Die Empirische Verhaltensfunktion des Elektrischen Durchschlages bei Blitzspannung

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1 Seite 3.1 von 3.19 Die Empirische Verhaltensfunktion des Elektrischen Durchschlages bei Blitzspannung Beispiel: Statistik für Elektrotechniker, Mosch, Hauschild, Seiten 44, 49, 127 Isolieranordnung ist eine Funkenstrecke in Luft Die empirische Verhaltensfunktion wird messtehnisch ermittelt... mit je 100 Durchschlagversuche mit Konstanter Blitzstossspannung mit l = 12 verschiedenen Spannungswerten (l ist der Buchstabe el ) mit der Anzahl k l der Durchschlägen von 2 von 100 bis 99 von 100 mit der relativen relative Durchschlagswahrscheinlichkeit h l von 2% bis 99% mit den Konfidenzgrenzen bei statistischer Sicherheit ε = 95 % mit Benutzung des Quantils der Normalverteilung λ q = 1,959964

2 Seite 3.2 von 3.19 n = % 95% Spannungs Spannung Anzahl der Relative Konfidenz Konfidenz stufe Durchschläge Durchschlags grenze grenze häufigkeit unten oben l Ud kl hl pu po kv ,02 0,006 0, ,03 0,010 0, ,05 0,022 0, ,11 0,063 0, ,1 0,055 0, ,21 0,142 0, ,29 0,210 0, ,48 0,385 0, ,56 0,462 0, ,88 0,802 0, ,98 0,930 0, ,99 0,946 0,998 Tabelle: Versuchsergebnisse und Auswertung Verhalten der Funkenstrecke bei Blitzstossspannung Mit jeweils einer konstanten Spannung U d werden n = 100 Blitzimpulse an die Funkenstrecke angelegt Dabei ergeben sich k l Durchschläge und k l Nicht-Durchschläge. Die relative Durchschlagswahrscheinlichkeit berechnet man mit h l = k l n Wegen der kleinen Anzahl n = 100 ist der Wert von h l mit Unsicherheit behaftet. Der Wert von h l liegt mit einer statistischen Sicherheit ε = 95 % zwischen h lmin = p u und h lmax = p o.

3 Seite 3.3 von 3.19 Bild: Empirische Verhaltensfunktion h l (U d ) kleine Blitzstossspannungen; Ud < 1050 kv ; Durchschlagswahrscheinlichkeit h = 0 ; Funkenstrecke hält sicher grosse Blitzstossspannungen; Ud > 1140 kv ; Durchschlagswahrscheinlichkeit h = 1 ; Funkenstrecke schlägt immer durch Parameter für die Nachbildung der Empirischen Verhaltensfunktion h l (U d ) mit einer Gauss-Funktion Φ(U d ): 50 % Durchschlagspannung ; U d50% = ca kv ; Durchschlagswahrscheinlichkeit h = 0,5 = 50 % 15,87 % Spannung ; U d15,87% = U d50% - σ Ud = 1108 kv - 11 kv = 1097 kv 84,13 % Spannung ; U d84,13% = U d50% + σ Ud = 1108 kv + 11 kv = 1119 kv

4 Seite 3.4 von 3.19 Beispiel für die Berechnung der Durchschlagswahrscheinlichkeit mit Hilfe der Gauss-Funktion (Normalverteilung) µud σud := 1108kV Erwartungswert, 50% Durchschlagspannung := 11kV Standardabweichung UdL := 1120kV Spannung, für welche die Durchschlagswahrscheinlichkeit zu berechnen ist ΦUdL := UdL µud 1 σud exp 2π ( t µud) 2 2 σud 2 dt ΦUdL = Durchschlagswahrscheinlichkeit bei UdL Weitere Werte U dl = U d50% = 1108 kv Φ(U dl ) = 0,5 = 50 % U dl = U d50% - σ Ud = 1097 kv Φ(U dl ) = 0,1587 = 15,87 % U dl = U d50% + σ Ud = 1119 kv Φ(U dl ) = 0,8413 = 84,13 %

5 Seite 3.5 von 3.19 Empirische Verhaltensfunktion 1,1 1 0,9 0,8 Wahrscheinlichkeit 0,7 0,6 0,5 0,4 hl pu po ga2 0,3 0,2 0, Ud / kv lila: Empirische Verhaltensfunktion h l (U d ), schwarz: Gauss-Verteilung Φ(U d ) als Näherung

