1. Lineare Gleichungssysteme I

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1 1. Lneare Glechungssysteme I 1.1 Problemstellung (1.1) Gegeben : A e Ñ m,n und b eñ m Gesucht : 8 x e Ñ n» Ax = b < (1.1) st en lneares Glechungssystem mt m Glechungen und n Unbekannten Beechnungen: () m<n (wenger Glechungen als Unbekannte) : unterbestmmtes System () m>n (mehr Glechungen als Unbekannte) : überbestmmtes System () b=0 : homogenes System (v) b 0 : nhomogenes System FRAGEN: Wann st de Lösungsmenge n (1.1) nchtleer (Exsten von Lösungen)? Wann enthält se genau en Element (Endeutgket)? ANTWORTEN: (Lneare Algebra) () Ax = b lösbar ó Rang(A) = Rang( A, b ) () m = n : Ax = b endeutg lösbar ó Rang(A) = n ó A regulär ó det(a) 0 m=n : PROBLEME: We erkennt man, ob A regulär st? We kann man dann de Lösung x bestmmen? We kann man be sngulärem A feststellen, ob Ax=b ene Lösung hat oder ncht?

2 2 numerk1.nb m=n=2 : Bekannte Auflösungsformeln : a b y x y = f y k c d{ k y{ k g{ DetAJ a c b d NE b c + a d Falls ad bc, dann folgt für {x, y} LnearSolveAJ a c b d N, J f g NE 99 d f b g c f + a g =, 9 b c + a d b c + a d == Falls ad = bc? Falls m = n > 2? Enfaches Problem be Matren A mt speeller Struktur : 1.2 Gestaffelte Glechungssysteme, Dreecksmatren Bespel: 3x 1 + x 2 +2x 3 = 66 2x 2 +4x 3 = 84 5x 3 = 75 "gestaffeltes Glechungssystem" Lösung: lette Zele fl x 3 = 15 n vorlette Zele enseten fl x 2 = 12 n erste Zele enseten fl x 1 = 8 In Matrxform: 3 0 k y 4 5{ k x 1 x 2 x 3 y 66y = 84 { k75{ also Determnante = 3 ä 2 ä 5 = 30 0 Ähnlch enfach daher be folgenden Matren: Defnton 1.1 Se A e Ñ n,n, A = (a k )

3 numerk1.nb 3 A heßt "rechte obere Dreecksmatrx" :ñ a k =0 für >k * * y k 0 *{ A heßt "lnke untere Dreecksmatrx" :ñ a k =0 für <k * 0 y k * *{ En lneares Glechungssystem mt Dreecksmatrx heßt "gestaffeltes Glechungssystem" (1.2) Lneares Glechungssystem mt rechter oberer Dreecksmatrx A a 11 x 1 +a 12 x a 1 n x n = b 1 a 22 x a 2 n x n = b a nn x n = b n und a π 0 für =1(1)n n Egenschaften: () (1.2) st endeutg lösbar, da det(a) = =1 a 0 () Der Lösungsvektor x =Hx 1, x 2,..., x n L T lässt sch drekt berechnen durch (1.3) Rücksubsttuton (Rückwärtsenseten) x = n b - k k=+1 y a k x k ì a, { =n(-1)1 BEWEIS: Enseten und beachten, dass leere Summe = 0 glt. BEMERKUNG: Be lnker unterer regulärer Dreecksmatrx analoges Vorgehen mt "Vorwärtsenseten". Wenn man nun ene reguläre Matrx A n en Produkt weer Dreecksmatren erlegen kann, so st das Glechungssystem Ax = b gan enfach u lösen:

4 4 numerk1.nb Ist A = L R mt regulärer lnker unterer Dreecksmatrx L und mt regulärer rechter oberer Dreecksmatrx R, so löse Ax = b folgendermaßen (1.4) () Löse Ly = b durch Vorwärtsenseten f y () Löse Rx = y durch Rückwärtsenseten f x f b = Ly = L(Rx) = Ax We kann man solch ene Zerlegung von A ereugen bw. we kann man aus enem System Ax = b en gestaffeltes Glechungssystem mt glecher Lösungsmenge ereugen? Warum lnke untere (rechte obere) Dreecksmatren und ncht lnke obere.b.? * 0 y * 0 y = * 0 y und Inverse von * 0 y st weder von der Form * 0 y (Körper regulärer Dreecksmatren). k * *{ k * *{ k * *{ k * *{ k * *{ Aber * * y * * y = * * y. k * 0{ k * 0{ k * *{ 1.3 Gauß-Elmnaton ( C.F.Gauß ) Systematsche Umformung der Glechungen, so dass de Lösungsmenge unverändert blebt aber en gestaffeltes Glechungssystem entsteht. Elementare Umformungen (lassen de Lösungsmenge u Ax = b unverändert): () Vertauschung von we Glechungen ( Zelenvertauschung n (A, b) ). () Multplkaton ener Zele mt ener Zahl l 0. () Addton des q-fachen ener Zele u ener anderen Zele, q e Ñ belebg. (v) Vertauschung von we Spalten n A, wenn de entsprechenden Komponenten des Lösungsvektors mtvertauscht werden ( Spaltentausch n x y ). ka{

5 numerk1.nb 5 Prnp der Gauß-Elmnaton: Überführung enes lnearen Glechungssystems n en Glechungssystem mt D r e e c k s m a t r x mt Hlfe elementarer Umformungen. BEISPIEL n "Tableauschrebwese": x 1 x 2 x 3 b x 1 x 2 x 3 b H1L /2 Ø /2 Ø / /3 x 1 x 2 x 3 b H2L /2 fl x 3 = 1/6, x 2 = -1, x 1 = 11/ /3 "PROBE" 1 1 1y 1 y LnearSolveA 1 2 4, 1ê2 E k 1 3 9{ k 1ê3 { =, 8 1<, == Allgemener Fall Ax = b (n Tableauschrebwese) x 1 x x k..... x n a 11 a a 1 k.... a 1 n b 1 a 1 a a k.... a n a n1 a n a nk.... a nn b b n

6 6 numerk1.nb 1. SCHRITT: ZIEL: unterhalb von a 11 n der ersten Spalte Nullen ereugen. VORAUSSETZUNG: a 11 0 (st a 11 = 0, so suche en mt a 1 0 und vertausche de 1. mt der -ten Zele. Ist a 1 = 0 für alle, so st A sngulär. Dann st en Spaltentausch (auch mt x-zele!) notwendg). ADDIERE das H-a 1 ê a 11 )-fache der 1. Zele ur -ten Zele, =2(1)n fl neues Glechungssystem A H1L x = b H1L mt dem neuen Tableau x 1 x x k..... x n a H0L 11 a H0L a H0L H0L 1 k.... a 1 n b 1 H0L 0 a H1L a H1L H1L 2 k.... a 2 n 0 a H1L a H1L H1L k.... a n 0 a H1L n a H1L H1L nk.... a nn b 2 H1L b H1L b n H1L enthält RESTSYSTEM mt der RESTMATRIX Ha H1L L,, = 2 H1L n a H1L a H1L H1L 2 k.... a 2 n a H1L a H1L H1L k.... a n a H1L n a H1L H1L nk.... a nn b 2 H1L b H1L b n H1L Mt A H0L := A und b H0L := b glt dann q H1L := a H0L H0L 1 ê a 11 = 2 H1L n H1L a k := a H0L k + q H1L H0L a 1 k k, = 2 H1L n b H1L := b H0L + q H1L b 1 H0L = 2 H1L n

