1. Mathematikschulaufgabe

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1 Klasse. Bestimme die maimale Definitionsmenge der Funktion f() = 6 9 ( ).. Gegeben sei die quadratische Funktion f() mit D f(x) = [-; [ a) Bestimme die Funktionsgleichung, wenn die Funktion durch die Punkte A(-,5/0), B(-0,5/8) und C(,5/0) verläuft! Kontrolle: f() = ,5 b) Bestimme für den Bereich, in dem f() monoton fällt die Umkehrfunktion f - () und gib deren Definitionsmenge an!. Durch den Punkt P(/?), P G f soll eine Gerade gelegt werden, die mit der Geraden f() = - + einen Winkel von 5 bildet. Erstelle die Geradengleichung!. a) Gegeben sei die Funktion f a () = a 6 D f =, a. Bestimme diejenigen a, für die die Funktion genau Nullstellen besitzt! b) Bestimme die Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktion und gib die Faktorzerlegung an: f() = GM_A0007 **** Lösungen Seiten (GM_L0007)

2 Klasse. Eine Schar von Geraden g a ist gegeben durch g a : y = - a + a; a ; D =. a) Zeige, dass alle Geraden der Schar einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. b) Unter welchem Winkel ϕ schneidet die Schargerade mit a = die y-achse? c) Bestimme den Inhalt der Dreiecksfläche, die von der y-achse und zwei zueinander senkrechten Schargeraden g a und g a begrenzt ist. Fertige dazu auch eine Zeichnung an mit a =.. Gegeben ist die Funktion f: 5. + a) Bestimme den maimalen Definitionsbereich D ma, die Nullstellen und Unendlichkeitsstellen von f. b) Untersuche rechnerisch das Monotonieverhalten von f für >. c) Bestimme für > die Gleichung der Umkehrfunktion f - von f.. Gegeben sind die Funktionen p: ( ) f: Gib die Funktionsgleichung von f p an und zeichne den Graph von f p. GM_A005 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L005)

3 Klasse. Gegeben ist die Funktion ƒ: Wo gilt ƒ() > - 8?.. Gegeben ist die Funktion ƒ mit der Gleichung ƒ() = ( + ) + +. a) Zeige rechnerisch, dass der Graph von ƒ symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung = - verläuft. b) Zeige, dass die Zahl - 6 Infimum von ƒ ist. Eine Geradenschar ist gegeben durch die Gleichung g b () = b, R, b b ;. In welchem Punkt S und unter welchem Winkel ϕ schneiden sich die flachste und die steilste Gerade der Schar?. Berechne ( i) z = ( i) Löse nach z auf und berechne dann z in der Form a + bi: a) = i z i z+ i b) i = z i z+ i GM_A006 **** Lösungen 6 Seiten (GM_L006)

4 Klasse. Gib für die Zahlenfolge,, 7, 5,, 6,... eine eplizite und eine rekursive Darstellung an.. Widerlege die folgenden (falschen) Behauptungen durch jeweils ein Gegenbeispiel. Erläutere kurz, worin bei den Gegenbeispielen der Widerspruch zu den Behauptungen besteht. a) Jede monotone Folge ist konvergent. b) Jede beschränkte Folge ist konvergent. c) Jede beschränkte Folge ist genau dann konvergent, wenn sie monoton ist.. a) Gib eine monoton abnehmende Folge an, die den Grenzwert 5 hat. b) Gib eine Folge an, für die größte untere Schranke und 8 kleinste obere Schranke ist.. Gegeben sei die Folge (a n ) durch die Gleichung a n = n 5 n + a) Stelle die ersten acht Glieder der Folge auf der Zahlengeraden dar. b) Untersuche die Folge auf Monotonie. c) Zeige, dass die Folge den Grenzwert hat. d) Ab welchem Folgenglied sind alle weiteren Folgenglieder größer als,995? 5. Weise nach, dass die Folge a n ( ) n 6n = den Grenzwert hat. n 6. Zeige, dass für jede geometrische Folge (a n ) die Gleichung a n = a n. a n + gilt. GM_A0090 **** Lösungen Seiten (GM_L0090)

5 Klasse. Gib für die Folge - 5; - ; - ; ; ; 5;... eine eplizite und eine rekursive Darstellung an.. Gib für die eplizit angegebene Folge a n = 5n + eine rekursive Darstellung an.. Untersuche die Folge a n = n + 0n auf Monotonie.. Gegeben sei die Folge (a n ) durch die Gleichung a n n = + n+. a) Untersuche die Folge auf Monotonie. b) Zeige, dass die Folge (a n ) den Grenzwert hat. c) Ab welchem Folgenglied sind alle weiteren Folgenglieder größer als,99? GM_A009 **** Lösungen Seiten (GM_L009)

