2 Mechanik. 1. Kinematik: Die Beschreibung von Bewegungen

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1 Mechank. Knematk: De Beschebung von Bewegungen Idealsee ausgedehnte Köpe zu Massenpunkten, ndem Masse m Schwepunkt (s. späte) veent angenommen wd. Beschebe de Bewegung des Massenpunktes n katesschen Koodnaten duch de Funktonen x(t), y(t), z(t) de Zet. Späte: Zunächst: Beachte:.) x( t) y( t) z t blden Otsvekto ( t ).) (Endpunkte de) Otsvektoen ( t) Raum. blden Bahnkuve m 3.) Bahnkuven ( t) weden duch Käfte beenflusst (Dynamk). Bewegung/Betachtung de Bewegung engeschänkt auf ene Dmenson; x( t ) vozechenbehaftet Ncht mme st x be de Vewendung von Funktonen de Vaable. Be dese Beschebung st t de Vaable und x de Funktonswet!

2 .. Bewegungsdagamme Gaphsche Auftagung de Bewegungsgößen Poston, Geschwndgket (s.u.) und Beschleungung (s.u.) als Funkton de Zet:

3 .. Mttlee und momentane Geschwndgket (A) v t, t ( ) x ( t) heßt mttlee Geschwndgket m Zetntevall [ t, t ] x t = t t und entspcht de Stegung de Geaden duch de Punkte t / x ( t ) und t / x( t ) m Ots-Zet-Dagamm. (B) [ t,t+ t] ( + ) x t t x t dx v t = lm v = lm = t = x t t o t o t dt ɺ heßt (momentane) Geschwndgket zum Zetpunkt t und entspcht de Stegung de Kuve x(t) m Punkte t, x( t ) m O-Z-D (bzw. he Tangente). Beachte: v(t) = v t, t, wenn t n enem geaden Abschntt [t,t ] des O-Z-D legt. Übe Symbol heßt stets Abletung nach de Zet..3. Mttlee und momentane Beschleungung Ganz analog glt: (A) v(t ) v(t ) a = t, t t t und entspcht de Stegung.. heßt mttlee Beschleungung m Zetntevall [ t, t ] (B) [ t,t+ t] ( + ) v t t v t dv a t = lm a = lm = t = v t t o t o t dt ɺ heßt (momentane) Beschleungung zum Zetpunkt t und entspcht de Stegung de Kuve v(t) m Punkte t, v( t) m Geschwndgkets-Zet-Dagamm (bzw. he Tangente) Expement: Luftkssenwagen, beschleungt duch Fallgewcht n Luft und n Wasse. 3

4 .4. Spezelle Bewegungen Ausgangsstuaton: t = Begnn de Beobachtung x = x t Statposton v = v t Statgeschwndgket (postv ode negatv!) t Ende Ende de Beobachtung a ( t ) soll als Usache de Bewegungsändeung m Zetntevall [ ] Fage: We snd v( t ) und x ( t ) fü t [, t ] aus Dazu Zwe-Schtte Statege:.) v tende tende Ende v Ende. v t = v + dv = v + a t dt, Ende a t abletba? Da t Ende belebg st, nennen w jetzt m Egebns t Ende wede t. v( t ) gefunden fü alle [ ].) Analog fü x ( t ) aus v( t ) x tende t, t Ende tende Ende x x t = x + dx = x + v t dt Umbenennung tende t lefet x ( t ). t bekannt en. Beachte: De n enem Zetntevall zuückgelegte Stecke s st andes zu beechnen: [,t ENDE ] tende s = v t dt. Se st.a. ncht glech x ( t ) x ( ) ENDE, und zwa dann ncht, wenn v(t) wähend de Bewegung de Rchtung ändet. Das blebt auch fü 3-dmensonale x t v t bescheben Bewegungen chtg, de duch Vektofunktonen und weden. Alledngs st de Beechung des Geschwndgketsbetages n dem Falle komplzete zu bewekstellgen als schlchtweg daduch, das Vozechen stets postv zu setzen (sehe späte Vektoechnung ). 4

5 In de Physk snd Integale stets: Mathematsche Enschub: Integale SUMME funktons- gewchtete dffeentelle Agumentbeeche Skala ( Zahlengöße ) Vekto Nomales ( Zahlen -) Podukt Skalapodukt (nnees Vektopodukt) Vektopodukt (äußees Podukt) ( Zahlen -) Intevall Fläche Volumen Vekto VIELE Kombnatonen möglch (sehe späte); jetzt enfachste Fall: x f ( t) dt f ( t) dt = Fa ( x) a Teppenpoflfläche wahe Fläche unte f von a bs x m Genzfall dt x a 5

