Kapitel 5: Lineare Gleichungssysteme

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1 Kaptel 5: Lneare Glechungssysteme Umwandlung von Dfferentaloperator-Glechungen n lneare Glechungssysteme Chemsche Reaktonen A + B C + D können als Streuprozeß beschreben werden: In der Reaktanden-Asymptote (Entfernung A-B und Zet t ) snd de Zustände des Systems A und B durch enen Hamltonoperator Ĥ 0 beschrebbar. Be vorwärtslaufender Zet t treffen Telchen A und B zur Zet t = 0 aufenander und reageren mt ener gewssen Wahrschenlchket zu C und D. Dabe st der reagerende Komplex durch enen Hamltonoperator Ĥ gegeben. Be t snd de Produkte C und D weder unendlch wet vonenander entfernt. Im Experment kann man typscherwese n der Asymptote t de Reaktanden mt ener gewssen Vertelung über wenge Quantenzustände kontrollert präpareren und dann n der Asymptote t de Vertelung über de Produkt-Quantenzustände detekteren, hat aber kenen drekten Zugang zum Reaktonsgeschehen um t = 0. In der Streutheore betrachten wr daher de zu lösende Schrödngerglechung ĤΨ = EΨ (1) für de Gesamtstuaton, sowe ene berets gelöste Schrödngerglechung für de Eduktasymptote t. Dabe se Ensetzen von Gl. 3 n Gl. 1 lefert Unter Verwendung von Gl. 2 wrd daraus: Ĥ 0 Ψ 0 = EΨ 0 (2) Ĥ = Ĥ0 + V, Ψ = Ψ 0 + χ (3) (Ĥ0 + V )(Ψ 0 + χ) = E(Ψ 0 + χ) (4) (Ĥ Eˆ1)χ = V Ψ 0 (5) Für ene gegebene Streu-Gesamtenerge E st der Operator auf der lnken Sete bekannt; aufgrund der Lösung von Gl. 2 st de rechte Sete auch bekannt. Gesucht st der Wellenfunktonsantel χ, der den egentlchen Streuvorgang m Wechselwrkungsgebet wedergbt und desen Berech mt den Edukt- und Produktasymptoten verbndet. Aus dessen Projekton auf de Produktzustände kann man de Reaktonswahrschenlchketen enzelner Eduktzustände n enzelne Produktzustände berechnen, und daraus weder durch geegnete Summatonen/Integratonen de Reaktonsgeschwndgketskonstante k(t). Gl. 5 kann abgekürzt geschreben werden als Âχ = V Ψ 0 (6) Verwenden wr enen geegneten Satz von Bassfunktonen {φ }, können wr sowohl Ψ 0 als auch χ n dese Bass entwckeln χ = x φ, Ψ 0 = a φ (7) 1

2 und dese Entwcklungen n Gl. 6 ensetzen: x Âφ = a V φ (8) Multplkaton deser Glechung von lnks mt φ j lefert x φ j  φ = a φ j V φ (9) Alle Integrale können berechnet werden und lefern jewels ene Zahl für jede Indexkombnaton und j. Im Gegensatz zur lnken Sete snd aber auf der rechten Sete de Entwcklungskoeffzenten {a } bekannt, also kann dort de Summe über ausgeführt werden und wr erhalten: A j x = b j (10) Des st de j-te Zele der folgenden Matrx-Vektor-Glechung A x = b (11) Dabe st de Matrx A auf der lnken Sete und der Vektor b auf der rechten Sete bekannt; gesucht wrd der Vektor x. Es handelt sch um en lneares Glechungssystem. 2

3 Allgemene Formala Grundlegendes En lneares Glechungssystem besteht aus M Glechungen mt lnearen Termen aus N Unbekannten und N M Koeffzenten. Enzelne Terme ohne Unbekannte kann man auf der rechten Sete zusammenfassen: a 11 x 1 + a 12 x a 1N x N = b 1 (12) a 21 x 1 + a 22 x a 2N x N = b 2 (13). (14) a M1 x 1 + a M2 x a MN x N = b M (15) a 11 a 12 a 1N x 1 b 1 a 21 a 22 a 2N x = b 2 (16). a M1 a M2 a MN x N b M Auch möglch snd: A x = b (17) mehrere rechte Seten b be glecher Matrx A: A x = b 1, A x = b 2,... (18) Z.B. en Streuproblem mt mehreren Anfangsbedngungen. Wenn dese b de Spalten der Enhetsmatrx 1 snd, dann snd wegen AA 1 = 1 de zu jedem gehörenden Lösungsvektoren x de Spalten von A 1. Matrxnverson Generelle Lösungstaktken: Formal würde Multplkaton von Gl. 17 von lnks mt A 1 lefern: A 1 A x = A 1 b x = A 1 b (19) Des wrd n der numerschen Praxs ne so gemacht, wel de Matrxnverson nach obgem Schema so aufwendg st we ene N-malge Lösung des Glechungssystems Gl. 17 und nach anderen Schemata de numersch ungünstge Berechnung von Determnanten benötgt. enfacheres Verfahren: Gauß-Jordan Vertauschung und Lnearkombnaton enzelner Glechungen ( = Zelen; n A und b smultan, wobe sch b zu c verändert), bs A = 1 errecht st. Wegen 1 x = c st dann c drekt der Lösungsvektor. Varante: Gauß-Elmnaton Bem Vertauschen und Lnearkombneren von Zelen wrd de Matrx A ledglch auf Dreecksform gebracht. Dann snd de enzelnen Elemente des Lösungsvektors sukzessve aus den enzelnen Zelen konstruerbar. 3

