Jarník, Vojtěch: Scholarly works

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1 Jarík, Vojtěch: Scholarly works Vojtěch Jarík Über bedigt kovergete Reihe Math. Zeitschr. 24 (1926), pp Persistet URL: Terms of use: Istitute of Mathematics of the Academy of Scieces of the Czech Republic provides access to digitized documets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this documet must cotai these Terms of use. This paper has bee digitized, optimized for electroic delivery ad stamped with digital sigature withi the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 Über bedigt kovergete Reihe. Vo Vojtech Jarik i Göttige. Ei wohlbekater Satz vo Riema lautet: Es sei (0) C = ^ eie bedigt kovergete Reihe mit reelle Glieder; es seie (a) a ±, c 3,a 3). die ichtegative Glieder der Reihe (c), (b) b 1> K, u k 3» ' die übrige Glieder vo (c), wobei die a v i (a) ud die b v i (b) i derselbe Reihefolge auftrete wie i der Reihe (c). Da läßt sich die Reihe (c) zu jeder reelle Summe umorde ud zwar so, daß dabei die Reihefolge der a y utereiader ud die der b v utereiader umgeädert bleibt. Ich stelle mir hier eie verwadte Frage; ich setze aber über die Folge (a) ur voraus, daß a v * + 00 bei oo, statt vorauszusetze, daß (a) geau aus alle ichtegative Glieder der Reihe (c) besteht; ud ich frage ach der Mege M der Werte, zu welche sich die Reihe (c) uter Beibehaltug der Reihefolge der a v utereiader ud der b v utereiader umorde läßt. Ohe die Allgemeiheit wesetlich zu beeiträchtige, setze ich im folgede 5 = 0 voraus. Im 1 werde ich ach eiige eileitede Erläuteruge ud ach zwei Sätze, die eie formale Vereifachug der Frage gestatte, de Satz 3 beweise: die Mege M ist ei Modul. Im 2 beweise ich im Satz 4 eie aheliegede Verallgemeierug des Riemasche Satzes ud gebe da (Satz 5 ud 6) für gewisse Fälle eie utere Schrake füx die kleiste positive i M ethaltee Zahl a, welche ach Satz 7 ud 8 die wahre Schrake" ist.

3 716 V. Jarik.ÜberbedigtkovergeteReihe. 1. Es sei eie Folge reeller Zahle (1) c x,, c 3,... gegebe; (2) a 19 a 2, a s,. (3) b 19 & 9, 6 a,... seie zwei uedliche Teilfolge aus (1), ud zwar seie i (3) alle Elemete vo (1) ethalte, die icht i (2) ethalte sid ud keie adere (d.h. (2) ud (3) gebe zusamme geau alle Elemete vo (1)). Weiter setze ich voraus: We 0 < < m, m, gaz, so soll i (1) das Elemet a vor dem Elemet a m ud ebeso b vor b m stehe; d. h. die Elemete der Folge (2), ud ebeso die der Folge (3j, solle ebeso ageordet sei, wie sie i (1) ageordet ware. Edlieh sei die Reihe (4) e 1 + c 9 + c B +... koverget ud habe die Summe Null; dagege sei (4a) y=1 * + 00 bei +oc, also 2 b v -> 00. r=l Wege (4a) ist (4) bedigt koverget. Wir ee eie Fuktio f(), die für alle gaze ^ 0 defiiert ist, eie A-Fuktio, we folgedes gilt: 1. f(0) = f() ist gaz ud icht egativ für jedes gaze > Aus m gaz, > m ^ 0 folgt f()>f(m). 4. f{) > + bei +oo. Eie formal aufgeschriebee (icht otwedig kovergete) Reihe (5) ^ + ^ + + ee wir eie TJmordug der Reihe (4) i bezug auf die Teilfolge (2), (3)", we folgedes gilt: 1. Die Reihe (5) etsteht durch TJmordug der Reihe (4) (d.h. (5) ethält als Glieder alle Elemete der Folge (1), jedes ur eimal ud keie adere).