6 Beachte:.) Funkton, Wegchtung (a x ode x a) und damt F snd vozechenbehaftet!.) Integatonsbeeche snd kombneba: b x x + = f t dt f t dt f t dt a b a Insbesondee fü x=a folgt: b a a f t dt + f t dt = F a = Also auch: b a = f t dt f t dt b a b a VZ hängt.a. von Integatonschtung ab! Betachte nun a fest und x als Vaable: Fa x, heßt (ene) Stammfunkton ode unbestmmtes Integal von f(t) (Konstante a oft als Index weggelassen.) We stegt de Flächenfunkton F(x) be Veschebung de vaablen obeen Beechsgenze x? Antwot: Blde de Abletung! df F( x + dx) F( x) f ( x) dx = = = dx dx dx und daaus: f ( x) Hauptsatz de Integalechnung als Rezeptu: Fnde Stammfunkton von f duch eaten von F so dass F =f st! a fü (konkete=) bestmmte Integale. f ( t) dt = F( a) F( b) b Beachte schleßlch: Integatonen stets lneae Opeatonen! x x x k f t + k f t dt = k f t dt + k f t dt a a a Be allen Aten von Integalen! Ende des mathematschen Enschubes 6

7 Anwendung auf spezelle Bewegungen: (A) De glechmäßg beschleungte Bewegung: a ( t) = a = konst..) t Ende v t = v + a dt = v + a t Ende Ende Umbenennung: v( t) = v + a t tende tende.) = + = + ( + ) x t x v t dt x v a t dt Ende tende tende = x + v dt + a t dt tende Ende Ende Ende = x + v t + a t dt = x + v t + a t Umbenennung: x ( t) = x + vt + at spezell: glechmäßge beschleungte Bewegungen aus de Ruhe heaus: v = v( t) = a t x ( t) = x + at ; setze, falls möglch, x = zu Veenfachung: = at x t at,t t De mttlee Geschwndgket fü ene glechmäßg beschleungte Bewegung aus de Ruhe heaus st geade halb so goß we de Endgeschwndgket. Das st auch unmttelba aus de lneaen und von aus statenden Funkton v(t) m Geschwndgkets-Zet-Dagamm eschtlch. Beachte hefü: v[ ] = = v( t) (B) De glechfömge Bewegung: a ( t) = konst. = v t = v Spezalfall von (A): x ( t) = x + v t ; setze, falls möglch, x = zu Veenfachung: x ( t) = v t. 7

8 Beachte stets de Vozechen von x, v,a! z.b.: v( s ) = 5m / s, v( 5s) = ( ) m / s 5m / s m a[s,5s] = = +,5, also postve 4s s Beschleungung, obwohl das Objekt aus de Bewegung zu Ruhe kommt! 8

9 .5. De fee Fall Fee Fall = glechmäßg beschleungte Bewegung auf vetkale Postonskoodnate x; Statzetpunkt t = a(t) = konst. = -g 9

10 Beachte:.) Alle Dagamme snd symmetsch bzgl. des Umkehzetpunktes: v( t) = g ( t t u ) ungeade Funkton x ( t) x ( t ) u = g t t u geade Funkton.) Obge Bewegungsdagamme gelten je nach Wahl des Statzetpunkts fü alle Anfangsbedngungen! t = t fee Fall aus de Ruhe heaus u t > t Wuf nach unten u 3.) fü gegebenes v v -Intevall: Bemszet = Beschleungungszet fü gegebene Posttonsveändeung x x : Stegzet = Fallzet.6. Bewegungen m 3- dmensonalen Raum Das Übelagungspnzp: Bewegungen n zuenande senkechten Raumchtungen übelagen sch unabhängg! x Also: a ( t) = v ( t) = x ( t) x dv dt usw., abe ncht: x x dx dt a t v t z t! Zu mathematschen Beschebung: Blde Zahlentpel aus den Zetfunktonen x ( t) vx ( t) x ( t ɺ ) a x ( t) ɺɺ x ( t) ( t) = y( t ) ; v( t) vy ( t) y( t ) = = ɺ ; a ( t) = a y ( t) = ɺɺ y( t) z( t) vz ( t) zɺ ( t) a z ( t) ɺɺ z ( t) De Zahlentpel (Funktonen) heßen Vektoen (Vektofunktonen) mt besondeen Veknüpfungsegeln! (Beachte: he als Spaltenvekto statt als Zelenvekto gescheben; bede Konventonen snd üblch!) Deswegen noch enmal en y

11 Mathematsche Enschub:Vektoechnung (Lese dazu z.b.: Hallday, Gancol, jewels Kaptel 3) Vektoen bescheben physkalsche Gößen mt Rchtungschaakte: Pfele (Veschebungen) mt physkalsche Göße (Zahl und Enhet) als Betag ( Länge ) Bespel: Otsvekto = Veschebung vom O-Punkt enes KKS zu enem bestmmten Punkt m Raum. y/m 6 z-achse nach oben 8 x/m Komponentenschebwese: = = m m = m ( x, y, z ) ( 8,6,) ( 4,3,) skalae Komponenten gemensame Fakto von ausklammeba Beachte: m Folgenden wede Zelenschebwese (statt Spaltenschebwese ) fü de Komponentendastellung benutzt! De Betag von Vektoen: V = ( Vx Vy Vz ),, ; mt Pythagoas: V = V + V + V x y z z.b.: = m = 5 m = m

