Aplikace matematiky. Andrej Kyselovič Bemerkungen zu Gomorys Algorithmus. Terms of use: Aplikace matematiky, Vol. 16 (1971), No.

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1 Aplikace matematiky Adrej Kyselovič Bemerkuge zu Gomorys Algorithmus Aplikace matematiky, Vol. 16 (1971), No. 3, Persistet URL: Terms of use: Istitute of Mathematics AS CR, 1971 Istitute of Mathematics of the Academy of Scieces of the Czech Republic provides access to digitized documets strictly for persoal use. Each copy of ay part of this documet must cotai these Terms of use. This paper has bee digitized, optimized for electroic delivery ad stamped with digital sigature withi the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 SVAZEK 16 (1971) APLIKACE MATEM ATI KY ČÍSLO 3 BEMERKUNGEN ZU GOMORYS ALGORITHMUS ANDREJ KYSELOVIC (Eigegage am 22. April 1970) Es sei die folgede Aufgabe der Liearprogrammierug gegebe: Bestimme ma de Maximalwert der Liearform (1) Z = Ci*i i= 1 bei de Bediguge (2) aijxi ^ b j9 j = 1, 2,..., m, i= i wobei c f, a tj -, bj reelle Zahle sid. *i ^ 0, i = 1,2,...,, Defiitio 1. Der Vektor X = (x u x l9..., x ) ist geau da eie Lösug der Aufgabe der Liearprogrammierug 9 we 1. die Kompoete x i9 i 1,..., gaze Zahle sid, 2. die Bediguge (2) erfüllt sid, gazzahlige 3. für jede adere Vektor X' = (x u x' 2,..., x' ), welcher de Bediguge (2) ud dem Pukt 1. dieser Defiitio geügt, ist i = 1 t = 1 Die Weise, auf welche ma eie gazzahlige Lösug der Aufgabe der Liearprogrammierug fide ka, bestimmte Gomory i [l] ud diese wird Gomorys' Algorithmus geat. Defiitio 2. Es seie d u...,d r vo eiader verschiedee positive ratioale Zahle. De Vektor X = (x u..., x ) ee wir gazvielfache Lösug der Aufgabe der Liearprogrammierug zum Vektor (d u..., d ), we 1. die Kompoete x h i = 1,..., durch dj, j = 1,..., r teilbar sid, 164

3 2. die Kompoete x h i = 1,..., geüge de Bediguge (2), 3. für jede adere Vektor X' == (xi, x 2 > - **)> welcher de Bediguge (2) ud dem Pukt 1. vo dieser Defiitio geügt, gilt (3) I c^ = X ex,. i=i i = i Bemerkug 1. We r = 1 ud Jj = 1 ist, da ist X = (x u..., x ) eie gazzahlige Lösug der Aufgabe. Satz 1. Fs seie d x, d 2, vo eiader verschiedee positive gaze Zahle ud sei k dere kleistes gemeisames Vielfaches. Setze ma i die Aufgabe der Liearprogrammierug x t = ky t, i = \,..., ei, d. h. die Liearform (4) z = kic#, i=l soll uter de Bediguge (5) X></.v..Ž^, J-U Í = I k ihr Maximum erreiche. y t = 0,, m i = 1,2,..., Da gilt: Dazu, dass die Aufgabe der Liearprogrammierug (l), (2) eie gazvielfache Lösug zum Vektor d x,...,d r hat, ist otwedig ud hireiched, dass die Aufgabe der Liearprogrammierug (4), (5) eie gazzahlige Lösug hat. Für die gazvielfache Lösug gilt (6) x t = ky t, i = \, 2,...,. Beweis, a) Die hireichede Bedigug. Die Aufgabe (4), (5) besitze eie gazzahlige Lösug. Es ist zu beweise, dass durch diese Lösug eie gazvielfache Lösug zum Vektor d x, bestimmt ist. Sei yi,...,y eie gazzahlige Lösug vo (4), (5). Da ist ky x,...,ky eie gazvieifache Lösug, achdem ach der Defiitio 2 folgedes gilt: \. ky h i = \,..., ist durch d x,d 2,...,d r teilbar, achdem k das kleiste gemeisame Vielfache vo d u d 2, ist ud y b i = \,..., sid ichtegative gaze Zahle. 2. We die Beziehuge (5) durch k multipliziert werde, ergibt sich YatjkyiSbj, j=l,... 9 m, ky t ^ 0, / = 1,..., i = i d. h. die Lösug ky u, ky geügt de Beziehuge (2). 165

