Ein Finite Volumen Verfahren zur Lösung magnetoplasmadynamischer Erhaltungsgleichungen

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1 Ein Finite Volumen Verfahren zur Lösung magnetoplasmadynamischer Erhaltungsgleichungen Von der Fakultät Luft und Raumfahrttechnik und Geodäsie der Universität Stuttgart zur Erlangung der Würde eines Doktor Ingenieurs (Dr Ing) genehmigte Abhandlung vorgelegt von Jörg Heiermann geb in Düsseldorf Hauptberichterin: Prof Dr Ing habil Monika Auweter Kurtz Mitberichter: Prof Dr rer nat habil Claus Dieter Munz Prof Dr Ing habil Dr hc Wolfgang Wendland Tag der mündlichen Prüfung: 22 Oktober 2002 Institut für Raumfahrtsysteme Universität Stuttgart 2002

2 In memoriam 51 L

3 Kurzfassung Zur Lösung der Erhaltungsgleichungen für Argonplasmaströmungen in magnetoplasmadynamischen Eigenfeldbeschleunigern, die in der Raumfahrt aufgrund ihres hohen spezifischen Impulses und ihrer hohen Schubdichte als Antriebe für interplanetare Raumflugmissionen eingesetzt werden können, wurde in dieser Arbeit ein Finite Volumen Verfahren entwickelt Für verschiedene Düsengeometrien durchgeführte Berechnungen zeigen, daß die Diffusion aufgrund des Elektronendrucks den Lichtbogen aus düsenförmigen Eigenfeldbeschleunigern heraustreibt und den Lichtbogenansatz auf der Anode maßgeblich bestimmt In Übereinstimmung mit dem Experiment kann gezeigt werden, daß eine primäre Ursache für Plasmainstabilitäten bei hohen Strömen die durch den Pinch Effekt hervorgerufene Dichte und Ladungsträgerverarmung vor der Anode ist Die berechneten Schübe stimmen mit experimentellen Werten gut überein, sodaß das neuentwickelte Verfahren zum Entwurf und zur Optimierung neuer Triebwerke benutzt werden kann Abstract A finite volume method has been developed in this work for solving the conservation equations of argon plasma flows in magnetoplasmadynamic self field accelerators These accelerators can be used for interplanetary spaceflight missions because of their high specific impulse and high thrust density, Calculations for different nozzle geometries show that the diffusion caused by the electron pressure drives the arc out of nozzle type self field accelerators and influences the arc attachment on the anode significantly In agreement with the experiment it has been found that a primary reason for plasma instabilities at high current settings is the depletion of density and charge carriers in front of the anode because of the pinch effect The calculated thrust data agree well with experimental values, so that the newly developed method can be used for the design and optimization of new thrusters A summary in English is included at the end of this thesis 3

4 Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand im Rahmen des DFG Schwerpunktprogramms Analysis und Numerik von Erhaltungsgleichungen im Institut für Raumfahrtsysteme (IRS) der Universität Stuttgart Bei Prof Dr Ing habil Monika Auweter Kurtz bedanke ich mich herzlich für die Übernahme des Hauptberichts Ihr stetes Interesse und ihre tatkräftige Unterstützung unterstreichen ihre hervorragende Betreuung, bei der sie mir sehr große Freiheit gewährte Prof Dr rer nat habil Claus Dieter Munz und Prof Dr Ing habil Dr hc Wolfgang Wendland danke ich für das große Interesse an meiner Arbeit und die Übernahme des Mitberichts Für die Aufnahme als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut danke ich Prof Dr rer nat Ernst Messerschmid Prof Dr Edgar Choueiri und Prof Dr Stephen Jardin (Princeton University, New Jersey, USA), Prof Dr Gheorghe Moroşanu (AI Cuza Universität, Iaşi, Rumänien), Prof Dr rer nat habil Thomas Sonar (Universität Braunschweig), Prof Dr rer nat habil Gerald Warnecke (Universität Magdeburg), PD Dr rer nat habil Andreas Meister (Universität Lübeck), PD Dr Ing habil Christian Sleziona (IHI Charging Systems International GmbH, Heidelberg), Dr Ing Christian Boie (FEV Motorentechnik GmbH, Aachen), Dr Ing Albrecht Eberle (European Aeronautic Defence and Space Company, München), Dr rer nat Uwe Iben (Robert Bosch GmbH, Stuttgart), Dr Petr Nikrityuk (TU Dresden) und M Sc Kameshwaran Sankaran (Princeton University, New Jersey, USA) danke ich für die freundschaftliche und gewissenhafte Unterstützung und Zusammenarbeit beim Verstehen mathematischer und physikalischer Zusammenhänge und bei der Entwicklung der numerischen Verfahren Zu großem Dank bin ich Hans Kaeppeler verpflichtet Seine wertvollen Erfahrungen und konstruktiven Hinweise haben diese Arbeit wesentlich geprägt Besonderer Dank gilt Dr rer nat Cristian Coclici (Universität Kaiserslautern) für die aufmerksame und sorgfältige Begleitung der Programmierarbeit und seine zahlreichen mathematischen Anregungen Dr Ing Stefan Laure, Dipl Ing Torsten Laux, Dipl Ing Michael Winter und Edgar Schreiber danke ich für die experimentelle Unterstützung Für die angenehme und kreative Atmosphäre bedanke ich mich bei allen Kolleginnen und Kollegen am IRS Der Deutschen Forschungsgemeinschaft danke ich für die finanzielle Förderung Jörg Heiermann 4

5 Inhaltsverzeichnis Kurzfassung 3 Abstract 3 Vorwort 4 Inhaltsverzeichnis 6 Abbildungsverzeichnis 7 Nomenklatur 10 1 Einleitung 16 2 Erhaltungsgleichungen Grundannahmen für die Modellierung Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie der Schwerteilchen Erhaltungsgleichung für die Turbulenz Erhaltungsgleichung für die Elektronenenergie Erhaltungsgleichung für das Magnetfeld Ionisationsreaktionsraten Transportkoeffizienten Randbedingungen 42 3 Numerische Verfahren Grundlagen der räumlichen Diskretisierung Flux Vector Splitting WENO Rekonstruktion 2 Ordnung Diskretisierung reibungsbehafteter Flüsse Gradientenberechnung mit Least Squares Ansatz FV Diskretisierung der Schwerteilchenerhaltungsgleichungen FV Diskretisierung der Turbulenzerhaltungsgleichung FV Diskretisierung der Elektronenenergieerhaltungsgleichung FV Diskretisierung der Magnetfelderhaltungsgleichung FV Diskretisierung der Randbedingungen Diskretisierung der Zeitintegration Fehlerabschätzung und Gitteradaption 67 5

6 4 Ergebnisse Plasmabeschleuniger RD Düsenförmiges Triebwerk DT Triebwerk mit Heißer Anode HAT Zusammenfassung und Ausblick 114 Literaturverzeichnis 116 Summary 125 Lebenslauf 129 6

7 Abbildungsverzeichnis 11 Schematische Darstellung eines MPD Eigenfeldtriebwerks MPD Triebwerk DT MPD Triebwerk HAT Plasmabeschleuniger RD Reaktionsraten k f,i der Elektronenstoßionisation Reaktionsraten k b,i der Dreierstoßrekombination Schwerteilchendichten und Elektronendichte im thermischen und Ionisationsreaktions Gleichgewicht (p = P a) Wärmeleitfähigkeit der Elektronen Elektrische Leitfähigkeit Viskosität der Schwerteilchen Wärmeleitfähigkeit der Schwerteilchen Reaktive Wärmeleitfähigkeit der Elektronen Diffusionskoeffizienten der Schwerteilchen (p = P a) Wärmeübergang durch elastischen Energietransfer zwischen Elektronen und Schwerteilchen Duale Zellen als Kontrollvolumina Duale Zellen am Rand Gesamtansicht des adaptierten Primärgitters für den Plasmabeschleuniger RD3 (12163 Gitterpunkte, 1500 A, 24 g/s) Teilansicht des adaptierten Primärgitters für den Plasmabeschleuniger RD3 (12163 Gitterpunkte, 1500 A, 24 g/s) RD3: Stromverteilung Ψ, 500 A, 24 g/s (100 A zwischen 2 Isolinien) RD3: Stromverteilung Ψ, 1000 A, 24 g/s (100 A zwischen 2 Isolinien) RD3: Stromverteilung Ψ, 1500 A, 24 g/s (100 A zwischen 2 Isolinien) RD3: Stromverteilung Ψ, 2000 A, 24 g/s (100 A zwischen 2 Isolinien) RD3: Stromverteilung Ψ, 1000 A, 24 g/s, ohne den Term 1 p e en e im Ohm schen Gesetz (100 A zwischen 2 Isolinien) RD3: Stromverteilung Ψ, 2000 A, 24 g/s, ohne den Term 1 p e en e im Ohm schen Gesetz (100 A zwischen 2 Isolinien) RD3: Elektronentemperatur T e, 2000 A, 24 g/s RD3: Schwerteilchentemperatur T h, 2000 A, 24 g/s RD3: Ionisationsgrad α, 2000 A, 24 g/s 80 7

8 412 RD3: Dichte log 10 (ρ), 2000 A, 24 g/s RD3: Mit Keramikabdeckung, Modifikation RD3: Mit Keramikabdeckung, Modifikationen 2 (links) und 3 (rechts) Strom /Spannungsmeßkurven RD RD3: Stromverteilung Ψ, 2000 A, 24 g/s, Modifikation 1 mit Keramikabdeckung (100 A zwischen 2 Isolinien) Teilansicht des adaptierten Primärgitters für das MPD Eigenfeldtriebwerk DT2 (29518 Gitterpunkte, 4000 A, 08 g/s) DT2: Stromverteilung Ψ, 2000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) DT2: Stromverteilung Ψ, 3000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) DT2: Stromverteilung Ψ, 4000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) DT2: Stromverteilung Ψ, 5000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) DT2: Dichte log 10 (ρ), 2000 A, 08 g/s DT2: Dichte log 10 (ρ), 3000 A, 08 g/s DT2: Dichte log 10 (ρ), 4000 A, 08 g/s DT2: Dichte log 10 (ρ), 5000 A, 08 g/s DT2: Schwerteilchentemperatur T h, 4000 A, 08 g/s DT2: Schwerteilchentemperatur T h, 5000 A, 08 g/s DT2: Elektronentemperatur T e, 4000 A, 08 g/s DT2: Elektronentemperatur T e, 5000 A, 08 g/s DT2: Stromverteilung Ψ, 3000 A, 03 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) DT2: Dichte log 10 (ρ), 3000 A, 03 g/s DT2: Schwerteilchentemperatur T h, 3000 A, 03 g/s DT2: Elektronentemperatur T e, 3000 A, 03 g/s DT2: Axiale Geschwindigkeit v z im Düsenendquerschnitt DT2: Machzahl Ma = v /c im Düsenendquerschnitt DT2: Elektronentemperatur T e im Düsenendquerschnitt im Vergleich mit experimentellen Daten, 4000 A, 08 g/s Teilansicht des adaptierten Primärgitters für das MPD Eigenfeldtriebwerk HAT (28034 Gitterpunkte, 2000 A, 08 g/s) HAT im Betrieb, 2000 A, 08 g/s HAT: Schwerteilchentemperatur T h, 2000 A, 08 g/s HAT: Stromverteilung Ψ, 2000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) HAT: Stromverteilung Ψ, 3000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) HAT: Stromverteilung Ψ, 4000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) HAT: Stromverteilung Ψ, 5000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) HAT: Dichte log 10 (ρ), 4000 A, 08 g/s HAT: Dichte log 10 (ρ), 5000 A, 08 g/s HAT: Schwerteilchentemperatur T h, 4000 A, 08 g/s HAT: Schwerteilchentemperatur T h, 5000 A, 08 g/s HAT: Elektronentemperatur T e, 4000 A, 08 g/s HAT: Elektronentemperatur T e, 5000 A, 08 g/s HAT: Stromverteilung Ψ, 3000 A, 03 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) HAT: Dichte log 10 (ρ), 3000 A, 03 g/s HAT: Schwerteilchentemperatur T h, 3000 A, 03 g/s HAT: Elektronentemperatur T e, 3000 A, 03 g/s 110 8

9 454 HAT: Axiale Geschwindigkeit v z im Düsenendquerschnitt HAT: Machzahl Ma = v /c im Düsenendquerschnitt HAT: Elektronentemperatur T e im Düsenendquerschnitt im Vergleich mit experimentellen Daten, 2000 A, 08 g/s HAT: Elektronentemperatur T e im Düsenendquerschnitt im Vergleich mit experimentellen Daten, 3000 A, 08 g/s HAT: Elektronentemperatur T e im Düsenendquerschnitt im Vergleich mit experimentellen Daten, 4000 A, 08 g/s 113 9

10 Nomenklatur A i [ ] Normierte Bindungsenergie A ε [ ] Schließungskoeffizient A µ [ ] Schließungskoeffizient Ar (i)+ [ ] i fach ionisiertes Argon a [ ] Vektor a i [ ] Koeffizient B [T ] Magnetische Flußdichte B [T ] Azimutale magnetische Flußdichte b i [ ] Koeffizient C, C 1, C 2 [ ] Konstanten C0 [ ] Raum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger CF L B [ ] Steuerzahl CF L e [ ] Steuerzahl CF L h [ ] Steuerzahl C ε1, C ε2 [ ] Konstanten zur Gittergrößenberechnung C ε1, C ε2 [ ] Schließungskoeffizienten C µ [ ] Schließungskoeffizient c [m s 1 ] Magnetoakustische Geschwindigkeit c [m s 1 ] Mittlere thermische Geschwindigkeit c i [ ] Koeffizient c p [J kg 1 K 1 ] Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck D ij [m 2 s 1 ] Binärer Diffusionskoeffizient D [m 2 ] Determinante D im [m 2 s 1 ] Diffusionskoeffizient der Schwerteilchenspezies i D im [m 2 s 1 ] Effektiver Diffusionskoeffizient der Schwerteilchenspezies i E [V m 1 ] Elektrische Feldstärke E [ ] Zellrand einer dualen Zelle e [ ] Elektron e h [ ] Fehler der numerischen gegenüber der exakten Lösung e h [J m 3 ] Schwerteilchenenergie pro Volumeneinheit e e [J m 3 ] Elektronenenergie pro Volumeneinheit F [N] Schub F [ ] Vektorfunktion Finvisc B [T m s 1 ] Reibungsfreier Fluß der magnetischen Flußdichte FW B ENO [T m s 1 ] Finvisc B mit auf der Zellwand WENO rekonstruierten Variablen 10

11 Finvisc div v [m s 1 ] Reibungsfreier Fluß FW div v ENO [m s 1 ] Finvisc div v mit auf der Zellwand WENO rekonstruierten Variablen F ee invisc [J m 2 s 1 ] Reibungsfreier Fluß der Elektronenenergie F ee W ENO [J m 2 s 1 ] F ee invisc mit auf der Zellwand WENO rekonstruierten Variablen F e h invisc [J m 2 s 1 ] Reibungsfreier Fluß der Schwerteilchenenergie F e h W ENO [J m 2 s 1 ] F e h invisc mit auf der Zellwand WENO rekonstruierten Variablen F j B [N] Magnetischer Schub F n i invisc [m 2 s 1 ] Reibungsfreier Teilchendichtefluß der Spezies i F n i W ENO [m 2 s 1 ] F n i invisc mit auf der Zellwand WENO rekonstruierten Variablen F ρr invisc [kg s 2 ] Reibungsfreier Turbulenzfluß F ρr W ENO [kg s 2 ] F ρr invisc mit auf der Zellwand WENO rekonstruierten Variablen F ρvr invisc [kg m 1 s 2 ] Reibungsfreier radialer Impulsfluß F ρvr W ENO [kg m 1 s 2 ] F ρvr invisc mit auf der Zellwand WENO rekonstruierten Variablen F ρvz invisc [kg m 1 s 2 ] Reibungsfreier axialer Impulsfluß F ρvz W ENO [kg m 1 s 2 ] F ρvz invisc mit auf der Zellwand WENO rekonstruierten Variablen f h,invisc [W m 2 ] Reibungsfreier Fluß der Schwerteilchenenergiegleichung f h,visc [W m 2 ] Reibungsbehafteter Fluß der Schwerteilchenenergiegleichung f r,invisc [N m 2 ] Reibungsfreier Fluß der radialen Impulsgleichung f r,visc [N m 2 ] Reibungsbehafteter Fluß der radialen Impulsgleichung f z,invisc [N m 2 ] Reibungsfreier Fluß der axialen Impulsgleichung f z,visc [N m 2 ] Reibungsbehafteter Fluß der axialen Impulsgleichung f µ [ ] Nahwand Funktion f 2 [ ] Nahwand Funktion g [m] Lokale Gitterkantenlänge H0 1 [ ] Sobolev Raum H 1 [ ] Zu H0 1 dualer Sobolev Raum h [ ] Dimensionslose Gittergröße h 1l, h 2l [m s 1 ] Splitting Koeffizienten links von einer Zellwand h 1r, h 2r [m s 1 ] Splitting Koeffizienten rechts von einer Zellwand I [A] Elektrische Stromstärke j [A m 2 ] Elektrische Stromdichte j D,e [m 2 s 1 ] Diffusionsstrom der Elektronen j D,i [m 2 s 1 ] Massenkonservativer Diffusionsstrom der Schwerteilchenspezies i j D,i [m 2 s 1 ] Diffusionsstrom der Schwerteilchenspezies i K [m 3 ] Gleichgewichtskonstante K λe [ ] Korrekturfunktion für λ e K µh [ ] Korrekturfunktion für µ h K σ [ ] Korrekturfunktion für σ k [m 2 s 2 ] Turbulente kinetische Energie k b,i [m 6 s 1 ] Rekombinationsreaktionsraten der Schwerteilchenspezies i k f,i [m 3 s 1 ] Ionisationsreaktionsraten der Schwerteilchenspezies i 11

12 L [ ] Lipschitz Konstante l [ ] Strömungszustand links von einer Zellwand l [m] Länge eines Randsegmentes l λe [ ] Koeffizient l µh [ ] Koeffizient l σ [ ] Koeffizient M a [ ] Machzahl ṁ [kg s 1 ] Massenstrom n e [m 3 ] Elektronendichte n h [m 3 ] Gesamtschwerteilchendichte n i [m 3 ] Dichte der Schwerteilchenspezies i n ik [ ] Normaleneinheitsvektor der Zellwandfläche A ik n i,1, n i,2 [ ] Normaleneinheitsvektoren einer dualen Zelle i am Rand n r [ ] Radiale Komponente des Normaleneinheitsvektors n z [ ] Axiale Komponente des Normaleneinheitsvektors P [m 2 s 3 ] Turbulenter Produktionsterm P i [ev ] Bindungsenergie P r [ ] Prandtl Zahl P r T [ ] Turbulente Prandtl Zahl p [P a] Druck p e [P a] Elektronendruck p h [P a] Schwerteilchendruck Q ei [m 2 ] Stoßquerschnitt Elektron Schwerteilchenspezies i Q ij [m 2 ] Stoßquerschnitt Schwerteilchenspezies i j Q ee [m 2 ] Stoßquerschnitt Elektron Elektron q [m s 1 ] Geschwindigkeit q h [W m 3 ] Quellterm der Schwerteilchenenergiegleichung q i [ ] Koeffizient q n [m s 1 ] Normalengeschwindigkeit q r [N m 3 ] Quellterm der radialen Impulsgleichung R [m 2 s 1 ] Turbulente Erhaltungsgröße RHS B [T s 1 ] Rechthandseite der Erhaltungsgleichung für B RHS ee [J m 3 s 1 ] Rechthandseite der Erhaltungsgleichung für e e RHS e h [J m 3 s 1 ] Rechthandseite der Erhaltungsgleichung für e h RHS n i [m 3 s 1 ] Rechthandseite der Erhaltungsgleichung für n i RHS ρr [kg m 1 s 1 ] Rechthandseite der Erhaltungsgleichung für ρr RHS ρvr [kg m 2 s 2 ] Rechthandseite der Erhaltungsgleichung für ρv r RHS ρvz [kg m 2 s 2 ] Rechthandseite der Erhaltungsgleichung für ρv z R T [ ] Turbulente Reynoldszahl RND B [ ] Zufallszahl RND e [ ] Zufallszahl RND h [ ] Zufallszahl r [ ] Strömungszustand rechts von einer Zellwand r [m] Radiale Koordinate r 1, r 2 [kg m 2 s 1 ] Splitting Koeffizienten 12