12 Enhetensvektoen: En Vekto n Rchtung V, abe mt betag ; e elaubt de Tennung von Betag und Rchtung n Rechnungen. e = V V V z.b.: e = ( 8m,6m,m) = (,8;,6; ) m spezell snd de Enhetsvektoen längs Koodnatenachsen e =,,, e = (,,), e = (,,) x y z wchtg!! De Vektoaddton: Rechnesch: A + B = (A x,a y,a z) + (B x, B y,b z ) ( Ax B x, Ay B y, Az Bz ) = komponentenwese. Geometsch: Hnteenande hängen ode Paallelogammegel. A B A+B Damt folgt z.b. fü den Otsvekto de Dastellung = x e x + y e y + z e z Vektokomponenten als Summe sene Beachte: A = A e A A B = A + B Kommutatvgesetz: A + B = B + A Das Skalapodukt ode nnee Podukt von Vektoen: A B macht aus zwe Vektoen enen Skala

13 Rechnesch: A B = Ax Bx + Ay By + Az Bz Summe de Komponentenpodukte Geometsch: θ B A B = A B cos( θ) A Regeln: AB = B A Kommutatvgesetz aa + bb cc = ac AC + bcb C Dstbutvgesetz Beachte: A A = A A B = fü A B A B = A B fü A B und A B = A B ode A B AB = A e B = B e A A B, also Pojekton von B auf A Rchtung P ojekton von A auf B Rchtung Das Skalapodukt st de Betag des enen Vektos mal de Pojekton des andeen auf de Rchtung des enen (Beachte: kann negatv sen!) Das Keuzpodukt ode äußee Podukt von Vektoen: A B macht aus zwe Vektoen wede enen Vekto Rechnesch: A B = ( AyBz AzB y, AzBx AxB z, AxBy AyBx ) ode mt ene fomalen Detemnantenegel : A A A x y z A B = Bx By Bz = AxByez AyBxe z +...e x +...e y e e e x y z 3

14 Geometsch: A x B θ B A.) e A steht senkecht auf A und B mt Rchtung B gemäß Schaubenegel ode echte-hand-regel fü Dehung von A (este Vekto) auf B (zwete Vekto)! = θ, wobe θ de be de.) A B A B sn e A B Dehung von A auf B übestchene Wnkel st Beachte: θ < 8 ode θ > 8 st dabe fe wählba, wel glechzetg mt Wechsel de sn 36 θ = sn θ. Schaubenchtung Regeln: A B = B A A B = A B = A B ant-kommutatv fü A B ode A B, nsbesondee A A = fü A B ( A B) C A ( B C) n A,B Ebene Abe mme: n B,C Ebene A B + C = A B + A C ken Assozatvgesetz. Dstbutvgesetz, wobe stets de Rehenfolge de Keuzpoduktbldung bebehalten weden muss! Dffeentaton und Integaton von Vektofunktonen: Bede Opeatonen snd enfach komponentenwese zu vestehen: z.b. und umgekeht ( t) dvx a x ( t) vɺ x ( t) dt dv dvy a t = a y ( t) = v ɺ ( t) = vɺ y ( t) = = dt t dt dvz a z ( t) vz ( t) ɺ dt t t a x ( τ) dτ vx ( t) v t,x t v( t) = vy ( t) = v + a ( τ) dτ = v,y + a y ( τ) dτ vz ( t) v,z t a z ( τ) dτ 4

15 Beachte: Name de Integatonsvaable (he τ) st belebg, sollte abe ncht glech de obeen Genze gewählt weden! Ende des mathematschen Enschubes.7. De schäge Wuf a ( t) = g = g e, z senkecht nach unten, zetlch konstant (s.u.) v = v( t = ) = v,x ex + v,z ez, o.b.d.a. v,y = = ( t = ) = x e x + z e, o.b.d.a. z y = Bewegung kann komponentenwese unabhängg nteget weden: v t v g t v g t e = + = z und daaus t = + v t + g t = + v t g t e z Konstukton de Bewegungsdagamme:. Ggf. zunächst v,x und v,z aus Betag und Rchtung von v emtteln, z z.b. fü Wnkel α von v gegen de Hozontale: v α x v,x = v cos α v = v sn α,z Damt dann Bewegungsdagamme fü x- und z-rchtung unabhängg konstueen: (sehe nächste Sete) 5

16 a t = = konst (tval) g.).) und 3.) v( t) und ( t) : v x v z v,x v,z t t u t x z max =z u z x z t t u t x x + v,x t u x z(t)-dagamm lecht mt x(t) kombneba zu Bahnkuve z(x): x t = x + v t n ene x-achse übesetzt weden (s.o. gün)! t-achse kann unmttelba mt,x Wufpaabel Beachte: Fü v,x = st de x-achse gesteckt Wufpaabel entatet zu vetkale Halbgeaden! Expement: De Affenschuss 6

17 . Dynamk von Massenpunkten.. Käfte snd vektoelle Gößen F und addeen sch ggf. vektoell wken stets wechselsetg zwschen mateellen Köpen und heßen deswegen auch Wechselwkungen bewken Beschleungungen a. De ve fundamentalen Käfte ( Wechselwkungen ) n de Natu.) De Schwekaft (Gavtatonskaft) Gavtatonskaft und Gavtatonsgesetz Quelle: (schwee) Masse M [M] = kg Gavtatonsgesetz: fü Kaft F, von ausgehend auf wkend F M M = γ e,, F = N = kgm = Nm = m s kg kg s späte, 3 ; γ 6, 67 6, 67 Gavtatonskonstante Beachte: F,, F = F,, stets anzehend stets wechselsetg MM Mekegel Fγ = γ fü den Betag de Gavtatonskaft zwschen zwe Punktmassen m Abstand vonenande. 7

