Kapitel 2 Kurvenanpassung
|
|
- Rosa Fürst
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 2 Kurvenanpassung 2
2 2 2 Kurvenanpassung 2.1 Approximation Approximation mit orthonormalen Funktionensystemen Approximation mit der Fourier-Reihe Approximation mit Walsh-Funktionen Least-Squares-Schätzer Regressionsanalyse Interpolation Polynominterpolation Interpolation durch Lagrange-Polynome Interpolation durch Newton-Polynome Spline-Interpolation Systemtheoretische Deutung der Interpolation Kennfeldinterpolation Literatur... 51
3 2 Kurvenanpassung 25 Die analytische Darstellung einer Messkennlinie erfordert eine Modellbildung des Systems. Da das zugrundeliegende Modell in der Praxis oft unbekannt ist, liegt die stationäre Messkennlinie häufig nicht in analytischer Form, sondern nur als Menge von n Messpunkten u k,y k ), k {0,...,n 1}, vor. Gesucht wird nun eine analytische Darstellung der Kennlinie, welche die gemessenen Punkte in geeigneter Weise nachbildet. Dadurch können für beliebige Zwischenwerte u die zugehörigen Werte y angegeben werden. Des Weiteren kann die auf diese Weise ermittelte Messkennlinie mit den in Kap. 3 besprochenen Methoden genauer untersucht und optimiert werden. Bei der Konstruktion einer analytischen Kennlinie aus Messpunkten können zwei grundsätzlich verschiedene Ansätze verfolgt werden vgl. Abb. 2.1). Interpolation: Liegen nur wenige Messwerte ohne überlagerte Störungen vor, so wird man verlangen, dass die analytische Kennlinie exakt durch alle Messpunkte verläuft. Verwendet man beispielsweise Polynome pu) zur Interpolation, so erhält man bei n Messpunkten Polynome vom Grad deg{pu)}. Man erkennt sofort, dass eine Interpolation nur für kleine n sinnvoll ist. Für eine große Anzahl von Messwerten wird die Interpolationsfunktion sehr schnell unhandlich und weist ein stark oszillierendes Verhalten auf. Das Interpolationsproblem wird im Abschn. 2.2 behandelt. Approximation: Liegen dagegen sehr viele Messwerte vor oder sind diesen Messwerten Störungen überlagert, so ist die Interpolation ein unpraktischer Ansatz. Man sucht vielmehr einfache Funktionen, welche die Menge der Mess- Abbildung 2.1. Kennlinie in Form von n Messpunkten und Ergebnis der Kurvenanpassung. F. Puente León, Messtechnik, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015
4 26 2. Kurvenanpassung punkte so nachbilden, dass der Fehler zwischen den Messpunkten und der analytischen Funktion möglichst klein wird. Als Stichwort sei hier die Regressionsanalyse genannt Abschn ). Will man für beliebige Zwischenwerte u die zugehörigen Werte y angeben, so wird die Kennlinie als Approximation in einer endlichen Reihe analytischer Funktionen ϕ i u) dargestellt: ŷu) = bzw. mit ŷ k =ŷu k ) ŷ k = a i ϕ i u) 2.1) a i ϕ i u k ), k {0,...,}. 