4 is1i eie 3. Der Vektor y l9 y 2,..., y gazzahlige Lösug vo (4), (5) ud darum ist die Liearform (4) i der Mege aiier gaze Lösuge der Ugleichug (5) maximal. Setze wir voraus, dass i der Mege der gaz vielfache Lösuge ky 1?......, ky die Liearform (1) icht maximaiisiert, d. h. die gazvieifache Lösug ist x[,..., x'. Nach der Eigeschaft der gazvieifache Lösug gilt (7) Z Cix] > Z c i k yi i = 1 i = 1 Ferer muss x], i = 1,..., durch d {,...,d r ud also auch durch dere kleistes gemeisames Vielfaches k teilbar sei. Darum sid x]\k = y], i = 1,..., H ichtegative gaze Zahle d. h. x- = ky^-, y- _ 0, i = 1,..., sid gaze ichtegative Zahle, welche de Bediguge (5) geüge. Vo der Beziehug (7) ergibt sich Z c i k yi < Z c i x 'i = k i = 1 i = 1 / = 1 Z c iyl: Dieses ist ei Widerspruch, achdem y l9..., y eie gazzahlige Lösug der Aufgabe (4), (5) ist. b) Die otwedige Bedigug. Die Aufgabe der Liearprogrammierug (l), (2) besitze eie gazvielfache Lösug zum Vektor d l9. Es wird gezeigt, dass die Aufgabe (4), (5) eie gazzahiige Lösug ach der Beziehug (6) hat. Sei x x,...,x eie gazvielfache Lösug der Aufgabe (1), (2). Die gazzahlige Lösug vo (4), (5) ist da die Lösug x x \k,..., x \k, wobei k das kleiste gemeisame Vielfache der positive gaze Zahle d,, ist. Nach der Defiitio 1 ist: 1. x l \k,..., x /k sid ichtegative gaze Zahle; we jedes x i9 i = 1,..., durch d l9,.., d r, der Defiitio 2 ach, teilbar ist, da ist es auch durch k teilbar. 2. Der Beweis ist offebar, we ma beide Beziehuge (2) mit dem kleiste gemeisame Vielfache k teilt. 3. Der Beweis ist so wie bei der hireichede Bedigug ersichtlich. Satz 2. We i de Voraussetzuge des Satzes l k icht das kleiste gemeisame Vielfache vo d x, ist, da muss die Lösug (6) icht eie Lösug der Aufgabe der Liear Programmierug (1), (2) sei. Beweis. Die Lösug (6) erfüllt die Bediguge (2). Beim Beweis der otwedige Bedigug im Satz 1 müsse die Kompoete x x \k,...,x \k ichtegative gaze Zahle sei; dieses muss bei gegebeem k icht immer der Fall sei. Satz 3. Es seie d {,...,d r vo eiader verschiedee positive Ratioalzahle, di = Pi/qr qi > 0, p-, q. gaz, i = 1,..., r. Erweitere ma diese Brüche so, dass dere Neer q das kleiste gemeisame Vielfache der Zahle q A,..., q r ist. Bezeiche ma da d { = p]\q 9 i = 1,..., r. Es sei k das kleiste gemeisame Vielfalt

5 che der Zahle p\,..., p' r. Für diese d u ud so gegebees k gilt die des Satzes 1. Behauptug Beweis. Der Beweis folgt vom vorgehede Satz. Nach diesem ud mit Rücksicht auf usere Voraussetzuge gilt: Notwedig ud hireiched dazu, dass die Aufgabe (1), (2) eie zum Vektor p\,..., p r gazvielfache Lösug x t, i = \,..., hat ist, dass die Aufgabe (4), (5) eie gazzahlige Lösug y t hat, wobei x t = ky h i = \, 2,..., ist. Also we eie gazvielfache Lösug der Aufgabe der Liearprogrammierug (1), (2) zum Vektor (p\,..., p' r ) existiert d. h. der Ausdruck xjp], i = \,...,, j = = \,...,r ist eie ichtegative gaze Zahl, da ist offebar auch Xi.qjpj = = Xijdj, i = 1,...,, j = 1,..., r ichtegativ ud gaz. Nachdem weiter die Bediguge 2. ud 3. vo der Defiitio 2 auch i Bezug zu d {, i = \,..., r erfüllt sid, ist x u..., x eie gazvielfache Lösug zum Vektor (d u ). Bemerkug 2. Das Bedürfis der Bestimmug eier gazvielfache Lösug der Aufgabe der Liearprogrammierug ist bei der Lösug der folgede Aufgabe etstade: Gegebe seie Blechwickel mit de Gewichte d u ud der Breite a. Ma soll vo diese Wickel durch paralelle Schitte Bäde der Breite a t mit dem Gesamtgewicht b h i = 1,..., so scheide, dass beim Scheide der Abfall miimal ist ud dass ma beim Scheide beliebige gaze Blechwickel mit vorgegebee Gewichte d u beütze ka. Literatur [1] R. T. Gomory; AU-iteger programmig algorithm, Idustrial Schedulig. Súhr POZNÁMKA KE GOMORYHO ALGORITMU ANDREJ KYSELOVIČ Čláok pojedává o celoásobom riešeí úlohy lieáreho programovaia za předpokladu, že existuje celočíselé riešeie odvodeej úlohy. Udává utú i postačujúcu podmieku existecie celoásobého rieseia. Aschrift des Verfassers RNDr: Adrej Kyselovič, Ul. Slobody 10, Košice. 167