18 De Feldbegff: Oft st ene Sepaaton de WW nützlch:.) Extene, unbewegte Objekte ezeugen an jedem Ot Käfte auf Systemobjekte : Kaftfeld.) Kaftfeld bewkt Dynamk de Systemobjekte 3.) Rückwkung auf extene Objekte wd venachlässgt! Bespel: Sonne ezeugt Kaftfeld fü Planeten Bewegung auf ellptschen Bahnen (Kepple sche Gesetze) Rückwkung auf Bewegung de Sonne wd venachlässgt! Das Gavtatonsfeld Betachte M = M als feste Punktmasse am Ote, M als (veschebbae) Pobemasse be. Defnton: Das Vektofeld γ M G F e = = ( ) M,, M heßt das Gavtatonsfeld de Punktmasse M N m Beachte:.) G = = kg s M, beschebt nu de Masse =.) G ( ) M M be. Be meheen feldezeugenden Punktmassen: Addton de Gavtatonskäfte Addton de Gavtatonsfelde vektoell! Dazu be ausgedehnten Massenvetelungen: Defnton: De Dffeentalquotent lm M ρ = = V V dv ( ) dm ( ) heßt (otsabhängge) Dchte ene Massenvetelung. 8

19 G ( ) Damt: Genzübegang ρ ( ) V = γ e V ' ρ ( ) G = γ e dv st das Gavtatonsfeld de Massenvetelung mt Dchte ρ ( ). ode nach Wchtges Bespel: sotope Dchtevetelung (um = ), ρ = ρ chtungsunabhängg (Kugelsymmete). also Wegen Symmete.) Hozontalkomponenten n Vektosummaton zu G heben sch auf (tval, schon Zylndesymmete dazu ausechend)..) ncht tval, wegen Fγ kann man zegen, dass : γ γ M G ( ) = e ( ) dv = e < ρ Kugel mt < Fazt: Fü das Gavtatonsfeld ene sotopen Massenvetelung n enem (belebgen) Aufpunkt glt das Rezept: Gesamte zentumsnähee Masse m Zentum veengen. (und zentumsfenee Masse gnoeen!) G = = G Spezell natülch:, d.h. G st en so genanntes Zentalfeld 9

20 Anwendung: Das Gavtatonsfeld de Ede R = 637 km (Pole: 6356 km) (Äquato 6378 km, +,3%) 4 M E = M < R = 5,97 kg G R n Meeeshöhe! 4 M E 6,67 Nm kg 5,97 kg N m 6 γ = = = 9,8 = 9,8 = g! R 6,37 kg s ( m) G R + h R + h R h h = = G R = = R h + h R + R R + R h h G ( R + h) = G ( R) + g R R h 3 z.b. Flugzeug, h = km =, 6 =,6% R G R + km = g,3% = g,9968 Abe: Wettesatellt ( h km) sehe mathematsche Enschub: Taylo-Entwcklung h = 358 = 5,6 >, Taylo-Entwcklung glt ncht!!! R 3

21 Mathematsche Enschub: Taylo-Entwcklung Entwcklung von Funktonen fü klene Agumentabwechungen: x x + δ ( δ ) f x + f x + f x δ lneae Appoxmaton Falls be f x = x Extemum, also duch Tangente f x f x f x f x ( + δ ) + δ + δ Hnwes: Begnn de Taylo schen Rehenentwcklung quadatsche Appoxmaton duch Paabel 3 f ( x + δ ) = f ( x ) + f ( x ) δ + f ( x ) δ + f ( x ) δ +! 3!... Bespele.) m f ( x) = ( + x) um f ( x ) = m f ( x ) = m( + x) x = m f ( x) + m x fü x x = heum: 3

22 f x = sn x mt x Wnkel m Bogenmaß (8 π ) um x = heum :.) f ( ) = d sn ( x) f ( ) = = cos ( x) = also: sn ( x) dx x x fü x 3.) f ( ) = f ( ) = sn ( x) = f x = cos x mt x Wnkel m Bogenmaß (8 π ) um x = heum : f = x = also x = x fü x<<. cos cos Ende mathematsche Enschub.) Elektsche Kaft (Coulomb-Kaft) Quelle: elektsche Ladung Q Q = A s = C Coulomb [ ] " " bpola! Punktladung Q be Punktladung Q be, Coulomb-Gesetz: Fü F, (von auf wkend) glt: F Q Q = + e, 4πε, As mt ε = 8,854 elektsche Feldkostante. Vm Beachte: abstoßend fü Q Q > (glechnamge Ladung), anzehend fü Q Q < Mekegel: F = 4πε Q Q fü den Betag de C.K. Zwschen zwe Punktladungen m Abstand. 3

