als größte im Bauteil vorhandene Amplitude der Schwingbeanspruchung interpretiert. Die zugehörige Lebensdauer ergibt sich bei reiner Sinusbelastung direkt aus der Wöhlerlinie mit konkreter Ausfallwahrscheinlichkeit. In Ansys ist die jeweils gültige Wöhlerlinie als Werkstoff-Wöhlerlinie in den Materialdaten enthalten. Aus welchem Material besteht das berechnete Bauteil? Links Modell > Geometrie + anklicken > Volumenkörper anklicken > Links unten ist das Material zu sehen: Baustahl

94 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F1 HTW Berlin Einstufig wechselnde Beanspruchung Blatt 3 von 5 Die Kennwerte dieses Werkstoffes sind sichtbar in der Rubrik Technische Daten (siehe auch Ansys-Übung W7 Werkstoffe). Dazu die Projektseite öffnen: Unten > Mitte: Block B Technische Daten doppelklicken > In der mittleren Tabelle (Eigenschaften von Überblickzeile 3: Baustahl) sind statische Kennwerte aufgelistet, z.b. die statische Zug-Streckgrenze 250 Mpa, statische Druck-Streckgrenze 250 MPa ( = Druck-Fließgrenze) max. statische Zugfestigkeit 460 MPa. (eventuell Maßeinheiten umstellen: Oben Maßeinheiten). sowie eine Spannungs-Wöhlerlinie (! ohne Angabe der Überlebenswahrscheinlichkeit! ) als Wöhlerlinie über Mittelspannung in Form einer Tabelle und als Diagramm Zu sehen ist eine Wöhlerlinie in doppeltlogarithmischer Auftragung für den Kurventyp Mittelspannung = 0 MPa (also für reine Wechselbeanspruchung). Hier sind Werte vorhanden für Spannungsamplituden zwischen 86,2 MPa und 3999 MPa. Die höchste Spannungsamplitude hat eine Lebensdauer von 10 Lastzyklen, die niedrigste 1E+06 Zyklen (= 1e6 = 1 Million). Wenn also max. Spannungsamplituden auftreten, die kleiner als die kleinste Amplitude dieser Wöhlerlinie sind (hier 86,2 MPa), so entsteht dafür stets nur die gleiche Lebensdauer N = 1e6 Zyklen. Genau dies trifft im vorliegenden Fall zu. Um die Lebensdauer deutlich zu verkürzen, sollte also die auftretende max. statische Spannung (= dynamische Spannungsamplitude im Fatigue-Modul) größer als 86,2 MPa sein, z.b. 120 MPa, d.h. 22,3755-fach größer als bisher (120 MPa dividiert durch Ihren Ergebniswert der Vergleichsspannung, siehe Blatt 2 ). Zur Amplitudenvergrößerung bei Wechselbelastung gibt es in Workbench zwei Möglichkeiten: a) Die statische Kraft wird genau um diesen Faktor vergrößert oder b) Die so genannte Skalierung wird mit diesem Faktor vorgegeben.! Sowohl Kraft-Änderung als auch Skalierungs-Änderung verändern proportional tatsächlich nur die Oberspannung. Bei wechselnder und bei schwellender Belastung entsteht daraus folgend eine proportionale Änderung der Amplitude. Das gilt nicht für andere (!) Belastungen.