4 Uber bedigt kovergete Reihe We, m gaz, 0 <<m, so steht i der Reihe (5) das Glied a vor a m ud b vor b m (d. h. jede der beide Teilfolge (2), (3) soll i (5) i ihrer ursprügliche Aordug auftrete). We wir die Azahl der b v, die i (5) vor a stehe, mit f() bezeiche ud f(0)=0 setze, so ist f{) offebar eie A-Fuktio; ud umgekehrt wird durch jede ^L-Fuktio auf diese Weise eie Umordug der Reihe (4) i bezug auf (2), (3) defiiert, ud zwar eideutig. Ebeso, we wir die Azahl der a v, die i (5) vor b stehe, mit F{) bezeiche ud F{0) = 0 setze, so ist F() eie ^.-Fuktio; ud umgekehrt wird durch jede A-Fuktio auf diese Weise eie Umordug der Reihe (4) i bezug auf (2), (3) defiiert, ud zwar eideutig. Auch zu der ursprügliche Aordug (4) gehört je eie solche A- Fuktio. Wir wolle sage, daß sich die Reihe (4) i bezug auf (2), (3) zur Summe a umorde läßt, we es eie Umordug vo (4) i bezug auf (2), (3) gibt, die gege a kovergiert. Im folgede wolle wir die Mege M der Werte utersuche, zu welche sich (4) i bezug auf (2), (3) umorde läßt. Nach dem, was über die A-Fuktioe gesagt wurde, sid folgede drei Aussage äquivalet: I. Die Reihe (4) läßt sich i bezug auf die Teilfolge (2), (3) zur Summe a umorde. II. Es gibt eie Fuktio f() mit folgeder Eigeschaft:. Zu jedem <5 > 0 gibt es ei 0 (t5), so daß m JSOr + JSbu-O <<5 V=1 ^=1 I für alle > 0 (d) ud alle m mit f()<*m f( +1). III. Es gibt eie ^-Fuktio F(m) mit folgeder Eigeschaft: Zu jedem d > 0 gibt es ei m 0 (S), so. daß 2a>v + JSbpv=l ix=l für alle ra>ra 0 (<5) ud alle mit F(m) F(m + l). Ich werde im folgede die Sätze der Aussage I etspreched formuliere, dagege beutze ich bei de Beweise die Aussage II bzw. III. Satz 1. Voraussetzug: Es sei möglich, die Reihe (4) i bezug auf {2), (3) zur Summe a umzuorde. a <d

5 718 V. Jarlk. Behauptug: Da läßt sich die Reihe (6) a x - a ± + a 2 - a 2 + a z - a = 0 i bezug auf die Teilfolge (7) a 9, a 3, (8) a 15 a 2, a 3 >... zur Summe a umorde. Beweis. Weil (4) die Summe 0 hat, gibt es eie ^-Fuktio ^() > so daß für jedes 8 > 0 ud für alle gaze, m mit tt>7& 0 (<5) cp () <Lm<^cp( + l) gilt: (9) 2 a r + 2 h v=l fl=1 < Weiter gibt es ach Voraussetzug eie -Fuktio ip(m), so daß für jedes 8>0 ud für alle gaze m, l mit ra>.ra 0 (<5), yj(m) <Ll <Ly>(m -^-1) gilt: (10) l m J2<*>v+ 5] b/u a < V 1 (JL-1 Es sei u ^d) die kleiste gaze Zahl mit ' 0 (d) > 0 (<5), cp (wo (<5)) > m 0 {d)\, l seie zwei gaze Zahle mit >' 0 (d), y> (<p ()) ^ l ^ ip(<p (ti+ 1)). Weil die Fuktio xp{m) icht abimmt, läßt sich eie gaze Zahl m so fide, daß cp () m cp (71 +1) ud yj (m) ^ l ^ yj (m + 1). Da gilt gleichzeitig (9) ud (10), also ist a v + a v ) a <26. Damit ist aber der Satz bewiese, de q () = yj (<p ()) eie -Fuktio. ist offebar Satz 2. Voraussetzug: Es sei möglich, die Reihe (6) i bezug auf (7), (8) zur Summe a umzuorde. Behauptug: Da läßt sich die Reihe (4) i bezug auf (2), (3) zur Summe a umorde. Beweis. Nach Voraussetzug gibt es eie ^.-Fuktio q>(), so daß für jedes <$>0 ud alle gaze 71, m mit > 0 (d), 99(71)^7/1 <p( +1) gilt (11) m <Lv 2 a f* v=l ju=1 a Weiter (weil (4) zu Null kovergiert) gibt es eie ^-Fuktio ip(m), so

