E Aufgabenlösungen zu Kapitel 5

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1 E ufgabenlöungen zu Kapitel 5 E öung der Übungaufgabe 5 Eigenchaften de weitor Da weitor it an keinem der Tore angepat, da ¹ 0 und ¹ 0 Da weitor it reziprok (übertragungymmetrich), da = Da weitor it ymmetrich, da = und = Da weitor it verlutlo, da die Unitaritätbedingung erfüllt it E gilt T S S = E (E) Um die Unitaritätbedingung zu prüfen, etzen wir die Streumatix S in Gleichung (E) ein æ 5 ö æ 5 öæ 5 ö ç æ ö æ ö j j 0 - ç çç + T çèç ø çè ø æ 0ö S S = = 5 5 = = 5 0 E (E) j ç è ø j æ ö æ ö ç ç è øè ø ç ç è è3 ø ç è3 ø ø Reflexiondämpfung und Einfügedämpfung Die Reflexiondämpfungen (Return lo) berechnen wir für Tor und Tor zu R = 0lg = 8,3 db und R = 0lg = 8,3 db (E3) Für die Einfügedämpfungen (Inertion lo) erhalten wir I = 0lg = 0,695 db und I = 0lg = 0,695 db (E4) Umrechnung der Streumatrix auf eine Torimpedanz von 00 Die Formeln für die Umnormierung der Streumatrix vom Bezugwidertand =50 auf einen neuen Bezugwidertand,neu =00 finden wir in bchnitt 553

2 nhang E Nach Gleichung (558) lautet die umnormierte Streumatrix S neu æ ö = det S ç çè -r -r - r + r ø ( r)( r) r ( r ) (E5) mit der Determinante S = ( -r )( -r )-r (E6) det und dem Wert r r =,neu,neu - + (E7) Bei Einetzen der gegebenen Werte erhalten wir zunächt 00 r = und det S = (E8) 3 7 Für die Streumatrix mit einem Bezugwidertand von,neu =00 ergibt ich S æ-7 j4ö æ-0,8 j0,96ö neu = = 5 çj4-7 ç j0,96-0,8 è ø è ø (E9) Proberechnung mit DS Wir überprüfen uner Ergebni durch eine Proberechnung mit Hilfe de HF- Schaltungimulator DS [gil09] unächt legen wir unere Streumatrix in einem p- File ab (Siehe Buch S 67) p-file beinhalten frequenzabhängige Streuparameter von Meungen oder Simulationen in einem le- und editierbaren Dateiformat Sie können alo auch dazu verwendet werden S- Parameter manuell einzugeben Bild E p-file mit der Streumatrix Da in Bild E gezeigte p-file enthält mit urufezeichen markierte Kommentarzeilen, die vom Programm ignoriert werden Die eile mit dem Doppelkreuz zeigt, da die Frequenz in Gigahertz (GHz) und die Streuparameter (S) nach Betrag und Phae (M = Magnitude) angegeben werden Der Bezugwidertand (R) hat den Wert 50 (50)

3 E ufgabenlöungen zu Kapitel 5 3 Die Streuparameter der ufgabentellung ind frequenzunabhängig vorgegeben E wurde daher exemplarich für die Dartellung für Frequenzen von und GHz die Streuparameter nach Betrag und Phae al Dezimalwerte eingegeben Die Kommentarzeilen dienen der Erläuterung der Werte Diee p-file kann nun in einer Simulation verwendet werden Bild E zeigt die Bechaltung eine entprechenden weitore mit 50 bzw 00 Toren (Term=Termination) Bild E Schaltung zur Umnormierung der Streuparameter Bild E3 zeigt un die Ergebnie der Simulation In der oberen Bildhälfte finden wir die Streuparameter für einen Bezugwidertand von 50 E ergeben ich die Streuparameter der ufgabentellung mit Beträgen von 5/3 0,385 und /3 0,93 Die Phaenlagen entprechen Null Grad (poitive reelle Werte) bei den Reflexionfaktoren und 90 Grad (poitive imaginäre Werte) bei den Tranmiionfaktoren In der unteren Bildhälfte finden wir die Streuparameter für einen Bezugwidertand von 00 E ergeben ich die Streuparameter mit Beträgen von 0,8 und 0,96 Die Phaenlagen entprechen 80 Grad (negative reelle Werte) bei den Reflexionfaktoren und 90 Grad (poitive imaginäre Werte) bei den Tranmiionfaktoren Die Ergebnie timmen mit den Ergebnien der manuellen Rechnung (Gleichung (E9)) überein

