Geometrie der Schrödinger-Gleichung und stochastischer Massentransport

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1 Geomerie der Schrödinger-Gleichung und sochasischer Massenranspor Disseraion zur Erlangung des Dokorgrades der Fakulä für Mahemaik und Physik der Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg im Breisgau Vorgeleg von Sephan Völlinger Augus 24

2 Dekan: Prof. Dr. J. Honerkamp. Referen: Prof. Dr. L. Rüschendorf 2. Referen: Prof. Dr. S. Albeverio 3. Referen: Prof. Dr. H.P. Breuer Daum der Promoion:

3 Geomerie der Schrödinger-Gleichung und sochasischer Massenranspor Sephan Völlinger Zusammenfassung Die Schrödinger-Gleichung wird aus einem geomerischen Prinzip abgeleie. Lagrange-, Hamilon-Jacobi- und Hamilon-Formalismen lassen sich ganz analog zum deerminisischen Fall, der physikalisch als geomerische Opik idenifizier werden kann, definieren. Hierbei is vor allem hervorzuheben, dass die bloße äußere Form dieser Formalismen der äußeren Form der deerminisischen Analoga gleich. Weierhin wird gezeig inwiefern der deerminisische Formalismus im Grenzwer, für den das Planck sche Wirkungsquanum sehr klein is, dem sochasischen oberflächlich aufsiz. Eine ganz elemenare Herleiung von Heisenberg s Unschärferelaion, die ja als das Charakerisikum der Quanendynamik bezeichne werden kann, schließ die Arbei ab. Sichwore: Sochasischer Massenranspor, Schrödinger-Gleichung, Enropie-Krafwirkungsgesez, Gibbs-Bolzman-Enropie, geodäisches Variaionsproblem. Einleiung Der öserreichische Physiker Erwin Schrödinger, der 926 die nach ihm benanne, die Quanenmechanik regierende Gleichung gefunden hae [Schrö], berachee 93 das folgende Problem: Eine Wolke von unabhängigen und idenischen Parikeln sei zu einer Anfangs.- und Endzei bekann. Was is der wahrscheinlichse Zusand der Wolke zu den Zwischenzeien? Schrödinger wähle als Ausganspunk seiner Unersuchungen die formale Äquivalenz [Na,Ae] der Schrödinger-Gleichung 3

4 i ψ = 2 ψ + V ψ, ψ : [, T ] Rn C zu dem Paar von dualen parabolischen Diffusionsgleichungen φ + 2 φ + cφ =, φ + 2 φ + c φ =. Wobei die reellwerigen Funkionen φ, φ und c durch φ = e R+S, φ = e R S, R, S : [, T ] R n R, c = V 2 S ( S) 2 definier sind, wenn ψ = e R+iS gil. Man siehe auch [CruZa] (oder [ChuZa] für eine deailliere Darsellung), worin die Verbindung der Wärmeleiungsgleichung zum Feynman schen Pfadinegral behandel wird. Schrödinger wolle durch die Unersuchung des dualen Gleichungspaares die Komplexwerigkei seiner Gleichung eleminieren und dadurch das Problem in einen anschaulichen reellwerigen Raum ransformieren. Ungeache des genauen Worlaues des Schrödinger schen Problems und ungeache der Äquivalenz zu parabolische Sysemen soll in der vorliegenden Arbei die Lösung im Rahmen eines geodäischen Variaionsproblems angesreb werden. Die reellwerige, euklidische Version soll als sochasischer Massenranspor δ (DY ) 2 dp d! =, (Y, P ) is Diffusion (Kapiel.), Zeirandwere: P [Y /T dx] = ϱ /T dx aufgezeig werden. Die Unersuchung des beobacherinvarianen, opologisch global definieren geodäischen Variaionsproblems und seiner Symmerien auf einem gegebenem Raum ha einen sehr hisorischen Ursprung, und kann wohl mi Fug und Rech als eine sehr wichige Disziplin mahemaisch, logisch-dedukiven Schaffens bezeichne werden. Schon in den Anfängen der formalen Dedukion, in der der griechische Mahemaiker Euklid um 3 v.chr. die Geomerie des euklidischen Raumes axiomaisier ha [Euk], is die Idee der kürzesen Verbindung zweier gegebener Punke eines Raumes subsanziell. In den physikalischen Anwendungen is das geodäische Variaionsproblem, als Prinzip kleinser Wirkungen, von zenraler Bedeuung. Es wird gezeig, dass auch die Schrödinger-Gleichung durch eine Hamilon sche Version eines geodäischen Variaionsproblems besimm is, wobei sich der Hamilon-Formalismus aus dem Lagrange-Formalismus durch eine sochasische Legendre-Transformaion ergib. Dabei is besonders überaschend, dass dieses Hamilon sche Variaionsproblem dem der Punkdynamik in seiner bloßen äußeren Form gleich. Die Lagrange sche Variane des Variaionsproblems wird als Lagrange scher sochasischer Massenranspor idenifizier. Hier is auch wieder besonders hervorzuheben, dass dieses Variaionsproblem, genau wie im punkdynamischen Fall, in seiner äußeren Form durch eine elemenare Lagrange-Funkion besimm is. Durch Variaion des sochasischen Massenranspores ergib sich eine aus der Schrödinger-Gleichung 4

5 i ψ = Hψ = 2 2 ψ + V ψ folgende nichlineare PDE, die sochasische Newon-Gleichung v + v v u u 2 u = V, mi der Flussgeschwindigkei v und der enropischen Geschwindigkei u (siehe.). Die sochasische Newon-Gleichung verallgemeiner Newon s Krafgesez. Die Verhälnisse der Energieerhalung beim sochasischen Massenranspor werden duch das Enropie-Wirkungsgesez besimm. Die quanenmechanische Gesamenergie ψ, Hψ einer Lösung der Schrödinger-Gleichung ψ is eine Konsane der Bewegung. Das Enropie-Wirkungsgesez, für die energeische Wirkung im Zeiinervall [, T ] W QM (ψ) := T ψ, Hψ = W kin (ψ) + W po (ψ) 2 Enrop( ψ T 2, ψ 2 ) zeig, dass der klassischen energeischen Wirkungsbilanz zwischen poenzieller und kineischer Energie noch die negaive Gibbs-Bolzmann-Enropiedifferenz zwischen ψ T und ψ hinzuzufügen is. Die Komplexwerigkei der Funkion ψ kann im Gesamzusammenhang einer Phasenraumsrukur erklär werden, in die dann die reellwerige Lagrange sche Variane, ganz wie im deerminisischen Fall, als Tangenialraumsrukur eingebee is. Hierbei is dann die Diffusionsgleichung dy = b(, Y )d + db als Tangenialkrierium von b = DY bzgl. der Diffusion Y zu versehen. Eine ganz ähnliche Phasenraumsrukur wurde für den deerminisischen Massenranspor von Oo [O] (oder auch [OVi] wo die Idee dargeleg is) definier. Ein Dichenweg ϱ ha die Tangene ϕ, wenn die Koninuiäsgleichung ϱ + div(ϱ ϕ) = gil. Die für die Differenzialgeomerie relevane Merik is ϱ, ϱ := ( ϕ ) 2 ϱ dx. In [OVi] wird auch die Äquivalenz des geodäischen Absandes bzgl. dieser Merik zur, für die ursprüngliche Formulierung des deerminisischen Massenronspores wichigen Wassersein-Merik, (heurisisch) gezeig. Als Gradienenfluss bzgl. des Enropiefunkionals ergib sich die Wärmeleiungsgleichung. Eine weiere neuere Arbei in diesem Konex is Hall / Reginao [HaRe], worin die Auoren dem klassischen Fluss der geomerischen Opik einen zusäzlichen Flukuaionserm aufaddieren, das daraus resulierende Variaionsfunkional uner der Annahme gewisser heurisischer physikalischer Argumene in geeignee 5

6 Form bringen, um schließlich aus einer Transformaionseigenschaf für Orsunschärfen die Form der Flukuaion in Abhängigkei von der Bilddiche des Flusses so zu reduzieren, dass sich bei Variaion die Schrödinger-Gleichung ergib. Die exake Unschärferelaion ergib sich aus einem Spezialfall der Cramér-Rao-Ungleichung, die ein Maß für die minimale Größe der Varianz einer Vereilung beschreib. Da sich aus diesen Argumenaionen, wie in Hall / Reginao für den Fall der Dimension angedeue, die Heisenberg sche Unschärferelaion, die ja hisorisch geradezu sympomaisch für Quanenrealiä seh, ganz elemenar ergib, soll diese Herleiung im Beispielparagrafen explizi beweisechnisch für allgemeine Dimensionen durchgeführ werden. In der Arbei wird, in umgekehrer Richung zu Hall / Reginao, die Quanendynamik aus einer reinen geomerischen Überlegung, definier durch das Variaionsfunkional des Lagrange schen sochasischen Massenranspores (siehe Kapiel 2) δ L(, Y, DY )dp d 2 Enrop(ϱ T, ϱ )! =, Zeirandwere: P [Y /T dx] = ϱ /T dx abgeleie. Die Reinhei dieser Überlegung, die in dieser Form ein komple neuer Ansaz is, ergib sich hierbei aus der Äquivalenz der bloßen äußeren Form zu klassischen Variaionsprinzipien δ L(, x, x)d! =, Zeirandwere! Es werden keine weieren zusäzlichen Annahmen verwende. Im Grenzwer, für den man Zoomouprobleme berache, für die das Wirkungsquanum von Planck sehr klein und der beobachee dynamische Vorgang mikroskopisch is, ergib sich die Geomerie des euklidischen Raumes. Die Arbei soll eine neuarige Verbindung zwischen Differenzialgeomerie und Sochasik aufzeigen. Ein Haupergebnis beseh darin, den euklidischen Raum zu verallgemeinern und zu zeigen, inwiefern die euklidische Geomerie der neuen oberflächlich aufsiz. Vor allem is die Schrödinger-Gleichung auch von sehr sarkem physikalischen Ineresse. Die Frage einer physikalischen Inerpreaion einer Geomerie sell sich in naürlicher Ar und Weise, kann hier aber aufgrund der mahemaischen Naur der Arbei nich verief werden. Die Arbei verfolg in erser Linie das Ziel einer rein mahemaischen Einordnung der Schrödinger-Gleichung in einen geomerischen Zusammenhang. Auf physikalische Zusazdaen, wie z.b. das magneische Vekorpoenzial A in der Schrödinger-Gleichung ( ) i ψ = ( i k A k )( i k A k ) + V ψ k wurde bewuss verziche. (Vgl. aber [Ne2] wo A in den Rechnungen implemenier is.) 6