6 Über bedigt kovergete Reihe. 719 daß für jedes <5 > 0 ud alle gaze m, l mit m>m 0 (<5), <Ly>(m + l) gilt m l (12) ZK <<* Es sei u die gaze Zahl so groß, daß > 0 (d), <p()> m 0 (d) 9 ud es sei die gaze Zahl l so beschaffe, daß y>(<p()) <[ l yj (<p ( + 1)). Da läßt sich ei gazes m so fide, daß <p () m ^ cp ( +1), y>(m) <Ll +1); also gilt da sowohl (11) als (12), woraus ix+ IJb^ a < 2d V=1 ^=1 folgt, w. z. b. w. Nach diese beide Sätze geügt es, die Mege der Werte zu utersuche, zu welche sich (6) i bezug auf (7), (8) umorde läßt; de diese Mege ist mit M idetisch. Ich werde im folgede also ausschließlich die Umorduge vo (6) i bezug auf (7), (8) betrachte; die Worte i bezug auf (7), (8)" lasse ich im folgede weg, da ja kei Mißverstädis mehr möglich ist. Satz 3. Die Mege M ist ei Modul. Beweis. Ich soll zeige: We a ud b zu M gehöre, so gehört auch a b zu M. Das beweise ich so: We a zu Mgehört, so gibt es eie Fuktio cp(), so daß für jedes <5 > 0 ud alle gaze, m mit > 0 (d) y <p () m ^ cp ( +1) gilt (13) 2 a * JE a<u ~ v 1 ju=l a <<5. We b zu M gehört, so gibt es eie A-Fuktio xp(m), so daß für jedes <5 > 0 ud alle gaze m, l mit m>m 0 (<5), ip{m) ^ l %p(m + l) gilt l m (14) 2 a v 6 < We u die gaze Zahl so groß ist, daß > 0 (<$), cp () > ra 0 (3) ud we die gaze Zahl l so beschaffe ist, daß yj (cp ()) l<tp{(p( +1)), so gibt es ei gazes m mit cp() m<l<p( +1), y(m) 1 +1); also gilt da sowohl (13) als (14), woraus folgt, w. z.b.w. v=l - 27a,-(a-6) fl=l <26

7 720 V. Jarik.ÜberbedigtkovergeteReihe. Nach Satz 3 sieht also die Mege M folgedermaße aus: 1. Etweder besteht M aus der eizige Zahl Null. 2. Oder es ethält M auch adere Zahle, uter welche da sicher auch positive Zahle vorkomme. Da sid zwei Fälle möglich: a) Etweder gibt es uter de positive Zahle aus M eie kleiste q; da ist M mit der Mege der Zahle g (^O, gaz) idetisch. b) Oder es gibt i M beliebig kleie positive Zahle; da ist M auf der Achse der reelle Zahle überall dicht 1 ). Ich werde im 2 eiige Sätze ableite, die us weitere Aussage über die Beschaffeheit der Mege M gestatte. 2. I diesem Paragraph werde ich zeige, was ma aus der Struktur der Folge a ±, a 2,... auf de Modul M schließe ka. Dazu sid zuerst eiige Begriffe otwedig, die mit dem ifiitäre Verhalte dieser Folge zusammehäge. Defiitio vo a. Es sei > 0 ud gaz; ich betrachte die kleiste uter de Zahle +p (15) 2 a v (p = 0, 1,2,...) 9 ) v=+l (eie solche gibt es, da die Zahle (15) mit p o o gege + oo strebe) ud bezeiche sie mit cc ; also ist Ich setze cc = limsupa. 3 ) = oo Ich werde folgede Satz beweise: Satz 4. We et = 0, so läßt sich die Reihe (6) zu jedem reelle Wert s umorde. We cc > 0 (wori auch der Fall a = + oo ethalte ist), führe ich eie eue Kostate ß folgedermaße ei: Defiitio vo ß. Es sei > 0 ud gaz, k > 1. Ich betrachte alle Quotiete U 1*1 <18) (P> Ogaz), v=+1 *) Ob da M mit der Mege aller reeller Zahle idetisch sei muß, 'd. h. ob die Mege M immer abgeschlosse ist, weiß ich icht. Vgl. allerdigs besoders de folgede Satz 4. 2 ) 2 bedeutet immer Null. +1 s ) Für lim sup ud hm wird im folgede auch der Wert + oo zugelasse.

