Mittelwert Median Stabw StabwN 1. Quartil 3. Quartil 27,22 % 26,06 % 8,07 % 8,03 % 22,12 % 31,25 %

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1 3. a) Mit Hilfe der Excel-Funktionen Mittelwert(DB), Median(DB), Stabw(DB) sowie Quantil(DB;P) 1 werden aus den gegebenen Leberfettgehaltmessdaten Mittelwert, Median, Standardabweichung (Stabw) sowie das erste und dritte Quartil bestimmt. Tab. 1: Mittelwert, Median, Standardabweichung sowie 1. und 3. Quartil der Leberfettgehalte Mittelwert Median Stabw StabwN 1. Quartil 3. Quartil 27,22 % 26,06 % 8,07 % 8,03 % 22,12 % 31,25 % 3. b) Ausgehend von 10 % sollen die Messwerte in jeweils 4 % breite Klassen eingeteilt werden. Hierzu wird die Funktion Häufigkeit(DB;KL) 2 genutzt, die die absolute Häufigkeit ausgibt. Aus dieser wird die relative Häufigkeit durch Division durch die Gesamtzahl der Messwerte erhalten. Summiert man die Werte auf, erhält man die absolute bzw. relative Summenhäufigkeit. Tab. 2: Klassierung der Daten sowie Berechnugn der Häufigkeitsverteilung und Verteilungsfunktion Fettgehalt Häufigkeit Summenhäufigkeit theoretische je 100 g absolut relativ absolut relativ Verteilungsfunktion <10 g 0 0,00 % 0 0,00 % 1,60 % 10 g 14 g 3 2,88 % 3 2,88 % 4,99 % 14 g 18 g 7 6,73 % 10 9,62 % 12,55 % 18 g 22 g 16 15,38 % 26 25,00 % 25,78 % 22 g 26 g 26 25,00 % 52 50,00 % 43,95 % 26 g 30 g 19 18,27 % 71 68,27 % 63,53 % 30 g 34 g 12 11,54 % 83 79,81 % 80,06 % 34 g 38 g 9 8,65 % 92 88,46 % 91,01 % 38 g 42 g 6 5,77 % 98 94,23 % 96,71 % 42 g 46 g 3 2,88 % ,12 % 99,03 % 46 g 50 g 3 2,88 % ,00 % 99,77 % >50 g 0 0,00 % ,00 % 99,96 % 3. c) Die in b) berechneten Daten für die relative Häufigkeitsverteilung und die relative Summenfunktion sind als Diagramme in den Abbildungen 1 und 2 dargestllt. 3. d) Mit Hilfe der Excel-Funktion Normvert(OG;M;S;1) 3 wird die theoretische Verteilungsfunktion für die obere Klassengrenze berechnet. Die Ergebnisse sind in Tabelle 2 aufgeführt. 1 DB gibt den Datenbereich wieder; P stellt einen Prozentsatz (0,25 für das 1. Quartil, 0,75 für das 3. Quartil) dar 2 DB: Datenbereich; KL: Bereich, in dem die Klassenobergrenzen aufgeführt sind. 3 Hierbei stehen OG für die obere Klassengrenze, M für den Mittelwert der Messwerte und S für die Standardabweichung ausgehend von einer Grundgesamtheit (s. StabwN in Tab. 1). 1

2 25% 15% 1 5% Abb. 1: Relative Häufigkeitsverteilung der Leberfettgehalte Abb. 2: Empirische Verteilungsfnktion der Leberfettgehalte 3. e) Die Darstellung der Leberfettgehalte als empirische Verteilungsfunktion sowie der Verteilungsfunktion aus der Normalverteilung für die oberen Klassengrenzen ist in Abbildung 3 dargestellt. 3. f) Um die theoretische Verteilungsfunktion für jeden Wert zu berechnen, wird die Excel- Funktion Normvert(W;M;S;1) 4 genutzt. Die empirische Verteilungsfunktion wird in mehreren Schritten bestimmt. Zunächst werden die Daten sortiert und anschließend die absolute Häufigkeit jedes einzelnen Wertes bestimmt. Letzteres erfolgt mit der Funktion Häufigkeit(DB;KL), wobei Datenbereich DB und Klassengrenzen KL identisch sind. Durch Division der absoluten Häufigkeit durch die Gesamtzahl an Werten erhält man die relative Häufigkeit, die durch Auf- 4 W entspricht hierbei dem einzelnen Wert, M dem Mittelwert und S der Standardabweichung für eine Grundgesamtheit (s. StabwN in Tab. 1). 2