6 Klasse. Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung f() = +,75 a) Bestimme die Produktform des Funktionsterms, gib den Scheitelpunkt der Parabel und ihren Wertebereich an und zeichne den Graphen im Intervall [0; 9]! b) Gegeben ist nun zusätzlich die Gerade g mit der Gleichung g() = -,5 + 9,75. Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Parabel! c) Welchen (spitzen) Winkel schließt die Gerade g mit der y-achse ein? d) Bestimme die Gleichung der Geraden h, die den Punkt P(/-) enthält und die Gerade g unter einem Winkel von 90 schneidet? Zeichne die Gerade h in das Koordinatensystem von Teilaufgabe a) ein! e) Für welche -Werte ist der folgende Funktionsterm nicht definiert? f() = +,75 Beantworte diese Frage ohne weitere Rechnung (kurze Begründung genügt!).. Der Graph einer quadratischen Funktion f() ist kongruent zur Parabel mit der Gleichung g(): y = -0,5. Der Punkt P(0/) liegt auf dem Graphen von f() und sein Scheitelpunkt hat den y-wert,5. Bestimme eine entsprechende Funktionsgleichung von f()! Lösungen!. a) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion. Grades, die nur die beiden Nullstellen = - und = (ohne komplee Nullstellen) besitzt. Bekannt ist weiter, dass der Punkt P(/5) auf dem Graphen liegt. Gib eine passende Funktionsvorschrift an! Skizziere qualitativ drei verschiedene Graphen von ganzrationalen Funktionen. Grades mit genau zwei Nullstellen und gib an, welcher davon zu deiner Funktionsvorschrift passt! Hinweis: Qualitativen Verlauf des Graphen darstellen bedeutet den Graph ohne Wertetabelle aber evtl. mit markanten Punkten (Nullstellen, Hoch-, Tiefpunkte usw.) skizzieren b) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion. Grades, die an der Stelle = ihre einzige Nullstelle und für > negative y-werte besitzt! Gib zwei verschiedene Beispiele dafür an! GM_A0097 **** Lösungen 8 Seiten (GM_L0097)

7 Klasse. a) Gib die Verknüpfungstafeln für die auf dem Körper Z / ( Z modulo ) definierten Verknüpfungen (Addition modulo ) und (Multiplikation modulo ) an! b) Begründe mit Hilfe eines Anordnungsaioms, warum Z / kein angeordneter Körper ist!. i Gegeben sind die kompleen Zahlen w = i und z =. Berechne folgende Terme und gib das Ergebnis in der Form a + bi an! a) i z+ w b) w w z+ z. Gegeben sind die Funktionen f() = Gib den Term der Verkettungsfunktion f Definitionsmenge ldf g und g() = ( ). g an und bestimme seine maimale. Gegeben ist die Funktionenschar f a : y = a 6a+ 5a+ ; a) Zeige durch Rechnung, dass alle Graphen G a der Schar genau zwei Punkte gemeinsam haben und dass es sich dabei um die Punkte P (/) und P (5/) handelt. b) Verwandle den obigen Funktionsterm durch quadratische Ergänzung in die Scheitelform. (Kontrollergebnis: f() = a( ) a+ ) a c) Gib die Scheitelkoordinaten für den Parameterwert a = an und skizziere den 8 zugehörigen Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem [ 7; y ]. d) Gegeben ist nun das Geradenbüschel g m : y = m 5m+. Zeichne die Geraden für m = -, m = 0 und m = 0,5 in das Koordinatensystem aus Aufgabe c) ein. e) Es gibt genau eine Gerade des Geradenbüschels g m, welche den Graphen der Funktion 8 f nur im Punkt P (5/) berührt (d.h. nicht schneidet!). Berechne die Steigung m dieser Geraden und gib die Geradengleichung in der Form y = m + t an. GM_A009 **** Lösungen Seiten (GM_L009) ()

8 Klasse. Gegeben ist die Funktion f() = sgn( ) + a) Geben Sie den Definitionsbereich und alle Nullstellen von f an! b) Geben Sie den Funktionsterm f() abschnittsweise an! c) Skizzieren Sie sauber den Graphen von f.. Gegeben ist die Funktion g() =. a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von g und prüfen Sie den Graphen von g auf Symmetrie. b) Begründen Sie mathematisch eakt, dass die Funktion g im Intervall ; streng monoton fällt. c) Geben Sie ein möglichst großes Intervall J an, in dem die Funktion g streng monoton wächst.. Geben Sie zuerst den folgenden Grenzwert an und weisen Sie dann diesen Grenzwert mit der eakten Grenzwertdefinition nach! lim = +. Lösen Sie die Gleichungen in der Grundmenge C der kompleen Zahlen. a) z+ z* = 5 i b) iz 5 = z i GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

9 Klasse. Gegeben ist die reelle Funktion f mit f() = + + a. a) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass f an der Stelle = eine Nullstelle besitzt. b) Zeigen Sie, dass f zwei weitere Nullstellen hat, wenn man den in a) gefundenen Wert für a einsetzt. Ermitteln Sie diese beiden weiteren Nullstellen.. Gegeben ist die reelle Funktion g mit g() = und Dg =. a) Geben Sie g() abschnittsweise ohne Verwendung von Betragsstrichen an. b) Zeichnen Sie den Graphen von g sauber in ein Koordinatensystem c) Der Graph von g hat einen Knick. Berechnen Sie den Knickwinkel!. Im Folgenden soll die Funktion f mit f() = untersucht werden. 9 a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich D f und alle Nullstellen von f. Welche Symmetrie hat der Graph von f? b) Zeigen Sie mit einer ausführlichen Rechnung, dass f im Intervall J = [0; [ streng monoton steigend ist. Geben Sie nun den Wertebereich W f der Funktion f an.. Rechnen mit kompleen Zahlen a) Geben Sie die Zahl + 6i in Polarform an. b) Lösen Sie die Gleichung in der Grundmenge C der kompleen Zahlen. z + (+ i) z* = i (z* gibt hierbei die zu z konjugiert komplee Zahl an.) GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

