Lambacher Schweizer. Mathematik für Gymnasien. Länderübergreifende Abiturprüfungen

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1 Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien Länderübergreifende Abiturprüfungen

2 Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien Länderübergreifende Abiturprüfungen erarbeitet von Jürgen Frink Detlef Hoche Matthias Janssen Arne Jessen Klaus-Peter Jungmann Karen Kaps Michael Kölle Peter Neumann Heike Spielmans Ernst Klett Verlag Stuttgart Leipzig

3 Analysis Basisfertigkeiten Steigung von Funktionsgraphen Steigung des Graphen einer Funktion f an der Stelle x 0 Gemeint ist die Steigung m der Tangente: m = f (x 0 ). Schritt: f (x) ermitteln. Schritt: x 0 einsetzen, also m = f (x 0 ) berechnen An welchen Stellen x 0 hat der Graph von f die Steigung m? Gegeben: m = f (x 0 ). Schritt: f (x) ermitteln. Schritt: m = f (x 0 ) ansetzen und nach x 0 auflösen Monotonie. Schritt: f (x) ermitteln. Schritt: Bedingung f (x 0 ) > 0 nach x 0 auflösen, um das Intervall zu erhalten, in dem der Graph von f streng monoton wächst.. Schritt: Monotonie im gesamten Definitionsbereich von f angeben f (x) = x ; x 0 = f (x) = x m = f () = = 6 f (x) = x + x; m = f (x) = x + = f (x 0 ) = x 0 + x 0 = f (x) = x f (x) = x { > 0, wenn x > 0 < 0, wenn x < 0 streng monoton fallend (, 0] streng monoton wachsend [0, ) Tangente und Normale Gleichung der Tangente an den Graph von f im Punkt P (x 0 f (x0 )). Schritt: f (x) ermitteln, x 0 für x einsetzen f (x 0 ) = m t. Schritt: y 0 = f (x 0 ) berechnen. Schritt: Tangente mit errechnetem Anstieg ansetzen y = m t x + n geht durch (x 0 y 0 ) w n =. Schritt: Tangentengleichung angeben oder alternativ zur Schrittfolge die allgemeine Tangentengleichung y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) verwenden Gleichung der Tangente von einem Punkt außerhalb des Graphen Gegeben: P (a b), f (x) Gesucht: Berührstelle x 0, Tangentengleichung. Schritt: m in Anhängigkeit von x 0 ermitteln w m = f (x 0 ). Schritt: x = a und y = b in die allgemeine Tangentengleichung y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) einsetzen, x 0 berechnen. Schritt: x 0 in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen Gleichung der Normalen Die Normale ist eine Gerade, die den Graphen der Funktion senkrecht schneidet.. Schritt: Die Steigung m n mit m n = mtaus der Steigung der Tangente m t berechnen.. Schritt: Die Koordinaten des Punktes P x 0 f (x 0 ) in y = m n x + n mit x = x 0 und y = f (x 0 ) einsetzen und nach n auflösen. Schritt: Normalengleichung in der Form y = m n x + n angeben. f (x) = x ; x 0 = f (x) = x; m = f () = 6 f () = 9 y = 6 x + n geht durch ( 9) 9 = 6 + n n = 9 Tangente t: y = 6 x 9 f (x) = 9 x ; P ( 0) m = f (x 0 ) = 9 x0 0 = 9 x0 ( x 0 ) + 9 x0 x 0 = y = 9 (x ) + 9 = x + f (x) = x x x 0 = f (x) = x m = f () = = y = x + n geht durch ( ) = + n n = Normale n: y = x Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

4 Analysis Basisfertigkeiten Zwei Funktionen Stelle x0mit gleicher Steigung der Graphen von f und g Es muss für diesen Wert x 0 gelten, dass die Steigung der beiden Graphen an dieser Stelle gleich groß ist.. Schritt: f (x 0 ) = g (x 0 ) ansetzen. Schritt: Gleichung nach x 0 auflösen f (x) = x ; g (x) = x Ansatz: 8 x 0 = x 0 mit der Lösung x 0 = Stelle x0 mit zueinander senkrechten Tangenten. Schritt: Ansatz f (x 0 ) = g (x0 ). Schritt: Gleichung nach x 0 auflösen f (x) = x x + ; g (x) = x Ansatz: x 0 = x0 mit den Lösungen x = und x = Die Graphen von f und g berühren sich bei x 0 (Es muss f (x 0 ) = g (x 0 ) und f (x 0 ) = g (x 0 ) gelten). Schritt: aus f (x 0 ) = g (x 0 ) Stellen x 0 mit gleicher Steigung ermitteln. Schritt: prüfen, ob an den Stellen x 0 die Gleichung f (x 0 ) = g (x 0 ) für gleiche Funktionswerte erfüllt ist. f (x) = x ; g (x) = 9 6 x f (x 0 ) = g (x 0 ) 8 x 0 = 9 8 x 0 x 0 6 = 9 x 0 = ± 9 8 f ± 9 8 = 8 = ; g ± 9 8 = = Die Funktionen f und g berühren sich an der Stellen und 9. Schnittpunkt und -winkel der Graphen zweier Funktionen. Schritt: Schnittstelle x S mit f (x S ) = g (x S ) berechnen. Schritt: y S = f (x S ) berechnen und Schnittpunkt S (x S y S ) angeben. Schritt: f (x) und g (x) berechnen: m = f (x S ); m = g (x S ). Schritt: mit tan (δ) = m m + m m den Winkel berechnen. f (x) = x ; g (x) = x x + Schnittstelle: x S = ; Schnittpunkt ( ) m = f () = ; m = g () = tan δ= + ( ) = δ = 5, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