7 Inhal Einleiung 3 Inhal 7 Grundlagen 8. Sochasische Grundlagen 8.2 Analysis der Fokker-Planck-Gleichung 9 2 Sochasischer Massenranspor Definiion des sochasischen Massenranspores Lagrange-Formalismus 3 3 Geomerie der Schrödinger-Gleichung Hamilon-Jacobi-Formalismus Hamilon-Formalismus 43 4 Exisenz von Diffusionen 5 4. Exisenz von Diffusionen Exisenz von opimalen Lösungen 52 5 Transformaionen Sochasische Legendre-Transformaionen Sochasische symplekische Transformaionen 56 6 Zoomou-Geomerien Ein elemenarer Zoomou-Formalismus Inerpreaion 58 7 Beispiele 6 Danksagung / Lieraur 65 Sach.- / Symbolverzeichnis 68 7

8 Grundlagen. Sochasische Grundlagen Die folgenden sochasischen Grundlagen sind sellenweise uner beweisechnischen Modifikaionen aus [Ne,Ne2] und [KaShe] ennommen und können dann dor verglichen werden. Insbesondere werden im Vergleich zu [Ne2] beweisechnische Deails ausgeführ und Prämissen erweier. Sei T R + und (Ω, I ), [, T ] ein filrierer Meßraum. Die ganze Arbei hindurch kann der Meßraum und die Filraion durch Ω = C ([, T ], R n ) und I := σ(x s, s ) is die durch die Koordinaenabbildungen X s (c) = c(s), c Ω mi s induziere σ-algebra, als fes vorgegeben berache werden. Erwarungswere bzgl. eines Wahrscheinlichkeismaßes P auf dem Wahrscheinlichkeisraum (Ω, I T ) seien in diesem einführenden Kapiel, [Ne2] folgend, mi E bezeichne. Definiion..: a) Eine Diffusion is ein Maß P auf I T und ein σ(x )- messbarer sochasischer Prozess Y : [, T ] Ω R n, also σ(y ) σ(x ), mi seigen Pfaden und 2. Momenen für Y i = Y+ i Y i, R +, für den die Differenzialquoienen i Y lim E + i Y j = b i (, Y ), i =,.., n lim +E Y = σ ij (, Y ), i, j =,.., n, [, T ] exisieren. (Vgl. auch [Ne2], wo ausdrücklich auf E in der zweien Definiion verziche wird um unseige Sprungprozesse zu vermeiden, wo dann aber unsinnigerweise die Brown sche Bewegung keine Diffusion is.) E is die bedinge Wahrscheinlichkei bzgl. P uner I, also E (.) = E(. I ). (σ ij ) ij is eine messbare Funkion auf [, T ] R n mi Weren in den (symmerischen) posiiv definien Marizen. (σ ij ) ij heiß die Diffusionsmarix. b is eine messbare Funkion auf [, T ] R n mi Weren in R n, genann die Drif. Der Limes soll im L 2 (P )-Sinne für die Drif und im L (P )-Sinne für die Diffusionsmarix gelen. Insbesondere is b i (, Y ) L 2 (P ) [, T ] und σ ij (, Y ) L (P ) [, T ]. Es soll auch zulässig sein, dass der Limes für die Drif nur im L -Sinne erfolg, aber der Grenzwer in L 2 (P ) lieg. In der Arbei werden nur Diffusionen von Bedeuung sein, deren Diffusionsmarix Homoheien h id, h R + sind. Eine Diffusion, deren Vereilung Y P absoluseig bzgl. des Lebesgue-Maßes is, heiß gla wenn für die Vereilungsdiche mi ϱ dx = P [X dx] gil: ϱ C L, außerdem b i bzw. σ ij, i, j =,.., n auf {ϱ(, x) > } gegeben seien und C -differenzierbar sind und b 2 ϱdx < Kons unabhängig von is. Schließlich sei 8

9 D(Y ) := lim E(Y + Y I ) = b(, Y ) + die Vorwärs-Ableiung einer Diffusion Y. b) C (O; R), O R m, offen seien die C -differenzierbaren Funkionen R m R mi kompakem Träger in O, d.h. ϕ C supp(ϕ) O kompak. Proposiion..2:(Differenzielles Iô-Formel-Analogon [KaShe]. Vgl. [Ne2].) Sei Y eine Diffusion bzgl. P. Für jede reellwerige Funkion χ(, x) C ([, T ] R n ; R) gil im L (P )-Sinne Dχ(, Y ) = ( 2 σij 2 i,j + bi i + )χ(, Y ) (Summenkonvenion!). Beweis: Durch Taylor-Enwicklung folg lim +E χ(,y ) = lim +E ( 2 2 i,j χ(, Y ) Y i Y j + i χ(, Y ) Y i + χ(, Y ) ) +T erme 2. Ordnung + o( (, Y,.., Y n ) 2 )) = ( 2 σij 2 i,j + bi i + )χ(, Y ). Die Terme in der 2. Zeile konvergieren in L, wobei man die Ableiungen von χ mi E verauschen kann. Für das Resglied ha man o( (, Y,.., Y n ) 2 ) punkweise und der Ausdruck is durch eine Konsane majorisier, da die zweien Ableiungen von χ und Y auf Y ({x R n (, x) is im Inneren des Kompakums supp(χ)}) beschränk sind. Es is E (.) L (P ). L (P ), also konvergier E o( (, Y,.., Y n ) 2 ) in L. Die reslichen Terme 2. Ordnung verschwinden offensichlich mi analogen Argumenen in L. Q.E.D. Proposiion..3: (Vgl. [Ne2].) Sei Y eine Diffusion bzgl. P. Seien für i, j =,.., n die Funkionen σ ij (, x), b i (, x) : [, T ] R n R L C und (*) T b 2 (, Y )dp d <. Für die Vereilung Y P gil dann schwach die Fokker-Planck-Gleichung Y P = 2 2 i,j (σij Y P ) div(by P ), Y P gegeben. 9

10 Beweis: ) Sei χ C ([, T ] R n ; R), dann is die Funkion χ(, Y )dp seig und insbesondere dami beschränk, da für jede Nullfolge ε k R, ε k k die Folge von Funkionen c χ( + ε k, Y +εk (c)), c Ω durch eine Konsane majorisier is und punkweise P -f.ü. gegen χ(, Y (c)) konvergier. 2) Seien f k, f : [, T ] Ω R [, T ] in L (P ). Gil der Grenzwer f k f [, T ] in L (P ), dann folg fk dp = fdp. 3) Man sieh lim k d d χ(, Y )dp = d d EE χ(, Y ) = 2) E lim +E χ(, Y )..2 = E( σij 2 2 i,j + bi i + )χ(, Y ) = ( σij 2 2 i,j + bi i + )χ(, Y )dp. Hierdurch is schon eine schwache Güligkei eviden, ohne Bedingungen an σ ij bzw. b i. Insbesondere is χ(, Y )dp differenzierbar. 4) Die Funkion ( σij 2 2 i,j + bi i + )χ(, Y )dp is wie in ) seig, da für jede Nullfolge ε k R, ε k die Folge von Funkionen auf Ω k ( σij (+ε k,y +εk (c)) 2 2 i,j + bi ( + ε k, Y +εk (c)) i + )χ( + ε k, Y +εk (c)) durch eine Konsane majorisier is und punkweise P -f.ü. mi ε k k konvergier. 5) Da χ(, Y )dp seig differenzierbar is, gil die Fokker-Planck- Gleichung schwach in folgendem Sinne: Die Funkion χ(, Y )dp is absoluseig und es gil χ(, Y )dp χ(, Y )dp = ( σ ij 2 2 i,j + bi i + )χ(, Y )dp d, χ C ([, T ] R n ; R), [, T ]. Dabei wurde die seige Differenzierbarkei zu Absoluseigkei abgemilder. Die Inegrabiliäsvoraussezung (*) brauch man, dami diese schwache Gleichung Sinn mach. Q.E.D. Bemerkungen..4: a) Is Y P absoluseig bzgl. dem Lebesgue-Maß, mi ϱ dx = P [X dx] und seien ϱ seig und b bzw. σ seig auf {ϱ > }, dann gil die schwache Fokker-Planck-Gleichung bzgl. C ({ϱ > }; R) auch ohne die Beschränkhei von σ bzw. b. Man muss den Träger der Tesfunkionenklasse nur auf {ϱ > } einschränken und der Beweis in..3 geh auch durch. b) Is Y eine glae Diffusion bzgl. P, dann gil die Fokker-Planck-Gleichung insbesondere im klassischen Sinne auf {ϱ > }. Weierhin sei die Rückwärs-Ableiung einer Diffusion Y definier