10 Klasse. Die Punkte P( ) und Q 5 ( ) liegen auf der Geraden g. a) Berechnen Sie eine Gleichung der Geraden und bestimmen Sie deren Neigungswinkel auf 0,0 genau. b) Die Gerade h hat die Gleichung + y = 0. Berechnen sie den nichtstumpfen Winkel unter dem sich die Geraden g und h schneiden. c) Im Punkt Q 5 ( ) wird das Lot zu Geraden h errichtet. Berechnen Sie eine Gleichung des Lotes l. d) Zeichnen Sie die Geraden g, h und l in ein gemeinsames Koordinatensystem. p f p : p ; + mit dem Scharparameter p und dem zugehörigen Graphen G p.. Gegeben ist die Funktionenschar ( ) a) Zeichnen Sie die Graphen G,G 0 undg in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. b) Bestimmen Sie jeweils die Schnittpunkte von zwei Graphen G,G 0 undg. c) Bestimmen Sie allgemein in Abhängigkeit von p ( p 0) die Nullstellen von G p. Für welche Werte von p berührt G p die - Achse?. a) Berechnen Sie von der ganzrationalen Funktion f: + 8 alle Nullstellen und geben Sie die Faktorzerlegung von f () an. b) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen der Funktion g: ( + 8 ) 0 GM_A06 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L06)

11 Klasse. Gegeben ist die Funktion f: mit maimaler Definitionsmenge D. f 6 a) Bestimmen Sie Nullstellen und Unendlichkeitsstellen der Funktion f! b) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung ist! c) Berechnen Sie die Funktionswerte an den Stellen - 6, - und +! d) Skizzieren Sie mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse den Verlauf des Graphen G f im Intervall [ 6; 6 ]!. Bestimmen Sie alle Nullstellen (mit Vielfachheit) der folgenden ganzrationalen Funktion f und geben Sie ihre Faktorenzerlegung an! ( ) f( ) = Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f: für < 0 streng monoton steigend ist! (Vorzeichen einzelner Faktoren auch begründen!). Gegeben ist die Funktionenschar f a : a + ( 5a) + + a mit, a a) Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Punkt A ( / ) allen Scharkurven angehört! b) Es sei nun a =. Bestimmen Sie die Wertemenge Rechnung! W f der Funktion f durch c) Berechnen Sie die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt B( /5 ) und den Scheitel von f verläuft! d) Wie könnte die Gleichung einer Geraden h lauten, die zu g parallel ist und gleichzeitig keinen Punkt mit dem Graphen von f gemeinsam hat? GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

12 Klasse. Durch die Punkte A ( / ) und B ( 0 / - ) sei eine Gerade g bestimmt. Berechnen Sie die Gleichung des Lots, das von P ( 0 / 5 ) auf die Gerade g gefällt wird!. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A ( 0 / 0 ), B ( / ) und C ( - / ). a) Berechnen Sie die Länge der drei Seiten des Dreiecks! b) Berechnen Sie das Maß des Winkels α! c) Zeigen Sie β= 90! d) Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts S der Seite BC mit der y - Achse! e) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.!. Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Parallelen g und h! g:y = + h:y=. Gegeben seien die Funktionen f mit f() = cos und g mit a) Bestimmen Sie jeweils die maimale Definitionsmenge! b) Welche Werte kann die Funktion jeweils annehmen? c) Skizzieren Sie die Schaubilder der einzelnen Funktionen! g() =. 5. Gegeben ist das Viereck ABCD mit den Punkten A ( / - ), B ( 6 / ), C ( / ) und D(-/-)! a) Zeigen Sie rechnerisch, welche Art von Viereck vorliegt. b) Berechnen Sie den Schnittwinkel β zwischen der Winkelhalbierenden des Winkels BAD und der y - Achse! GM_A00 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L00)

13 Klasse. a) Ermitteln Sie die Hauptform und zeichnen Sie die Gerade: b) In welchem Punkt schneidet die Gerade g die - Achse? g: + y+ = 0. c) Wie lautet die Gleichung der Parallelen zu g durch den Punkt P ( / )?. Veranschaulichen Sie die folgenden Lösungsmengen in jeweils einem eigenen Koordinatensystem: D = a),5 und y > +,5 b) f() = + Geben Sie f() ohne Betragsstriche (abschnittsweise) an. Beschreiben Sie die Fläche zwischen den Geraden g und h (ohne Rand) durch Ungleichungen für und y.. Gegeben ist die Funktionenschar f c : f () c Die Graphen heißen G c. c = mit, c R. a) Berechnen Sie diejenigen Werte von c, für die der Graph G c durch den Punkt P(-/8) verläuft! b) Untersuchen Sie durch Rechnung, welcher Graph G c mit der - Achse nur einen Punkt gemeinsam hat! c) Bestimmen Sie zur Funktion f 5 (also c = 5) die Umkehrfunktion sowie deren Definitions- und Wertebereich, für [ 5; ]! GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