5 Analysis Basisfertigkeiten Charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Schnitt mit der y-achse: f (0) berechnen; Schnittpunkt 0 f (0) Schnitt mit der x-achse:. Schritt: Ansatz f (x 0 ) = 0. Schritt: x 0 ermitteln Methoden: Auflösen nach x 0, Lösungsformel für quadratische Gleichungen, Substitution, Polynomdivision, Darstellung als Nullprodukt, um die Faktoren einzeln zu betrachten Lokale Extrempunkte. Schritt: aus f (x 0 ) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x 0 ermitteln. Schritt: f (x 0 ) 0 oder Vorzeichenwechsel der. Ableitung sind hinreichend für die Existenz einer lokalen Extremstelle.. Schritt: Funktionswert an der Stelle x 0 berechnen und Punkt angeben Wendepunkte. Schritt: Aus f (x 0 ) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x 0 ermitteln. Schritt: f (x 0 ) 0 oder Vorzeichenwechsel der. Ableitung sind hinreichend für die Existenz einer Wendestelle.. Schritt: Funktionswert an der Stelle x 0 berechnen und Punkt angeben Sattelpunkte Spezieller Wendepunkt, bei dem f keinen Monotoniewechsel hat.. Schritt: Aus f (x 0 ) = 0 mögliche Wendestellen ermitteln.. Schritt: Gilt bei x 0 auch: f (x 0 ) = 0 und ist x 0 Nullstelle von f ohne Vorzeichenwechsel, so ist x 0 f (x 0 ) Sattelpunkt. Funktionenscharen f (x) = (x ) (x + x + ) Umformung: f (x) = (x ) (x + ) Schnitt mit der y-achse: f (0)= ; P 0 (0 ) Schnitt mit der x-achse: f (x 0 ) = 0 x 0 = ; x 0 = P ( 0); P ( 0) f (x) = x x x + f (x) = x 6 x f (x) = 6 x 6 Mit Lösungsformel: x = ; x = f ( ) = 8 0; f () = 8 0 H ( ); T ( 77) f (x) = x x x + f (x) = x 6 x f (x) = 6 x 6 = 0; f (x) = 6 x 0 = f () = 6 0 f () = ; W ( ) f (x) = x x + Aus f (x 0 ) = 0 folgt x = 0 und x =. An der Stelle x 0 = 0 hat f einen Sattelpunkt, weil f (0) = 0; und f (x) = x 6 x = x ( x ) bei 0 eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat. Der Graph welcher der Funktionen f t geht durch P?. Schritt: Koordinaten von P für x und f t (x) einsetzen. Schritt: Variable t aus dieser Gleichung berechnen Für welchen Wert von t geht f t mit f t (x) = t (x x ) durch P ( )? Aus = t ( ( ) ) folgt t =. Für welche der Funktionen f t liegt der Tiefpunkt auf der Geraden g?. Schritt: Koordinaten von T (x 0 y 0 ) in Abhängigkeit von t ermitteln. Schritt: x 0 und y 0 für x und y in die Geradengleichung einsetzen. Schritt: aus dieser Gleichung die einzige Variable t berechnen Für welchen Wert von t liegt der Tiefpunkt T ( t t + ) auf der Geraden y = x? x 0 = t und y 0 = t + in die Geradengleichung einsetzen: t + = t, d. h. t t + = 0 hat die einzige Lösung t =. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

6 Analysis Basisfertigkeiten Der Graph welcher der Funktionen f t hat an der Stelle x 0 die gleiche Steigung wie die Gerade g?. Schritt: Steigung m der Geraden in m = f (x 0 ) einsetzen. Schritt: aus dieser Gleichung den Parameter berechnen Für welchen Wert von t ist die Tangente an den Graphen der Funktion f t mit f t (x) = t x x + im Punkt f t () parallel zur Geraden y = x? Die Gerade hat die Steigung. f t (x) = t x Also muss f t () = sein. f t () = t = t = 6 5 Ortslinie einer Funktionsschar Gesucht ist die Funktion, auf deren Graph alle Extrempunkte oder Wendepunkte liegen. (vgl. nebenstehende Grafik). Schritt: die Koordinaten von Extrempunkt bzw. Wendepunkt in Abhängigkeit von t berechnen x (t) y (t). Schritt: x (t) nach t auflösen und in y (t) einsetzen Ortslinie von T ( t 9 t ) x (t) = t; y (t) = 9 t t = x in y (t) einsetzen y = 9 x Für welchen Wert von t ist das Minimum von f t am größten?. Schritt: Ortslinie des Tiefpunktes berechnen. Schritt: Maximumstelle der Ortslinie x 0 berechnen. Schritt: aus x 0 = x (t) den Wert für t berechnen. Der Tiefpunkt einer Funktionsschar liegt bei (t t ). Für welchen Wert von t ist das Minimum am größten? Ortslinie: y = x y = x = 0 x 0 = 0 = t Minimum für t = 0 Für welchen Wert von t hat der Graph von f t zwei zueinander orthogonale Wendetangenten?. Schritt: Berechnen der beiden Wendestellen. Schritt: Berechnen der Steigung an diesen Stellen.. Schritt: Ansatz für zueinander senkrechte Geraden: m = m Für welchen Wert von t > 0 hat f t (x) = t x 6 t x zwei zueinander orthogonale Wendetangenten? f t (x) = t x t x; f t (x) = t x t = 0 x = ; x = m = f t ( ) = 8 t; m = 8 t Ansatz: 8 t = 8 t t = 8 (t > 0) Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f t gemeinsam?. Schritt: für t die Parameter r und s im Ansatz f r (x) = f s (x) verwenden.. Schritt: für r s die Schnittstellen errechnen.. Schritt: y-werte errechnen und gemeinsame Punkte angeben f t (x) = x + t x + (8 t ) x Ansatz f r (x) = f s (x), also x + r x + (8 r ) x = x + s x + (8 s ) x x = 0 Restgleichung: r x + (8 r ) = s x + (8 s ) (r s) x = 8 (r s) x = 8 gemeinsame Punkte: P (0 0) und P ( 8 50) Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