4 Klenes Matrx-Nomenklatur-Lexkon quadratsch: M = N rechteckg: M N dagonal,trdagonal,band-dagonal,block-dagonal Dreecksmatrx symmetrsch (hermtesch): A = A T (A = A H ) alle Egenwerte reell Egenvektoren blden vollständges Orthonormalsystem postv defnt: symmetrsche (hermtesche) Matrzen mt postven Egenwerten haben mmer en Inverses orthogonal (untär): A T = A 1 de Spaltenvektoren blden en Orthonormalsystem be A v blebt de Länge von v erhalten normal: AA H = A H A de Egenvektoren blden en vollständges Orthonormalsystem; be reellen Matrzen snd alle symmetrschen und alle orthogonalen Matrzen normal sngulär: lnear abhängge Zelen (oder Spalten) (entsprcht ener ganzen Zele oder Spalten von Nullen) Lösbarket nhomogene Systeme: b 0 M = N endeutge Lösung, wenn A ncht sngulär: det(a) 0. Wenn det(a) = 0, dann kene Lösung, oder en- oder mehrfach unendlche Lösungsmanngfaltgket, d.h. ene oder mehrere Unbekannte x bleben unbestmmt. M < N: unterbestmmt (effektv auch der Fall, wenn det(a) = 0) Sngulartäten von A analyserbar und Lösungsmanngfaltgket bestmmbar mt Snguläre-Werte-Zerlegung (sngular value decomposton, SVD) M > N: überbestmmt möglche Lösung durch lneare Regresson fnden (Mnmerung der Fehler mt least squares); ggf. auch weder mt SVD machbar. 4

5 Gauß-Jordan-Verfahren mt Telpvotsuche Grunddeen am Bespel Gegeben se das Glechungssystem 4x + 3y + z = 13 (20) 2x y z = 3 (21) 7x + y 3z = 0 (22) De wesentlchen Informatonen daraus können verkürzt als sogenanntes erwetertes Koeffzentenschema notert werden: (23) Zel: De Operatonen Vertauschung von Zelen Multplkaton von Zelen mt Konstanten Lnearkombnaton von Zelen snd für Glechungen erlaubte Operatonen; dadurch ändert sch also der Lösungsvektor ncht. Mt desen Operatonen kann jedoch der lnke Tel (her: 3 3-Matrx) zu ener Enhetsmatrx gemacht werden. Dann steht n der rechten Spalte der Lösungsvektor. Um Dvsonen durch Null zu vermeden und Rundungsfehler zu mnmeren, empfehlt es sch, durch Vertauschung von Zelen zu errechen, daß de zentralen Elemente (Pvots) der folgenden Operatonen de jewels größten hrer Spalte snd (Telpvotsuche). Schrtt 1: Größtes Element n 1. Spalte st her 7 brnge es auf de Dagonale vertausche 1. und 3. Zele: (24) Dvdere 1. Zele durch deses Dagonalelement (her 7) Dagonalelement wrd 1: 1 1/7 3/ (25) Brnge restlche Elemente der 1. Spalte auf Null, durch Lnearkombnatonen: (2. Zele) - 2 (1. Zele) (3. Zele) - 4 (1. Zele) 5

6 1 1/7 3/ /7 1/ /7 19/7 13 (26) Schrtt 2: Vertausche 2. und 3. Zele (Telpvotsuche) und dvdere 2. Zele durch 17/7: 1 1/7 3/ /17 91/17 (27) 0 9/7 1/7 3 Brnge durch Lnearkombnatonen de Außerdagonalelemente der 2. Spalte auf Null: (1. Zele) - 1/7 (2. Zele) (3. Zele) + 9/7 (2. Zele) /17 13/ /17 91/ /17 66/17 (28) Schrtt 3: Dvdere 3. Zele durch 22/17: /17 13/ /17 91/17 (29) Brnge de Außerdagonalelemente der 3. Spalte auf Null: (1. Zele) + 10/17 (3. Zele) (2. Zele) - 19/17 (3. Zele) Also lautet der Lösungsvektor: (Bemerkungen zur Pvotsuche: x = (30) (31) Pvotelement = größtes Element st egentlch nur bedngt rchtg; aber her gbt es kene ganz exakten Bewese egentlch müste man n jedem Schrtt mt ener Totalpvotsuche auf das Dagonalelement a das größte Element rechts der Spalte 1 und unterhalb der Zele 1 brngen. Dazu braucht man jedoch.a. ncht nur Vertauschungen von Zelen sondern auch von Spalten. Letztere brngen aber de Rehenfolge der b-elemente durchenander, was man am Ende des Verfahrens weder rückgängg machen muß. Für unsere Zwecke recht ene Telpvotsuche nach dem betragsmäßg größten Element.) 6