3 10 Verteilungsfunktionen relative Summenhäufigkeit ,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 Leberfettgehalt in g/g theoretisch empirisch Abb. 3: Darstellung der empirischen Verteilungsfunktion der Leberfettgehalte sowie der theoretischen Verteilungsfunktion für die obere Klassengrenze summieren die empirische Verteilungsfunktion ergibt. Die Werte der theoretischen sowie der empirischen Verteilungsfunktion sind in Tabelle 3 aufgeführt. Tab. 3: Empirische und theoretische Verteilungsfunktion Leberfettgehalt Verteilungsfunktion Leberfettgehalt Verteilungsfunktion je 100 g empirisch theoretisch je 100 g empirisch theoretisch 10,72 0,96 % 2,00 % 26,22 50,96 % 45,04 % 13,08 1,92 % 3,92 % 26,51 51,92 % 46,47 % 13,95 2,88 % 4,93 % 26,90 52,88 % 48,40 % 14,14 3,85 % 5,17 % 27,09 53,85 % 49,34 % 14,31 4,81 % 5,40 % 27,25 54,81 % 50,14 % 15,60 5,77 % 7,40 % 27,34 55,77 % 50,59 % 16,00 6,73 % 8,12 % 27,46 56,73 % 51,18 % 16,75 7,69 % 9,62 % 27,58 57,69 % 51,78 % 17,11 8,65 % 10,41 % 27,76 58,65 % 52,67 % 17,12 9,62 % 10,43 % 28,28 59,62 % 55,24 % 18,21 10,58 % 13,10 % 28,50 60,58 % 56,32 % 18,31 11,54 % 13,36 % 28,66 61,54 % 57,10 % 18,80 12,50 % 14,72 % 28,73 62,50 % 57,45 % 18,83 13,46 % 14,81 % 28,88 63,46 % 58,18 % 18,92 14,42 % 15,07 % 29,03 64,42 % 58,90 % 19,29 15,38 % 16,17 % 29,16 65,38 % 59,53 % 19,54 16,35 % 16,95 % 29,30 66,35 % 60,21 % 3

4 Leberfettgehalt Verteilungsfunktion Leberfettgehalt Verteilungsfunktion je 100 g empirisch theoretisch je 100 g empirisch theoretisch 19,83 17,31 % 17,87 % 29,34 67,31 % 60,40 % 19,84 18,27 % 17,91 % 29,79 68,27 % 62,54 % 19,86 19,23 % 17,97 % 30,12 69,23 % 64,09 % 20,79 20,19 % 21,17 % 30,14 70,19 % 64,18 % 20,99 21,15 % 21,89 % 30,56 71,15 % 66,11 % 21,23 22,12 % 22,79 % 30,60 72,12 % 66,29 % 21,26 23,08 % 22,90 % 30,83 73,08 % 67,33 % 21,54 24,04 % 23,97 % 31,18 75,00 % 68,89 % 21,90 25,00 % 25,38 % 31,18 75,00 % 68,89 % 22,19 25,96 % 26,55 % 31,45 75,96 % 70,07 % 22,24 26,92 % 26,76 % 32,13 76,92 % 72,94 % 22,25 28,85 % 26,80 % 32,26 77,88 % 73,47 % 22,25 28,85 % 26,80 % 32,68 78,85 % 75,16 % 22,28 29,81 % 26,92 % 32,84 79,81 % 75,78 % 22,45 31,73 % 27,62 % 34,29 80,77 % 81,05 % 22,45 31,73 % 27,62 % 34,40 81,73 % 81,42 % 22,57 32,69 % 28,13 % 34,70 82,69 % 82,40 % 22,69 33,65 % 28,63 % 35,23 83,65 % 84,06 % 22,80 34,62 % 29,10 % 35,60 84,62 % 85,15 % 22,91 35,58 % 29,57 % 35,83 85,58 % 85,80 % 23,97 36,54 % 34,28 % 36,29 86,54 % 87,05 % 24,23 37,50 % 35,48 % 36,57 87,50 % 87,77 % 24,29 38,46 % 35,76 % 36,83 88,46 % 88,42 % 24,30 39,42 % 35,80 % 38,79 89,42 % 92,51 % 24,37 40,38 % 36,13 % 39,00 90,38 % 92,87 % 24,44 41,35 % 36,46 % 39,30 91,35 % 93,36 % 24,47 42,31 % 36,60 % 40,74 92,31 % 95,38 % 24,77 43,27 % 38,01 % 40,90 93,27 % 95,57 % 24,80 44,23 % 38,15 % 41,90 94,23 % 96,62 % 24,86 45,19 % 38,44 % 42,05 95,19 % 96,75 % 25,31 46,15 % 40,59 % 43,42 96,15 % 97,81 % 25,55 47,12 % 41,76 % 44,43 97,12 % 98,39 % 25,56 48,08 % 41,80 % 46,31 98,08 % 99,13 % 25,61 49,04 % 42,05 % 48,44 99,04 % 99,59 % 25,90 50,00 % 43,46 % 48,89 100,00 % 99,65 % 4

