Freie Elektronen Laser. Energieübertrag Verstärkungsbereiche Der SASE Prozeß

Transkript

1 Energieübertrag Verstärkungsbereiche Der SASE Prozeß

2 Laser - FEL Laser Pump Laser Lasermedium FEL einlaufende Welle FEL Strahl Elektronenstrahl Undulator Dipol magnet Röntgenphysik 147

3 FEL Energieübertrag Energieübertrag Aus dem Elektronenstrahl muß Energie in das Laserfeld E FEL entlang des Weges s übertragen werden. W = e E FEL d s = e v E FEL Licht ist transversal polarisiert, so dass v E FEL W = 0 In einem Undulator gibt es eine senkrechte Komponente v x = βc K γ sin(ω ut), die an das FEL Feld ankoppeln kann Ein Undulator ist eine Voraussetzung für den Betrieb eines FEL Röntgenphysik 148

4 Energieübertrag FEL Energieübertrag Wechselwirkung zwischen Elektronen und B sowie E FEL wird durch die Lorentzkraft beschrieben Umschreiben liefert Gesamtenergie Mit d p d(γ β) W = e = e( E FEL + v B) = e mc ( E FEL + c β B) W = γmc 2 dw = mc 2 dγ E FEL d s = e v E FEL Röntgenphysik 149

5 Energieübertrag FEL Energieübertrag Wechselwirkung zwischen Elektronen und B sowie E FEL wird durch die Lorentzkraft beschrieben Umschreiben liefert Gesamtenergie Mit d p d(γ β) W = e = e( E FEL + v B) = e mc ( E FEL + c β B) W = γmc 2 dw = mc 2 dγ E FEL d s = e v E FEL Röntgenphysik 149

6 FEL Energieübertrag Energieübertrag erhält man dγ = e mc β E FEL (7) d(γ β) = e mc ( E FEL + c β B) (8) Näherungen Bedingung gilt am Anfang bei schwacher Verstärkung β variiert viel stärker als γ E FEL c β B d(γ β) γ d( β) Röntgenphysik 150

7 Energieübertrag FEL Energieübertrag Damit wird Gleichung (8) zu γ d( β) = e mc c β B γ d( β) = e mc c β B (9) y x Es sein gegeben B z Undulatorfeld B = (0, B0 sin k u z, 0) Laserfeld EFEL = (E 0 cos(kz ωt), 0, 0) e E Einsetzen von B in Gleichung 9 liefert dann dβ x = eb 0 mcγ c sin k uz Röntgenphysik 151

8 Energieübertrag FEL Energieübertrag Integration (k u = 2π/λ u ) β x = eλ ub 0 2πγmc cos k uz = K γ cos k uz K ist der früher definierte Undulatorparameter Energiegewinn des Laser Feldes war Geschwindigkeit dγ = e mc β E FEL Einsetzen von β x β x = eλ ub 0 2πγmc cos k uz = K γ cos k uz dγ = ee 0K γmc cos(k uz) cos(kz ωt) Röntgenphysik 152

9 FEL Gleichung Energieübertrag mit cos x cos y = 1 2 (cos(x + y)+cos(x y)) folgt Diskussion der FEL Gleichung dγ = ee 0K 2γmc (cos[(k + k u)z ωt]+cos[(k k u )z ωt]) (10) Der Energieübertrag hängt von der Feldstärke E 0 des FEL-Feldes ab Entspricht der induzierten Emission des normalen Lasers Maximaler Energietransfer: Phase der Oszillation ist konstant dψ ± = d ((k ± k u)z ωt) = (k ± k u ) dz ω 0 Röntgenphysik 153

10 FEL Gleichung Energieübertrag Die FEL Gleichung kann in der folgenden Form geschrieben werden dγ = K K FEL k u 2γc (cos[(k + k u )z ωt]+cos[(k k u )z ωt]) mit K FEL = eeλ u 2πmc 2 analog zum Undulator Parameter K = ebλ u 2πmc Röntgenphysik 154

