Dynamische Systeme in der Biologie: Beispiel Neurobiologie

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1 Dynamische Systeme in der Biologie: Beispiel Neurobiologie Caroline Geisler May 30, 2018

2 Stabilitätsanalyse in 2D Das Modell: Nullkline: dv dt dw dt = f(v) w+i F(V,w) = bv cw G(V,w) F(V,w) = 0 G(V,w) = 0 w = f(v)+i w = b c V Fixpunkte: f(v fix )+I = b c V fix

3 für jeden Fixpunkt: ( F Jakobi-Matrix: M = V G V F w G w ) fix Definition: = det(m) Eigenwertproblem: Eigenwerte: τ = Spur M λ 2 τλ+ =0 λ 1,2 = τ/2± τ 2 /4 mit τ = λ 1 + λ 2 = λ 1 λ 2

4 Dynamische Regime τ 0 eigenvalues saddle (real eigenvalues, different signs) saddle-node bifurcation saddle-node bifurcation (real positive eigenvalues) unstable node unstable focus (complex eigenvalues, positive real part) Andronov-Hopf bifurcation stable focus (complex eigenvalues, negative real part) stable node (real negative eigenvalues) τ2 4 = 0 τ2 4 = 0 0 (Izhikevich 2007) λ 1,2 = τ/2± τ 2 /4 mit λ 1 + λ 2 = τ und λ 1 λ 2 = Die Fixpunkte (V fix,w fix ) hängen von I app ab, damit hängen auch und τ von I app ab. Der Übergang von einer dynamischen Region zur anderen: Bifurkation

5 Neuron Klasse 1 und 2 Klasse 1: Frequenz geht gegen Null Klasse 2: endliche Frequenz (Izhikevich 2007) Definition: Rheobase I θ - kleinster konstanter Strom, der zu Aktionspotentialen führt.

6 Klasse 1 Sattel-Knoten-Bifurkation auf dem invarianten Kreis drei Fixpunkte: stabil, Sattel, instabil I < I θ : der Fluss kommt im stabilen Fixpunkt zum Halt. I = I θ : stabiler Fixpunkt und Sattel treffen und annihilieren sich. Ein Limit-Cycle entsteht um den instabilen Fixpunkt und durch den Sattel-Knoten. I > I θ : Der Fluss fühlt den Geist des stabilen Fixpunkts. Kleine Frequenzen nahe I θ.

7 Klasse 2 Sattel-Knoten-Bifurkation nicht auf dem invarianten Kreis drei Fixpunkte: stabil, Sattel, instabil I < I θ : der Fluss kommt im stabilen Fixpunkt zum Halt. Ein stabiler Limit-Cycle um den instabilen Fixpunkt kann bereits existieren (Bistabilität). I = I θ : stabiler Fixpunkt und Sattel treffen und annihilieren sich. Spätestens jetzt entsteht ein Limit-Cyle. I > I θ : Der Limit-Cycle ist weit weg vom Geist des stabilen Fixpunks. Endliche Frequenzen nahe I θ.

8 Klasse 2 Andronov-Hopf-Bifurkationen ein Fixpunkt, komplex conjugierte Eigenwerte I < I θ : Fixpunkt ist stabil. Subkritisch: Limit-Cycle existiert (Bistabilität). I = I θ : Fixpunkt verliert Stabilität, τ = 0, Eigenwerte λ 1,2 =±i =±iω, superkritisch: Limit-Cyle entsteht. I > I θ : Instabiler Fixpunkt, stabiler Limit-Cycle

9 Bursting Manche Neurone haben ionische Ströme, die rhythmische Bursts in isolierten Neuronen hervorrufen können. Langsame Zeitskala, multi-dimensionales System (a) bursting spiking 20 mv 100 ms ADP (b) increasing ISIs (c) decreasing ISIs 20 mv 20 mv 100 ms 100 ms 500 pa 600 pa Beispiele: (a) layer 5 somatosensory cortex in the rat, (b) cat, (c) visual cortex in rat.