4 4 nhang E Bild E3 Streuparameter für =50 (oben) und,neu =00 (unten) E öung der Übungaufgabe 5 Berechnung der ntenneneingangimpedanz Der Reflexionfaktor r an der ntenne it betimmt durch die ntennenimpedanz owie den Bezugwidertand = 50 - r = (E0) + Wenn wir die Gleichung nach umtellen, o können wir die ntennenimpedanz berechnen

5 E ufgabenlöungen zu Kapitel r = -r (E) Im weiteren benötigen wir die komplexe Rechnung und etzen den Reflexionfaktor mit Real- und Imaginärteil ein -j 0 r = 0,4e = 0,4 co(0 ) -jin(0 ) = Re{ r } + jim{ r } = 0,367- j0,37 (E) Wir etzen die in Gl (E) ein und erhalten durch konjugiert-komplexe Erweiterung de Nenner nach kurzer Rechnung: + r + Re{ r } + jim{ r } Re{ } Im{ } = = -r - r -j r = ( + Re{ r} + jim{ r} )( - Re{ r} + jim{ r} ) ( - Re{ r }) + ( Im{ r }) -( r ) -( r ) + j r ( - Re{ r} ) + ( Im{ r} ) Re{ } Im{ } Im{ } = = - ( 0,9 j33,5) (E3) Berechnung de Reflexionfaktor (Bezugwidertande,neu = 75 ) Wir berechnen nun den Reflexionfaktor beim Wechel de Bezugwidertande auf,neu = 75 r,neu -,neu = (E4) +,neu Wie zuvor benötigen wir die komplexe Rechnung und erweitern den Nenner konjugiertkomplex r,neu - Re{ } + jim{ }- = = + Re{ } + jim{ } + =,neu,neu,neu,neu ( Re{ } -,neu+ jim{ } )( Re{ } +,neu-jim{ } ) ( Re{ } + ) + ( Im{ }) = 0,857-j0,534,neu (E5) ugedrückt durch Betrag und Phae erhalten wir:,neu ( ) ( ) r = Re{ } + Im{ } = 0,4 æim{ } ö r,neu = arctan ç =-39,56 çère{ } ø (E6)

6 6 nhang E Berechnung der reflektierten und aufgenommenen eitung Die reflektierte eitung beträgt Pwb = Pwa = 0,058W (E7) Die aborbierte eitung it P = - P = 0,949 W (E8) ab wa Proberechnung mit DS Um die Ergebnie für die Eingangimpedanz und den Reflexionfaktor zu überprüfen, führen wir eine Simulation mit dem HF-Schaltungimulator DS [gil09] durch Den Reflexionfaktor bei einer Torimpedanz von 50 legen wir in einer p-datei ab (Bild E4) Bild E4 p-file mit dem Reflexionfaktor der ntenne Die Schaltungen ind in Bild E5 dargetellt Bild E5 Schaltung zur Berechnung der Eingangimpedanz und de Reflexionfaktor bei verändertem Torwidertand Die Ergebnie ehen wir in Bild E6 Die Ergebnie timmen mit den rechnerich ermittelten Werten überein

7 E ufgabenlöungen zu Kapitel 5 7 Bild E6 (a) Beträge und (b) Phaenwinkel der Reflexionfaktoren bei Torwidertänden von 50 (rot) und 75 (blau) (c) Dartellung der Reflexionfaktoren nach Real- und Imaginärteil (d) Realund Imaginärteil der Eingangimpedanz E3 öung der Übungaufgabe 53 Streumatrix de weitore mit einer Serienimpedanz Bild E7 zeigt die Schaltung zur Berechnung der Streuparameter de weitor Die Vorgehenweie orientiert ich an Beipiel 53 (Buch S 56) unächt einmal benötigen wir die Eingangimpedanz E = + (E9) E Der Reflexionfaktor ergibt ich dann zu - E = = = E+ + ufgrund der Symmetrie it = (E0)