7 Analysis Basisfertigkeiten Integrale berechnen Berechnung von Integralen der Form : a b f (x) dx. Schritt: Eine Stammfunktion F von f bestimmen. Schritt: Das Integral hat den Wert F (b) F (a) Berechnung einer Integrationsgrenze bei gegebenem Integralwert. Schritt: Eine Stammfunktion F von f bestimmen. Schritt: Den Integralwert mit F (b) F (a) gleichsetzen 5 + : x dx = x b = 5,6 x 5 5 = 5 5 : 0 x dx = F (x) = 0 x ; F (b) F () = 0 b 0 = 5 0= ; b b = 0 Uneigentliche Integrale berechnen. Schritt: Eine Grenze durch den Parameter z ersetzen. Schritt: Integral in Abhängigkeit von z berechnen. Schritt: Für z eine Grenzbetrachtung durchführen 0 : z 0 : x dx = x dx z 0 x 5 = 0 z z 0 ( 0) = 0 0 z ; : x dx 0 für z Flächenberechnungen Berechnung des Inhalts der vom Graphen von f und der x-achse eingeschlossenen Fläche. Schritt: Schnittstellen mit der x-achse bestimmen. Schritt: Zwischen benachbarten Schnittstellen integrieren. Liegt die Fläche unterhalb der x-achse, so ist der Betrag des Integrals zu nehmen. f (x) = x 8 x + 5 x x 8 x + 5 x = 0 x (x 8 x + 5) = 0 x = 0 x = x = 5 : (x 8 x + 5 x) dx = x 8 x + 5 x = = 5 0 Der Flächeninhalt beträgt =. Berechnung des Inhalts der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche. Schritt: Schnittstellen mit Hilfe des Ansatzes f (x) = g (x) bestimmen. Schritt: A ist der Betrag des Integrals der Differenzfunktion f g zwischen den Schnittstellen. (Bei mehr als zwei Schnittstellen ist A die Summe dieser Beträge zwischen benachbarten Schnittstellen). f (x) = x + 7 g (x) = x + 6 x x + 7 = x + 6 x x + 7 x 0 = 0 x = x = 5 5 (x 7 x + 0) dx = x 7 5 x + 0 x 5 5 = : =,5 Der Flächeninhalt beträgt +,5. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

8 Analysis Basisfertigkeiten Rotationsvolumen Volumen eines rotationssymmetrischen Körpers berechnen Wenn die Fläche zwischen dem Graph von f und der x-achse über dem Intervall [ a; b ] um die x-achse rotiert, entsteht ein rotationssymmetrischer Körper mit dem Volumen V = π : a b (f (x)) dx Die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f (x) = 9 x und der x-achse rotiert im Intervall [ ;,5 ] um die x-achse.,5 9,5 x dx = π : (x ) dx = π,5 x x 5 V = π : 8 = π 8,5 5 = 9 8 π ( 9,) Wenn die Fläche zwischen den Graphen von f und g über dem Intervall [a; b] um die x-achse rotiert, entsteht ein rotationssymmetrischer Körper mit dem Volumen b b V = π : f (x) dx π : g (x) dx a a Rotiert die dargestellte Fläche um die x-achse, so entsteht ein Eier becher. Für dessen Materialvolumen gilt ( LE entspricht cm): 5 5 V = π : (0,5 x + ) dx π : 0, 9 x dx,96 0 Das Materialvolumen des Eierbechers beträgt ca. cm. Schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g im Intervall [ a; b ], ist die Summe der Inhalte der entsprechenden Teilkörper zu berechnen. Rekonstruieren einer Größe Integralfunktion Iazur unteren Grenze a bestimmen. Schritt: Stammfunktion F von f bestimmen. Schritt: I a (x) = F (x) F (a) berechnen f (x) = x x a = Stammfunktion: F (x) = x x Intergralfunktion: I (x) = x x (7 8) I (x) = x x 9 Gesamtänderung einer Größe berechnen b Ist f die Änderungsrate einer Größe, so ist F (b) F (a) = : f (x) dx a die Gesamtänderung der Größe F im Intervall [ a; b ]. Geschwindigkeit eines Fahrzeugs: v (t) = 0,6 t (v(t) in m s ; t in s): t Zurückgelegte Strecke in m: s (t) = : (0,6 x ) dx = [0, x t ] 0 = 0, t 0 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