10 Bursts: Beispiele Somatische und dendritische Spike (a) and Burst (b). Dendritisch-somatisches ping-pong. (a) dendritic spike 20 mv 25 ms (b) soma dendrite recorded (in vitro) ADP Spike-Frequenz-Adaptation Kalzium and kalzium-abhängiger Kalium-Strom mit langsamer Zeitkonstante. Die Kalzium-Konzentration steigt mit den Aktionspotentialen und nimmt langsam wieder ab. (Wang 1998) I Ca = g Ca m (V V Ca ), I AHP = g AHP [[Ca 2+ ]/([Ca 2+ ]+K D )](V VK), d[ca 2+ ]/dt = αi Ca [Ca 2+ ]/dτ Ca

11 Bursts: noch mehr Beispiele Spike-Gruppen in Neuronen des Basalhirns und des medialen Septums. Das Modell enthält einen langsam inaktivierenden Kalium-Strom: I KS = g KS pq(v V K ) Sub-threshold Oszillationen: Interaktion von I Na und I KS. (Wang 2002)

12 Bursting im 3D Phasenarum (Izhikevich 2007)

13 Resonanz I Experimentelle Messung Resonanz-Eigenschaften: Sub-Threshold Oszillationen werden mit ZAP -Strom gemessen. Impedanz = FFT(output)/FFT(input). Beispiel: Hippocampus Pyramidenzelle. (Hu 2002)

14 Resonanz II (a) (b) g K n g Nap 1.0 Stable Spontaneous oscillations Voltage output Current input v + v + v + Modellsystem: dv dt = (v v L) g Na (v)(v v Na ) g K n(v v K ) Keine Oszillationen in 1. Gedämpfte Oszillationen in 2. Andauernde Oszillationen in 3 (Limit-Cycle). (Hutcheon & Yarom 2000)

15 Gedämpfte sub-threshold Oszillationen: (Izhikevich 2007)

16 Integrator vs. Resonator Integrator: Neurone nahe Sattel-Knoten-Bifurkation; bevorzugen hochfrequenten exzitatorischen Input; haben wohldefinierten Threshold Resonator: Neurone nahe Andronov-Hopf-Bifurkation; oszillierendes Membranpotential, bevorzugen Resonanz-Frequenz, können Spike nach Inhibition feuern.

17 Was ist ein Spike? membrane potential [mv] time [ms] Schwellenpotential: point of no return, Initiation des Aktionspotentials Zeitpunkt der Spitze des Aktionspotentials

18 Das Integarte-and-Fire-Modell Minimales Modell mit Zurücksetzen: C V = g l (V V L )+I C/g l 10 ms V L -70 mv V R -80 mv V T -40 mv (Izhikevich 2007)

19 Resonate-and-Fire-Modell Ein 2D-Modell (Young Modell): C V Ẇ = g L (V V L ) W+ I = (V V r )/k W Wenn V = V T dann V V R und W W R Wenn Ruhezustand stabiler Fokus: ż =(b + iω)z + I (Izhikevich 2007)

20 Quadratisches-Resonanz-Modell C v u = k(v v r )(v v t ) u+i = a{(b(v v r ) u)} (Izhikevich 2007)

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22 Gleichmäßig feuerndes Neuron 100 v=0.7(v+60)(v+40) u+i; u=0.03{ 2(v+60) u} Reset: v 50 und u u+100 (Izhikevich 2007)

23 Bursting Neuron 150 v=1.2(v+75)(v+45) u+i; u=0.01{5(v+75) u} Reset: v 56 und u u+130 (Izhikevich 2007)

24 Referenzen (Hu 2002) Hu H., Vervaeke K., Storm J.F. Two forms of electrical resonance at theta frequencies, generated by M-current, h-current and persistent Na+ current in rat hippocampal pyramidal cells. J Physiol. 2002, 545: (Hutcheon & Yarom 2000) Hutcheon B. and Yarom Y. Resonance, oscillation and the intrinsic frequency preferences of neurons. Trends Neurosci. 2000, 23(5): (Izhikevich 2007) Izhikevich E.M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. The MIT press, 2007 (Wang 1998) Wang X.-J. Calcium coding and adaptive temporal computation in cortical pyramidal neurons. J. Neurophysiol. 1998, 79: (Wang 2002) Wang X.-J. Pacemaker neurons for the theta rhythm and their synchronization in the septohippocampal reciprocal loop. J. Neurophysiol. 2002, 87,