8 8 nhang E E weitor U 0 U Bild E7 weitor mit einer Serienimpedanz Der Tranmiionfaktor berechnet ich mit U = = = = U (E) Da Verhältni der Spannungen errechnen wir dabei einfach über die Spannungteilerregel ufgrund der Reziprozität it = Wir erhalten alo al Streumatrix de weitor: æ ö ç ç S = ç + è ø (E) Überprüfung de Ergebnie für zwei Spezialfälle Probeweie wollen wir die Formel für einen Kurzchlu = 0 unteruchen Die Streumatrix wird dann: S æ0 ö =ç ç ç 0 çè ø (E3) E tritt alo keine Reflexion und volle Tranmiion auf Bei Betrachtung von Bild E7 tellen wir fet, da die genauo zu erwarten it Weiterhin wollen wir die Formel für einen eerlauf unteruchen Die Streumatrix wird dann: S æ 0ö =ç ç ç 0 çè ø (E4) E tritt alo ein Reflexionfaktor von Ein auf (Verhalten eine eerlaufe an den Toren) und die Tranmiion verchwindet Bei Betrachtung von Bild E7 tellen wir fet, da auch die richtig it

9 E ufgabenlöungen zu Kapitel 5 9 Streumatrix de weitore mit einer T-Schaltung au drei Impedanzen E weitor U 0 U x 3 U Bild E8 weitor mit einer T-Schaltung au drei Impedanzen Bild E8 zeigt die Schaltung zur Berechnung der Streuparameter de weitor unächt einmal benötigen wir die Eingangimpedanz E ( + ) 3 E = + 3 ( + ) = + (E5) Der Reflexionfaktor ergibt ich dann nach kurzer Rechnung zu E = = E (E6) Den Reflexionfaktor erhalten wir, wenn wir in der obigen Gleichung die Indize und vertauchen Bei genauer Betrachtung ergeben ich nur zwei Vorzeichenänderungen: = (E7) Bei der Berechnung de Tranmiionfaktor benötigen wir da Spannungverhältni U /U 0 Wir führen die Hilfpannung U x ein, um vorteilhaft mit der Spannungteilerregel rechnen zu können U = und U + x U x 3 ( + ) = (E8) U + + ( + ) 0 3 Nach kurzer Umformung erhalten wir dann für den Tranmiionfaktor U U Ux 3 ( + ) = = = U U U ( + ) 0 x 0 3 = = ufgrund der Reziprozität it = (E9)

10 0 nhang E Überprüfung de Ergebnie für den Fall 3 = 0 Probeweie wollen wir die Streuparameter für einen Kurzchlu 3 = 0 unteruchen Man ieht zunächt in Gleichung (E9), da der Tranmiionfaktor erwartunggemäß gegen Null geht u Gleichung (E6) wird ( - ) + ( - ) E = = = E = = (E30) Die entpricht den Erwartungen, da die Eingangimpedanz für dieen Spezialfall EI = ergibt Die Rechnung für läuft entprechend Streumatrix de weitore mit einer -Schaltung au drei Impedanzen E weitor U 0 3 U x U Bild E9 weitore mit einer -Schaltung au drei Impedanzen Bild E9 zeigt die Schaltung zur Berechnung der Streuparameter de weitor unächt benötigen wir wieder die Eingangimpedanz E = + (E3) E 3 Der Reflexionfaktor ergibt ich dann nach kurzer Rechnung zu E = = E (E3) Den Reflexionfaktor erhalten wir, wenn wir in der obigen Gleichung die Indize und vertauchen Bei genauer Betrachtung ergeben ich nur zwei Vorzeichenänderungen: = (E33)

11 E ufgabenlöungen zu Kapitel 5 Bei der Berechnung de Tranmiionfaktor benötigen wir da Spannungverhältni U /U 0 Wir führen die Hilfpannung U x ein, um vorteilhaft mit der Spannungteilerregel rechnen zu können U = und U + x 3 ( + ) ( ) U x 3 = (E34) U Nach kurzer Umformung erhalten wir dann für den Tranmiionfaktor ( + ) U U Ux 3 = = = U U U x = = ufgrund der Reziprozität it = (E35) Überprüfung de Ergebnie für den Fall = 0 Probeweie wollen wir die Streuparameter für einen Kurzchlu = 0 unteruchen u Gleichung (E3) wird = =- (E36) Die entpricht dem an den Klemmen auftretenden Kurzchlu (r = ) Sehen wir un den augangeitigen Reflexionfaktor in Gleichung (E33) an ( + 3) 3- = = = = ( + 3) (E37) Da Ergebni entpricht der an den ugangklemmen ichtbaren Parallelchaltung von und 3 In Gleichung (E35) werden die Tranmiionfaktoren erwartunggemäß Null