9 Analytische Geometrie Basisfertigkeiten Punkte und Vektoren Einheitsvektor. Schritt: Betrag des Vektors berechnen. Schritt: den Vektor durch seinen Betrag dividieren Mittelpunkt einer Strecke. Schritt: Ortsvektoren der Randpunkte erstellen. Schritt: OM = OB+ OA Teilung einer Strecke im Verhältnis n : m. Schritt: Geradengleichung aufstellen. Schritt: Parameter mit dem Wert n : (m + n) einsetzen. Schritt: Teilpunkt berechnen Spurpunkte einer Ebene. Schritt: Koordinatengleichung der Ebene angeben. Schritt: Schnitt mit der x -Achse; x = 0 und x = 0. Schritt: analoge Punkte auf den beiden anderen Achsen berechnen Spurpunkte einer Geraden. Schritt: x in der Geradengleichung nacheinander x x 0 mit x ; 0 x ersetzen 0 x x. Schritt: jeweils den Parameterwert berechnen. Schritt: Spurpunkte angeben ; Schnittpunkt von Gerade und Ebene. Schritt: allgemeinen Geradenpunkt in die Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen. Schritt: Parameterwert berechnen. Schritt: Parameterwert in den allgemeinen Geradenpunkt einsetzen Berechnung des Lotfußpunktes von P auf der Ebene E. Schritt: eine Gerade g durch P senkrecht zu E bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E). Schritt: Schnittpunkt von g mit E ist der Fußpunkt a = a = = 9 9 = a0 = A ( 5 ); B ( 6) OM = + 5 = M ( ) 6 A ( 5 ); B ( 6) Verhältnis : x = 5 + t 8 OT= T (,5 ) =,5 E: 5 x = 0 x x + x = 5 x = 5; x = 5 ; x = 5, also (5 0 0); 5 0 Spurpunkt von x = 0 8 x = + t 0 x 0 = + 8 t t = 8 x = x = + t S x x (0,5) + t x = 8=,5 0, in der x x -Ebene E: x x + x = 7 g: x = 5 + t 8 G t ( t t + t) ( t) (5 + 8 t) + ( + t) = 7 0 t = 7 t = S (5 ) E: x + x 5 x = 77 P ( ) x = + t 5 ( + t) + ( + t) 5 ( 5 t) = 77 t = F (8 7 8) 5 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

10 Analytische Geometrie Basisfertigkeiten Lagebeziehungen Liegt der Punkt P auf der Geraden g?. Schritt: den Ortsvektor von P für x in g einsetzen. Schritt: prüfen, ob es genau eine Lösung für den Wert der bzw. des Parameters gibt Liegt der Punkt P in der Ebene E?. Schritt: Koordinatengleichung von E angeben. Schritt: die Koordinaten von P für x, x und x einsetzen und prüfen, ob eine wahre Aussage entsteht. Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln. Schritt: Spurpunkte in dieser Koordinatenebene ermitteln. Schritt: Geradengleichung aus diesen beiden Punkten aufstellen Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln. Schritt: Normalenvektoren auf Parallelität überprüfen (Wenn n = λ n, dann gibt es keine Schnittgerade.). Schritt: Koordinatengleichungen der Ebenen E und E als Gleichungssystem behandeln und willkürlich eine Variable als Parameter verwenden. Schritt: Lösung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt, der sich als Geradengleichung schreiben lässt. Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden. Schritt: Schnittpunkt der Geraden ermitteln. Schritt: Richtungsvektoren der Geraden normieren. Schritt: Summe und Differenz der normierten Vektoren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden. Schritt: (Probe) prüfen, ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind x = 5 + λ 8 P ( 6) λ = = 5 + λ 8 λ = 6 λ = P liegt nicht auf g. E: x + x + x = P ( ) + + = Der Punkt P liegt in der Ebene E. Spurgerade in der x x -Ebene von E mit E: x + x + x = Spurpunkte ( 0 0) und (0 0 ) Spurgerade: x = 0 + λ 0 0 E : x 5 x + x = 5 E : x + x + 0 x = 7 LGS: I x 5 x + x = 5 II x + x + 0 x = 7 I II: x 8 x = 56 Setze x = λ: x = λ :( ) x = λ in Gleichung II einsetzen: x + ( λ) + 0 λ = 7 x = 5 λ allgemeiner Geradenpunkt: 5 λ (5 λ λ λ) als Vektor λ λ also Schnittgerade: 5 x = 0 g : 6 x = 0 + λ ; g : x = 0 + μ 9 Schnittpunkt: (5 7) + = bzw. = 0 Winkelhalbierende Geraden W : 5 x = + λ und W : 5 x = + λ Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