7 numerk1.nb 7 Jett wendet man das Verfahren auf das Restsystem an und erhält somt das Tableau nach r<n Elmnatonsschrtten ( Glechungssystem A x = b ) x 1 x x r x n a H0L 11 a H0L H0L a 1 r+1 H0L.... a 1 n b 1 H0L 0 a H1L H1L a 2 r a r+1,r a nr+1 H1L.... a 2 n.... a r+1 n.... a nn b 2 H1L b r+1 b n enthält RESTSYSTEM mt der RESTMATRIX Ha L,, = r + 1 H1L n a r+1 r+1....a r+1 k..... a nr+1....a r+1 n a nk.... a nn b r+1 b n r = n-1: FERTIG. A Hn-1L st Dreecksmatrx. r < n-1: () Mndestens en a, r+1 0, =r+1(1)n : eventuell nach Zelentausch st dann a r+1, r+1 Führe mt dem Resttableau den ersten Schrtt durch. () a, r+1 = 0 für =r+1(1)n : ( Matrx sngulär! ) unglech Null. suche n der Restmatrx en Element a k unglech Null. Wenn enes exstert, so st nach enem Spaltentausch ( n x y k A ) { und eventuell nach Zelentausch a r+1,r+1 unglech Null. Verfahre we oben. Andernfalls st de Restmatrx de Nullmatrx fl? (später) f H1.5L Gauß - Algorthmus Hohne Berückschtgung von Zelen - oder SpaltentauschL

8 8 numerk1.nb q Hr+1L := -a r+1 ê a r+1 r+1 = r + 2 H1L n Hr+1L a k := a k + q Hr+1L a r+1 k k, = r + 2 H1L n b Hr+1L := b + q Hr+1L b r+1 = r + 2 H1L n r = 0 H1L n - 1 bw. solange, we n der Restmatrx en Element unglech Null u fnden st. Beechnungen: a r+1 r+1 heßt Pvotelement ( und muss unglech Null sen ). Spalte bw. Zele r+1 heßt Pvotspalte bw. Pvotele. Strategen ur Pvotwahl: () Kanonsche Pvotwahl: kene Vertauschungen, daher Abbruch selbst be regulärer Matrx möglch,.b. be A = 0 1 y. k1 0{ () Spaltenpvotsuche: bestmme als Pvotelement das betragsgrößte Element n der Spalte r+1 der Restmatrx. Daher eventuell Zelentausch notwendg. Aber Abbruch nur be sngulärer Matrx. () Totalpvotsuche: bestmme als Pvotelement das betragsgrößte Element n der Restmatrx. Daher eventuell Zelen- oder Spaltentausch notwendg. Aber Abbruch nur, wenn de Restmatrx de Nullmatrx st. Folgerung 1 Führt ene deser Strategen u dem Glechungssystem A Hn-1L x = b Hn-1L ( * * y k0 *{ k * y * = * y Hn-1L ) und st a { k* nn 0, { so st Rang(A) = n, A also regulär. De Rücksubsttuton (1.3) lefert de endeutge Lösung von Ax = b. n Weter glt: det(a) = =1 a H-1L. BEISPIEL : Vorechen der Determnante: H-1L V, wobe V de Anahl der Zelen- und Spaltenvertauschungen st. x 1 x 2 x 3 b x 1 x 2 x 3 b H1L Ø Ø

9 numerk1.nb x 1 x 2 x 3 b H2L fl x 3 = 0, x 2 = -1, x 1 = Rang(A) = 3, det(a) = 1(-5)(-7) = 35 "PROBE" y 1 y LnearSolveA 2 4 1, 2 E k { k 4 { 881<, 8 1<, 80<< y DetA E k { 35 Also det(a) = -35; oben wurde de Zelenvertauschung ncht berückschtgt. Folgerung 2 Ist für en r e {0,1,...,n-1} de Restmatrx de Nullmatrx, d.h. a = 0 für, =r+1(1)n, so st Rang(A) = r und det(a) = 0, A also sngulär. Weter glt: Also: Rang(A, b) = r ó b = 0 für =r+1(1)n. b 0 für en e {r+1,r+2,...,n} fl Rang(A, b) = r+1 und Ax = b bestt kene Lösung. b = 0 für alle e {r+1,r+2,...,n} fl Ax = b bestt (n-r)-dmensonalen Lösungsraum. ( speelle Lösung + Nullraum(A) ). Bestmmung des Lösungsraumes: Nach r Elmnatonsschrtten (evt. mt Zelen- oder Spaltentausch) st de Restmatrx de Nullmatrx: S r, n-r R r, r y J x I N = J b r N d.h. R k0 n-r, r 0 n-r, n-r { x II 0 r, r x I + S r, n-r x II = b r n-r und R r, r st dabe ene reguläre obere Dreecksmatrx.