14 Klasse. Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g, welche durch den Punkt P ( / - ) verläuft und auf der negativen - Achse Einheiten abschneidet!. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichungen! a) 0, < 0 b) 7 + ( + ) < 6. Gegeben sei ein Dreieck mit den Eckpunkten A ( - / - ), B ( / ) und C ( 0 / 6 ). a) Zeichnen Sie das Dreieck ABC ( LE = cm) b) Bestimmen Sie den Höhenschnittpunkt H der Höhen auf den Dreiecksseiten AB und AC. c) Der Höhenschnittpunkt H aus Teilaufgabe b), die Ecke A sowie die Höhenfußpunkte auf den Seiten AB bzw. AC bilden ein Viereck. Berechnen Sie die Innenwinkel dieses Vierecks. d) Wie weit ist der in b) ermittelte Höhenschnittpunkt H von der Ecke A entfernt?. Gegeben ist eine Gerade h: y=. Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von h mit der - Achse und ermitteln Sie alle weiteren Geraden, die durch diesen Schnittpunkt S verlaufen und mit h einen Schnittwinkel von 5 besitzen. GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

15 Klasse. Setzen Sie die Zahlenfolgen um weitere 5 Glieder fort. Bestimmen Sie bei jeder Zahlenfolge die Art der Monotonie und geben Sie, falls vorhanden, jeweils eine untere und eine obere Schranke an. a) 7, 6,,, 7,,... b) c),,,, ,,,,, Gegeben seien die untenstehenden Zahlenfolgen. Untersuchen Sie sie auf Monotonie. (n ) n + 5 a) an = 7n b) a n n = 5 n. Welche der folgenden Aussagen ist richtig, welche falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. a) Eine Zahlenfolge, die eine obere Schranke besitzt ist beschränkt. b) Eine Zahlenfolge, die eine untere Schranke besitzt, besitzt unendlich viele untere Schranken. c) Eine Zahlenfolge, die monoton fallend ist und eine obere Schranke besitzt, besitzt einen Grenzwert.. Gegeben seien die unten stehenden Zahlenfolgen. Vermuten Sie einen Grenzwert g. Weisen Sie mit Hilfe der ε -Umgebung nach, dass g der Grenzwert ist. Begründen Sie Ihre Aussage. Vom wie vielten Glied der Zahlenfolge liegen alle weiteren in der 0,000-Umgebung des Grenzwertes. n + 8 a) an = n a = b) n n GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

16 Klasse. fk ( ) = k,5k+ ; D = R ; k R a) Zeigen Sie durch Rechnung: A (, 5 ) gehört zu jeder Geraden der Schar. b) Welche Gerade hat die Nullstelle N(,5 0 )? c) Für welches k steht die zugehörige Gerade senkrecht auf g:y = ; D g = R? d) Für welches k haben G k und G einen Schnittwinkel von 5? (zwei Lösungen!). g() = + ; D = R a) Untersuchen Sie g auf Symmetrie und bestimmen Sie die Nullstellen von g (Hinweis: Symmetrie berücksichtigen!). b) Nun werde der Definitionsbereich auf D [ ; ] Skizzieren sie G g in = eingeschränkt. D und geben Sie in der Skizze die Art der Etrema an!. 5 f() = ; Df = Dma a) Bestimmen Sie D! 5 b) Lösen Sie folgende Betragsungleichung nach auf: f () + < 0,00; ( ). c) Was kann man nachweisen, wenn man in der Ungleichung 0,00 durch ε ersetzt?. Berechnen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze den Grenzwert: lim + GM_A0 **** Lösungen Seiten (GM_L0)

17 Klasse / G8. Gegeben ist die ganzrationale Funktion f k() 8k ; k mit dem Parameter k. Für welche Werte von k hat der Graph der Funktion drei, zwei, eine oder keine waagerechte Tangente(n)? Begründen Sie Ihre Antwort mit einer Rechnung.. Gegeben ist die Funktion f() ;. Der Graph der Funktion heißt G. a) Berechnen Sie den Hoch- und den Tiefpunkt von G f. f b) Bestimmen Sie die Nullstelle mit Hilfe des Newtonschen Iterationsverfahrens auf Stellen nach dem Komma gerundet. c) Zeigen Sie, dass die Tangente an G f durch P noch einen weiteren gemeinsamen Punkt Q mit dem Graphen hat. d) Wie lautet die Gleichung der Normalen in P?. Gegeben ist der wesentliche Ausschnitt zweier Graphen der Funktionen f() und g() mit D. Beide Funktionen sind ganzrational. a) Warum kann g() eine mögliche Stammfunktion von f() sein? b) Gegeben sei nun die Funktion h() 6 ; D 0 Bestimmen Sie für h() diejenige Stammfunktion H(), die durch den Punkt A 0 verläuft.. Finden Sie eine möglichst einfache gebrochen rationale Funktion, die folgende Eigenschaften aufweist und skizzieren Sie Ihren Vorschlag. Der Graph der Funktion hat mehr als eine Nullstelle und verläuft durch den Punkt O 0 0, und der Graph ist keine zusammenhängende Kurve, sondern besteht aus drei voneinander getrennten Abschnitten, und der Graph besitzt zwei senkrechte Asymptoten und ; es sind jeweils Polstellen mit Vorzeichenwechsel, und die waagerechte Asymptote liegt bei y. GM_A05 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L05) ()