11 D (Y ) := lim + E(Y Y I ) = lim +E Y, wobei I := σ(x s, s T ) und die Topologie der Konvergenz noch fesgeleg werden soll. Die sogenanne Rückwärs-Drif b der Diffusion is durch erklär. D Y =: b (, Y ) Proposiion..5: (Parielle Inegraion für sochasische Ableiungen. Vgl. [Ne2].) Sei Y eine glae Diffusion bzgl. P, mi Diffusionsmarix h id, h R +. Es gelen die Inegrabiliäsbedingungen T b 2 (, Y )dp d < bzw. T ( ln ϱ(, Y )) 2 dp d <, wobei ln ϱ(, x) auf {ϱ(, x) > } definier und außerhalb gleich is. Die sochasische Rückwärs-Ableiung exisier in folgendem schwachen Sinne lim T (E Y T )i f(, Y )dp d = b i (, Y ) f(, Y )dp d, i =,.., n, f C ({ϱ(, x) > } (, T ) R n ; R). + Wobei auf {ϱ(, x) > } b = b h ln ϱ. Es gil die parielle Inegraionsformel T T E(Df(, Y )g(, Y ))d = E(f(, Y )D g(, Y ))d +Ef(T, Y T )g(t, Y T ) Ef(, Y )g(, Y ) für beliebige C -differenzierbare Funkionen g : [, T ] R n R und f : [, T ] R n R mi g und/oder f habe kompaken Träger in {ϱ(, x) > }. Beweis: ) Ohne Einschränkung können in den folgenden Beweisführungen f und g mi kompakem Träger in {ϱ(, x) > } gewähl werden. Is ewa f C und g mi kompakem Träger in {ϱ(, x) > }, dann kann man die parielle Inegraion auch für jede C -Forsezung von f supp(g) ausformulieren. f wird außerhalb von supp(g) sowieso durch g annulier. 2) Sei υ N. Man unereile [, T ] in υ gleiche Teile j := j T υ für j =,.., υ. Sei die elemenare Inervallreppenfunkion υ β υ E(F ( j+ ) F ( j )) G( j)+g( j ) () : 2 ) (j, j+ ] auf (, T ] j= sons

12 gegeben mi den Abkürzungen F () := f(, Y ) und G() := g(, Y ). Dann gil, nach Definiion des Inegrals auf elemenaren Inervallreppenfunkionen E(F ( j+ ) F ( j )) G( j)+g( j ) T 2 ) T ν = β υ ()d. υ j= Nach dem Mielwersaz der Differenzialrechnung is mi einem [, 2 ]. Also g(, x) g( 2, x) g(, x) 2 g(, x) g( 2, x) Kons 2, mi einer von und x unabhängigen Konsane, da g beschränk is. Es folg G( j+ ), G( j ) G() in L (P ). Dami ha man, da DF () nach..2 ν im L -Sinne exisier ν ν (**) lim T βυ () = E(DF ()G()), punkweise. Man beache dabei, dass G() mi E verausch werden kann und der an beiden Inervallenden variable Differenzenquoien keine Probleme mach, denn E F ( j+ ) F ( j ) T ν = DF ( j ) + ε ν, mi einem ε ν, dass im L -Sinne gegen Null geh für ν und DF ( j ) j DF () in L durch konsane Majorisierung. Da g kompaken Träger in {ϱ(, x) > } ha is durch Abschäung von G ν T βυ ( j ) Kons ν T E(F ( j+) F ( j )). EF () is wie in..3 und der Bemerkung..4.a) seig differenzierbar. Die Ableiungen sind durch eine Konsane beschränk. Nach dem Mielwersaz der Differenzialrechnung sind mi der Beschränkhei des Differenzialquoienen auch alle Differenzenquoienen beschränk. Es folg: ν T βυ () is durch eine Konsane majorisier und man kann mi (**) schließen T lim ν ν T βυ ()d = T E(DF ()G())d. 3) Man ha durch Shifen der Differenzialoperaoren auf die andere Seie und Einsezen der Fokker-Planck-Gleichung T T ( h 2 2 i,j + bi i + )f(, x)g(, x)ϱ(, x)dxd = f(, x)( h 2 2 i,j + (bi h( ln ϱ) i ) i + )g(, x)ϱ(, x)dxd 2

13 4) Sei g(, x) = x i, i {,.., n} und f C ({ϱ(, x) > } (, T ) R n ; R). Dann folg durch Zieharmonikasummenbildung mi den Abkürzungen F () := f(, Y ) und G() := g(, Y ) lim υ ν j= = E(F (T )G(T )) E(F ()G()) = υ lim E(F ( j+ )G( j ) F ( j )G( j )) = ν j= E[(F ( j+ ) F ( j )) G( j)+g( j ) 2 F ( j+)+f ( j ) 2) = T T E[DF ()G()]d lim ν 2 (G( j ) G( j ))] E[F () Y i T ]d ν T T = E[DF ()G()]d lim E[F ()E ν Y i T ]d. ν Wobei man ausnuz, dass F ( j+ ), F ( j ) F () in L (P ), gleichmäßig ν in wie in 2) und EG() seig differenzierbar is, wodurch die Differenzenquoienen EG( j) EG( j ) T wie in 2) durch eine Konsane majorisier sind und es ν folg bzw. T lim ν mi Y i E[F ( j+ ) G( j) G( j ) T ]d = lim ν ν T T lim ν = lim ν E[F () G( j) G( j ) T ]d ν E[F () G( j) G( j ) T ]d = lim ν ν = Y i Y i. T ν T E[F ( j ) G( j) G( j ) T ]d ν T E[F () Y i T ]d, ν 5) Seien g und f allgemein in C mi g und f habe kompaken Träger in {ϱ(, x) > }, dann folg die allgemeine Behaupung analog zu 4) wobei man jez die schwache Exisenz der Rückwärs-Ableiung ha. Q.E.D. Man vergleiche hierzu auch die Zeiinversion auf Wiener-Räumen [Fö]. Sei Y eine glae Diffusion bzgl. P mi Diffusionsmarix h id, h R +. Vorwärs- und Rückwärs-Ableiung einer C ([, T ] R n ; R)-Funkion f(, Y ) berechnen sich nach Df(, Y ) = ( h 2 + bj j + )f(, Y ) D f(, Y ) = ( h 2 + bj j + )f(, Y ). 3

14 Wobei der Laplace-Operaor durch den R n definier is in dem die Diffusion ihr Bild ha. Zur Transformaion von Drifvekoren vgl. [Ne2]. Es gil die Rückwärs-Fokker-Planck-Gleichung auf {ϱ(, x) > } ϱ = h 2 ϱ div(b ϱ). Die enropische Geschwindigkei is auf {ϱ(, x) > } definier durch u := 2 (b b ) und die Flussgeschwindigkei auf {ϱ(, x) > } durch v := 2 (b + b ). Also gil u = h 2 ln ϱ = h ln ϱ auf {ϱ(, x) > }. Miel man über die Vorwärs- und Rückwärs-Fokker-Planck-Gleichungen, dann erhäl man die Koninuiäsgleichung auf {ϱ(, x) > } ϱ = div(vϱ). Proposiion..6: (Zur Inerpreaion der Flussgeschwindigkei.) Seien ξ(, x) : [, T ] R n R n und p(, x) : [, T ] R n R eine klassisch differenzierbare Lösung der Koninuiäsgleichung p + div(ξp) =, p(, x) = p (x) (ξ und p vorgegeben), dann gil bzgl. dem Fluss T des Vekorfeldes ξ (also d d T = ξ(, T )): T # p = p. Wobei der push-forward T # p einer Dichefunkion p durch die Abbildung T definier is miels T# p (y)f(y)dy = p (x)f(t (x))dx f C(R n ). Is umgekehr T klassisch differenzierbar gegeben und sei T # p = p, dann gil für das Vekorfeld ξ(, x) = d d T (x) die Koninuiäsgleichung. Beweis: ) Es gele die Koninuiäsgleichung für ξ und p. Sei T # p =: p. Dann is ϕ C mi T (x) = y d d ϕ(y) p(, y)dy = d d ϕ(t (x)) p(, y)dy ( ϕ(t ) d d T )(x)p (x)dx = T # p =bp = und Differenziaion ( ϕ(t (x)) ξ(, T (x)))p (x)dx T #p =bp = ( ϕ(y) ξ(, y)) p(, y)dy = ϕ(y)div(ξ(, y) p(, y))dy ϕ C, d.h. die (schwache) Koninuiäsgleichung gil auch für ξ und p zur Sardiche p. Aufgrund der Eindeuigkei der Lösungen der Koninuiäsgleichung (z.b. aufgrund des Erhalungssazes) folg p = p. 2) Sei T # p = p, dann ha man div(p(, y)ξ(, y))ϕ(y)dy = ( ϕ(y) ξ(, y))p(, y)dy ϕ C 4