95 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F1 HTW Berlin Einstufig wechselnde Beanspruchung Blatt 4 von 5 Zunächst Variante b) Skalierung ändern Unten: Mechanical > Links: Betriebsfestigkeits-Tool > Links unten: Skalierungsfaktor eintragen > Enter > Oben Lösung > Ergebnis ansehen: Links Betriebsfestigkeits-Tool > Lebensdauer Der minimale Wert beträgt jetzt 1.66 e5 Zyklen und tritt genau im Kerbgrund dort auf, wo auch die max. statische Vergleichsspannung vorhanden ist, siehe Links im Strukturbaum: Vergleichsspannung. Vergleich mit der Wöhlerlinie: Unten Projektseite > Technische Daten: In der Tabelle rechts oben sind für 114 MPa genau 2e5 Zyklen angegeben, für 138 MPa sind es 1e5 Zyklen. Die Skalierung kann z.b. auch genau mit dem Spannungswert 138 MPa eingestellt werden: Dafür gilt der Faktor.. (138 MPa dynamisch / 5,3774 MPa statisch). Die Eingabe dieses Faktors im Betriebsfestigkeits-Tool > links unten: Skalierungsfaktor, dann oben: Lösung. Jetzt sollte die min. Lebensdauer des Bauteils exakt 1e5 Zyklen betragen. Nun zur Variante a) Statische Belastung vergrößern Die Skalierung wird wieder auf 1 gesetzt (Links: Betriebsfestigkeits-Tool > Unten: Skalierungsfaktor) Die gegebene Kraft wird um den Faktor 25,.. vergrößert: Links: Kraft > Unten links:. MPa > Oben: Lösung. Statisches Ergebnis: Links: Vergleichsspannung. Die größte statische Vergleichsspannung sollte jetzt genau 138 MPa betragen. Anzeige der Lebensdauer: Links: Betriebsfestigkeits-Tool > Lebensdauer. Der minimale Wert beträgt nun exakt 1e5 Zyklen. Die Erhöhung der Kraft z.b. auf 3e5 N ( N) führt auf eine minimale Lebensdauer von 5254 Zyklen. Auch dieses Ergebnis ist mit der vorgegebenen Wöhlerlinie bestens kompatibel, weil die zugehörige Spannungsamplitude jetzt 322,64 MPa beträgt. Statische Vergleichsspannung: Lebensdauer: Max. Wert: V max = 322,64 MPa Min. Wert: 5254 Zyklen Zu Kontrolle im Wöhlerdiagramm auf Blatt 3 dieser Übung: Der Logarithmus von 322,64 zur Basis 10 beträgt 2,509 und die Anzahl 5254 der Zyklen ebenso logarithmiert liefert die Zahl 3,72.

96 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F1 HTW Berlin Einstufig wechselnde Beanspruchung Blatt 5 von 5 Welche Lebensdauer entsteht hier, wenn die Spannung nicht so genau berechnet wird? Dazu das ursprüngliche Netz ohne Verfeinerung einstellen: Links im Strukturbaum: Netz > Rechte Maustaste: Erstellte Daten löschen > +Netz > Verfeinerung > Rechte Maustaste: unterdrücken > Oben: Lösung. Die Kraft 3e5 N führt jetzt auf eine niedrigere Vergleichsspannung und damit zu einer deutlich größeren Lebensdauer: V max in MPa Lebensdauer in Zyklen Ohne Verfeinerung Mit Verfeinerung 322, ,3 Abweichung in % Damit wird sichtbar, wie wichtig genaue Spannungswerte für die berechnete Lebensdauer sind. Abschließend die Verfeinerung wieder herstellen: Links im Strukturbaum: Netz > Rechte Maustaste: Erstellte Daten löschen > +Netz > Verfeinerung > Rechte Maustaste: Unterdrückung aufheben > Oben: Lösung. Jetzt müsste die maximale Vergleichsspannung wieder 322,64 MPa betragen. Projekt speichern: Oben Links: Datei > Projekt speichern. Workbench beenden.

97 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F2 HTW Berlin Einstufig schwellende Beanspruchung Blatt 1 von 4 Im Ordner [ Ansys W-F1 ] die Datei W-F1 doppelklicken Workbench startet mit diesem Projekt. Mitte: Block B Modell doppelklicken Mechanical startet. Lebensdauerberechnung für schwellende Beanspruchung Um verschiedene Lastfälle rationell kenntlich zu machen, sollte jeder Lastfall einen eigenen Namen erhalten. Der vorhandene Lastfall (wechselnde Belastung): Links: Betriebsfestigkeits-Tool mit der rechten Maustaste anklicken > Umbenennen > Wechselnd R = -1 Lastfall schwellend erzeugen Links: Wechselnd R = -1 mit der rechten Maustaste anklicken > Duplizieren > den neuen Eintrag umbenennen > Schwellend R = 0 Unten links: Typ: Schwellend anklicken Die Belastung schwankt jetzt zwischen 0 und +1: Oben: Lösung. Lebensdauer: Min Zyklen. Im Vergleich dazu wechselnd:..min Wie kommt ein derartiger Unterschied zu Stande? Schwellend heißt: Die vorhandene max. statische Spannung (hier MPa) wird jetzt als Oberspannung ( = Amplitude plus Mittelspannung) von Ansys interpretiert, d.h. hier wirkt nur eine dynamische Amplitude 161,3 MPa ( / 2) plus statische Mittelspannung 161,3 MPa. Ein Blick auf die Wöhlerlinie Übung W-F1 Blatt 3 zeigt, dass dazu ein Lebensdauerwert von etwa 1e5 gehört ( Log10 von 161,3 2,2).! Aber: Diese Zuordnung ist falsch! Die verwendete Wöhlerlinie gilt nur für R = -1 (rein wechselnd). Das heißt, hier wird zusätzlich eine 2. Wöhlerlinie für das Spannungsverhältnis R = 0 benötigt. Wenn keine derartige Wöhlerlinie in den Ansys-Daten vorliegt, kann eine so genannte Mittelspannungstheorie genutzt werden, mit deren Hilfe aus einer Wöhlerlinie für Mittelspannung S m = 0 MPa künstliche ( synthetische ) Wöhlerlinienwerte für Mittelspannungen 0 MPa simuliert werden. Für Mittelspannungen größer 0 MPa entstehen so neue Wöhlerlinien, die im Wöhlerliniendiagramm nach links verschoben sind, also kleinere Lebensdauerwerte liefern. Prof. Dr. 2015