13 r h [ ] Residuum r m, T orus [m] Radialer Massenschwerpunkt eines Torus mit Dreiecksquerschnitt S [ ] Quellterm Sh 0 [ ] Funktionenraum stückweise konstanter Funktionen Sh 1 [ ] Funktionenraum stückweise linearer Funktionen s [m s 1 ] Referenzgeschwindigkeit T e [K] Elektronentemperatur T h [K] Schwerteilchentemperatur T j [ ] Duales Dreieck j T ijk [ ] Duales Dreieck mit den Massenschwerpunktsecken i, j und k U [V ] Spannung U C+P +A [V ] Lichtbogenspannung U P [V ] Lichtbogenspannung ohne Elektrodenfallspannungen u [ ] Exakte Lösung des Systems von Erhaltungsgleichungen u [ ] Funktion u h [ ] Diskrete Lösung des Systems von Erhaltungsgleichungen u i [ ] Zustandssumme der Schwerteilchenspezies i v [m s 1 ] Schwerpunktsgeschwindigkeit des Plasmas v [ ] Funktion v e [m s 1 ] Geschwindigkeit der Elektronen v r [m s 1 ] Radiale Geschwindigkeitskomponente der Schwerteilchen v z [m s 1 ] Axiale Geschwindigkeitskomponente der Schwerteilchen x [m] Koordinate auf einem Randsegment x i,1, x i,2 [m] Integrationspunkte einer dualen Zelle i am Rand x ik [m] Integrationspunkt auf der Zellwandfläche A ik x m,i [m] Massenschwerpunkt einer dualen Zelle i Z i [ ] Ladungszahl der Schwerteilchenspezies i z [m] Axiale Koordinate z eff [ ] Effektive Ladungszahl z m, T orus [m] Axialer Massenschwerpunkt eines Torus mit Dreiecksquerschnitt α [ ] Ionisationsgrad α [ ] Parameter zur Dissipationskontrolle α ei [W m 3 K 1 ] Wärmeübergangskoeffizient zwischen Elektronen und Schwerteilchenspezies i β [m 3 C 1 ] Hallparameter γ [ ] Adiabatenexponent (γ = 5/3) A E [m 2 ] Zellwandfläche einer dualen Zelle A i [m 2 ] Querschnittsfläche einer dualen Zelle i A ik [m 2 ] Zellwandfläche zwischen den benachbarten dualen Zellen i und k A i,1, A i,2 [m 2 ] Flächenanteile einer dualen Zelle i am Rand A T orus [m 2 ] Querschnittsfläche eines Torus mit Dreiecksquerschnitt t B, t B,RND [s] Zeitschritt 13

14 t e, t e,rnd [s] Zeitschritt t h, t h,rnd [s] Zeitschritt V i [m 3 ] Volumen einer dualen Zelle i V T orus [m 3 ] Volumen eines Torus mit Dreiecksquerschnitt ε [ ] Kleine Zahl ε [m 2 s 3 ] Turbulente Dissipation η [ ] Dimensionslose Koordinate auf einem Randsegment κ [ ] Schließungskoeffizient λ e [W m 1 K 1 ] Wärmeleitfähigkeit der Elektronen λ h [W m 1 K 1 ] Wärmeleitfähigkeit der Schwerteilchen λ reac [W m 1 K 1 ] Reaktionswärmeleitfähigkeit der Elektronen λ T [W m 1 K 1 ] Turbulente Wärmeleitfähigkeit der Schwerteilchen λ 0, λ 1, λ 2 [m s 1 ] Eigenwerte µ h [kg m 1 s 1 ] Dynamische Viskosität der Schwerteilchen µ T [kg m 1 s 1 ] Turbulente Viskosität der Schwerteilchen νω h [ ] Fehlerindikator ν ω [s 1 ] Gewichteter Fehlerindikator ν ee [s 1 ] Stoßfrequenz Elektron Elektron ν ei [s 1 ] Stoßfrequenz Elektron Schwerteilchenspezies i ν h [m 2 s 1 ] Kinematische Viskosität der Schwerteilchen ν ie [s 1 ] Stoßfrequenz Schwerteilchenspezies i Elektron ν ij [s 1 ] Stoßfrequenz Schwerteilchenspezies i j ν T [m 2 s 1 ] Turbulente kinematische Viskosität der Schwerteilchen νω h [ ] Dimensionsloser Fehlerindikator ξ [ ] Koeffizient ξ i [ ] Massenanteil der Schwerteilchenspezies i ρ [kg m 3 ] Massendichte ρ el [C m 3 ] Ladungsdichte σ [Ω 1 m 1 ] Elektrische Leitfähigkeit σ ε [ ] Schließungskoeffizient τ rr [N m 2 ] Viskose radiale Normalspannung τ zr [N m 2 ] Viskose Schubspannung τ zz [N m 2 ] Viskose axiale Normalspannung τ ϕϕ [N m 2 ] Viskose azimutale Normalspannung χ i i+1 [J] Energie zur Ionisation der Schwerteilchenspezies i Ψ [ ] Funktion Ψ [T m] Stromfunktion Ψ i [ ] Molenbruch der Schwerteilchenspezies i Ω [ ] Rechengebiet ω [ ] Duale Zelle ω i [ ] Gewicht für einen Gradienten auf einem dualen Dreieck i ω i [m 3 s 1 ] Reaktionsquellterm der Schwerteilchenspezies i 14

15 Konstanten c = 2, ms 1 Lichtgeschwindigkeit im Vakuum e = 1, As Elektrische Elementarladung h = 6, Js Planck sches Wirkungsquantum k = 1, JK 1 Boltzmann-Konstante m e = 9, kg Elektronenmasse m h = 6, kg Schwerteilchenmasse Argonatom/ ion ε 0 = 8, AsV 1 m 1 Elektrische Feldkonstante µ 0 = 4π 10 7 V sa 1 m 1 Magnetische Feldkonstante 15

16 Kapitel 1 Einleitung Der bemannte interplanetare Raumflug ist nach den Apollo Mondlandungen, der Inbetriebnahme des teilweise wiederverwendbaren, erdnahen Raumtransportsystems Space Shuttle, der Kommerzialisierung der Nutzung von Erdbeobachtungs, Navigations und Telekommunikationssatelliten und dem Aufbau der internationalen Raumstation der nächste Meilenstein der Raumfahrt Zentrale Bedeutung kommt der Wahl des Antriebssystems zu, um interplanetare Missionen in vernünftig kurzer Zeit durchführen zu können Elektrische Raketenantriebe [1, 2] sind hierfür aufgrund ihrer im Vergleich mit chemischen Antrieben deutlich höheren spezifischen Impulse besonders geeignet [3] Allen elektrischen Antrieben gemeinsam ist, daß dem Treibstoff elektrische Energie zugeführt wird Die unterschiedlichen Bauweisen und physikalischen Mechanismen der Treibstoffbeschleunigung führen zu einer Unterscheidung von elektrostatischen, widerstandsbeheizten und Lichtbogentriebwerken In den elektrostatischen (Ionen ) Triebwerken werden Ionen durch elektrische Felder auf Austrittsgeschwindigkeiten bis 30 km/s beschleunigt, der Schub liegt bei einigen Milli Newton [4] Anwendung finden diese Triebwerke in der Bahnregelung und bei interplanetaren Missionen, die einen hohen, langandauernden Antriebsbedarf haben, aber keine hohen Beschleunigungswerte verlangen und nicht zeitkritisch sind Durch Wärmeaustausch an der Oberfläche elektrischer Widerstände wird in widerstandsbeheizten Triebwerken der Treibstoff erhitzt Bei einem Schub von einigen Newton sind die Austrittsgeschwindigkeiten meist deutlich geringer als das erreichbare Maximum von 8 km/s Einsatzgebiet ist die Lageregelung von Satelliten [5] In Lichtbogentriebwerken wird der Treibstoff durch einen elektrischen Lichtbogen aufgeheizt und ionisiert Die thermischen Lichtbogentriebwerke (TLT) entspannen bei Eingangsleistungen bis zu 100 kw den Treibstoff durch eine Düse bis auf Geschwindigkeiten von 20 km/s, wobei Schübe von einigen Newton erreicht werden können [6, 7] TLT werden seit einigen Jahren zur Bahnregelung von Satelliten eingesetzt [8] Bei den magnetoplasmadynamischen (MPD) Triebwerken wird der Treibstoff zusätzlich durch magnetische Kräfte beschleunigt, sodaß bei Austrittsgeschwindigkeiten von über 20 km/s Schübe bis zu 100 Newton erreicht werden Unterschieden werden MPD Fremdfeldtriebwerke, bei denen das Magnetfeld durch einen externen Magneten erzeugt wird [9], und MPD Eigenfeldtriebwerke, die durch einen hohen Lichtbogenstrom das Magnetfeld selber induzieren 16

17 Da sie bei Eingangsleistungen von 10 kw funktionieren und solche Leistungen von auf kommerziellen Satelliten installierten Solargeneratoren heutzutage erbracht werden, ist für die nächsten Jahre eine Entwicklung von TLT und MPD Fremdfeldtriebwerken als Transferantriebe zum geostationären Erdorbit abzusehen MPD Eigenfeldtriebwerke haben je nach Auslegung eine Eingangsleistung von ca 100 kw bis zu 1 MW, die durch große Solargeneratoren oder durch nukleare Energiequellen zur Verfügung gestellt werden müssen Da nukleare Energiequellen aufgrund ihrer kompakten Bauweise und der weiten Entfernung von der Sonne ohnehin die einzig sinnvollen Energiequellen für bemannte interplanetare Missionen ins äußere Sonnensystem sind, stellen MPD Eigenfeldtriebwerke neben nuklearthermischen Triebwerken wegen ihrer hohen Strahlgeschwindigkeit und ihrer hohen Schubdichte ein vorteilhaftes Antriebskonzept dar Abbildung 11: Schematische Darstellung eines MPD Eigenfeldtriebwerks Die Funktionsweise eines MPD Eigenfeldtriebwerks wird in Abbildung 11 veranschaulicht Durch die elektrische Entladung zwischen Anode und Kathode wird der mit dem Massendurchsatz ṁ strömende Treibstoff in einem Lichtbogen aufgeheizt und ionisiert, sodaß ein Plasma entsteht Durch die elektrische Stromdichte j wird ein azimutales Magnetfeld B induziert, und das Plasma wird durch die Lorentzkraft j B beschleunigt Während in zylindrischen Triebwerken hauptsächlich hierdurch der Schub erzeugt wird, kann in düsenförmigen Triebwerken zusätzlich durch die Expansion des heißen Plasmas in einer Lavaldüse ein weiterer thermischer Schubanteil, der in derselben Größenordnung wie der magnetische liegt, gewonnen werden Seit den achtziger Jahren werden am IRS MPD Antriebe sowohl experimentell [10, 11] als auch theoretisch [12, 13] und numerisch [14, 15, 16] untersucht Betrachtet werden dabei ingenieurtechnische Aspekte des Triebwerksentwurfs [17, 18] und grundlegende plasmaphysikalische Prozesse [19, 20, 21], um höhere Wirkungsgrade zu erzielen und leistungsbegrenzende Instabilitäten zu vermeiden Ursachen von durch Spannungsoszillationen und steigende Anodenverluste [22] gekennzeichneten Triebwerksinstabilitäten 17

18 sind die Ladungsträgerverarmung an der Anode [23], Mikroturbulenz [24, 25] und raumladungs, drift und gradientengetriebene Plasmainstabilitäten [20, 26, 27] Gebaut wurden am IRS neben anderen die düsenförmigen MPD Triebwerke DT2 und HAT, deren Aufbau in den Abbildungen 12 und 13 zu erkennen ist Die unkomplizierte Bauweise beinhaltet als wichtigste Komponenten die Kathode aus thoriertem Wolfram auf der Symmetrieachse, die Anode als letztes Segment der Düse und die zwischen den Elektroden angebrachten, isolierten und wassergekühlten Neutralsegmente Die Anode des DT2 besteht aus wassergekühltem Kupfer Da ein MPD Triebwerk im Einsatz weitestgehend strahlungsgekühlt sein wird, wurde die Anode des HAT als strahlungsgekühlte Wolframanode realisiert, um den Einfluß von Anodenmaterial und temperatur auf die Leistungsdaten des Triebwerks und seine Einsatzgrenzen zu untersuchen In der Geometrie dem DT2 sehr ähnlich ist der Plasmabeschleuniger RD3 (Abb 14) Er wird im Bereich der Plasmatechnologie am IRS vor allem zur Entwicklung und Qualifikation von Hitzeschutzmaterialien verwendet Um physikalische Grundlagenforschung an MPD Strömungen im Detail betreiben und um eine technische Optimierung von MPD Eigenfeldtriebwerken durchführen zu können, ist wie bei der Entwicklung von chemischen Raketentriebwerken [28] vor dem Hintergrund der hohen Kosten von Experimenten der Einsatz numerischer Verfahren zur Strömungssimulation notwendig Seit drei Jahrzehnten wird weltweit [29, 30, 31, 32, 33, 34, 35] an der Entwicklung von Rechenverfahren gearbeitet, wobei mit dem Fortschritt der Rechnertechnologie und der numerischen Algorithmen Umfang und Komplexität der zu diskretisierenden Erhaltungsgleichungen stets anstiegen Am IRS werden numerische Verfahren seit Beginn der achtziger Jahre kontinuierlich weiterentwickelt Auf der Basis strukturierter Gitter wurde ein Programmsystem entwickelt, mit dem Strömungen sowohl in elektrischen Triebwerken als auch in Plasmawindkanälen berechnet werden können [14, 15, 36, 37] Während die physikalische Modellbildung zur Berechnung von Strömungen in Plasmabeschleunigern und generatoren vorangetrieben werden konnte, war die Flexibilität bezüglich der Variation der Düsengeometrie und der Lösungsadaption aufgrund der Verwendung strukturierter Gitter gering Zudem wurde durch die Verwendung künstlicher numerischer Viskosität nur eine Lösungsgenauigkeit von 1 Ordnung im Raume erzielt Daher wurde ein numerisches Verfahren 2 Ordnung auf der Basis unstrukturierter, adaptiver Gitter entwickelt [11, 16], um Argonplasmaströmungen in MPD Eigenfeldtriebwerken zu berechnen Dabei wurden gemischte explizite Finite Volumen (FV) Verfahren und Finite Elemente Methoden (FEM) mit Successive Overrelaxation (SOR) zur Lösung der instationär und stationär angesetzten MPD Erhaltungsgleichungen unter der Voraussetzung von thermischem Nichtgleichgewicht, reaktivem Gleichgewicht und laminarer Strömung eingesetzt Darauf aufbauend werden in der vorliegenden Arbeit die physikalische Modellbildung erweitert und das numerische Verfahren grundlegend erneuert 18

19 Abbildung 12: MPD Triebwerk DT2 Abbildung 13: MPD Triebwerk HAT 19

20 Abbildung 14: Plasmabeschleuniger RD3 Die instationären hyperbolisch parabolischen Erhaltungsgleichungen mit Quelltermen, die die Argonplasmaströmung in MPD Eigenfeldtriebwerken beschreiben, werden unter der Annahme thermischen und reaktiven Nichtgleichgewichts für die Teilchendichten, den Impuls und die Energie der Schwerteilchen, die Elektronenenergie, die Turbulenz und das eigeninduzierte Magnetfeld in Kapitel 2 aufgestellt Durch die konsequente Formulierung der Erhaltungsgleichungen mit Hilfe von konservativen Flüssen wird auf einfache Weise ein numerisches FV Verfahren entwickelt, das in Kapitel 3 im Detail erläutert wird Entscheidend für die Schnelligkeit und Robustheit des Verfahrens sind ein neues Flux Vector Splitting Verfahren als approximativer Riemann Löser, die räumliche Weighted Essentially Non Oscillatory (WENO ) Rekonstruktion 2 Ordnung, ein lokales, randomisiertes Zeitschrittverfahren und ein zuverlässiger Gitterverfeinerungsindikator Bei der Implementierung des Verfahrens wurde die objektorientierte Programmiersprache C++ [38] verwendet, die die Handhabung von Daten auf unstrukturierten Gittern stark erleichtert Waren bislang [15, 16] sehr teure Workstations oder Großrechner zur Lösung der MPD Erhaltungsgleichungen notwendig, so können jetzt die Berechnungen auf deutlich preiswerteren, leistungsfähigen PC s mit dem Betriebssystem Linux durchgeführt werden, wobei eine graphische X11 Schnittstelle [16, 39, 40] der Kontrolle der numerischen Prozeduren und der Darstellung von Isolinienplots während eines Rechenlaufes dient Numerische Ergebnisse für den Plasmabeschleuniger RD3 und die Triebwerke DT2 und HAT sind in Kapitel 4 im Vergleich mit experimentellen Daten dargestellt 20

21 Kapitel 2 Erhaltungsgleichungen 21 Grundannahmen für die Modellierung Aufgrund des axialsymmetrischen Aufbaus der MPD Eigenfeldbeschleuniger DT2, HAT und RD3 (Abb 12 14) wird stets eine rotationssymmetrische Strömung vorausgesetzt, sodaß die Erhaltungsgleichungen in zweidimensionaler Form unter Verwendung von Zylinderkoordinaten angeschrieben werden können Als Treibstoff wird das im IRS für MPD Triebwerke verwendete Edelgas Argon betrachtet Unter der Voraussetzung von Kontinuumsströmung und Quasineutralität des Plasmas [41, 42] lassen sich Zweifluid Erhaltungsgleichungen im thermischen und reaktiven Nichtgleichgewicht formulieren, wobei die Elektrodenfallgebiete nicht explizit betrachtet werden Unterschieden wird zwischen Schwerteilchenspezies (neutrales, einfach und mehrfach ionisiertes Argon) und Elektronen Das Schwerteilchen und das Elektronengas werden als ideale Gase betrachtet Thermisches Nichtgleichgewicht zwischen Elektronen und Schwerteilchen wird angenommen, weil zum einen in Bereichen expandierender Überschallströmungen die Dichten und damit auch die Stoßfrequenzen und der Energieaustausch der Teilchen untereinander relativ klein werden können, und weil sich zum anderen die Schwerteilchen an Wänden abkühlen, während sich die Elektronen hier adiabatisch verhalten Reaktives Nichtgleichgewicht wird wegen der hohen Strömungsgeschwindigkeiten vorausgesetzt Aufgrund ihrer geringen Masse und der damit einhergehenden hohen Mobilität kann davon ausgegangen werden, daß im wesentlichen die Elektronen den elektrischen Strom im Plasma tragen Daher wird das Elektronengas aufgeheizt, und ein Teil der elektrisch eingekoppelten Energie wird durch Stöße an die Schwerteilchen abgegeben Um die Entstehung von Turbulenz im Triebwerksinneren und im Freistrahl erfassen zu können, wird ein Eingleichungsmodell angesetzt Die Lichtbogenentladung wird durch die Maxwell Gleichungen der klassischen Elektrodynamik und das Ohm sche Gesetz für Plasmen beschrieben 21

22 22 Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls und Energie der Schwerteilchen Es wird im folgenden stets eine möglichst konservative Formulierung mit Hilfe von Flüssen angestrebt, da dies erfahrungsgemäß die numerische Stabilität eines Finite Volumen Verfahrens erhöht und die Erhaltung physikalischer Größen auch bei der numerischen Berechnung auf elegante Weise gewährleistet Es sei erwähnt, daß die betrachteten Gleichungen im mathematisch strengen Sinne Bilanzgleichungen sind Es wird jedoch hier stets der Begriff der Erhaltungsgleichungen verwendet, um zum einen auf die physikalischen Erhaltungsprinzipien zu verweisen, und um zum anderen die Erhaltungseigenschaft der Flüsse im Rahmen der Finite Volumen Diskretisierung zu betonen Bei der Formulierung der Erhaltungsgleichungen gelte für den Divergenzoperator bei Anwendung auf einen Vektor a in Zylinderkoordinaten [43] die Schreibweise: Massenerhaltung div [ az a r ] = 1 r (ra r ) r + a z z (21) Die Erhaltungsgleichungen für die Massen der Schwerteilchenspezies (i = 0: neutrales Argonatom, i > 0: i fach geladenes Argonion) lassen sich als Erhaltungsgleichungen für die Teilchendichten n i schreiben, da sich aus den Massenerhaltungsgleichungen die jeweilige Masse m h herauskürzen läßt: n i t = div (n i v) div j D,i + ω i ; i = 06 (22) Die Terme der rechten Seite beschreiben die zeitliche Änderung der Teilchendichte n i durch Konvektion mit der mittleren Schwerpunktsgeschwindigkeit v des Plasmas, durch Massendiffusion ( j D,i ) und durch Reaktionen (ω i ) Mit der Schwerteilchengesamtdichte n h = 6 n i, (23) i=0 dem Massenanteil [44] dem Molenbruch [44] ξ i Ψ i = dem Ansatz für den Diffusionsstrom [45, 46, 47] = n i n h, (24) n i n h + n e, (25) j D,i = n h D im Ψ i (26) 22

