Aspekte der Luftbewegung in der atmosphärischen Grenzschicht

Transkript

1 Aspekte der Luftbewegung in der atmosphärischen Grenzschicht Ines Höschel

2 Einleitung

3 Der Anfang Polarexpedition unter Nansen Beobachtung: von Windrichtung abweichende Eisbergdrift Erklärung: Wirkung der Erdrotation fehlender mathematischer Nachweis

4 Wer war Vagn Walfrid Ekman Geburt am 3. Mai 1874 in Stockholm Studium der Physik an der Universität Uppsala 1902 Promotion V. W. Ekman. Om jordrotationens inverkan på vindströmmar i hafvet. Nyt Magazin for Naturvidenskab, 40(1):1-27, Zwei weitere Veröffentlichungen zum Thema On the influence of the earths rotation on ocean-currents. Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, 2(11):1-52, Beiträge zur Theorie der Meeresströmungen. Ann. d. Hydrogr., 34:50pp., 1906.

5 Teilnahme an Forschungsreisen Konstruktion verschiedener ozeanographischer Meßgeräte Hier: Piezometer

6 Vagn Walfrid Ekman in Oslo am Internationalen Laboratorium für ozeanographische Forschungen Professor für Mechanik und mathematische Physik an der Universität Lund Lehrbuch der Mechanik Mitglied der Königlichen Schwedischen Akademie der Wissenschaften seit 1935 Tod am 9. März 1954 in Gostad in Schweden,

7 Gleichung

8 Aufbau der Grenzschicht

9 viskose Unterschicht keine Turbulenz Aufbau der Grenzschicht Transport von Wärme und Feuchte durch molekulare Vorgänge Prandtl-Schicht Annahmen: höhenkonstante turbulente Flüsse kein Corioliseffekt Ekman-Schicht vertikale turbulente Flüsse nehmen mit der Höhe ab Corioliseffekt muss beachtet werden Die Ekmanschicht ist dadurch definiert, dass τ z 0

10 Ausgangsgleichung: gewogen gemittelte Bewegungsgleichung: ρ ˆdˆv dt = 2ω ρ ˆv ρ Φ + [T ρ v v ] ˆd = + ˆv dt t τ := ρv h v z T p Annahme: horizontale Homogenität des Windes und der gemittelten Variablen Boussinesq-Approximation: Setze ρ = 0, also â = a und a = a in allen Termen, die für den Aufrieb nicht relevant sind. dv h dt = 1 ρ hp f k v h + 1 ρ τ z

11 dv h dt = 1 ρ hp f k v h + 1 ρ Definition des geostrophischen Windes Gradient-Ansatz Konstante Dichte dv h dt f k v g = 1 ρ h p τ = ρ K M v h z τ z = f k (v h v g ) + ( ) v h K M z z

12 dv h dt = f k (v h v g ) + ( ) v h K M z z Beschleunigungfreiheit Barotropie K M = const. 2 (v h v g) z 2 = f K M k (v h v g ) Gewöhnliche Vektordifferentialgleichung 2.Ordnung für den Ablenkungsvektor des Windes in der Ekmanschicht vom geostrophischen Wind.

13 Lösung

14 2 (v h v g ) z 2 = f K M k (v h v g ) Definieren komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene: ζ = v h v g η = v g erhalten komplexe Gleichung: 2 ζ z 2 = f K M iζ

15 2 (v h v g ) z 2 = f K M k (v h v g ) Definieren komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene: ζ = v h v g η = v g erhalten komplexe Gleichung: mit a = f 2K M 2 ζ z 2 = f K M iζ =: 2a 2 iζ Der Ansatz ζ = A e bz ist eine Lösung der Gleichung für b 2 = 2 a 2 i b = ± a (1 + i).

16 allgemeine Lösung: Randbedingungen: ζ = A 1 e a(1+i)z + A 2 e a(1+i)z Am Boden verschwindet der horizontale Wind: z = 0: v h = 0 (ζ = η) η = A 1 + A 2 In der freien Atmosphäre weht der Wind isobarenparallel: z : v h = v g (ζ = 0) 0 = A 1 Lösung: ζ = ηe (1+i)az bzw. im kartesischen System: v h (z) = v g v g e (1+i)az

17 Graphische Darstellung

18 Die Höhe der atmosphärischen Grenzschicht z G Definition: Wind weht erstmals in Richtung des geostrophischen Windes: v h (z G ) v g. v h (z) = v g (1 e az cos az) + k v g e az sin az 1 = 2 K M a f Ekmanlänge Höhe der atmosphärischen Grenzschicht: z G = π 2 K M f = π a

19 Einsetzen üblicher Werte in K M = 5m 2 s 1, f = s 1 z G = π 2 K M f durchschnittliche Höhe der Grenzschicht etwa 1000m. Die Höhe der atmosphärischen Grenzschicht hängt von der Größe des turbulenten Diffusionskoeffienten K M ab. südl. Breiten: Kleines f Höhere Grenzschicht Meer: kleinerer K m als Land Über Land höhere Grenzschicht

20 Windprofil der 2-Schichten-Grenzschicht

21 Einfluss von Bodenrauhigkeit und Schichtung

22 Zusammenfassung

23 Ausgangspunkt: gewogen gemittelte Bewegungsgleichung Annahmen: Horizontalität des Windes Horizontale Homogenität der turbulenten Impulsflüsse Boussinesq- Approximation Beschleunigungsfreiheit Barotropie Konstante Dichte Konstanz des turbulenten Diffusionskoeffizienten

24 Gleichung: Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung 2 (v h v g ) z 2 = f K M k (v h v g ) Trick: Lösung im Komplexen Randbedingungen: Verschwinden des horizontalen Windes am Boden Isobarenparaleller Wind in der freien Atmosphäre Ergebnis für atmosphärische Grenzschicht: v h (z) = v g v g e (1+i)az

25 Quellen

26 Alastair D. Jenkins, John A. T. Bye The Rotation of the earth and processes near the air-sea interface ( D. Etling, Theoretische Meteorologie, 2. Aufl., Springer, 2002 G. D. Hess Parameterisation of the Atmospheric Boundary Layer: A Retrospective Look ( H.-J. Lange, Die Physik des Wetters und des Klimas, Reimer, Ekman

27 Umformungen komplexer Zahlen: (i + 1) 2 = 2i iζ = i(a + ib) = b + ia k (a, b, 0) = ( b, a) k ζ = iζ