18 Klasse / G8 5. Vier Stangen der gleichen Länge s können in Form einer vierseitigen Pyramide mit quadratischer Grundfläche aufgebaut werden. Die Pyramidenhöhe und die Grundfläche sind direkt voneinander abhängig; je größer die Grundfläche, umso geringer die Höhe der Pyramide (und umgekehrt). Die Pyramide soll ein maimales Volumen aufweisen. Variante A: Berechnen Sie die Pyramidenhöhe h (in Abhängigkeit von s) Variante B: Berechnen Sie die Länge einer Quadratseite a (in Abhängigkeit von s) Berechnen Sie auch das maimale Pyramidenvolumen Bemerkung: Das Volumen der Stangenpyramide ist dann Null, wenn a) die Pyramidenhöhe Null ist, d. h., die Stangen liegen ausgebreitet am Boden. b) die Pyramidenhöhe gleich s ist, d. h., die Stangen stehen senkrecht zusammen. Zwischen diesen beiden Grenzfällen V 0 muss es ein Volumen geben, das maimal ist. GM_A05 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L05) ()

19 Klasse / G8. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen. a) f() = ( 5) 7 b) g(a) = a + a + + a c) h() = sin. Gegeben ist die Funktion f : f() = a) Bestimmen Sie den maimalen Definitionsbereich von f. Ermitteln Sie die Nullstelle(n) von f und geben Sie deren Vielfachheit an. Geben Sie die Gleichung aller Asymptoten an.. b) Berechnen Sie lim f(). 5. a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion g'() der Funktion und vereinfachen Sie so weit wie möglich. g() = ( + ) b) Die folgende Abbildung zeigt vier Graphen. Einer davon stellt g() dar, ein weiterer g'(). Entscheiden Sie mit Begründung, welche Graphen das sind. A y B y C y D y GM_A06 **** Lösungen Seiten (GM_L06) ()

20 Klasse / G8. Gegeben ist die Funktion f() ( 5) ( 0,05 0,08) = +. a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von f. (Anmerkung: Kettenregel verwenden anstatt ausmultiplizieren!) b) Bestimmen Sie alle Stellen der Funktion f mit horizontaler Tangente. 5 Bei der Stelle = des Graphen handelt es sich um einen Terrassenpunkt. Bestätigen Sie diesen Sachverhalt. 5. Gegeben ist die Funktion f() = ( + ). Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Funktionsgraphen im P f( ). Punkt ( ) GM_A06 **** Lösungen Seiten (GM_L06) ()

21 Klasse / G8. Tangenten mit der Steigung m 0 f(). berühren den Graphen Berechnen Sie die Berührpunkte der Tangenten ( Lös.) auf dem Graphen von f. Stellen Sie die Gleichungen dieser Tangenten auf.. Berechnen Sie mit Hilfe der. und. Ableitung die Koordinaten der Etrempunkte von f(). Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen einer unbekannten Funktion f. In den Abbildungen A bis D sind Funktionen dargestellt, von denen eine die Ableitungsfunktion von f ist. Geben Sie an, um welche Abbildung es sich hierbei handelt und begründen Sie, warum die restlichen Graphen nicht Ableitungsfunktionen von f sein können. A B C D GM_A07 **** Lösungen Seiten (GM_L07) ()

22 Klasse / G8. Gegeben ist die Funktion f() mit D,5;6 a) Zeichnen Sie den Graphen von f im Definitionsbereich. b) Berechnen Sie mit Hilfe einer Grenzwertbetrachtung den Wert der. Ableitung an der Stelle 0,5. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im P 6 f(6). Punkt Zeichnen Sie diese Tangente in die Zeichnung aus a) ein. d) Die Tangente t, die Gerade y und die y- Achse im I. Quadranten bilden zusammen ein Dreieck. Tragen Sie dieses Dreieck in Ihre Zeichnung ein und berechnen Sie die Fläche sowie alle Winkel dieses Dreiecks. 5. Die beiden Graphen der Funktionen f() 0,5 6 und g() 0,5 schneiden sich im Punkt S senkrecht. Überprüfen Sie diese Aussage mit einer entsprechenden Rechnung. GM_A07 **** Lösungen Seiten (GM_L07) ()

23 Klasse / G8. a) Berechnen Sie mit der h - Methode die Ableitungsfunktion an der Stelle 0 von f() 5 6. b) Geben Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle 0 an.. Bestimmen Sie die erste Ableitung. a) f() cos 7 b) f() s sin s 8. Gegeben ist die Funktion f() 5 mit Df Dma. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle 5. Geben Sie den Winkel in Grad an, den diese Tangente mit der positiven - Achse einschließt.. Gegeben ist die Funktion f() a) Faktorisieren Sie Zähler und Nenner. b) Bestimmen Sie die Definitionsmenge und Nullstellen. c) Ermitteln Sie die Grenzwerte an den Lücken des Definitionsbereichs. d) Geben Sie den Grenzwert im Unendlichen an. e) Bilden Sie die erste und zweite Ableitung für die gekürzte Bruchfunktion. f) Geben Sie die Monotoniebereiche an. g) Skizzieren Sie den Graphen in einem Koordinatensystem (Einheit cm). 5. Die Abbildung zeigt den zurückgelegten Weg eines Langstreckenläufers in Abhängigkeit von der Zeit (Zeit- Ort - Diagramm). Näherungsweise kann man diesen Zusammenhang durch folgende Funktion beschreiben: s(t),5t 6t Nach,5 h hat der Läufer sein Ziel erreicht. a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate für die Intervalle 0h;,5h sowie () () h;,5h Beschreiben Sie kurz, was diese Werte angeben. b) Woran kann man anschaulich erkennen, dass der Läufer zum Schluss langsamer wurde? GM_A08 **** Lösungen Seiten (GM_L08) ()

24 Klasse / G8. Berechnen Sie die Steigung des Graphen der Funktion f mit an der Stelle mit Hilfe des Differentialquotienten. f() 5. Geben Sie den Term einer nicht linearen Funktion f mit folgenden Eigenschaften an: () die Funktion f hat keine Polstellen, () die Funktion f hat eine hebbare Definitionslücke bei, () der Graph der Funktion f hat die Gerade y 0,5 als einzige Asymptote. Gegeben ist die Funktion f() a) Bestimmen Sie die maimal mögliche Definitionsmenge dieser Funktion. b) Berechnen Sie alle Nullstellen von f. c) Geben Sie das Verhalten von f in der Umgebung der Definitionslücke und für an. d) Bestimmen Sie die Gleichung aller Asymptoten. e) Stellen Sie einen möglichen Term der Ableitungsfunktion f'() auf. f) Geben sie die Monotoniebereiche sowie Lage und Art der Etrema an. g) Berechnen Sie die Funktionswerte für,5 und 5. h) Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen unter Nutzung aller bisher gewonnenen Ergebnisse... Die Bergetappe einer Radtour von der 500m hoch gelegenen Rasthütte bis zur Zeitnahme auf 50 m über NN. ist im unten angegebenen Streckenprofil skizziert. Zur mathematischen Beschreibung des Strecken-Höhenprofils kann die f() 0, 0,06 0, 0,98 5 mit 0; 5,5 Modellfunktion verwendet werden. a) Berechnen Sie anhand der Skizze und mit Hilfe der Modellfunktion die durchschnittliche Steigung von der Rasthütte bis zur Zeitnahme. GM_A09 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L09) ()

25 Klasse / G8 b) Berechnen Sie die Steigung am Sattelberg mit Hilfe der Modellfunktion. c) Bestimmen Sie rechnerisch die Stelle des größten Anstiegs der Modellfunktion. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem skizzierten Streckenprofil. 5. Nebenstehendes Bild zeigt den Graphen einer Funktion f. Ergänzen Sie die Tabelle unten. Skizzieren Sie in das Bild den Graphen der Ableitung f' von f. Die wesentlichen Merkmale müssen klar erkennbar sein. Saubere Skizze! Besondere Punkte auf dem Graphen: f() waagerechte Tangente Wendepunkt im steigenden Kurvenstück Wendepunkt im fallenden Kurvenstück f'() Hinweis: Als Wendepunkt wird die Stelle auf einem Funktionsgraphen bezeichnet, an dem der Graph seine Richtung, also sein Krümmungsverhalten ändert. Dort wechselt der Graph entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder von einer Links- in eine Rechtskurve. Der Wendepunkt ist also dort, wo die Steigung der Funktion (Steigung einer Funktion wird durch die Ableitungsfunktion bestimmt) am größten ist. Denn vor dem Wendepunkt wird die Steigung immer größer und nach dem Wendepunkt wieder geringer durch die entgegengesetzte Krümmung. Der Wendepunkt ist die steilste Stelle zwischen zwei verschiedenen Krümmungen. GM_A09 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L09) ()

26 Klasse / G8. Gegeben ist die Funktion f(). 0 a) Faktorisieren Sie den Zähler- und Nennerterm. b) Bestimmen oder berechnen Sie: die maimale Definitionsmenge dieser Funktion. alle Definitionslücken / Nullstellen / Polstellen. die Asymptoten von f() c) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs. d) Stellen Sie die Ableitung f'() der Funktion f() auf (keine Berechnung!). e) Bestimmen sie alle Stellen mit waagerechter Tangente des Graphen von f. f) Skizzieren Sie mit Hilfe der gewonnenen Erkenntnisse den Funktionsgraph und alle Asymptoten in das Koordinatensystem (auf Blatt ).. Geben Sie jeweils die Gleichung einer möglichst einfachen gebrochen rationalen Funktion an, welche die folgenden Bedingungen erfüllt. a) f() hat bei 5 eine hebbare Definitionslücke und bei eine doppelte Nullstelle. b) g() hat die schiefe Asymptote y und bei 6 eine Polstelle. Ordnung. c) h() ist symmetrisch zur y-achse. Die einzige Asymptote ist die Gerade y. d) k() ist eine Bruchfunktion ohne Definitionslücke, hat zwei einfache Nullstellen und die waagerechte Asymptote y 7.. Gegeben ist die Funktion f(). a) Geben Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote von G f an und zeichnen Sie den Graphen für 0 in das Koordinatensystem auf Blatt. b) Der Graph G f lässt sich in den II. Quadranten hinein ohne Knick durch eine Halbgerade (Tangente in P 0 f(0) ) fortsetzen. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Halbgeraden und zeichnen sie diese in das Koordinatensystem ein.. Grundwissen Von den 5 Teilnehmern einer Abschlussfahrt nach Rom sind 60% Damen. 0% der Teilnehmer sind älter als 9 Jahre, wobei Herren älter als 9 sind. a) Erstellen Sie eine Vierfeldertafel mit den absoluten Häufigkeiten. b) Ein zufällig ausgewählter Teilnehmer der Abschlussfahrt ist jünger als 9 Jahre. Bestimmen sie die prozentuale Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Dame ausgewählt wurde. GM_A0 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L0) ()

27 Klasse / G8 5. Die Gerade g mit g() und die Parabel p mit p() haben die gemeinsamen Schnittpunkte A und B. Tangenten in A und B an die Parabel schneiden sich im Punkt C. Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC bei A rechtwinklig ist und berechnen Sie die Fläche des Dreiecks ABC. 6. Die Abbildung rechts ist der Graph einer Ableitungsfunktion f'(). Welcher der vier vorgeschlagenen Graphen A bis D kann eine mögliche Stammfunktion F zu f'() sein? Begründen Sie Ihre Wahl. GM_A0 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L0) ()

28 Klasse / G8 zu Aufgabe f: zu Aufgabe a + b: GM_A0 **** Lösungen 5 Seiten (GM_L0) ()

29 Klasse / G8. Gesucht ist eine möglichst einfache gebrochen rationale Funktion mit folgenden Eigenschaften: a) Behebbare Definitionslücke bei und eine einzige Polstelle ohne VZW bei b) Die einzige Nullstelle bei 5, keine Polstelle und y 0 ist waagerechte Asymptote.. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm für die rechts abgebildete Funktion an. Erläutern Sie ihre Vorgehensweise ausführlich.. Gegeben ist die Funktion 5 f() 5 a) Geben Sie die maimale Definitionsmenge und die Nullstellen der Funktion an. b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Definitionslücken. Berechnen Sie die dafür notwendigen Grenzwerte. c) Skizzieren Sie den Graph der Funktion.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt A des Graphen der Funktion 5 f() ; siehe Bild rechts GM_A **** Lösungen Seiten (GM_L) ()

30 Klasse / G8 5. Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktion. Vereinfachen Sie die Ableitungsfunktion so weit wie möglich. f() 5 6. Etremwertaufgabe Aus einem 60 cm langen Draht soll eine quaderförmige Säule mit quadratischer Grundfläche geformt werden. D. h. der gesamte Draht bildet das Kantenmodell eines Quaders (vgl. Bild rechts). Bestimmen Sie das maimal mögliche Volumen des Quaders. Hinweis: In der Aufgabenstellung wird das maimal möglichen Volumen gesucht. Es ist also hier bereits vorgegeben, dass es ein maimales Volumen überhaupt gibt. Prinzipiell möglich wären maimales, minimales oder konstantes Volumen. Dass ein minimales Volumen den Wert Null hat ist schnell einsichtig, wenn man die Länge a der Quadratseite entweder 0 cm oder 7,5 cm macht. Im ersten Fall wäre die Grundfläche, im zweiten Fall wäre die Höhe des Quaders Null. Einen Quader mit Volumen Null könnte man als Grenzfall bezeichnen. Zwischen diesen beiden Grenzfällen haben alle Quader ein bestimmtes Volumen. Es muss unter diesen Quadern zumindest einer mit maimalem Volumen sein. Ein konstantes Volumen ist nicht zu erwarten und kann durch beliebige Rechenbeispiele belegt werden. GM_A **** Lösungen Seiten (GM_L) ()

31 Klasse / G8. Berechnen Sie die eakten -Koordinaten derjenigen Punkte, an denen der Graph 6 f() = +, 8 ; D =R waagerechte Tangenten hat. der Funktion ( ). Geben Sie die Definitionsmenge an. Erstellen Sie die. Ableitung und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich. a) f() = ( + 5) ( 5) b) c) g() = h() = 5 8 sin +. Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f mit f() = a) Geben Sie den maimalen Definitionsbereich und alle Nullstellen an. b) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs. c) Bestimmen bzw. berechnen Sie alle Asymptoten. d) Berechnen Sie die erste Ableitung f '() der Funktion f(). e) Ermitteln Sie alle Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte des Graphen von f. f) Fertigen sie eine Skizze des Graphen von f im Intervall [ 5; 5 ] an.. Etremwertaufgabe Aus einer rechteckigen dünnen Blechplatte mit den Seiten a = cm und b = 8 cm sollen an den Ecken gleich große Quadrate (Seite ) ausgeschnitten werden, um einen oben offenen Behälter herzustellen. Wie groß muss gewählt werden, damit das Volumen des Behälters maimal wird? GM_A **** Lösungen 6 Seiten (GM_L) ()

32 Klasse / G8 5. Der Verlauf einer Straße ist durch die Funktion 5 = + beschrieben. 8 f() Ein Teil der Straße soll durch ein gerades Teilstück PR, das sich unter 5 tangential an die Straße anfügt (Punkt P) ersetzt werden (siehe Skizze). a) Bestimmen Sie rechnerisch den Punkt P und die Gleichung der Tangente. b) Der Punkt Q( q ) auf dem Graph zu f() und der Punkt R( R ) auf der Tangente haben den Abstand QR. Berechnen Sie QR auf Stellen nach dem Komma (Newtonsches Iterationsverfahren für den -Wert von Q). QR GM_A **** Lösungen 6 Seiten (GM_L) ()

33 Klasse / G8. Bestimmen Sie f'() und fassen Sie das Ergebnis so weit wie möglich zusammen. a) f() 8 b) d) f() sin e) f() f() a 5 c) 5 f() cos f) cos. Die Bilder A bis C enthalten die wesentlichen Ausschnitte von drei Funktionsgraphen. Es sind die Funktion f(), ihre Ableitung f'() sowie eine mögliche Stammfunktion F(). Ordnen Sie die richtige Funktion zu und begründen Sie Ihre Auswahl. A B C. Gegeben ist die Funktion f() k 5 a) Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion. mit k. b) Für welche Werte von k besitzt die Funktion f() genau zwei Punkte mit horizontaler Tangente? c) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten (Steigungsverhalten) der Funktion für 9 k und geben Sie Art und Lage der Etrempunkte an. 5. Mit einem Federkatapult wird vom Erdboden aus eine Kugel schräg nach oben geschossen. Die Flugbahn der Kugel kann näherungsweise durch eine Parabel p: p() beschrieben werden. 8 Die maimal erreichte Höhe über dem Erdboden betrug 6 m, die Wurfweite wurde mit 8 m gemessen. Skizzieren und beschriften Sie die Situation in einem Koordinatensystem und berechnen Sie den Abschusswinkel. GM_A **** Lösungen 5 Seiten (GM_L) ()

34 Klasse / G8 5. Die Bahn einer Rutsche beginnt mit einem horizontalen Streckenabschnitt AB p () 0,5 8, mit B 0 8, geht über in einen parabelförmigen Teil p mit der im Punkt C durch eine Tangente t an die Parabel p fortgesetzt wird. D 6 an der Parabel p, die ihren Die Tangente t endet ohne Knick im Punkt tiefsten Punkt in E 0.hat. a) Geben Sie die Gleichung der Parabel p an. b) Bestimmen Sie den Übergangspunkt C (Tangente an Parabel) c) Beschreiben Sie mathematisch den Streckenverlauf (abschnittsweise) von B bis E. 6. Einem Quadrat mit dem Flächeninhalt cm werden Trapeze einbeschrieben (siehe Skizze). a) Berechnen Sie die Flächeninhalte der Trapeze als Funktion von. b) Geben Sie das für zulässige Intervall an. c) Unter den Trapezen gibt es eines mit maimalem Flächeninhalt. Begründen Sie. d) Berechnen Sie den Wert für, der das Trapez mit maimalem Inhalt liefert. Bemerkung: Trapez einbeschreiben heißt, dass alle Eckpunkte des Trapezes genau auf den Quadratseiten liegen. GM_A **** Lösungen 5 Seiten (GM_L) ()

35 Klasse / G8. Finden Sie unter den gegebenen Graphen alle Paare von Funktionsgraph und Graph der Ableitungsfunktion. y y y y y 5 6 y y y y y y 0 y Graph der Funktion Graph der Ableitungsfunktion GM_A **** Lösungen 5 Seiten (GM_L) ()

36 Klasse / G8. Bestimmen Sie jeweils die Ableitungsfunktion und vereinfachen Sie das Ergebnis soweit wie möglich. 5 5 a a) f() = a +,5 b) g() = k + c) h(a) = + a. Ein waagerecht verlaufender Weg endet im Punkt A. Er soll in 8 m Entfernung in einer Höhe von m im Punkt B waagerecht fortgesetzt werden (siehe Skizze). Die Übergänge in A und B dürfen keinen Knick aufweisen (tangentialer Übergang). Geben Sie eine Übergangskurve als ganzrationale Funktion an (mit möglichst niedrigem Grad).. Die Form einer Halle kann annähernd durch eine Parabel p mit p() = +,5 8 y 90 beschrieben werden. Die höchste p() Stelle der Halle ist,5 m über dem Boden. Die Halle wird nun so mit Platten verkleidet, dass sie beidseitig h h an das Dach angelehnt werden und in der Spitze einen Winkel 0 von 90 bilden (siehe Skizze). Dort, wo die Platten das parabelförmige Hallendach berühren, sollen jeweils Stützen der Länge h eingesetzt werden. a) Berechnen Sie die Stützhöhe h und die Koordinaten der Berührpunkte. b) Welche Gesamthöhe erreicht das Plattendach? 5. Gegeben ist die Funktion f() = mit maimalem Definitionsbereich. a) Bestimmen Sie D f und berechnen Sie alle Nullstellen. b) Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von f. c) Geben Sie das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs an und nennen sie alle Asymptotengleichungen. d) Ermitteln Sie Lage und Art des lokalen Etremwerts. e) Zeichnen Sie den Graphen von f im Bereich 6 6 GM_A **** Lösungen 5 Seiten (GM_L) ()

37 Klasse / G8 6. Etremwertaufgabe Zwei gleich große Platten (Länge a, Breite b = a ) sind mit einem Scharnier (Drehgelenk) verbunden. Das Gelenk wird nun hochgehoben und es entsteht ein dreieckförmiges Dach. Wie hoch muss das Gelenk angehoben werden, damit das Dach ein maimales Volumen überdeckt? GM_A **** Lösungen 5 Seiten (GM_L) ()