23 und der Forderung nach Massenkonservativität ergibt sich der Diffusionsstrom zu [48] j D,i 6 = j D,i ξ i j D,k (27) k=0 Aufgrund des Terms ξ i 6 k=0 j D,k in Gleichung (27) wird 6 j D,i = 0, (28) sodaß die Massenerhaltung des Ansatzes für die Diffusion gewährleistet ist i=0 Der Quellterm der Reaktionen ω i beschreibt die Produktion von Ionen und Elektronen durch Elektronenstoßionisation [49, 50] und die Neutralisation von Ionen durch Dreierstoßrekombination [15]: ω 0 = n 0 n e k f,1 + n 1 n 2 e k b,1, ω i = n i n e k f,i+1 + n i+1 n 2 e k b,i+1 n i n 2 e k b,i + n i 1 n e k f,i ; i = 15, ω 6 = n 6 n 2 e k b,6 + n 5 n e k f,6 (29) k f,i und k b,i sind die Reaktionsraten der Elektronenstoßionisation und der Dreierstoßrekombination Summiert man Gleichung (22) über alle Spezies auf, so erhält man die Gesamtmassenerhaltungsgleichung ρ = div (ρ v) (210) t mit 6 ρ = m h n i, (211) i=0 da die Elektronenmasse vernachlässigbar klein ist Impulserhaltung Die Impulserhaltungsgleichung in axialer Richtung lautet wobei der reibungsfreie Fluß (ρv z ) t f z,invisc = = div f z,invisc div f z,visc, (212) p h + p e + B2 + ρvz 2 2µ 0 (213) ρv z v r 23

24 die Beschleunigung durch Schwerteilchendruck, Elektronendruck, Magnetfelddruck und dynamischen Druck beinhaltet Der reibungsbehaftete Fluß f z,visc = τ zz τ zr beschreibt die Beschleunigung durch viskose Kräfte Die Impulserhaltungsgleichung in radialer Richtung lautet (ρv r ) t wobei der reibungsfreie Fluß durch (214) = div f r,invisc div f r,visc + q r, (215) f r,invisc = ρv z v r p h + p e + B2 2µ 0 + ρv 2 r (216) und der reibungsbehaftete Fluß durch f r,visc = τ zr (217) τ rr gegeben sind Der Quellterm q r = p h + p e τ ϕϕ B2 2µ 0 r (218) entsteht durch die Verwendung der Zylinderkoordinaten [51, 52] Die viskosen Spannungen sind [53] τ zz = 2 ( 3 (µ h + µ T ) 2 v z z v r r v ) r r τ zr = (µ h + µ T ) τ rr = 2 3 (µ h + µ T ) τ ϕϕ = 2 3 (µ h + µ T ) ( vz r + v ) r z ( 2 v r r v r r v ) z z ( 2 v r r v r r v ) z z,, und (219) 24

25 Energieerhaltung Die Energieerhaltungsgleichung e h = div f t h,invisc div f h,visc + q h (220) beinhaltet den reibungsfreien Fluß ) f h,invisc = (e z h + p h + p e + v B2, (221) 2µ 0 den reibungsbehafteten Fluß und den Quellterm q h = f h,visc = ) (p e + B2 2µ 0 v r τ zz v z τ zr v r (λ h + λ T ) T h z τ zr v z τ rr v r (λ h + λ T ) T h r div v B2 µ 0 r v r + (222) 6 n e n i α ei (T e T h ) (223) Die Schwerteilchenenergie e h setzt sich unter der Annahme des Idealgasgesetzes i=0 p h = n h kt h (224) zusammen aus der translatorischen Energie und der kinetischen Energie: e h = 3 2 n hkt h ρ v 2 (225) Neben den viskosen Flüssen umfaßt der Fluß f h,visc auch die Schwerteilchenwärmeleitung Der Enthalpiestrom durch Diffusion 6 ( 5 2 kt h + 1 ) 2 m h v 2 j D,i i=0 ist wegen Gleichung (28) gleich Null und steht daher nicht in Gleichung (220) Der erste Ausdruck im Quellterm q h kommt dadurch zustande, daß sowohl der Elektronendruck p e als auch der Magnetfelddruck B 2 /(2µ 0 ) im reibungsfreien Fluß f h,invisc stehen Der zweite Ausdruck entsteht durch die Verwendung der Zylinderkoordinaten, und der dritte beschreibt den Energietransfer durch elastische Stöße zwischen Elektronen und Schwerteilchen Allen reibungsfreien Flüssen f z,invisc, fr,invisc und f h,invisc ist gemeinsam, daß sie den Schwerteilchendruck p h, den Elektronendruck p e und den Magnetfelddruck B 2 /(2µ 0 ) beinhalten Während die Formulierungen der Schwerteilchenerhaltungsgleichungen in [14, 15, 16] weitere Quellterme durch Viskosität und Lorentz Kräfte enthalten, wird in den obigen Gleichungen (212), (215) und (220) ein Maximum an Konservativität erreicht, das durch die Verwendung von Flüssen auch in der Finite Volumen Diskretisierung bestehen bleibt 25

26 23 Erhaltungsgleichung für die Turbulenz Turbulenz ist grundsätzlich ein Strömungsphänomen von sehr großer Komplexität Um die wesentlichen Eigenschaften turbulenter Strömungen in technischen Anwendungen mit möglichst geringem Aufwand berechnen zu können, sind zahlreiche Turbulenzmodelle entwickelt worden [54] Man unterscheidet algebraische Modelle, Ein und Zweigleichungsmodelle sowie Schließungsmodelle zweiter Ordnung Wie in [15] wird hier das Eingleichungsmodell nach Goldberg und Ramakrishnan [55] gewählt Als Weiterentwicklung des Modells von Baldwin und Barth [56] benötigt es keine Berechnung von Wandabständen und ist damit wohlgeeignet für die Benutzung auf unstrukturierten Gittern Bei der Berechnung turbulenter Wandgrenzschichten und freier Scherschichten hat es sich auf dem Gebiet der Flugzeugaerodynamik durch genaue Ergebnisse bewährt Der Rechenaufwand ist gering, und das Konvergenzverhalten ist gutmütig Die Erhaltungsgleichung für die turbulente Erhaltungsgröße ρr lautet [55]: (ρr) t = div(ρr v) + div [ ρ ( ν h + ν T σ ε ) R [ ( ρ ν h + ν )] T R ρ ν T R σ ε σ ε ] + ρ(c ε2 f 2 C ε1 ) R P (226) R ist definiert als der Quotient des Quadrats der turbulenten kinetischen Energie k und der Dissipation ε: R = k2 ε (227) Durch die kinematische Viskosität ν h ist R mit der sogenannten turbulenten Reynoldszahl R T verknüpft durch: R = ν h R T (228) Der erste Term auf der rechten Seite von Gleichung (226) stellt den konvektiven Transport der Turbulenz dar, der zweite hat dissipativen Charakter, und der dritte beschreibt die Produktion von Turbulenz aufgrund von Geschwindigkeitsgradienten Die letzten beiden Terme entstehen durch Vernachlässigung dissipativer Terme [56] bei der Herleitung der Erhaltungsgleichung aus dem k ε Turbulenzmodell [57] Der Produktionsterm der Turbulenz lautet in Zylinderkoordinaten: [ ( vz ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 vr vr P = ν T {2 + + z r r ( vz + r + v ) 2 r 2 ( vz z 3 z + v r r + v ) } 2 r r (229) Die Schließungskoeffizienten sind C ε1 = 12, C ε2 = 20, Cµ 1 = (C ε2 C ε1 ), C σ ε κ 2 µ = 009 und κ = 041 (230) Die Nahwand Funktion f 2 ist gegeben durch f 2 = 1 03 exp( RT 2 ) (231) 26

27 Mit A µ = , A ε = C3/4 µ 2 κ und der weiteren Nahwand Funktion berechnen sich die turbulente kinematische Viskosität ν T zu und die turbulente Viskosität µ T zu (232) f µ = 1 exp( A µ R 2 T ) 1 exp( A ε R 2 T ) (233) ν T = C µ f µ ν h R T (234) Viskosität und Wärmeleitung sind durch die Prandtl Zahl [58] µ T = ρ ν T (235) P r = µ c p λ h (236) miteinander verknüpft, wobei für die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck unter Annahme eines idealen (Schwerteilchen ) Gases c p = 5 2 gilt Die turbulente Prandtl Zahl wird analog definiert als [59] sodaß sich unter der Annahme die turbulente Wärmeleitfähigkeit zu ergibt P r T k m h (237) = µ T c p λ T, (238) P r T = P r = 2 3 λ T = 15 4 (239) k µ T m h (240) 24 Erhaltungsgleichung für die Elektronenenergie Bei Betrachtung des mit der Geschwindigkeit v e strömenden Elektronenfluids lautet die Erhaltungsgleichung für die Elektronenenergie e e t = div(e e v e ) p e div v e div( 3 2 kt e j D,e ) + div(λ e T e ) + 6 n e n i α ei (T h T e ) + j 2 5 σ ω i+1 χ i i+1 i=0 i=0 (241) 27

28 Dabei sind der Elektronendruck p e und die Elektronenenergie pro Volumeneinheit e e definiert durch p e = n e kt e (242) und e e = 3 2 n ekt e (243) Aufgrund der Annahme der Quasineutralität des Plasmas ist bei bekannten Schwerteilchendichten n i und mit den Ladungszahlen Z i die Elektronendichte n e gegeben durch: n e = 6 Z i n i (244) i=1 Damit wird der Ionisationsgrad hier definiert als: α = n e n h (245) Die Terme der rechten Seite von Gleichung (241) stellen den konvektiven Transport mit der Elektronengeschwindigkeit v e, die Verformungsarbeit des Elektronendruckes am Elektronenfluidelement, den Transport durch den Diffusionsstrom j D,e, die Elektronenwärmeleitung, den Energietransfer durch elastische Stöße zwischen Elektronen und Schwerteilchen, die Ohm sche Heizung durch den Lichtbogen und die Energiebilanz durch Ionisationsreaktionen dar Unter Vernachlässigung der Trägheit der Elektronen ist die elektrische Stromdichte j = en e ( v v e ) (246) Damit lassen sich die ersten beiden Terme der rechten Seite von Gleichung (241) umformen: div(e e v e ) p e div v e = div(e e v) p e div v + 5 k 2 e j T e 1 j p e (247) en e div(e e v) läßt sich als der konvektive Transport von Elektronenenergie mit der mittleren Schwerpunktsgeschwindigkeit v des Plasmas auffassen Der Diffusionsstrom j D,e ergibt sich aus der Forderung, daß die Quasineutralität des Plasmas auch bei Diffusion der Schwerteilchen und Elektronen erhalten bleiben muß [47]: j D,e = 6 Z i j D,i (248) Mit den Gleichungen (247) und (248) ergibt sich Gleichung (241) zu: e e t i=1 = div(e e v) p e div v + 5 k 2 e j T e 1 j p e en e ( ) 3 6 div 2 kt e Z i j D,i + div(λ e T e ) + i=1 6 n e n i α ei (T h T e ) + j 2 5 σ ω i+1 χ i i+1 i=0 i=0 (249) 28

29 25 Erhaltungsgleichung für das Magnetfeld Zur Herleitung der Erhaltungsgleichung für das Magnetfeld werden die Maxwell Gleichungen [60] für die elektrische Entladung benötigt: rot B = µ 0 j + 1 c 2 E t, (250) rot E = B t, (251) div B = 0 (252) und div E = ρ el (253) ε 0 Da hier der stationäre Zustand und keine hochfrequenten Fluktuationen betrachtet werden, wird die Galilei invariante Form mit Vernachlässigung des Verschiebungsstromes in Gleichung (250) verwendet Gleichung (252) ist wegen Axialsymmetrie automatisch erfüllt Mit Gleichung (253) kann im allgemeinen die Ladungsdichte ρ el berechnet werden [61] Wegen der Voraussetzung Quasineutralität der betrachteten Plasmen ist ρ el gleich Null Das Ohm sche Gesetz für Plasmen ist durch gegeben [41] Dabei ist E = j σ v B + β j B β p e (254) β = 1 en e (255) der sogenannte Hall Parameter Mit den Gleichungen (250), (251) und (254) läßt sich die Erhaltungsgleichung für das Magnetfeld in Zylinderkoordinaten 0 B = B (256) 0 mit der azimutalen Magnetfeldkomponente B aufstellen: B t = div(b v) + Bv r r rot ( rotb ) µ 0 σ + β rotb µ B β p e 0 ϕ (257) Der erste Term der rechten Seite von Gleichung (257) stellt den konvektiven Magnetfeldtransport dar, der zweite ist auf die Verwendung der Zylinderkoordinaten zurückzuführen Der dritte Term beschreibt die zeitliche Änderung des Magnetfelds durch den im Plasma der elektrischen Leitfähigkeit σ fließenden elektrischen Strom, durch den Hall Strom und durch den Diffusionstrom aufgrund des Elektronendrucks [62] In Gleichung (257) wird das Magnetfeld B schließlich durch die Stromfunktion Ψ = r B (258) 29

30 substituiert, sodaß man als zu lösende Erhaltungsgleichung für das Magnetfeld ( ) 1 Ψ Ψ = div r t r v + Ψv r rot 1 0 r 2 µ 0 σ rot Ψ/r + β 0 0 rot Ψ/r Ψ/r β p e µ ϕ (259) erhält Die Konturlinien der Stromfunktion stellen die Bahnlinien der Elektronen dar Zwei Konturlinien repräsentieren daher eine Stromröhre, in der ein konstanter elektrischer Strom fließt 26 Ionisationsreaktionsraten Die Berücksichtigung reaktiven Nichtgleichgewichts aufgrund der hohen Strömungsgeschwindigkeiten in MPD Eigenfeldbeschleunigern führt zu den Reaktionsquelltermen ω i in Gleichung (29) Sie beinhalten die Reaktionsraten k f,i und k b,i, die die Elektronenstoßionisation Ar (i)+ + e k f,i Ar (i+1)+ + 2 e (260) und die Dreierstoßrekombination Ar (i)+ + e k b,i Ar (i+1)+ + 2 e (261) beschreiben Befinden sich die Reaktionen (260) und (261) im Gleichgewicht, wird die Zusammensetzung des Plasmas durch die Saha Gleichung beschrieben [63]: K i+1 = n i+1n e = 2 u ( i+1 (2πm e kt e ) 3/2 exp χ ) i i+1 ; i = 05 (262) n i u i h 3 kt e Es geht nur die Elektronentemperatur ein, weil ausschließlich Elektronenstöße die Reaktionen verursachen Die Zustandssummen u i, die die statistischen Gewichte und Energien der Quantenzustände eines i-fach ionisierten Teilchens [64, 65] beinhalten, werden hier mit Hilfe der Daten aus [66] als Polynome höherer Ordnung in Abhängigkeit von der Elektronentemperatur T e berechnet: u 0 = 1, , T e 1, T 2 e + 3, T 3 e 2, T 4 e + 1, T 5 e 1, T 6 e, u 1 = 2, , T e 1, T 2 e + 9, T 3 e 3, T 4 e + 6, T 5 e 3, T 6 e, u 2 = 6, , T e 1, T 2 e + 4, T 3 e 1, T 4 e + 1, T 5 e, u 3 = 4, , T e 8, Te 2 + 2, Te 3 1, Te 4 + 6, Te 5 1, Te 6 + 1, Te 7 3, Te 8, u 4 = 0, , T e 2, T 2 e + 2, T 3 e 1, T 4 e + 2, T e 5 4, T 6 e + 4, T 7 e 1, T 8 e, 30

31 u 5 = 1, , T e 1, Te 2 + 7, Te 3 3, Te 4 + 8, Te 5 1, Te 6 + 1, Te 7 4, Te 8, u 6 = 1, , T e + 2, T 2 e 2, T 3 e + 1, T 4 e 1, T 5 e + 6, T 6 e (263) Unter der Annahme, daß die Elektronentemperatur durch eine Maxwell Verteilung beschrieben wird, ergibt sich nach [49, 50] für die Reaktionsrate k f,i der Elektronenstoßionisation k f,i wobei ( ) 3/2 3 e = 6, a i q i kt e i=1 1 A i e x A i x dx b ie ci A i + c i A i +c i e x x dx, (264) A i = P i kt e (265) ist P i stellt die Bindungsenergien der Elektronen der i-ten Unterschalen dar Für die Anzahl q i der Elektronen der i-ten Unterschale und die experimentell, theoretisch oder durch Abschätzung ermittelten Konstanten a i, b i und c i gelten folgende Zahlenwerte: Produkt der Elektronen- q 1 q 2 q 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 Ionisation konfiguration Ar 1+ 3s 2 3p ,0 4,0 3,0 0,62 0,4 0,9 0,4 0,6 0,2 Ar 2+ 3s 2 3p ,2 4,4 3,7 0,3 0,2 0,8 0,6 0,6 0,4 Ar 3+ 3s 2 3p ,5 4,5 4,2 0,2 0 0,6 0,6 0 0,5 Ar 4+ 3s 2 3p ,5 4,5 4, , ,6 Ar 5+ 3s 2 3p ,5 4,5 4, , ,6 Ar 6+ 3s 2 3p ,5 4,5 4, , ,6 Die Werte von a i, b i und c i für i = 4 wurden dabei für i = 5 und i = 6 übernommen [15] Für die Bindungsenergien P i der Elektronen der i-ten Unterschalen werden Werte nach [67] verwendet: Produkt der P 1 [ev] P 2 [ev] P 3 [ev] Ionisation Ar 1+ 15,76 29,24 248,6 Ar 2+ 27,60 41,70 267,0 Ar 3+ 40,90 55,50 287,0 Ar 4+ 59,70 70,40 308,0 Ar 5+ 75,20 87,60 330,0 Ar 6+ 91,20 105,2 351,0 31

32 Die Bindungsenergie P 1 für ein Ionisationsprodukt Ar (i+1)+ entspricht der Ionisierungsenergie χ i i+1 in den Gleichungen (249) und (262) Das in Gleichung (264) enthaltene Exponentialintegral läßt sich ohne aufwendige numerische Quadratur mit Hilfe der trigonometrischen Interpolationsformel [68, 69] ξ ( e x e ξ dx = 0, , x ξ ξ + 1, ξ 4, ξ , ξ 4 20, ξ , ξ 6 9, ξ 7 ± 0, ) ; ξ > 2 (266) approximieren Nimmt man eine maximale Temperatur von T e = K an, so hat ξ für P 1 = 15, 76 ev einen Minimalwert von 3,66, sodaß die Bedingung ξ > 2 stets gewährleistet ist Die Reaktionsraten k f,i sind in Abbildung 21 in Abhängigkeit von der Elektronentemperatur T e dargestellt Die Genauigkeit der Gleichung (264) zugrundeliegendenden Wechselwirkungsquerschnitte wird in [49] mit 15 Prozent für die Ionisierung neutralen Argons aus dem Grundzustand heraus angegeben Da die Mehrfachionisation durch ein stoßendes Elektron, die Absenkung des Ionisationspotentials durch Coulomb Wechselwirkung [66] und die Ionisation aus angeregten Zuständen heraus bei der Herleitung von Gleichung (264) vernachlässigt wurden, sind die resultierden Reaktionsraten k f,i wahrscheinlich zu niedrig [50] Die in Abbildung 22 dargestellten Reaktionsraten k b,i der Dreierstoßrekombination werden mit dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichts [70] aus der Reaktionsrate k f,i und der Gleichgewichtskonstanten K i bestimmt: k b,i = k f,i K i (267) Befinden sich Elektronenstoßionisation und Dreierstoßrekombination im Gleichgewicht, das heißt, es verschwinden pro Zeiteinheit durch Reaktionen genauso viele Teilchen einer Spezies wie produziert werden, so wird die Zusammensetzung durch die Gleichgewichtskonstante K i in Gleichung (262) bestimmt Für den Fall des reaktiven Gleichgewichtes und der Isothermie von Elektronen und Schwerteilchen ist die Argonplasmazusammensetzung exemplarisch in Abbildung 23 für einen Druck von P a, der größenordnungsmäßig in düsenförmigen Eigenfeldbeschleunigern vor der Kathodenspitze auftritt, wiedergegeben 32