98 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F2 HTW Berlin Einstufig schwellende Beanspruchung Blatt 2 von 4 Dieser Effekt ist in Ansys symbolisch sichtbar: Links im Strukturbaum: Schwellend R = 0 > Links unten: Mittelspannungstheorie > Mittelspannungskurven. Zu sehen sind 4 Wöhlerlinien als Beispiel.! Die angezeigte Rubrik Mittelspannungskurven ist jedoch in Ansys nur dann wirksam, wenn in den Werkstoffdaten tatsächlich mehrere Wöhlerlinien vorhanden sind. Das ist im vorliegenden Beispiel nicht der Fall. Beweis: Oben: Lösung Die Lebensdauer beträgt auch jetzt wieder Min Zyklen wie vorher. Nur dann, wenn in den Werkstoffdaten mehrere Wöhlerlinien enthalten sind, wird von Ansys eine Interpolation auf die konkrete Wöhlerlinie ausgeführt. Im vorliegenden Fall Baustahl mit nur einer Wöhlerlinie für R = -1 ( d.h. Mittelspannung 0 MPa) kann trotzdem eine Wöhlerlinie für R = 0 (d.h. Mittelspannung = halbe Oberspannung bzw. halber Wert der statischen Maximalspannung) simuliert werden. Dazu dienen in Ansys die voreingestellten Mittelspannungstheorien von Goodman, Soderberg oder Gerber. Zum Beispiel Goodman: Links Schwellend R = 0 > unten: Mittelspannungstheorie > Goodman Oben: Lösung. Lebensdauer: Min Zyklen! Das sieht schon besser aus. Oder Gerber: Min Zyklen. Die Goodman-Gerade ist für spröde Werkstoffe geeignet, die Gerber-Parabel eher für duktile. Weil hier Baustahl als duktiler Werkstoff vorhanden ist, sollte also die Zyklenzahl gemäß Gerber bevorzugt werden. Die Theorie nach Soderberg liefert im Vergleich dazu deutlich kleinere Werte:. Min Zyklen.