10 10 numerk1.nb Speelle Lösung: x II := 0 fl verblebendes System st R r, r x I = b r fl x I durch Rücksubsttuton, und Hx I, 0 ) löst Ax = b. Kern von A = NHA ) : Dmenson st n-r : Löse A x = 0 bw. R r, r x I + S r, n-r x II = 0. Sete x HL II := e e Ñ n-r, =1(1)n-r (lefert Bass des Nullraumes). HL Dann st S r, n-r x II = : s +r ( -te Spalte von S r,n-r ) und es blebt R r, r x I = -s +r durch Rücksubsttuton u lösen, =1(1)n-r. fl NHA ) = < -R r, r -1 s +r y > =1 H1L n-r k { e und daher Lösungsraum = {x e Ñ n Ax = b } = R r, r -1 b r y + NHA ) k 0 { BEISPIEL : x 1 x 2 x 3 x 4 b x 1 x 2 x 3 x 4 b H1L Ø Ø a a x 1 x 4 x 3 x 2 b H1L x 1 x 4 x 3 x 2 b H2L Ø a a fl det(a) = 0, Rang(A) = 2 a 0 fl k e n e Lösung ( Rang(A,b) = 3 ). a = 0 : 2-dmensonaler Lösungsraum : Speelle Lösung: x 2 = x 3 = 0 fl 1 1 y k0-5{ k x1 y = 1 y fl x 4 = -1, x 1 = 2 x 4 { k5{ NHA H2L L : x 3 = 1, x 2 = 0 fl 1 1 y k0-5{ k x1 y = 3 y fl x 4 = 8/5, x 1 = 7/5 x 4 { k-8{

11 numerk1.nb 11 x 3 = 0, x 2 = 1 fl 1 1 y k0-5{ k x1 y = -2 y fl x 4 = 0, x 1 = -2 x 4 { k 0 { Allgemene Lösung: k x 1 x 2 x 3 x 4 y { = k y + p { k 7ê ê5 y + q { k y {, p, q e Ñ. "PROBE" y NullSpaceA E k { 887, 0, 5, 8<, 8 2, 1, 0, 0<< Folgerung 3 Gauß-Elmnaton be ( A, b) lefert Rang(A), det(a) und Aussage über de Lösbarket des Systems Ax = b. Rücksubsttuton lefert dann de Lösung bw. ene Bass des Lösungsraumes. Sat 1.1 (1) A regulär f Gauß-Elmnaton kann ohne Spaltenvertauschungen durchgeführt werden. (2) Snd vor enem Elmnatonsschrtt das Dagonalelement und alle darunter legenden Elemente der Pvotspalte Null, so st A sngulär. Bewes: + + y o o o o k o o o o { y 0 det(a) = det detj 0 0 N. k { Hn-1L Bemerkungen: () De Umkehrung von (1) st nur unter der Zusatvoraussetung a nn 0 rchtg. () Zur Rangbestmmung snd allerdngs eventuell Spaltenvertauschungen notwendg.