15 und d T # p =p d ϕ(y)p(, y)dy = d d ϕ(t (x))p (x)dx = ( ϕ(t (x)) ξ(, T (x))p (x)dx T # p =p = ( ϕ(y) ξ(, y))p(, y)dy ϕ C. Q.E.D. Als Lezes sei noch die sochasische Beschleunigung 2 (DD +D D)Y einer glaen Diffusion Y bzgl. P mi Diffusionsmarix h id definier, deren Bedeuung im Kapiel über den Lagrange-Formalismus klar wird. Es gil T T 2 (DD + D D)Y η(, Y )dp d = 2 (Db + D b)(, Y )η(, Y )dp d T = 2 (( h 2 + bj j + )b + ( h 2 + bj j + )b)(, Y )η(, Y )dp d T = ( v + v v u u h 2 u)(, Y )η(, Y )dp d, η C ({ϱ > }; R), wobei den Levy-Civia-Zusammenhang des euklidischen Raumes bezeichne, d.h. ( v v) i = v v i, i =,.., n. Die gesame Abhandlung der Güligkei auf {ϱ(, x) > } ziel daraufhin ab, die Probleme mi einer evenuellen Singulariä von b bzw. b in {ϱ = } zu umgehen. Eine weiere Möglichkei Diffusionen zu definieren ergib sich über Iô- Diffusionsgleichungen dy = b(, Y )d + κ(, X )db, für eine Brown sche Bewegung B. Die Gleichung, mi Drif b und Diffusionskoeffizien κ [KaShe], is per Definiion dann erfüll, wenn die inegrale Version gil [KaShe] Y = Y + b(s, Y s )ds + κ(s, X s )db s, (komponenenweises Inegral). Iô-Diffusionsprozesse sind Markov-Prozesse. Lemma..7: Sei h > und b : [, T ] R n R n messbar. Es gele b(, x) K( + x ) [, T ] mi einer Konsanen K R +. Die sochasische Differenzialgleichung dx = b(, X )d + hdb, T besiz eine schwache Lösung [KaShe], mi beliebiger Sarvereilung µ, für die X sogar eine Brown sche Bewegung bzgl. eines Maßes P is und für die die Brown sche Bewegung (B, P ) in sare. D.h. für jedes Wahrscheinlichkeimaß µ auf dem R n gib es Brown sche Bewegungen (Ω, I, X, P ) und (Ω, I, B, P ) die die sochasische Differenzialgleichung erfüllen und für die P X = µ gil. 5

16 Beweis: In Analogie zu Proposiion in [KaShe] bleib nur h einzuführen. Seien Ω h die seigen Wege c : [, ht ] R n. Die Brown sche Bewegung (Ω h, Rb, Xb, P ), ht mi Sarvereilung P bx sei kanonisch fes vorgegeben. Wie in [KaShe],5.3.6 angewende auf die Drif h b( h, x), is Ẑ x b := exp( n b j= b h bj ( h s, X s )d X s j 2 h b( h s, X 2 s ) 2 ds), ht ein Maringal uner jedem Maß P x, dem Wiener-Maß kondiionier durch den Sarpunk x der Bewegung. Mi dem Girsanov-Theorem [KaShe],3.5. folg, dass uner P x definier durch d P bx der Prozess b = dp x Ẑx ht Wb := Xb X b h b( h s, X s )ds, ht, x eine Brownsche Bewegung mi W konsiuier, die an Rb adapier is. Das Maß P (A) := P x (A)dµ(x) definier dami eine schwache Lösung R n d Xb = h b( h, Xb )d + dwb, ht. Man beache hierbei, dass Ẑx b nur insofern von x abhängig is, als dass in der Definiion von Ẑx b die sochasische Inegraion bzgl. von x abhängiger Maße gebilde wurde. Sei F h : Ω h Ω = Ω, F h (c)() = c(h). Definiere nun Bb := h Wb und X (F h (c)) := Xb (c), = h [, T ]. Wie man leich mi dem Bildinegralsaz einsieh (is Y N(, ) normalvereil, dann is ay N(, a 2 )), is B (F h (c)) := Bb (c) eine Brown sche Bewegung bzgl. dem Maß P := ( P ) F h adapier an I := σ(x s, s ). Definiere noch P := ( P ) F h, also das (ransformiere) Wiener-Maß auf I T. Die schwache Lösung dx = b(, X )d+ hdb, T is mihin durch (Ω, I, B, P ) und (Ω, I, X, P ) gegeben. Q.E.D. Bemerkungen..8: a) Man beache, dass in..7 eine Ar Zwischenformalismus von sarker und schwacher Lösung einer sochasischen Diffusionsdifferenzialgleichung gegeben is. (Ω, I, X, P ) is als die kanonische Brown sche Bewegung (mi X als Koordinaenabbildung) fes vorgegeben! b) Sei der Drifvekor b(, x) und die sochasische Diffusionsgleichung dy = b(, Y )d + hdb, (B, P ) Brown sche Bewegung gegeben. Ha man T b 2 (, Y )dp d <, dann exisier die Vorwärs-Ableiung als L 2 (P )-Limes für f.a. und es gil DY = b(, Y ). Weierhin gil 6

17 lim +E Y i Y j = { falls i j h falls i = j } in L (P ) für f.a.. Is b 2 (, Y )dp <, dann gelen die Aussagen. Beweis: (Zu ) vgl. [Fö], Beweis mi Variaionen.) ) Sei [, T ]. Dann folg per Definiion der Vorwärs-Ableiung und mi der Maringaleigenschaf der Brown schen Bewegung (komponenenweises Inegral) + DY = + lim + E (Y + Y ) = lim + E ( b(s, Y s )ds). b 2 (s, Y s )ds is nach Voraussezung uner Benuzung des Sazes von Fubini in L (P ). Wegen der Endlichkei des Inegraionsgebiees [, T ] is + ( und dami + b(s, Y s )ds) 2 Cauchy-Schwarz + + b(s, Y s )ds L 2 (P ). b 2 (s, Y s )ds R + P -f.ü. b 2 (s, Y s )ds is P -f.ü. in R und is absoluseig (mi als Variable), ha also P -f.ü. eine Ableiung für. (Haupsaz der Analysis von Lebesgue [El].) Mihin konvergier und + lim + b 2 (s, Y s )ds b 2 (, Y ) punkweise P -f.ü. + (***) lim + b(s, Y s )ds b(, Y ) punkweise P -f.ü. Außerdem is lim + lim b 2 (s, Y s )dsdp = b 2 (s, Y s )dp ds = b 2 (, Y )dp. Nach dem Saz von Riesz [Ba] is mi der punkweisen Konvergenz f.ü. und der Konvergenz der Miel auch die Konvergenz in L (P ) gegeben. Wegen 7

18 is ( + ( b(s, Y s )ds b(, Y )) 2 (a+b)p 2 p (a p +b p ) 2 2 (( + b(s, Y s )ds) 2 + b 2 (, Y )) 2 2 ( + b 2 (s, Y s )ds + b 2 (, Y )) + Cauchy-Schwarz b(s, Y s )ds b(, Y )) 2 für f.a. (bzw., wenn nur b 2 (, Y )dp < ) gleichgradig inegrierbar, denn f.ü.-konvergenz und L -Konvergenz implizier gleichgradige Inegrierbarkei [Ba]. Umgekehr folg aus der punkweisen Konvergenz f.ü. (***) und der gleichgradigen Inegrierbarkei auch die L 2 -Konvergenz [Ba]. E is aber L 2 -Projekor und is dami auomaisch L 2 - seig. Mihin folg + lim + E + ( b(s, Y s )ds) = E ( lim + b(s, Y s )ds) = E (b(, Y )) = b(, Y ) im L 2 -Sinne für f.a.. 2) Sei [, T ]. Man finde für i, j {,.., n} Aber + ( + lim + b i + (s, Y s )ds Y i Y j = b j (s, Y s )ds + h h b j (s, Y s )ds B i + h B j B). i b i (s, Y s )ds B j b i (s, Y s )ds exisier in L 2 für f.a. nach ) (bzw., wenn nur b 2 (, Y )dp < ). Außerdem is + b j (s, Y s )ds B i, + b i (s, Y s )ds + b j (s, Y s )ds L (P ), mi Cauchy-Schwarz, da die einzelnen Fakoren in L 2 sind. Es folg + b j (s, Y s )ds B i dp Cauchy- Schwarz + ( b j (s, Y s )ds) 2 dp ( B i ) 2 dp, da ( B i ) 2 dp, denn ( B i ) 2 dp =. Analog folg 8

19 + b j (s, Y s )ds + b i (s, Y s )ds dp, da + lim b 2 (s, Y s )dsdp = + Also mi E (.) L (P ). L (P ) = lim + i Y j lim + + b 2 (s, Y s )dp ds =. lim +E Y h = lim + E B j B i { } h falls i j E Bj B i = in L h falls i = j (P ) für f.a., wobei man benuz, dass B i = B+ i Bi und I bzw. B j und B i für i j für eine Brown sche Bewegung sochasisch unabhängig sind. (Vgl. [Ba2], 7, Aufgabe 2. Die paarweise Unabhängigkei implizier die Unabhängigkei des Produkes B j B i von I ). Q.E.D..2 Analysis der Fokker-Planck-Gleichung Die für das sochasische Massenransporproblem benöigen Exisenz- bzw. Eindeuigkeis- und Regulariäsaussagen werden, durch [QaVa] inspirier, uner beweisechnischen Modifikaionen und Adapionen der Prämissen aufgezeig. Man beache insbesondere, dass in [QaVa] räumlich auf dem Torus gearbeie wird. Die Überragung auf Rn is sicherlich nich rivial. Eine schwache Lösung der Fokker-Planck-Gleichung in [, T ] R n mi Diffusion h id, gebilde durch ϱ : [, T ] R n R L, ϱ sei durch einen fesen Repräsenanen verreen, zu den vorgegebenen Daen b : {ϱ > } R n {(±,.., ± )}, messbare Drif und ϱ : R n R L, is definier durch: Die Funkion χ(, x)ϱdx is absoluseig und es gil χ(, x)ϱdx χ(, x)ϱdx = ( h 2 + bi (s, x) i + s )χ(s, x)ϱ(s, x)dxds, χ C ([, T ] R n ; R), [, T ]. Es gele zusäzlich die Inegrabiliäsbedingung T b 2 ϱ dxd <, 9

