Lösungshinweise zum 10. Tutorium

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1 Universität Würzburg Wintersemester 0/3 Mathematisches Institut Analysis in einer Variablen Markus Höhn 5..3 Lösungshinweise zum 0. Tutorium Thema: Trigonometrische Funktionen a) Alle Bilder habe ich mit einem Graphenzeichner erstellt, aber da das in der Klausur natürlch nicht möglich ist, sind hier ein paar Hinweise wie man sich nach und nach erschliessen kann, dass die Graphen so aussehen müssen. Wir schaun zunächst mal f(x) = exp(sin(x)). Da der sin(x) die ganze Zeit im Bereich [, ] hin und herschwingt, folgt, dass sich f(x) nur im Bereich [ e, e ] aufhält. Außerdem ist die exp(x) monoton steigend, weshalb die Funktion schneller ansteigt, desto größere Werte eingesetzt werden. Also malen wir eine Sinus-Kurve, die aber im Bereich von e bis e hin und herschwingt - wobei die Hochpunkte steiler erreicht werden und die Tiefpunkte flacher verlaufen als bei der normalen Sinus-Funktion:

2 Nun betrachten wir g(x) = x sin( x ) für x 0 und g(0) = 0. Wir überlegen uns zunächs wie die Funktion sin( x ) ausschaut - da die x-funktion für x > langsam von auf die Null fällt, fällt auch sin( x ) dort langsam auf die Null zu. Für 0 < x < steigt die x-funktion rapide an und durchläuft alle Zahlen von bis. Also schwingt in diesem Bereich auch sin( x ) unendlich mal! Das schaut sehr chaotisch aus. Da der Graph außerdem punktsymmetrisch ist (es gilt ja sin( x) = sin(x)) zum Ursprung folgt: Damit können wir g(x) konstruieren. Das x was auf sin( x ) multipliziert wird lässt den Graphen in der Umgebung um Null zusammenschrumpfen auf ganz kleine Schwingungen - desto größer x wird, desto größer wird wieder die Schwingung. L Hospital liefert für den Grenzwert, weshalb wir (der Graph ist jetzt achsensymmetrisch) folgendes bekommen:

3 b) Die Lösung dieser Gleichung wird (wenn man sie überhaupt explizit angeben kann) relativ ekelhaft ausschauen - die Fragestellung besagt außerdem nicht, dass wir diesen Wert explizit angeben müssen. Wir verändern also diese Gleichung in :=p(x) exp(sin(x)) + x = 0. Da diese neudefinierte Funktion p(x) eine Komposition von stetigen Funktionen ist, ist p(x) selbst auch wieder stetig. Wir versuchen jetzt alles für den Nullstellensatz von Bolzano vorzubereiten. Da gilt p(0) = exp(sin(0)) +0 = < 0 p( ) = exp(sin( )) +( ) = e p( 3 ) = exp(sin( 3 )) +( 3 < > 0 4 = e ) }{{ > 0 } < Wieso genau diese Punkte? Da p(0) < 0 ist (dieser einfache Punkt bietet sich förmlich an), benötigen wir für den Nullstellensatz noch einen negativen Punkt x, für den gilt p(x ) > 0 und einen positiven Punkt x für den gilt p(x ) > 0. Da die +x -Funktion ein Maximum in x = 0 animmt (logisch, überlegt euch wieso) und ansonsten < ist, versuchen wir einen möglichst großen Wert für exp(sin(x)) rauszubekommen. Die obengewählten Werte x = und x = 3 sind die ersten beiden Nullstellen rechts und links vom Nullpunkt! Nach Nullstellensatz von Bolzano existiert ein ξ ( 3, 0) mit p(ξ ) = 0 und ein ξ (0, ) mit p(ξ ) = 0. Gleichung besitzt Lösungen. c) Für die Stetigkeit benutzen wir die Definition der Folgenstetigkeit und nutzen aus, dass der Sinus beschränkt ist. Sei a n eine beliebige Nullfolge. Dann gilt: lim a n sin(a n ) = lim a n sin(a n ) lim n n }{{} a n = 0 n Also egal wie wir uns dem nullpunkt annähern (egal welche nullfolge wir in die funktion stecken), es kommt immer Null raus. g(x) ist also stetig. 3

4 d) Wir schauen mal an was h(x) für einfach zu berechnende Werte hat: lim h(x) = lim x x lim h(x) = lim x arctan(x) e x arctan(x) x }{{} = e x }{{} 0 = 0 h(0) = arctan(0)e 0 = 0 = 0 außerdem gilt für x < 0 wegen arctan(x) < 0 und e x > 0 dass g(x) < 0. Zusammen ergeben diese informationen folgende Rohform vom Graphen: Der Graph sieht immoment erst so aus weil ein Vorzeichenwechsel von minus zu plus im n ullpunkt vorliegt der graph sich im negativen an die null annähern muss im unendlichen besitzt der graph eine unendlichkeitsstelle mehr können wir nicht einzeichnen, da wir nicht das verhalten vom graph zwischen null und unendlich kennen genauso wie zwischen minus unendlich und null. nun benötigen wir die Monotonie. Dafür betrachen wir die abteilung von h(x): h (x) = +x e x + arctan(x)e x = e x ( +x + arctan(x)) h (x) = 0 +x + arctan(x) = 0 +x = arctan(x) 4

5 Da sich arctan(x) und +x nur einmal schneiden (malt deren Graphen auf, das geht total schnell) liefert das genau ein Extremum für h(x), was im negativen liegt. Wo das Extremum genau liegt ist total egal - ihr solltet den graph ja nur grob zeichen. Dementsprechend muss dieses extremum ein minimum sein etwas links von der null und wir erhalten insgesamt für den graphen: Hinweis: Die Tutorien geben nur Teilaspekte des Vorlesungsstoffes wieder. Zum Verständnis der Vorlesung und zum Bestehen der Klausur ist die Bearbeitung der Übungsaufgaben dringend erforderlich. 5