23 Analog zum Gavtatonsfeld: Q = Q, =, = : Q E = F = e ( ) Q,, Q 4πε heßt elektsches Feld de Punktladung Q be. N V E = = As m sehe späte Mt elektsche Ladungsdchte ρel. wede duch Vektoaddton (we fü ρ ( ) el. E = e dv 4πε fü das von h ezeugte elektsche Feld. ene ausgedehnten Ladungsvetelung folgt G, s.o.) : Beachte: Analoge Regeln we fü G, nsbesondee fü sotope Ladungsvetelungen! 3.) Schwache und 4.) stake Kenkaft nu zwschen Elementatelchen m nneen von Atomkenen ncht explzt behandelt Fü alle Käfte glt:.) wechselsetg.) zwschen Punktquellen zental, also F 33

24 .. De Gundglechung de Mechank und de Newtonschen Axome (II. Newtonsches Axom) Käfte F auf mateelle Köpe mt (täge) Masse m bewken zu Kaft popotonale Beschleungungen a : a = F m ode F = m a Wkung Usache kg m F = s Beachte: Be meheen angefenden Käften Vektosumme F ges blden Bespel: fee Fall m K.S. (ednah) a = F ges m! F = γ M g e z ( M st schwee Masse) M a = Fγ = g e m m z endgültg set Enstens allgemene Relatvtätstheoe: m Quelle de Schwekaft und Täghet snd wesensglech! a = g fü alle Köpe m ednahen Gavtatonsfeld. Folgeung: F = a = v( t) = const. = M glt unvesell, d.h. Ohne (von außen) angefende Kaft bewegen sch alle Köpe glechfömg! (I. Newtonsches Axom) Und, da Käfte wechselsetg: Mt jede Kaft F, von Köpe auf st de Gegenkaft F, = F, von auf vebunden (s.o.). (III. Newtonsches Axom) 34

25 .3. Impuls und Impulsehaltung Gundglechung de Mechank auch schebba als d F = m vɺ = ( m v) = pɺ wel m (fast mme) konstant. dt Defnton m v( t) p( t) heßt Impuls [ p ] = kg m = s Damt kann de Gundglechung altenatv gescheben weden: dp F = p ɺ = Kaft(vekto) st zetlche Ändeung des Impuls(vektos)! dt ohne Kaft auf Köpe blebt Impuls konstant. Betachte damt belebge Wechselwkung zwschen Köpe mt m und m übe Zetspanne [,T ]. So ene Wechselwkung heßt en Stoß. t = (vo de WW) p ( ), p ( ) Impulse vo de WW lasse F, gendwe wken von auf : dp t F, t dt = T und damt p ( T ) = p ( ) + F ( t ) dt ( ), Wegen Newton III (Wechselwkung) muss dann Gegenkaft F, ( t ) = F, ( t) auf wken! dp ( t ) = F, ( t ) = F, ( t ) dt und damt dt T T p T = p + F t dt = p F t dt **,, 35

26 (*) + (**) p T + p T = p + p Impulsehaltungssatz: ( ) ( ) wel T allgemen: Gesamtmpuls p + p st zetlch konstant! Veallgemeneung auf belebg vele Köpe duch Induktonsschtt (tval). Damt folgt de ganz wchtge In enem System von Massen Käfte de Gesamtmpuls m mt Geschwndgketen v ( t) P = p t = m v t konstant! blebt ohne äußee Bespel: Newton s beühmte Apfel, wähend senes Falls auf des Mestes Kopf: Pespektve : Pespektve : System = Apfel; Ede ezeugt als äußees Objekt äußee Kaft F = m g p t = m g t ncht konstant. Apfel und Ede blden zusammen en abgeschlossenes System: p t = m g t v t = g t fü Apfel m p ( t) = m g t v ( t) = g t fü Ede m = 5.4. Schwepunkt und Schwepunktsystem Votel: Anwendung von Impulsehaltungssatz (und Enegeehaltungssatz, s.u.) besondes enfach. Betachte: System von Massen m be ( t) S t m ( t) = = m t m M heßt Schwepunkt(vekto) des Systems. 36

27 Beachte:.) zegt mme be Wechsel des K.S. zu Auswetung noch zum glechen Raumpunkt: m ( A + ) m A m S = = + = A + S A M M M K.S. um A veschoben.) De SP-Beechnung st teeba bzw. sepaeba: n System, Massen n: M = m und S System, Massen n+ N: M = N = m und S j j= n+ n = m M = N = m j j M j = n + SP Gesamtsystem st dann auch beechenba duch MS + MS M = M + M und S =, we man duch Ensetzen lecht bestätgt. M + M 3.) Veallgemeneung auf kontnuelche Massenvetelung ρ ( ) ( Stae Köpe ) enfach: dm ρ dv S = = ρ ( ) dv ρ dv M Betachte: Bewegung des Schwepunktes ohne äußee Käfte: m v ( t) ds d P t vs ( t) = = m ( t) = m ɺ ( t) = = dt dt M M M M st konstant wel Gesamtmpuls P konstant st! Koodnatensystem mt Uspung n S ( t) bewegt sch glechfömg (Inetalsystem) und heßt Schwepunktsystem. Expemente: Luftkssenfahbahn und Kugelpendelehe 37