2.2) Die Koeffizienten a i werden dann über die Minimierung eines Gütemaßes Q bestimmt, wobei hierfür üblicherweise die Summe der Approximationsfehlerquadrate herangezogen wird: Q = y k a i ϕ i u k )) 2 min. 2.3) Der Vorteil dieser Vorgehensweise liegt in der Tatsache, dass man bereits mit einer begrenzten Anzahl m einfacher Basisfunktionen ϕ i u) die Kennlinie nachbilden kann, wobei im Allgemeinen m n gilt. Die so gewonnene analytische Kennlinie verläuft allerdings nicht exakt durch die gemessenen Punkte Approximation Approximation mit orthonormalen Funktionensystemen Zunächst stellt sich die Frage nach den Vorteilen orthonormaler Funktionensysteme zur Signaldarstellung. Zur Verdeutlichung sei an die Vektorrechnung erinnert. Im dreidimensionalen Raum IR 3 wird jeder Vektor durch seine Komponenten in x-, y- und z-richtung repräsentiert. Beispielsweise sei der folgende Vektor betrachtet: a =a 0,a 1,a 2 ) T. 2.4)
5 2.1 Approximation 27 Mittels der zueinander orthogonalen Einheitsvektoren e 0 = 0, e 1 = 1, e 2 = 0 2.5) lässt sich der Vektor a als Linearkombination der Vektoren e i darstellen: a = a 0 e 0 + a 1 e 1 + a 2 e 2 = 2 a i e i. 2.6) Die Menge {e 0, e 1, e 2 } bildet dabei eine orthonormale Basis des Vektorraumes IR 3. Sie hat die besonderen Eigenschaften, dass das Innenprodukt zwischen zwei verschiedenen Basisvektoren verschwindet die Vektoren sind also zueinander orthogonal [5] und dass die Norm der Basisvektoren gleich eins ist: e i, e j = e i,k e j,k = δ j i, 2.7) wobei δ j i = { 1 für i = j 0 für i j 2.8) das Kronecker-Delta bezeichnet. Ein großer Vorteil orthonormaler Basissysteme ist die Tatsache, dass bei Hinzunahme einer neuen Dimension aufgespannt z. B. durch den Basisvektor e 2 ) lediglich die entsprechende Komponente a 2 zur Darstellung des resultierenden Vektors bestimmt werden muss, ohne dass sich dabei eine Änderung der bisherigen Komponenten im vorliegenden Beispiel a 0 und a 1 ) ergäbe. Bei der Approximation von Messkennlinien macht man sich genau diese Eigenschaft orthonormaler Basissysteme zu Nutze. Man verwendet zur Approximation Funktionensysteme mit der Eigenschaft ϕ i,ϕ j = ϕ i u k ) ϕ j u k )=δ j i. 2.9) Die Funktionswerte ϕ i u k ) an den Stützstellen u k liefern orthonormale, n-dimensionale Vektoren. Im Folgenden wird angenommen, dass die Stützstellen äquidistant über dem gesamten Orthogonalitätsintervall des Funktionensystems verteilt sind. Zur Bestimmung der Koeffizienten wird das Gütemaß 2.3) Q = y k a i ϕ i u k )) y k j=0 a j ϕ j u k ) 2.10)
6 28 2. Kurvenanpassung mit Hilfe der Kettenregel nach den Koeffizienten a j abgeleitet: ) Q = 2 y k a i ϕ i u k ) ϕ j u k ) 2.11) a j = 2 y k ϕ j u k ) a i ϕ i u k ) ϕ j u k ) )! =0, 2.12) y k ϕ j u k ) ϕ i u k ) ϕ j u k ) =0 2.13) a i } {{ } δ j i a j = y k ϕ j u k ). 2.14) Man erkennt sofort den Nutzen orthogonaler Funktionen. Die Koeffizienten a j zur Darstellung der Kennlinie hängen nur von der zugehörigen Basisfunktion ϕ j u k ) ab. Werden weitere Funktionen ϕ i zur Approximation herangezogen, so bleiben die bisher berechneten Koeffizienten unverändert. Der quadratische Fehler zwischen den Messpunkten und der approximierten Kennlinie berechnet sich zu Q = y k = yk 2 + j=0 a i a i a j a i ϕ i u k )) y k ϕ i u k ) yk } {{ } a i j=0 a j j=0 a j ϕ j u k ) ϕ j u k ) y k } {{ } a j 2.15) ϕ i u k ) ϕ j u k ), 2.16) } {{ } δ j i Q = yk 2 a i ) Mit wachsendem Grad m der Funktionenreihe wird der Approximationsfehler geringer. Mit Q 0 folgt die bekannte Bessel sche Ungleichung [5].