33 10 14 Ionisationsreaktionsraten k f,i [m 3 s 1 ] k f,1 k f,2 k f,3 k f,4 k f,5 k f, Temperatur T e [K] Abbildung 21: Reaktionsraten k f,i der Elektronenstoßionisation Rekombinationsreaktionsraten k b,i [m 6 s 1 ] k b,1 k b,2 k b,3 k b,4 k b,5 k b, Temperatur T e [K] Abbildung 22: Reaktionsraten k b,i der Dreierstoßrekombination 33

34 n 0 n 1 n 2 n 3 n 4 n e p = Pa Reaktionsgleichgewicht Teilchendichten n i [m 3 ] Temperatur T e =T h [K] Abbildung 23: Schwerteilchendichten und Elektronendichte im thermischen und Ionisationsreaktions Gleichgewicht (p = P a) 34

35 27 Transportkoef f izienten In den Erhaltungsgleichungen sind die Wärmeleitfähigkeit der Elektronen λ e, die elektrische Leitfähigkeit σ, die Diffusionskoeffizienten D im, die Wärmeleitfähigkeit λ h sowie die Viskosität µ h der Schwerteilchen und der Wärmeübergangskoeffizient α ei enthalten Diese Transportkoeffizienten beschreiben den makroskopischen Transport von Masse, Impuls und Energie aufgrund von Stoßprozessen auf mikroskopischer Ebene Die Herleitung dieser Größen geschieht im Prinzip nach der kinetischen Theorie als Lösung von Stoßintegralen aus der Boltzmanngleichung In der einschlägigen Literatur findet man zum Teil formal abweichende Formeln für diese Transportkoeffizienten, je nachdem, welche Annahmen bei der Herleitung gemacht wurden Die in dieser Arbeit verwendeten Ausdrücke basieren zwar im wesentlichen auf der in [13, 71] angegebenen Vierflüssigkeitstheorie, jedoch werden die Ausdrücke für die Transportkoeffizienten aus [15, 72] entnommen, da mit diesen im IRS reichliche Erfahrungen bei der numerischen Simulation von Plasmaströmungen vorliegen Basierend auf dem Modell der elektrostatischen Mikrofelder [73, 74] werden die Wechselwirkungsquerschnitte für Stöße zwischen geladenen Teilchen unter Berücksichtigung der Debye schen Abschirmlänge [41] mit der Gvosdover schen Formel [15, 75, 76] berechnet: Q ei = π ( ) ) Zi e 2 2 ln ( π2 (ε 0 kt e ) 3 4 4πε 0 kt e n e e 6 zeff 2 (z eff + 1) Q ij = π ( ) ) Zi Z j e 2 2 ln ( π2 (ε 0 kt e ) 3 4 4πε 0 kt h n e e 6 zeff 2 (z eff + 1), (268), (269) Q ee = Q e1 (270) Für die effektive Ladungszahl z eff des Elektronengases wird z eff = n e n h (271) angenommen Die Wechselwirkungsquerschnitte für Stöße mit ungeladenen Teilchen werden mit Hilfe der in [77] gegebenen Daten durch folgende Formeln berechnet: Q e0 = (3, T e 0, 1) m 2, (272) Q i0 = Q 00 = 4, T 0,1805 h 1, T 0,25 h m 2, (273) m 2 (274) 35

36 Mit ergeben sich die Stoßfrequenzen nach [12, 16, 78] zu m e m h (275) ν ee = 2 n e Q ee 8kTe πm e, (276) 8kTe ν ei = n i Q ei, (277) πm e 8kTe me ν ie = n e Q ei 2, (278) πm h m h ν ij = 2 n j Q ij 8kTh πm h (279) Berücksichtigt man, daß die Magnetfeldabhängigkeit der Transportkoeffizienten aufgrund der relativ kleinen magnetischen Feldstärke in MPD Eigenfeldbeschleunigern vernachlässigbar ist, erhält man für die Transportkoeffizienten λ e, σ und µ h nach [79, 80, 72]: λ e = K λe 15 4 σ = K σ 3 4 µ h = K µh 3kT h 2 n e k 2 T e m e (ν ee + 6 i=0 ν ei), (280) n e e 2 m e 6 i=0 ν ei 6 i=0, (281) n i ν ie + 6 j=0 ν ij (282) Mit der Prandtlzahl aus Gleichung (239) ist λ h = 15 4 kµ h m h (283) Die Faktoren K λe, K σ und K µh ermöglichen eine weitestgehend temperatur und druckunabhängige Korrektur [81, 82] zur Anpassung an die Daten aus [77] Mit den Definitionen l σ = l λe = log 10 6 i=1 n iq ei n 0 Q e0 (284) und l µh = log 10 6 i=1 n iq i0 n 0 Q 00 (285) 36

37 lassen sich folgende Korrekturfunktionen aufstellen: K λe = 0, , 71 exp ( (l ) λ e 1, 77) 2 + 0, 5 tanh [2 (l λe 2, 93)], (286) 1, 35 K σ = 2, , 15 exp ( (l ) σ 1, 45) 2 2, 07 exp ( (l ) σ 1, 45) 2, (287) 0, 85 1, 15 K µh = 0, , 24 exp ( (l ) µ h 1, 04) 2 + 0, 09 tanh(l µh 2, 9) (288) 2, 3 Für den speziellen Fall des thermischen und reaktiven Gleichgewichts ist die Abhängigkeit der Transportkoeffizienten λ e, σ, µ h und λ h von der Temperatur in den Abbildungen 24 bis 27 für verschiedene Drücke ersichtlich Die Korrekturfunktionen K λe, K σ und K µh führen zu einer sehr guten Anpassung an die Daten aus [77] 37

38 9 Wärmeleitfähigkeit λ e [W m 1 K 1 ] p = 10 5 Pa p = 10 4 Pa p = 10 3 Pa p = 10 2 Pa Devoto (10 5 Pa) Temperatur T e =T h [K] Abbildung 24: Wärmeleitfähigkeit der Elektronen Elektrische Leitfähigkeit σ [Ω 1 m 1 ] p = 10 5 Pa p = 10 4 Pa p = 10 3 Pa p = 10 2 Pa Devoto (10 5 Pa) Temperatur T e =T h [K] Abbildung 25: Elektrische Leitfähigkeit 38

39 0,00030 Viskosität µ h [kg m 1 K 1 ] 0, , , ,00010 p = 10 5 Pa p = 10 4 Pa p = 10 3 Pa p = 10 2 Pa Devoto (10 5 Pa) 0, , Temperatur T e =T h [K] Abbildung 26: Viskosität der Schwerteilchen 0,25 Wärmeleitfähigkeit λ h [W m 1 K 1 ] 0,20 0,15 0,10 0,05 p = 10 5 Pa p = 10 4 Pa p = 10 3 Pa p = 10 2 Pa Devoto (10 5 Pa) 0, Temperatur T e =T h [K] Abbildung 27: Wärmeleitfähigkeit der Schwerteilchen 39

40 Zur Berechnung der Diffusionskoeffizienten D im wird zunächst die reaktive Wärmeleitfähigkeit der Elektronen λ reac betrachtet Diese lautet nach [77, 83]: λ reac = p h + p e k 2 T 3 e 5 i=0 Ψ i+1 Ψ i D i+1,i χ i i+1 (Ψ i+1 + Ψ i ) 2, (289) wobei D i,j = 2,0 3 2πk 3 16 m h T 3 h (p h + p e )Q ij (290) der binäre Diffusionskoeffizient ist [46, 47] Der Vorfaktor 2,0 in Gleichung (290) wurde so gewählt, daß die sich aus Gleichung (289) ergebende reaktive Wärmeleitfähigkeit in der Umgebung des Maximums mit den Daten aus [77] gut übereinstimmt, wie in Abbildung 28 zu sehen ist Mit dem Diffusionskoeffizienten D im = (1 ξ i)(n h + n e ) 6 n h j=0 j i Ψ j D i,j (291) erhält man unter der Annahme, daß der effektive ambipolare Diffusionskoeffizient mindestens doppelt so groß ist wie der effektive Ionendiffusionskoeffizient [84]: { D im ; i = 0 D im = 2 D im ; i = 16 (292) Die Abhängigkeit der Diffusionskoeffizienten D im von der Temperatur bei thermischem und reaktivem Gleichgewicht ist in Abbildung 29 für einen Druck von P a dargestellt Der elastische Energietransfer zwischen Elektronen und Schwerteilchen, der bei unterschiedlichen Temperaturen T e und T h diese Temperaturen einander annähert, wird durch den Wärmeübergangskoeffizienten α ei bestimmt Dieser lautet nach [76, 85, 86]: α ei = 3 ν ei m e m h k n i (293) Für den Fall des thermischen und reaktiven Gleichgewichts ist der Verlauf des in den Gleichungen (223) und (249) enthaltenen Terms 6 n e n i α ei i=0 = 3 m e m h k n e 6 ν ei (294) i=0 über der Temperatur in Abbildung 210 zu ersehen 40

41 2 Reaktionswärmeleitfähigkeit λ reac [W m 1 K 1 ] 1 p = 10 5 Pa p = 10 4 Pa p = 10 3 Pa p = 10 2 Pa Devoto (10 5 Pa) Temperatur T e =T h [K] Abbildung 28: Reaktive Wärmeleitfähigkeit der Elektronen Diffusionskoeffizient D im [m 2 s 1 ] D 0m D 1m D 2m D 4m D 5m D 5m D 6m p = Pa Reaktionsgleichgewicht Temperatur T e =T h [K] Abbildung 29: Diffusionskoeffizienten der Schwerteilchen (p = P a) 41

42 Wärmeübergang Σ n e n i α ei [W m 3 K 1 ] p = 10 5 Pa p = 10 4 Pa p = 10 3 Pa p = 10 2 Pa Temperatur T e =T h [K] Abbildung 210: Wärmeübergang durch elastischen Energietransfer zwischen Elektronen und Schwerteilchen 28 Randbedingungen Zusätzlich zu den Erhaltungsgleichungen (22), (212), (215), (220), (226), (249) und (259) werden Randbedingungen auf dem Einströmrand, den Festkörperrändern, der Symmetrieachse und dem Ausströmrand benötigt Es werden die zwei folgenden Vereinfachungen getroffen: 1 Eine detaillierte Untersuchung der Wechselwirkung zwischen Plasma und Festkörperoberflächen wird ausgeschlossen Die Wandtemperaturen werden als konstant vorgegeben, und für das elektrische Feld wird angenommen, daß auf Elektrodenoberflächen der Vektor des elektrischen Feldes stets senkrecht steht Mit den in [87, 88] benutzten Datenstrukturen besteht in Zukunft die Möglichkeit, auch die Elektrodenfestkörper und deren Wechselwirkung mit der Plasmaströmung mittels geeigneter Modelle [23, 89, 90] zu diskretisieren 2 Die Wechselwirkung des Triebwerksfreistrahles mit der beim Experiment im Labortank auftretenden Strömung wird nicht berücksichtigt Für den Fall des reaktiven Gleichgewichtes wurde dies bereits in [87, 88] durch eine auf [91] basierende, heterogene Gebietszerlegungsmethode teilweise erfaßt Genauer zu klären sind aber gegenwärtig noch die gleichzeitige Kontinuität von numerischen Flüssen und charakteristischen Variablen über Kopplungsränder hinweg, bevor eine solche Methode auf Strömungen im reaktiven Nichtgleichgewicht übertragen werden kann 42

43 Die vorliegende Arbeit stellt eine Basis dar, auf der in Zukunft systematische Untersuchungen und Modellentwicklungen für die genannten Wechselwirkungen aufbauen können Im folgenden werden die Randbedingungen für die einzelnen Erhaltungsgleichungen auf den verschiedenen Rändern beschrieben Dabei handelt es sich bis auf den Wegfall des Kathodenmodells im wesentlichen um die in [16] gegebenen Randbedingungen Massen, Impuls und Energieerhaltung der Schwerteilchen Einströmrand Vom Experiment ist nur der Massenstrom ṁ bekannt Der Einströmdruck p h wird daher bei Vorgabe einer Einströmtemperatur von 500 K und eines parabelförmigen Geschwindigkeitsprofiles iterativ solange variiert, bis sich der Massenstrom neutralen Argons auf den Sollwert ṁ zeitlich konstant einstellt Dadurch ergeben sich auch automatisch die reibungsfreien Impuls und Energieflüsse, während die reibungsbehafteten zu Null gesetzt werden Festkörperränder Der Massenfluß ist hier ebenso wie die Geschwindigkeit gleich Null Die Schwerteilchentemperatur T h paßt sich der Wandtemperatur an Für wassergekühlte und Anodenwände wird diese auf 500K gesetzt Für den Fall der glühenden Anode des HAT wird deren Oberflächentemperatur in Anlehnung an experimentelle Daten aus [11] zu 1500 K angenommen, die Temperatur der mit Tantalkarbid isolierten Anodenoberfläche wird auf 1000 K gesetzt Die Temperaturverteilung einer Kathode wird durch einen linearen Temperaturanstieg von 500K an der Kathodenwurzel auf 3000 K an der Kathodenspitze approximiert Symmetrieachse Massen, Impuls und Energieflüsse sind gleich Null Gleiches gilt für die radialen Ableitungen der Dichte ρ, der Teilchendichten n i, der axialen Geschwindigkeitskomponente v z, des Schwerteilchendrucks p h und des Elektronendrucks p e Ausströmrand Unterschieden werden muß, ob über den Ausströmrand Masse ausströmt oder aufgrund des Tankdrucks Masse einströmt Für den Fall des Ausströmens sind bei der Berechnung der reibungsfreien Flüsse Unter und Überschallausströmen zu unterscheiden Für die Unterschallausströmung wird eine adiabate Expansion auf einen Gegendruck von 1 P a angenommen, der einem Tankdruck unter optimalen Versuchsbedingungen entspricht Beim Einströmen mit Unterschall, was die mögliche Rückströmung im Versuchstank grob approximieren soll, wird eine Temperatur von 500 K bei einer radial einwärts gerichteten Geschwindigkeit von 300 m/s festgelegt Die reibungsbehafteten Flüsse werden zu Null gesetzt 43

44 Turbulenzerhaltung Einströmrand Mit der Festlegung R T = 1 beträgt das Verhältnis von turbulenter zu atomarer Viskosität ungefähr , sodaß davon ausgegangen werden kann, daß Turbulenz im Triebwerk nicht durch das Einströmen einer zu großen Turbulenzerhaltungsgröße hervorgerufen wird Festkörperränder Da eine Wand laminarisierend wirkt, ist R T = 0 [55] Symmetrieachse Der Fluß ist gleich Null, ebenso die radiale Ableitung der Erhaltungsgröße ρr Ausströmrand Wie bei den Schwerteilchenerhaltungsgleichungen muß zwischen Ausströmen mit Über oder Unterschall und Einströmen mit Unterschall unterschieden werden Für den Einströmfall wird wie am Einströmrand R T = 1 festgelegt Der dissipative Fluß ist gleich Null Energieerhaltung der Elektronen Einströmrand Da die Einströmung eines kalten Gases betrachtet wird, sind der reibungsfreie und der reibungsbehaftete Fluß gleich Null Festkörperränder Die Festkörperwände können nach [86] als adiabat betrachtet werden Der Fluß wird zu Null gesetzt Symmetrieachse Neben dem Fluß ist auch die radiale Ableitung der inneren Energie e e gleich Null Ausströmrand Während der Fluß durch Wärmeleitung gleich Null gesetzt wird, muß beim konvektiven Ausströmen zwischen Über und Unterschallausströmung unterschieden werden Der Fluß durch Einströmen ist gleich Null, da die Einströmung eines kalten Gases angesetzt wird 44

45 Erhaltung des Magnetfeldes Einströmrand Da man davon ausgehen kann, daß der dem Triebwerk zugeführte elektrische Strom I vollständig durch die Kathodenwurzel fließt, ist die Stromfunktion durch das Ampère sche Gesetz Ψ = µ 0I 2π gegeben Festkörperränder Für stromaufwärts der Anode gelegene wände gilt wiederum das Ampère sche Gesetz Ψ = µ 0I Auf stromabwärts der Anode gelegenen Wänden ist Ψ = 0 T m Anode und 2π Kathode werden als Äquipotentialflächen modelliert, sodaß das elektrische Feld senkrecht zur Elektrodenoberfläche steht Symmetrieachse Hier ist das Stromfunktion gleich Null Ausströmrand Da sich der Ausströmrand genügend weit vom Triebwerk und damit von der Lichtbogenentladung entfernt befindet, wird hier ebenfalls Ψ = 0 T m gesetzt Mit diesen Randbedingungen und den in den Kapiteln 22 bis 27 im Detail angegebenen konstitutiven Gleichungen ist das System von dreizehn Erhaltungsgleichungen n i t (ρv z ) t (ρv r ) t e h t = div (n i v) div j D,i + ω i ; i = 06, (22) = div f z,invisc div f z,visc, (212) = div f r,invisc div f r,visc, (215) = div f h,invisc div f h,visc + q h, (220) (ρr) t = div(ρr v) + div [ ( ρ ν h + ν T [ ( ρ ν h + ν )] T R ρ ν T R, σ ε σ ε σ ε ) ] R + ρ(c ε2 f 2 C ε1 ) R P (226) 45

46 e e t = div(e e v) p e div v + 5 k 2 e j T e 1 j p e en e ( ) 3 6 div 2 kt e Z i j D,i + div(λ e T e ) + i=1 6 n e n i α ei (T h T e ) + j 2 5 σ ω i+1 χ i i+1, i=0 i=0 (249) 1 Ψ r t = div ( ) Ψ r v + Ψv r r 2 rot 1 µ 0 σ rot 0 Ψ/r 0 + β rot µ 0 0 Ψ/r 0 0 Ψ/r 0 β p e ϕ, (259) die vom gemischt hyperbolisch parabolischen Typ sind und zudem Quellterme enthalten, geschlossen 46

47 Kapitel 3 Numerische Verfahren 31 Grundlagen der räumlichen Diskretisierung Zur numerischen Approximation stationärer Lösungen der Erhaltungsgleichungen (22), (212), (215), (220), (226), (249) und (259) müssen sowohl der räumliche als auch der zeitliche Anteil diskretisiert werden Gesucht wird eine stationäre Lösung der Erhaltungsgleichungen, die durch Lösung des instationären Modells mittels Zeitstabilisierung approximiert werden soll Bei der räumlichen Diskretisierung komplexer Geometrien wie der der Eigenfeldbeschleuniger sind unstrukturierte Gitter deutlich schneller und einfacher zu erzeugen oder zu modifizieren als strukturierte Gitter Durch geeignete Adaption der im allgemeinen groben Startgitter kann zudem die zur Lösungsapproximation benötigte Rechenzeit stark reduziert werden Daher wird hier das Rechengebiet durch eine Triangulierung mit Hilfe eines Advancing Front Algorithmus aus [16] diskretisiert Die geometrischen Schwerpunkte der hierbei erzeugten primären Dreiecke lassen sich so verbinden, daß wabenähnliche, duale Zellen entstehen (Abb 31) Diese repräsentieren im betrachteten axialsymmetrischen Fall torusförmige Volumina mit dem Volumen V i und der Querschnittsfläche A i Mit Hilfe des durch z m, T orus = 1 ( z 1 + z 2 + z 3 + z ) 1r 1 + z 2 r 2 + z 3 r 3 (31) 4 r 1 + r 2 + r 3 und r m, T orus = 1 r 1 (r 1 + r 2 ) + r 2 (r 2 + r 3 ) + r 3 (r 3 + r 1 ) (32) 2 r 1 + r 2 + r 3 gegebenen Massenschwerpunktes eines Torus mit Dreiecksquerschnitt (Eckpunkte 1,2,3) läßt sich der Massenschwerpunkt x m,i einer dualen Zelle berechnen Das Volumen eines Torus mit Dreiecksquerschnitt ist durch V T orus = π 3 und seine Querschnittsfläche durch r 2 1(z 2 z 3 ) + r 2 2(z 3 z 1 ) + r 2 3(z 1 z 2 ) +z 1 r 1 (r 3 r 2 ) + z 2 r 2 (r 1 z 3 ) + z 3 r 3 (r 2 r 1 ) (33) A T orus = 1 2 z 1r 3 + z 2 r 1 + z 3 r 2 z 3 r 1 z 1 r 2 z 2 r 3 (34) 47