28 .5. Gekümmte Bahnkuven dv Da Gundglechung F = m vektoell kann F a sen, obwohl v = konst.! dt Fü Zetntevall [ t, t dt] + Beschebung de Bewegung m lokalen K.S. mt -Punkt m Zentum des Kümmungskeses: t t + dt = K Fall : v ( t) = v ( t + dt) konstant t + dt t = d = v dt und v t + dt v t = dv (Vektodffeenz; glechen Anfangspunkt wählen) t v t dt / t / d und dt / v t / dv blden ähnlche Deecke! ( + ) ( + ) dv d d v dt = = = und dv v. v K K Also glt fü dese Radalkomponente von dv : dv v = e = K : a dt K, heßt Radalbeschleungung ode Zentpetalbeschleungung (Rchtung: zum Mttelpunkt des Kümmungskeses) 38

29 Fall : Zusätzlch ändet de Geschwndkgket um d vt = a tdt he Komponente n Geschwndgketschtung. zusätzlche Vektokomponente fü de Ändeung von v. Fü dese Tangentalkomponente dv t de Geschwndgketsändeung glt: dv dt ; t = a t e v = : a t Allgemene Fall also: v dv a = a + a t = e + e K v K spezell:.) geadlnge Bewegung: a dv =, a = e v dt dt.) gekümmte Bahn mt v = konst. ( glechfömge Dehbewegung ; Kuvenfaht): v a t =, a = e K K Gundglechung vektoell: F = m a = m a + m a = F + F t t se heßt Tangentalbeschleungung Und st paallel ode antpaallel zum Geschwndgketsvekto gechtet. Zentpetalkaft bewkt Bahnkümmung Tangentalkaft bewkt Bahnbeschleungung dv dt In beschleungten Bezugssystemen eschenen unte Venachlässgung de Systembeschleungung de Gegenkäfte zu F,Ft (bedenke mme F, = F, ) als wkende Käfte ( Täghetskäfte = Schenkäfte ohne egene Gegenkaft m System). F heßt auch Flehkaft ode Zentfugalkaft Bespele fü Täghetskäfte:.) Kaussell, Kuvenfaht.) anfahende Fahstuhl! 39

30 .6. Enege und Abet Enege: zentale Begff de Natubeschebung (hstosch: Lebendge Kaft ) umwandelba zwschen veschedenen Enegefomen: mateegebunden - (makoskopsch) mechansch: potentelle und knetsche Enege - mkoskopsch mechansch: Wäme - elektsch (und magnetsch) - mkoskopsch elektsch: chemsche Enege - Kenenege - elektomagnetsch (Lcht und Stahlung) Gesamtenege n abgeschlossenen Systemen ehalten (s.u.) Abet: Göße, de Enegeändeung an enem Objekt duch de Wkung von Käften beschebt: makoskopsch ( schtba ): mechansche Abet mkoskopsch ( unschtba ): chemsch, elektsch, Wäme! Mechansche Abet, knetsche und potentelle Enege Defnton: An enem Objekt gelestete Abet st das Podukt aus Objektveschebung und Kaftkomponente n Veschebungschtung. F t = F t = const. Bespel: glechmäßge Beschleungung mt W = F x x = F cos α = F [, ] x Beachte:.) <, falls 9 < α < 7! 4

31 .) Falls längs Bahn F, α ncht konstant st, muss potonswese übe nfntesmale Veschebungen summet weden: [, ] W F d [ ] [ ] = W = F = Nm = J "Joule" Skalapodukt Kuvenntegal ode Pfadntegal s.u. A fü Beschleungung aus Ruhe heaus ( t ; x ) Fx m v( t) = a t = t t ( v) = v m Fx und Fx m x = at = v = mv, m Fx Fx also W[,x] = Fx x = Fx x = F = mv = = : zu jede Zet! am Objekt gelestete Abet steckt n knetsche Enege K = mv (fü v n Zunahme K!) B Veschebung n enem Kaftfeld F( ).) von außen (von m) gegen Feldkaft F( ) gelestete Abet [,] W F d = 4

32 Abet mestens (auße n Wbelfelden ) unabhängg vom Veschebungsweg (z.b. Gavtaton, Elektostatk, Fedekäfte). Dann st W U [,] = de potentelle Enege des Objektes am Ot mt Bezugspunkt. gegen Feldkaft gelestete Abet steckt n (Ändeung) potentelle Enege Beachte: W = W.) [, ] [,] W + W = W W = W W W = U U = U.) [, ] [, ] [, ], also [ ] [,, ] [, ] [, ] unabhängg von gewähltem Bezugspunkt fü U: Abet gegen/duch Feldkaft = Ehöhung/Redukton de potentellen Enege Physkalsch nu Dffeenzen U elevant; Absolutwete von U vom (belebg wählbaen) Bezugspunkt abhängg! Bespel: Masse m m Gavtatonsfeld de Ede Fγ = γ M m e z Ede z W = Fγ d = + γ M m dz [ ], Ede z Ede Ede = γ MEde m = + z = U ( ) γ M m γ M m Besondes enfach fü : U m γ M Ede = 4