99 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F2 HTW Berlin Einstufig schwellende Beanspruchung Blatt 3 von 4 Anderes Material: Aluminium Die vorhandene Berechnung für das Bauteil aus Baustahl soll nun genau so für Aluminium ausgeführt werden. Dazu die Projektseite öffnen: Unten > Mitte: Block B duplizieren > Umbenennen Block C zu Aluminium > Block B umbenennen zu Baustahl > Links oben: Datei > Speichern. Block C (Aluminium) Technische Daten doppelklicken > Oben: Quellen für technische Daten ein weiteres Fenster wird geöffnet > Standardmaterialien doppelklicken > Aluminiumlegierung > Hinzufügen zum Projekt > Oben: Quellen für technische Daten > Jetzt ist das Material Aluminiumlegierung sichtbar. Die Kennwerte dieses Materials: Statische Zugfestigkeit 310 MPa, Zug- und Druck-Streckgrenze jeweils 280 MPa. Des Weiteren gibt es 4 Wöhlerlinien in der Rubrik R-Verhältnis für Wechselspannung (wieder ohne Ausfallwahrscheinlichkeit!) für R = -1 bis R = 0,5. Durch Anklicken in der Tabelle rechts oben können die 4 Wöhlerlinien mit ihren Zykluswerten der Reihe nach angesehen werden. Dieses Material dem Bauteil als Werkstoff zuordnen: Oben: Zurück zum Projekt die Projektseite erscheint wieder > Mitte: Block C (Aluminium) Modell doppelklicken Mechanical startet > Links im Strukturbaum: + Geometrie > Volumenkörper > Links unten: Material / Zuordnung > den Pfeil bei Baustahl anklicken: Aluminiumlegierung einstellen. Lebensdauerberechnung: Wechselnd mit R = -1: Unten Mechanical > Oben: Lösung Ergebnis der Min. Lebensdauer Wechselnd R = -1: 0 Zyklen! Kontrolle der max. Vergleichsspannung:. MPa Der Wert unterscheidet sich nur um % vom Maximalwert bei Baustahl, ist also nahezu identisch zu vorher. Die max. statische Spannung ist allerdings größer als die größte Amplitude a der aktuellen Wöhlerlinie für R = -1: a max = 275,8 MPa (siehe Technische Daten für R = -1). Also die statische Maximal-Spannung z.b. auf 240 MPa verringern, indem die Kraft entsprechend verringert wird um den Faktor (240 / 323,21) Kontrolle: Die max. Vergleichsspannung sollte jetzt genau 240 MPa betragen. Damit entsteht als Lebensdauer: 5374,6 Min Zyklen. Das entspricht etwa dem Zyklen-Wert in der Tabelle rechts oben bei den Technischen Daten für R = -1 für 241,3 MPa Spannungsamplitude.

100 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F2 HTW Berlin Einstufig schwellende Beanspruchung Blatt 4 von 4 Schwellend mit R = 0: Hier gibt es eine Werkstoff-Wöhlerlinie für R = 0.! Um diese nutzen zu können, muss die Rubrik Mittelspannungskurven eingestellt werden: In Mechanical > Links im Strukturbaum: Schwellend R = 0 > links unten: Mittelspannungstheorie: Mittelspannungskurven. Das zugehörige Bild zeigt aber nur symbolisch den Sachverhalt, wie bereits auf Blatt 2 dargestellt. Welche Werte konkret für R = 0 vorliegen, ist in Technische Daten zu sehen: bzw. alle 4 Kurven mit Interpolation angezeigt: Dazu bei Technische Daten im mittleren Fenster + von "Wöhlerlinie über R-Verhältnis" anklicken > Interpolation In Mechanical für Schwellend R = 0 Lebensdauer 2,0538 e5 Zyklen. Zur Erinnerung: Hier wird als Maximal-Amplitude von Ansys automatisch der Wert 120 MPa aufgebracht (statischer Maximalwert = 240 MPa durch 2). V max Zum Vergleich: Synthetische Ergebnisse mit Mittelspannungstheorien für R = 0: nach Goodman nach Soderberg nach Gerber. Zyklen... Zyklen. Hinweis: Für schwellende Beanspruchungen z.b. mit R = 0,5 oder -0,5 (Schwellend duplizieren ) muss links unten statt Schwellend Verhältnis eingestellt werden.. Zum Abschluss Projekt speichern: Links oben Projekt > Datei > Alles speichern.

101 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F3 HTW Berlin Fertige Lastverläufe verwenden Blatt 1 von 5 Wie in Übung W-F1 soll auch hier das gleiche Bauteil genutzt werden: Einseitig fest eingespannt und belastet durch eine Kraft F(t). Dazu den Ordner der Übung W-F1 öffnen und dort die Projekt-Datei doppelklicken Ansys Workbench startet. Das Bauteil soll nun aus Baustahl S 235 bestehen mit Werkstoffkennwerten gemäß FKM- Richtlinie. Dazu auf der Projektseite Block B (Baustahl) duplizieren und den neuen Block D umbenennen zu S 235 nach FKM Dann im Block D in Technische Daten die Wöhlerlinie entsprechend Übung B 4 eingeben: Prof. Dr. 2015