12 12 numerk1.nb Ergänungen: Be der Gauß-Elmnaton werden de Elemente unterhalb der Dagonalen u Null gemacht, so dass schleßlch de Rücksubsttuton de Lösung lefert fl Aufwand ca. n 3 /3 wesentlche Operatonen (d.h. Addtonen und Multplkatonen). Gan analog kann man aber auch noch de Elemente oberhalb der Dagonalen elmneren ( Gauß-Jordan-Algorthmus ). Des erspart de Rücksubsttuton, es st aber dennoch aufwendger: ca. n 3 ê 2 wesentlche Operatonen. Matrxnverson: AX = I st u lösen, d.h. n rechte Seten müssen umgerechnet werden. Ihre speelle Struktur führt aber u Aufwandsersparnssen: y x 11 x 12 x 13 y 1 0 0y x 21 x 22 x 23 = ö k { k x 31 x 32 x 33 { k 0 0 1{ y x 11 x 12 x 13 y 0 0y 0 x 21 x 22 x 23 = 0 k 0 0 { k x 31 x 32 x 33 { k { dann lefern n Rücksubsttutonen X = A -1. m<n : unterbestmmte Glechungssysteme : x 1 y x 1 y m y x 2 x 3 = b 1 y + + y x 2 b 2 ö m x 3 = y k { x 4 k b m { k { x 4 k { k x n { k x n { n m n-m (n-m)-dmensonaler Lösungsraum, Rang(A) = m<n. ODER x 1 y y x 2 ö m x 3 = y k { x 4 k #{ k { r<m n-r x n (n-r)-dmensonaler Lösungsraum, falls # = 0 eñ m-r. Andernfalls gbt es kene Lösung. Rang(A) = r < m. Ene allgemene Lösung fndet man gan analog um quadratschen Fall mt Restmatrx Null.

13 numerk1.nb 13 m>n : überbestmmte Glechungssysteme : y x 1 y m x 2 = k x n { k { n k b 1 b 2 b 3 b 4 b m y { ö y y 0 x 1 y 0 0 x 2 = k x n { # k 0 0 0{ k #{ Ene Lösung genau dann, wenn # y = 0 e Ñ m-n. k# { Rang(A) = n<m. ODER ö r<n n-r + y y 0 + x 1 y x 2 = # k x n { # k 0 0 0{ k #{ (n-r)-dmensonaler Lösungsraum, falls # y # = 0 e Ñm-r. k # { Rang(A) = r<n. m=n : Gauß-Elmnaton: A ô A Hn-1L = rechte obere Dreecksmatrx, lefert gestaffeltes Glechungssystem. Anderes Zel war : A = LR R := A Hn-1L, L :=????

14 14 numerk1.nb 1.4 Dreeckserlegung Sat 1.2 Voraussetung: Be A e Ñ n,n kann de Gauß-Elmnaton mt kanonscher Pvotrehenfolge durchgeführt werden. Behauptung: () De Gauß-Elmnaton lefert ene Zerlegung von A n en Produkt von we Dreecksmatren : A = LR. Dabe st L ene lnke untere Dreecksmatrx mt 1-Dagonale, R ene rechte obere Dreecksmatrx: (1.6) L = Hl ) mt l = 0 für <, l = 1 für = und l = -q H L für > und H-1L R = Hr ) mt r = 0 für > und r = a sonst, d.h. R = A Hn-1L. () Dese Zerlegung (mt der 1-Normerung be L) st dann endeutg bestmmt und heßt Dreeckserlegung bw. LR-Zerlegung von A. Bewes:...

15 numerk1.nb Hnwese: () r nn = 0 oder r nn 0 spelt kene Rolle be der Aussage des Sates. Für A bedeutet des allerdngs Rang(A) = n-1 und A sngulär oder Rang(A) = n und A regulär. () Wesentlche Voraussetung des Sates: kanonsche Pvotwahl möglch. Sonst lefert A = 0 1 y en Gegenbespel ( det(a) = -1, A regulär ) : k1 0{ Annahme: A = LR = 1 0 y k l 1{ r 11 r 12 y fl -1 = det(a) = r k 0 r 11 r 22, also 22 { bede Elemente unglech Null. Aber LR = r 11 r 12 y = A = 0 1 y mplert r 11 = 0 fl Œ. kl r 11 l r 12 + r 22 { k1 0{ Sat 1.3 () A e Ñ n,n regulär î exstert Permutatonsmatrx P : PA = LR. () A e Ñ n,n sngulär î exsteren Permutatonsmatren P,Q : PAQ = LR. () P bw. Q snd.a. ncht endeutg bestmmt. Bewes: P beschrebt gerade de Zelenvertauschungen und Q de Spaltenvertauschungen, de dann kanonsche Pvotwahl be PA bw. PAQ erlauben. I.a. snd dese Vertauschungen ncht endeutg bestmmt. Gauß-Elmnaton: Ax = b ô Rx = y und Rücksubsttuton lefert x, wobe R = L -1 A und y = L -1 b bw. R = L -1 PA und y = L -1 Pb be Spaltenpvotwahl. Oder LR-Zerlegung: A ô LR bw. PA ô LR ( unabhängg von b ) Ly = b bw. Ly = Pb und Rx = y lösen f x. Im Aufwand ken Untersched, ledglch andere Rehenfolge der Operatonen. De wete Vorgehenswese st dann vortelhaft, wenn verschedene rechte Seten (u verschedenen Zeten) u behandeln snd. Z.B. x 0 gegeben. Berechne x +1 als Lösung von Ax +1 = x, =0,1,... (Inverse IteratonØEW).