33 Betachte m nun als Pobemasse. Dann chaakteset Φ = m ( ) U ( ) Gavtatonspotental(feld). Beachte: kene Ändeung längs Wegen Fγ ( ) stäkste Ansteg F ( ) m ednahen Gavtatonsfeld Entwcklung (vgl. S. 8) mt Höhenpofl h (, ) nu noch das Gavtatonsfeld und heßt γ blden Äqupotentalflächen γ M U = m R + h Ede, und mt lneae γ MEde h = m R m g R m g R m g h R h = + + R g R h ϑ, ϕ << R. ϑ ϕ übe dem Meeesspegel, so lange ( ϑ, ϕ Pola- und Azmuthwnkel n Kugelkoodnaten, entsp. Beten- und Längengad) Mt Bezugspunkt n Meeeshöhe, also be =R, auch dekt auswetba mt konstante Gavtatonskaft: F ( ) aus U ( ) h U R + h = F z dz m g dz = m g h R γ,z zuück gewnnba: U U U F( ) = F( x, y, z) = e e e = gad U = U x y z h x y z "Gadent von U" Beachte: hängt ncht von Bezugspunkt ab du endmensonal: F( z) =, z.b. Kaftfeld ene Fedeauslenkung dz gleche Zusammenhang G ( ) Φ ( ).) vom Kaftfeld gelestete Abet am Objekt [ ] = +, = W F d U K = W,, s.o. füht ohne äußee Gegenkaft zu Beschleungung mt [ ] Enegeehaltungssatz bem feen Fall von nach K = U ode auch ( ( )) K = U U = U, wede bezugspunktunabhängg! 43

34 De Enegeehaltungssatz (de Mechank) Fü von außen am System gelestete Abet W (ohne Wämeblanz = mkoskopsche Enege = nnee Enege, sehe späte) glt: ode, fü W = : U + K = E = const. gesamt W = U + K Ohne äußee Abet st de Summe aus potentelle und knetsche Enege zetlch konstant!.7. Lestung Abet = Enegeumsatz (Enegeumwandlung) Lestung P = Enegeumsatzate = Enegeumsatz / Zet beschebt Schnellgket de Abetsvechtung. P t P t W[ t,t+ t] dw = lm = und wegen Enegeehaltungssatz t t dt de ( t) = = E ɺ ( t), wobe E de zu defneende Enegefom st. [ E] dt J = = W s 3 Bespel : glechmäßge Beschleungung von PKW mt m = kg von v = auf km m v = 7 h = s n s auf hozontale Ebene, also mt m s m a = =,. s s Enegeumwandlung: Chemsche Enege des Tebstoffs Wäme + knet. Enege K mechansche Lestung des Motos d [ ] P t = Kɺ = m v = m a t = m a t = m a t dt anfangs, maxmal am Ende! 3 m 3 kgm 4 P( s) = kg 4, s = 4 = 4kW 4 PS = 53PS 4 3 s s 3 Veallgemeneung: Auch fü ncht-glechmäßge Beschleungung, also duch Kaft F t k o nst. bewkt, st d Kɺ t m v t m v t vɺ t m a t v t F t v t dt Beachte: Das glt, wenn konsequent vektoell gescheben, n gleche Fom fü 3- dmensonale Bewegungen: = = = = 44

35 d Kɺ ( t) = m v( t) v( t) m v( t) v( t) + v( t) v( t) = m a t v t = F t v t dt Skala = ɺ ɺ podukt P oduktegel Dffeentaton Also allgemen fü Beschleungungslestung P( t) = F( t) v( t) Kuvenfaht mt v(t)=konstant, wel dafü stets F = F ~ a v Beachte: = fü Bespel : Hubabet m Mensch (8 kg) tägt 6 Säcke a 5 kg n h 4m hoch ( g = ) s m 6 5kg 4m U s P = = = W = 33, 3W t 36s 36 Bedenke: helle Glühbne W! Mensch selbe: U =, abe da Enegeumsatz begab so ncht genutzt wd st aufzubngende mttlee Lestung soga um Fakto (8 + 5) / 5 =,6 höhe! Enegeumwandlung he: chemsche Enege (ATP ADP) Wäme + potentelle Enege U Bespel 3: Kenkaftwek.8. De Stoßgesetze Enegeumwandlung: Ken(bndungs)enege E N Wäme + elektsche Enege E el typsch: Eel 9 Pel =,GW = W "elektsch" t EN 9 Pth = 3,GW = 3 W "themsch" t (vo de Tubne). P el / Pth. Ist de Wkungsgad des Kaftweks. Betachte zentalen Stoß, U = v = v e x v = v e vo dem Stoß = WW. x v = v e x v = v e nach dem Stoß x und nu nnee Käfte e ; nu fü begenzte Zet. x 45

36 A Betachte Stoß m Schwepunktsystem (S.P.-System). Dan glt (mt gleche Bezechnung de Geschwndgketen): m v + m v = p =. ges Imme glt Impulsehaltungssatz, also auch m v + m v = p ges = ( he nach Stoß, ncht d dx ode d dt!) Fall : Fall : total nelastsche Stoß, Objekte nach Stoß veengt: v = v = : v p = v m + m = v = ges elastsche Stoß zusätzlch K =, knetsche Enege ehalten Zwe Bedngungen fü zwe Unbekannte v, v Lösung duch Raten: v = v, v = v Bewes: Impulssatz und Enegesatz snd bede efüllt: p ges = mv + mv = ( mv + mv ) = pges, wel pges = soweso K ges = mv + mv = m ( v ) + m ( v ) = Kges FAZIT: m S.P.-System glt also fü de beden Extemfomen des zentalen Stoßes: total nelastsch (gemensame) Geschwndgket nach Stoß = elastsch: bede Geschwndgketen dehen h Vozechen um. B Im allgemenen Bezugssystem: Mt dem Egebens aus A ganz enfach: total nelastsch: addee zu Lösung v = enfach de Geschwndgket mv + mv vs = des Schwepunktsystemsselbst dazu: m + m mv + mv De gemensame Geschwndgket v = m + m nach dem Stoß st de (duch den Stoß unveändete) Schwepunktgeschwndgket v s de beden Köpe (vgl. S.34) 46