102 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F3 HTW Berlin Fertige Lastverläufe verwenden Blatt 2 von 5 Dann zurück zum Projekt > Block D: Modell doppelklicken Mechanical startet. Neues Material einstellen: Links im Strukturbaum: + Geometrie > Volumenkörper > links unten: Material > Zuordnung S 235 nach FKM. Oben Lösung > Hat sich nun die Vergleichsspannung im Unterschied zum Block B geändert? Warum nicht? Wie groß ist jetzt die Lebensdauer im Unterschied zum Block B (Blatt 4 der Übung W-F1)? Für S 235 Für Baustahl Ansys Projektseite > Oben Projekt speichern. 1.) Kraft F(t) mit Lastverlauf samplehistory2 Block D Mechanical > Links im Strukturbaum: Lösung > Wechselnd R = -1 duplizieren > Umbenennen: Lastverlauf samplehistory2 Links unten: Typ, Wechselnd ändern zu Verlaufsdaten > Speicherort der Verlaufsdaten > SampleHistory2 doppelklicken. Jede Lastfolge ist eine Zeitfunktion (Abszisse = Zeitachse): Lebensdauerberechnung: Oben: Lösung > Ergebnis ansehen: Lebensdauer Ergebnis: alles rot und Null! Was wurde berechnet? Die statische Vergleichsspannung beträgt hier 322,64 MPa (infolge der statischen Kraft 3e5 N). Bei jedem Lastverlauf wird der jeweilige Ordinatenwert multipliziert mit der statischen Spannung. Hier also werden riesige Spannungen erzeugt mit Werten zwischen ,64 = (!) MPa und 190,44 322,64 = MPa. Günstiger ist eine Skalierung, die dafür sorgt, dass der Lastverlauf z.b. Maximalwerte von +1 hat. Das gelingt mit einem Skalierungsfaktor 1/190,44 ( Links im Strukturbaum: unten links Skalierungsfaktor 5,251e-3 eingeben. Damit entstehen lediglich andere Ordinatenwerte des Lastverlaufs:

103 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F3 HTW Berlin Fertige Lastverläufe verwenden Blatt 3 von 5 Die Spannungen schwanken jetzt zwischen + 322,64 MPa Zug (+1 322,64 MPa) und 1692 MPa Druck (-5, ,64 MPa). Oben Lösung Lebensdauer: 89,077 Min Zyklen? So wenige?! Achtung. Bei Verlaufsdaten wird als Lebensdauer in Ansys NICHT die Anzahl der Zyklen (einzelne Lastwechsel) angezeigt, sondern stets nur die Anzahl der Wiederholungen (so genannte Blöcke) des vorgegebenen Lastverlaufs, bis das Bauteil ausfällt. Das Bauteil erreicht hier also eine min. Lebensdauer von 89,077 Wiederholungen der Lastfolge. Durch Auszählen der Zyklenzahl (nur obere oder nur untere Extremwerte zählen) folgt hier: 50 Zyklen. Demzufolge beträgt die Lebensdauer des Bauteils 89, 077 Blöcke 50 Zyklen = 4453,9 Zyklen (einzelne Lastwechsel). Es gibt noch eine andere Möglichkeit, die Anzahl der Zyklen je Block zu ermitteln: Links im Strukturbaum: Lastverlauf samplehistory2 > siehe unten: Unbegrenzte Lebensdauer 1,e+009 Blöcke (gemeint sind hier allerdings Zyklen!) Lebensdauer > Mitte: Der angezeigte Maximalwert (hier 2e7 Max) zeigt die Anzahl der Blöcke, die bei unbegrenzter Lebensdauer erreicht werden. 1e9 dividiert durch 2e7 liefert hier die Anzahl der Zyklen je Block: = 50 Die Zyklenzahl pro Block kann in Ansys auch manuell eingestellt werden: Links im Strukturbaum: Lastverlauf samplehistory2 > ganz unten links: Einheiten > Blöcke Zyklen > 1 Block ist gleich > 50 Zyklen Oben: Lösung > Lebensdauer 4453,9 Min (siehe oben) Dann sollte auch die Lebensdauer links im Strukturbaum umbenannt werden zu: Lebensdauer in Zyklen > Oben: Lösung. Apropos Wöhlerlinie: Angegeben wurde hier nur 1 Wöhlerlinie für reine Wechselbeanspruchung (ohne Mittelspannung). Der Verlauf aber zeigt eine deutliche Schwankung von Mittelspannungen in jedem einzelnen Lastwechsel. Daraus folgt: Die bisherigen Berechnungen sind unbrauchbar! Hier sind entweder mehrere Wöhlerlinien erforderlich, die das vorkommende Schwankungsspektrum im verwendeten Lastverlauf komplett umfassen oder eine Mittelspannungstheorie, um diese fehlenden Wöhlerlinien näherungsweise zu simulieren.