16 16 numerk1.nb Dann wrd A enmal LR-erlegt, und x +1 erhält man durch Vorwärts- und Rückwärtsenseten. Varante: LDU-Zerlegung : L lnke untere, U rechte obere Dreecksmatrx ewels mt 1-Dagonale, D Dagonalmatrx. (1.7) A ô LR ô LDU, wobe D := dag { d 11, d 22,..., d nn } mt d := r und U =( u ) mt u := 1, u := r ê r, falls < und r π 0, u := 0 sonst. Dese Zerlegung st endeutg, falls r 0 für =1(1)n-1. Se st auch snnvoll be engen Klassen speell strukturerter Matren (vgl. Kaptel 1.5). Wann st kanonsche Pvotwahl möglch? Sat 1.4 Voraussetung: A = Ha L 1, n e Ñ n,n. Für 1 r n se A r := Ha L 1, r e Ñ r,r de Hauptuntermatrx der Ordnung r von A; hre Determnante heßt Hauptmnor der Ordnung r von A. Behauptung: Gauß-Elmnaton mt kanonscher Pvotwahl st mt A durchführbar ñ det ( A r ) π 0 für r=1(1)n-1. Bewes:...

17 numerk1.nb Folgerung: Ist kanonsche Pvotwahl möglch, so glt für das Pvotelement : Hr-1L a r,r = det ( A r )/det ( A r-1 ), r=1(1)n-1, mt A 0 := 1. Be symmetrschem A udem: Vorechen(Pvotelemente) = Vorechen(Egenwerte). I.a. kann man ener Matrx kaum ansehen, ob de Hauptuntermatren alle regulär snd, sondern merkt des erst be der Gauß-Elmnaton, so dass der Sat ncht sehr hlfrech st. Allerdngs gbt es Klassen von Matren, be denen es anders st,. B. : 1.5 Matren speeller Struktur Defnton 1.2 A = Ha L 1, n e Ñ n,n heßt strkt dagonal domnant :ñ n = 1 π» a» <» a» für =1(1)n. Sat 1.5 Voraussetung: A e Ñ n,n strkt dagonal domnant Behauptung: (1) A regulär. (2) Gauß-Elmnaton st mt kanonscher Pvotwahl möglch. (3) Alle Restmatren A snd strkt dagonal domnant. Bewes:...

18 18 numerk1.nb... Defnton 1.3 Ene symmetrsche Matrx A e Ñ n,n heßt postv defnt :ñ x T Ax > 0 für alle x e Ñ n \ {0}. Ene symmetrsche Matrx A e Ñ n,n heßt postv sem-defnt :ñ x T Ax 0 für alle x e Ñ n. Klar: A postv defnt fl A regulär. Sat 1.6 (1) A e Ñ n,n postv defnt ñ A r postv defnt für r=1(1)n. (2) A e Ñ n,n postv defnt î a > 0 für =1(1)n. (3) A e Ñ n,n postv defnt î A postv defnt für r=1(1)n. Bewes:......

