Formelsammlung Theoretische Physik Examensvorbereitung

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Formelsammlung Theoretische Physik Examensvorbereitung"

Jörg Dittmar
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Formelsammlung Theoretische Physik Examensvorbereitung Frank Reinhold 6. März 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Mechanik 2 Drehimpulskomponente L z in R Langrange-Bewegungsgleichung Kanonische Impulse Leistung Effektives Potential Hamiltonfunktion Raumzeit-Intervall Zwei-Körper-Problem Geschwindigkeit auf dem Rand einer rotierenden Kugel Erhaltungssätze Schiefe Ebene Ruhelage einer Pendelschwingung Konservative Kräfte Erwartungswert eines Zustandes Erwartungswerte für bestimmte Operatoren Varianz eines Operators Stromdichte Schrödingergleichung Schrödingergleichung mit konstantem Potential Schrödingergleichung mit Delta-Potential Schrödingergleichung mit quadratischem Potential.. 5 Schrödingergleichung mit Zentralpotential Zeitentwicklung eines Zustandes Störungstheorie 1. Ordnung Ehrenfest-Theorem Pauli-Spin-Matrix in z-richtung Elektrodynamik 2 Makroskopische Maxwell-Gleichungen Lineare, isotrope, homogene Materialien Transversale Felder Dispersion Poynting-Vektor Magnetfeld, Fluss und Vektorpotential Satz von Gauß Satz von Stokes Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne Ladungsund Stromdichten Grundgleichungen der Elektrostatik Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung Potential mit Ladungsdichte Ladungsträgerdichte Laplace-Gleichung Komplexer Brechungsindex Elektrostatische Energie Ladungsdichte einer homogen geladenen Kugel Leitende Kugel Dipolmoment Maxwell-Gleichung der Magnetostatik Polarisation Geerdete Kugel Übliche Anschlussbedingungen Thermodynamik 3 Innere Energie Freie Enthalpie Freie Energie Enthalpie Hauptsätze Postulate Spezifische Wäme Prozesse Temperaturunabhängige Wärmekapazität Gleichgewichtszustand Quantenmechanik 4 Impulsoperator Kommutator Stufenoperator

2 1 Mechanik Drehimpulskomponente L z in R 3 L z = xẏ yẋ = L ϕ = m r r. 1 z Geschwindigkeit auf dem Rand einer rotierenden Kugel vom Radius R V x = v x + ω R, 16 mit v x der Geschwindigkeit des Schwerpunktes und ω der Winkelgeschwindigkeit. Langrange-Bewegungsgleichung Kanonische Impulse Leistung 0 = d L dt ϕ L ϕ. 2 p x = L 3 ẋ n H = p xj ẋ j L. 4 P = dw dt = F d r dt = F r. 5 Erhaltungssätze Ist die Lagrange-Funktion nicht explizit zeitabhängig, so ist die Hamiltonfunktion erhalten. Ist die kinetische Energie quadratisch in den Geschwindigkeiten, bzw. die Zwangsbedingung skleronom, so ist die Hamiltonfunktion gleich der Energie. Ist ϕ eine zyklische Koordinate, d. h. L/ ϕ = 0, so ist die zugehörige Drehimpulskomponente L z erhalten. Schiefe Ebene Die Kinetische Energie ist die Translation des Schwerpunktes plus die Rotation um den Schwerpunkt. Ruhelage einer Pendelschwingung Die Ruhelage einer Pendenlschwingung liegt bei z = z 0 wenn sich die Energie E pot nicht ändert, also 0 = depot dz. 17 z=z0 Effektives Potential Ein Teilchen beschreibt eine Kreisbahn, wenn die Energie gleich dem Minimum des effektiven Potentials ist. Hamiltonfunktion Raumzeit-Intervall V eff r = E r T r 6 H = j L q j L. 7 q s 2 = c t 2 δ r 2 = 8 = c 2 t x t 1 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z Zwei-Körper-Problem Im folgenden werden die Gleichungen zunächst im Allgemeinen Fall aufgestellt und schließlich für den Fall m 1 = m 2 = m näher betrachtet. Schwerpunktmasse Reduzierte Masse Schwerpunktskoordinaten M = m 1 + m 2 = 2m. 10 µ = m 1m 2 m 1 + m 2 = m Konservative Kräfte Eine Kraft F heißt konservativ, wenn gilt 2 Elektrodynamik F = Makroskopische Maxwell-Gleichungen E = [c] B c t, 19 B = 0, 20 D = 4π ϱ, [4π] 21 H = [c] 4π c [4π] j + D t. 22 Lineare, isotrope, homogene Materialien Transversale Felder D = ε[ε 0 ] E = [ε 0 ] E + 4π P, [4π] 23 H = 1 B = 1 B 4π M, µ[µ 0 ] [µ 0 ] [4π] 24 j = σ E. 25 E r, t = E 0 e i k r ωt 26 B r, t = B 0 e i k r ωt. 27 Relativkoordinaten R = r 1 r r = r 1 r Dispersion k 2 = ω2 v Und damit gilt für die beiden einzelnen Koordinaten r 1 = R + r/2, 14 r 2 = R r/2. 15 Poynting-Vektor S = [ 4π/c] E H. 29 4π/c 2