48 gegeben, woraus das Volumen V i und die Querschnittsfläche A i einer dualen Zelle i ermitteln werden können Die Fläche A ik einer Zellwand, zu der zwei benachbarte Zellen gehören, ergibt sich aus A ik = π (r 1 + r 2 ) (z 2 z 1 ) 2 + (r 2 r 1 ) 2, (35) wobei die Eckpunkte 1 und 2 die geometrischen Schwerpunkte der zugehörigen primären Dreiecke sind Zugeordnet sind der Zellwandfläche A ik ihr Normaleneinheitsvektor n ik, die sich durch Verbindung der Massenschwerpunkte der dualen Zellen ergebenden dualen Dreiecke T ijk und T ikl und die physikalischen Zustände links (l) und rechts (r) der Wand am zur Flußintegration benötigten Wandmittelpunkt x ik Zellwandfläche A ik n ik r r xik l x m,l x m,i x m,k x m,j Duales Dreieck T ijk Duale Zelle i Torusquerschnittsfläche A i Torusvolumen V i z Abbildung 31: Duale Zellen als Kontrollvolumina Duale Zellen an Rändern (Abb 32) haben die Randflächenanteile A i,1 und A i,2, die sich aus der Rotation der halben Kantenlängen der zugehörigen primären Dreiecksrandkanten ergeben Die Integrationsrandpunkte x i,1 und x i,2 befinden sich in den Viertelspunkten der Randkanten der primären Dreiecke Da diese aufeinanderfolgenden Randkanten im allgemeinen nicht parallel sind, haben die Flächen A i,1 und A i,2 unterschiedliche, aus dem Rechengebiet herauszeigende Normaleneinheitsvektoren n i,1 und n i,2 Den Massenschwerpunkten x m,i der dualen Zellen werden schließlich die Zellmittelwerte der physikalischen Größen zugeordnet 48

49 r r l x i,1 x i,2 r l x m,i x m,j Duale Zelle i x m,k A i,1 n i,1 A i,2 n i,2 Duales Dreieck T ijk x i,1 x i,2 x m,i Primäres Dreieck z Abbildung 32: Duale Zellen am Rand 32 Flux Vector Splitting Bei einem Finite Volumen Verfahren sind im allgemeinen die zur Berechnung der reibungsfreien Flüsse benötigten Variablen nur innerhalb eines Kontrollvolumens durch stetige Funktionen repräsentiert An einer Zellwand benachbarter Volumina erhält man je nachdem, ob man sich der Zellwand von links oder von rechts nähert, zwei unterschiedliche Werte für eine Variable Dies führt zum sogenannten Riemann Problem, das die zeitliche Evolution einer Unstetigkeit zwischen zwei konstanten Zuständen darstellt Da eine exakte Lösung des Riemann Problems nur mit viel Aufwand iterativ berechnet werden kann, sind eine Reihe von approximativen Riemann Lösern entwickelt worden [92], die zur Berechnung reibungsfreier Flüsse keine iterativen Rechenschritte benötigen Hier wird als approximativer Riemann Löser ein Flux Vector Splitting Verfahren nach Eberle [93, 94, 95] eingeführt, das im numerischen Experiment im Vergleich mit dem in [16] benutzten Verfahren nach Osher [96, 97] die gleichen Ergebnisse bei deutlich reduziertem Rechenaufwand liefert In seiner ursprünglichen Variante ist dieses Verfahren von Eberle für transsonische, supersonische und hypersonische Flugzeugumströmungen auf dreidimensionalen, strukturierten und bewegten Gittern entwickelt worden, um die Euler Gleichungen der Aerodynamik zu lösen Für den Fall der MPD Eigenfeldbeschleunigerströmungen wird es hier modifiziert und erweitert 49

50 Da für die hier betrachteten eigenmagnetischen, axialsymmetrischen Strömungen das magnetische Feld senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit steht, ist die Schallgeschwindigkeit hier durch die magnetoakustische (oder auch schnelle Alfvén ) Welle [62, 98] gege- ben Die magnetoakustische Geschwindigkeit ist definiert als γ(p h + p e ) c = + B2 ρ µ 0 ρ (36) Eberle definiert nun eine neue, künstliche Referenzgeschwindigkeit ( ) s = αc 2 + q 2 1 2α + α q2, (37) c 2 mit q 2 = min(c 2, q n 2 ) (38) Der Parameter α ist zunächst frei und dient der Kontrolle der Dissipation des Verfahrens Die Geschwindigkeit normal zu einer Zellwand zweier benachbarter Volumina ist q n = v z n z + v r n r (39) Die Eigenwerte der Schwerteilchengleichungen werden definiert als λ 0 = q n, λ 1 = λ 0 + s, λ 2 = λ 0 s (310) Mit den Zuständen links (l) und rechts (r) einer Zellwand (siehe Abb 31) macht man für das (Massenfluß) Splitting folgenden Ansatz: h 1l = 1 4 (λ 1l + λ 1l ), (311) Damit ergibt sich der Teilchendichtefluß der Spezies i zu h 1r = 1 4 (λ 1r λ 1r ), (312) h 2l = 1 4 (λ 2l + λ 2l ), (313) h 2r = 1 4 (λ 2r λ 2r ) (314) F n i invisc = n il(h 1l + h 2l ) + n ir (h 1r + h 2r ) (315) Mit r 1 = ρh 1 und r 2 = ρh 2 (316) 50

51 sind der axiale und radiale Impulsfluß gegeben durch ) ) (p h + p e + B2 n z F ρvz invisc = v 2µ 0 z + ρs r (p h + p e + B2 1 + v 2µ 0 z ρs v z + ) (p h + p e + B2 2µ 0 ρs n z r 1 + v z ) (p h + p e + B2 2µ 0 ρs n z n z r 2 l r 2 + und F ρvr invisc = v r + v r + ) (p h + p e + B2 2µ 0 ρs ) (p h + p e + B2 2µ 0 ρs n r n r r 1 + v r r 1 + v r ) (p h + p e + B2 2µ 0 ρs ) (p h + p e + B2 2µ 0 ρs n r n r r 2 r (317) l r 2 + Der Schwerteilchenenergiefluß ist [( F e h ph invisc = γ 1 + ρ ) ] 2 (v z 2 + v 2 r ) + p h + p e + B2 r1 + r 2 + 2µ 0 ρ l [( ph γ 1 + ρ ) ] 2 (v z 2 + v 2 r ) + p h + p e + B2 r1 + r 2 2µ 0 ρ r r (318) (319) Der Parameter α wird so gewählt, daß im Falle verschwindender (makroskopischer) Normalengeschwindigkeit q n der Massenfluß dem Effusionsfluß n h c der Teilchen entspricht, 4 8kTh wobei c = ist πm h Dieser Ansatz führt auf α = 2 γ π (320) Für die Turbulenz, die Elektronenenergie und das Magnetfeld lauten die in Anlehnung an Gleichung (315) konstruierten Upwind Flußfunktionen: F ρr invisc = (ρr) l(h 1l + h 2l ) + (ρr) r (h 1r + h 2r ), (321) F ee invisc = e el(h 1l + h 2l ) + e er (h 1r + h 2r ) (322) 51

52 und F B invisc = B l(h 1l + h 2l ) + B r (h 1r + h 2r ) (323) Auch für die Diskretisierung des div v Terms, der in den Schwerteilchen und Elektronenenergiegleichungen (220) und (249) steht, wird diese Upwind Formulierung benutzt, da die zentrale Diskretisierung von div v zu numerischen Oszillationen führt: F div v invisc = h 1l + h 1r + h 2l + h 2r (324) Dieses Flux Vector Splitting Verfahren bietet viele Vorteile Im Gegensatz zu dem approximativen Riemann Löser nach Osher läßt sich der magnetische Druckterm auf einfachem Wege in die Flüsse einbauen Ebenso einfach sind die numerischen Flüsse für die Turbulenz, die Elektronenenergie, das Magnetfeld und den div v Term konstruierbar Das Verfahren ist bei sehr starken Stößen, die während der Iteration zum stationären Zustand aufgrund großer Quellterme auftreten, sehr robust Die Dissipation ist dabei gering Der Algorithmus ist sehr kurz und benötigt sehr wenige Rechenoperationen, um eine gute Approximation der Lösung des Riemannproblems zu liefern 33 WENO Rekonstruktion 2 Ordnung Damit die Diskretisierung im Raume von 2 Ordnung ist, müssen die Variablen, die zur Berechnung der reibungsfreien Flüsse benötigt werden, linear rekonstruiert werden Bekannt sind die Zellmittelwerte der Variablen ρ, n i, v z, v r, p h, p e, B, e e und ρr in den Massenschwerpunkten x m,i, gesucht sind ihre Werte an den Punkten x ik (Abb 31), x i,1 und x i,2 (Abb 32) Zur Berechnung der Gradienten auf einer dualen Zelle i unterscheidet man TVD (Total Variation Dimishing) und ENO (Essentially Non Oscillatory) Verfahren Ein TVD Verfahren [99, 100] berechnet eine Limiter Funktion, mit der die zum Beispiel durch einen Least Squares Ansatz berechneten Gradienten multipliziert werden, um unphysikalische Oszillationen zu vermeiden In einem ENO Verfahren [101, 102] werden mehrere Gradienten berechnet, von denen einer durch ein bestimmtes Kriterium ausgewählt wird In [103] wurde ein gewichtetes ENO Verfahren (Weighted Essentially Non Oscillatory, WENO) für unstrukturierte Gitter zur Lösung der Euler Gleichungen entwickelt, das hier für die Rekonstruktion zum Einsatz kommt Am Beispiel der Dichte ρ wird der Algorithmus im folgenden erklärt Einer dualen Zelle i lassen sich stets J umgebende duale Dreiecke zuordnen Auf jedem dieser Dreiecke T j mit den Eckpunkten 1, 2 und 3 kann der Gradient ( ρ) Tj mit der Determinanten D = z m,1 (r m,2 r m,3 ) + z m,2 (r m,3 r m,1 ) + z m,3 (r m,1 r m,2 ) (325) aus der Cramer schen Regel berechnet werden: ( ρ) Tj = 1 (r m,2 r m,3 )ρ 1 + (r m,3 r m,1 )ρ 2 + (r m,1 r m,2 )ρ 3 = D (z m,3 z m,2 )ρ 1 + (z m,1 z m,3 )ρ 2 + (z m,2 z m,1 )ρ 3 ρ z,j ρ r,j (326) 52

53 Die erste Komponente stellt die axiale, die zweite die radiale Ableitung dar Als Gewicht für den Gradienten ( ρ) Tj wird ω j = (ε + ρ2 z,j + ρ 2 r,j) 2 (327) J (ε + ρ 2 z,k + ρ2 r,k ) 2 k=1 gewählt Als Oszillationsindikator wird die 4 Potenz des Betrages eines Gradienten verwendet, sodaß die Beiträge der größten Gradienten gedämpft werden ε ist eine kleine Zahl (10 20 ), um eine Division durch Null zu verhindern Ferner ist J ω j = 1, (328) j=1 sodaß die Erhaltung der Linearität gewährleistet ist Der WENO Gradient für eine duale Zelle i lautet nun ( ρ) W ENO i = J ω j ( ρ) Tj (329) j=1 Die nichtlinearen Gewichte ω j sind unkompliziert und schnell berechenbar Sie sorgen bei geringer Dissipation stets für oszillationsfreie Lösungen in der Umgebung von Unstetigkeiten und für sehr glatte Lösungen in allen anderen Bereichen 34 Diskretisierung reibungsbehafteter Flüsse Zur Berechnung der reibungsbehafteten Flüsse wird ein zentrales Verfahren verwendet, das im folgenden am Beispiel der Elektronenwärmeleitung λ e T e dargestellt wird Einer durch ihren Normaleneinheitsvektor n ik, ihre Fläche A ik und ihre Eckpunkte definierten Zellwand (Abb 31) sind im Inneren des Rechengebiets immer zwei duale Dreiecke T ijk und T ikl zugehörig Mit der Determinanten D aus Gleichung (325) und den mit Hilfe von Gleichung (326) zu berechnenden Gradienten ( T e ) Tijk und ( T e ) Tikl ist der Fluß im Zellwandmittelpunkt x ik F ee visc = 1 2 [ λe,ijk ( T e ) Tijk + λ e,ikl( T e ) Tikl ] nik, (330) wobei die λ e,ijk und λ e,ikl die arithmetischen Mittelwerte der Koeffizienten in den Eckpunkten der dualen Dreiecke darstellen: λ e,ijk = 1 3 m=i,j,k λ e,m, λ e,ikl = 1 3 m=i,k,l λ e,m (331) Bei am Rand liegenden Dreiecken sind die Indizes ijk und ikl identisch Für konstante Koeffizienten λ e ist die Flußberechnung (330) linear erhaltend Der Aufwand für die Flußberechnung (330) ist sehr gering 53

54 35 Gradientenberechnung mit Least Squares Ansatz Für Ableitungen, die nicht in Divergenz oder Rotationsform geschrieben werden können, wird hier ein Least Squares Ansatz gewählt, der im folgenden am Beispiel des Terms R aus Gleichung (226) erklärt wird Für den Least Squares Gradienten ( R) LS i = R z R r i (332) einer dualen Zelle i, die von J dualen Nachbarzellen umgeben ist, wird gefordert, daß die Gesamtheit der Abweichungen der Interpolanten an die J Nachbarstützstellen in einem gewissen quadratischen Sinne klein sei: J j=1 [ Ri + ( R) LS i ( x m,j x m,i ) R j ] 2! = min (333) Daher werden R z ( J j=1 [ Ri + ( R) LS i ( x m,j x m,i ) R j ] 2 ) = 0 (334) und R r ( J nach R z und R r aufgelöst Es folgt schließlich mit j=1 [ Ri + ( R) LS i ( x m,j x m,i ) R j ] 2 ) = 0 (335) ( R) LS i = z ij = z m,j z m,i und r ij = r m,j r m,i (336) J J (R j R i ) z ij rij 2 J J (R j R i ) r ij z ij r ij j=1 j=1 j=1 j=1 ( ) 2 J zij 2 J rij 2 J z ij r ij j=1 j=1 j=1 (337) J J (R j R i ) r ij zij 2 J J (R j R i ) z ij z ij r ij j=1 j=1 j=1 j=1 ( ) 2 J zij 2 J rij 2 J z ij r ij j=1 j=1 Durch diesen kompakten, linear erhaltenden Algorithmus können Ableitungen auf recht einfache Weise ermittelt werden j=1 54

55 36 FV Diskretisierung der Schwerteilchenerhaltungsgleichungen Bei allen FV Diskretisierungen wird im folgenden stets vom Gauß schen Satz Gebrauch gemacht, der das Volumenintegral der Divergenz eines Vektors in den Fluß des Vektors durch die Volumenoberfläche umwandelt: div a d V ω = a d A ωk (338) V ω A ωk Massenerhaltung Bei der Diskretisierung der Rechthandseite der Massenerhaltungsgleichung (22) ( RHS n 1 K i = F n i W ENO V ( x ωk) A ωk ω k=1 K k=1 1 ] [( j D,i ) Tωjk + ( j D,i ) Tωkl 2 A ωk n ωk ) (339) + ω i für eine duale Zelle ω, die von K Nachbarzellen umgeben ist, bedeutet F n i W ENO ( x ωk) den Upwind Fluß durch eine Zelloberfläche A ωk am Integrationspunkt x ωk, wobei die links und rechtsseitigen Werte an der Zellwand durch die WENO Rekonstruktion berechnet werden Da in das Flux Vector Splitting der Normaleneinheitsvektor n ωk bereits eingegangen ist, ist er hier im Upwind Fluß nicht mehr enthalten, wohl aber bei der zentralen Diskretisierung der Diffusionsströme Diese ergeben sich auf jedem dualen Dreieck mit zu ( j D,i ) T ωjk = n h,ωjk D im,ωjk ( Ψ i ) Tωjk (340) 6 ( j D,i ) Tωjk = ( j D,i ) T ωjk ξ i,ωjk ( j D,i ) T ωjk, (341) sodaß auch im diskretisierten Falle die Konservativität gewährleistet bleibt m=0 55

56 Impulserhaltung Die räumliche Diskretisierung der axialen Impulserhaltungsgleichung (212) lautet: ( RHS ρvz = 1 K F ρvz W ENO V ( x ωk) A ωk ω k=1 K k=1 1 2 (τ zz ) Tωjk (τ zz ) ) Tωkl A ωk n ωk (τ zr ) Tωjk (τ zr ) Tωkl Bei der Diskretisierung der radialen Impulserhaltungsgleichung (215) ( 1 K RHS ρvr = F ρvr W ENO V ( x ωk) A ωk ω + 2π A ω V ω k=1 K k=1 1 2 p h + p e (τ zr ) Tωjk (τ zr ) ) Tωkl A ωk n ωk (τ rr ) Tωjk (τ rr ) Tωkl M (τ ϕϕ ) Tm V Tm,T orus m=1 M m=1 V Tm,T orus 2µ 0 B2 (342) (343) ist die Behandlung des Quellterms zu beachten Der 1 r Term wird durch 2π A ω approximiert [52] Der Term τ ϕϕ wird als volumengewichtetes Mittel der Werte auf allen V ω umliegenden M dualen Dreiecken berechnet Der Grund dafür ist, daß bei der Implementation auf allen dualen Dreiecken alle viskosen Spannungen in einem einzigen Schritt ausgerechnet werden können: (τ zz ) Tωjk = 2 3 (µ h,ωjk + µ T,ωjk ) (τ zr ) Tωjk = (µ h,ωjk + µ T,ωjk ) (τ rr ) Tωjk = 2 3 (µ h,ωjk + µ T,ωjk ) (τ ϕϕ ) Tωjk = 2 3 (µ h,ωjk + µ T,ωjk ) ( 2 ( ) vz v r z T ωjk r ωjk ( ( vz ) ( ( 2 r T ωjk + ( ) ) vr z T ωjk ( ) vr v r r T ωjk r ωjk 2 v r r ωjk ( ) vr r T ωjk ( ) ) vr r T ωjk ( ) ) vz z T ωjk ( ) ) vz z T ωjk,, und (344) 56

57 Energieerhaltung Analog erfolgt auch die Diskretisierung der Energieerhaltungsgleichung (220): RHS e h = 1 V ω ( K k=1 K k=1 1 2 K k=1 F e h W ENO ( x ωk) A ωk (τ zz ) Tωjk v z,ωjk (τ zz ) Tωkl v z,ωkl (τ zr ) Tωjk v r,ωjk (τ zr ) Tωkl v r,ωkl A ωk n ωk (τ zr ) Tωjk v z,ωjk (τ zr ) Tωkl v z,ωkl (τ rr ) Tωjk v r,ωjk (τ rr ) Tωkl v r,ωkl 1 ] [ (λ h,ωjk + λ T,ωjk ) ( T h ) 2 Tωjk (λ h,ωkl + λ T,ωkl ) ( T h ) Tωkl A ωk n ωk ) + ) (p e + B2 1 2µ 0 V ω K k=1 F div v W ENO ( x ωk) A ωk B 2 6 v V r + n e n i α ei (T e T h ) ω µ 0 i=0 2π A ω (345) Anzumerken ist, daß der mitunter große Quellterm für den elastischen Energietransfer zwischen Schwerteilchen und Elektronen keinerlei Sonderbehandlung bedarf 57

58 37 FV Diskretisierung der Turbulenzerhaltungsgleichung Neben den Upwind und den zentralen Diskretisierungen der Flüsse wird der Least Squares Ansatz bei der Diskretisierung der Rechthandseite der Turbulenzerhaltungsgleichung (226) benutzt: RHS ρr = 1 V ω + ( K k=1 K k=1 F ρr W ENO ( x ωk) A ωk [ ( 1 ρ ν h + ν ) ( T ( R) Tωjk + ρ ν h + ν ) ] T ( R) Tωkl 2 σ ε ωjk σ ε ωkl + ρ(c ε2 f 2 C ε1 ) R P ( [ ( ρ ν h + ν )]) LS T ( R) LS ω σ ε ω A ωk n ωk ) (346) ρ σ ε ( ν T ) LS ω ( R)LS ω, mit P = ν T {2 + [ ( vz z [( vz r ) LS 2 ω ) LS ω ( vr + r ( vr + z ) LS 2 ω ) LS ω + ] ( vr r m,ω [( vz z ) LS 2 ω ) LS ω ] + ( ) LS vr + v ] } 2 r r ω r m,ω (347) 58