6 Wegen der endlichen Zahl n = 100 Versuche pro Spannungsstufe ist jeder Wert h(ud) mit einer Unsicherheit behaftet. Mit einer statistischen Sicherheit ε = 95 % liegt h(ud) im Intervall pu < h(ud) < po, hier z.b. 0,0052 < 0,02 < 0,07. Berechnung der Konfidenzgrenzen pu und po bei Statistischer Sicherheit ε = 95% Seite 3.6 von 3.19 zb Stufe l = 1 Seite 127 Ud := 1065 kv konstante Spannung beim Test kl := 2 Anzahl der Durchschläge n := 100 Anzahl der Versuche kl hl := hl = 0.02 Relative Durchschlagshäufigkeit n pu 1 λq 2 kl ( n kl) λq 2 := kl + λq + pu = n + λq 2 2 n 4 po 1 λq 2 kl ( n kl) λq 2 := n + λq 2 kl + + λq + po = n 4 KI := po pu KI = Breite des Konfidenz Intervalls

7 Im folgenden wird ein Verfahren zur Berechnung des Risikos R für einen Durchschlag gezeigt. Seite 3.7 von 3.19 Mit Index d werden die Größen für die Festigkeit der Isolationstrecke bezeichnet Mit Index ü werden die Größen für die Überspannungen im Netz bezeichnet. Beispiel Die Festigkeit einer Luft-Isolation sei statistisch normalverteilt. Bei U LI = 700 kv hat man 0%, also keine Durchschläge, bei U LI = 1000 kv führen 50% der Blitzimpulse zum Durchschlag bei U LI = 1300 kv führen 100% der Blitzimpulse zum Durchschlag. Im Bereich zwischen 700kV und 1300kV gibt es eine Gauss-Verteilung. Beispiel: Die Gaus-Verteilung der Durchschlagspannung habe die Parameter 50% Meridian, Erwartungswert U d50% = d = 1000kV Standard-Abweichung d = 100kV Dichtefunktion der Durchschlagsspannung d = Verteilungsfunktion der Durchschlagsspannung d = 1 $ exp( (U d d ) 2 2 ) 2 $ d 2$ d 1 U 2 $ d $ d exp( (U d d ) 2 2 ) $ du 2$ d d

8 Seite 3.8 von 3.19 Verteilung 1,1 5,5E-06 1,0 5,0E-06 0,9 4,5E-06 0,8 4,0E-06 Verteilung Phi(Ud) / 1 0,7 0,6 0,5 0,4 3,5E-06 3,0E-06 2,5E-06 2,0E-06 Dichte phi(ud) / (1/V) 0,3 1,5E-06 0,2 1,0E-06 0,1 5,0E-07 0,0 0,0E Ud / kv Bild 8 : Verteilungsfunktion Φ(U d ) und Dichtefunktion ϕ(u d ) der Durchschlagspannung U d im linearen Maßstab 50% Meridian, Erwartungswert U d50% = d = 1000kV Standard-Abweichung d = 100kV

9 Seite 3.9 von 3.19 Verteilungsfunktion Phi(Ud) im Gauss Wahrscheinlichkeits Papier X ,95 99,90 99,80 99,70 99,60 99,50 99,00 98,00 97,00 96,00 95,00 90,00 84,13 80,00 70,00 60,00 50, ,00 30,00 20,00 15,87 10,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,05 0-3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 Bild 9 : Die Verteilungsfunktion der Durchschlagspannung U d zeigt sich im Wahrscheinlichkeitspapier als eine Gerade

10 Seite 3.10 von 3.19 Da die Amplituden der Blitze variieren, gibt es eine statistische Verteilung der Überspannungen in einem Netz Beispiel: Die Gaus-Verteilung (Normal-Verteilung) der Überspannungen habe die Parameter Erwartungswert der Überspannungen U ü50% = ü = 700kV Standard-Abweichung der Überspannungen ü = 150kV Dichtefunktion der Überspannung ü = 1 $ exp( (U d d ) 2 2 ) 2 $ ü 2$ d Die Dichtefunktion der Überspannungen ist auf der folgenden Seite dargestellt. Verteilungsfunktion der Überspannung ü = 1 $ U ü 2 $ ü exp( (U ü ü ) 2 2 ) $ du 2$ ü ü

11 Seite 3.11 von 3.19 Dichtefunktion von Überspannung und Durchschlagsspannung 4,5E-06 4,0E-06 3,5E-06 3,0E-06 2,5E-06 2,0E-06 1,5E-06 1,0E-06 5,0E-07 0,0E phi / (1/V) U / kv phi d Standabw. Erwartungswert phi ü SA, EW Bild 11 : Dichtefunktion der ϕ(uü) Überspannungen (rot) und der ϕ(ud) Durchschlagsspannungen (grün)