37 elastsch: v = v v + v = v v s s s.) WechselnsS.P.S..) Vozechenumkeh 3.) Wechsel zuück aus S.P.S. (*) m v + m v m + m v m m v + m v = = m + m m + m m m m = v + v (**) m + m m + m v analog mt vetauscht Beachte spezell: m = m : v ' = v ; v ' = v, d.h. Geschwndgketen weden ausgetauscht. Damt vebunden st en maxmale Enegeübetag massmatchng be Ionenstößen! Stoß gegen schwee Masse ( m m ). Dafü st vs = v und deswegen v = v + v = v v (**) Fall : langsam zuück gletende schwee Masse, < v < v / : v ' = v v, Geschwndgket nach Stoß um doppelte Geschwndgket de schween Masse genge! Beachte: geade = fü v = v / Fall : entgegen kommende schwee Masse, v < : v ' = v + v, Geschwndgket nach Stoß um doppelte Geschwndgket de schween Masse höhe! Bedes späte wchtg n Wämelehe! Anwendung: Vesuch Bällestapel Abfolge dee elastsche zentale Stöße! 47

38 .) v A = v kla fü Stoß von A.) Fü Stoß von B: nähet sch mt v und stößt gegen mt -v entgegenkommende schwee Masse! v B = v v = 3v nach (**) 3.) Fü Stoß von C: nähet sch mt v und stößt gegen mt -3v entgegenkommende schwee Masse! v v 3v 7v = n v C = = ; allgemen fü n-ten Ball:.9. Dehmpuls und Dehmoment De Dehmpuls Objekte =...N n uhendem K.S. (Labosystem LS) mt m, v Defnton: l = p = m v Dehmpuls von m LS. L = l Gesamtdehmpuls m LS. Dücke, v S duch de entspechenden Vektoen, s v m Schwepunktsystem (SPS) und de Schwepunktpsoton S( t) und -geschwndgket v S m v vs = = P s gesamt aus: v = v + v S m M gesamt L = m v + v s S st wede de Gesamtdehmpuls, LS L = m v + s s L M m t = t + S t = t + S + v t S S, wobe gesamt S gesamt gesamt S.P. S m m vs m V M = S P = :L Dehmpuls des Schwepunkts 48

39 L = m + S v = m v + m S v = p + S m v S S S S S S S S S Gesamtdehmpuls m SPS S Pgesamt = Folglch kann Gesamtdehmpuls enes Systems stets aufgetelt weden: L = p + S P s s s L L gesamt = S M V S.P. gesamt S. P. Dehmpuls de Dehmpuls des S.P. (= alle Massen m S.P veent ) Objekte m S.P.S m Labosystem nnee äußee Dehmpuls Dehmpuls Beachte: Ene analoge Auftelung egbt sch fü de knetsche Enege K enes Systems: K = m v v = m v + v v + v = m v v + v v + v v s s s s s ( S ) ( S ) ( S S S ) = m vv + v m v + m vv s s s S S S s s K P gesamt = Mgesamt vs = KS.P. Daaus folgt offenschtlch, dass das SPS u.a. das Bezugssystem st, ndem de knetsche Gesamtenege de Objekte mnmal st Das Dehmoment Woduch ändet sch l? d l = d p = ɺ p + p ɺ dt dt Also: Poduktegel F = m a (Bewes: komponentenwese und nomale Poduktegel) = v p + F =, da v p ɺ l = F ; M = N m [ ] M M st das Dehmoment auf das Objekt (wkend). Folglch: M = ɺ l Dehmoment bewkt ene Ändeung des Dehmpulses. 49

40 Analoge: F = p ɺ Gundglechung de Mechank: Kaft bewkt Ändeung des Impulses! Damt auch : M = M ɺ = l = L ɺ gesamt Folglch kann de Gesamtdehmpuls L nu dann geändet weden, wenn also wenn de auf de Objekte enzeln wkenden Dehmomente addeen! M, gesamt M sch ncht zu Betachte: Abgeschlossenes System, nu nnee Käfte z m S v x v S Insgesamt N N Käfte x Betachte stellvetetend das Käftepaa,, und dazu M = F, = e F =, e F, M = F, = e F = +, e F, M + M = e F =, (ant )paallel De Dehmpuls-Ehaltungssatz F y = F e F = + F e und,, In enem abgeschlossenem System (kene äußeen Käfte) st de Summe alle Dehmomente =. Dann glt De Gesamtdehmpuls st zetlch konstant. Beachte: Mt allen de Komponenten! Vesuch: Dehschemel 5