8 für welche +p (17) 2 a y >k. v=+i Uber bedigt kovergete Reihe. 721 Die obere Greze der Zahle (16), we p alle positive gaze Zahle mit (17) durchläuft, bezeiche ich mit ß* ud setze ß k = lim sup ß, co ß = &=OD mit wach- (Der letztgeate Limes existiert, da ß* tfl, ud also auch sedem k icht zuimmt.) Satz 5. Es sei cc > 0, ß edlich; da ist auch a edlich. We ß = l, so läßt sich (6) zu keier adere Summe als zu Null umorde; we ß>l, so läßt sich (6) zu keier positive Summe umorde, die kleier als -^Ar ist. P 1 Dieser Satz versagt i dem Fall /?=+oo. Um auch i diesem Fall eie brauchbare Satz zu bekomme, führe ich folgede Kostate y ei, dere Defiitio leider icht gaz eifach ist. Defiitio vo y. Es sei > 0 ud gaz, k> 1. Ich betrachte wieder die Folge (15) a v (p = 0,1,2,...); v=+1 es sei p x die kleiste positive Zahl, für welche +Pi 2J a v > 0. v=+1 Da bezeiche ich mit t die kleiste der Zahle +p v=+1 We t j, setze ich we t > j, defiiere ich cc k überhaupt icht. Nu führe ich och eie Kostate ß k ei. gaze positive p, für welche +p (18) k< JJ Oy < 2k; v=«+1 Ich betrachte alle etweder gibt es kei solches p b ); da defiiereich ß^ überhaupt icht. Offebar ist V<ß< + oo. ö ) Das ka, wege k> 1, a -> 0, ur für edlich viele der Fall sei. Mathematische Zeitschrift. XXIV.

9 722 V. Jarik.ÜberbedigtkovergeteReihe. Oder es gibt midestes ei solches p (ud da otwedig ur edlich viele). Da betrachte ich de Quotiete +v CL V +v 2J ch v +x für alle p, die (18) erfülle; de größte Wert dieses Quotiete setze ich gleich ß k.«) Ich behaupte och: We für ei Wertepaar k, die Größe a k, ß k beide defiiert sid, so ist ß K >l. De, we cc K defiiert ist, so ist die erste vo Null verschiedee Zahl der Folge a +1» a + 2' ' +p egativ; also trete i jeder Summe a v, für welche (18) gilt, sowohl v=-kl egative wie positive Glieder auf, also ist ß k >l. Also hat folgede Defiitio eie Si: We für ei Wertepaar lc y sowohl als M defiiert sid, so sei 2 CCK. sost sei Edlich sei Da lautet der ^,» = 0.? k - lim sup 7k, y = lim sup y k. oo h oo Satz 6. Es sei a > 0. We y = + oo, so läßt sich (6) zu keier adere Summe als zu Null umorde. We y edlich, so läßt sich (6) zu keier positive Summe umorde, die kleier als y ist. Ehe ich zu de Beweise dieser Sätze übergehe, werde ich zeige, daß Satz 5 aus Satz 6 folgt. Dazu geügt es, zweierlei zu zeige: 1. We cc = + oo, so ist auch ß = + oo. 2. We ß = l, so ist y=-\-oc; we ß edlich, ß>l, so ist 2 cc y ^ JZT\ ( a ll es uter der Voraussetzug cc > 0). Beweis vo 1. Es geügt folgedes zu zeige: Es sei a=+oo; da gibt es zu jedem R > 0, zu jedem 1c > 1 ud zu jedem gaze 0 > 0 ei > 0 ud ei p > 0 (, p gaz), so daß +v 6 ) Offebar ist 1 < ß k < ß*. r=+1 a, v= + l

10 De daraus folgt ß >R, Über bedigt kovergete Reihe. 723 also ß k = lim sup ßl > R = oo für jedes jß > 0 ud jedes k> 1. Also ist ß k = + oo für alle k> 1, also ß = + oo. Es sei also ei R > 0, ei k > 1 ud ei gazes 0 > 0 gegebe. Es sei x so gewählt, daß a < 1 für alle > x. Wege a = + oo ka ich ei > Max (?i 0, ud ei > 0 so fide, daß +p! r=+l Es sei p die kleiste positive gaze Zahl, für welche gilt +p 1»+p JE a v >k y v=+l +p V>Vi' Da ist 27 a v ^ fc, also 27 * < & + 1; weiter ist aber v=+l r=+l +p +pj JS7 \a y \^ - av>-b(ä + l), v=»+l v=+i also +p 2 +p 2 a v v = + l w. z. b. w. Beweis vo 2. Es geügt, folgedes zu zeige: Es sei cc > 0, ß edlich; es sei eie Zahl e gegebe, 0 < < 1, * <\- Da gibt es eie Zahl k 0 > 1 mit folgeder Eigeschaft: We ei k> k 0 ud ei gazes 0 > 0 gegebe sid, so läßt sich eie gaze Zahl ' > 0 so fide, daß De daraus folgt ß k,'~ 1> ß + ' 2s ~ V 2 (a-s) v \ 2(a-e) yjc.' > /fel' y* = limaup ^ J^zi für alle k > also r. 2 («-«) ud daraus, für e y = -j-oo, falls /? = 1. 46*