11 Analytische Geometrie Basisfertigkeiten Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen. Schritt: einen gemeinsamen Punkt der Ebenen ermitteln. Schritt: Normalenvektoren der Ebenen normieren. Schritt: Summe und Differenz der normierten Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden Tipp: Prüfen Sie, ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind. Lassen sich die Richtungsvektoren einfacher ausdrücken? E : x x + x = 6 E : x + x x = x = 0 verwenden: x + x = 6 x x = Schnittpunkt: ( 0 0) = 9 bzw = 9 Winkelhalbierende Ebenen W : x + x = 9 und W : x x + x = Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q. Schritt: Berechnen des Vektors PQ. Schritt: P aus OP = OP + PQ ermitteln P ( 6 ); Q ( 0 ) PQ= 6 OP = = 6 P ( 6 6) Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E. Schritt: Gerade durch P senkrecht zu E ist g. Schritt: Schnittpunkt von g und E ist F. Schritt: P aus OP = OP + PF ermitteln P ( 5 8 ); E: x + x x = 5 g: 5 x = 8 + λ in E: ( 5 + λ) + ( 8 + λ) ( λ) = λ = 5 λ = F ( 0) 5 OP = OP + PF= = 7 0 P (7 0 ) Spiegelung eines Punktes an einer Geraden. Schritt: Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen. Schritt: Schnittpunkt von g und E ist F. Schritt: P aus OP = OP + PF ermitteln P ( 8 0) g: x = + λ 0 8 Ebene E: x + x = + 0 = 8, also x + x = 8 g in E einsetzen: ( + λ) + (8 + λ) = 8 λ = 0 F ( 8) OP = OP PF= = 6 P (0 6 6) 0 6 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

12 Analytische Geometrie Basisfertigkeiten Abstände Abstand zweier Punkte P und Q. Schritt: Vektor PQ= OQ OP bilden. Schritt: Abstand als Betrag des Vektors PQ berechnen. Abstand Punkt Gerade. Schritt: Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen. Schritt: Schnittpunkt von g und E ist F. Schritt: Abstand ist PF Abstand Punkt Ebene. Schritt: Gerade durch P senkrecht zu E ist g. Schritt: Schnittpunkt von g und E ist F. Schritt: Abstand ist PF oder:. Schritt: Ebene in Hesse scher Normalenform angeben. Schritt: Koordinaten von P in die Abstandsformel (aus der Formelsammlung) einsetzen Abstand windschiefer Geraden. Schritt: einen zu den beiden Richtungs vektoren senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln. Schritt: festen Punkt von g als festen Punkt von E verwenden. Schritt: Abstand des festen Punktes von g und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung) Abstand paralleler Geraden. Schritt: Ebene E senkrecht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g. Schritt: Durchstoßpunkt F der Geraden g mit der Ebene ermitteln. Schritt: Abstand PF berechnen P ( ); Q ( 0) 5 PQ= PQ = ( ) + ( ) = 9 50 = 5 9 P (9 8 5) g: x = 0 + λ E: x + x + x = 59 ( + λ) + λ + ( + λ) = 59 6 λ = 5 λ = F (9 7) PF = 9 0 P ( 6) E: x 5 x + x = g: x = + λ 5 6 ( + λ) 5 ( 5 λ) + (6 + λ) = 8 λ = 8 λ = F ( ) PF = 9 8 oder: E: x 0 5 = 0 5 d = = = = g : x = + t g : x = = E: 9 5 x = d = 9 0 = 9 = 0 g : 5 x = + λ g : x = Ebene durch ( ) senkrecht zu g : x + x + x = 8 (5 + λ ) + ( + λ ) + ( + λ ) = 8 6 λ = 6 λ = F ( 0 ) d = PF = s λ 8 6 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

13 Stochastik Basisfertigkeiten Analysieren gegebener Aufgaben Schlüsselbegriffe erkennen Beispiel Lösungsansätze Aussagenverknüpfung mit und Aussagenverknüpfung mit oder beim. Wurf eine 6 und beim. Wurf eine beim Würfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl A und B P (A) P (B) (wenn sich A und B nicht gegenseitig beeinflussen) A oder B P (A) + P (B) (wenn kein Ergebnis für A und für B gilt) Anzahl der Möglichkeiten dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell, Baumdiagramm Anzahl als Zufallsgröße mit genau, mindestens, höchstens, weniger als wird durchschnittlich erwartet Erwartungswert Faires Spiel getestet, Ablehnungsbereich, Irrtumswahrscheinlichkeit, Hypothese, Entscheidungsregel genau zwei Teile sind defekt von 0 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 00 mal Würfeln zu erwarten? Wie hoch muss der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist? ab welchem Ergebnis der Stichprobe muss man die Hypothese ablehnen? Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung, für Binomialverteilung E (X) = n p Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0 Hypothesentest Systematisierung der Fälle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Möglichkeiten Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