7 2.1 Approximation Approximation mit der Fourier-Reihe Nun stellt sich die Frage, welche Funktionensysteme die Orthogonalitätsbedingung 2.9) erfüllen. Am bekanntesten sind die Funktionen der Fourier-Reihe: F i u) = 1 n exp j2πi u u a u e u a ). 2.18) Diese Funktionen bilden im Messbereich [u a,u e ] bei n äquidistanten Stützstellen im Abstand Δu vgl. Abb. 2.2) ein orthonormales Funktionensystem: F i u k ),F j u k ) = 1 exp j2πi u ) k u a exp j2πj u ) k u a. 2.19) n u e u a u e u a Abbildung 2.2. Stützstellenabstände einer gemessenen Kennlinie. Mit dem Stützstellenabstand Δu und der Intervallbreite u e u a )=n Δu gilt u k = k Δu + u a u k u a u e u a = k n. 2.20) Damit lässt sich das Innenprodukt schreiben und die Orthogonalität zeigen: F i u k ),F j u k ) = 1 exp j2πi j) k ) = δ j i n n. 2.21) Zur Veranschaulichung von 2.21) hilft ein Zeigerdiagramm in der komplexen Ebene Abb. 2.3). Für i j ergibt sich ein geschlossener Polygonzug, d. h. die Summe der Zeiger verschwindet. Nur für i = j ergibt sich ein Wert ungleich null. Die Approximation einer Messkennlinie mit den Funktionen aus 2.18) entspricht gerade der Fourier-Reihe bei periodischen Funktionen Approximation mit Walsh-Funktionen Ein Nachteil der Verwendung der Fourier-Reihe ist die notwendige Rechnung mit komplexen Exponentialfunktionen. Geradezu ideal für die Implementierung im Rechner ist hingegen das orthonormale System der Walsh-Funktionen wali, u) geeignet. Sie sind im Intervall [0; 1] definiert und nehmen lediglich die Funktionswerte +1 und 1 an.
8 30 2. Kurvenanpassung ~ Abbildung 2.3. Veranschaulichung der Orthogonalität der Fourier-Funktionen. Abbildung 2.4 zeigt einige Funktionen dieses Funktionensystems. Von ihrer Orthogonalität überzeugt man sich leicht durch Summenbildung über äquidistant verteilte Stützstellen. Die Berechnung der Koeffizienten a j nach 2.14) reduziert sich bei diesem Basissystem auf eine einfache Summe über die Funktionswerte y i. Für das Rechnen mit Walsh-Funktionen und die Erzeugung beliebiger Basisfunktionen wali, u) sei auf die entsprechende Fachliteratur verwiesen [2]. An dieser Stelle soll noch auf eine Eigenschaft hingewiesen werden. Wie man aus Abb. 2.4 erkennt, sind die i Nulldurchgänge der Walsh-Funktionen nicht gleichmäßig über das Intervall verteilt. Um dennoch einen Frequenzbegriff wie bei Sinus- und Cosinusfunktionen zu erhalten, kann man die Häufigkeit der Null- Abbildung 2.4. Walsh-Funktionen.
9 2.1 Approximation 31 durchgänge im Intervall heranziehen. Damit gelangt man zur verallgemeinerten Frequenz, die in Kap. 8 eingeführt wird Least-Squares-Schätzer In vielen Anwendungen ist eine Approximation mit nicht orthogonalen Basisfunktionen ϕ i u) gewünscht. Zur Minimierung der quadratischen Summe der Approximationsfehler 2.3) kann der Least-Squares-Schätzer kurz: LS-Schätzer) herangezogen werden. Die Summe der Approximationsfehlerquadrate lautet in Vektorschreibweise Q = y k ŷ k ) 2 =y ŷ) T y ŷ). 2.22) Es wird folgender Approximationsansatz für n Messpunkte verwendet: ŷ 0 ϕ 0 u 0 ) ϕ u 0 ) a 0 ŷ =.. = = Φa. 2.23) ϕ 0 u ) ϕ u ) ŷ Einsetzen von 2.23) in 2.22) ergibt a Q =y Φa) T y Φa)=y T y 2a T Φ T y + a T Φ T Φa. 2.24) Zur Bestimmung von a wird das Gütemaß Q minimiert: dq da = 2ΦT y +2Φ T Φa= 0, 2.25) woraus für den Parametervektor a =Φ T Φ) 1 Φ T y 2.26) resultiert. Der gesuchte Parametervektor a berechnet sich somit aus dem Produkt der nach E. H. Moore und R. Penrose benannten Pseudoinversen Φ T Φ) 1 Φ T von Φ und dem Messpunktevektor y. Der LS-Schätzer ist von großer praktischer Bedeutung. Er wird oft benutzt, um aus stark verrauschten Messungen Kennlinienfunktionen zu bestimmen, was auch als Regressionsanalyse bezeichnet wird Abschn ). Der LS-Schätzer kann damit einerseits als ein Optimalfilter angesehen werden Abschn. 6.7), welches Vorwissen über die herauszufilternde Funktion explizit einbezieht z. B. dass sie als Polynom 2. Grades darstellbar ist. Dieses Vorwissen bezeichnet man als Signalmodell und bestimmt den Aufbau der Matrix Φ bzw. die Wahl der Basisfunktionen ϕ i u).