59 38 FV Diskretisierung der Elektronenenergieerhaltungsgleichung Entscheidend bei der räumlichen Diskretisierung der Elektronenenergieerhaltungsgleichung (249) RHS ee = 1 V ω K k=1 F ee W ENO ( x ωk) A ωk p e 1 V ω K k=1 F div v W ENO ( x ωk) A ωk + 5 k 2 e jω LS ( T e ) LS ω 1 j ω LS ( p e ) LS ω en e 1 V ω K k=1 [ kt e,ωjk 6 Z i ( j D,i ) Tωjk kt e,ωkl i=1 ] 6 Z i ( j D,i ) Tωkl A ωk n ωk i=1 (348) + 1 V ω K k=1 1 ] [λ e,ωjk ( T e ) 2 Tωjk + λ e,ωkl ( T e ) Tωkl A ωk n ωk + 6 n e n i α ei (T h T e ) + i=0 ( 1 K + 1 j ω LS 2 K k=1 k=ω σ 2 k ) 1/2 5 ω i+1 χ i i+1 i=0 ist die Diskretisierung des Quellterms j 2 Wichtig sind dabei die Mittelung der elektrischen Leitfähigkeit σ mit Hilfe der Werte der Nachbarzellen, die Verwendung des σ Least Squares Ansatzes bei der Berechnung der Ableitungen und die Mittelung des 1 r Termes: ( ) LS Ψ LS j z r ω j LS ω = j r ω = µ 0 ( 1 K K k=1 k=ω r 3 m,k ) 1/3 ( Ψ z ) LS ω (349) Durch diese Maßnahmen ist die räumliche Verteilung der diskreten Quellterme sowohl in der Umgebung der Symmetrieachse als auch bei lokal kleiner elektrischer Leitfähigkeit stets ausreichend glatt 59

60 39 FV Diskretisierung der Magnetfelderhaltungsgleichung ω Neben dem Satz von Gauß wird zur Diskretisierung der Erhaltungsgleichung für das Magnetfeld (259) der Satz von Stokes A rote d A ω = E d l ω (350) benötigt Der konvektive Anteil der Rechthandseite von Gleichung (259) wird mit Hilfe des Gauß schen Satzes diskretisiert Der restliche Teil wird zunächst abgespalten und mit dem Stokes schen Satz berechnet Beide Teile werden schließlich wieder addiert, sodaß die disketisierte Gleichung folgendermaßen lautet: ω RHS B = 1 V ω K FW B ENO ( x ωk) A ωk + k=1 ( 1 K + 1 Ψ v r r m,ω K k=1 k=ω r 3 m,k ) 1/3 (351) 1 A ω K k=1 [ 1 (rotb)tωjk + (rot B) Tωkl + β ωjk (rotb) 2 µ 0 σ ωjk µ 0 σ ωkl µ Tωjk B ωjk 0 ] + β [ ωkl (rotb) µ Tωkl B ] ωkl β ωjk ( p e ) Tωjk β ωkl ( p e ) Tωkl x ωkl x ωjk 0 Im Quellterm wird wiederum ein gemittelter Radius zur ] Erhaltung der Symmetrie im diskreten Falle benutzt Die Wegstrecken [ x ωkl x ωjk stellen die Umrandung der Torusquerschnittsfläche A ω einer dualen Zelle dar, wobei die auf den primären Dreiecken berechneten Mittelwerte x ωkl und x ωjk Eckpunkte einer dualen Zelle ω sind Die Berechnung des Stromes auf allen dualen Dreiecken erfolgt mit: ( ) 1 Ψ (rotb) j z r m,ωjk r T Tωjk = µ 0 ωjk = µ 0 j r Tωjk 1 ( ) (352) Ψ r m,ωjk z T ωjk 60

61 310 FV Diskretisierung der Randbedingungen Massen, Impuls und Energieerhaltung der Schwerteilchen Einströmrand Zur Erhaltung eines vorgegebenen Massenstroms ṁ am Einströmrand dient ein numerischer Massenflußregler, der den Massenstrom über ein geradliniges Randsegment kontrolliert Das Randsegment ist definiert durch seine Länge l, einen Randpunkt x 0 und den aus dem Rechengebiet herausgerichteten Normaleneinheitsvektor n Mit Einführung der dimensionslosen Koordinate η = x x 0 l auf dem Randsegment, der Neutralteilchendichte, 0 η 1 (353) n 0,ein = p h,ein kt h,ein (354) des einströmenden Kaltgases und der Vorgabe eines parabelförmigen Geschwindigkeitsprofiles mit dem Ansatz ergibt sich die Maximalgeschwindigkeit v max,ein zu v ein = 4 v max,ein (η η 2 ) (355) v max,ein = ṁ N (356) 4 m h n 0,ein (η i,1 ηi,1) A 2 i,1 + (η i,2 ηi,2) A 2 i,2 i=1 Dabei stellen die Koordinaten x i,1 und x i,2 die Integrationspunkte auf dem Rand der N dualen Zellen am Einströmrand dar, siehe Abbildung (32) Die Einströmgeschwindigkeiten an den Punkten x i,1 und x i,2 sind v i,1,ein = 4 v max,ein (η i,1 η 2 i,1) n und v i,2,ein = 4 v max,ein (η i,2 η 2 i,2 ) n (357) Einströmdaten (rechter Zustand r) und die auf den Rand rekonstruierten Zellmittelwerte (linker Zustand l) gehen in das Flux Vector Splitting ein, sodaß sich Massen, Impuls und Energiefluß der Schwerteilchen ergeben Während der Iteration zum stationären Zustand wird der Massenstrom ṁ = m h N i=1 F n 0 W ENO ( x i,1) A i,1 + F n 0 W ENO ( x i,2) A i,2 (358) ständig geprüft und durch Erhöhen oder Absenken des Druckes p h,ein konstant gehalten 61

62 Festkörperränder Die Zellmittelwerte der Geschwindigkeit der Randzellen werden auf Null gesetzt, die der Temperatur auf Wandtemperatur: v = 0 und T h = T W and (359) Insbesondere bei der Verwendung grober Startgitter können sich dadurch an den Festkörperwänden bereits die Gradienten von Geschwindigkeit und Temperatur ausbilden Symmetrieachse Da die Flüsse hier gleich Null sind, müssen nur noch die für die Rekonstruktion benötigten Gradienten zu Null gesetzt werden: ( ) W ENO ρ = r ( ) W ENO ni = r ( ) W ENO vz = r ( ) W ENO ph = r ( ) W ENO pe = 0 r (360) Zudem wird die radiale Ableitung der radialen Geschwindigkeitskomponente einer Zelle ω an der Symmetrieachse als berechnet Ausströmrand ( ) W ENO vr = v r (361) r r m,ω In den Randpunkten x i,1 und x i,2 wird getrennt mit Hilfe der rekonstruierten Werte untersucht, ob Aus oder Einströmen vorliegt Im Falle des Ausströmens mit Überschall sind die Flüsse durch die rekonstruierten Werte (linker Zustand l) festgelegt Für Unterschallausströmung wird der rechte Zustand r durch und die adiabate Expansion ρ r ρ l = v r = v l (362) ( ph,t ank p l )1/γ vorausgesetzt Die Teilchendichten n i und der Elektronendruck p e werden skaliert: (363) n ir = n il ρ r ρ l und p er = p el ρ r ρ l (364) Im Falle der Unterschalleinströmung ist der rechte (Anström ) Zustand r durch den Tankdruck p h,t ank, die Temperatur T h,t ank und die Geschwindigkeit v T ank gegeben, sodaß wie am Einströmrand die Flüsse durch Lösen des Riemannproblems berechnet werden können 62

63 Turbulenzerhaltung Einströmrand Die turbulente Einströmgröße (ρr) ein beträgt mit R T = 1 (ρr) ein = m h n 0,ein νr T, (365) wobei ν der Zellmittelwert der kinematischen Viskosität der zugehörigen Randzelle ist Festkörperränder Die Zellmittelwerte der Randzellen werden mit dem Wert Null belegt Symmetrieachse Hier gilt ( ) W ENO R = 0 (366) r Ausströmrand Bei Überschallausströmung ist der Fluß durch den rekonstruierten Wert gegeben, bei Unterschallausströmung wird mit der Dichte skaliert: (ρr) r = (ρr) l ρ r ρ l (367) Bei Einströmung gilt das für den Einströmrand Gesagte Energieerhaltung der Elektronen Einströmrand Der Fluß ist gleich Null Festkörperränder Auch hier ist der Fluß gleich Null Symmetrieachse Für die radiale Ableitung der Elektronenenergie gilt: ( ) W ENO ee = 0 (368) r 63

64 Ausströmrand Wie für die Schwerteilchen und Turbulenzflüsse müssen Über und Unterschallausströmen unterschieden werden Im Unterschallfall wird wiederum skaliert: e er = e el ρ r ρ l (369) Bei Einströmung wird der Fluß gleich Null gesetzt Erhaltung des Magnetfeldes Einströmrand Die Zellmittelwerte der Stromfunktion werden mit belegt Ψ = µ 0I 2π (370) Festkörperränder Für die Zellmittelwerte stromauf der Anode gilt wiederum stromab der Anode Ψ = µ 0I 2π, (371) Ψ = 0 (372) Da das elektrische Feld als senkrecht auf den Anoden und Kathodenoberflächen stehend angenommen wird, verschwindet hier der Anteil des Linienintegrals (350) auf der Wand Symmetrieachse Die Zellmittelwerte der Randzellen werden gleich Null gesetzt Ausströmrand Hier werden ebenso die Zellmittelwerte mit dem Wert Null belegt 311 Diskretisierung der Zeitintegration Zur expliziten Zeitintegration der Erhaltungsgleichungen wird die Methode der randomisierten lokalen Zeitschritte eingeführt, um möglichst schnell zu einer stationären Lösung zu gelangen Zunächst wurde eine Sensitivitätsanalyse im numerischen Experiment durchgeführt, um festzustellen, welche Terme beim Festlegen der diskreten Zeitschrittweite maßgeblich sind Dazu wurden die Erhaltungsgleichungen für die Schwerteilchen, die Elektronen und das Magnetfeld getrennt untersucht 64

65 Das Ergebnis ist, daß die Schwerteilchen und Turbulenzerhaltungsgleichungen von der größten Ausbreitungsgeschwindigkeit des reibungsfreien Anteils [104] und der Wärmeleitung [105] dominiert werden, die Elektronenenergiegleichung von der Elektronenwärmeleitung und das Magnetfeld von der magnetischen Diffusion [106]: t h 1 K = CF L h min K x m,k x m,ω k=1 t e = CF L e v + c t B = CF L B µ0 2 3k K + 1, 3k K + 1 ( K 1 n e,k K k=1 k=ω 1 K K + 1 ( K 1 σ k K k=1 k=ω ( K 1 n h,k K k=1 k=ω 4 K + 1 K x m,k x m,ω k=1 K (λ h,k + λ T,k ) k=1 k=ω K x m,k x m,ω k=1 ) 2 ) 2, (373), (374) K λ e,k k=1 k=ω 2 K x m,k x m,ω ) (375) Die CFL Zahlen dienen als Sicherheitsfaktoren gegenüber nicht berücksichtigten Effekten wie beispielsweise Änderungen der Wellengeschwindigkeiten durch Nichtlinearitäten und Quellterme Durch die Zeitintegration der verschiedenen Gleichungen mit den verschiedenen diskreten Zeitschritten können die unterschiedlichen Zeitskalen der zugehörigen physikalischen Mechanismen berücksichtigt werden, sodaß die Integration stabil bleibt Vor dem Zeitschritt werden alle lokalen Zeitschritte (373), (374) und (375) mit Zufallszahlen RN D [107] zwischen 0 und 1 multipliziert: k=1 t h,rnd = t h RND h, (376) t e,rnd = t e RND e, (377) t B,RND = t B RND B (378) Mit den so festgelegten Zeitschritten werden die einzelnen Gleichungen integriert, wobei zusätzlich auch noch die Residuen benachbarter Zellen gemittelt werden (K: Anzahl der Nachbarzellen einer dualen Zelle ω): n n+1 i n n i = t h,rnd ( 1 1 K ) RHS n i ω + 1 K K k=1 RHS n i k K ; i = 06, (379) 65

66 ρv n+1 z ρv n z = t h,rnd ρv n+1 r ρv n r = t h,rnd ( 1 1 K ( 1 1 K ) RHSω ρvz + 1 K ) RHSω ρvr + 1 K K k=1 K k=1 RHS ρvz k K RHS ρvr k K, (380), (381) e n+1 h e n h = t h,rnd ( 1 1 K ) RHS e h ω + 1 K K k=1 RHS e h k K, (382) ( ρr n+1 ρr n = t h,rnd 1 1 K ) RHSω ρr + 1 K K k=1 RHS ρr k K (383) Für die Elektronenenergie hat es sich als robust erwiesen, den Zeitschritt für die Elektronentemperatur durchzuführen: K Te n+1 Te n 2 ( = t e,rnd 1 1 ) RHSω 3k K ee K + 1 RHS ee k k=1 (384) K K n e,k K k=1 k=ω Aus dem gleichen Grund findet die Zeitintegration des Magnetfeldes für die Stromfunktion Ψ statt: K ( Ψ n+1 Ψ n = t B,RND 1 1 ) RHSω B K r m,ω + 1 RHSk B r m,k k=1 (385) K K Die Verwendung eines Zeitschrittverfahrens erster Ordnung hat ihre Ursache in der erwünschten Robustheit Verfahren höherer Ordnung wie etwa Runge Kutta Verfahren 66

67 haben bei einfachen Rechthandseiten im allgemeinen konvergenzbeschleunigende Eigenschaften Bei großen Quelltermen und Nichtlinearitäten, wie sie bei den MPD Erhaltungsgleichungen auftreten, neigen sie jedoch verstärkt zu numerischen Instabilitäten, sodaß sie hier nicht verwendet werden Als eine sinnvolle zukünftige Weiterentwicklung der Zeitintegration erscheint die Implementation eines semi impliziten Verfahrens, um sowohl die Einfachheit der expliziten als auch die Konvergenzbeschleunigung der impliziten Verfahren [108, 109] kombinieren zu können Es muß betont werden, daß hier keine Subzeitschritte eingeführt werden, um die kurzen Zeitskalen der Elektronenenergie in mehreren Subzeitschritten zu integrieren, bis die Zeitskala der größten Zeitskalen der Schwerteilchenkonvektion erreicht ist Da nur der stationäre Zustand von Interesse ist, kann auf eine aufwendige Integration, die nur der Zeitgenauigkeit dienen könnte, verzichtet werden Aus dem gleichen Grunde dürfen die Zeitschritte auch zufällig gewählt werden Der große Vorteil der randomisierten lokalen Zeitschritte besteht darin, daß sie um nahezu eine Größenordnung höhere CFL Zahlen zulassen und die Zeitintegration gegenüber großen Quelltermen in der Elektronenenergiegleichung sehr robust machen Bislang konnte noch keine schlüssige Erklärung für diese Robustheit gefunden werden; es ist anzunehmen, daß durch die Zufallszahlen eine nichtlineare, dämpfende Dissipation auftritt, die im stationären Zustand wieder verschwindet 312 Fehlerabschätzung und Gitteradaption Mit der a posteriori Adaption von Gittern werden zwei eng miteinander verwobene Ziele verfolgt: Zum einen kann die Lösung eines Differentialgleichungssystems auf einem anfangs geeignet groben Gitter approximiert werden, sodaß in relativ kurzer Zeit eine Grobgitterlösung vorliegt, die als Startlösung auf einem verfeinerten Gitter dient Zum anderen erhofft man sich, durch Gitterverfeinerung eine qualitativ verbesserte Lösung in dem Sinne zu erhalten, daß die durch die Diskretisierung entstehende Abweichung der numerischen von der tatsächlichen Lösung verkleinert wird Im CFD Bereich (Computational Fluid Dynamics) steht die Entwicklung geeigneter Kriterien zur Gitterverfeinerung unter mathematischem Gesichtspunkt heutzutage noch an den Anfängen [110] In der Praxis werden zumeist Gradientenindikatoren als Verfeinerungskriterium benutzt [111, 112, 113] Der Grund hierfür ist, daß davon ausgegangen werden kann, daß in Bereichen starker Gradienten die Auflösung erhöht werden muß, um die stattfindenden physikalischen Prozesse erfassen zu können Während dies anschaulich plausibel ist, muß dennoch festgehalten werden, daß der Betrag eines Gradienten im allgemeinen nichts über den Fehler aussagt Basierend auf den Analysen in [114] und [115] wurde in [52] und [100] das Finite Elemente Residuum der Eulergleichungen unter Vernachlässigung viskoser Anteile und Quellterme zur Gitterverfeinerung und vergröberung benutzt In [116] wird eine Fehlerschätzung auf der Basis von Wavelet Zerlegungen für Grenzschichten, wie sie in 67

68 der Halbleitertechnik auftreten, verwendet Ein asymptotisch exakter Fehlerschätzer für Finite Volumen Verfahren auf unstrukturierten Gittern wird in [117] untersucht, der Ausgangspunkt der folgenden Fehlerabschätzung ist Da das System der MPD Erhaltungsgleichungen sehr komplex ist, existiert bis heute keine vollständige Analysis des Problems Für eine gegebene diskrete Lösung u h, die die exakte Lösung u approximiert, kann der Fehler e h = u u h für das gesamte System in einer geeigneten Norm nicht explizit angegeben werden Um die Komplexität des Problems zu reduzieren, wird die Analyse für die Erhaltungsgleichungen (210), (212), (215) und (220) der Schwerteilchen durchgeführt Für gewisse Problemklassen kann gegenwärtig ein Teil des Fehlers, nämlich der sogenannte lokale Fehler, der mit dem Residuum zusammenhängt, kontrolliert werden Vereinfachend kann man sagen, daß das Residuum, wenn man den Differentialoperator auf die numerische Lösung und auf die Differentialgleichung anwendet, die Differenz zwischen diesen beiden Ergebnissen mißt und damit eine Kontrolle des lokalen Fehlers erlaubt [118] Die Analyse des lokalen Fehlers für Konvektions Diffusions Probleme, die den MPD Strömungen in gewisser Hinsicht verwandt sind, ist genauer in [116] beschrieben Im folgenden soll die Entwicklung eines in der Praxis erfolgreich einsetzbaren Fehlerindikators beschrieben werden Es wird kein Anspruch auf absolute mathematische Exaktheit erhoben, siehe dazu [117, 119] Das Rechengebiet wird mit Ω R 2 bezeichnet, wobei Ω ein offenes und einfach zusammenhängendes Gebiet ist Die Berandung ist Ω, die durch stückweise lineare Funktionen approximiert wird Das so entstandene Gebiet sei Ω h mit Ω h Ω Es sei im folgenden jede lokale Verfeinerung von Ω h auch Teilmenge von Ω Betrachtet wird eine quasiuniforme Triangulierung, die die Winkelbedingung erfüllt, das heißt, alle Winkel einer dualen Zelle ω sind uniform nach oben für jedes Gitter beschränkt Der Durchmesser einer dualen Zelle ω wird mit h bezeichnet Zur Entwicklung des Fehlerindikators werden die Erhaltungsgleichungen in der abgekürzten konservativen Form u + F(u) = S(u) (386) t geschrieben Hierbei enthält die Vektorfunktion F, für die die Lipschitz Stetigkeit angenommen wird, keine Terme mit Ableitungen der Temperatur und der Geschwindigkeit Eine Möglichkeit, um Funktionen F zu betrachten, die keine Ableitungen beinhalten, besteht darin, diese Terme auf die rechte Seite der Originalgleichungen als Quellterme zu schreiben Einer stationären numerischen Lösung u h des Systems (386) wird das Residuum r h (u h ) := S(u h ) F(u h ) (387) zugeordnet Betrachtet wird die stationäre Lösung des Systems (386), dh u/ t 0, da die Zeitabhängigkeit nur der Zeitstabilisierung einer stationären Lösung dient Die numerische Lösung u h von (386) sei ein Element von S 0 h Der Funktionenraum S0 h besteht aus stückweise konstanten Funktionen auf Ω h 68

69 Betrachtet wird nun die schwache Formulierung der stationären partiellen Differentialgleichung (386) F(u) Ψdx = S(u)Ψdx Ψ H0 1 (Ω h) (388) Ω h Ω h Die übliche Dualnorm uv dx u 1,ω = sup v H0 1(ω) ω v 0 (389) wird für jede offene Untermenge ω Ω als eine Norm auf dem zu H 1 0(ω) dualen Sobolev Raum H 1 (ω) definiert [120] Man nimmt nun an, daß die magnetoplasmadynamischen Erhaltungsgleichungen die Voraussetzungen des folgenden Lemmas erfüllen: Lemma 1 (Residuum als Maß für den Fehler) Es wird angenommen, daß F eine Lipschitz stetige Vektorfunktion mit der Lipschitz Konstanten L ist Für genügend kleine Gittergröße h erhält man r h (u h ) 1,ω L e h 0,ω (390) Beweis: Für jede Funktion Ψ C0 (ω) gilt r h (u h ), Ψ ω = S(u) Ψdx + F(u h ) Ψdx = (F(u) F(u h )) Ψdx (391) ω ω ω Nimmt man an, daß F eine Lipschitz stetige Funktion ist, erhält man r h (u h ), Ψ ω L u u h 0 Ψ 0 (392) Mit der Definition der dualen Norm (389) ist der Beweis erbracht Die duale Norm des Residuums ist hier die natürliche Größe der L 2 Fehleranalysis, wie präzise Abschätzungen im linearen Fall zeigen [118] Sie ist numerisch nicht geeignet berechenbar und muß daher durch asymptotisch äquivalente Finite Differenzen Formeln approximiert werden [117] Es sei E ein Zellrand einer dualen Zelle ω Mit [F(u h ) n] E wird der Sprung des Normalenflusses zwischen zwei Nachbarzellen mit dem gemeinsamen Zellrand E bezeichnet Die Sprünge über einen Zellrand einer dualen Zelle werden definiert als ν h ω := max E ω [F(u h) n] E h E, (393) wobei h E die Länge eines Zellrandes darstellt Wegen der Winkelbedingung [117] gilt h h E Das folgende Ergebnis gilt für den speziellen Fall S = 0, der in [117] betrachtet wird 69