20 dami diese Definiion in R is. Theorem.2.: (Exisenz) Seien b : [, T ] R n R n L C und ϱ : R n R + L, ϱ dx =, dann gib es eine posiive schwache Lösung der Fokker-Planck-Gleichung in L mi Diffusion h id. Insbesondere is ϱ(, x) naürlich gegeben und es gil ϱ(, x) = ϱ (x) bzw. ϱ(, x)dx =. Is außerdem ϱ L (R n ; R + ), dann folg auch ϱ L ([, T ] R n ; R + ). Beweis: ) Zu b L und ϱ L gib es nach..7 eine Iô-Diffusionsgleichung dx = b(, X )d+ hdb, ϱ dx = P [X dx]. Da b beschränk is, is die Inegrabiliäsbedingung aus..8.b) erfüll. Es folg das die Definiionsbedingung.. einer Diffusion erfüll is, da auch insbesondere X 2. Momene besiz. Für die Vereilung X P gil schwach die Fokker-Planck-Gleichung im Sinne von..3. Weierhin beache man, dass X P auomaisch absoluseig bzgl. dem Lebesguemaß im R n is, da nach Konsrukion in..7 P x absoluseig bzgl. dem Wiener-Maß P x mi Sar in x is. 2) Nach Konsrukion des sochasischen Inegrals [KaShe] exisier nach [KaShe],3.2.4 zur Inervallzerlegung [, T ] = 2n ( k, k+ ], =, k = k T k= 2, n k =,.., 2 n eine Folge von elemenaren Prozessen für die ( ξn(, j c) {} Ω (, c) + 2n k= ) (k, k+ ] Ω(, c)ξ j n, k (c) n N, c Ω ξ j L n, Kons mi einer nur von b k L abhängigen Konsane und mi n die Konvergenz in L 2 (P ) von (k, k+ ] Ω(, c)ξ j n, k (c)(x j k+ X j k )(c) 2 n k= T gegen das sochasische Inegral b j dx j (c) erfolg. Insbesondere gib es eine n, ε punkweise P -f.ü. konvergene Teilfolge, ohne Einschränkung idenisch indizier und es folg P -f.ü. T b j dx j (c) = (k, k+ ] Ω(, c)ξ j n, k (c)(x j k+ X j k )(c) + ε k Kons (k, k+ ] Ω(, c) (X j k+ X j k )(c) + ε k a 2 +b 2 2 ab Kons 2 ( ( k, k+ ] Ω(, c) + (X j k+ X j k ) 2 (c)) + ε k 2Kons( + T ), j =,.., n, 2

21 da die quadraische Variaion einer Brown schen Bewegung in R bzgl. dem Maß P im Inervall [, T ], nach Wahl der hier genügend schnell gegen Null gehenden Inervallzerlegungsfeinhei (vgl. [Ba2] 47, Aufgabe 4), punkweise P -f.ü. gegen T konvergier. Nach Konsrukion in..7 von Ẑx T mi d P x = ẐT xd P x folg Ẑx T e h n 2 Kons(+hT ) x. Sei jez ϱ L (R n ; R + ), dann is nach Konsrukion von P miels P (A) := P x (A)ϱ dx auch ϱ L ([, T ] R n ; R + ). Denn für O R n offen (oder jede Lebesgue-Menge) gil mi F h aus..7 und der Gauß-Vereilungsdiche ν, id O (y)ϱ(, y)dy = P ({X O}) = P x ({X O})ϱ (x)dx = O}(c)Ẑx {X T ((F h ) (c))dp x (c)ϱ (x)dx Maringaleigenschaf = {X für Z b O}(c)Ẑx ((F h ) (c))dp x (c)ϱ (x)dx x T = O (y)( z x (y)ν, id (y x)ϱ (x)dx)dy, mi z x (X ) := Ẑx ((F h ) (c)) miels dem Fakorisierungslemma [Ba], dass hier angewende werden kann, da Ẑx ((F h ) (c)) σ(x )-messbar is. Hieraus folg ϱ L. Q.E.D. Theorem.2.2: (Regulariä, vgl. [QaVa].) Es bilden ϱ : [, T ] R n R + L und b : {ϱ > } R n {± }, messbar (explizi gegeben auf ganz {ϱ > }) eine posiive schwache Lösung der Fokker-Planck-Gleichung mi Diffusion h id. Sei b 2 ϱdx < Kons unabhängig von, dann is ϱ W (,),2 loc ([, T ] R n ; R), d.h. ϱ L 2 loc (da ϱ L ) und es exisier i =,.., n ein i ϱ : [, T ] R n R L 2 loc so, dass T i ϱ ϕdxd = ( )T ϱ i ϕdxd, ϕ C ([, T ] R n ; R). Sei zusäzlich ϱ(, x) L (R n ; R) und ϱ L (R n ;R) von, dann is i ϱ W (,),2 ([, T ] R n ; R), i =,.., n. Kons unabhängig Beweis: ) Sei (ϱ) ε C L [, T ] die Gläung [El] von ϱ in R n mi Gläungskern η ε C (R n R). Auf (, T ) R n gil, wie man leich mi den üblichen Mehoden der Gläung sieh T T (ϱ)ε ϕdxd = (+div(bϱ)ε h 2 (ϱ) ε)ϕdxd, ϕ C ((, T ) R n ; R). Es folg (ϱ) ε W (, ), loc ((, T ) R n ; R) und man ha (ϱ) ε = div(bϱ) ε + h 2 (ϱ) ε. Dass alle Ableiungen von (ϱ) ε wirklich in L loc ((, T ) Rn ; R) sind, sieh man, indem man durch räumliches Shifen auf die andere Seie verifizier, dass die Ausdrücke 2

22 T T (ϱ) ε ϕdxd, k i (ϱ) ε ϕdxd, i =,.., n, k N uner Benuzung der essenziellen Beschränkhei von ϱ, der üblichen Abschäzung der Gläung in L -Räumen und der Inegrabiliäsbedingung für b ϕ C in R is. Also auch für ein ϕ das auf der ε-umgebung des offenen Balles B r () idenisch is. 2) Seien ζ r : R n R C, ζ r, r > räumliche Plaeau-Funkionen derar, dass ζ r Br/2 (), supp(ζ r ) B r () und i ζ r, j i ζ r Kons unabhängig von r, i, j =,.., n. Man ha ζr (x)(ϱ(t, x)) 2 εdx ζ r (x)(ϱ(, x)) 2 εdx T = ζr (x) ((ϱ) ε (ϱ) ε )dxd = 2T ζr (x) (ϱ) ε (ϱ) ε dxd. Es folg somi miels ) und räumlichem Shifen ( ) ζr (x)(ϱ(t, x)) 2 εdx ζ r (x)(ϱ(, x)) 2 εdx = Wobei T T 2 ζr (bϱ) ε (ϱ) ε dxd + h 2 ζr (ϱ) 2 εdxd T h ζr ( (ϱ) ε ) 2 dxd. T ζr (ϱ) ε (ϱ) ε dxd T T = 2 ζr (ϱ) ε (ϱ) ε dxd 2 ζr (ϱ) ε (ϱ) ε dxd T T = 2 ζr (ϱ) ε (ϱ) ε dxd + 2 ζr (ϱ) ε (ϱ) ε dxd + 2 T T ζr (ϱ) 2 εdxd = 2 ζr (ϱ) 2 εdxd benuz wurde. T Der Term ζr (bϱ) ε (ϱ) ε dxd läss sich wie folg abschäzen T ζr (bϱ) ε (ϱ) ε dxd Cauchy-Schwarz T T Br ()(bϱ) 2 εdxd ζ 2 r ( (ϱ) ε ) 2 dxd T T ( Br ()(bϱ) 2 dxd + Kons) ζr ( (ϱ) ε ) 2 dxd 22