10 32 2. Kurvenanpassung Andererseits wird ein funktionaler Zusammenhang zwischen Abszissen- und Ordinatenvariablen hergestellt. Damit ist das Verfahren auch zur Extrapolation geeignet, etwa um zukünftige Funktionswerte eines Zeitsignals zu vorhersagen [3]. Eine Anwendung hierzu findet der LS-Schätzer in der statistischen Prozessüberwachung, die in Abschn behandelt wird. Ein weiteres Anwendungsgebiet des LS-Schätzers ist die Parameterschätzung Abschn ) Regressionsanalyse In der Statistik dient die Regressionsanalyse allgemein dazu, einen funktionalen Zusammenhang zwischen Variablen herzustellen. Praktisch werden hierfür häufig Polynome zusammen mit der in Abschn behandelten Methode der kleinsten Quadrate verwendet, aber es können genauso auch andere Modelle und Optimierungsziele zum Einsatz kommen. Im Folgenden wird nur auf den Sonderfall der linearen Regression eingegangen. Eine in der Praxis häufig auftretende Aufgabe ist die Suche nach einer Geraden durch eine Menge von Messpunkten Abb. 2.5). Die Gerade habe die Form ŷu) =a 1 u + a ) Die unbekannten Parameter a 1 und a 0 werden durch Minimierung der Fehlerquadrate gemäß 2.3) bestimmt. Mit der Gütefunktion Q = y k a 1 u k a 0 ) ) Abbildung 2.5. Lineare Regression.
11
Polynominterpolation
Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion
Mehr2) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 4 +bx 2 +c mit a, b, c R.
Übung 6 1) Wir betrachten den Vektorraum aller Funktionen f(x) = ax 4 + bx 2 + c mit a, b, c R und nennen diesen V. Die Vektoren f 1 (x) = 2x 4 + 2x 2 + 2 und f 2 (x) = 3x 4 + x 2 + 4 sind in diesem Vektorraum
MehrNeuronale Netze. Gehirn: ca Neuronen. stark vernetzt. Schaltzeit ca. 1 ms (relativ langsam, vgl. Prozessor)
29 Neuronale Netze Gehirn: ca. 10 11 Neuronen stark vernetzt Schaltzeit ca. 1 ms (relativ langsam, vgl. Prozessor) Mustererkennung in 0.1s 100 Schritte Regel 30 Was ist ein künstl. neuronales Netz? Ein
MehrJürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie
Jürgen Roth Didaktik der Linearen Algebra und Analytischen Geometrie Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche juergen-roth.de/lehre/did_linalg_anageo/ Kapitel 5: Skalarprodukt 5.1 Inhalte Didaktik der Linearen
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
MehrFEM isoparametrisches Konzept
FEM isoparametrisches Konzept /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/deckblatt.tex Seite von 25. p./25 Inhaltsverzeichnis. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente 2. Finite-Element-Typen
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
MehrEin Beispiel für eine lineare Abbildung
Inhaltsverzeichnis Ein Beispiel für eine lineare Abbildung Lothar Melching Vorbemerkungen 2 Ein Beispiel 2 2 Definition der Abbildung f 2 22 Die Abbildungsmatrix 3 23 Anwendung 3 Eigenwerte 3 Die neue
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen
MehrLösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II
Christian Fenske Lösungen zu den Hausaufgaben zur Analysis II Blatt 6 1. Seien 0 < b < a und (a) M = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 4 + z 4 = 1}. (b) M = {(x, y, z) R 3 x 3 + y 3 + z 3 = 3}. (c) M = {((a+b sin
MehrHamilton-Formalismus
KAPITEL IV Hamilton-Formalismus Einleitung! IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls Sei ein mechanisches System mit s Freiheitsgraden. Im Rahmen des in Kap. II eingeführten
MehrOutline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie
Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende
MehrLernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
Mehr2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen
2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für