12 nhang E E4 öung der Übungaufgabe 54 Da Signalfludiagramm für die Schaltung it in Bild E0 wiedergegeben a e j x, e j b e j x, x, e j b x, a Bild E0 Signalfludiagramm Mit Hilfe de Signalfludiagramm können wir die Streuparameter de reultierenden weitor berechnen b - j ( + ) - j = = x, e = x,e a a = 0 b - j ( + ) - j = = x, e = x,e a a = 0 b - j ( + ) = = x,e a a = 0 b - j ( + ) = = x,e a a = 0 (E38) (E39) (E40) (E4) Die eitungen beeinfluen offenbar nur den Phaenwinkel der Streuparameter Bei bekannten ängen können diee Einflüe ehr einfach heraugerechnet und o die Streuparameter de eingebetteten weitore betimmt werden E5 öung der Übungaufgabe 55 Im folgenden ollen die Gleichungen für die Eratzwellenquelle in Bild 54 (Buch S 6) hergeleitet werden Da Bild ei im Folgenden noch einmal gezeigt

13 E ufgabenlöungen zu Kapitel 5 3 Schaltung Signalfludiagramm Gleichungen U 0 b a b0 b a r b b ra 0 U b0 r 0 Bild E Signalfludiagramm der Quelle Berechnung de Reflexionfaktor r Der Reflexionfaktor kann unmittelbar angegeben werden, wenn man die Impedanz in die Klemmen der Schaltung (Bild link) betrachtet Die ideale Spannungquelle U 0 tellt einen Kurzchlu dar, o da nur bleibt Den Reflexionfaktor bezogen auf den Torwidertand berechnen wir dann wie üblich mit r = - - (E4) Berechnung der Urwellenquelle Da die Schaltung eine Spannungquelle enthält, handeln e ich um eine aktive Schaltung, dh e gibt eine ablaufende Welle b auch dann, wenn keine Welle a zuläuft Die drückt ich in der Gleichung b= b0+ ra (E43) durch den Term b 0 au Um dieen Term auzurechnen, nutzen wir den uammenhang zwichen den Wellengrößen a und b und Strom I und Spannung U an den Klemmen au Wir betrachten dazu die nachfolgende Schaltung I U 0 U b a Bild E Strom und Spannung an den Klemmen zur Berechnung der Wellengrößen Die ablaufende Welle b und die hinlaufende Welle a können wir berechnen mit U - I = und a b U + I = (E44)

14 4 nhang E Die Spannung kann über die Spannungteilerregel berechnet werden U = (E45) + U0 Der Strom ergibt ich au dem ohmchen Geetz U 0 I =- + (E46) Darau berechnen wir U+ I U0+ (-U0) a = = = 0 ( + ) (E47) und U - I U -(- U ) U = = = = b0 ( + ) + b (E48) Die it die geuchte Urwellenquelle b 0 im Signalfludiagramm E6 öung der Übungaufgabe 56 Von einer Rückkopplung pricht man, wenn da ugangignal auf da Eingangignal zurückwirkt ur Herleitung der Rückkopplungregel betrachten wir Bild E3 Die Schaltung beteht au einem Netzwerk mit einer Vorwärtvertärkung V V und einem Netzwerk mit der Rückwärtvertärkung V R Da ugangignal Y wird über da Netzwerk V R zurückgekoppelt und zum Eingangignal X addiert X X ' V V Y V R Bild E3 ur Herleitung der Rückkopplungregel u dem Bild leen wir die folgenden zwei Gleichungen ab X' = X+ V Y und Y= VV X' (E49) Hierau berechnen wir: R R VV Y= X (E50) - VV V ngewandt auf da Signalfludiagramm in Bild 5 (Buch S 6) erhalten wir: x b= a (E5) - x y