23 Hölder T T ( ϱ L Br ()b 2 ϱdxd + Kons) ζr ( (ϱ) ε ) 2 dxd in L -L T Kons ζr ( (ϱ) ε ) 2 dxd. Uner Benuzung der Approximaionseigenschaf in L 2 der Gläung auf kompaken Mengen, wobei die nur räumliche Gläung keine Rolle spiel, da nach Voraussezung b 2 ϱdx < Kons unabhängig von und man mi konsaner Majorisierung arbeien kann ( (.) ε L p. L p, p < für die Gläung). T Aus der Unbeschränkhei in ε r groß genug von a r,ε := ζr ( (ϱ) ε ) 2 dxd kann man mihin auf die Unbeschränkhei von T 2 ζr (bϱ) ε (ϱ) ε dxd ht ζr ( (ϱ) ε ) 2 dxd schließen, da der Absoluberag des ersen Termes allenfalls mi a r,ε gegen T Unendlich geh. Wegen ( ) folg, dass ζr ( (ϱ) ε ) 2 dxd in ε, r > beschränk sein muss, da dies, uner Ausnuzung von ϱ L, wegen der Approximaion der Gläung in L 2 -Räumen auf kompaken Mengen auch für ζr (x)(ϱ(t, x)) 2 εdx ζ r (x)(ϱ(, x)) 2 εdx und wegen der Beschränkhei der Ableiungen von ζ r auch für T h 2 ζr (ϱ) 2 εdxd gil, ohne dass es eine Rolle spiel, dass nur räumlich gegläe wird. 3) Seien f k W,2 (O), reellwerig und O R n offen, mi i f k L 2 (O) Kons, i =,.., n, dann gib es ein f L i, i =,.., n, so daß i f 2 (O)-schwach k fi. Es gil f L i Kons, (i =,.., n). 2 (Γ) Beweis: Die schwache Folgenkompakhei und die Unerhalbseigkei bzgl. schwacher Konvergenz liefern die Aussage. 4) Seien f k W,2 (O), reellwerig und O R n L offen, mi f 2 k f für ein f L 2 L. Es gele i f 2 -schwach k fi, i =,.., n, dann folg f W,2 (O) und i f = f i, i =,.., n. Beweis: Für schwache Ableiungen ha man i f k ϕdx = ( ) f k i ϕdx ϕ C (O), i =,.., n. Und dami nach Voraussezung 23

24 fi ϕdx = lim i f k ϕdx = ( ) lim fk i ϕdx k k = ( ) f i ϕdx ϕ C (O), i =,.., n, also i f = f i, i =,.., n. 5) Es gil lim Br/2 ε ()(ϱ) ε = Br/2 ()ϱ in L 2 (R n ; R). Also folg, dass die Funkionen g ε : Br/2 ()(ϱ) ε Br/2 ()ϱ 2 dx punkweise gegen Null konvergien mi ε. Es gil aber Br/2()(ϱ) ε Br/2()ϱ 2 dx 2 Br/2 ()(ϱ) ε dx + Br/2 ()ϱ 2 dx 2 ϱ L V olumen(b r/2 ()), aufgrund der Eigenschafen der Gläung. Mihin sind die Funkionen g ε () durch eine Konsane majorisier und es folg lim Br/2 ε ()(ϱ) ε Br/2 ()ϱ in L 2 ([, T ] R n ; R). Wegen 2)-4) besiz ( Br/2 () (ϱ) ε ) ε> r, groß genug eine schwach in L 2 ([, T ] R n ; R n ) konvergene Teilfolge (ohne Einschränkung idenisch indizier) und es folg ϱ = lim (ϱ) ε schwach in L 2 ([, T ] B r/2 (); R n ) ε r. 6) Seien ϱ(, x) L (R n ; R) und ϱ L (R n ;R) Kons unabhängig von, dann is ϱ 2 (, x)dx ϱ L ϱ(, x)dx ϱ L Kons, und dami ϱ(, x) L 2 (R n ; R) bzw. ϱ(, x) L 2 ([, T ] R n ; R). In den Beweisführungen )-5) kann man lim durchführen und es folg ganz analog ε wie in 2), dass a r, beschränk sein muss in r, da auch ζ r (x)(ϱ(t, x)) 2 dx T ζr (x)(ϱ(, x)) 2 dx beschränk is. Mihin is Br/2()( ϱ) 2 dxd Kons unabhängig von r. Also i ϱ L 2 ([, T ] R n ; R), i =,.., n. Q.E.D. Man vergleiche hierzu auch die Regulariäsaussage für die Bilddiche in [Fö]. Die relaive Enropie ϱ (x) ln ϱ (x) ϱ 2(x) dx zweier Dichen ϱ und ϱ 2 wird im folgenden Theorem von beweisechnischer Bedeuung sein. Theorem.2.3: (Eindeuigkei, vgl. [QaVa].) Seien ϱ /2 : [, T ] R n R + L posiive schwache Lösungen der Fokker-Planck-Gleichung mi Diffusion h id, mi b /2 : {ϱ /2 > } R n {(±,.., ± )}, messbar gegeben und 24

25 b 2 /2 ϱ /2 dx < Kons unabhängig von. Seien ϱ /2 (, x) L (R n ; R) und ϱ L /2 Kons unabhängig von. Wenn zusäzlich die Enropien (R n ;R) ϱ/2 ln ϱ /2 dx zu den Zeipunken und T in R exisieren, dann gil (in der Klasse mi den gegebenen Voraussezungen) Eindeuigkei zum Zeipunk T, d.h. aus b = b 2 und ϱ (, x) = ϱ 2 (, x) folg ϱ (T, x) = ϱ 2 (T, x). Beweis: ) Nach.2.2 is ϱ /2 : L W (,),2. 2) Sei wie gehab (ϱ /2 ) ε C (R n ; R) [, T ] die Gläungen in R n der Funkionen ϱ /2 mi Gläungskern η ε C (R n ; R), dann is (ϱ /2 ) ε W (, ), loc ((, T ) R n ; R) (auch zeiliche Sobolev-Ableiung) und es gil auf (, T ) R n (ϱ /2 ) ε = div(b /2 ϱ /2 ) ε + h 2 (ϱ /2) ε. 3) Seien ζ r : R n R C, ζ r, r > räumliche Plaeau- Funkionen derar, dass ζ r Br/2 (), supp(ζ r ) B r () und i ζ r Kons bzw. j i ζ r Kons, i, j =,.., n, mi einer posiiven Konsanen unabhängig von r. Sei δ >, dann is ln (ϱ ) ε +δ (ϱ 2 ) ε +δ {räumlich C } W (, ), loc und es folg aus der schwachen Fokker-Planck-Gleichung für ϱ durch Approximieren von ln (ϱ ) ε +δ (ϱ 2 ) ε +δ miels C -Funkionen in W (,2), loc ([, T ] R n ; R) und anschließendem räumlichem Shifen T T + ϱ (T, x)ζ r (x) ln (ϱ ) ε (T,x)+δ (ϱ 2 ) ε (T,x)+δ dx ϱ (, x)ζ r (x) ln (ϱ ) ε (,x)+δ 2) (ϱ 2 ) ε (,x)+δ dx = (ϱ b ζ r ln (ϱ)ε+δ (ϱ 2 ) ε +δ + ϱ ζ r ln (ϱ)ε+δ (ϱ 2 ) ε +δ h 2 ζ r ϱ ln (ϱ)ε+δ (ϱ 2 ) ε +δ )dxd (ϱ b ζ r ln (ϱ ) ε +δ (ϱ 2) ε+δ + ϱ ζ r ln (ϱ ) ε +δ (ϱ 2) ε+δ h 2 ζ r ϱ ln (ϱ ) ε +δ (ϱ 2) ε+δ )dxd T =: (I+II III+IV+V)dxd. 4) Die Terme I-III berechnen sich wie folg = ζ r ϱ b i I= ζ r ϱ b i (ϱ 2) ε+δ i ((ϱ ) ε +δ) (ϱ ) ε+δ ζ r ϱ b i (ϱ ) ε +δ i (ϱ)ε+δ (ϱ 2 ) ε +δ i ((ϱ 2 ) ε +δ) (ϱ 2) ε+δ, III= h 2 ζ r (ϱ 2) ε +δ (ϱ ) ε +δ ϱ (ϱ ) ε +δ (ϱ 2 ) ε +δ = h 2 ζ r (ϱ ϱ ) ε+δ ((ϱ ) ε + δ) h 2 ζ r (ϱ ϱ 2) ε+δ ((ϱ 2 ) ε + δ), T T IIdxd = (ϱ ϱ ζ 2 ) ε +δ r (ϱ ) ε+δ (ϱ ) ε +δ (ϱ dxd 2) ε+δ T = (ζr ϱ (ϱ ) ε +δ ((ϱ ) ε + δ) ζ r ϱ (ϱ 2 ) ε +δ ((ϱ 2 ) ε + δ)dxd T =: (IIa IIb)dxd, 25