11 FEL Energieübertrag Energieübertrag dz ist die mittlere Geschwindigkeit des Elektrons entlang der z-achse Mit ω = kc und ż = β c folgt dann [ 0 = (k ± k u )β k = (k ± k u ) 1 1 (1+ K 2 )] 2γ 2 k 2 k u k k (1+ K 2 ) 2γ 2 ± k u 2 Lösung ist nur für +k u möglich k u = k 2γ 2 (1+ K 2 ) Das entspricht genau der Bedingung, die wir schon für die von einem Undulator abgestrahlte Wellenlänge λ kennen Was bedeutet diese Bedingung? 2 Röntgenphysik 155

12 FEL Energieübertrag Energieübertrag Undulator Period Elektronen bahn Elektro magnetisches Feld Bewegungsrichtung Röntgenphysik 156

13 FEL Mikrobunching Energieübertrag Für den Energiegewinn hatten wir zwei Gleichungen dγ dγ = ee 0K 2γmc (cos[(k + k u)z ωt]+cos[(k k u )z ωt]) = e mc β E FEL Wechselwirkung von Elektronenstrahl und FEL-Feld kann durch ein effektives axiales elektrisches Feld beschrieben werden E eff z = eb 0E 0 λ u 4πmcγβ z cos[(k u + k)z ωt] Dies entspricht einem ponderomotivem (effektivem) Potential V pond = eb 0 E 0 λ u 4πmcγβ z (k u + k) sin[(k u + k)z ωt], das sich entlang der Undulator Achse ausbreitet. Röntgenphysik 157

14 FEL Theorie Um die Bewegung der Elektronen in diesem Potential zu verstehen muß die Bewegunggleichung der Elektronen gelöst werden Beim Undulator wurde nur die Wechselwirkung mit dem Undulatorfeld B u berücksichtigt FEL Wechselwirkung mit drei Feldern 1 Undulatorfeld B u wie schon bekannt 2 Elektromagnetisches Feld der Laserwelle 3 Feld durch die Ladungsdichteverteilung der Elektronen Röntgenphysik 158

15 FEL Theorie Im folgenden wird ein helikaler Undulator vorausgesetzt, da es in diesem nicht zu der komplizierten Kopplung der transversalen und longitudinalen Geschwindigkeiten v x und v z kommt keine höheren Ordnungen Magnetfeld B u = e x B 0 cos k u z e y B 0 sin k u z Röntgenphysik 159

16 FEL Theorie Lösungsschritte 1 Berechne und löse die Bewegungsgleichung der Elektronen im FEL 2 Verstärkung bei kleinem Laser Feld 3 Berechne das elektromagnetische FEL Feld in einer 1-dimensionalen Näherung 4 Verstärkung bei mittlerem Laser Feld (linearer Bereich) 5 Sättigung 6 Berücksichtige den statistischen Character der FEL Strahlung (SASE) Röntgenphysik 160

17 FEL Theorie Elektronen Lorentzkraft F = e v B u Bewegungsgleichungen mγ dv x mγ dv y = ev z B y = ev z B 0 sin k u z = ev z B x = ev z B 0 cos k u z Wähle komplexe Schreibweise Integration ṽ mγ dṽ dz = v x + iv y, dz = v z = ie(b x + ib y ) = ieb 0 exp( ik u z) ṽ c = K γ exp( ik uz) und v = c K γ ( e x cos k u z e y sin k u z) Röntgenphysik 161

18 FEL Theorie EM Welle Zirkular polarisierte EM Welle parallel zum Elektronenstrahl Energieaustausch war dt = mc 2 dγ = e v E (11) [ E = E L e x cos (ω( z ) c t) e y sin (ω( z )] c t) T : Energie des Elektronenstrahl mit dz = v z und Einsetzen in Gleichung (11) folgt (v z = c) dt dz = dt dz = e (v x E x + v y E y ) v z = e K [ γ E L cos(k u z) cos (ω( z ) c t) sin(k u z) sin (ω( z )] c t) Röntgenphysik 162