14 Stochastik Basisfertigkeiten Entscheidung für ein Modell Anzahl der Möglichkeiten: Urnenmodell Mehrstufiges Experiment Baumdiagramm Urnenmodell Bernoullikette (Binomialverteilung) Zu klären: Wofür stehen die Kugeln in der Urne? Sind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlich? Zieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander, mit oder ohne Zurücklegen?, wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist., wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht., wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezählt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge. Schritt: prüfen, ob jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Schritt: prüfen, ob die gezogene Kugel zurückgelegt werden muss.. Schritt: Berechnung der Anzahl aller Möglichkeiten, von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen. Schritt: Berechnung der Anzahl der günstigen Möglichkeiten, k Kugeln zu ziehen 5. Schritt: Quotient aus dem Ergebnissen des. Schritts und des. Schritts bilden Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge. Schritt: prüfen, ob jedes Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Schritt: prüfen, ob die gezogene Kugel zurückgelegt werden muss.. Schritt: Berechnung der Anzahl aller Möglichkeiten, von n unterschiedlichen Kugeln nacheinander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen. Schritt: Wahrscheinlichkeit für genau eine günstige Anordnung angeben Ein Skatspieler erhält nacheinander drei Karten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur Herzkarten? Urnenmodell ohne Zurücklegen, weil alle Karten unterschiedlich sind. Alle Möglichkeiten: Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit Kugeln. 0 = = 960 Günstige Möglichkeiten: Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln = = 56 P (A) = ,0 Aus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander Kugeln gezogen werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot? (Die Aufgabenstellung macht ein Zurücklegen erforderlich!) Anzahl der Möglichkeiten: = 6 Günstig ist nur eine Möglichkeit P (A) = 6 Alternative: Betrachtet man gleich die Wahrscheinlichkeiten, so ist P (A) = = 6 Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgröße Binomialverteilte Zufallsgrößen Einzelwahrscheinlichkeit. Schritt: prüfen, ob Binomialverteilung vorliegt. Schritt: Treffer geeignet definieren, Parameter n und p der Binomialverteilung festlegen. Schritt: die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathematischer Schreibweise ausdrücken. Schritt: Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR) Ein idealer Würfel wird fünfmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau dreimal eine Zahl größer fällt. X: Anzahl der geworfenen 5 oder 6 X ist binomialverteilt, weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = gilt. P (X = ) = B 5; / () 0,66 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

15 Stochastik Basisfertigkeiten Binomialverteilte Zufallsgrößen Intervallwahrscheinlichkeit. Schritt: prüfen, ob Binomialverteilung vorliegt. Schritt: Treffer geeignet definieren, Parameter n und p der Binomialverteilung festlegen. Schritt: die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathematischer Schreibweise ausdrücken. Schritt: Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR) Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell. Schritt: Wahrscheinlichkeiten für Erfolg und Misserfolg in den einzelnen Stufen des Baumdiagramms festlegen. Schritt: Anzahl der Pfade mit der gewünschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen. Schritt: Wahrscheinlichkeit längs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert. Schritt: alle möglichen Ergebnisse in eine Tabelle schreiben. Schritt: jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Schritt: prüfen, ob die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten den Wert hat. Schritt: der Erwartungswert E (X) ist die Summe der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten Faires Spiel. Schritt: Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen. Schritt: Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren. Schritt: die Spielbedingungen so festlegen, dass das Spiel fair ist, also E (G) = 0 ist oder das gewünschte Ergebnis zeigt Ein idealer Würfel wird zehnmal geworfen. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens drei Sechsen geworfen werden. X: Anzahl der geworfenen Sechsen X ist binomialverteilt, weil für jedes Ergebnis der n = 0 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 6 gilt. P (X º ) = P (X ª ) = F 0; /6 () 0,8 In einer Urne sind weiße und rote Kugeln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei fünfmaligem Ziehen mit Zurücklegen genau rote Kugeln zu ziehen. P (Ziehen einer roten Kugel) = 7 P (Ziehen einer weißen Kugel) = 7 5 Anzahl der Pfade mit genau roten Kugeln: = 0 P (genau rote Kugeln) = 0 0,7 7 7 = Wie viel Einsen erhält man durchschnittlich, wenn man einen idealen Würfel fünfmal wirft? Wahrscheinlichkeitsverteilung: x i 0 5 P (X = x i ) 0, 0,9 0,9 0,65 0,0 0,00 Erwartungswert: E (X) = 0 0, + 0,9 + 0,9 + 0,65 + 0, ,00 =,798,8 Es sind also durchschnittlich,8 Einsen zu erwarten. e = Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A Auszahlung an A 0 Gewinn g i 0 P (G = g i ) 0, 0, 0, 0, 0, E (X) = 0,, d. h. Spieler A verliert pro Spiel im Durchschnitt 0 ct. Damit das Spiel fair ist, wird der Einsatz verändert: Gewinn g i e ( e) ( e) ( e) ( e) P (G = g i ) 0, 0, 0, 0, 0, E (X) = 0 = 0, e + 0, ( e) + 0, ( e) + 0, ( e) + 0, ( e) = e +,7 = 0 fairer Einsatz,70 Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

16 Abiturähnliche Aufgaben Aufgaben ohne Hilfsmittel () Der Graph der Funktion f mit f (x) = x + 6 x 8 x + besitzt einen Wendepunkt. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt. [T] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9 x (x º 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 0), B (u 0), C (u f(u)) und D (0 f(u)) (u º 0). Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflächen zerlegt. (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen für u =. b) Zeigen Sie, dass das Verhältnis der Teilflächen unabhängig von u ist. [T] Ein Basketballspieler trainiert Freiwürfe. Erfahrungsgemäß trifft er bei 90 % seiner Würfe den Korb. [T] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Würfen den Korb zweimal? b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, sodass gilt: P (A) = 0,9 0 P (B) = 0 8 0,98 0, c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis C: Bei zwei Freiwürfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb. [T] Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g: 0 X = E: x x x =. (5 BE) a) Prüfen Sie, ob der Punkt P ( ) auf der Geraden g liegt. b) Zeigen Sie, dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist. [T5] + λ (λ * R) und c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E, der vom Punkt P ( ) den kleinsten Abstand hat. [T6] [T] Berechnen Sie zunächst die Koordinaten des Wendepunktes W x0 f (x 0 ) sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle, also f (x0 ), und anschließend die Gleichung der Tangente t: y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ). [T] Bestimmen Sie die Flächeninhalte der beiden Teilflächen in Abhängigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhältnis der Teilflächen. [T] Die Zufallsvariable Anzahl der Treffer ist binomialverteilt mit p = 0,9. [T] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis C. [T5] Vergleichen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E. [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E. Der Lotfußpunkt ist der gesuchte Punkt Q. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