19 numerk1.nb 19 Folgerung: A e Ñ n,n postv defnt ï Gauß-Algorthmus st mt kanonscher Pvotwahl möglch. Bemerkung: "Kanonsche Pvotwahl möglch" bedeutet ledglch, dass be exakter Rechnung de kanonschen Pvotelemente ncht verschwnden. Weter braucht das kanonsche Pvotelement keneswegs das betragsmäßg größte n der Pvotspalte u sen: 1 0 y st strkt dagonal domnant, aber das kanonsche Pvotelement 1 st klener als 4. k4 8{ 1 2 y st postv defnt ( ncht dagonal domnant ) und 1 bekanntlch klener als 2. k2 8{ We kann man nun feststellen, ob ene Matrx postv defnt st? x T Ax > 0 für alle x e Ñ n \ {0}? Zemlch vele x wären da ausutesten. Vel besser: natürlch weder Gauß-Elmnaton! Sat 1.7 Voraussetung: A e Ñ n,n symmetrsch. Behauptung: A postv defnt ñ A bestt LDU-Zerlegung mt d > 0 für =1(1)n. Bewes:......

20 20 numerk1.nb Folgerung 1: Be symmetrschem A e Ñ n,n glt A postv defnt ó det ( A r ) > 0 für r=1(1)n (also alle Hauptmnoren postv ). Bewes: Säte 1.4, 1.6 mt Folgerungen und Sat 1.7. Folgerung 2: Se A postv defnt. Dann exstert ene obere Dreecksmatrx C : A = C T C Cholesky-Zerlegung von A (völlg symmetrsch!) Bewes: Aus der LDU-Zerlegung von A erhält man de Cholesky-Zerlegung so: A postv defnt ï d > 0 für =1(1)n, und aus Symmetregründen st L = U T ï (1.8) L := dag { è!!!!!!!!! d 11, è!!!!!!!!! d 22,..., è!!!!!!!!! d nn } st wohldefnert C T := LL f A = LDL T = LLLL T = HLLL HLLL T = C T C. Aus der Glechung A = C T C kann man de Matrx C auch drekt berechnen, ohne erst L und D über Gauß- Elmnaton u bestmmen fl Cholesky-Verfahren: A = C T C fl a = c k c k, = H1L n, = 1 H1L n. k=1 = fl a = Hc k L 2 k=1 fl (1.8a) c = "#################################### a - -1 k=1 Hc k L 2, =1(1)n (oder Abbruch, falls das Argument der Wurel ncht postv st, also A ncht postv defnt st). Es folgt auch, dass a Hc k L 2, k=1(1), d.h. de Elemente von C können ncht groß werden verglchen mt den Elementen von A fl Stabltät der Methode, sehe auch Kaptel 2. (1.8a) lefert unächst nur c 11. Wegen a 1 = c 11 c 1 erhält man damt aber c 1, =2(1)n. (1.8a) lefert nun c 22. Wegen a 2 = c 12 c 1 + c 22 c 2 erhält man damt c 2, =3(1)n... fl

21 numerk1.nb 21 (1.8b) c = ÄÄÄÄÄÄÄ 1 Ha - -1 c k=1 c k c k L, =1(1)n, =+1(1)n Dese Vorgehenswese st stabl n dem Snne, dass»» A»» 2 =H»» C»» 2 L 2. Folgerung 3: Ist A symmetrsch und bestt es ene endeutge LDU-Zerlegung, so st U = L T, d.h. A = LDL T. Sat 1.8 Voraussetung: A e Ñ n,n symmetrsch. Behauptung: Ist Gauß-Elmnaton mt kanonscher Pvotwahl möglch (.B. be postv defntem A), so snd sämtlche Restmatren symmetrsch. Bewes: Indukton. Bemerkung: Im Fall von Sat 1.8 braucht also nur.b. das obere Dreeck von A gespechert u werden, und ledglch dort müssen de neuen a berechnet und gespechert werden. ( Etwa Halberung des Aufwandes verglchen mt dem allgemenen Fall ). Defnton 1.4 A = Ha L 1, n e Ñ n,n heßt Drebandmatrx :ñ a = 0, falls - > y k { Enträge unglech Null nur n der Subdagonalen, Dagonalen und der Superdagonalen. Lemma 1.1 Voraussetung: A e Ñ n,n Drebandmatrx und kanonsche Pvotwahl