15 E ufgabenlöungen zu Kapitel 5 5 E7 öung der Übungaufgabe 57 Bei der Schaltung in Bild E4 ollen die Reflexionfaktoren und Impedanzen berechnet werden Die ahlenwerte ollen au Beipiel 56 (Buch S 6) übernommen werden Daher gilt Bezugwidertand = 50 (E5) f = GHz (E53) = 00 j = 00 j00, da = 5,9 nh (E54) = mit C= 5 pf (E55) j C Die Impedanz E berechnen wir mittel komplexer Rechnung zu: ( - ) ( ) j C = = = 4,4-j,65 E j C + C (E56) Der Reflexionfaktor r lät ich ebenfall chnell ermitteln E- Re{ E} + Im{ E} - + jim{ E} r = = = 0,676 e + ( Re{ } + ) + Im{ } E E E E r E r 0,363-8,5 (E57) U 0, Bild E4 Schaltung zur Berechnung von Reflexionfaktoren und Impedanzen Der Reflexionfaktor r berechnen wir au dem Reflexionfaktor r am Ende der eitung m Ende der eitung gilt: ' - Re{ } + Im{ } - + jim{ } r = = = 0,6 e + ( Re{ } + ) + Im{ } j 9,75 (E58) m nfang der eitung it der Reflexionfaktor ' -j j9,75 j98,64 j8,4 = = 0,6 = 0,6 = r r e e e e r (E59) Wenn wir da Ergebni mit dem Reflexionfaktor r in Gleichung (E57) vergleichen, o tellen wir fet, da die Reflexionfaktoren konjugiert komplex zueinander ind r = r Die Impedanz E berechnen wir am einfachten über da Smith-Chart-Diagramm in Bild E5 Hier wurde der kommerzielle Schaltungimulator DS [gil] verwendet Natürlich können auch andere Tool au dem Internet verwendet werden (zb [Dell0]) l elektri-

16 6 nhang E che eitunglänge verwenden wir 0,363 =30,68 Die bchluimpedanz it durch eine chwarze Raute und die Eingangimpedanz durch ein rote Quadrat gekennzeichnet Wir leen au dem Diagramm den folgenden Wert ab: E = 4,8+,56 = E j (E60) Die Impedanzen E und E ind genauo wie die Reflexionfaktoren r und r alo konjugiert komplex zueinander E liegt eitunganpaung vor Bild E5 Berechnung der Eingangimpedanz E mit dem Smith-Chart Überprüfung mit einem HF Schaltungimulator bchließend wollen wir die Ergebnie noch mit einem HF Schaltungimulator validieren Bild E6 zeigt die Schaltung Obgleich wir die obigen Ergebnie nur für eine Frequenz von GHz betimmt haben, nutzen wir hier die Möglichkeit Streuparameter-Ergebnie durch einen Frequenz-Sweep in einem Bereich von 00 MHz bi GHz zu betrachten

17 E ufgabenlöungen zu Kapitel 5 7 Bild E6 Schaltung zur Berechnung der Reflexionfaktoren und Eingangimpedanzen Die Ergebnie de HF-Schaltungimulator ind in Bild E7 dargetellt Bild E7 Ergebnie de HF-Schaltungimulator Die oberen beiden Diagramme enthalten Beträge (link) und Phaen (recht) der Reflexionfaktoren und die unteren beiden Diagramme Real- (link) und Imaginärteile (recht) der

18 8 nhang E Impedanzen Entcheidend ind die Werte bei einer Frequenz von GHz Bei der Frequenz wurden Marker poitioniert, o da die ahlenwerte augewertet werden können Wie zuvor ehen wir konjugiert-komplexe Impedanzen und Reflexionfaktoren Die ahlenwerte timmen mit den obigen manuellen Rechnungen überein E8 öung der Übungaufgabe 58 Wir fordern von einem Dreitor, da e folgende Eigenchaften beitzen oll alleitige npaung ( ii = 0), Reziprozität ( ij= ji ) und Verlutloigkeit (Unitaritätbedingung: T S S = E ) Mit den obigen Beziehungen ergeben ich au der Matrixgleichung æ 0 ö æ 0 3 ö 3 æ 0 0ö = ç è ø ç èç ø è ø (E6) die folgenden uammenhänge: 3 + = (E6) 3 3 = 0 (E63) 3 = 0 (E64) = (E65) + = (E66) 3 = 0 (E67) 3 = 0 (E68) 3 = 0 (E69) + = (E70) 3 3 Betrachten wir die Gleichungen (E63) und (E64) und nehmen an, da gilt 3 ¹ 0 In dieem Falle müen und 3 übereintimmen = (E7) 3 u Gleichung (E67) folgt dann = = (E7) 3 0 Die tellt aber einen Widerpruch zu Gleichung (E6) dar, denn + 3 = 0¹ (Widerpruch fall 3 ¹ 0 ) (E73)

19 E ufgabenlöungen zu Kapitel 5 9 Betrachten wir nun den Fall, da gilt 3 = 0 Dann mu nach Gleichung (E66) gelten: = (E74) Nach Gleichung (E70) wäre zudem 3 = (E75) Die führt aber zu einem Widerpruch in Gleichung (E6) + 3 = ¹ (E76) Somit können bei einem Dreitor die Eigenchaften alleitige npaung, Reziprozität und Verlutloigkeit nicht gleichzeitig realiiert werden (Stand: 500)