17 Abiturähnliche Aufgaben Aufgaben ohne Hilfsmittel () Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x + x und g mit g (x) = x x. Zeigen Sie, dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden, und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an. [T] (5 BE) Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen. Einer dieser Funktionsgraphen gehört zur Funktion f mit f (x) = (x a) e x, a > 0. (5 BE) () () () () a) Begründen Sie, warum Abbildung () zur Funktion f gehört. [T] Bestimmen Sie den Wert von a. [T] b) Von den drei anderen Abbildungen gehört eine zur Ableitungsfunktion f und eine zur Integralfunktion J x mit J (x) = : f (t) dt. Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehörigen Abbildungen zu und begründen Sie 0 jeweils Ihre Entscheidung. [T] [T] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden, muss f (x0 ) = g (x 0 ) und f (x 0 ) g (x 0 [T] ) = gelten. Überlegen Sie, in welchem Bereich der Graph von f die y-achse schneidet. [T] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordinaten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein. [T] Der Graph von f hat bei x 0, einen Tiefpunkt. Überlegen Sie, was dies für den Graphen von f bedeutet. Überlegen Sie, an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw. eine Extremstelle hat. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

18 Abiturähnliche Aufgaben Aufgaben ohne Hilfsmittel () Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 0 und p = 0,. (5 BE) () () () () a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X? Begründen Sie Ihre Antwort. [T] b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise P ( ª X < 6) und P (X 5). Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E. g ist nicht parallel zu E. Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt. Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g. [T] (5 BE) [T] Überlegen Sie, welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die größte Eintrittswahrscheinlichkeit hat. [T] Um die Bildgerade g zu bestimmen benötigen Sie zwei Bildpunkte. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

19 Abiturähnliche Aufgaben Aufgaben ohne Hilfsmittel () Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = x + und g (x) = x eingeschlossen wird. [T] (5 BE) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f. [T] (5 BE) a) Geben Sie einen Näherungswert für f () an. b) Bestimmen Sie das Integral : f (x) dx. Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begründen Sie Ihre Antworten. c) f (x) < 0 für 6 < x < 0. d) f hat im Bereich 0 < x < eine Extremstelle. Geben Sie auch die Art der Extremstelle an. In einer Urne sind rote und blaue Kugeln, die sich nur in der Farbe unterscheiden. Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zurück in die Urne gelegt. Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel sei p. (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an: A: Beim fünfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen. B: Beim fünfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen. [T] b) Die Wahrscheinlichkeit, dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird, ist 0,6. Untersuchen Sie, von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind. [T] Gegeben sind die Punkte A ( ), B (5 5 ) und C (6 ). Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. [T5] (5 BE) [T] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen; dies sind die Integrationsgrenzen. [T] Es ist F (x) = f (x). [T] Betrachten Sie das Gegenereignis : Beim fünfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen. [T] Nehmen Sie an, von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne. Berechnen Sie für diese Annahme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis beim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogen und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angegebenen Wahrscheinlichkeit. [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors AB; dies ist die Länge der Dreiecksgrundseite. Für die Bestimmung der Dreieckshöhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