19 FEL Theorie EM Welle dt dz dt dz = e K γ E L cos [k u z +ω( z ] c t) = e K γ E L cosψ (12) Röntgenphysik 163

20 FEL Theorie Phase Phasenbedingung für die Resonanz war 0 = dψ dψ = k u dz + ω c Außerhalb der Resonanz ist k u + ω c ω v z = 0 dψ dz = ψ z + ψ t = k u v z + ω c v z ω dz ω dz = k u + ω c ω v z (T) 0 Die Phase Ψ ändert sich, da v z sich mit der Energie T ändert Entwickeln von 1/v z (T) um die Energie T 0 bis zur 1. Ordnung dψ dz = k u + ω c ω v z (T 0 ) + ω v 2 z(t 0 ) dv z dt (T T 0) (13) Röntgenphysik 164

21 FEL Theorie Phase dv z /dt =? dt dv z = mc 2 dγ dv z = mc 2 d dγ dv z = 1 2 mit v z = c folgt damit (1 v 2 c 2 (1 v 2 dv z ) 3/2 ( 2v z c 2 dv z dt = c T 0 γ 2 Einsetzen in Gleichung (13) liefert dψ dz = k u + ω c ω v z (T 0 ) + = C + ω v z (T 0 )T 0 γ 2(T T 0) c 2 ) ) 1/2 ω v z (T 0 )T 0 γ 2(T T 0) (14) Röntgenphysik 165

22 FEL Theorie Pendelgleichung Beachte: Wenn T 0 = T R (T R : Resonanzenergie), dann ist C = 0 Differenziere Gleichung (14) nach z und setze Gleichung (12) ein d 2 Ψ dz 2 = d dz C + ω v z (T 0 )T 0 γ 2 d dz (T T 0) = ω v z (T 0 )T 0 γ 2 ee LK γ cosψ Pendelgleichung mit d 2 Ψ dz 2 +Ω2 cosψ = 0 (15) Ω 2 = ωee LK v z (T 0 )T 0 γ 3 Röntgenphysik 166

23 FEL low gain Bereich Problem: Das Laserfeld E L hängt im FEL selbst von der Elektronenbewegung ab Zunächst schwache Felder low gain Bereich Energiegewinn des Laserfeld eines Elektrons Im Feld gespeicherte Energie W L = mc 2 γ = T W L = ǫ 0 2 E2 L V V: vom Feld eingenommenes Volumen Verstärkung G := W L = 2 W L ǫ 0 EL 2 T (16) V Röntgenphysik 167

24 FEL low gain Bereich Phasengleichung (14) Ψ = dψ dz = k u + ω c ω v z (T 0 ) + ω v z (T 0 )T 0 γ 2(T T 0) Phasendifferenz zwischen Anfang und Ende des Undulators Ψ = Ψ E Ψ A ω = v z (T 0 )T 0 γ 2(T E T A ) = = k mc 2 γ 3 T = k γ 3 γ ω v z (T 0 )mc 2 γ 3 T Einsetzen in Gleichung (16) liefert somit Röntgenphysik 168

25 FEL low gain Bereich G = 2 ǫ 0 EL 2V mc2 γ 3 Ψ k Verstärkung ergibt sich aus der Änderung der Phasendifferenz Bemerkung λ L G = λ u K 2 2γ 2(1+ 2 ) k u = k K 2 2γ 2(1+ 2 ) γ2 k = 1 k u = mc2 γ ǫ o EL 2Vk Ψ u Röntgenphysik 169

26 FEL low gain Bereich An der Gesamtverstärkung sollen alle Elektronen eines Bunches beteiligt sein Mittel über alle Elektronen und Anfangsphasen < Ψ > = 1 n n i=1 Ψ i G = 2 ǫ 0 EL 2V mc2 γ 3 k = 2mc2 γ 3 ǫ 0 E 2 L k n B < Ψ > < Ψ > Elektronendichte im Bunch ist n B := n V Die Verstärkung ist also proportional zur Elektronendichte n B Elektronenstrahl muß eine kleine Emittanz haben! Röntgenphysik 170