22 22 numerk1.nb be der Gauß-Elmnaton möglch. Behauptung: (1) Alle Restmatren snd Drebandmatren. (2) L und R snd Dreecks- und Drebandmatren. (3) Be der Lösung enes lnearen Glechungssystems snd ledglch etwa 5n wesentlche Operatonen durchuführen. (4) A -1 st.a. vollbesett. Es st also vel aufwendger, A -1 b ausurechnen (etwa n 2 wesentlche Operatonen), als mt Gauß-Elmnaton de Lösung von Ax = b u bestmmen ---- selbst wenn A -1 bekannt wäre! Bewes: Bespelrechnung um Aufwand: 5n (für Gauß-Elmnaton und Rücksubsttuton be Drebandmatrx), n 2 (für A -1 b be vollbesettem A -1 ), n 3 /3 (für Gauß-Elmnaton be vollbesetter Matrx):

23 numerk1.nb 23 = 30 k, 5 n, n 2, n 3 ê 3<<DD<, 8k, 10<D Defnton 1.5 Seen u, v e Ñ n. Ene Matrx der Form I + uv T e Ñ n,n heßt Elementarmatrx. uv T st das dyadsche Vektorprodukt : uv T = Hv 1 u, v 2 u,..., v n u). De Matrx uv T nennt man auch Dyade. Bemerkung: En Gauß-Elmnatonsschrtt egt : u, v e Ñ n \ {0} fl Rang ( uv T ) = 1

24 24 numerk1.nb Sat 1.9 (1) Be ener Elementarmatrx I + uv T glt (1.9) det ( I + uv T ) = 1 + v T u. Se st also regulär genau dann, wenn v T u π -1. (2) Ist v T u π -1, so glt (1.10) ( I + uv T L -1 = I - uv T ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1+v T u De Inverse st offenbar auch weder ene Elementarmatrx. Bewes: (1.9) : Indukton nach n. (1.10) : Nachrechnen. Folgerung: Ist A e Ñ n,n regulär und B := A + uv T (Rang-1-Modfkaton von A), so gelten de Sherman-Morrson Formeln für B := A + uv T : (1.11) det ( B ) = det ( A ) ( 1 + v T A -1 u ) (1.12) v T A -1 u π -1 f B -1 = A -1 - A -1 uv T A -1 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ 1+v T A -1 u Bewes: B = A( I + A -1 uv T ) und Sat 1.9. Spealfälle: (I) Vertauschung von Zele (Spalte) mt Zele (Spalte) : P := I + He - e L H e - e L T -1 T, det ( P ) = -1, P = P = P. Zelentausch durch P A, Spaltentausch durch A P. (II) Gauß-Elmnaton: fl A Hr+1L = Q Hr+1L A wobe 0 r n-2, a r+1,r+1 0 (1.13) Q Hr+1L := I + q Hr+1L T e r+1 mt q Hr+1L := -a,r+1 /a r+1,r+1 für >r+1 und 0 sonst (vgl. (1.5)).

25 numerk1.nb 25 Dann gelten det ( Q Hr+1L ) = 1 und ( Q Hr+1L L -1 = I - q Hr+1L T e r+1. (III) Gauß-Jordan: (Elmnaton auch oberhalb der Dagonalen) A H0L := A, A Hr+1L := Q Hr+1L A für r=1(1)n-1 ; aber ett mt anders defnerten Q Hr+1L : (1.14) Q Hr+1L := I + q Hr+1L T e r+1 mt q Hr+1L := -a,r+1 /a r+1,r+1 für πr+1 und 0 für =r+1. Folgerung: A = LR ï R = A Hn-1L und L = HQ H1L L HQ Hn-1L L -1, wobe l = 1, l = - q H L für > und 0 sonst. Bewes: (II) ï A Hn-1L = Q Hn-1L... Q H1L A. L H L := HQ H L L # 5. Lnearer Glechungssysteme II