11 724 V. Jarik.ÜberbedigtkovergeteReihe. Es sei also ei mit 0 < e < 1, e < gegebe; ich setze k ± = ^ ud wähle ei > 1 so, daß < ß + e für k>\; da setze ioh k 0 = Max ) Nu sei ei k>k 0 ud ei?i 0 > 0 gegebe; ich wähle ei ti x so, daß erstes 1 > 0, zweites & + «für alle w>?i 15 drittes a < 1 für > 1. Da gibt es ei > ^ mit a % > a e; d. h. es gibt eie gaze Zahl p > 0, so daß Ich betrachte alle Zahle firt+p 2 a v < cc +. v= 2 +l *+P' 2 a v mit p'= 0, 1, p 1; es sei J^ die größte uter ihe; diese Zahl ist icht egativ (weil v=*+1 \ 2J Oy = 0 ud keie der Zahle J} a v mit q= q + 1, g + 2,..., p v=«,+l / v=«2 +$+l / j+j' 2 +tf \ ist positiv (sost wäre > 2 h edlich ist 2J dy ^ a v < a + e. Wege a «> e > ~ ist also a ht%+q defiiert ud größer als a e. Weil [a <l für > so ist auch ßjc, «+q defiiert, ud zwar ist ^ ß*, 2 +q < ßk + ^ < ß + 2«. Daher ist (mit = + g) a ky r a Jc,*+ Q > w. z. b. w. Nach dem ebe Gesagte geügt es also, die Sätze 4 ud 6 zu beweise. Beweis des Satzes 4. Der Beweis ist vollkomme aalog dem übliche Beweise des Riema sehe Satzes. Nach Satz 3 geügt es, de Beweis für positive s zu führe. Es sei x die kleiste Zahl, für welche a v > s ist; es sei die y=l kleiste Zahl, für welche 2 a v 2 a v < s ist; da sei. 2 die kleiste V=1 v= 1 W 2»1 Zahl, die größer als x ist, ud für welche 2 a v 2J a v > s ist; da sei

12 Uber bedigt kovergete Reihe. 725 w* * die kleiste Zahl, die größer als [ ist, ud für welche < s V = 1 V=1 ist. So fahre ich fort ud bekomme eie Umordug der Reihe (6) (19) a x + a a i a 1... a [ + a j a z a ' l+1... a^ Nach der Wahl der Zahle k, ' k ist wege a -+ 0 klar, daß 2 (20) k Ua v Ua v -+ V 1 V=1 k (21) bei lc oo. 27 a v V = 1 k + i 4 - H a. - * Jede Partialsumme vo (19) hat etweder die Form V=1 k + i m' wo k ^m' <L k+li oder die Form y = l v= 1 wo h <m (22) (23) (24) (25) Es ist aber k + x 27 a y r=l k * V=1 V=1 m m 2 a v r=l m r 2 <*>y V 1 = r=l 27 * m ' 2 <*>v V 1 = r=l 27 * k 2 <*>v v=1 27* V = 1 = 27* r = l k = 27 * r-l m J V=1 V=1 k m ' k k + x 27 * ~ 2 ü v ^ 2 Oy -: a» + «l, V=1 V=1 V=1 r= +l k + l k+1 *-Hl 27 * + 27 ^ 2 * r=l i'=w/ + l v=l 2 w jfc k + 1 a v~ 2 * ^ 27 * v=l v=m+l v=l a v ^ > 2 v 1 v=^.+l v=l 4 k + l 2 Ov V = 1 / 27 * + %, V 1 f k 27 * «^ r=l Aus (22), (23), (24), (25) folgt aber wege (20), (21) ud wege lim a = 0, daß (19) kovergiert, ud zwar zur. Summe s, w. z. b. w. = ao Dem Beweise des Satzes 6 schicke ich folgede Hilfssatz voraus: Hilfssatz. Voraussetzug: Es sei eie Umordug der Reihe (i bezug auf (7), (8)) vorgelegt, die zu eier positive Summe a kovergiert. Es sei (p() die A - Fuktio, welche agibt, wie viele Glieder a v der Folge (1) vor dem Glied a der Folge (8) i dieser Aordug stehe*