20 Abiturähnliche Aufgaben Abiturähnliche Aufgaben Aufgaben ohne Hilfsmittel (), Seite 5 a) f (x) = x + 6 x 8 x + f (x) = x + x 8 f (x) = 6 x + notwendige Bedingung: f (x) = 0: 6 x + = 0 für x = hinreichende Bedingung: f hat bei x = einen Vorzeichenwechsel f () = ; W ( ) f () = = m t t: y = (x ) + = x b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen: S ( 0) und T (0 ) Flächeninhalt A = = a) Rechteck ABCD mit A (0 0), B ( 0), C ( ) und D (0 ) A Rechteck = = 8 0 A = : 9 x dx = x 5 0 = 8 0 = 6 A = 8 6 = 8 Verhältnis der Teilflächen: A : A = 6 : 8 = : b) A Rechteck = u 9 u = u u 0 A = : 9 x dx = x u 5 0 = u 0 = u A = u u = u Verhältnis der Teilflächen: A : A = u : u = : a) Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer: P ( Treffer) = 0,9 = 0,8 b) A: Der Spieler wirft 0-mal und trifft jedes Mal den Korb. B: Der Spieler wirft 0-mal auf den Korb und trifft dabei genau 8-mal den Korb. c) Gegenereignis C: bei zwei Freiwürfen erzielt der Spieler keinen Treffer. P (C) = P ( C) = 0, = 0,0 = 0,99 a) = 0 + t für t = ; P liegt auf g. b) = r für r = ; der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor von E, d. h. die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E. c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verläuft ist Q der Schnittpunkt von g mit E. g in E einsetzen: ( t) ( + t) ( + t) = 8 t 5 = 8 t = 6 t = einsetzen in g: 0 8 q = + ( ) = 6 ; Q (8 6 ) Abiturähnliche Aufgaben Aufgaben ohne Hilfsmittel (), Seite 6 Folgende Bedingungen müssen erfüllt werden: f (x 0 ) = g (x 0 ) und f (x 0 ) g (x 0 ) =. x + x = x x x x + 5 x = 0 x x x + 5 = 0 Es ist x = 0 die einzige Lösung, da x, = ± 9 0 keine weitere Lösung liefert, d. h. für x = 0 ist die Bedingung f (x 0 ) = g (x 0 ) erfüllt. f (x) = x + und f (0) =. g (x) = x und g (0) =. Da für x = 0 auch die Bedingung f (x 0 ) g (x 0 ) = erfüllt ist, schneiden sich die beiden Graphen orthogonal. f (0) = 0; Schnittpunkt S (0 0) a) Für die Funktion f mit f (x) = ( x a) e x und a > 0 gilt: f (x) 0 für x und f (x) für x + ; f (0) = a e 0 = a < 0. Nur der Funktionsgraph in Abbildung () zeigt diese Eigenschaften. Für den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-achse gilt: S (0 ). Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt: f (0) = a = und a =. b) Der Graph von f hat bei x 0, einen Tiefpunkt. Somit muss die Ableitungsfunktion f an dieser Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von nach + haben. Diese Eigenschaft zeigt der Graph in Abbildung (). Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle, da J (0) = 0 gilt. Die Funktion f hat bei x 0,6 eine Nullstelle. Folglich muss jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J an dieser Stelle eine Extremstelle haben. Diese Eigenschafen zeigt der Graph in Abbildung (). Abiturähnliche Aufgaben Aufgaben ohne Hilfsmittel (), Seite 7 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte zwischen 0 und 0 annehmen und es ist E (X) = n p =, also muss P (X = ) maximal sein. Nur Abbildung () zeigt die richtige Verteilung der Zufallsvariablen X. b) P ( ª X < 6) = P (X = ) + (P(X = 5) 0,5 + 0,0 = 0,5 P (X 5) = P (X = 5) 0, = 0,8 g liegt nicht parallel zu E, d. h. g schneidet E in einem Punkt S. P sei ein weiterer Punkt auf g. Man stellt eine Hilfsgerade h auf, die den Ortsvektor von P als Stützvektor und den Normalenvektor von E als Richtungsvektor enthält. h: x = p + r n. Die Gerade h schneidet die Ebene E für einen Parameterwert r 0. Den Bildpunkt P von P erhält man, indem man in h den Wert r 0 einsetzt. p = p + r 0 n Die Bildgerade g ist die Gerade durch P und S. g : X = p + t p Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

21 Abiturähnliche Aufgaben Aufgaben ohne Hilfsmittel (), Seite 8 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen: f (x) = g (x); x + = x; x x + = 0; x = und x = Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Fläche: A = : f (x) g (x) dx = : = x x + x 5 ( x x + ) dx = =,5 Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen Fläche beträgt,5 Flächeneinheiten. + 8 a) f () = F () 0, b) : f (x) dx= F () F () = 0 ( ) = c) wahr; F ist im Bereich 5 < x < 0 streng monoton fallend, also ist f (x) < 0 für 5 < x < 0. d) wahr; F besitzt im Bereich 0 < x < eine Wendestelle (näherungsweise bei x,), also hat f an dieser Stelle eine Extremstelle. Der Graph von F zeigt hier den Übergang von einer Links- in eine Rechtskurve, also hat f in diesem Bereich ein Maximum. a) P (A) = 5 p ( p) P (B) = P ( B) = ( p) 5 b) Es 0,5 = 0,5 < 0,6. Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne. [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC: AB=, = ( ) = 6. Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B: g: X = + τ Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthält den Punkt C: H: 6 X 5 = 0 bzw. H: x + x x = 0 Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung von H ein, erhält man ( + τ) + ( + τ) ( τ) = 0. Die Gleichung liefert τ = 0,5 und damit den Schnittpunkt F der Hilfsebene H mit der Geraden g, den Lotfußpunkt F ( 0). [CF] ist die Höhe des Dreiecks ABC: CF=, = 9 7. Damit folgt für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC: AΔ = AB CF = = 9 7. AB = CF = Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

22 Stichwortverzeichnis Abstände Extrempunkte Flächen 6 Funktionenscharen Gleichung der Normalen Gleichung der Tangente Integral 6 Lagebeziehung 9 Laplace-Experimente Monotonie Normale Ortskurve 5 Punkte 8 Rekonstruieren einer Größe 7 Rotationsvolumen 7 Sattelpunkte Schnittpunkt und -winkel der Graphen zweier Funktionen Steigung von Funktionsgraphen Tangente Vektoren 8 Wendepunkte zueinander senkrechte Tangenten Zufallsgröße Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 0 Alle Rechte vorbehalten ISBN: und

23 Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausurtraining können Sie sich gezielt auf die länderübergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturprüfung vorbereiten. Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Lösen typischer Aufgabenstellungen in den Abituraufgaben. Abiturähnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des länderübergreifenden Abiturs vor. Ausführliche Lösungen zu den abiturähnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle.