2.5 Reflexionsberechnung

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1 -0. Die Saite als eitung.5 Reflexionsbeecnung In Kap.. wude zu Besceibung eine elleneflexion das Spiegelwellenmodell eingefüt: Hiebei läuft die betactete elle ungeindet übe das age inweg (und escwindet), gleiczeitig titt aus dem age eine entgegenlaufende Spiegelwelle eo. Altenati zu diesen zwei ungeindet fotsceitenden ellen kann es zweckmäßig sein, nu eine elle zu betacten, die am age nac bestimmten Kiteien eflektiet wid. Insbesondee bei de Modellieung de Saite mit aufzeitglieden bingt dieses Reflexionsmodell Voteile..5.1 De Reflexionsfakto Jede fotsceitende elle (andewelle) tanspotiet Enegie; bei de elektiscen eitung magnetisce und elektisce Feldenegie, bei de mecaniscen eitung kinetisce und potentielle Enegie. Die zeitlicen Mittelwete de mecaniscen Enegien beecnen sic zu: E k F dm ; E p dn F Ek E p An jede Stelle de eitung sind die beiden tanspotieten (gemittelten) Enegien gleic goß. enn die elle ein Saitenende eeict, kann diese Enegie nict ins Nicts escwinden; sie wid entwede in die ageung eingekoppelt (und dot weitegeleitet ode dissipiet), ode sie wid (ganz ode teilweise) eflektiet. Jedes age weist eine kompliziete ageimpedanz auf. Sie ist anisotop, d.. abängig on de Rictung de Scwingungsebene, und fequenzabängig. Die agenacgiebigkeit ist de Kewet de komplexen ageimpedanz, sie ist komplex als Admittanz definiet: Y F G jb Admittanz = Konduktanz + j Suszeptanz F R jx Impedanz = Resistanz + j Reaktanz = 1/Admittanz Ein unnacgiebiges age (kleine Admittanz, goße Impedanz) kann Käfte aufnemen, emöglict abe keine Bewegung; beim nacgiebigen age ist's umgeket. Saiten sind in elati unnacgiebigen agen eanket. Völlig unnacgiebig düften sie nu fü die Elekto- Gitae sein, in de Realität ist ein deatiges Ideal natülic nict eeicba. äen die Saitenlage de Akustik-Gitae öllig unnacgiebig, so könnten sie (wegen = 0) on de Saite keine Enegie aufnemen und zu Abstalung weiteleiten. Die ageimpedanz (bzw. admittanz) eknüpft die beiden Feldgößen Kaft und Scnelle, deen Podukt die eistung P ist. Die Stetigkeitsbedingungen foden fü beide Saitenenden: F Saite = F age und Saite = age. Auf de Saite ist de Quotient F/ fü die fotsceitende elle gleic, am age kann diese Quotient abe jeden et annemen; dies ist zunäcst ein idespuc. enn eine -N-Kaftwelle übe eine eitung mit einem ellenwidestand on 1 Ns/m läuft, dann ist die Scnelle m/s. Tifft diese elle nun auf ein age mit 10 Ns/m ageimpedanz, so kann ie eistung om age nict ollständig aufgenommen weden. Das age "entnimmt" sic on de ankommenden elle die Teilleistung, die mit ie F- und -Komponente zu ageimpedanz passt, de Rest wid "zuückgescickt". M. ollne 00

2 .5 Reflexionsbeecnung -1 Am age und an jedem eitungspunkt übelagen sic somit zwei in entgegengesetzte Rictungen laufende ellen (inlaufend und eflektiet). Kaft und Scnelle egeben sic damit als Summe zweie ete. Auc die om Anzupfot in Gegenictung laufende elle muss mit ie Reflexion beücksictigt weden, sowie die in Folge entsteenden weiteen Reflexionen. Alle ellen weden nac dem Duclaufen eine Saitenlänge wiede eflektiet, so dass sic imme me ellen übelagen. Die Summe alle übelageten ellen egibt den eingescwungenen ustand, de mit den Mitteln de Netzwekanalyse beecnet weden kann. enn fü diesen eingescwungenen ustand an igendeinem Punkt z die eitungsimpedanz (z) beecnet wid, so eält man iefü nict den ellenwidestand (zumindest nict im allgemeinen Fall). Noc ist die im o.a. Beispiel "zuückgescickte" elle unbekannt. u Beecnung setzt man die an jedem eitungspunkt wikende Kaft F(z) und Scnelle (z) als Summe zweie ellen an. Die (zum age) inlaufenden ellen F (z) und (z) sind gegeben; iebei eict die Kenntnis eine Göße, die andee kann übe beecnet weden. Die eflektieten ellen F (z) und (z) sind ebenfalls übe eknüpft, abe noc unbekannt. Diese felende Bedingung wid on de ageimpedanz geliefet, denn am agepunkt (z.b. bei z = 0) ist de Quotient aus F(z = 0) und (z = 0) gleic de ageimpedanz. Das Vozeicen sogt, wie so oft, fü Übeascung: Am ecten age gilt = F/, am linken = F/. Am leictesten ekennt man diese Vozeicenumke in Abb..5: Ein linkes age kann man daduc ezeugen, dass F 1 null wid; die linke Masse entfällt dann, die als "Tägeitsgesetz" bezeicnete Fomel füt auf ein Minuszeicen. In änlice eise gibt F = 0 ein Pluszeicen. Auc de ellenwidestand at seine Vozeicenbesondeeit: Bei nac links laufenden ellen ist negati, bei nac ects laufenden positi (Kap..1). Übelaget man in- und ücklaufende ellen, müsste man mit zwei esciedenen ellenwideständen ecnen. In de folgenden Beecnung ist jedoc gundsätzlic positi, bei nac links laufenden ellen wid ein Minuszeicen eingefügt. Die folgende Beecnung betactet eine nac links auf das linke age (z = 0) inlaufende elle, und eine nac ects eflektiete elle: F ; F ; m' 0 F F F ; ; F F F ) ( Das Veältnis de komplexen Amplituden aus ück- und inlaufende elle ist de komplexe Reflexionsfakto. E ängt om ellenwidestand und on de ageimpedanz ab: F F Reflexionsfakto F Dei Sondefälle sind inteessant: Fü (Anpassung) wid de Reflexionsfakto null, die elle wid nict eflektiet, das age nimmt die gesamte ellen-enegie one Reflexion auf. Fü 0 wid de Scnelle-Reflexionsfakto +1, die Scnelle-elle wid ollständig gleicpasig eflektiet, die Kaft-elle ollständig gegenpasig. F, und sind komplex; auf das Untesteicen wid ezictet. M. ollne 00

3 -. Die Saite als eitung Fü wid de Scnelle-Reflexionsfakto 1, die Scnelle-elle wid ollständig gegenpasig eflektiet, die Kaft-elle ollständig gleicpasig. Diese Fall geöt zu einem unbeweglicen age, an dem die Saiten-Scnelle imme null ist. Eine Gitaensaite daf natülic nict mit = 0 betieben weden, sonst könnte sic keine "peiodisce" Scwingung einstellen. Mit = 1 wüde eine Scwingung nie me abklingen zumindest im Ramen de ie zugundegelegten Idealisieungen. In Kap. 1.5 wuden Untesucungen zum Ausscwingen ogestellt. enn die Scwingung eine E -Saite z.b. in 1 s um 60 db (ein exponentiell) abnimmt, dann nimmt sie in 1 ms (1 Peiode) um 0,06 db ab; dies entspict 0,7%. De Reflexionsfakto ist damit 0,993 po Peiode. Nun wid abe eine Saitenwelle po Peiode zweimal eflektiet, also muss man diese 0,7% Absoption auf die Steg- und Satteleflexion aufteilen, z.b. Sattel 0,3% und Steg 0,4%. Typisceweise egibt sic ein Reflexionsfakto nae bei 1. Mit eine ein eellen ageimpedanz wid de Reflexionsfakto eell, denn ist auc eell. Fü eelles ist die Pasendeung zwiscen in- und ücklaufende elle entwede 0 ode 180. Im Gegensatz zu Reflexion an eine imaginäen ageimpedanz ist die Amplitude de ücklaufenden elle nun kleine als die de inlaufenden. Bei de Gitaensaite ist die ageimpedanz goß gegenübe, damit eält man als Näeung: Ein negati-eele Reflexionsfakto zeigt an, dass die Scnelle-Reflexion gegenpasig efolgt. Ist de Realteil des Reflexionsfaktos ungleic null, fließt ikenegie in die agepunkte (Dissipation, Saitenbedämpfung). Fü die Saite ist es dabei gleicgültig, ob diese Enegie om Kopus abgestalt ode diekt im Saitenlage in äme umgewandelt wid die abfließende Enegie stet de Saite nict me als Scwingungsenegie zu Vefügung. Das andee Extem ist eine ein imaginäe ageimpedanz, wie sie on eine Masse ode eine Fede gebildet wid. Auc wenn das age aus meeen Massen und Feden aufgebaut ist, so egibt sic bei eine Fequenz imme nu eine entwede täge ode steife ageimpedanz. Fü ein imaginäe ageimpedanz sind äle und Nenne des Reflexionsfaktos konjugiet komplex; de Betag on ist somit 1. Und zwa exakt 1! Hin- und ücklaufende elle weden zwa in ie Pase escoben, i Betag bleibt abe ealten, die Scwingungsenegie nimmt nict ab. Nacdem sic abe die Pase de fotsceitenden ellen auc als Funktion des Otes ändet (ellengleicung), kann man die pasenescobene Reflexion modellaft als nict-pasenescobene Reflexion eines andeen Otes auffassen. Man stellt sic o, die elle wüde ein kleines Stückcen inte dem Steg one Pasendeung eflektiet, und die on diesem Umweg eogeufene Pasendeung entspict de ealen Reflexion. Je nac Vozeicen kann es auc efodelic sein, den gedacten Reflexionspunkt o den Steg zu legen und das gleice gilt auc fü den Sattel. Die effektie Saitenlänge kann somit on de geometiscen abweicen, und je nac ageimpedanz fequenzabängig küze ode länge weden. Dies beeinflusst die Fequenzen de Teiltöne: Ein fedendes age elänget die effektie Saitenlänge und eniedigt die Scwingfequenz; je weice die Fede, desto niedige f. Ein massebelastetes age eküzt die Saite und eöt die Scwingfequenz; je leicte die Masse, desto öe die Fequenz. M. ollne 00

4 .5 Reflexionsbeecnung -3 De Reflexionsfakto de ealen Saite at sowol eine eelle, als auc eine imaginäe Komponente; beide ängen on de Fequenz ab. De Realteil bewikt eine Saitenbedämpfung, de Imaginäteil estimmt die Saite. usätzlic müssten auc noc saitenintene Mecanismen beücksictigt weden; die Teoie dieses Kapitels betifft abe nu die elustfeie eitung. BEISPIE: Eine gespannte Saite ( = 64 cm, = kg/m 3, S = 0,5 mm, und = 100 N) ist auf eine Seite fest, auf de andeen Seite fedend aufgeängt; s = N/m, s s(f). Hieaus egibt sic: = 0,633 Ns/m, c = 158,1 m/s, f G = 13,5 Hz (one Fedeeinfluss). Mit Beücksictigung de fedenden Randeinspannung eniedigt sic die Gundfequenz f G : s j j 1,89 Ns m 0,995 0,0979 j e j174,4 De Betag des Reflexionsfaktos ist 1, de inkel ist um 5,6 kleine als 180. Beim Duclaufen eine ollen Saitenlänge wid die Pase de elle um 180 gedet, eine Deung um 5,6 entspict damit eine eglänge on cm. Die einseitig fedende ageung elänget die Saite effekti um cm, die Gundfequenz wid ieduc auf 119,8 Hz eniedigt. Die elatie Vestimmung ist fü alle Hamoniscen dieselbe (Dispesion enaclässigt)..5. Ein Resonato als Saitenlage Jedes eale Saitenlage muss neben fedenden Komponenten auc Massen aufweisen, und damit sind ageesonanzen unemeidlic. Bei den Resonanzfequenzen kompensieen sic die Reaktanzen (bzw. Konduktanzen), Impedanz und Admittanz sind ein eell. Bei allen andeen Fequenzen sind Impedanz und Admittanz komplex [3]. Als age wid beispielaft ein elustfeies Fede/Masse-System untesuct. Seine ageimpedanz und Resonanz(keis)fequenz beecnen sic zu: jm s j s m f Fü wid die ageimpedanz null (keine Kaft totz Bewegung), fü wikt das age fedend (fedegeemmt), fü wikt es täge (massegeemmt). Unteesonant wid eine angekoppelte Saite effekti elänget, übeesonant eküzt. Selbst wenn man die Saite dispesionsfei annimmt, liegen die Teiltonfequenzen somit nict me amonisc; im Beeic untealb de ageesonanzfequenz weden sie eniedigt, obealb de ageesonanzfequenz eöt. Fü den Scnelle-Reflexionsfakto eält man: j( m s ) p m p j( m s ) p m p s s p j Die Fequenzabängigkeit des Reflexionsfaktos ( j) füt auf eine gebocen ationale Funktion zweite Odnung. Die geaden äle- und Nennepotenzen sind identisc, die ungeaden aben inetietes Vozeicen; äle und Nenne sind somit zueinande konjugiet komplex. Eine deatige Fequenzabängigkeit eißt Allpassfunktion. Reale age sind wesentlic steife, die Vestimmung ist bei inen geinge. M. ollne 00

5 -4. Die Saite als eitung De Betag eine Allpassfunktion ist 1, die Pase det fü 0: f : um n, n ist die Odnung de Allpassfunktion. Fü f = 0 gilt = 1, die Scnelle-elle wid mit umgedetem Vozeicen eflektiet. Fü f f egibt sic = +1, fü f eält man wiede = 1. Somit bewikt ein Resonato als eitungsabscluss eine zusätzlice Pasendeung. Eigenscwingungen (Teiltöne) de Saite entsteen bei den Fequenzen, bei denen die Pasendeung fü einen ollständigen Umlauf () geade ein ganzzaliges Vielfaces on ist. Fü dispesionsfeie ellenausbeitung auf eine fest eingespannten Saite egeben sic damit Teiltonfequenzen, die ganzzalig ielfac zu Gundfequenz liegen. enn abe ein age als Resonato wikt, egibt sic eine zusätzlice Pasendeung, die (im Beispiel) einen zusätzlicen Teilton ezeugt. Fü Resonatoen öee Odnung entsteen meee zusätzlice Teiltöne. -10 Pase / khz Abb..1: Pasendeung längs eines Saitenumlaufs. Ein Saitenlage ist als Resonato mit 1,415 khz Resonanzfequenz ausgefüt. Duc die scmalbandige zusätzlice Pasendeung um entstet eine zusätzlice Eigenfequenz. In Abb..1 ist die Pasendeung dagestellt, die sic fü eine mit 100 Hz Gundfequenz scwingende Saite fü einen Umlauf (doppelte Saitenlänge) egibt. Die Pase ist negati, wie in de neueen iteatu fü Vezögeungen üblic. Ein Saitenlage ist als Resonato mit eine Resonanzfequenz on 1,415 khz ausgefüt (Punkt auf de Abszisse). Am unteen Bildand sind die Teiltonfequenzen mit Sticen angegeben. De eigentlic bei 1,40 khz liegende Teilton wid duc die ageesonanz deutlic tiefe gestimmt, und bei 1,4 khz entstet ein zusätzlice Teilton. Alle andeen Vestimmungen sind so geing, dass sie im Bild nict zu ekennen sind. Das spektale Diffeential d d egibt die Guppenlaufzeit (Kap. 1..1). Die Steigung de Pasenfunktion ist paktisc konstant, mit Ausname des Beeics um die ageesonanz. Somit ist auc die Guppenlaufzeit übeall konstant, nu im Beeic um die ageesonanz ist sie elänget, was im Spektogamm (Abb. 1.8) zu Vewefungen füt..6 eitungseluste Ideale Massen und Feden speicen Enegie, wandeln sie abe nict in äme um. Sie weden desalb als elustfeie Elemente bezeicnet. Demgegenübe weist jede eale Saite auc Reibwidestände auf, in denen die Scwingungsenegie ieesibel in äme umgewandelt wid. Die eitungsteoie beücksictigt diese Enegieeluste duc eteilte, diffeentiell kleine idestände. Fü das Modell ist es uneeblic, ob die Veluste duc mecanisce Reibung in de Saite (innee Dämpfung) entsteen, ode daduc, dass die Saite Scallenegie diekt abstalt (d.. one Umweg übe den Kopus). M. ollne 00