27 FEL low gain Bereich Berechnung von Ψ (z) aus der Pendelgleichung (15) Multipliziere mit 2 dψ dz Integration 2 dψ dz d 2 Ψ dz 2 +Ω2 cosψ = 0 d 2 Ψ dψ + 2Ω2 dz2 dz cosψ = 0 ( ) dψ 2 + 2Ω 2 sinψ = C dz Phasendifferenz eines Elektrons zwischen Anfang und Ende des Undulators (dψ dz ) 2 E ( dψ dz ) 2 A = 2Ω 2 (sinψ A sinψ E ) (17) Röntgenphysik 171

28 FEL - low gain Bereich Wir betrachten den Bereich um die Resonanzfrequenz T 0, so daß dψ dz = k T 0 γ 2 T Einsetzen in (17) liefert ( ) dψ 2 = k2 2 dz T0 2γ4 T + 2Ω 2 (sinψ A sinψ E ) und somit dψ dz dψ dz = = k T 0 γ Ω2 T0 2γ4 k 2 T 2 (sinψ A sinψ E ) k T 0 γ eE LK γk T 2(sinΨ A sinψ E ) Die Gleichung läßt sich i.a. nicht mehr weiter integrieren Röntgenphysik 172

29 FEL low gain 1. Order Schwaches Laser Feld E L Entwickeln von 1+x = x 1 8 x dψ dz = k T T 0 γ 2 [ 1+ ee LKγ k T 2 (sinψ A sinψ(z)) ( ) eel Kγ 2 (sinψ A sinψ(z)) k T 2 Berechnung des Mittelwerts < dψ dz > in der 1. Ordnung Röntgenphysik 173

30 FEL low gain 1. Order Phase Ψ(z) im sin wird durch die 0. Ordnung bestimmt Ψ 0 = k T T 0 γ 2 Ψ 0(z) = k T T 0 γ 2 z Phasendifferenz zwischen Anfang und Ende ist somit Ψ 0 = k T T 0 γ 2 L u = k T T 0 γ 2 λ u N L u = λ u N: Länge des Undulators, N: Periodenzahl Einsetzen in die 1. Ordnung Röntgenphysik 174

31 FEL low gain 1. Order Phasenshift in der 1. Ordnung Ψ 1 = Ψ (z 0 + L u ) Ψ (z 0 ) = ee LK γ T sinψ(z 0 + L u ) + sinψ(z }{{} 0 ) }{{} =sinψ a + Ψ 0 =sinψ a Mitteln über alle Anfangsphasen Ψ A < Ψ > 1 = ee 2π [ LK dψ A sinψ A sin(ψ A + k T γ T G 1 = 0 0 ] Tγ 2 λ un) } {{ } =0 Kein Energieübertrag/Verstärkung in der 1. Ordnung FEL Verstärkung ist Prozess höherer Ordnung Berechnung der Verstärkung in 2. Ordnung Röntgenphysik 175

32 FEL low gain 2. Order Berechnung der Phasendifferenz nun aus der 1. Ordnung Ψ 1 (z) = Ψ (z) Ψ (z 0 ) = ee LK T 0 γ 3 T [ sinψ A sin() k T ] Tγ 2 z +Ψ A Integration über die Undulatorlänge L u = N u λ u [ Ψ 1 = ee Lu ( ) ] LK k T T 0 γ 3 N u λ u sinψ A dz sin T Tγ 2 z +Ψ A Mathematica: 0 L 0 dz sin(a/lz +Ψ) L sinψ = L (cosψ cos(a+ψ) a sinψ) a Röntgenphysik 176

33 FEL low gain 2. Order Definiere 2w L u L u := k L γ 2 T T = Ψ 0 L u := N u λ u Länge des Undulators Phasenshift in 1. Ordnung Ψ 1 = = ee 0 K γ 2 T 0 T 0 γ 3 T k L T [cosψ a cos(2w +Ψ a ) 2w sinψ a ] ee 0 K γ T 2 [cosψ a cos(2w +Ψ a ) 2w sinψ a ] (18) k L Röntgenphysik 177