70 Lemma 2 (Approximationseigenschaft) Es existieren zwei reelle positive Konstanten C 1 und C 2, sodaß für hinreichend kleine Gittergröße h die Abschätzung gilt: C 1 ν h ω r h (u h ) 1,ω C 2 ν h ω (394) Die Konstanten C 1 und C 2 hängen nur vom Gebiet Ω und den Eigenschaften der Flußfunktion ab Sie sind von theoretischer Natur und werden in der numerischen Berechnung des Fehlerindikators nicht benötigt Da die duale Norm des Residuums eine Fehlerabschätzung darstellt, hat der Fehlerindikator νω h automatisch auch diese Eigenschaften Nun sollen Quellterme, die von Null verschieden sind, betrachtet werden Der Indikator wird neu definiert als νω h := max [F(u h) n] E h E + E ω S(u h ) dx (395) Lemma 3 (Approximationseigenschaft) Sei ω die Gesamtheit aller dualen Zellen, die eine gemeinsame Kante mit ω besitzen Sei S eine beliebige Vektorfunktion in L 2 (Ω) Für genügend kleine Gittergröße existiert eine reelle positive Konstante C 2, sodaß ω r h (u h ) 1, ω C 2 ν h ω (396) Beweis: Es sei Ψ C0 ( ω) beliebig Mit der Cauchy Schwarz schen Ungleichung, partieller Integration, der Normäquivalenz von 1, ω und 1, ω für Funktionen in H0( ω) 1 [120] und der Tatsache, daß die zur Flußberechnung benötigte Zellwandfläche A E h ist, erhält man r h (u h ), Ψ ω S(u h )Ψ + F(u h ) Ψdx ω h S(u h ) Ψ 0, ω + [F(u h ) n] E ΨdS E ω A ( E C h 2 S(u h ) + ) [F(u h ) n] E h E Ψ 0, ω E ω Wiederum ist mit der Definition des Residuums der Beweis erbracht Der Indikator (395) kann das Residuum überschätzen Die Definition (395) läßt keine Abschätzung des Residuums von unten zu Nun werden die Erhaltungsgleichungen für die Schwerteilchen betrachtet Die Strategie zur Abschätzung des Residuums kann wie oben dargestellt angewandt werden Um die ersten Ableitungen durch die viskosen Flüsse zu approximieren, befinde sich die diskrete Lösung u h nun in Sh 1, wobei S1 h den Raum stückweise linearer Funktionen bezeichnet Der Indikator wird analog definiert als νω h (u h) := max [F(u h) n] E A E + E E (S(u h ) + F(u h )) dx (397) ω 70

71 Wegen der Betrachtung eines axialsymmetrischen Problems in Zylinderkoordinaten wird die Länge h E durch die Zellwandfläche A E (Normalenvektor n) einer dualen Zelle ω ersetzt Da die Erhaltungsgleichungen nicht dimensionslos sind, wird der Indikator in vier gewichtete Indikatoren aufgespalten Der neue lokale und gewichtete Indikator ν ω für eine duale Zelle ω mit dem Volumen V ω wird nun berechnet als ν (4) ω = ν (3) ω = ν (2) ω = ν (1) ω = max E ω max { [ρ v n] E ω E A E}, (398) ρ V ω { [( fz,invisc + f ) ] } z,visc n A E E, (399) (ρvz ) 2 + (ρv r ) 2 V ω { [( max fr,invisc + f ) ] } r,visc n A E + E ω q r dv E ω, (3100) (ρvz ) 2 + (ρv r ) 2 V ω { [( max fh,invisc + f ) ] } h,visc n A E + E ω q h dv E ω, (3101) e h V ω ( ν (1) ω + ν(2) ω + ν(3) ω + ) ν(4) ω (3102) ν ω := 1 4 Die Wahl der konservativen Variablen als Gewichte stellte sich in zahlreichen numerischen Experimenten als sehr vorteilhaft heraus Die neue lokale Gittergröße g 1 wird definiert als g 1 = Cε1 ν ω (3103) Kombiniert wird dieser mathematisch fundierte Indikator mit einem Gradientenindikator in der Form C g 2 = { ε2 Th + v z + v r + ρ }, (3104) T h v z v r ρ sodaß die für den Advancing Front Algorithmus benötigte lokale Gitterkantenlänge schließlich als das arithmetische Mittel g = 1 2 (g 1 + g 2 ) (3105) berechnet wird Die Berechnung der Ableitungen in den Indikatoren erfolgt mit dem Least Squares Ansatz Die Volumenintegrale werden mit der Mittelpunktsregel ausgewertet, und die Sprünge der Flüsse werden mit Hilfe der Werte in den Zellschwerpunkten ermittelt Die Mittelwerte im Gradientenindikator sind die arithmetischen Mittel der Werte einer dualen Zelle und der umgebenden Nachbarzellen 71

72 Durch unabhängige Wahl der Konstanten C ε1 und C ε2 können die sich aus beiden Indikatoren ergebenden Verfeinerungen getrennt untersucht und kombiniert werden Im numerischen Experiment stellt sich dabei heraus, daß der mathematisch fundierte Indikator insbesondere eine deutlich höhere Grenzschichtauflösung fordert als der Gradientenindikator, während beide Indikatoren zu in etwa gleichen Verfeinerungen von Stößen führen Die vom ersten Indikator geforderte höhere Grenzschichtauflösung ist unter physikalischem Blickwinkel durchaus sinnvoll, da die hier ablaufenden Prozesse von zentraler Bedeutung für den Energiehaushalt und (wegen der Wandreibung) für die Schubkraft eines Triebwerks sind Die Verwendung des Gradientenindikators hat den Vorteil, daß die resultierenden Gitterkantenlängen g sich relativ gleichmäßig von Ort zu Ort ändern Um allzu große Änderungen von g auszuschließen, werden die auf dem Berechnungsgitter vorliegenden Werte von g ferner dahingehend überprüft, daß sie sich nicht um mehr als den Faktor 1,3 von Zellschwerpunkt zu Zellschwerpunkt unterscheiden Die mit dem Advancing Front Algorithmus erzeugten Triangulierungen werden durch das Verschieben von Knotenpunkten in die Schwerpunkte der dualen Zellen und durch das Umklappen von Kanten zur Vermeidung zu kleiner Winkel optimiert Die vorhandene numerische Lösung wird schließlich durch Interpolation der primitiven Variablen vom alten auf das neue Gitter übertragen Die Entwicklung mathematisch fundierter Fehlerschätzer und indikatoren für komplexe Systeme von hyperbolisch parabolischen Erhaltungsgleichungen ist gewiß nicht abgeschlossen Der hier gewählte, in der Anwendung sehr erfolgreiche Ansatz soll Ansporn und Aufforderung insbesondere an die Mathematik sein, weiter intensiv die Eigenschaften von partiellen Differentialgleichungssystemen zu erforschen, um physikalisch wie mathematisch in der Praxis eine sinnvolle und effiziente Gitteradaption zu erzielen 72

73 Kapitel 4 Ergebnisse 41 Plasmabeschleuniger RD3 Für den Plasmabeschleuniger RD3 wurden Rechnungen für einen Argonmassenstrom von 24 g/s bei Stromstärken von 500 A, 1000 A, 1500 A und 2000 A durchgeführt, um den Lichtbogenansatz an der wassergekühlten Anode genauer zu untersuchen In Abbildung 41 ist eine typische Triangulierung des Rechengebietes ersichtlich Im Inneren der Beschleunigerdüse und in einem zur Rechenzeitverkürzung begrenzten Gebiet hinter dem Anodenendquerschnitt wird das Gitter während eines Rechenlaufes für einen durch Massenstrom und Stromstärke bestimmten Betriebspunkt sukzessive verfeinert An das Verfeinerungsgebiet schließt sich ein Gebiet mit relativ grober Diskretisierung an, dessen Ausströmrand soweit stromab liegt, daß bei einem aus dem Triebwerk herausgetragenen Lichtbogen die Randbedingung Ψ = 0 zulässig ist Anode m Kathode Abbildung 41: Gesamtansicht des adaptierten Primärgitters für den Plasmabeschleuniger RD3 (12163 Gitterpunkte, 1500 A, 24 g/s) 73

74 Anode m Kathode Abbildung 42: Teilansicht des adaptierten Primärgitters für den Plasmabeschleuniger RD3 (12163 Gitterpunkte, 1500 A, 24 g/s) Die Teilansicht des Gitters in Abbildung 42 zeigt, daß das Gitter durch den Verfeinerungsindikator (3105) sowohl an allen Festkörperwänden zur verbesserten Grenzschichtauflösung als auch im Düsenhalsbereich, in dem die Quellterme sehr groß sind und außerdem der Schalldurchgang stattfindet, zuverlässig verfeinert wird Oberhalb und stromab des Düsenendquerschnitts wird das Gitter grob gelassen, um Rechenzeit zu sparen Der Ansatz des Lichtbogens an der Kathodenspitze ändert sich mit zunehmender Stromstärke (Abb 43 46) kaum, an der Anode hingegen drastisch Bei 500 A verteilt sich der Strom nahezu gleichmäßig auf der Anodenoberfläche Bei 1000 A fließt ein kleiner Teil des Stromes (100 A) knapp hinter dem ab, während der Großteil des Lichtbogens auf der hinteren Anodenaußenfläche ansetzt Ein ähnliches Bild ergibt sich für 1500 A Bei 2000 A fließen 400 A knapp hinter dem ab, 300 A über den mittleren Teil der der Symmetrieachse zugewandten Anodenoberfläche, und der restliche Strom über die hintere Anodenaußenfläche Zur Klärung der Ursache für diese nicht gleichmäßige Verteilung des Lichtbogenansatzes auf der Anode wurden die verschiedenen Terme in Gleichung (259) näher untersucht Dabei wurden auch Berechungen für dieselben vier Stromstärken ohne den Term für 1 die Diffusion aufgrund des Elektronendrucks p e in Gleichung (259) durchgeführt en e 74

75 (Abb 47 und 48) Während bei 500 A kein wesentlicher Unterschied mit und ohne diesen Term festzustellen ist, zeigt der Vergleich der Stromverteilungen für höhere Stöme von 1000 A (Abb 44 und 47) und 2000 A (Abb 46 und 48) deutlich, daß dieser Term im Überschallteil der Düse gegenüber den anderen Termen eine dominante Rolle spielt Er treibt den Großteil des Lichtbogens aus der Düse heraus, sodaß er auf der hinteren Anodenaußenfläche ansetzen muß In [16] ist der Term 1 p e in der Entladungsgleichung nicht enthalten, da er als en e Quellterm in der in [16] gewählten FE Diskretisierung zu numerischen Schwierigkeiten führt Die hier erarbeitete Flußformulierung und die FV Diskretisierung erlauben auf elegantem Wege eine einfache und numerisch stabile Mitberechnung dieses offensichtlich physikalisch sehr wichtigen Termes In der Verteilung der Elektronentemperatur, die für 2000 A exemplarisch in Abbildung 49 gezeigt ist, ist im Bereich der hinteren Anodenaußenfläche zusätzlich ein starkes Abkühlen durch die starke Expansion des Plasmas in Oberflächennähe zu erkennen, wodurch auch die elektrische Leitfähigkeit abnimmt Die Elektronentemperatur erreicht ein Maximum von K vor der Kathodenspitze und fällt auf der Symmetrieachse durch die Expansion des Plasmas relativ schnell auf 6400 K ab Im Bereich des Lichtbogens im Überschallteil haben die stromtragenden Elektronen Temperaturen ungefähr zwischen K und K Im Vergleich mit der Schwerteilchentemperatur in Abbildung 410 ist die Nicht Isothermie von Schwerteilchen und Elektronen deutlich zu erkennen Die Schwerteilchentemperatur hat ein Maximum von K vor der Kathodenspitze und fällt schnell auf Werte zwischen 2500 K und 6500 K im Anodenendquerschnitt ab Der Ionisationsgrad (Abb 411) friert im Überschallteil der Düse nahezu ein Gemäß seiner Definition in (245) nimmt er wegen Mehrfachionisation mit einem Maximum von 1,3 vor der Kathodenspitze einen Wert größer als Eins an Auffällig ist der in weiten Teilen des Überschallteils, insbesondere auch vor der Anode, sehr geringe Ionisationsgrad von ungefähr 0,07 Zu bemerken ist bei der Dichteverteilung (Abb 412) das Verdünnungsgebiet oberhalb der Anode Hier sind die Erhaltungsgleichungen streng genommen nicht mehr zulässig, da die mittleren freien Weglängen größer als die Zelldurchmesser werden Zur quantitativ genauen Berechnung müßte eher eine kinetische Modellierung verwendet werden Für ein Gebiet niederer Dichte sind also quantitative Aussagen nicht sinnvoll, wohl aber die qualitative phänomenologische Aussage, daß eine starke Verdünnung auftritt Für die numerische Berechnung ist vorteilhaft, daß insbesondere der Riemannlöser auch bei solch geringen Dichten einwandfrei funktioniert, ohne die Bedingung der Positivität von Druck und Dichte zu verletzen Das den Beschleuniger verlassende, in großen Bereichen nur gering ionisierte Plasma hat also für die betrachteten Betriebsparameter eine im Vergleich zum Düsenhalsbereich niedrige Temperatur Im Rahmen der Verwendung des RD3 zum Metallspritzen in der Materialentwicklung erscheint eine Metallzuführung hinter der Düse daher nicht geeignet 75

76 Anode m Kathode Abbildung 43: RD3: Stromverteilung Ψ, 500 A, 24 g/s (100 A zwischen 2 Isolinien) Anode m Kathode Abbildung 44: RD3: Stromverteilung Ψ, 1000 A, 24 g/s (100 A zwischen 2 Isolinien) 76

77 Anode m Kathode Abbildung 45: RD3: Stromverteilung Ψ, 1500 A, 24 g/s (100 A zwischen 2 Isolinien) Anode m Kathode Abbildung 46: RD3: Stromverteilung Ψ, 2000 A, 24 g/s (100 A zwischen 2 Isolinien) 77

78 Anode m Kathode Abbildung 47: RD3: Stromverteilung Ψ, 1000 A, 24 g/s, ohne den Term 1 en e p e im Ohm schen Gesetz (100 A zwischen 2 Isolinien) Anode m Kathode Abbildung 48: RD3: Stromverteilung Ψ, 2000 A, 24 g/s, ohne den Term 1 en e p e im Ohm schen Gesetz (100 A zwischen 2 Isolinien) 78

79 Te Anode m Kathode Abbildung 49: RD3: Elektronentemperatur Te, 2000 A, 24 g/s Th Anode m Kathode Abbildung 410: RD3: Schwerteilchentemperatur Th, 2000 A, 24 g/s 79

80 alpha Anode m Kathode Abbildung 411: RD3: Ionisationsgrad α, 2000 A, 24 g/s rho Anode m Kathode Abbildung 412: RD3: Dichte log10 (ρ), 2000 A, 24 g/s 80

81 Um den numerisch vorausgesagten Lichtbogenansatz an der Anode experimentell zu verifizieren, wurde für das RD3 zunächst in der ursprünglichen Konfiguration eine Strom /Spannungs Kennlinie aufgenommen Anschließend wurden nacheinander verschiedene Bereiche der Anodenoberfläche mit Keramik abgedeckt (Abb 413 und 414) Dabei wurde von der ersten Modifikation erwartet, daß sie im mittleren Strombereich keinen nennenswerten Einfluß auf den Stromansatz haben sollte, da hier die Keramikschicht in einem Oberflächenbereich liegt, der nach der numerischen Simulation für 1000 A und 1500 A praktisch keinen Stromansatz aufweist (Abb 44 und 45) Die zweite und dritte Modifikation sollten zeigen, daß der Anodenanfang bzw die Anodenaußenfläche im Gegensatz dazu zur Stromleitung genutzt werden Die aufgenommenen Strom /Spannungs Kennlinien (Abb 415) bestätigen im wesentlichen die Voraussage der numerischen Simulation Die erste Modifikation zeigt bei 1000 A und 1500 A tatsächlich keinen Einfluß gegenüber der nichtbeschichteten Anode Dies trifft auch für Ströme kleiner als 1000 A zu, was sich auf die geringe Stromdichte im abgedeckten Bereich (Abb 43) zurückführen läßt Bei 1900 A tritt eine um 6 Volt höhere Spannung auf, da der Stromansatz (Abb 46) durch die Abdeckung sichtlich herausgetrieben wird Durch die numerische Simulation wird dies bestätigt, bei 2000 A wird auch der Teil des Lichtbogens, der ohne Abdeckung (Abb 46) über den mittleren Teil der der Symmetrieachse zugewandten Anodenoberfläche abfließt, durch die Abdeckung hinausgetrieben (Abb 416) Da bei der zweiten Modifikation die Spannung um ca 8 Volt steigt, muß im Betrieb ohne Keramik ein Teil des Stromes am Anfang der Anode ansetzen Umgekehrt muß auch ein Teil des Stromes im Betrieb ohne Keramik auf der Anodenaußenfläche ansetzen, da für die dritte Modifikation die Spannung um ca 5 Volt sinkt, was auf einen kürzeren Lichtbogen schließen läßt Es sei noch bemerkt, daß für die zweite und dritte Modifikation nur jeweils eine Stromstärke für kurze Zeit (ca 1 Minute) eingestellt wurde, um durch diese doch recht extrem erscheinenden Versuche das RD3 nicht zu gefährden Das Absinken der Spannung bei der zweiten Modifikation in Abbildung 415 ist auf das partielle Durchbrennen der Keramikabdeckung im vorderen Anodenbereich zurückzuführen 81

82 Anode tor Keramik Abbildung 413: RD3: Mit Keramikabdeckung, Modifikation 1 Anode Anode tor Keramik tor Keramik Abbildung 414: RD3: Mit Keramikabdeckung, Modifikationen 2 (links) und 3 (rechts) RD3, Argon 24 g/s 24 g/s, Mod 1 24 g/s, Mod 2 24 g/s, Mod 3 Spannung U [V] Stromstärke I [A] Abbildung 415: Strom /Spannungsmeßkurven RD3 82

83 Anode m Kathode Abbildung 416: RD3: Stromverteilung Ψ, 2000 A, 24 g/s, Modifikation 1 mit Keramikabdeckung (100 A zwischen 2 Isolinien) Der Schub F wird im Anodenendquerschnitt als F = ) (p h + p e + B2 + ρvz 2 A (41) 2µ 0 A berechnet Der dynamische Anteil ρvz 2 trägt bei düsenförmigen Konfigurationen wie der des RD3 über 80 Prozent des Schubes bei Auch ergeben die numerischen Berechnungen, daß der Schubanteil der Lorentzkräfte, der durch das Heraustragen der Stromlinien aus der Düse entsteht, ebenso vernachlässigbar klein ist wie der des Tankgegendruckes Im Schub F ist der magnetische Schub F j B enthalten, der durch die Lorentzkräfte entsteht: F j B = ( j LS B) V (42) z V Die Druckerhöhung durch die radiale Lorentzkraftkomponente ist in (42) vernachlässigt Die Spannung des Lichtbogens ohne die Elektrodenfallspannungen ergibt sich aus j LS E LS V U P = V I (43) 83