104 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F3 HTW Berlin Fertige Lastverläufe verwenden Blatt 4 von 5 Zum Beispiel nach Goodman: Links im Strukturbaum: Lastverlauf samplehistory2 umbenennen (ergänzen: ohne Msp-Theorie soll heißen: ohne Mittelspannungs-Theorie) > Duplizieren > Umbenennen: Lastverlauf samplehistory mit Goodman Links unten: Mittelspannungstheorie > Goodman Lebensdauer: 0 Min. Oder nach Gerber: > Duplizieren > Umbenennen: Lastverlauf samplehistory mit Gerber usw. Lebensdauer: 0 Min. Die Druckspannungen sind vermutlich zu groß. Wird hier z.b. der Skalierungsfaktor = 2e-3 statt 5,251e-3 gesetzt, entstehen Lebensdauerwerte größer Null. Was bedeutet dieser Faktor 2e-3 im konkreten Fall? Wie groß ist damit die zugehörige max. (Zug-) Spannung in MPa?.. Wie groß ist die zugehörige min. (Druck-) Spannung in MPa?.. 2.) Lastverlauf SAE Transmission Links im Strukturbaum: SampleHistory2 ohne Msp-Th duplizieren > Umbenennen zu SAE Transmission ohne Msp-Theorie. Links unten Speicherort der Verlaufsdaten Skalieren mit 1/999 und max. statische Vergleichsspannung 322,64 MPa liefert: Lebensdauer ohne (?!) Mittelspannungstheorie:.. Zyklen! Achtung: Dieser Wert ist sicher völlig falsch, weil vorher 50 Zyklen je Block eingestellt waren. Wie viele Zyklen hat diese Lastfolge? Anzahl der Zyklen korrigieren > Wie groß ist also hier die Lebensdauer in Zyklen?. (Jetzt müssten mehr als 1 Million Zyklen als Minimum angegeben sein.) Lebensdauer nach Goodman:.. in Zyklen (mehr als ) Und nach Gerber:... in Zyklen

105 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F3 HTW Berlin Fertige Lastverläufe verwenden Blatt 5 von 5 2.) Lastverlauf SAE BracketHistory Skalierungsfaktor in Ansys: 1,0 Skalieren mit (1/990,32) und max. statische Vergleichsspannung 322,64 MPa: Lebensdauer ohne (?!) Mittelspannungstheorie:.. Wie viele Zyklen hat diese Lastfolge? Wie groß ist damit die Lebensdauer in Zyklen? Nach Goodman:.. Nach Gerber:...

106 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F4 HTW Berlin Eigene Lastverläufe verwenden Blatt 1 von 4 Bauteil, Belastung und Werkstoff wie in Übung W-F3. 1.) Editieren einer Lastverlaufs-Datei Die fertigen Lastverlaufs-Dateien der Übung W-F3 befinden sich im Ordner Load Histories von Ansys. Zum Beispiel in Ansys links Lastverlauf samplehistory2 anklicken > unten: Speicherort > anklicken > im neuen Fenster oben anklicken zeigt die Lage dieses Ordners: Öffnen Sie bitte auf Ihrem Computer außerhalb (!) von Ansys diesen Ordner. Kopieren Sie diesen Ordner evt. mit einem neuen Namen in Ihr Arbeitsverzeichnis oder auf den Desktop. Öffnen Sie dort die Datei sinwave und speichern diese unter einem neuen Namen ab, z.b. sinwave2. Die Datei sinwave.dat zeigt eine Zahlenkolonne. Kopieren Sie diese komplett und fügen Sie sie nach dem letzten Wert ein > Speichern. Zurück zu Ansys: Links im Strukturbaum: Einen Lastverlauf anklicken > Duplizieren > Umbenennen zu Lastverlauf SinWave2 > unten: Speicherort anklicken > Ihren neuen Ordner suchen > dort SinWave2 anklicken. Dann müsste der Lastverlauf so aussehen: Oben: Lösung > Lebensdauer? Links im Strukturbaum: Lastverlauf SinWave2 duplizieren > Lastverlauf SinWave Oben: Lösung > Lebensdauer? Im Vergleich zum Lastverlauf sinwave2 ist jetzt die Lebensdauer doppelt so groß. Woran liegt das? Was haben Sie falsch gemacht? Die Lebensdauer sollte gleich sein! Prof. Dr. 2015