13 726 Jarik. Behauptug: Es gibt ei *, so daß für jedes > * ( gaz) gil <p() >. Beweis. Nach der Defiitio vo <p() läßt sich eie Zahl ± sc fide, daß für alle gaze 9 m mit > 19 <p() <im <^cp( +1) gilt m also isbesodere J>Jav 2 a * ~~ a < f 5 V=1 v 1 <p() (26) V 1 v 1 für alle > x. Wir wähle da eie Zahl A > 0 so, daß A> J>] a y für alle ^ x ; da gibt es ^wege * + eie gaze Zahl *> 19 so daß V=1 aber v=l a v < A für alle <*. Wege * > ± ist ach (26) V 1 tp (*) * 2J a v > 2 Ov^A, also cp (?i*) > *. Bs sei u > *, ud es sei v 1 r=l per absurdum 99 (w) 71. Es sei ' die erste der Zahle * 3 * + 1,.? w, für welche ^a > *> a l so ach der Defiitio vo f ist also cp(' 1) > r 1. Weil cp() icht abimmt, ist also also <p(') = \ also was mit (26) im Widerspruch steht. '^cp (') ^ cp (' - 1) > ' - 1, qo (') ' J2 a v 2 <*>v = 0, Beweis des Satzes 6. UmSatz 6 zu beweise, geügt es, folgedes zu zeige: We eie Umordug der Reihe (6) vorliegt, die zu eier positive Summe a kovergiert, so gilt folgedes: * Zu jeder Zahl e mit 0 < e < läßt sich eie Zahl Jc 0 = k 0 {e) > 1 lide mit folgeder Eigeschaft: Zu jedem k>k 0 gibt es eie Zahl 0 = 0 (k, e), so daß für jedes ;aze > 0 gilt

14 Daraus folgt ämlich für jedes k> k Q, also Uber bedigt kovergete Reihe. 727 a ^ (1-2b) lim sup y k e = (1 - Kl oo * 2e) y k - e 2e) lim sup y k e = (1 2e) y 6, k oo also etweder ei Widerspruch, we y = + oo, oder (durch 0) a y, we 7 edlich. Das sid aber geau die Behauptuge des Satzes 6. Bs sei also eie TJmordug vo (6) vorgelegt, die gege eie positive Zahl a kovergiert; <p() sei die -Fuktio, die agibt, wie viele a v i dieser Umordug vor a stehe. Da gibt es ach dem ebe bewiesee Hilfssatz ei *, so daß <p{) > für > *. Es sei weiter eie Zahl e gegebe; 0< <. Ich wähle zuächst eie Zahl k Q > 1, so daß es für jedes k> k Q eie gaze Zahl r > 1 gibt, für welche (27) k<\ar<\ar<2k gilt 7 )- Es sei u ei k> k 0 gegebe; ich ehme eie gaze Zahl r = r (fe) > 1, die (27) erfüllt, ud halte sie im Verlauf des Beweises fest. Da wähle ich eie Zahl S = d (k, e) > 0, so daß (28) <5 < a, krd<e. Nu wähle ich eie Zahl 0 = 0 (k, e), so daß für jedes gaze > 0 93 ()» (29) <p()>, <d. r=l v 1 Ich behaupte u: für jedes gaze > 0 ist (30) a^(l-2 e)y K -e. Beweis: a) Etweder ist y K =0; da ist (30) trivial, b) Oder sid die beide Zahle cc k, ß K defiiert, also y K -~ Da ist (ach der Defiitio vo a k ) erstes (31) "K^ZT Strecke gilt: 7 ) Eie solche Zahl k 0 gibt es, da die Bedigug besagt: Auf der. offee 3 a 5 a soll es midestes eie gaze Zahl r> 1 gebe; das ist sicher erfüllt, we > 1, - > 1; also ka ich sogar uabhägig vo e 3 a \5 0/ a z. B. setze h 0 = Max ^ a, 2).