26 T T (IIa)dxd = T = ζr ( ϱ (ϱ ) ε+δ div(b ϱ ) ε + h 2 ϱ (ϱ ) ε+δ (ϱ ) ε )dxd ζr ( ϱ (ϱ ) ε +δ (b ϱ ) ε h 2 ϱ (ϱ ) ε +δ (ϱ ) ε )dxd T + ζr ( ϱ (ϱ ) ε +δ (b ϱ ) ε h 2 T ϱ =: ζr ( (ϱ (b ) ε+δ ϱ ) ε h ϱ 2 ϱ ϱ (ϱ ) ε +δ (ϱ ) ε )dxd ϱ ((ϱ ) ε+δ) 2 ((ϱ ) ε + δ) (b ϱ ) ε (ϱ ) ε +δ (ϱ ) ε + h 2 ((ϱ ) ε +δ) ((ϱ 2 ) ε + δ) (ϱ ) ε )dxd T T + (IIaa IIab)dxd =: (IIac+IIaa IIab)dxd, T T (IIb)dxd = ζr ( T = ϱ (ϱ 2) ε+δ div(b 2ϱ 2 ) ε + h 2 ϱ (ϱ 2) ε+δ (ϱ 2) ε )dxd ζr ( ϱ (ϱ 2 ) ε +δ (b 2ϱ 2 ) ε h 2 ϱ (ϱ 2 ) ε +δ (ϱ 2) ε )dxd T + ζr ( ϱ (ϱ 2 ) ε +δ (b 2ϱ 2 ) ε h 2 T ϱ =: ζr ( (ϱ (b 2) ε+δ 2ϱ 2 ) ε h ϱ 2 ϱ (ϱ 2 ) ε +δ (ϱ 2) ε )dxd ϱ ((ϱ 2) ε+δ) 2 ((ϱ 2 ) ε + δ) (b 2 ϱ 2 ) ε ϱ (ϱ 2 ) ε +δ (ϱ 2) r,ε + h 2 ((ϱ 2 ) ε +δ) ((ϱ 2 2 ) ε + δ) (ϱ 2 ) ε )dxd T + (IIba IIbb)dxd. Die Grenzwere lim können aufgrund der Approximaion der Gläung auf ε kompaken Mengen durchgeführ weden. Die Terme IIaa,IIab,IIba und IIbb verschwinden mi lim lim uner Benuzung der Inegrabiliä von ( ϱ /2 ) 2 r ε bzw. (b /2 ϱ /2 ) 2 und der Tasache, dass ζ r Br/2 () Br c() konsan is und somi die Ableiungen dor verschwinden bzw. sons beschränk bleiben r. Der Term IIac verschwinde offensichlich mi lim lim lim uner Benuzung der δ r ε Inegrabiliä von ( ϱ /2 ) 2 bzw. (b /2 ϱ /2 ) 2. 5) Miels der schwachen Fokker-Planck-Gleichung zeig man (ϱ/2 (T, x))ζ r (x) ln((ϱ /2 (T, x)) ε + δ)dx (ϱ/2 (, x))ζ r (x) ln((ϱ /2 (, x)) ε + δ)dx = T + T ζr ( h 2 ϱ /2 (ϱ /2 ) ε (ϱ /2 ) ε+δ + b /2 (ϱ /2 ) ε (ϱ /2 ) ε+δ ϱ /2 + (ϱ /2) ε (ϱ /2 ) ε+δ (ϱ /2 ) ε )dxd ( h 2 ( ϱ /2 ζ r ) ln((ϱ /2 ) ε + δ) + (b /2 ζ r )ϱ /2 ln((ϱ /2 ) ε + δ))dxd. Die Terme mi Ableiungen von ζ r verschwinden wie gehab im Limes lim Der Term lim. r ε 26

27 T ζr (ϱ /2 ) ε (ϱ /2 ) ε+δ (ϱ /2 ) ε dxd := T δrε verschwinde im Limes lim lim lim wie in 4) IIac. In den reslichen Termen δ r ε kann der Grenzübergang lim durchgeführ werden und es folg ε (**) ϱ/2 (T, x)ζ r (x) ln(ϱ /2 (T, x) + δ)dx ϱ/2 (, x)ζ r (x) ln(ϱ /2 (, x) + δ)dx = T ζr ( h 2 ϱ /2 ϱ /2 ϱ /2 +δ + b /2 ϱ /2 ϱ /2 +δ ϱ /2 )dxd + T δr + o(r). Nach der Schwarz-Ungleichung in B r () bzgl. des Skalarprodukes gegeben durch das Maß mi der Lebesgue-Diche ζ r ϱ /2 +δ gil T ζr b /2 ϱ /2 ϱ /2 +δ ϱ /2 dxd T ζr (b /2 ϱ /2 ) 2 ϱ /2 +δ T dxd Der Limes lim r kann durchgeführ werden und es folg, da in δ beschränk is, bzw. lim δ exisier T b/2 ϱ /2 ϱ /2 +δ ϱ /2 dxd Kons T ζr ( ϱ /2 ) 2 ϱ /2 +δ dxd. T ( ϱ/2 ) 2 ϱ /2 +δ dxd, mi einer Konsanen unabhängig von δ. Der Limes lim r (b/2 ϱ /2 ) 2 ϱ /2 +δ dxd kann in (**) durchgeführ werden. Wie in.2.2 gehab, kann man von der Unbeschränkhei T ( ϱ/2 ) von 2 dxd auf die Unbeschränkhei von ϱ /2 +δ T ( h ϱ /2 ϱ /2 2 ϱ /2 +δ + b /2 ϱ /2 ϱ /2 +δ ϱ /2 )dxd + T δ schließen. Da aber, z.b. (durch Fallunerscheidung zwischen Posiiv.- und Negaiveil) miels dem Saz von der monoonen Konvergenz gil lim δ ( ϱ /2 (T, x)ζ r (x) ln(ϱ /2 (T, x) + δ)dx ϱ/2 (, x)ζ r (x) ln(ϱ /2 (, x) + δ)dx) = Enrop(ϱ /2 (T, x), ϱ /2 (, x)) T is die linke Seie von (**) beschränk und es folg, dass ϱ/2 ϱ /2 ϱ /2 +δ dxd nowendig beschränk is in δ. Wiederum miels des Sazes von der monoonen T ϱ/2 ϱ Konvergenz folg dann aber die Exisenz der Inegrale /2 ϱ /2 dxd <. 27

28 6) Die Grenzübergänge lim lim lim können in 3) bzw. 4) aufgrund der δ r ε Approximaion der Gläung auf kompaken Mengen und der Inegrabiliä von ( ϱ /2 ) 2 ϱ /2 aus 5) ausgeführ werden. Da nach Voraussezung ϱ (, x) = ϱ 2 (, x) folg somi T = lim δ lim ϱ (T, x) ln ϱ (T,x)+δ δ ϱ 2 (T,x)+δ dx [ h 2 ( ϱ ϱ ( ϱ ϱ +δ ϱ2 ϱ 2 +δ ) ϱ2 ϱ 2 +δ ( ϱ ϱ ϱ2 ϱ 2 +δ )+ (b 2 ϱ 2 ϱ 2 +δ ( ϱ ϱ ϱ 2 ϱ 2 +δ ) b ( ϱ ϱ +δ ϱ 2 ϱ 2 +δ )]ϱ dxd. Bei der Durchführung des Limes δ schließ man auf der linken Seie der Ideniä miels des Sazes von der monoonen Konvergenz (durch Fallunerscheidung von Posiiv.- bzw. Negaiveil) und auf der rechen Seie miels der Exisenz der Inegrale aus 5). Es folg, dass die relaive Enropie zum Zeipunk T exisier und es gil, da auch nach Voraussezung b 2 = b ϱ (T, x) ln ϱ (T,x) ϱ 2 (T,x) dx = T h 2 ( ϱ ϱ ϱ 2 ϱ 2 ) 2 ϱ dxd. Insbesondere is die relaive Enropie bzgl. ϱ, ϱ 2 zum Zeipunk T negaiv. 7) Angenommen ϱ ϱ 2 essenziell, d.h. auf einer Menge posiiven Maßes, dann gil, wobei hier ϱ /2 immer für ϱ /2 (T, x) seh Man ha aber auch {ϱ ϱ 2 }ϱ ln ϱ ϱ 2 dx 6) {ϱ <ϱ 2 }ϱ ln ϱ ϱ 2 dx. {ϱ<ϱ 2}ϱ ln ϱ ϱ 2 dx = {ϱ<ϱ 2}ϱ ln ϱ2 ϱ dx < {ϱ<ϱ 2}ϱ 2 ln ϱ2 ϱ dx Analog durch Verauschung von ϱ und ϱ 2 {ϱ ϱ 2}ϱ 2 ln ϱ2 ϱ dx {ϱ ϱ 2}ϱ ln ϱ ϱ 2 dx. Widerspruch! Q.E.D. Korollar.2.4: Uner den Voraussezungen an eine schwache Lösung der Fokker-Planck-Gleichung in.2.3 gil, dass die enropische Geschwindigkei u = {ϱ>} h 2 ln ϱ in L2 (ϱ) is, d.h. T u 2 ϱdxd <. Außerdem folg aus der Exisenz der Enropie in R zu den Zeipunken T und die Exisenz zu allen Zeipunken [, T ]. Es gil Eindeuigkei zu allen Zeipunken (in der Klasse mi den gegebenen Voraussezungen). Beweis: Die Behaupungen folgen leich aus den Beweisführungen in.2.3.5), da man jez auf der rechen Seie von (**) Exisenz in R ha. Q.E.D. 28

29 2 Sochasischer Massenranspor 2. Definiion des sochasischen Massenranspores Seien χ und χ 2 zwei Dichefunkionen auf dem R n mi den Definiionsbereichen Ω und Ω 2, deren Regulariä man relaiv allgemein feslegen kann. Es gele die Normierung Ω χ (x)dx = Ω 2 χ 2 (y)dy. Das deerminisische (L 2 -)Massenransporproblem (siehe [GaMcC,RaRü,Vi]), bzgl. quadraischer Kosenfunkion, beinhale, χ und χ 2 als Bilddichen, durch eine opimale Abbildung D ineinander zu ransformieren. D.h. is der pushforward D # χ : Ω 2 R + einer Dichefunkion χ durch die Abbildung D : Ω Ω 2 wie gehab definier miels Ω 2 D # χ(y)f(y)dy = Ω χ(x)f(dx)dx f C (Ω 2 ), dann minimier der deerminisische Massenranspor das Funkional x Dx 2 χ (x)dx =! inf Ω D mi D # χ = χ 2. Durch die Quadrawurzel dieses Ausdruckes wird die Wassersein-Disanz zwischen χ und χ 2 definier. Nowendig für ein Minimum is die Monge- Ampère-Gleichung χ 2 (D(x)) de(( j D i ) ij (x)) = χ (x). Das zenrale Resula in diesem Zusammenhang is, dass D exisier und Gradien einer konvexen Funkion is ([RaRü2,Br]. Siehe auch [GaMcC,Vi] als Referenz zum Massenranspor). Hierdurch sind die zweien Ableiungen in der Monge-Ampère-Gleichung gerechferig. Die Verbindung zu Geodäischen ergib sich ohne Weieres, wenn man die Verknüpfung von χ und χ 2 durch D zeikoninuierlich über die Konvex-Kombinaion vornimm. Hierbei ha man folgendes Resula von Brenier und Benamou [BrBe] (man siehe auch [Vi] für eine analyische Präzessierung des Problems und des Raumes der (v, ϱ)): Seien ϱ, ϱ R n R vorgegeben mi ϱ (x)dx = ϱ (x)dx = und T R +. Das Variaionsproblem T v 2 ϱdxd =! inf ; v,ϱ v : [, T ] R n R n C ϱ : [, T ] R n R + C, ϱ dx =, ϱ(,.) = ϱ, ϱ(t,.) = ϱ T, ϱ + div(ϱv) = 29