5 3. g) Die Darstellung der empirischen Verteilungsfunktion der Leberfettgehalte sowie Verteilungsfunktion aus Normalverteilung für jeden Wert ist in Abbildung 6 (S. 8) dargestellt. Zeichnet man parallel zur Abszisse eine Linie bei 25 %, 50 % oder 75 % ein, kann am Schnittpunkt mit der empirischen Verteilungsfunktion das erste Quartil, der Median bzw. das dritte Quartil abgelesen werden. Für die gemessenen Leberfettgehalte ergeben sich damit folgende Werte: Der Median liegt etwa bei 26 %, das erste Quartil bei etwa 22 % und das dritte bei etwa 31 %. 3. h) Um zu Prüfen, ob die Daten einer Normalverteilung folgen, werden die in f) berechnete empirische Verteilungsfunktion sowie die in a) berechneten Werte für Mittelwert und Standardabweichung StabwN herangezogen. Aus dem Mittlewert µ und der Standardabweichung σ werden nun die Grenzen des zu betrachtenden Bereichs berechnet: Die Untergrenze ist µ σ = 19,19 %, die Obergrenze ist µ + σ = 35,26 %. Nun werden die berechneten Werte der empirischen Verteilunsfunktion (s. Tab 3) für die Leberfettgehalte ermittelt, die innerhalb des Bereichs µ σ,..., µ + σ am nächsten zu den Grenzwerten liegen. Dies sind die Leberfettgehalte 19,29 % und 35,23 % mit den Werten der empirischen Verteilungsfunktion von 15,38 % bzw. 83,65 %. Die Diffrenz dieser Werte beträgt 68,27 %; demnach sind mehr als 68 % der Werte im Bereich µ σ,..., µ + σ, die Verteilung kann als normalverteilt angesehen werden. 3. i) Bei der Auftragung der theoretischen über der empirischen Verteilungsfunktion (s. Abb. 4) ist zu erkennen, dass die Werte unterhalb von 30 % und über 80 % nahezu der Geraden folgen, für die der Wert der Ordinate gleich dem der Abszisse ist. Im Bereich zwischen 30 % und 80 % liegen die Werte der empirischen Verteilungsfunktion über dem theoretischen Wert. Es wurden also etwas mehr Leberfettgehalte in diesem Bereich gemessen, als der Normalverteilung nach zu erwarten wären. theoretische Verteilungsfunktion empirische Verteilungsfunktion Abb. 4: Auftragung der theoretischen über der empirischen Verteilungsfunktion für die Leberfettgehalte 5

6 3. j) In SPSS kann die in i) erstellt Grafik über Analysieren/ Deskriptive Staristiken / P-P- Diagramm erstellt werden (s. Abb. 5). 1,0 P-P-Diagramm von Normal von Leberfett (g/100g) 0,8 Erwartete Kum. Wahrsch. 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Beobachtete Kum. Wahrsch. Abb. 5: P-P-Diagramm der Leberfettgehalte 3. k) Für die als normalverteilt angesehene Verteilung der Leberfettgahlte kann für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit P des Auftretens mit Hilfe der Normalverteilungsfunktion f sowie dem Mittelwert x und der Standardabweichung s aus a) berechnet werden: P (x) = f(x, x,s) = Φ(x, x,s) = [ 1 exp 1 2πs 2 2 x f(x, x,s)dx ( ) ] x x 2 Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kliesche einen Leberfettgehalt von über 40 % aufweist, gilt: s + P (x > 0,4) = f(x)dx = 1 Φ(0,4) 0,4 Seite 1 6

7 Unter Zuhilfenahme der Excel-Funktion Normvert(0,4; x;s;1) wird F(0,4) berechnet, sodass sich für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kliesche einen Leberfettgehalt von über 40 % aufweist, 5,6 % ergeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kliesche einen Leberfettgehalt zwischen 20 % und 30 % aufweist, ergibt sich nach: P (0,2 < x < 0,3) = 0,3 0,2 f(x)dx = Φ(0,3) Φ(0,2) Zur Lösung wird ebenfalls die Excel-Funktion Normvert(G; x;s;1) herangezogen, wobei G einmal der oberen (0,3) und einmal der unteren Grenze (0,2) entspricht. Es ergibt sich damit F (0,3) = 63,53 % und F (0,2) = 18,43 %. Daraus resultiert eine Wahrscheinichkeit von etwa 45 % dafür, dass eine Kliesche einen Leberfettgehalt zwischen 20 % und 30 % aufweist. 7

8 Verteilungsfunktionen g 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 Leberfettgehalt in g/g theoretisch empirisch ive Summenhäufigkeit relati Abb. 6: Darstellung der empirischen Verteilungsfunktion der Leberfettgehalte sowie Verteilungsfunktion aus Normalverteilung für jeden Wert 8