3 Magnetfeld, Fluss und Vektorpotential B = A 30 Φ = B df. 31 Satz von Gauß df Er = 1 d 3 r ϱr. 32 V ε 0 V Satz von Stokes Φ = df B = F F df A = d s A. 33 F Maxwellgleichungen im Vakuum, ohne Ladungs- und Stromdichten E = 0 34 B = 0 35 E = B t 36 B = 1 ε 0 µ 0 E t. 37 Grundgleichungen der Elektrostatik Differentielle Form E = ρ ε 0 38 E = 0 39 Komplexer Brechungsindex k = ±n ω c. 50 Elektrostatische Energie W = 1 2 ϱ r φ r d 3 r. 51 Ladungsdichte einer homogen geladenen Kugel ϱ r = dq dv = Q V = Q = const. 52 4/3 πr3 Leitende Kugel Bei einer leitenden Kugel befinden sich die Ladungen ausschließlich auf der Oberfläche. Die Flächenladungsdichte σ r führt zur Raumladungsdichte ϱ r: σ r = dq da = Q A = ϱ r = σ r δr R = Q = const 53 4πR2 Q δr R. 54 4πR2 Dipolmoment bezüglich des Urpsrungs r d = r dq = r ϱ r d 3 r, 55 bzw. bezüglich eines beliebigen Punktes a d = r dq = r a dq = 56 = r ρ r d 3 r a ϱ r d 3 r = d aq. 57 Integrale Form E = φ. 40 E df = 1 ρ d 3 r V ε 0 V 41 E d s = 0 42 df φ = E d r. 43 Maxwell-Gleichung der Magnetostatik B = µ 0 j. 58 Polarisation D = εε 0E + P. 59 Geerdete Kugel mit Radius R Stetigkeit der Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung n D 2 D 1 = 0 44 t E 2 E 1 = und mit n = 0, 0, 1 und φ 1 x, y, 0 = φ 2 x, y, 0 gilt dann ε 1 φ 1 z Potential mit Ladungsdichte Ladungsträgerdichte φ r = 1 4πε 0 φ 2 = ε z=0 z z=0 d 3 r ϱ r r r. 47 ϱ r = ε 0 E 48 ϕr = 0 60 Übliche Anschlussbedingungen Stetig ist die tangentiale Komponente des Magnetfeldes H und die normale Komponente der magnetischen Induktion B. 3 Thermodynamik Innere Energie Freie Enthalpie U = T S pv 61 dut, V = δq + δa = T ds p dv. 62 G = U T S + pv 63 dgs, V = S dt + V dp. 64 Laplace-Gleichung ϕ r = Freie Energie F = U T S 65 df S, p = S dt p dv. 66 3