15 728 V. Jarik. Zweites gibt es eie gaze Zahl ' > w, so daß ' (32) 2 CL V CCjc, v=+1 ud (33) Ich setze u 27 a v <>0 für m =,+l, v=+\ x =, tt 3 = ^(wj, ti 3 =. r + 1 = = 2 = <p{l), i=(p{i) 9 j =9?( r '_i). Wege?i' > rc 0, > 0 ist ach (29) { = % < <... < r <, (84) ' = l < 712 < < ttr'-l < ' r ud (35) (36) Isbesodere ist also 27 * 27 * «r=l v=l f / t + l t <d (^=1,2,..., r), 27 a>r 2] a v a <6 (»=1,2,...,r-l.) v-l V=1 «a j 27 * 27 «v 27 * > a i > o y=l v=l v= : +1 (ach (28)), woraus wege (33) folgt tti < 2. Wege der Mootoie der Fuktio <p() ud wege (34) folgt daraus Ki < = 3 ^ ' ^ r+1- Aus (35) folgt für i = 2, 3,..., r + 1 tii (37) (a - d) (» - 1) < 27 a, < (a + d) (t - 1) v= 1 +1 ud aus (36) für i = 2, 3,..., r % t (38) (a-(5)(i-l)< 27 a y <(a + d)(i- 1). Daraus folgt erstes für i = 1, 2,..., r: 27 * = 27 * 27 «v + 27 * = (39) ^ (o + d) (i - 1) - (o - d) (i - 1) - «fc> = 2 <5 ( - 1) -,.

16 (für i= 1 ist (39) trivial wege (32)), also Uber bedigt kovergete Reihe (40) i «r ^«*,-2<(»-l); ud zweites für i = 1, 2,..., r i + l i + 1 'i 2 a v = J2 a - 2 a v^a-d + a k -2d(i-l) (ach (35) ud (39)), also (41) i; a ^a + ^w-(5(2;-l). Nach (40), (41) ist»r+l f v t (42) 2J \a v \^ra + 2rcc l% -2d JJ(i- l)-<5 2J(2t- 1) = ra + 2rcc kt -r(2r l) d. Adererseits gibt (37), auf i r + l agewadt, r+1 (43) (a-8)r< 2 a v <{a + 8)r. *=x+1 Wege (28) ist d < \ (weil k > 1, r ^ 2, 6 < ), also ist ach (27) Also muß gelte k<^ar< a v <^ar< 2k. v=m+i r+1 27 «v=m+i / f> v=3 +1 Nach (42), (43) ist also um so mehr ^ a+2cc A, -(2r-l)ö also also ( 44 ) a > a > A..-1 " V Nach (81) ist also wege (28) rd<^ ea k.

17 730 V. Jarik.ÜberbedigtkovergeteReihe. Adererseits ist aber für ß 7e > 2: d ^ ^ j < 2 d < e ; für K ß K ^ 2 ist aber 5 < ^Är <, jedefalls ist also (5 < e +, ßk, 1 Pk, 1 Pk, 1 Pk. 1 woraus ach (44) folgt, w. z. b. w. Ich will och zeige, daß die Schrake j ^ 2 a im Satz 5 ud die Schrake y im Satz 6 im Falle y > 0 die wahre Schrake" sid 8 ). Das wird durch folgede zwei Sätze geleistet: Satz 7. Es seie a 0, ß Q zwei edliche Zahle, ec 0 > 0, ß 0 > 1. Da läßt sich eie Folge a t, a 3, a 3,... mit (45) Jav-^ + oo r=l ud mit cc = cc 0, ß = ß 0 kostruiere, so daß sich die Reihe (6) i bezug 2 a auf (7), (8) zwr Summe j-^tl umorde läßt. Satz 8. 13s sei eie edliche Zahl, / 0 > 0, da ZäyS^ sica eie.fotye a x, a 3, a 3,... mi* (45) 0, + oo wd mit y = y 0 kostruiere, «so daß sich die Reihe (6) i ftezw^ auf (7), (8) zw Summe y 0 umorde läßt. Der Satz 8 folgt aus dem Satz 7. De es sei 0 < y 0 < + oo, 2 * ud es sei ß 0 durch die Gleichug y 0 = bestimmt (also l < ß 0 < +oo). Po l Nach Satz 7 gibt es eie Folge a 19 a 3, a 8,..für welche (45) gilt, mit a = 1, ß = ß 0, so daß sich die Reihe a ± a ± -f- a 2 a zum Wert 2 a T = Yo umorde läßt. Po ~~ A Nach dem, was gesagt wurde, als wir de Satz 5 aus dem Satz 6 2 gefolgert habe, ist für diese Folge otwedig y ^ == y 0. Weil sich t Po ^ aber usere Reihe ach Satz 6 zu keiem kleiere Wert als zu y umorde läßt, so muß y = y 0 sei; damit ist also Satz 8 aus Satz 7 abgeleitet. 8 ) Auch im FaU y = 0 ka ma gewissermaße sage, daß Satz 6 die wahre Schrake liefert; de ach Satz 4 gibt es Reihe (6), die sioh zu jeder reelle Summe umorde lasse; für solche Reihe muß aber ach Satz 6 y = 0 sei (ma ka sich auch leicht direkt überzeuge, daß aus a= 0 folgt y = 0).