34 FEL low gain 2. Order Berechnung der Veränderung der Phasendifferenz in 2. Ordnung ( ) dψ Ψ 2 = (19) dz 2 = k ( ) L T 1 2eE0 K 2 T 0 γ 2 8 γk L T 2 (20) (8 γk L T 2 2eE 0 K [sinψ a sin( Ψ 1 + Ψ 0 +Ψ a )] [sinψ a sin( Ψ 0 +Ψ a )] 2) Röntgenphysik 178

35 FEL low gain 2. order Im Low gain Bereich ist die Phasenänderung klein, so daß Ψ 1 1 sinψ a sin( Ψ 1 + Ψ 0 +Ψ a ) Taylor sinψ a sin( Ψ 0 +Ψ a ) Ψ1 cos( Ψ 0 +Ψ a ) Einsetzen in Gleichung (20) liefert zusammen mit dem Wert für Ψ 1 aus Gleichung (18) somit Ψ 2 = k ( ) L T 1 2eE0 K 2 T 0 γ 2 8 γk L T 2 {8 γk L T 2 2eE 0 K [sin( Ψ 0 +Ψ a ) sin(ψ a )] +2 cos( Ψ 0 +Ψ a )[cosψ a cos(2w +Ψ a ) 2w sinψ a ] [sinψ a sin( Ψ 0 +Ψ a )] 2} Röntgenphysik 179

36 FEL low gain 2. order Jetzt muß wieder über alle Anfangsphasen Ψ a gemittelt werden um alle Elektronen in einem Bunch zu berücksichtigen. Dabei erhält man dann sin( Ψ 0 +Ψ a ) sin(ψ a ) = 0 cos 2 ( Ψ 0 +Ψ a ) = 1 2 cos( Ψ 0 +Ψ a ) cosψ a = 1 2 cos Ψ 0 cos( Ψ 0 +Ψ a ) sinψ a = 1 2 sin Ψ 0 Für die Änderung der Phasendifferenz in 2. Ordnung kann man dann schreiben < Ψ 2 >= e2 EL 2K 2 ( 2γ 4 k L T 0 T 3 1 cos Ψ 0 Ψ ) 0 2 sin Ψ 0 Röntgenphysik 180

37 FEL low gain 2. Order Es war (Phasenshift in der 0. Ordnung) k L T γ 2 T 0 = Ψ 0 L u Ψ 0 ist also proportional zur Abweichung der kinetischen T von der Resonanzenergie T 0 Ersetzt man T noch durch Ψ 0 so ergibt sich für den Verlauf der Verstärkung G G < Ψ 2 > 1 Ψ 3 0 Man kann leicht nachrechnen, dass gilt ( 1 cos Ψ 0 Ψ ) 0 2 sin Ψ 0 d dw ( sin w w ) 2 = 1 (1 cos 2 w w sin 2 w) w3 Röntgenphysik 181

38 FEL low gain 2. Order Die Verstärkung kann dann in der Form G < Ψ 2 > d ( ) sin w 2 mit 2 w = Ψ 0 dw w Gain T Genau bei der Resonanzfrequenz T = T 0, T = 0 erfolgt keine Verstärkung Elektronen müssen mit etwas höherer Energie in den FEL eintreten bei kleineren Energien wird den Elektronen aus dem Laserfeld Energie zugeführt Teilchenbeschleuniger Röntgenphysik 182

39 Take Home Message FEL Low Gain Die transversale Geschwindigkeitskomponente im Undulator bewirkt den Energieübertrag vom EM Feld auf den Elektronenstrahl. Elektronen bewegen sich in einem ponderomotoven Potential aus Undulator Feld und Feld der Laserwelle. Wechselwirkung des Elektronenbunch mit Laserwelle erzeugt Mikrobunching der Elektronenbunches. Kohärente Bewegung der Elektronen in einem Mikrobunch. Bewegung der Elektronen im onderomotiven Potential kann durch eine Pendelgleichung beschrieben werden. FEL Verstärkung ist ein nichtlinearer Prozeß höherer Ordnung. Röntgenphysik 183