7 Realserung m Programm Durchgängg doppelte Genaugket verwenden und am Ende unbedngt testen, ob en mt der ursprünglchen Matrx A berechnetes A x mt dem vorgegebenen Lösungsvektor b nnerhalb der üblchen Genaugket überenstmmt. Engabe von n n Matrxelementen und n Elementen des Rechte-Seten-Vektors; nach Geschmack n en Rechteck-Feld n (n + 1) oder n ene Matrx A und enen Vektor b Hauptschlefe =1,n (läuft über de Dagonalelemente, bzw. über Zelen und Spalten!) suche Pvotelement (betrags(!)mäßg größtes a j ) mt Schlefe j=,n über Zelen wenn Pvotelement < 10 8 stop: Matrx numersch sngulär tausche aktuelle Zele und Pvotelement-Zele normere neue aktuelle Zele auf Pvotelement=1, mt Schlefe über alle + 1 Elemente auf und rechts von der Dagonalen (nkl. des Rechte-Seten-Elements!) blde a(j,k) = a(j,k) - a(j,)*a(,k) n ener Schlefe über alle Zelen j=1,n außer der aktuellen Zele (j.ne.) und ener Schlefe über alle Spalten k (nkl. des Rechte-Seten-Elements!) 7

8 LU- bzw. LR-Zerlegung Nachtel von Gauß-Jordan bzw. Gauß-Elmnerung: Für mehrere Rechte-Seten-Vektoren muß der komplette Algorthmus jewels von Neuem wederholt werden. Alternatve: Jede quadratsche, ncht-snguläre Matrx A kann (evtl. erst nach geegneter Zelenvertauschung) n ene lnke und ene rechte ( = upper and lower) Dreecksmatrx zerlegt werden: A = LR = LU (32) Dann kann man de ursprünglche Matrx-Vektor-Glechung umformen zu und das Problem n zwe Schrtten lösen: A x = (LU) x = L(U x) = b (33) L y = b forward substtuton (34) U x = y back substtuton (35) Bede Schrtte entsprechen der Lösung enes lnearen Glechungssystems mt ener Dreecksmatrx (we bem 2. Schrtt der Gauß-Elmnaton) und snd daher trval. Wenn de Zerlegung A = LU enmal ermttelt wurde, kann se danach für belebg vele rechte Seten verwendet werden, de noch ncht enmal vorher bekannt sen müssen. (36) Bblotheksroutnen We auch bem Egenwertproblem können her de n der Praxs auftretenden Matrzen bzw. Glechungssysteme sehr groß werden. Dann st es entschedend, erkennen zu können, ob de vorlegende Matrx bestmmte Symmetren und Egenschaften hat, und demgemäß de spezalserteste Routne aus enem größeren Angebot auszusuchen (des st dann n der Regel de deutlch effzenteste Wahl): vgl. de lange Lste von Routnen m LAPACK- Kaptel zu lnearen Glechungssystemen! Zusätzlch exstert de Varante ScaLAPACK für Parallelcomputer. SLATEC betet außerdem spezelle Routnen für große, dünn besetzte Matrzen (sparse) und teratve Verfahren, de auch dann noch anwendbar snd, wenn de Matrx als kompletter, zwedmensonaler array ncht mehr n den Hauptspecher des Computers paßt. 8

9 sngular value decomposton (SVD) Jede(!) M N-Matrx A kann zerlegt werden nach M N A = (37) M N U w 1 w w 3... w N N N V T orthog.spalten orthogonal Zahlreche nützlche Egenschaften: st en oder mehrere w = 0, st A sngulär st en oder mehrere w 0, st A benahe sngulär und damt numersch schlecht kondtonert Probleme be Gauss-Algorthmen und LU-Zerlegung de Spalten j von U mt w j 0 spannen den Lösungsraum von A auf de Spalten von V mt w = 0 spannen den sogenannten Nullraum auf (der leer st, wenn A ncht sngulär st) de Vektoren x = V[dag 1 w ](U T b) (38) lefern vernünftge Lösungen für snguläre und benahe snguläre Matrzen A, wenn man für w 0 ensetzt 1 w = 0 für M < N Informatonen über den Lösungsraum für N < M ene least-squares-lösungsmethode. De Programmerung der SVD-Zerlegung st jedoch ncht-trval... 9