MehrDEUTSCHE SCHULE MONTEVIDEO BIKULTURELLES DEUTSCH-URUGUAYISCHES ABITUR ( AUF SPANISCH )
Grundlegende Bemerkungen : Der Begriff des Vektors wurde in den vergangenen Jahren im Geometrieunterricht eingeführt und das mathematische Modell des Vektors wurde vor allem auch im Physikunterricht schon
MehrVektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
MehrÜberbestimmte lineare Gleichungssysteme
Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen September 2009 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Übersicht 1 2 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme
Mehr1 Messfehler. 1.1 Systematischer Fehler. 1.2 Statistische Fehler
1 Messfehler Jede Messung ist ungenau, hat einen Fehler. Wenn Sie zum Beispiel die Schwingungsdauer eines Pendels messen, werden Sie - trotz gleicher experimenteller Anordnungen - unterschiedliche Messwerte
Mehr& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors
Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen
MehrIn der Praxis werden wir häufig mit relativ komplexen Funktionen konfrontiert. y
Approximationen In der Praxis werden wir häufig mit relativ komplexen Funktionen konfrontiert. y y = f (x) x Um das Arbeiten mit einer komplizierten Funktion zu vermeiden, können wir versuchen, diese Funktion
Mehr46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen
46 Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen 46.1 Motivation Symmetrische Matrizen (a ij = a ji für alle i, j) kommen in der Praxis besonders häufig vor. Gibt es für sie spezielle Aussagen über
Mehrx, y 2 f(x)g(x) dµ(x). Es ist leicht nachzuprüfen, dass die x 2 setzen. Dann liefert (5.1) n=1 x ny n bzw. f, g = Ω
5. Hilberträume Definition 5.1. Sei H ein komplexer Vektorraum. Eine Abbildung, : H H C heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf H, wenn für alle x, y, z H, α C 1) x, x 0 und x, x = 0 x = 0; ) x,
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 5: Differentialrechnung im R n Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juni 2009 1 / 31 5.1 Erinnerung Kapitel
Mehr4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung
4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung In vielen Anwendungen treten lineare Gleichungssysteme auf, die eine unterschiedliche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten besitzen: Ax
Mehr3 Interpolation und Approximation
In dem ersten großen Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, wie eine Reihe von Daten (z.b. aus physikalischen Messungen, experimentelle Beobachtungen, Börse, etc.) durch eine möglichst einfache Funktion
MehrMathematik 2 für Naturwissenschaften
Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften y t Modul 4 Fourier-Entwicklung. Vektorraum Hans Walser: Modul 4, Fourier-Entwicklung. Vektorraum ii Modul 4 für die Lehrveranstaltung Mathematik für Naturwissenschaften
MehrSkalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)
Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +
Mehr2. Stetige lineare Funktionale
-21-2. Stetige lineare Funktionale Die am Ende von 1 angedeutete Eigenschaft, die ein lineares Funktional T : D(ú) 6 verallgemeinerten Funktion macht, ist die Stetigkeit von T in jedem n 0 0 D(ú). Wenn
MehrEuklidische und unitäre Vektorräume
Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein
Mehrein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.
MehrGeometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:
Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:
Mehr45 Eigenwerte und Eigenvektoren
45 Eigenwerte und Eigenvektoren 45.1 Motivation Eigenvektor- bzw. Eigenwertprobleme sind wichtig in vielen Gebieten wie Physik, Elektrotechnik, Maschinenbau, Statik, Biologie, Informatik, Wirtschaftswissenschaften.
MehrDierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
Mehr1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )
Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition
Mehr3. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Gegeben sind zwei Teilmengen von R : E := {x R : x x = }, und F ist eine Ebene durch die Punkte A = ( ), B = ( ) und C = ( ). (a) Stellen Sie diese Mengen
MehrModellieren in der Angewandten Geologie II. Sebastian Bauer
Modellieren in der Angewandten Geologie II Geohydromodellierung Institut für Geowissenschaften Christian-Albrechts-Universität zu Kiel CAU 3-1 Die Finite Elemente Method (FEM) ist eine sehr allgemeine
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung
Konvergenz im quadratischen Mittel und Parsevalsche Gleichung Skript zum Vortrag im Proseminar Analysis bei Prof Dr Picard, gehalten von Helena Malinowski In vorhergehenden Vorträgen und dazugehörigen
MehrAufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010
Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und
Mehr4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen
4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,
MehrApproximation. E(N) N. Beachte: Der Wert für N = 32 ist vernachlässigt, da er in der Grössenordnung der Rechengenauigkeit liegt.
Approximation Ziel: Approximation der Funktion f(x) = x mit Polynomen (global und stückweise) Experiment: Abhängigkeit des Approximationsfehlers E(N) (in der Maximumnorm) von der Anzahl der Freiheitsgrade
MehrKapitel 2.1: Die stochastische Sicht auf Signale Georg Dorffner 67
Kapitel 2.1: Die stochastische Sicht auf Signale 215 Georg Dorffner 67 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse sind von Zufall geprägte Zeitreihen x n f x, n 1 xn2,... n vorhersagbarer Teil, Signal
MehrMathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
MehrInterpolation. Nadine Losert. Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr.
Interpolation Nadine Losert Ausarbeitung zum Vortrag im Proseminar Analysis (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Nachdem wir in den vorherigen Vorträgen verschiedene
Mehr2 Die Dimension eines Vektorraums
2 Die Dimension eines Vektorraums Sei V ein K Vektorraum und v 1,..., v r V. Definition: v V heißt Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r falls es Elemente λ 1,..., λ r K gibt, so dass v = λ 1 v 1
MehrVektoren - Basiswechsel
Vektoren - Basiswechsel Grundprinzip Für rein geometrische Anwendungen verwendet man üblicherweise die Standardbasis. Damit ergibt sich in den Zahlenangaben der Koordinaten kein Unterschied zu einem Bezug
Mehr9.2 Invertierbare Matrizen
34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen
Mehr(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9)
(Allgemeine) Vektorräume (Teschl/Teschl 9) Sei K ein beliebiger Körper. Ein Vektorraum über K ist eine (nichtleere) Menge V, auf der zwei Operationen deniert sind, die bestimmten Rechenregeln genügen:
MehrStatistische Methoden in der Wirtschaftsund Sozialgeographie
Statistische Methoden in der Wirtschaftsund Sozialgeographie Ort: Zeit: Multimediapool Rechenzentrum Mittwoch 10.15-11-45 Uhr Material: http://www.geomodellierung.de Thema: Beschreibung und Analyse Wirtschafts-
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
Mehr1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse
Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung A sei eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen. Zunächst sei n m. Bilde B = A A. Dies ist eine n n-matrix. Berechne die Eigenwerte von B. Diese
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
Mehr4) Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei oder drei Unbekannten
1) Wechsel der Darstellung Taschenrechner CASIO fx-991 ES Denn es ist eines ausgezeichneten Mannes nicht würdig, wertvolle Stunden wie ein Sklave im Keller der einfachen Berechnungen zu verbringen. Gottfried
MehrVorkurs Mathematik B
Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 20. September 2011 Definition (R n ) Wir definieren: 1 Der R 2 sei die Menge aller Punkte in der Ebene. Jeder Punkt wird in ein
MehrSkalarprodukt und Orthogonalität
Skalarprodukt und Orthogonalität Skalarprodukt und Orthogonalität in R n Wir erinnern an das euklidische Skalarprodukt im R 2 : Wir erinnern an das euklidische Skalarprodukt im R 2 : < a, b >:= α 1 β 1
Mehr4. Übung für Übungsgruppen Musterlösung
Grundlagenveranstaltung Systemtheorie WS 6/7 (H.S. Stiehl, AB Kognitive Systeme, FB Informatik der Universität Hamburg). Übung für Übungsgruppen Musterlösung (N. Stein, Institut für Angewandte Physik,