18 Uber bedigt kovergete Reihe. 731 Beweis des Satzes 7. Ich setze a x, a 2, a 8,... diese Folge: da wähle ich für a i= S o'> = = = = «7 = «8 = O» = «10 = ~t ' «11 = «19 = «18 = «14 = - - J 5 usw. Allgemei sei für jedes gaze m ^ 0: a 2 m+1 -i = = = «2 m+i + 2m_ 2 = J a 2 m OT -l ==a 2 W OT = ' " ==a 2 m+2 ~2 == ~ ' Es komme also immer acheiader 2 m Glieder st da 2 m Glieder 2 m a ^. Es ist a 0;.wege d 0 > a 0 ist offebar Jg a * * + 00 a = lim sup cc = cc 0 ; weiter sieht ma fast umittelbar, daß ß = 0 0 = ß 0 ist; edlich läßt sich aber die Reihe a 1 + a 2 a zur Summe ö 0 a 0 umorde. Ma ehme ämlich zuerst die beide Elemete <5 0, a 0 der Folge (7) a 19 a 3,...; da immer zwei Elemete der Folge (7) ud ach ihe ei Elemet der Folge (8) a a, a 3,...; dadurch bekommt ma folgede TJmordug: ö o 0 2 ^ ^ 0 ' 4 ' 4 2, d <*o "0 «0 "0 ttp "o I ^~2 4 4 _ r 2 * *'' ud es ist klar, daß diese Reihe gege <5 0 cc 0 kovergiert. Es ist aber cc< _ 2 (Xq -jj, womit der Satz 7 bewiese ist. Schlußbemerkuge. I. Die Utersuchuge des 1 häge gar icht davo ab, daß (4a) +00 v 1 vorausgesetzt wurde. Daher ka diese Bedigug ohe weiteres fortgelasse werde, ud die Sätze 1, 2, 3 bleibe richtig. Eie umittelbare Folge dieser Bemerkug ist folgeder

19 732 V. Jarik. Über bedigt kovergete Reihe. Satz 9. Es sei (46) + ^ + = * eie bedigt kovergete Reihe mit reelle Glieder; (47) a 1,a 2,a z,... (48) b x, b,, seie zwei Teilfolge der Folge c x, c 2, c 3,..., die alle am Afag des 1 ausgesprochee Bediguge geüge, bis auf die Bedigug (4a); im Gegeteil, es soll jetzt zwei edliche Zahle (A, B) gebe, so daß für alle gaze ^> 1 ist (49) A< a v <B. V=1 Behauptug. Die Reihe (46) läßt sich i bezug auf (47), (48) zu keier adere Summe als zu s umforme. Beweis. Ohe Beschräkug der Allgemeiheit sei 5 = 0. Wege (46) ud (49) gibt es zwei Zahle C y D, so daß für alle gaze ^l G < V=1 2b v <D. Also liege bei jeder Umordug vo (46) i bezug auf (47), (48) alle Partialsumme zwische A + C ud B + D. Also gilt für alle Zahle s', zu welche sich (46) i bezug auf (47), (48) umorde läßt, (50) A+C s' ^B + D. Die Zahle s' bilde aber ach Satz 3 eie Modul, der also ach (50) aus der eizige Zahl Null besteht, w. z. b. w. II. Edlich ist klar, daß auch die Realität der Glieder der betrachtete Reihe bei de Utersuchuge des 1 keie Rolle spielt. (Eigegage am )