30 wird minimier durch das eindeuige Paar (v, ϱ) definier durch die zum Transporproblem gehörende konvexe Funkion Φ durch f (, x) ϱ(, x) ddx = f (, x + Φ x T ) ϱ (x) ddx, f (, x) ϱ(, x) v(, x)ddx = Φ x T f (, x + Φ x T ) ϱ (x) ddx f C. Der Variaionsformalismus is der gleiche wie in der geomerischen Opik. Die zeiseige geradlinige Verbindung zwischen Ursprungspunk und Bildpunk, definier durch x + ( Φ x) T, [, T ] bilde den Lichweg. Definiion 2..:(Sochasischer (L 2 -)Massenranspor, vgl. auch [Mi] für eine Variane.) In Analogie sei das sochasische Massenransporproblem zu den Daen µ /T Wahrscheinlichkeismaße auf dem R n, T, h R + nun wie folg definier T b(, Y ) 2 dp d =! inf b,p,b b : [, T ] R n R n, dy = b(, Y )d + hdb, Y/T P = µ /T. (Ω, I, B, P ) is eine Brown sche Bewegung mi Sar in und (Ω, I, Y, P ) is eine Brown sche Bewegung mi Sarvereilung P Y. Das Infimum wird über alle Iô-Diffusionsgleichungen gebilde, die die Randbedingungen erfüllen. (Ω, I, Y, P ) kann als kanonische Brown sche Bewegung mi Sarvereilung µ auf dem R n fes vorgegeben gedach werden. Also wie gehab Ω = C ([, T )], R n ), Y = X is gegeben durch die Koordinaenabbildung X (c) = c(), I is die durch X s, s erzeuge σ-algebra und P die übliche Konsrukion aus dem Wiener-Maß mi Sarvereilung. Die obige Definiion is eine Markov sche Variane des sochasischen Massenranspores. Minimier werden kann auch über alle Tripel (b, P, Y ), wobei Y Diffusion bzgl. P mi Diffusionsmarix h id und Drif b is. Es zähl nur, was das Tripel bei Anwendung des Bildinegralsazes liefer. Also eine Bilddiche und eine Drif, die die Fokker-Planck-Gleichung erfüllen. Proposiion 2..2: Seien ϱ /T L L, posiiv, ϱ /T L = und es exisieren die Enropien ϱ /T ln ϱ /T dx in R. Sei (Ω, I, X, P ) die kanonische Brown sche Bewegung mi Sarvereilung P X. Folgende Variaionsprobleme lassen sich ineinander umformulieren I) T b(, x) 2 ϱdxd =! inf, b,ϱ 3

31 b : [, T ] R n R n L C, ϱ : [, T ] R n R + L, ϱ dx =, ϱ(, x) = ϱ, ϱ(t, x) = ϱ T, ϱ + div(ϱb) 2 h ϱ Fokker-Planck-Gleichung gil schwach! II) T b(, X ) 2 dp d =! inf, b,p,b b : [, T ] R n R L C, dx = b(, X )d + hdb, (Ω, I, B, P ) Brown sche Bewegung mi Sar in, so daß P [X dx] = ϱ dx, P [X T dx] = ϱ T dx. Beweis: II)= I) Die Aussage ergib sich aus dem Bildinegralsaz und der Tasache, dass wegen..3 und..8.b) (oder.2.) die sochasische Diffusionsdifferenzialgleichung dx = b(, X )d+ hdb, für die Vereilung ϱ(, x)dx = P [X dx], die Fokker-Planck-Gleichung ϱ + div(ϱb) 2h ϱ = schwach erfüll und die Vorraussezungen in I) erfüll. I)= II) Sei b gegeben. Da b nach Voraussezung beschränk is, gib es nach dem Lemma..7 eine schwache Lösung (Ω, I, B, P ) der sochasischen Diffusionsdifferenzialgleichung mi Sarvereilungsdiche ϱ. Diese schwache Lösung erfüll wiederum die schwache Fokker-Planck-Gleichung nach..3 und..8.b) (bzw..2.). Insbesondere wegen.2.2 sind die Voraussezungen von.2.3 erfüll. Aus dem Korollar.2.4 folg die Eindeuigkei zu allen Zeipunken. ϱ is mihin wegen.2.3 in der Fokker-Planck-Gleichung zu allen Zeipunken eindeuig durch Vorgabe der Sardiche ϱ besimm, insbesondere is auch die Zeirandwerbedingung zu T erfüll. Die Gleichhei der Funkionale ergib sich wiederum aus dem Bildinegralsaz. Q.E.D. Bemerkung 2..3: Die Brown sche Bewegung (Ω, I, X, P ) mi einer Sarvereilung P X, is bei der schwachen Lösung beliebig fes vorgegeben. (Ω, I, X, P ) heiß die gewähle Realiä des sochasischen Massenransporproblems. Sei (Ω, I, B, P ) eine minimierende Lösung, dann heiß B der Beobacher zu den Randweren ϱ und ϱ T und dem Zeipunk T. P heiß die beobachee Verzerrung der Realiä. 2.2 Lagrange-Formalismus Der Lagrange sche Formalismus für ein punkdynamisches Sysem auf dem R n besiz eine sochasische Verallgemeinerung. Für eine elemenare Lagrange sche Funkion L(x(), x()) = 2 x(), x() V (x()), mi einer Riemann schen 3

32 Merik.,., is diese Verallgemeinerung durch den sochasischen Massenranspor inklusive eines reibenden Poenzials gegeben. Die Euler-Lagrange-Gleichungen des Variaionsproblems sind durch die sochasischen Newon-Gleichungen gegeben. Dadurch wird Newon s Krafgesez verallgemeiner. Definiion 2.2.: (Variaionsproblem) Sei ein Variaionsfunkional F : V R auf einer linearen Konkurrenzschar K, für die Nebenbedingungen für F gelen, definier. Sei das Problem homogen, d.h. es gib einen Unerraum U K, genann Variaionsschar, so dass für Elemene f K folg f + u K u U. Dann heiß ein Elemen f aus der Konkurrenzschar saionär bzgl. der Variaion mi U genau dann wenn d dε ε=f (f + εu) = u U, wobei Exisenz für die Ableiung ohne Einschränkung gegeben sei. Man schreib dann auch δf (f) =!, um die Suche nach einer saionären Lösung darzusellen. Der Lagrange sche Formalismus für ein punkdynamisches Sysem, auf dem R n mi einer Lagrange schen Funkion L, is gegeben durch ( δ L(, x(), x())d )! =, Randwere für x(), x(). Variier wird über alle differenzierbaren Wege (C ) mi kompakem Träger im Zeiinervall [,] bzgl. der Konkurrenzschar der differenzierbaren Wege (C ) die die Zeirandwerbedingung erfüllen. Die Euler-Lagrange-Gleichungen für dieses Problem lauen [CouHi] d d L L x x =. Die bisher bekanne sochasische Verallgemeinerung is gegeben durch Variaion des Yasue-Problems [Ya,Ne2,BlCoZh] T ( δj(y ) = δ( 2 L(, Y, DY ) + 2 L(, Y, D Y ) ) dp d) =!, Variier werden als Konkurrenzschar die Diffusionen (Y, P ), so dass Y eine Diffusion bzgl. P mi Drif b is, für die das Funkional in R is. Es gele P [Y dx] = ϱ dx, P [Y T dx] = ϱ T dx. Gesuch is eine glae Lösung (Y, P ) die Diffusionsmarix h id besiz. In Abänderung (und Simplifizierung) des Variaionsformalismus, im Vergleich zu [Ya,Ne2,BlCoZh], werden hier Diffusionen variier. Eine glae Diffusion Y mi ϱ(, x)dx = P [Y dx] die die Zeirandwerbedingung erfüll is saionär, wenn für alle Zufallsvekoren ξ = η(, Y ), η : [, T ] R n R n differenzierbar mi kompakem Träger in {ϱ > } [, T ] R n (also insbesondere mi Zeinullrandweren), folg: d dε ε=j(y +εξ) =. Wie man miels der Beweisführung in..2 sieh is Y + εξ wieder Diffusion bzgl. P. Außerdem erfüll die Diffusion Y + εξ wegen der Kompakhei des Trägers von η die Zeirandbedingungen. Y + εξ is also in der Konkurrenzschar der Diffusionen enhalen. Im Gegensaz zu den eher sochasischen Variaionsformalismen aus [Ya,Ne2,BlCoZh] is hier ein ganz klassischer Formalismus gegeben. Man finde durch Variaionsrechnug 32