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München SS 2012 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Alexander Breuer Dipl.-Math. Dipl.-Inf. Jürgen Bräckle Dr.-Ing. Markus
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/2015 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, 16.01.2015, 11 Uhr Auf diesem
MehrEinführung in die linearen Funktionen. Autor: Benedikt Menne
Einführung in die linearen Funktionen Autor: Benedikt Menne Inhaltsverzeichnis Vorwort... 3 Allgemeine Definition... 3 3 Bestimmung der Steigung einer linearen Funktion... 4 3. Bestimmung der Steigung
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehr3.3 Das Abtasttheorem
17 3.3 Das Abtasttheorem In der Praxis kennt man von einer zeitabhängigen Funktion f einem Signal meist nur diskret abgetastete Werte fn, mit festem > und ganzzahligem n. Unter welchen Bedingungen kann
Mehr11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION
11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 1 Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt: Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu vereinfachen, um die Dimension von Vektorräumen und ihren Unterräumen
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume
CONTENTS CONTENTS Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume Contents 1 Ziel 2 1.1 Satz........................................ 2 2 Endlich dimensionale Vektorräume 2 2.1 Defintion: Eigenschaften
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
MehrOptimieren unter Nebenbedingungen
Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht
MehrLineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya
Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit -E Ma Lubov Vassilevskaya Eindimensionaler Raum Abb. -: Zwei nicht gleiche Vektoren auf der gleichen Gerade Jeden Vektor, der auf einer Geraden liegt, kann man durch
MehrStatistik Testverfahren. Heinz Holling Günther Gediga. Bachelorstudium Psychologie. hogrefe.de
rbu leh ch s plu psych Heinz Holling Günther Gediga hogrefe.de Bachelorstudium Psychologie Statistik Testverfahren 18 Kapitel 2 i.i.d.-annahme dem unabhängig. Es gilt also die i.i.d.-annahme (i.i.d = independent
Mehr(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
MehrRechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene
Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander
MehrTheoretische Physik 1, Mechanik
Theoretische Physik 1, Mechanik Harald Friedrich, Technische Universität München Sommersemester 2009 Mathematische Ergänzungen Vektoren und Tensoren Partielle Ableitungen, Nabla-Operator Physikalische
MehrÜbungsaufgaben Vektoren
Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Vektoren 1. Gegeben sind die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten e ϱ = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ und e z = 0 0 0 0 1 und Kugelkoordinaten: sin ϑ cos
MehrKapitel 4. Interpolation. 4.1 Allgemeines Normen von Funktionen
Kapitel 4 Interpolation 4 Allgemeines Nähere Funktion/Daten durch einfache Funktionen (eg Polynome) an Brauchbar für: - Integration - Differentiation [zb f(x) sei durch Polynom p(x) approximiert, F(x)
Mehr27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen
136 IV. Unendliche Reihen und Taylor-Formel 27 Taylor-Formel und Taylor-Entwicklungen Lernziele: Konzepte: klein o - und groß O -Bedingungen Resultate: Taylor-Formel Kompetenzen: Bestimmung von Taylor-Reihen
MehrStatistik, Datenanalyse und Simulation
Dr. Michael O. Distler distler@kph.uni-mainz.de Mainz, 31. Mai 2011 4. Methode der kleinsten Quadrate Geschichte: Von Legendre, Gauß und Laplace zu Beginn des 19. Jahrhunderts eingeführt. Die Methode der
MehrIn der Schule lernen wir den Satz des Pythagoras: Die Flächensumme der beiden blauen Quadrate ist gleich der Fläche des schwarzen Quadrates:
Hans Walser, [06045] Pythagoras-Schmetterling Das Phänomen Wir beginnen mit einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck und zeichnen die übliche Pythagoras-Figur. Dann fügen wir zwei weitere Quadrate an (rot
MehrVIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme
V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot
MehrKapitel III. Lineare Abbildungen
Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,
MehrAbiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit x f(x) = (x + 5) e. Aufgabe : ( VP) Gegeben ist die Funktion
MehrThemenheft mit viel Trainingsmaterial (Siehe Vorwort!) Unabhänge Vektoren und Erzeugung von Vektoren Gauß-Algorithmus Rang einer Matrix.