12 Wenn die Dichtefunktionen ϕ der Überspannungen und der Durchschlagsspannungen sich überlappen, kann es Durchschläge geben. Die Fehlerwahrscheinlichkeit für einen Durchschlag nennt man das Risiko R. Für die Berechnung von R wird zuerst wird der Ausdrück X berechnet X = ü d ü 2 + d 2 Mit diesem Wert von X wird der zugehörige Wert der standardisierten Verteilungsfunktion berechnet (X,, ) = 0 = 1 Seite 3.12 von 3.19 Berechnung von Φ (X,, )= 1 $ x 2 $ exp( (t )2 2$ 2 ) $ dt Die Fehlerwahrscheinlichkeit bzw. das Risiko R für einen Durchschlag ist R = (X,, )

13 Beispiel für die Berechnung von R,,, Lösung mit MathCad U d50% = d = 1000kV d = 100kV U ü50% = ü = 700kV ü = 150kV µd = V σd = V µü = V σü = V Seite 3.13 von 3.19 Xdü := µü µd Xdü = σü 2 + σd 2 Standardisierte Normalverteilung σn := 1 µn := 0 xn1:= 1000 xn2:= Xdü Φdü := xn2 xn1 1 exp σn 2π ( t µn) 2 2 σn 2 dt Φdü = Rüd := Φdü Rüd = Das Durchschlag-Risiko beträgt R = 0,048 = 4,8%. Dieser Wert ist bezogen auf alle Überspannungsereignisse. Bei 1000 normalverteilten Blitzspannungs-Impulsen kommt es in 48 Fällen zu einem Durchschlag.

14 Seite 3.14 von 3.19 Der Wert von R kann aus der Tabelle abgelesen werden. Beispiel X = -1,664 Wir benutzen ( X)=1 (X) ( 1, 664)=1 (1, 664) Werte für Φ aus der Tabelle a (1, 660)=0, 9515 b (1, 670)=0, 9525 R a = 1 0, 9515 = 0, 0485 R b = 1 0, 9525 = 0, 0475 R liegt zwischen R a und R b R l 0, 048 Bemerkung: Man sollte R nicht zu genau berechnen, da die Daten zur Bestimmung der Dichtefunktionen meist ungenau sind.

15 Seite 3.15 von 3.19

16 Seite 3.16 von ,5 3, , , ,5 500 X 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0, , , , ,5 99,6 99,7 99,8-3,5 0 3,5 99,9 99, ,664-1, , ,5-3,5 Φ(X) Bild 16 : Der Wert von R kann aus dem Diagramm abgelesen werden R = (x) hier X = -1,664 gibt R=4,8%

17 Ausgangssitutation mit 4 Wahrscheinlichkeitsparameter, R = 0,048 = 4,8% U d50% = d = 1000kV, d = 100kV, U ü50% = ü = 700kV, ü = 150kV Übung 3. : Parameter-Untersuchung 3.1 Die Überspannungen werden gößer. Wie ändert sich R? U d50% = d = 1000kV, d = 100kV, U ü50% = ü = 800kV, ü = 150kV 3.2 Die Streung der Überspannung wird gößer. Wie ändert sich R? U d50% = d = 1000kV, d = 100kV, U ü50% = ü = 700kV, ü = 300kV 3.3 Bei welchem Wert wird R = 0,5? U d50% = d = 1000kV, d = 100kV, U ü50% = ü =?kv, ü = 150kV 3.4 Bei welchem Wert wird R = 0,9? U d50% = d =?kv, d = 100kV, U ü50% = ü = 700kV, ü = 150kV 3.5 In welchem Fall strebt man kleine Werte von R an? In welchem Fall strebt man große Werte von R an? Seite 3.17 von 3.19

18 Seite 3.18 von 3.19 Lösung zur Übung 3.1 bis 3.4 ud σd uü σü R kv kv kv kv , , , , ,900

19 Seite 3.19 von 3.19 Stehstoßspannungsprüfung mit 15 Impulsen 3.6 Berechnen Sie die zulässige relative Durchschlagshäufigkeit h l für k l = 0 ; 1 ; 2 Durchschläge von 15 Testimpulsen 3.7 Berechnen Sie jeweils pu und po mit einer statistischen Sicherheit ε = 95 % für h l Bemerkung: h l (Ud) liegt im Intervall pu < h(ud) < po