84 I[A] ṁ[g/s] p ein [kp a] U P [V ] U C+P +A [V ] F j B [N] F [N] num num exp num num 500 2,4 7,0 20,0 35,0 0,1 3, ,4 9,9 26,7 39,2 0,3 5, ,4 12,3 31,4 43,3 0,7 7, ,4 14,4 34,2-1,2 9,4 Tabelle 41: Kenndaten RD3 (num: numerisch, exp: experimentell) Die integralen Charakteristika des RD3 sind in Tabelle 41 zusammengefaßt Obwohl das RD3 bei den Experimenten nicht auf einer Schubmeßwaage montiert und keine Druckmeßbohrung auf Höhe der Kathodenwurzel vorhanden war, sind der Vollständigkeit halber auch die numerischen Ergebnisse für den Einströmdruck p ein, den magnetischen Schubanteil F j B und den Schub F angegeben Aufgrund der relativ kleinen Ströme fällt der magnetische Schubanteil nur gering aus, weshalb das RD3 für die betrachteten Betriebszustände auch nicht als MPD Triebwerk angesehen werden kann Da bei den numerischen Berechnungen keine detaillierten Elektrodenmodelle verwendet werden, kann nur die über den Lichtbogen im Plasma abfallende Spannung U P angegeben werden Diese ist stets kleiner als die Gesamtspannung U C+P +A, die auch noch die Kathoden und Anodenfallspannungen beinhaltet Die Einbeziehung der Elektroden in die Berechnungen stellt daher eine wichtige zukünftige Aufgabe dar Erstmalig ist hier in der numerischen Simulation die entscheidende Bedeutung der Diffusion aufgrund des Elektronendrucks für den Lichtbogenansatz an der Anode düsenförmiger MPD Eigenfeldbeschleuniger erfaßt und im Experiment bestätigt worden 84

85 42 Düsenförmiges Triebwerk DT2 Bei einem gegebenen Massenstrom sind düsenförmige MPD Eigenfeldtriebwerke durch eine kritische Stromstärke begrenzt, oberhalb derer Instabilitäten auftreten, die unter anderem eine drastische Lebensdauerverkürzung der Triebwerke zur Folge haben oder gar zu ihrer Zerstörung führen Um einen Beitrag zur Aufkärung der Ursachen für solche Instabilitäten zu leisten, werden hier für Argonmassenströme von 08 g/s sowie 03 g/s und Stromstärken zwischen 2000 A und 5000 A die Plasmaströmungen im MPD Eigenfeldtriebwerk DT2 untersucht Das in Abbildung 417 dargestellte adaptierte Primärgitter zeigt, daß der Verfeinerungsindikator (3105) im Düseninneren zuverlässig zu einer verfeinerten Grenzschichtauflösung an allen Festkörperwänden führt Auch im Düsenhalsbereich findet eine Gitterverfeinerung statt, die wegen der hier auftretendenden großen Quellterme der Ohm schen Heizung, des elastischen Energietransfers zwischen Elektronen und Schwerteilchen sowie der Ionisationsreaktionen erforderlich ist Oberhalb des Düsenaustritts wird das Gitter wie beim RD3 zur Rechenzeitersparnis grob gelassen Die rechte und obere Berandung des Rechengebietes entspricht geometrisch derjenigen in Abbildung 41 Anode m Kathode Abbildung 417: Teilansicht des adaptierten Primärgitters für das MPD Eigenfeldtriebwerk DT2 (29518 Gitterpunkte, 4000 A, 08 g/s) 85

86 Bei einem Massenstrom von 08 g/s und einem Strom von 2000 A (Abb 418) setzt der Lichtbogen größtenteils vorne an der Anode an Verursacht wird dies durch den radialen Versatz der Struktur zwischen und Anode, der zu einer lokalen Eckenexpansionsströmung führt, sodaß die Diffusion aufgrund des Elektronendrucks den Lichtbogen hier zum Ansetzen bringt Bei 3000 A (Abb 419) nimmt der Stromanteil zu, der durch Diffusion aufgrund des Elektronendrucks zum Ansatz an der Anodenaußenfläche getrieben wird, und der Lichtbogenansatz vorne an der Anode wandert etwas stromabwärts Bei 4000 A (Abb 420) setzt der Strom im hinteren Anodenbereich an, gleichzeitig beginnt sich der Lichtbogen stromab des Düsenhalses aufgrund des magnetischen Druckes zusammenzuziehen Hier handelt es sich mit Sicherheit nicht um einen dynamischen Pinch Effekt, sondern eher um eine Art eigenmagnetische Kontraktion, wie sie in [75] beschrieben wird Im folgenden wird aber der Begriff Pinch Effekt weiter verwendet Sehr deutlich ist dieser Effekt schließlich bei 5000 A (Abb 421) Für die Dichte vor der Anode hat dies drastische Auswirkungen Während sie für 2000 A (Abb 422) und 3000A (Abb 423) zwischen 10 5 kg/m 3 und 10 4 kg/m 3 beträgt, nimmt sie bei 4000 A (Abb 424) und 5000 A (Abb 425) um vier Größenordnungen ab, sodaß es zu einer starken Ladungsträgerverarmung vor der Anode kommt Im Experiment [11, 121] hat sich gezeigt, daß sich ein Strom von 5000 A bei einem Massenstrom von 08 g/s nicht erreichen läßt, da vorher die aus der Kathodenfallspannung, der Spannung des Lichtbogens im quasineutralen Plasmabereich und der Anodenfallspannung zusammengesetzte Bogenspannung stark ansteigt und Plasmaoszillationen ab 4650 A auftreten Die Korrelation der numerischen Simulation mit den experimentellen Daten im Strombereich der Instabilitäten zeigt damit, daß, wie theoretisch schon lange vorhergesagt, eine primäre Ursache für das Auftreten von Plasmainstabilitäten in düsenförmigen MPD Eigenfeldbeschleunigern die durch den Pinch Effekt hervorgerufene Dichte und damit Ladungsträgerverarmung vor der Anode ist Im Bereich der Instabilitäten konnten in vorangegangenen Arbeiten [15, 16] keine Berechnungen durchgeführt werden, weil der magnetische Druck als Lorentzkraft Quellterm berechnet wurde, was zu numerischen Schwierigkeiten führte Hier ist nun der magnetische Druck in der Upwind Flußberechnung enthalten, sodaß die numerische Lösung insbesondere der Impulserhaltungsgleichungen problemlos ist Während eine qualitative Aussage über den Beginn von Plasmainstabilitäten durch das Erfassen des starken Dichteabfalls vor der Anode jetzt zumindest grob möglich ist, steht eine exakte quantitative Voraussage noch aus Hierzu müssen in den nächsten Schritten der Weiterentwicklung des Berechnungsverfahrens Elektrodenmodelle für die Anode und die Kathode implementiert werden Im Bereich nahe der Anode ist dabei strenggenommen die Verwendung eines Flüssigkeitsmodells aufgrund der starken Verdünnung nicht mehr zulässig, vielmehr wird hier die Kopplung eines kinetischen Modells mit dem Flüssigkeitsmodell anzustreben sein Hierzu und natürlich auch zur Instabilitätsanalyse kann das Berechnungsverfahren bereits Datensätze liefern Zudem ist eine Vorauswahl von Düsengeometrien möglich, um den Dichteabfall vor der Anode in Richtung höherer Ströme zu verschieben 86

87 Bemerkenswert ist, daß die Schwerteilchentemperatur (Abb 426 und 427) vor der Anode im Bereich des verdünnten Plasmas stark ansteigt Liegen die Maximaltemperaturen im Düsenhalsbereich für 4000 A bei K und für 5000 A bei K, so steigt sie für 5000 A auf bis zu K im Bereich vor der Anode Die kinetische Energie des Plasmas wird hier durch viskose Abbremsung in thermische Energie umgewandelt Während der Zahlenwert selber aufgrund der Verdünnung des Plasmas eher als numerisches Artefakt zu bewerten ist, so ist diese Tendenz zur Aufheizung doch als möglicher Hinweis auf einen kritischen Betriebszustand anzusehen Weitere Klärung könnte neben einer kinetischen Modellierung auch die experimentelle Messung der Schwerteilchentemperaturen liefern 87

88 Anode m Kathode Abbildung 418: DT2: Stromverteilung Ψ, 2000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) Anode m Kathode Abbildung 419: DT2: Stromverteilung Ψ, 3000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) 88

89 Anode m Kathode Abbildung 420: DT2: Stromverteilung Ψ, 4000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) Anode m Kathode Abbildung 421: DT2: Stromverteilung Ψ, 5000 A, 08 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) 89

90 rho Anode m Kathode Abbildung 422: DT2: Dichte log10 (ρ), 2000 A, 08 g/s rho Anode m Kathode Abbildung 423: DT2: Dichte log10 (ρ), 3000 A, 08 g/s 90

91 rho Anode m Kathode Abbildung 424: DT2: Dichte log10 (ρ), 4000 A, 08 g/s rho Anode m Kathode Abbildung 425: DT2: Dichte log10 (ρ), 5000 A, 08 g/s 91

92 Th Anode m Kathode Abbildung 426: DT2: Schwerteilchentemperatur Th, 4000 A, 08 g/s Th Anode m Kathode Abbildung 427: DT2: Schwerteilchentemperatur Th, 5000 A, 08 g/s 92

93 Te Anode m Kathode Abbildung 428: DT2: Elektronentemperatur Te, 4000 A, 08 g/s Te Anode m Kathode Abbildung 429: DT2: Elektronentemperatur Te, 5000 A, 08 g/s 93

94 Die für den Massenstrom von 08 g/s festgestellten Prozesse existieren auch für einen Massenstrom von 03 g/s Die für diesen Massenstrom durchgeführten Rechnungen starten auch mit einem Strom von 2000 A Bei 3000 A läßt sich noch eine stationäre Lösung finden, bei 3500 A divergiert das Berechnungsverfahren, wobei ein Abreißen des Lichtbogens von der Anode auftritt Die in der numerischen Simulation ermittelte obere Schranke des Betriebsbereichs liegt also bei 3000 A Der Lichtbogen zieht sich bei 3000 A durch den Pinch Effekt zusammen (Abb 430), sodaß es zu einer ausgeprägten Dichteverringerung (Abb 431) und einer durch die Viskosität bedingten Aufheizung der Schwerteilchen (Abb 432) vor der Anode kommt, während die Elektronen im hinteren Anodenbereich abkühlen (Abb 433) In der Tat stellt die Stromstärke von 3000 A eine obere Schranke des Betriebsbereichs dar, da im Experiment ab 2450 A die Bogenspannung stark ansteigt und Plasmaoszillationen auftreten [11] Die nahezu parabelförmigen Profile der axialen Geschwindigkeit im Düsenendquerschnitt in Abbildung 434 zeigen neben der Zunahme des Maximums mit steigendem Strom auf bis zu 11, 1 km/s auf der Symmetrieachse, daß sich der geschwindigkeitsverringernde Einfluß der Viskosität nicht nur auf Randbereiche, sondern über den gesamten Querschnitt auswirkt Die Maxima für 5000 A von 11, 4 km/s liegen im Bereich der starken Verdünnung, wo das Flüssigkeitsmodell nicht mehr streng gültig ist, und ihr Wert ist daher vermutlich zu hoch Die Maxima ändern sich mit der Abnahme des Massenstroms kaum, die Profile aber werden zum Düsenrand hin etwas breiter, was bedeutet, das mit abnehmendem Massenstrom der Einfluß der Viskosität zurückgeht Die Profile der Machzahl in Abbildung 435 zeigen, daß nahezu im gesamten Düsenendquerschnitt Überschallströmung vorherrscht Die Maxima der Machzahl auf der Symmetrieachse nehmen bei Stromerhöhung im Gegensatz zur Geschwindigkeit ab Ebenso werden sie bei gleicher Stromstärke kleiner durch eine Verringerung des Massenstroms Der Grund dafür ist, daß die thermische Energie des Plasmas stärker ansteigt als die kinetische Energie Die numerisch berechnete Elektronentemperatur wird in Abbildung 436 mit den emissionsspektroskopisch in verschiedenen Wellenlängenbereichen ermittelten Anregungstemperaturen [11] verglichen Im Experiment wurden Emissionsspektren in drei Wellenlängenbereichen aufgenommen, wobei die beiden hochaufgelösten Bereiche UV1 und UV2 im ultravioletten Wellenlängenbereich bei mittleren Wellenlängen von 334 nm und 312 nm und der dritte Bereich im sichtbaren Wellenlängenbereich bei einer mittleren Wellenlänge von 735 nm lagen Die Auswahl der Linien, die Entabelung der Spektren und die Temperaturermittlung mit Hilfe des Boltzmann Plots ist in [11] genau beschrieben Infolge der hohen Elektronenstoßfrequenz mit den Atomen und Ionen liegt ein Temperaturgleichgewicht zwischen der Anregungstemperatur und der Temperatur der freien Elektronen vor Abbildung 436 zeigt eine gute Übereinstimmung bis zu einem Radius von 40 mm Eine genauere Quantifizierung ist nicht möglich, da der Meßfehler unbekannt ist Als Richtmaß mag hierfür die Streuung der Meßwerte angesehen werden 94

95 Anode m Kathode Abbildung 430: DT2: Stromverteilung Ψ, 3000 A, 03 g/s (250 A zwischen 2 Isolinien) rho Anode m Kathode Abbildung 431: DT2: Dichte log 10 (ρ), 3000 A, 03 g/s 95

96 Th Anode m Kathode Abbildung 432: DT2: Schwerteilchentemperatur Th, 3000 A, 03 g/s Te Anode m Kathode Abbildung 433: DT2: Elektronentemperatur Te, 3000 A, 03 g/s 96

97 12000 Axiale Geschwindigkeit v z [m s -1 ] DT2, Argon 2000 A, 08 g/s 3000 A, 08 g/s 4000 A, 08 g/s 5000 A, 08 g/s 2000 A, 03 g/s 3000 A, 03 g/s Radius r [mm] Abbildung 434: DT2: Axiale Geschwindigkeit v z im Düsenendquerschnitt 3 Machzahl Ma [-] DT2, Argon 2000 A, 08 g/s 3000 A, 08 g/s 4000 A, 08 g/s 5000 A, 08 g/s 2000 A, 03 g/s 3000 A, 03 g/s Radius r [mm] Abbildung 435: DT2: Machzahl M a = v /c im Düsenendquerschnitt 97

98 Elektronentemperatur T e [K] DT2, Argon 4000 A, 08 g/s, Ar+ UV A, 08 g/s, Ar+ UV A, 08 g/s, Ar++ UV A, 08 g/s, Ar+ sichtbar 4000 A, 08 g/s, numerisch Radius r [mm] Abbildung 436: DT2: Elektronentemperatur T e im Düsenendquerschnitt im Vergleich mit experimentellen Daten, 4000 A, 08 g/s Die integralen Triebwerkscharakteristika sind in Tabelle 42 zusammengefaßt Der Einströmdruck p ein, der 10 mm stromab des Einströmrandes an einer radialen statischen Druckmeßbohrung aufgenommen wurde, und der Schub F stimmen beim Vergleich der numerisch berechneten und experimentell bestimmten Daten gut überein Der Meßfehler für den Schub, der mit Hilfe einer Parallelogramm Pendelschubmeßwaage ermittelt wurde, ist nicht genau bekannt, er liegt bei einigen Prozent des Meßwertes Der magnetische Schubanteil F j B nimmt mit steigendem Strom bis auf 61 Prozent zu, sodaß die Notwendigkeit der Optimierung auch des thermischen Schubanteiles bei düsenförmigen MPD Eigenfeldbeschleunigern offensichtlich ist Wie beim RD3 ist auch hier die über das Plasma abfallende Spannung U P kleiner als die die Elektrodenfallspannungen einschließende, gemessene Gesamtspannung U C+P +A Da sich die Strömung im Bereich der Kathode aufgrund der noch niedrigen Geschwindigkeiten nahe am reaktiven Gleichgewicht befindet, kann man näherungsweise die in [11] und [16] für das DT2 angegebenen Kathodenfallspannungen hier in die Betrachtung miteinbeziehen Sie betragen für den Fall des reaktiven Gleichgewichts je nach Typ des Elektrodenmodells und Arbeitspunkt größenordnungsmäßig zwischen 3 und 7 Volt, sodaß die Anodenfallspannungen hier ebenfalls bei einigen Volt liegen Dies erscheint zu hoch, da experimentelle Messungen [11] bislang außerhalb des Instabilitätsbereiches nur auf sehr kleine Anodenfallspannungen schließen lassen Weiteren Aufschluß hierüber wird eine zukünftige detaillierte Mitberechnung der Elektrodengebiete bieten können 98

99 I[A] ṁ[g/s] p ein [kp a] p ein [kp a] U P [V ] U C+P +A [V ] F j B [N] F [N] F [N] num exp num exp num num exp ,8 7,6 7,7 28,1 36,2 0,8 4,3 4, ,8 8,2 8,6 30,6 40,4 1,3 4,8 5, ,8 9,2 9,4 33,5 45,6 1,8 5,8 6, ,8 9,3 9,9 37,3 50,4 2,6 6,5 7, ,8 10,3 10,5 43,8 55,9 3,1 7,1 8, ,8 11,1 10,9 49,3 62,0 4,0 7,7 9, ,8 12,7-53,9-5,0 8, ,3 3,7-23,5 35,9 0,9 2,2 2, ,3 4,1-28,7-1,3 2, ,3 5,2-34,6-1,8 3,5 - Tabelle 42: Kenndaten DT2 (num: numerisch, exp: experimentell [10, 11]) Das in dieser Arbeit entwickelte numerische Verfahren zeigt gegenüber früheren Arbeiten [15, 16] einen deutlichen Fortschritt bei der Robustheit als auch bei der Konvergenzbeschleunigung Durch die Einbeziehung des magnetischen Druckes in die reibungsfreien Flüsse, das Flux Vector Splitting Verfahren nach Eberle und die Finite Volumen Diskretisierung der Erhaltungsgleichugen für die Elektronenenergie und das Magnetfeld wird insbesondere in transsonischen und in Überschallbereichen mit Stößen und beim Zusammenziehen des Lichtbogens durch den Pinch Effekt bei hohen Strömen die numerische Stabilität bei der Strömungsberechnung stark erhöht Durch die eingesetzte WENO Rekonstruktion wird gegenüber TVD Verfahren nicht nur in glatten Lösungsbereichen eine viel bessere Glattheit erzielt, auch ist die Robustheit bei Stößen höher Das gemischte FV/FEM Verfahren aus [16] benötigt bei Ausschluß der Elektrodenberechnung für die Lösung von 6 partiellen Differentialgleichungen bei rund 6000 Gitterpunkten auf einem 500 MHz Pentium 3 PC 6 Tage, um das Dichteresiduum um 4 Größenordnungen abzusenken Das hier entwickelte FV Verfahren braucht auf demselben Rechner zur Lösung von 13 partiellen Differentialgleichungen bei rund Gitterpunkten 5 Tage und ist damit um rund eine Größenordnung leistungsfähiger 99

100 43 Triebwerk mit Heißer Anode HAT Das HAT, das eine strahlungsgekühlte Anode besitzt, wurde experimentell im gleichen Betriebsbereich untersucht wie das DT2, das geometrisch ähnlich ist, aber eine wassergekühlte Anode hat Beim Betrieb des HAT (Abb 438) wurden bislang keine Plasmainstabilitäten beobachtet [11] Daher wird das HAT ebenso wie das DT2 in Kapitel 42 für die Massenströme von 08 g/s und 03 g/s bei Stromstärken zwischen 2000 A und 5000 A im Hinblick auf den Pinch Effekt und die Dichte und Ladungsträgerverarmung vor der Anode untersucht Ausgehend von einem groben Startgitter mit 4667 Gitterpunkten führt auch für das HAT der Verfeinerungsindikator (3105) zu einer physikalisch sinnvollen Gitterverfeinerung der Grenzschichten und im Düsenhalsbereich Außerdem wird der im Experiment (Abb 438) sichtbare schräge Stoß aufgelöst, was in der Verteilung der Schwerteilchentemperatur (Abb 439) gut zu sehen ist Der berechnete Stoß berührt die Symmetrieachse knapp hinter dem Anodenendquerschnitt Damit gibt die numerische Simulation im Gegensatz zu früheren Rechnungen [16], in denen der Stoß die Symmetrieachse ca 30 mm stromab des Anodenendquerschnitts berührte, erstmals die Stoßlage gut wieder, die auch im Experiment beobachtet wird Die Ursache hierfür ist, daß die Strömung jetzt im Ionisationsreaktions Nichtgleichgewicht berechnet wird, sodaß Elektronenstoßionisation und Dreierstoßrekombination insbesondere im Überschallbereich stromab des Düsenhalses nicht mehr im Reaktionsgleichgewicht stehen Is Anode m Kathode Abbildung 437: Teilansicht des adaptierten Primärgitters für das MPD Eigenfeldtriebwerk HAT (28034 Gitterpunkte, 2000 A, 08 g/s) 100

101 Is Abbildung 438: HAT im Betrieb, 2000 A, 08 g/s Th Anode m Kathode Abbildung 439: HAT: Schwerteilchentemperatur Th, 2000 A, 08 g/s 101