LINEARE ALGEBRA Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen Themenheft mit viel Trainingsmaterial (Siehe Vorwort!) Unabhänge Vektoren und Erzeugung von Vektoren Gauß-Algorithmus Rang einer Matrix Gleichungssysteme
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
Mehr4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 19. Juli 2009 341 4.5 Schranken an die Dichte von Kugelpackungen Schon in Abschnitt 1.4 hatten wir die Dichte einer Kugelpackung, speziell eines Gitters bzw. einer quadratischen
MehrLineare Ausgleichsprobleme. Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte
Lineare Ausgleichsprobleme Bisher: Lösung linearer GS Ax = b, A R n,n, A regulär, b R n Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte Ax = b mit A R m,n, b R m, m n, rg(a)
MehrMathematik für Chemische Technologie 2
Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters
MehrNumerische Integration und Differentiation
Einführung Grundlagen Bemerkung (Numerische Mathematik) a) Im engeren Sinn: zahlenmäßige Auswertung mathematischer Zusammenhänge z B Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen Numerische
MehrKomplexe Zahlen. Die bildliche Vorstellung einer komplexen Zahl z = (a, b) stellt ein Punkt in der Bildebene dar. Die Elemente der Menge:
Komplexe Zahlen Die bildliche Vorstellung einer komplexen Zahl z = (a, b) stellt ein Punkt in der Bildebene dar. Die Elemente der Menge: R = R R = {(a, b) a, b R} heißen komplexe Zahlen wenn für die Verknüpfung
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrDie komplexen Zahlen und Skalarprodukte Kurze Wiederholung des Körpers der komplexen Zahlen C.
Die omplexen Zahlen und Salarprodute Kurze Wiederholung des Körpers der omplexen Zahlen C. Erinnerung an die Definition von exp, sin, cos als Potenzreihen C C Herleitung der Euler Formel Definition eines
MehrWiederholung Winkel. Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren
Wiederholung Winkel Das entscheidende Mittel zur Bestimmung von Winkeln ist das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt lässt sich nämlich sehr komfortabel koordinatenweise berechnen, zugleich hängt es aber mit
Mehr++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen dx+ey+f = 0 1.1
Hauptachsentransformation. Einleitung Schneidet man den geraden Kreiskegel mit der Gleichung = + und die Ebene ++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen +2 + +dx+ey+f = 0. Die
MehrBestimmung des Frequenz- und Phasenganges eines Hochpaßfilters 1. und 2. Ordnung sowie Messen der Grenzfrequenz. Verhalten als Differenzierglied.
5. Versuch Aktive HochpaßiIter. und. Ordnung (Durchührung Seite I-7 ) ) Filter. Ordnung Bestimmung des Frequenz- und Phasenganges eines Hochpaßilters. und. Ordnung sowie Messen der Grenzrequenz. Verhalten
MehrKorrelationsmatrix. Statistische Bindungen zwischen den N Zufallsgrößen werden durch die Korrelationsmatrix vollständig beschrieben:
Korrelationsmatrix Bisher wurden nur statistische Bindungen zwischen zwei (skalaren) Zufallsgrößen betrachtet. Für den allgemeineren Fall einer Zufallsgröße mit N Dimensionen bietet sich zweckmäßiger Weise
MehrLineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis
Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................
Mehr1.2 Das kartesische Koordinatensystem
Kapitel 1 Vektoralgebra 1.1 Einführung Am ersten Kapitel widmen wir uns den Grundlagen der Vektoralgebra, wobei wir speziell auf die Definitionen von Skalaren und Vektoren eingehen und Produkte zwischen
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrLineare Näherung. Anwendungen
Lineare Näherung. Anwendungen Jörn Loviscach Versionsstand: 1. Januar 2010, 17:15 1 Lineare Näherung Ist eine Funktion f an der Stelle x 0 differenzierbar, existiert dort ihre Ableitung f und es gilt:
MehrGrundlagen der Vektorrechnung
Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt
Mehr