4 Enthalpie 4 Quantenmechanik Hauptsätze H = U + pv 67 dht, p = T ds + V dp. 68 Impulsoperator ˆp = i d dx. 83 Postulate 1. du = δq = δa δq = T ds 70 δa = p dv + µ dn + H d M lim T 0 ST, V = 0 72 lim ST, p = T 0 1. Ein Gleichgewichtszustand wird vollständig durch extensive U, N, X beschreiben. Dabei ist X = V für kompressible Systeme und X = M für magnetische Systeme. 2. Es existiert eine Funktion S, genannt die Entropie, der extensiven Parameter. Die extensiven Parameter nehmen im Gleichgewicht solche Werte an, welche S maximieren. 3. Die Entropie S ist additiv, kontinuierlich, differenzierbar und eine monoton steigende Funktion der inneren Energie. 4. Es gilt S = 0 für T := Spezifische Wäme Prozesse 1. Kreisprozesse: C X = T ds = 0, δq 0, U = S N,X S T X 75 du = 0, 76 δa Kommutator Stufenoperator mω a = x + ip 2 mω [A, B] = [B, A]. 84 a aa = aa a 85 0 a = 0 und a n = n n a = n + 1 und a 0 = Erwartungswert eines Zustandes A = ψ Aψ dr Erwartungswerte für bestimmte Operatoren ψ = Es sei a j n j, l j, m j. 89 Dann sind die Erwartungswerte des Hamiltonoperators H, des Quadrates des Drehimulsoperators L 2 und der z-komponente des Drehimpulsoperators L 3 gegeben durch: ψ H ψ = ψ L 2 ψ = ψ L 3 ψ = a j 2 R n 2 j 90 a j 2 2 l j l j a j 2 m j Isentrope Prozesse: ds = 0 78 Varianz eines Operators C = C 2 C Adiabatische Prozesse, allgemein S S δq = 0, ds = dt + dx = 0 79 T X X T 4. Adiabatische Expansion mit Arbeitsverrichtung δq = 0, δa Adiabatische Expansion ohne Arbeitsverrichtung Stromdichte j = R 1 m ψ ˆpψ = R im ψ ψ. 94 Schrödingergleichung V r ψ r = Eψ r. 95 2m δq = 0, δa = 0, du = Temperaturunabhängige Wärmekapazität du = T ds = C dt. 82 Gleichgewichtszustand Maximum der Entropie S. Schrödingergleichung mit konstantem Potential V 0 führt zu ebenen Wellen e ikx. Fallen Teilchen von links auf eine endliche Potentialbarriere, so gilt für die Lösung der Schrödingergleichung { Ae ikx + Be ikx x < 0 ϕx = Ce iqx x >

5 Dabei ist Ae ikx die einfallende Welle, Be ikx die reflektierte Welle und Ce iqx die transmittierte Welle und es gilt k 2 = 2mE 2 97 q 2 = 2mE V Weiter sind in diesem Fall ϕx und ϕ x stetig bei x = 0, woraus sich die Koeffizienten A, B, C berechnen lassen. Schrödingergleichung mit Delta-Potential Das δ- Potential bewirkt einen Sprung in der ersten Ableitung ε lim dx 2 ε 0 ε 2m ϕ x + δxϕx = 0 99 ϕ > 0 ϕ < 0 = ϕ Schrödingergleichung mit quadratischem Potential Der Ansatz für eine Lösung ist in diesem Fall ein Produkt aus einer Gauß-Glocke und einem Polynom erster Ordnung ϕx = a + bx e cx Schrödingergleichung mit Zentralpotential Potential Mit dem V r = L2 2mr lautet der Ansatz für die Lösung der Schrödingergleichung ϕ nlm r, ϑ, ϕ = R nl ry lm ϑ, ϕ. 103 Zeitentwicklung eines Zustandes Jeder Zustand ϕ lässt sich als Summe von Eigenzuständen ψ j schreiben ϕ = a j ψ j. 104 Für Eigenzustände hat die Zeitentwicklung die einfache Form ψ j t = exp ie jt ψ j 105 ϕt = a j exp ie jt ψ j. 106 Störungstheorie 1. Ordnung mit gestörtem Hamiltonoperator H = H + H 0 ist die Energieverschiebung der Eigenzustände von H E j = ψ j H 0 ψ j. 107 Ehrenfest-Theorem pt = m d xt. 108 dt Pauli-Spin-Matrix in z-richtung 1 0 σ z =

Ähnliche Dokumente

Aufgabe K1: Potential einer Hohlkugel ( = 11 Punkte)

Aufgabe K1: Potential einer Hohlkugel ( = 11 Punkte) Aufgabe K: Potential einer Hohlkugel ( + 7 + = Punkte) (a) Leiten Sie die integrale Form der Maxwell Gleichungen der Elektrostatik aus den entsprechenden differentiellen Gleichungen her. Differentielle