107 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F4 HTW Berlin Eigene Lastverläufe verwenden Blatt 2 von 4 Exakt die gleiche Lebensdauer wie bei sinwave entsteht, wenn Sie den Sägezahn-Verlauf sawtooth als Lastfolge verwenden: Die fortwährende Wiederholung bedeutet: Die Textdatei dazu enthält nur 3 Zahlen: Wenn Sie das letzte Leerzeichen löschen, entsteht also Die Lebensdauer beider Lastfolgen ist exakt identisch mit sinwave. Fazit: In Ansys werden (wie in der Betriebsfestigkeit üblich) nur Extremwerte von Lastfolgen für die Lebensdauerberechnung verwendet. Die Momentanwerte (wie in der Lastfolge sinwave) zwischen den Extremwerten spielen dabei keine Rolle.

108 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F4 HTW Berlin Eigene Lastverläufe verwenden Blatt 3 von 4 2.) Mehrstufig konstante Amplituden Die Belastung soll jetzt mehrstufig wirken in Form von mehreren konstanten Amplituden, z.b. mit 2 Stufen: hier also 5 Lastwechsel mit Amplitude 0.6, dann 2 Lastwechsel mit Amplitude 1.0, dann wieder 5 Lastwechsel mit Amplitude 0.6 und so weiter in dieser Reihenfolge. Für die Lebensdauerberechnung werden nur die Extremwerte gebraucht, die in jedem Kollektiv enthalten sind. Ein Kollektiv ist die Sequenz von Lastwechseln, die fortwährend wiederholt wird. Speziell in Ansys genügt zur Eingabe des Kollektivs (als Lastfolge ) eine Zahlenfolge der Extremwerte. Beispiel: Block2 Öffnen Sie außerhalb von Ansys den Ordner, in dem die bisherigen Lastfolgen abgespeichert wurden. Datei sawtooth.txt öffnen > Datei speichern unter > Block2 > In dieser neuen Datei eingeben: ohne Enter! Dann Ansys-Workbench starten >. > diese Lastfolge Block-2 anklicken. Jetzt müsste die Lastfolge so aussehen: Welche Lebensdauer entsteht dafür mit Ansys, wenn die max. Spannungs-Amplitude 250 MPa betragen soll? Hinweis: Diese Lastfolge hat 7 Zyklen je Block.

109 D. Joensson ANSYS Workbench 16 Fatigue W-F4 HTW Berlin Eigene Lastverläufe verwenden Blatt 4 von 4 Analytische Nachrechnung: Ermitteln Sie zum Vergleich die Lebensdauer analytisch nach der Palmgren-Miner-Formel: N M n n N Wie groß ist die Abweichung in % zwischen der Ansys-Lösung und Ihrer analytischen Lösung? (Sie müsste deutlich kleiner als 1 % sein, weil in Ansys rechnerintern genau mit der Palmgren- Miner-Formel die Lebensdauer berechnet wird). Reihenfolge der Lastzyklen ändern: Öffnen Sie außerhalb von Ansys die Datei Block2 und speichern Sie diese unter einem neuen Namen ab, z.b. Block-2a. Ändern Sie nun die Reihenfolge der einzelnen Lastzyklen, z.b. so: Welche Lebensdauer entsteht damit in Ansys? Fazit: Die Reihenfolge der einzelnen Lastzyklen hat keinen Einfluss auf die berechnete Lebensdauer (wegen der Palmgren-Miner-Formel). Tatsächlich aber gibt es bei realen Bauteilen einen experimentell nachweisbaren Reihenfolgeeinfluss. 3.) Mehrstufige Schwellbeanspruchung Ermitteln Sie mit Ansys die Lebensdauer des vorhandenen Bauteils aus Baustahl für folgende Beanspruchung: Die größte Oberspannung soll 320 MPa betragen, die kleinere Oberspannung 250 MPa. Als Mittelspannungstheorie könnte z.b. die Goodman-Gerade angewendet werden oder die Gerber- Parabel. Warum ist hier eine derartige Theorie überhaupt erforderlich?